1.5 Quaderförmige, homogene Körper (Ziegel, Dominosteine...) werden folgendermaßen übereinander gestapelt: b/4 b

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1 .5 Quaderförmige, homogee Körper (Ziegel, Domiosteie...) werde folgedermaße üereiader gestapelt: / Bei wie viel Körper kippt der Stapel um, we diese (a) fest miteiader verude oder () lose gestapelt werde? Versuche Sie auch, eie allgemeie Lösug zu fide. (a) ei 5 Körper gerade och stadfest, Umkippe eim Auflege des 6. Körpers () Stapel ei Körper och im Gleichgewicht, Umkippe eim Auflege des 5. Körpers

2 Ausführlicher Lösugsweg: Quaderförmige, homogee Körper (Ziegel, Domiosteie...) werde folgedermaße üereiader gestapelt: y S D S S D Bild. Stapel i Aufgae. Bei wie viel Körper kippt der Stapel um? Versuche Sie, eie allgemeie Lösug zu fide. Ausführliche Lösug Wir müsse zwei Fälle uterscheide: () Die Steie werde miteiader verude, z. B. durch Mörtel. () Die Steie werde lose üereiader gestapelt. Da die Steie ur i eier Richtug gegeeiader versetzt werde, hae wir ei zweidimesioales Prolem vorliege ud eötige ei zweidimesioales Koordiatesystem. Fall (): Starre Veridug der Steie Der Stapel kippt i diesem Fall um, we der Astad S des Gesamtschwerpuktes aller Steie vo der like vertikale Kate des utere Steies (etspreched Bild ) größer als die Kateläge wird: > () S. Der Stapel kippt um die Achse D. Wir etrachte de Grezfall = () S. Die Eizelschwerpukte der Steie S, S, S,... liege ei =, Allgemei liegt der Eizelschwerpukt S i ei =, =,.... ( i ) i = +. () Für die -Koordiate des Gesamtschwerpuktes vo üereiader gestapelte Steie gleicher Masse m gilt:

3 = m = m =. () S i i i i mges i= m i= i= Setzt ma jetzt () i () ei, ergit sich ( ) i S = + = + i i= i= i= i=. (5) Mit i = ( + ) =, i = ud i = i = = ka (5) geschriee werde: S ( + ) = + 8 = = = 8 8. (6) + Mit der Bedigug () ergit sich = ud daraus = 5. 8 Ei Stapel aus 5 miteiader verudee Steie ist gerade och stadfest, eim Befestige des 6. Steies kippt er um. Fall (): Loses Stapel der Steie Der uterste ud zuerst gelegte Stei wird i jedem Fall im Schwerpukt uterstützt ud kippt icht. Er wird zur Uterstützugsfläche für de zweite, darüer liegede Stei zw. für de darüer liegede Steistapel aus dem zweite ud alle folgede Steie. Wird ei zweiter Stei darauf aufgelegt, kippt dieser um die Achse D, we das Lot durch seie Schwerpukt S außerhal der uterstützede Fläche, d. h. der Oerfläche des erste Steis liegt. Wird der i-te Stei aufgelegt, müsse folgede Bediguge erfüllt sei, damit der Stapel icht kippt: Das Lot durch seie Schwerpukt muss durch die Oerfläche des ( i ) -te Steis gehe. Das Lot durch de Gesamtschwerpukt der Steie i ud ( i ) muss durch die Oerfläche des ( i ) -te Steis gehe usw. is hi zu der Bedigug, dass das Lot durch de Gesamtschwerpukt des Stapels aus de Steie is i durch die Oerfläche des erste Steies gehe muss. Das edeutet, der jeweils utere Teil des Stapels muss de darüer liegede Teil im Schwerpukt uterstütze. Die Uterstützugsfläche hat daei immer die Seiteläge. Wird eie dieser Bediguge verletzt, kippt der Stapel um die etsprechede Kate des daruter liegede Steis. Ka i userem Beispiel ei Stapel vo m Steie auf de uterste Stei stail aufgelegt werde, gilt dies auch für alle adere Steie des Stapels. Es muss also ur geprüft werde, wie viel Steie auf de uterste gestapelt werde köe. Die -Koordiate des Gesamtschwerpuktes sm eies Teilstapels aus m Steie, welcher auf dem uterste Stei aufliegt, erhält ma uter Verwedug vo (6) ach:

4 m+ m+ 5 sm = + =. (7) 8 8 Der Grezfall ms = ist erreicht für m + 5 =, d. h. m =. 8 Das edeutet, der Stapel ist gerade och stail, we Steie auf dem uterste liege ud kippt, we ei Teilstapel aus Steie aufgelegt wird. Wird lose gestapelt, kippe eim Auflege des 5. Steies die oere um die Achse D. Eie adere Lösug für diese Fall wurde vo Frau Julia Homa vorgeschlage: Die Last der eizele Steie wird durch ihre jeweils im Schwerpukt F Gi agreifede Gewichtskraft eschriee. Der Stapel wird durch de uterste Stei gelagert. Als Auflager ehme wird de mögliche Kipp-Pukt D a, sozusage de Zustad größter Agst. Diese Aahme ist erechtigt, da scho ei sehr geriger Verkippug des oere Stapels D zu seiem eizige Auflagepukt wird. y F G F G D Bild. Stapel i Aufgae., wirkede Kräfte Der oere Stapel kippt icht, we er sich im statische Gleichgewicht efidet. Bei alleiiger Lagerug i D muss die Summe aller Drehmomete um D gleich Null werde. Dies ka folgedermaße formuliert werde: F D ( i) F = 0,. (8) G i = Daraus folgt ( i) = = 0. (9) i= i= i= i Mit () ud (6) ka geschriee werde + i = s = i = 8. (0) Aus (9) ud (0) ergit sich da ( ) + + = 0, d. h. 8 ( ) + + = 0. Ma erhält die quadratische Gleichug 8

5 5 + = 0, () dere Lösug = (8) erfüllt. Der Stapel efidet sich also ei Steie im Gleichgewicht. Sid es weiger Steie, git es ei resultieredes Momet, welches de oere Teilstapel auf die Uterlage drückt. Sid es mehr, führt das resultierede Drehmomet zum Kippe des oere Teilstapels um D. Der Stapel kippt also mit Sicherheit eim Auflege des 5. Steies. Awedug: Kragsteigewöle Scho i alte Kulture war es ekat, dass ma Böge durch loses Üereiaderstapel vo Steie errichte ka, ählich wie i der vorliegede Aufgae. Die sogeate Kragsteigewöle sid Vorläufer der echte Gewöle ud im Gegesatz zu diese vo geriger Tragfähigkeit. Ei weiteres typisches Kragsteigewöle sid die vo de Iuit i de arktische Regioe errichtete Iglus. Iteressate Details ka ma z. B. im Iteretleiko Wikipedia uter Boge (Architektur) achlese. Die Bilder zeige eiige Beispiele. Kragsteigewöle i der Rote Pyramide des Pharao Sofru i Dahschur/Ägypte [ Eigag zum Gra des Atreus, Mykee/ Griechelad [de.wikipedia.org/wiki/atreus] Iglu [ Bild. Beispiele für Kragsteigewöle Dass ma durch Auskragug sehr hohe Böge errichte ka, soll als Ergäzug gezeigt werde. Wir egie de Haloge (gedaklich) mit dem oerste Stei. y Bild. Stapel zur Errichtug eies hohe Kragsteigewöles

6 Desse Schwerpukt liegt i dem i der Zeichug verwedete Koordiatesystem ei =. A dieser Stelle wird der Stei durch die like Kate des utere, zweite Steis uterstützt. Da der Eizelschwerpukt des zweite Steis da ei = liegt, ergit sich der gemeisame Schwerpukt vo Stei ud ei s = + =. A diese Stelle wird wiederum die like Kate des dritte Steis gelegt usw. Der jeweils uterste Stei eies Teilstapels liegt demzufolge so, dass er de gemeisame Schwerpukt aller darüer liegede Steie gerade och (d. h. mit eier Kate) uterstützt. Nr. des Steis Koordiate des Eizelschwerpuktes vom Stei + = 5 + = 7 + = Schwerpuktskoordiate s des Stapels aus is Steie + = = = = 8 + s ( ) s + s + = s + = i i = Auf diese Art ud Weise ka ma sehr viele Steie üereiaderschichte. Daksagug Die Darstellug etstad uter wesetlicher Mitwirkug vo Frau Julia Hohma (Studeti des Bauigeieurweses). Außerdem dake ich meiem Kollege Herr Prof. Volker Christoph für wichtige Areguge.