Angewandte Multivariate Statistik Prof. Dr. Ostap Okhrin

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1 Angewandte Multivariate Statistik Angewandte Multivariate Statistik Prof. Dr. Ostap Okhrin Ostap Okhrin 1 of 58

2 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Korrespondenzanalyse Kategoriale Skalen Haltungen, Meinungen und demografische Charakteristiken, z. B. Geschlecht, Rasse, soziale Schicht öffentliche Gesundheit, Ökologie, Bildung, Marketing Qualitätskontrolle: Wie gut eine Fabrik aufgestellt ist, wie gut ein Produkt schmeckt oder wie einfach ein Arbeiter eine bestimmte Aufgabe findet. Ostap Okhrin 2 of 58

3 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Zweiweg-Kontingenztabelle Variable Z hat I Level Variable Y hat J Level Dies ergibt IJ Kombinationen von Z und Y Zähle die Rückmeldungen (Z, Y ) und stelle diese Information in einer rechteckigen Tabelle mit I Zeilen und J Spalten dar. In jeder Zelle ist die Anzahl der Subjekte mit der Kombination von Z und Y gegeben. Ostap Okhrin 3 of 58

4 Example X = Finanz Energie Hightech Frankfurt Berlin München multivariate Verteilung: π ij = P(Z = i, Y = j) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Z und i und gleichzeitig Y und j gleich sind. Randverteilung von Z: π i - Wahrscheinlichkeit, dass Z und i gleich sind. Randverteilung von Y : π j - Wahrscheinlichkeit, dass Y und j gleich sind.

5 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Unabhängigkeit Die Assoziation zwischen Z und Y ist durch ihre multivariate Verteilung gegeben: die cdtl-verteilung von Z für gegebenes Y oder die cdtl-verteilung von Y für gegebenes Z. Z und Y sind unabhängig, falls für alle i und j: π i j = π ij /π j = π i, π j i = π ji /π i = π j, or π ij = π i π j. π ij bezeichnet die unbekannten wahren Wahrscheinlichkeiten. Die relativen Häufigkeiten der Stichprobe werden durch p ij = x ij /x abgebildet, wobei x ij die absoluten Häufigkeiten und x die Stichprobengröße ist. Ostap Okhrin 5 of 58

6 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Unabhängigkeitsmaße Vergleiche die Rückmeldung zweier Zeilen (Wahrscheinlichkeit, dass Z = 1): 1. Differenz von Proportionen π 1i π 1h 2. Relatives Risiko π 1i /π 1h 3. Odds-Verhältnis (π 11 /π 12 )/(π 21 /π 22 ) Unabhängigkeit impliziert, dass die Differenz der Proportionen = 0, relatives Risiko = 1, und Odds-Verhältnis = 1. Ostap Okhrin 6 of 58

7 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Stichprobenverteilungen Die Tests sind oft, jedoch nicht immer, identisch für alle Arten von Stichproben. Poisson-Sampling (alles ist zufällig) Multinomial-Sampling (Gesamtzahl der beobachteten Subjekte ist fest) Unabhängiges Multinomial-Sampling (Anzahl der Subjekte ist fest für jede Zeile oder Spalte) Ostap Okhrin 7 of 58

8 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Maximum-Likelihood-Schätzungen Abhängig von der Stichprobenverteilung erhalten wir unterschiedliche Likelihood-Funktionen (Poisson- oder multinomiale Verteilungen). Die ML-Schätzung von π ij ist gegeben durch die relative Häufigkeit p ij = x ij /x. Unter Unabhängigkeit sind die ML-Schätzungen der Zellenwahrscheinlichkeiten gegeben durch ˆπ ij = p i p j = (x i x j )/x 2. Mit Algebra erhalten wir den Likelihood-Ratio Test für Unabhängigkeit. Ostap Okhrin 8 of 58

9 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Likelihood-Ratio Test für Unabhängigkeit Der Likelihood-Ratio Test für Unabhängigkeit ist identisch zu G = 2 log Λ = 2 log i x x j (x i x j ) x ij i j x x ij ij = 2 I i=1 j=1 J log(x ij /E ij ), E ij def = (x i x j )/x (1) Die Theorie ergibt, dass 2 log Λ unter Annahme der Nullhypothese eine asymptotische χ 2 -Verteilung mit (I 1)(J 1) Freiheitsgraden hat. Ostap Okhrin 9 of 58

10 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Pearson Chi-Quadrat Test Mit den Schätzern für die erwarteten Häufigkeiten E ij t = I J (x ij E ij ) 2 i=1 j=1 E ij. (2) Unter Annahme der Nullhypothese ist die Teststatistik eine χ 2 -Verteilung mit (I 1)(J 1) Freiheitsgraden. Ostap Okhrin 10 of 58

11 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Idee des Beweises: Nehme an, dass x ij unabhängige Poissongrößen sind. E [x ij ] = e ij. Die standardisierten z ij = (x ij e ij )/ e ij haben eine asymptotische N(0, 1), deshalb gehorcht z 2 ij einer asymptotischen χ 2 -Verteilung mit IJ 1 Freiheitsgraden. Man ersetze e ij durch ihre Schätzungen E ij. Dann erhält man die Pearson χ 2 -Statistik t, siehe (2), und verliert (I 1) + (J 1) Freiheitsgrade. Ostap Okhrin 11 of 58

12 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example (Augen-Haar-Beispiel) Das klassischste aller Beispiele. EYE/HAIR black brown red blond SUM d.brown l.brown green blue SUM Ostap Okhrin 12 of 58

13 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example Originaltabelle und -werte unter erwarteter Unabhängigkeit. [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] Ostap Okhrin 13 of 58

14 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example Beiträge zur Chi-Quadrat-Statistik und ihre Summe > (E - X) ^ 2 / E [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] > Chi2 [1] Pearson Chi-Quadrat t hat χ 2 (9) cdf kritischer Wert (α = 0.05) ist Ostap Okhrin 14 of 58

15 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example (Fahrzeugdaten) X 3 : Reparaturen 1978 (5 beste,..., 1 schlechteste) X 4 : Reparaturen 1977 X 13 : Unternehmenssitz (1 US, 2 Japan, 3 Europa) Fragestellung: Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Unternehmenssitzen und Reparaturen? Ostap Okhrin 15 of 58

16 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example > X3X4 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] > Chi2_X3X4 [1] Kritischer Wert ist (α = 0.05) Ostap Okhrin 16 of 58

17 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example > X3X13 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] > Chi2_X3X13 [1] Kritischer Wert ist (α = 0.05) Ostap Okhrin 17 of 58

18 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example > X4X13 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] > Chi2_X4X13 [1] Kritischer Wert ist (α = 0.05) Ostap Okhrin 18 of 58

19 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Korrespondenzanalyse Die Unabhängigkeitstests mit Kontingenztabellen liefern keine Informationen über die Struktur der Abhängigkeit der Daten in der Tabelle. Wir können feststellen, dass eine Abhängigkeit besteht, es ist jedoch unmöglich zu sagen, wie die Zeilenkategorien diejenigen der Spalten beeinflussen. Das Ziel der Korrespondenzanalyse ist es, Zusammenhänge (Assoziation) zwischen zwei diskreten Variablen durch die Bestimmung der Zeilen- und Spaltenindizes aus der Kontingenztabelle zu untersuchen. Ostap Okhrin 19 of 58

20 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example Die französischen Bachelordaten: Region (z.b. Ile-de-France) und Fächer (z.b. Philosophie) Frage: Ziehen Studierende in einigen Regionen bestimmte Fächer vor oder umgekehrt? Anteil der acht Fächer für die Lorraine-Region: A B C D E F G H Ostap Okhrin 20 of 58

21 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example Anteil der acht Fächer für alle Regionen. A B C D E F G H Lorraine scheint in den Fächern E, F, G über- und in den Fächern A, B, C, D unterrepräsentiert zu sein. Entwicklung eines Index für die Region, sodass die Über- und Unterrepräsentation mit einiger einzigen Zahl gemessen werden kann. Wie können wir die Regionen gewichten, sodass wir sehen können, in welchen Regionen welche Fächer präferiert werden? Ostap Okhrin 21 of 58

22 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example n Typen von Unternehmen und p Orte. Kontingenztabelle x 11 x 12 x 1p x 1 x 21 x 22 x 2p x x n1 x n2 x np x n x 1 x 2 x p x Ostap Okhrin 22 of 58

23 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example Nehme an, dass n = 3, p = 3 und X = Finanz Energie High-Tech Frankfurt Berlin München Ostap Okhrin 23 of 58

24 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Example Ortsindex: s j n i=1 r i x ij x j r = (r 1,..., r n ) mit dem (Unternehmens-)Gewichtsvektor Unternehmensindex: p mit dem (Orts-)Gewichtsvektor s = ( s1,..., s p r i sj j=1 x ij x i Finde gleichzeitig r = (r 1,..., r n ) und s = (s 1,..., s p ), sodass die Proximität (Abstand) zwischen r i und s j eine positive oder negative Assoziation zwischen der i ten Zeile und der j ten Spalte. ) Ostap Okhrin 24 of 58

25 Angewandte Multivariate Statistik Correspondence Analysis Motivation Zusammenfassung: Korresponzanalyse Das Ziel der Korrespondenzanalyse ist es, Indizes zu entwickeln, die Zusammenhänge zwischen den Variablen in einer Kontingenztabelle zeigen. Die gemeinsame Repräsentation dieser Indizes deckt Zusammenhänge zwischen den Variablen auf. Ostap Okhrin 25 of 58

26 χ 2 -Zerlegung χ 2 -Teststatistik für Unabhängigkeit in einer zweidimensionalen Kontigenztabelle n p t = (x ij E ij ) 2 /E ij i=1 j=1 wobei E ij (1) die erwartete Häufigkeit in Zelle (i, j) unter Unabhängigkeit ist: E ij = x i x j x Ostap Okhrin 26 of 58

27 Mit der Unabhängigkeitshypothese: t gehorcht χ 2 (n 1)(p 1) - Verteilung. Die Abweichung von der Unabhängigkeit kann mittels der Matrix C bestimmt werden, deren Elemente definiert sind durch Notation c ij = (x ij E ij )/E 1/2 ij (3) A = diag(x i ), B = diag(x j ) Die Randzeilen und -spalten-häufigkeiten sind a = A1 n, b = B1 n. C b = 0, C a = 0 Ostap Okhrin 27 of 58

28 Singulärwertzerlegung (SWZ) von C R = rank(c) min(n 1, p 1) Λ = diag(λ 1/2 1,..., λ 1/2 R ) λ j Erwartungswert von CC. c ij = C = ΓΛ. R k=1 λ 1/2 k γ ik δ jk tr(cc ) = R λ k = 1 i cij 2 = t. j SWZ zerlegt χ 2 -Wert und nicht die Totalvarianz. Ostap Okhrin 28 of 58

29 Erinnerung: Kapitel Zerlegung von Datenmatrizen durch Faktoren. Dualitätsrelationen: δ k = λ 1 2 k C γ k γ k = λ 1 2 k Cδ k Projektionen auf Zeilen und Spalten: Cδ k = λ k γ k C γ k = λ k δ k Folglich haben die Eigenvektoren δ k und γ k fast dieselben Eigenschaften wie die Indizes r k und s k, die wir erhalten möchten. Ostap Okhrin 29 of 58

30 Angenommen λ 1 ist vorherrschend, sodass c ij λ 1/2 1 γ i1 δ j1. Die Matrix der Abweichungen von der Unabhängigkeit kann durch ein Paar von Eigenvektoren beschrieben werden. Ähnlich wie in PCA oder kanonischer Korrelationsanalyse korrespondieren die Eigenwerte zur erklärten Varianz. Oft sind λ 1, λ 2 vorherrschend Anteil von χ 2, der durch γ 1, γ 2 und δ 1, δ 2 erklärt wird, ist groß. Ostap Okhrin 30 of 58

31 Definiere und beobachte r k = A 1/2 Cδ k s k = B 1/2 C γ k r k = 1 λk A 1/2 CB 1/2 s k s k = 1 λk B 1/2 C A 1/2 r k r k und s k werden Zeilen- bzw. Spaltenfaktor bezeichnet. Ostap Okhrin 31 of 58

32 Eigenschaften der Faktoren und r k = 1 x r k a = 0 s k = 1 x s k b = 0 Var(r k ) = λ k x = Var(s k ) λ k / i λ i ist der Anteil der Varianz, die durch Faktor k erklärt wird. C a (i, r k ) = x i r 2 ki /λ k ist der Beitrag von Zeile i zur Varianz von (Zeilen-)Faktor r k. Ostap Okhrin 32 of 58

33 Example In Belgien wurde eine Umfrage durchgeführt, um Menschen, die regelmäßig Zeitschriften lesen, zu erfassen. Die Antworten wurden bezüglich der Wohnregionen und der Sprache der Zeitschriften (Flämisch, Französisch oder beides) klassifiziert. Es gibt 10 Regionen: Antwerpen, Westflandern, Ostflandern, Hainant, Liège, Limburg, Luxemburg, Flämisch-Brabant, Wallon-Brabant, Brüssel. Die Sprache der Zeitschrift wird durch den ersten Buchstaben angegeben: v: Flämisch (Vlaams) f: Franzözisch (Francais) b: beide Insgesamt gibt es 15 Zeitschriften. Ostap Okhrin 33 of 58

34 λ j % Varianz kumuliert % Repräsentationen in zwei Dimensionen werden zufriedenstellend sein. (81 % der Varianz). Ostap Okhrin 34 of 58

35 C a (i, r 1 ) C a (i, r 2 ) C a (i, r 3 ) v a v b v c v d v e f f f g f h f Total Absoluter Beitrag des Zeilenfaktors r k Ostap Okhrin 35 of 58

36 C a (j, s 1 ) C a (j, s 2 ) C a (j, s 3 ) brw bxl anv brf foc for hai lig lim lux Total Absoluter Beitrag des Spaltenfaktors Ostap Okhrin 36 of 58

37 Example Die Tabelle zeigt beispielsweise die wichtige Rolle von Antwerpen und der Zeitschrift vb für die Bestimmung der Varianz beider Faktoren. Die erste Achse zeigt klar die Unterschiede zwischen den drei Teilen von Belgien, die zweite Achse zeigt eine höhere Dispersion zwischen den flämischen Regionen als in den französischsprachigen Regionen. Ostap Okhrin 37 of 58

38 Correspondence Analysis Journal Data 0.5 ve lim foc vc brf vd r 2, s 2 0 for va vm bj bl bk bxl ff fh hai fn fi brw fg lig fo lux -0.5 anv -1 vb r, s 1 1 Abbildung: Projektion der Zeilen (die 15 Zeitschriften) und der Spalten (die Regionen) Figure 14.1: Projection of rows (the 15 newspapers) and columns (the 10 regions) MVAcorrjourn C a (i, r 1 ) C a (i, r 2 ) C a (i, r 3 ) v a Ostap Okhrin 38 of 58

39 Example (Interpretation) Hohe Assoziation zwischen den Regionen und der Art der Zeitschrift. Insbesondere wird vb (Gazet of Antwerp) in Antwerpen gelesen (Extreme im Graph). Die Punkte auf der linken Seite gehören zu Flandern, während diejenigen auf der rechten Seite zur Wallonischen Region gehören. Es sei angemerkt, dass Wallon-Brabant und Flämisch-Brabant nicht weit von Brüssel entfernt sind. Brüssel ist zentral und eher durchschnittlich. Ostap Okhrin 39 of 58

40 Example Wende die Korrespondenz-Analyse auf französische Bachelordaten an. A: Philosophie, B: Ökonomie und soziale Wissenschaften, C: Mathematik und Physik, D: Mathematik und Naturwissenschaften, E: Mathematik und Technik, F: Industrietechnik, G: Ökonomietechnik, H: Computertechnik. Die Daten wurden in 22 Regionen (bezeichnet durch Codes aus 4 Buchstaben) erfasst. Es gibt Beobachtungen in einer 22 8 Kontingenztabelle. Die Analyse wurde zweimal (mit und ohne Korsika), da die Grafik andeutete, dass Korsika ein Ausreißer ist. Ostap Okhrin 40 of 58

41 Angewandte Multivariate Statistik lux Correspondence Analysis Dekomposition Total Table 14.3: Absolute contributions of column factors s k. Baccalaureat Data 0.5 cors r 2,s laro ildf B C pcha aqui A prov bnor payl midi D cham G frac pica cent auve bret rhoa limo hnor H nopc bour lorr E alsa F r 1,s 1 Abbildung: Korrespondenzanalyse mit Korsika Figure 14.2: Correspondence analysis including Corsica MVAcorrbac eigenvalues λ percentage of variances cumulated percentage Ostap Okhrin of 58

42 Correspondence Analysis Baccalaureat Data 0.1 alsaf nopc C 0.05 lorre bour H hnor limo rhoa bret ildf B r 2,s frac G auve cent pica cham D midi Aprov bnor payl laro aqui pcha r,s 1 1 Abbildung: Korrespondenzanalyse ohne Korsika Figure 14.3: Correspondence analysis excluding Corsica. MVAcorrbac eigenvalues λ percentage of variances cumulated percentage Ostap Okhrin of 58

43 Example Eigenwerte λ % Varianzen % kumulierte Varianz Eigenwerte mit Korsika. Ostap Okhrin 43 of 58

44 Example Eigenwerte λ % Varianzen % kumulierte Varianz Eigenwerte ohne Korsika. Ostap Okhrin 44 of 58

45 Example Region r 1 r 2 r 3 C a(i, r 1 ) C a(i, r 2 ) C a(i, r 3 ) ILDF CHAM PICA HNOR CENT BNOR BOUR NOPC LORR ALSA FRAC PAYL BRET PCHA AQUI MIDI LIMO RHOA AUVE LARO PROV Ostap Okhrin 45 of 58

46 Example s 1 s 2 s 3 C a (j, s 1 ) C a (j, s 2 ) C a (j, s 3 ) A B C D E F G H Ostap Okhrin 46 of 58

47 Example (Interpretation) Die Bachelors B auf der einen und F auf der anderen Seite sind hauptsächlich verantwortlich für die Variation auf der ersten Achse. Die zweite Achse charakterisiert einen Widerspruch zwischen Bachelors A und C. Bezüglich der Regionen spielt Ile de France eine wichtige Rolle für jede Achse. Auf der ersten Achse ist sie gegensinnig zu Lorraine und Alsace, während sie auf der zweiten Achse zu Poitou-Charentes und Aquitaine widersprüchlich ist. Rechts sind die klassischen Bachelors und links eher die technischorientierten. Die Regionen auf der linken Seite haben folglich größere Gewichte im Bereich der technischorientierten Bachelors. Ostap Okhrin 47 of 58

48 Example Bemerke weiterhin, dass der Großteil der südlichen Regionen von Frankreich im unteren Bereich der Grafik, in der Nähe zur Bachelor A, konzentriert sind. Schlussendlich wird die dritte Achse durch Bachelor D (negatives Vorzeichen) und ebenso, in einem geringeren Ausmaß, durch Bachelor E (negativ) (Im Gegensatz zu A (positiv)) dominiert. Die dominierenden Regionen sind HWOR (positiv) (im Gegensatz zu NPAC (negatives Vorzeichen)). Beispielsweise ist HWOR arm an Bachelorabschlüssen D. Ostap Okhrin 48 of 58

49 Example US-Kriminalitätsdaten: Für ein Jahr (1985) wurden die gemeldeten Kriminalitätsfälle in den 50 Bundesstaaten aufgezeichnet. 7 Kategorien wurden unterschieden: Mord, Vergewaltigung, Raub, Überfall, Einbruch, Diebstahl and Autodiebstahl. λ j % Varianz kumulierte % Varianz Ostap Okhrin 49 of 58

50 Table 14.8: Eigenvalues and explained proportion of variance, Example US Crime Data mur 0.4 MS NC ass AR AL r 2,s ND SD ID WY MT IA UT WI SCrap VW TN FL LA VT GA TXbur ME NMOK MI OR VA MD KS WA AZ KY MO lar CA NH CO DE NV NE IL PA AK INCT OH MN NJ HI NY rob -0.2 RI aut MA r,s 1 1 Abbildung: Projektion von Zeilen (50 Bundesstaaten) und Spalten (die 7 Figure 14.4: Projection of rows (the 50 states) and columns (the 7 crime categories). Kategorien) MVAcorrcrime Looking at the absolute contributions (not reproduced here, see Exercise 14.6), it appears that the first axis is robbery (+) versus larceny (-) and auto-theft (-) axis and that the second Ostap Okhrin 50 of 58

51 Example (Interpretation) Es scheint so, dass auf der ersten Achse Raub (+) den Diebstählen (-) und den Autodiebstähle (-) gegenübersteht. Der zweite Faktor vergleicht Überfälle (-) mit Autodiebstählen. Die dominierenden Regionen der ersten Achse sind die nordöstlichen Bundesstaaten MA (+) und NY (+), verglichen mit den westlichen Bundesstaaten WY (-) und ID (-). Auf der zweiten Achse besteht ein Widerspruch zwischen den nördlichen Bundesstaaten (MA (+) und RI (+)) zu den südlichen Bundesstaaten AL (-), MS (-) und AR (-). Ostap Okhrin 51 of 58

52 Example (Arten von Unternehmen) Erinnerung: Die Zeilen entsprechen den Finanz-, Energie, Hightech-Branchen und Spalten den Orte Frankfurt, Berlin und München Wir wollen die Zeilen- und Spaltenindizes, sodass s j n r i p j=1 s j x ij x i. i=1 r i x ij x j und Ostap Okhrin 52 of 58

53 Example Companies HiTech Munich Finance Frankfurt Berlin Energy Abbildung: Beispiele für die Arten von Unternehmen. Ostap Okhrin 53 of 58

54 Biplots Biplots ist eine niedrigdimensionale Darstellungsform für eine Datenmatrix X, wobei die Zeilen und Spalten durch Punkte repräsentiert werden. Beispiel (10 5) Datenmatrix X Finde 10 Zeilenpunkte q i R k, k < p, i = 1,..., 10 und 5 Spaltenpunkte t j R k, j = 1,..., 5, sodass die 50 Skalarprodukte zwischen den Zeilen- und Spaltenvektoren angenähert die 50 korrespondieren Elemente der Datenmatrix ergeben. x ij = q i + ε ij Was ist die Verbindung zwischen der Korrespondenzanalyse und Biplots? Ostap Okhrin 54 of 58

55 Wiederherstellungsformel Erinnerung: (3) und überprüfe x ij = E ij 1 + R k=1 λ 1 2 k γ ik δ jk xi x j x Daraus erhalten wir Unterschiede zwischen den Zeilenprofilen und durchschnittlichen Zeilenprofilen. ( xij x ) j = x i x R k=1 ( ) λ 1 2 x j k γ ik δ jk x i x Der entsprechende Ausdruck gilt ebenso für die Spaltenprofile. Ostap Okhrin 55 of 58

56 Falls λ 1 λ 2 λ 3... gilt, können die Summen durch K-Terme approximiert werden: ( xij x ) j = x i x ( xij x ) i = x j x K k=1 K k=1 ( x j λk x s kj ) r ki + ε ij ( x i λk x r ki ) s kj + ε ij. Dabei entsprechen ε ij und ε ij den Fehlertermen. Das zeigt die Unterschiede zwischen den Zeilenprofilen und den mittleren Profilen. Ostap Okhrin 56 of 58

57 Zusammenfassung: Korrespondenzanalyse Korrespondenzanalyse ist eine faktorielle Zerlegung von Kontigenztabellen. Die p-dimensionalen Individuen und die n-dimensionalen Variablen können durch deren Projektionen auf Räume mit geringerer Dimension grafisch repräsentiert werden. Die Korrespondenzanalyse liefert eine grafische Darstellung des Assoziationsmaßes c ij = (x ij E ij ) 2 /E ij. Ostap Okhrin 57 of 58

58 Zusammenfassung: Korrespondenzanalyse Die praktische Berechnung besteht aus einer spektralen Zerlegung von A 1 X B 1 X und B 1 X A 1 X, deren erste p Eigenvektoren identisch sind. Die grafische Darstellung ist der Plot von λ 1 r 1 vs. λ 2 r 2 und λ 1 s 1 vs. λ 2 s 2. Beide Plots können im selben Graph dargestellt werden, wobei die Orientierung der Eigenvektoren r i, s j berücksichtigt wird. Ostap Okhrin 58 of 58