Von TSURUSABURO TAKASU. \S 1. Einleitung. die. $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{3}dt^{2}$ (1] $\gamma_{4}=i\gamma_{\epsilon}$,

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1 die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE, WELCHE ALS EINE FASERB\"UNDELGEOMETRIE AUFGEFASST IST.*) Von TSURUSABURO TAKASU. (Eingegangen am 10. Juli, 1956) \S 1. Einleitung. Betreffs der speziellen Relativit\"atstheorie bleibt es heut-zu-tage bis auf ihre Laguerre-geometrische Auffassung des Verfassers, welche gleichzeitig ihre konkrete physikalische Auffassung ist, keine Frage wie die folgenden Betrachtungen sofort zeigen: $i$ ( ] emitiert ein Elektron ($x,y,$ ] ] die Energie $z$ $=(x^{\ell}$ $c$ in wie einfache Zeichnung sofort zeigt, $ds$ derart, dass Zeiteinheit, so ist, $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{3}dt^{2}$ (1] ist, der rein imagin\"are tangentielle Abstand zwischen den orientierten Kugelfl\"achen ( $x^{t},$ $ri$ und $(x^{i}+dx^{i}, r+dr$] mit $r=ct$, die die Energiefronten (genauer: Aktionsfunktionsfronten]** sind. Dann ist 16) $ds=\gamma_{1}dx^{1}+\gamma_{2}dx^{2}+\gamma_{3}dx^{3}-\gamma_{4}dr,$ $ ds =ds$, (2) $\gamma_{h}\gamma_{k}+\gamma_{k}\gamma_{h}=2\delta_{hk}$, ( $h,$ $k=1,2,3,5$], $\gamma_{4}=i\gamma_{\epsilon}$, (3] worin $\gamma_{1},$ $\gamma_{2},$ $\gamma_{3}$ $\gamma_{5}$ und Diracschen Matrizen sind.$*$) Die quadratische Form (1) ist die Grundform f\"ur die Laguerresche Geometrie mit der orientierten Kugel $(x^{i}, r]$ als Raumelement; (ii) Die Bewegungsgleichungen des freien Elektrons sind $\frac{d^{2}x^{\ell}}{ds^{\ell}}=0$, $\frac{d^{2}r}{ds^{z}}=0$, ($i=1,2,3$], (4] welche einen Drehkegel mit der Achse $\frac{d}{d}s^{x_{\overline{2}}^{\ell}}=02$ darstellen; $*)$ Diesc Abhandlung ist eine Einzelheitsdarstellung vom Auszug: T. Takasu 17) und gibt eine Berichtigung zu den Aufs\"atzen: T. Takasu 13). 14) und liefert die Standardmethode. $**]$ T. Takasu (1953). 5) Jan Wcyssenhoff 13) hat die Idce von Energiefrontekugel fur speziele Relativit\"atstheorie gehabt. Aber sein geometrisches Gesetz ist 3-dimensionalc Lieschc Geomctrie, welche 4-dimensionale M6biussche Geometrie ist. Betreffs der konformen Gcomctric siche 18), 19), 20) und 21). $*]$ Vgl. 22) und 23).

2 $-\frac{\partial X^{1}}{\partial r}-(\frac{\partial\alpha^{2}}{\partial x^{3}}-\frac{\partial^{3}\frac{\partial X^{\ell}}{\partial x^{i}\alpha]}}{\partial x^{l}}=\sigma^{1}usw=.\sigma,$ $ $ $\frac{\partial\alpha^{1}}{\partial r}-(\frac{\partial X^{2}}{\partial x^{3}}-\frac{\partial\frac{\partial\alpha^{\ell}}{x^{3\backslash }\partial x^{t})}}{\partial x^{\ell}}=0usw.=0,$ 120 T. TAKASU. (iii) die acht Maxwellschen Gleichungen (5] sind die acht Komponenten der einzigen hyperkomplexen Gleichung $4\frac{d^{2}\Phi}{dS^{g}}=J$, (6) worin $\phi^{\ell}=elektromagnetische$ Vektorpotentialc, ($i=1,2,3$], $-\phi =elektrostatisches$ Potential, $\sigma^{i}=elektrische$ Stromdichte, $\sigma=elektrische$ $X^{\ell}=$ Ladungsdichte, elektrische Feldstarke, $\alpha^{\ell}=magnetische$ Feldstarke, $\Phi\equiv\gamma_{\ell}\phi^{\ell}\underline{=}\gamma\phi-\gamma\phi^{\ell}$, ($l=1,2,3,4$], (7] $2\frac{d}{dS}=\gamma_{\ell}\frac{\partial}{\partial x^{\iota}}$, (8) $J\equiv\gamma_{\ell}\sigma^{l}\equiv\gamma_{4}\sigma-\gamma_{\ell}\sigma^{\ell}$ (9] ist; (iv) die Gleichung $4\frac{d^{2}\psi}{dS^{2}}=2_{\frac{d}{d}\psi_{\overline{S}}}=\gamma_{i}\frac{\partial\phi}{\partial x^{i}}=0$, ( $x^{4}=r$ ] (10] mit $\psi\equiv 2\frac{d\Phi}{dS}=\frac{\mathfrak{B}^{\lambda}}{\partial x^{\lambda}}-\gamma\gamma_{1}x^{1}-\cdot\cdot+\gamma_{2}\gamma_{3}\alpha^{1}+\cdots$ ist die lineare Wellengleichung, welche uns mit $p^{\ell}=\frac{h}{2\pi l}\frac{\partial}{\partial x^{\ell}}$, $p4=-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial}{\partial r}$ (12) zur Diracschen Gleichung ($\gamma_{\ell}(p^{\ell}+(e/c1\phi)-(p4+(e/c$ ] $\phi^{4}$] $+\gamma_{f}mae$} $\psi=0$ (13] f\"uhrt; $*$ ) (v) die Gleichung $\gamma_{k}\frac{\partial}{\partial x^{k}}(\gamma_{i}\frac{\partial}{\partial x^{l}}]\psi=0$ (14) $*)$ Eine hyperkomplexc Behandlung des gew6hn1ichcn Prozesses. Vgl. etwa G. Temple, An Introduction to Quantum Theory, S

3 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 121 ist die Wellengleichung zweiter Ordnung, welche uns zur schen Gleichung Schr\"odinger-Gordon {( $p^{\ell}+(efc$ ] $\phi^{i}$]( $p^{\iota}+(e/c$ $\phi$ ] ] $-tp+(e[c)p4]^{2}+m_{0/}^{21}c^{0}\cdot\psi=0$ (15) f\"uhrt. $*$ ) Betreffs der allgemeinen Relativitatstheorie sowie betreffs der einheitlichen Feldtheorie ist der Umstand ganz anders. Es ist bezweckt in dieser Abhandlung erstens \S 2. zu beweisen, dass die allgemeine Relativitatstheorie Einsteins keine echten $Beu\cdot egungsgleichungen$ furfreie Massenpartikeln liefert $da$ der Momentumvektor langs der geodatischen Linien nicht tangentiell parallel sein kann; zweitens \S 3. zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheone Einsteins 4) vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enthalt; und schliesslich \S 4. die echte allgemeine Relativitatstheorie zu liefern, welche eine physikalische Forderung ist und gleichzeitig die universale, naturliche und wesentliche einheitliche $Feld\ell heone$ von selbst bildet. Diese endg\"ultige Relativit\"atstheorie ist die vom Verfasser begr\"undete nicht-holonome Laguerresche Faserbiindelgeometrie zweiter Art, welche im drei-dimensionalen Cartesischen Raume durch Fibrierung mit (im allgemeinen) nicht-holonomen Aktionen und also durch eine fernparallelismische Torsionierung realisiert ist. Dabei sind die Raumelemente orientierte verallgemeinerte Kugeln, die die Energiefronten (genauer: die Aktionsfunktionsfronten) sind und deren Radien die Bahnen des betreffenden Fernparallelismus sind und ist die gesetzliche Dimension $4^{2}-({}_{4}C_{2}+4)+4=10d.h$. diejenige des betreffenden Faserb\"undels. 16) A. Einstein selber hat schon ge\"aussert: 2) Es ist daher denkbar, dass diese Theorie (Fernparallelismus!) die urspr\"ungliche Fassung der allgemeinen Relativit\"atstheorie verdrangen wird. (Er hat dabei eine einheitliche Feldtheorie bezweckt. Also ist sein Gesichtspunkt von meinem hiesigen verschieden.) Es sieht so aus, dass man nachher seine Auswahlsweise von elektromagnetischen Vektorpotentialen als bedenkliches angesehen hat. Aber die genannte Verdr\"angung findet hier statt, was f\"ur unsren hochstverehrenden Einstein mir grosses Leid tut.

4 ( 122 T. TAKASU. \S 2. Zu beweisen, dass der Momentumvektor l\"angs der geod\"atischen Linien im Raum-Zeit Einsteins nicht parallel sind. 1. Die geod\"atischen Linien lm Raum-Zeit Einsteins.{?}Es seien $\omega_{\mu}^{l},$ $l,$ $ m,\cdots$ ; $\lambda,$ $\mu,\cdots=1,2,3,4$] die kovarianten Komponenten eines Momentumvektors, welche durch $L:l$ ($x^{1},$ $x^{2},$ dung einer Partikel ] im drei-dimensionalen Cartesischen Raume $x^{3}$ mit Masse oder mit Elektrizit\"at oder mit beiden entsteht. Dann geht der Vektor $ds=\gamma_{i}dx^{l}=(\gamma_{\ell}\frac{dx^{i}}{d\ell}]dt$ (1.1) $de^{\neg}$ konstanten Momentums ins Folgende \"uber: $ds=\gamma_{\ell}\omega^{\ell}=\gamma_{l}\frac{\omega^{i}}{d\ell}dt$, ($\omega^{r}=\omega_{\mu}^{i}dx^{\mu}$], (1.2) wobei $\omega^{l}$ (im allgemeinen) nicht-holonomen Aktionskomponenten sind und die $x^{\lambda}$ von jetzt an beliebige kr\"ummlinige Koordinaten sein k\"onnen. Wie bei (1) haben wir so dass $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=-\omega^{l}\omega^{\ell}=-g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu},$ $ ds =ds$, (1.3) $g_{\mu\nu}\equiv g_{\underline{\mu\nu}}+g_{\mu\nu,\vee}$, $g_{\underline{\mu\nu}}=g_{\underline{v\mu}}$, $ g_{\mu\nu}=-g_{\nu\mu}\vee\vee$ (1.4] $g_{\mu\nu}=\omega_{\mu\nu\mu v\mu)}^{\iota_{\omega^{i}=\omega^{4}\omega^{4}-\omega^{\ell}\omega^{\ell}}},$, ($i=1,2,3$], (1.5) $g_{\mu v,v}=\gamma_{4}\gamma_{1}(\omega_{\mu}^{4}\omega_{\nu}^{1}-\omega_{\mu}^{1}\omega_{v}^{4}$] $+\cdots+\gamma_{2}\gamma_{3}(\omega_{\mu}^{2}\omega_{\nu}^{3}-\omega_{\mu}^{3}\omega_{\nu}^{2}$] $+\cdots$ (1.6) ist. Dabei ist $ds$ die Resultanteaktion. F\"ur die Lagrangeschen Funktion $L\equiv_{s^{l}}\frac{1}{2}\frac{\omega}{d}-\frac{\omega^{i}}{dS}$, (1.7] haben wir $\frac{1}{2}\delta S=\delta\int_{\dot{s}_{0}}s_{1}LdS=0$, (1.8) woraus folgt: $\frac{d}{ds}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{\lambda}}]-\frac{\partial L}{\partial q^{\lambda}}=0$, (1.9) worin $q^{\lambda}=x^{\lambda}$, $\dot{q}^{\lambda}=dx^{\lambda}/ds$ ist. (1.9) wird zu

5 sind $\frac{d^{2}x^{\sigma}}{ds-},$ $+\frac{1}{2}g^{\underline{\mu\sigma}}(\omega_{\mu}^{l}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\nu}}+\omega_{\mu}^{l}\frac{\partial\omega_{\nu}^{l}}{\partial x^{\lambda}}+\omega_{\nu}^{l}\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\lambda}}+\omega_{\lambda}^{\iota_{\partial x^{\nu}}^{\partial\omega_{\mu}^{l}}}$ $\omega_{\mu}^{l}\omega_{l}^{\lambda}=\delta_{\mu}^{\lambda}$ $-\omega_{v}^{l}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\omega_{\lambda}^{l}\frac{\partial\omega_{\nu}^{i}}{\partial x^{\mu}}]\frac{dx^{\lambda}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0$ $\ell\overline{\partial x^{\nu}}$ des entsprechenden $\mu\overline{\partial x^{\nu}}$ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 123 $0=\frac{d}{dS}(\frac{\omega^{l}}{dS}\omega_{\mu}^{l}]-\frac{\omega^{l}}{dS}\frac{\partial co_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}\frac{dx^{\lambda}}{ds}$ $=g_{\underline{\mu\lambda}}\frac{d- x^{\lambda}}{ds^{2}}+(\omega_{\mu}^{\iota}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{\prime}}{\partial x^{\nu}}+\omega_{\nu}^{l}\frac{\partial\omega_{\mu}^{\prime}}{\partial \mathfrak{r}^{\lambda}}-\omega_{\nu\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}]\frac{dx^{\lambda}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}}^{\ell}$, welche weiter zu d.h. zu $\frac{d^{2}x^{\lambda}}{ds^{2}}+\left\{\begin{array}{l}\lambda\\\underline{\mu\nu}\end{array}\right\}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0$ (1.10) wird, welche die geod\"atischen Linien darstellen. $\Omega_{\ell}^{\lambda}$ Die kontravarianten Komponenten durch Momentumvektors $\omega_{\lambda}^{l}$ werden $\omega_{\lambda}^{l}\omega_{m}^{\lambda}=\delta_{m}^{\ell}$ (1.11] definiert und gelten die folgenden Beziehungen: $g^{\underline{\mu\nu}}=\omega_{\ell l}^{\mu Qv}$, $\omega_{\nu}^{l}=g_{\underline{\mu\nu}}\omega_{\ell}^{\mu}$, $\Omega_{\ell}^{\lambda}=g^{\underline{\lambda\mu}}\omega_{\mu}^{l}$. (1.12] F\"uhrt man die Bezeichnung $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}\equiv\omega^{\sigma}\equiv-\omega^{\iota\partial\omega_{l}^{\sigma}}\partial\omega_{\mu}^{l}$ (1.13] ein, so lasst sich leicht beweisen: $\left\{\begin{array}{l}\sigma\\\underline{\mu\nu}\end{array}\right\}\lambda-=\frac{1}{2}(\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}+\bigwedge_{\gamma\mu}^{\sigma}]+g[g_{\mu\tau}(\bigwedge_{\lambda\nu}^{\tau}-\bigwedge_{\nu\lambda}^{\tau}]$ $+g_{\tau\nu}(\bigwedge_{\lambda\mu}^{\tau}-\bigwedge_{\mu\lambda}^{\tau}$]], (1.14) worin $\triangle\lambda\mu\nu=\left \begin{array}{lll}\omega_{\lambda}^{i} & \omega_{\mu}^{l} & \omega_{\nu}^{l}\\\frac{\partial}{\partial x^{\lambda}} & \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} & \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\\\omega_{\lambda}^{l} & \omega^{l} & \omega_{\nu}^{i}\end{array}\right $ (1.15) gesetzt ist. Die $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ bekanntlich die den $\omega_{\mu}^{l}$ Fernparallelismus-

6 ein und langs l\"angs l\"ang8 $g_{\underline{\mu\nu}}\omega_{l}^{\lambda}\omega_{\ell}^{\nu}=g_{\underline{\mu\nu}}g^{\underline{\lambda\nu}}=\delta_{\mu}^{\lambda}$ einen die 124 T. TAKASU. parameter 3) 2. $Da8S$ $\Omega_{l}^{\lambda}$ $\omega_{\mu}^{i}$ der Momentumvektor der Bahn des den Fernparallelismus parallel ist. Aus (1.13) folgt: entsprechenden $\frac{\partial\omega_{p}^{\sigma}}{\partial x^{v}}+\bigwedge_{\mu v}^{\sigma}\omega_{p}^{\mu}=0$, welche bedeutet, dass $\frac{d\omega_{p}^{\sigma}}{ds}+\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}\frac{dx^{\nu}}{ds}\omega_{p}^{\mu}=0$, (2.1) $d.h$. dass der Momentumvektor $\Omega_{\ell}^{\sigma}$ der Bahn $2_{\ell}^{\lambda}\frac{d\omega^{\ell}}{dSdS}\equiv\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dS^{2}}+\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}\frac{dx^{\mu}dx^{\nu}}{dSdS}=0$ (2.2) des Fernparallelismus $\wedge^{\lambda}$ $\mu\nu$ parallel ist. N. B. Man kann $-dx^{\lambda}\partial F^{=a^{\iota}\Omega_{\ell}^{\lambda}}$ ohne Schwierigkeit aus (7.2) herleiten. 3, $\Omega_{l}^{\lambda}$ Dass der Momentumvektor der geod\"atischen Linien im Raumzeit nicht parallel ist. Wie die aus (2.2] stammende Beziehung $\frac{d}{ds}\frac{\omega^{\ell}}{ds}=0$ d.h. die Beziehung $\frac{\omega^{l}}{ds}\underline{=}\omega_{\mu}^{l}\frac{dx^{\mu}}{ds}\equiv g_{\lambda\underline{\mu}}\omega_{\ell}^{\lambda}\frac{dx^{\mu}}{ds}=a^{\ell}$, ( ], (3.1) $a^{l}a^{l}\underline{=}1$ samt der Identitat $\Omega_{\ell}^{\lambda}$ $a^{\ell}$ zeigt, ist Einheitsvektor derart, dass die $\frac{dx^{\lambda}}{ds}$ von Richtungskosinus des Vektors darstellt. Daf\"ur, dass $\{_{\mu\nu}\sigma\rangle$ $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ l-komponente einer Art und denselben Parallelismus geben, nach Friesecke $ 1925I$ $\psi_{\nu}$ ist es notwendig und hinreichend, dass ein Vektor derart existiert, dass $f_{\mu\nu}^{\sigma}\}=\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}+2\delta_{\mu}^{\sigma}\psi_{\nu}$ (3.2) wird, so dass $g^{\underline{\sigma}\tau}\omega_{\nu}^{\ell(\frac{\partial\omega_{\tau}^{\ell}}{\partial x^{\mu}}-}\frac{\partial\omega_{\mu}^{\ell}}{\partial x^{\tau}}i+\frac{1}{2}g^{\underline{\sigma\tau}}\delta_{\tau\mu\nu}=2\delta_{\mu}^{\sigma}\psi_{\nu}$ (3.3)

7 langs $\frac{\partial\omega_{\sigma}^{\ell}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}=0$ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 125 sein muss. Dann m\"usste f\"ur $\sigma\neq\mu$ $g^{\underline{\sigma\tau}}\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\tau}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\tau}}]+\frac{1}{2}g^{\underline{\sigma\tau}}\delta_{\tau\mu\nu}=0$ (3.4) sein. ${\rm Im}$ Falle des Orthogonalsystems haben wir $ F-\neq 0(\sigma=\tau$ ]; $g^{\underline{\sigma\tau}}=0$ ( $\sigma\neq\tau$ ]. Dann wird (3.4) zu $\omega_{\nu}^{\iota}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}--\partial\partial\frac{\omega_{\mu}^{l}}{x^{\sigma}}]+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}=0$. $\mu$ nimmt $n-1$ Werte ( $\neq\sigma$ ] an. F\"ur $\mu=\sigma$ haben wir $\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}})+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}\equiv 0$. (3.5) Also haben wir $\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{i}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}]+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}=0,$ ($\mu,$ $\nu=1,2,$ $\cdots,$ $n$] (3.6] f\"ur einen bestimmten Wert (aus 1, 2, $\cdots$, $n$) von $\sigma$. Betrachten wir den besonderen Fall, dass $\nu\rightarrow\mu$ ist, dann wird (3.6) zu $\omega_{\mu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}]=0$ ($\sigma,$ $\mu=1,2,\cdots,$ $n$] f\"ur $\mu$ nicht summierend. Nun ist $ \omega_{\mu}^{\ell} \neq 0$. Also muss $\omega^{i}$ sein, was dann und nur dann der Fall ist, wenn die s\"amtlichen Pfaffianen exakt (holonom) sind, was ausgeschlossen ist. Daher k\"onnen wir schliessen: $im$ ist. $\Omega_{l}^{\lambda}$ Als der Momentumvektor der geodatischen Linien $im$ Raumzeit allgemeinen nicht parallel ist, er desto mehr dabei nicht tangentiell parallel Z. B. Die geod\"atischen Linien auf der Kugeloberfl\"ache sind die Grosskreise, w\"ahrend die Bahnen des Fernparallelismus die Loxodromen sind. 4. $Da8S$ die Bahn $de8$ Fernparallelismus die Bahn einer freien Partikel ist. Erstens erfordern die Gleichungen (2.1) und (2.2) dass die Bahn (2.2] dlejenige

8 }\prime,\vee}$ in 126 $t\gamma$. TAKASU. einer freien Partikel ist. Zweitens erfordert das Prinzip Hamiltons der kleinsten Aktionsfunktion: $\delta S=0$, welches nach (1.9) f\"ur $q =\int_{s_{0}}s\frac{cl)l}{ds}ds,\dot{q}^{\prime}=\frac{\omega^{\prime}}{ds}$ zu (3.1] wird, dass die Bahn (3.1) des Fernparallelismus diejenige einer freien Partikel ist. \S 3. Zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enth\"alt. 5. Zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins $\omega_{u}^{\iota}$ vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enthalt. Wenn die (1.5) rein gravitationell \mbox{\boldmath $\iota$}v\"aren, dann w\"aren $g_{v\mu}$ die ebenfalls rein gravitationell. Dann m\"ussten die $g_{\mu^{\backslash dass die $g_{\mu\nu,\forall}$ nach (1.6) auch rein gravitationell sein, entgegen die Vermutung Einsteins, elektromagnetisch seien. 6. Dass die allgemeine Relativit\"atstheorie Einsteins sowie die verallgemeinerte \S 4. Die echte Relativit\"atstheorie. Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 nicht die richtigen sind. Die Resultaten der Artikeln 2, 3 und 4 \"uberzeugen uns dass weder (i) die allgemeine Relativitatstheorie $Eiliste^{;}\ovalbox{\tt\small REJECT} ns$ noch (ii) die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 keine richtigen Theorien sind, trotzdem allgemeine Relativitatstheorie Einsteins durch drei wohl-bekannten Beobachtungsresultatcn (vgl. Art. 12) unterst\"utzt ist. Die beiden $\prime I^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}heorien$ sind blosse $\nwarrow^{7}erm\mathfrak{u}tungen$ Einsteins gewesen. In diesem \S m\"ochte ich die echte allgemeine Relativit itstheorie liefern, die durch dieselben Beobachtungsresultaten ebenfalls unterst\"uzt wird. indem ich physikalische Forderungen verfolge. Die theoretische Physik ist meistenteils reduzibel zur Behandlung von Partikeln. Physiker sind bis jetzt gewohnt unmittelbar die Partikeln selber zu behandeln. Wenn jedoch die Partikeln Ladungen haben, dann emitieren sie Energie in jeder Richtung. Dic Energiefronten (genauer: Aktionsfunktionsfronten) sind f\"ur die spezielle Belativit\"atstheorie gew\"ohnliche Kugelfl\"achen und f\"ur die allgemeine Relativit\"atstheorie verallgemeinerte Kugelflachen, deren Radien die Bahnen des den $\omega_{\mu}^{l}$ entsprechenden Fernparallelismus sind.

9 darstellen. ein als in die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 127 Der Verfasser hat gefunden, dass die drei-dimensionale nicht-holonome Laguerresche Faserb\"undelgeometrie zweiter Art 8) die physikalischen Ph\"anomenen nat\"urlicherweise ganz genau beschreibt, wenn man die Aktionsfunktionsfrontenkugelfi\"achen (im verallgemeinerten Sinne) als Raumelemente aufnimmt. 7. Die echte allgemeine Relativit\"atstheorie. Wenn eine Partikel im dreidimensionalen Cartesischen Raume ohne Ladung liegt, so lasst sich sie bloss als $x^{\ell},$ ein geometrischer Punkt ( $i=1,2,3$ Sobald sie jedoch Ladung erh\"alt, ; Cartesische Koordinaten) reprasentieren. emitiert sie eine Menge von Energie etwa mit den Komponenten $\omega^{i}/dt\equiv\omega_{\mu}^{i}dx^{\mu}/dt$ in Zeiteinheit, so dass die $\omega^{\ell}$ der Aktion sind. Es sei dabei das Bezugsystem $\omega^{l}$ wir (1.3): $ds^{2}=\omega^{l}\omega^{\ell}=g_{\underline{\mu}}\nu dx^{\mu}dx^{\nu}$, ( Komponenten Orthogonalsystem, so dass $l,$ $m,\cdots;\lambda,\mu,$ $\nu,\cdots=1,2,3,4$] (7.1) haben. Hierbei ist $ds$ die $Resultan\ell eaktlon$ Da die $\omega^{l}$ geschrieben sind, k\"onnen wir von jetzt an die $x^{\lambda}$ ansehen. invarianter Form kr\"ummlinige Koordinaten F\"ur (7.1) ziehen wir die Formeln (1.2], (1.3], (1.4], (1.5], (1.6], (1.11], (1.12], (1.13], (2.2), (3.1) und (3.2) in Betracht. Die Differentialgleichungen (3.1] haben die Losungen: welche die Bahn des Fernparallelismus $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ $\xi^{\ell}=\int^{s}\omega^{l}/ds\cdot ds=a^{l}s$, ( $a^{\iota}a^{l}=1$ ], (7.2] Diese Bahn wollen wir die II-geodatischen Linien nennen. Diejenige verallgemeinerten Kugeln, deren Radien II-geod\"atische Linien sind, wollen wir $II$ -geodatische Kugeln nennen. Die II-geod\"atischen Linien verhalten sich betreffs der Projizieren und Schneiden genau wie gerade Linien. \"Uberdies sind sie Lbsungen des Variationsproblems $\delta S=0$ des Artikels 4. Also k\"onnen wir ( $\xi^{\ell}$ ] als ein Analogon des Cartesischen Koordinatensystems ansehen. Dabei sind die Koordinatenachsen die ll-geodatischen Linien. Da $\omega^{l}$ parameterinvariant sind, k\"onnen wir die Koordinaten ( $\xi^{\iota}$ ] im Grossen zu sein annehmen. Das Gefas.; der physikalischen Phanomenen ist der ursprungliche Cartesische Raum, trotzdem die ursprunglichen Geraden als Folge der Ladung der Partikel in die II-geodatischen Linien ubergegangen sind. Der gesetzliche

10 durch. (also 128 T. TAKASU. Raum hat die Torsion $\bigwedge_{\mu^{\gamma}}^{\sigma}-\bigwedge_{\nu\mu}^{\sigma}$ $t$ als ${\rm Im}$ allgemeinsten erhalten. Falle enthalten die Funktionen $\omega_{\mu}^{l}$ auch $\Omega_{\iota}^{\lambda}$] die Zeit $\xi^{t}$ eine Ver\"anderliche, so dass das Koordinatensystem ( ] $im$ allgemeinen sich mit der Zeit bewegt. Aktionen ($\omega^{\iota}$] $\xi^{\ell}$ Die Raumelemente sind die II.geodatischen Kugeln ( ], welche durch $(\omega_{\mu}^{\ell}, fibriert sind. Die gesetzliche Dimension ist, wegen x^{\lambda}$] $6+4=10-$ dimensional. Unsre Relativitatstheorie ist eine 3-dimensionale nicht-holonome Laguerresche Faserbiindelgeometrie. Die Referenzgruppe der Faserbundel ist die Orthogonalgruppe fiir $\omega^{l}$, welche als Faser betrachtet, den Hauptfaserbiindel (principal fibre bundle) von der Dimension $4^{\ell}-(4C_{2}+4$ ] $+4=10$ uns liefert. Auch die Koordinatentransfornationen $\overline{x}^{\lambda}=x^{\overline{\lambda}}(x^{\mu}$] kommen in Betracht. Die Bedingung $R_{\mu\nu}=0$ Einsteins entspricht unsrem $R_{mn}=0$ (als Folge von $\xi^{\iota}$ $R_{mn}^{l}=0]$, weil die ( ] rechtwinklig sind. Die fundamentalen Voraussetzungen Einsteins sind von selbst befriedigt. Also sind die mystischen Terminologien Einsteins wie Raumzeit, Intervall, Relativit\"atstheorie sollen jetzt bzw. durch nicht-holonomer Laguerrescher Faserbiindelraum, Resultanteaktion nicht-holonome Physik ersetzt werden. und holonome Physik und Die \"Ubergangsweise von der Newtonschen Physik zur jetzigen ist jetzt ganz durchsichtlich geworden: $e\dot{t}ne$ glatte Fortsetzung ohne Sprunge! In den folgenden Artikeln m\"ochte ich einzelne Theorien und experimentelle Unterst\"uzungen genauer darstellen. $x^{\lambda}$ $\xi^{\ell}$ 8. Ausdr\"ucke von Wegen der Formeln (7.2) wird die Gleichung (2.2) zu: $\partial^{2}x^{\lambda}/(\partial\xi^{m}\partial\xi^{n}$] $+\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}(\partial x^{\mu}[\partial\xi^{m}](\partial x^{\nu}/\partial\xi^{n}$] $a^{m}a^{n}=0$. (8.1) Dieses System von Differentialgleichungen besitzen ein einziges System von L\"osungen $x^{\lambda}=x^{\lambda}(\xi^{\ell}$], welche ein System von Anfangsbedingungen: $\iota^{\mu}=p\mu$ ( $\xi^{\ell}=0$ ], (8.2] $\partial x^{\mu}/\partial\xi^{\ell}=p_{\ell}\mu$ ($\xi^{l}=0$] (8.3] vergn\"ugen, worin $p_{\mu}$ und $ p_{i}\mu$ wilk\"urliche Konstanten sind.

11 $\bigwedge_{\mu\tau}^{\lambda}=\frac{1}{3}[(\partial\overline{\wedge}_{\mu v}^{\lambda}/\partial x^{\tau}+\partial\overline{\wedge}_{\nu\tau}^{\lambda}/\partial x^{\mu}+\partial\overline{\wedge}_{\tau\mu}^{\lambda}/\partial x^{\nu}]$ Euklidischer $ $ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 129 Wir bestimmen die aufeinanderfolgenden Koeffizienten $H(p$ ] von der Potenzreihe $x^{\lambda}=p\lambda+\omega_{l}^{\lambda}(p_{\mu}$] $\xi^{\ell}-\frac{1}{2!}h_{lj}^{\lambda}(p\mu$ ] $\xi^{\ell}\xi^{j}-\frac{1}{3!}h_{fk}^{\lambda}(p\mu$] $\xi^{i}\xi^{f}\xi^{k}-\cdots$, (8.4] durch iterierte Differenzierungen von (8.1) und durch Benutzung der $Anfangs-$ bedingungen (8.2) und (8.3). Also haben wir wo $H_{J^{=\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\lambda}}}^{\lambda}\Omega_{\ell}^{\mu}\Omega_{f}^{\nu}$, (8.5) $\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\lambda}=\frac{1}{2}(\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}+\lambda_{\nu\mu}^{\lambda}$] $=\frac{1}{2}\omega_{\ell}^{\lambda}(\partial\omega_{\mu}^{\ell}[\partial x^{\nu}+a_{\omega_{\nu}^{l}}/\partial x^{\mu}],$ (8.6] und $H_{fk}^{\lambda}=\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda},\Omega^{\mu}\Omega_{j}^{\nu}\Omega_{k}^{r}$, (8.7) wo $-2(\overline{\wedge}_{\sigma\mu}^{\lambda}\overline{\wedge}_{\tau}^{\sigma}\overline{\wedge}_{\sigma\nu}^{\lambda}\overline{\wedge}_{\tau\mu}^{\sigma}\overline{\wedge}_{\sigma}^{\lambda},\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\sigma}]$, (8.8] usw. Die Jacobiane $ \Omega_{\ell}^{\lambda}(\mu$] $ $ von (8.4! ist von Null verschieden im Ursprung. Daher besitzt (8.4) die Umkehrungen, welche das Koordinatensystem ( $\xi^{\ell}$] eindeutigerweise definieren. 9. Nicht-holonome Laguerresche Geometrie. Als Folge der (7.2] ergibt sich die folgende Zuordnung: Riemannscher Raum $V_{4}$ $ $ Raum $E_{4}$ $II- geod\text{"\""{a}"} tischeli:\xi^{\ell}=\int\frac{nic\omega^{l}}{ds}ds=a^{\iota}\int ds$, Gerade $Linie:\xi^{l}=a^{\ell}S$, (9.1] $a^{\ell}a^{l}=1$. Nicht-holonome $ $ Cartcsische Koordinaten ( $\xi^{l}$]; $d\xi^{i}=\omega_{\mu}^{\ell}(x^{\lambda}]dx^{\mu}$. Gew6hn1iche Die folgende Zuordnung ist wohl bekannt:

12 Gerade $ $ 130 T. TAKASU. $(\xi^{\ell}),$ ( $\eta^{\ell}$]: $(\xi^{\ell}-\eta^{\ell})(\xi^{\ell}-\eta^{l}$]. Orientierte Ebene $ $ Minimalebene { $u_{\ell}$]; $u_{\ell}u_{l}\equiv 0$. Homozentrisches System. $ $ Linie. 4-dimensional im abstrakten Sinne. Also sind wir zur folgenden Zuordnung gef\"uhrt: $\ovalbox{\tt\small REJECT} Nicht- ho1onomerlagueroescherfaserb\{ihde1- Riemannscher Raum RaumL_{3} $ $V_{4}$ $(\xi^{l}], (\eta^{l}$]: ( ]( $\xi^{\ell}-\eta^{\ell}$]. (9.3] $\xi^{\ell}-\eta^{l}$ Homozentrisches System von orientierten $II$ -geodatischen Kugeln ( $\xi^{\iota}$]; $\xi^{\ell}=a^{\ell}s$. II-geod\"atische Kurve $4^{2}-(4C_{2}+4$ } $+4=1k$ $ $ 4- dimensional im abstrakten Sinne. Orientierte total-ii-geod\"atische$e$ verallgemeinerte $Ebenet$ $ Minimaltotal- II- geodatischeverallgemeinertehyperebene$ ( $u^{\ell}$]: $u_{\ell}\xi^{1}=0$, ( $uu_{\ell}=0$]. $\ovalbox{\tt\small REJECT}$

13 $\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}-\bigwedge_{\nu\mu}^{\lambda}\neq 0$ produziert. die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 131 Die Zuordnung zwischen der Laguerreschen Geometrie und der nichtholonomen Laguerreschen Faserb\"undelgeometrie ist jetzt naheliegend. Laguerreschen Koordinaten $\xi^{l}$ Ein Prinzip. Ersetzt man die Differcntiale $d\xi^{l}$ orientierter Kugel durch Pfaffianen $\omega^{l}$ der, so entsteht eine nicht-holonome Laguerresche Faserb\"undelgeometrie. Dabei wird die Fernparallelismustorsion Cartesische Raum. Das Gef\"ass der Raumelemente ist der urspr\"ungliche 10. Behandlung der Bewegungsgleichungen einer freien Partikel mittels der Polarkoordinaten. Wir haben schon gezeigt, dass die Bewegungsgleichungen einer freien Partikel diejenige einer II-geod\"atischen Linie (2.2) sind. Die L\"osungen sind durch (7.2) gegeben. Es seien $\rho,\theta$ und $\varphi$ Raume. Dann haben wir Polarkoordinaten im drei-dimensionalen Cartesischen $ ds^{2}=\gamma(\rho)dt^{2}-\{\overline{\gamma}(\rho$] $\rangle^{-1}d\rho^{2}-\rho^{2}d\theta^{2}-p^{2}\sin^{2}\theta d\varphi^{2}$. (10.1] Der Ausdruck (10.1) l\"asst sich stets in der Gestalt $ds_{1}^{2}=\gamma_{1}(\rho\iota)dt^{2}-d\rho_{1}^{2}-p_{1}^{2}d\theta^{2}-\rho_{1}^{2}$ sin2 $\theta d\varphi^{2}$ (10.2) umschreiben. In der Tat l\"asst sich die (10.1) folgendermassen umschreiben: $\overline{\gamma}f.ds^{a}=\gamma\overline{\gamma}f.d\ell^{2}-fd\rho^{l}-\overline{\gamma}f\rho^{2}d\theta^{2}-\overline{\gamma}f\rho^{2}\sin^{2}\theta d\varphi^{2}$. (10.3) Wir suchen die $ f=f(\rho$] derart nach, dass $\overline{\sqrt f}dp=dp_{1},$ $\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}\rho=p_{1}$ (10.4) wird. Aus (10.4) folgt $d\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}$. $p+\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}$. $dp=dp_{1}=\sqrt{}\overline{fd}p$ $d.h$. $d\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}/dp=\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}(1[\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}}-1][p$, (10.5) dessen Integral $f=(1[p^{2}\overline{\gamma}](\int\sqrt f-dp+c]^{2}$ (10.6) $\bullet$ ergibt. Aus (10.4) und (10.6) folgt: $\rho_{1}=\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f.}p=j\sqrt{}\overline{f}dp+c$. Setzt man nun $\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}ds=p^{-1}(j\sqrt{}\overline{f}d\rho+c$] $ds=ds_{1}$, (10.8]

14 $\bullet$ 132 T. TAKASU. $\gamma_{1}=\gamma\overline{\gamma}f=(\gamma/p^{2}$](, $\int\sqrt{f}d\rho+c]^{2}=\gamma\rho_{1}^{2}/p^{2}$ (10.9) dann wird (10.3] zu (10.2). 11. Der Fall einer Bewegung in einer Ebene. I. F\"ur eine Bewegung in $\theta=\frac{\pi}{2}$ der Ebene wird $ds^{2}=\gamma(p]dt^{2}-d\rho^{2}-\rho^{2}d\varphi^{2}$. (10.2] zu: Die Bewegungsgleichungen sind: woraus weiter $\sqrt{}\overline{\gamma}dt=a^{4}ds$, $d\rho=a^{1}ds$, $\rho d\varphi=ads,$ (( $a^{4}]^{2}-(a^{1}]^{2}-(a]^{2}=1$ ], $ d\rho:p=hd\varphi$, $dt=kdp:\sqrt{}\overline{\gamma(p]}$ folgt, worin und Konstanten sind. Die Bahn ist die logarithmische $h$ $k$ $S\mu rale$ (Loxodrome); $\rho=\exp h(\varphi-\varphi_{0}$ ]. (11.2) II. Die Bewegungsgleichungen f\"ur (10.1) sind: mit ( $1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}}$] $\rho=a^{1}ds$, $\mu\theta=a^{2}ds$, $p$ sin $\theta d\varphi=a^{8}ds$, $dr=\sqrt{}\overline{\gamma}dt=a^{4}ds$ (11.3] $1=(a]^{2}-(a^{1}]^{2}-(a^{2}]^{2}-(a^{\theta}]^{2}$. (11.4] F\"ur die ebene Bewegung $\theta=\pi/2$, erhalten wir ( $a^{2}=0$ ]; $pd\varphi=a^{3}ds=(a^{3}/a^{4}]\sqrt{}\overline{\gamma}dt$, $(1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}]}dp=a^{1}dS$, woraus folgt; ($du[d\varphi]^{8}-\overline{\gamma}u^{2}[h^{2}=0, (u=1/\rho]$, (11.5) wo $a^{3}/a^{1}=h$ ist. Daraus folgt: $J(1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}(u}$]] $du=\pm(\varphi-\varphi_{0}$ ]$/h$, (11.6) welche ein Bild von (11.2] ist. Differenziert man (11.5) noch einmal und den Faktor $ du/d\varphi$ beseitigt, so erh\"alt man $d^{2}u/d\varphi^{2}+u=u+(1/h^{2}$]{( $u^{2}/2$ ] $d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u$] $/h^{2}$. (11.7) 12. Der Fall einer planetarischen Bewegung. I. Jetzt m\"ochte ich die Funktion $\overline{\gamma}(p$] in (11.6) so bestimmen, dass (11.7) zu

15 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 133 $d^{2}u\prime d\varphi^{2}+u=m/h^{2}+3mu^{2}$ (12.1) wird. Dazu haben wir $u+\{(u^{2}/2$] $d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u$ ]$/h^{2}=m/h^{2}+3mu^{2}$ (12.2) zu setzen, welches ins $d\overline{\gamma}/du+p\overline{x}=q$ (12.3] \"ubergeht, worin ist. Das Integral von (12.3) ist welche $unab\mathcal{m}ng\dot{\iota}g$ N. B. (i) Newton: $\sqrt{}\overline{\gamma}(\rho$] $P\equiv 2/u$, $Q\equiv h^{2}(6m-2/u+2m/h^{2}u^{2}$] (12.4] $-\overline{\gamma}=h^{2}(1-2mu-2m/h^{2}u]+c/u^{2}, (C=konst.$], (12.5] von der Wahl von der stetigen Funktion $\gamma(\rho$] (iii) Einstein : $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho)}=\sqrt{}(1-\frac{\overline $=\frac{m}{\rho}$. (ii) $\dot{\iota}s\ell$.. (iv) Yukawa: m}{\rho}]$ Coulomb:. $\sqrt{}\overline{\gamma(p}$] $=\frac{e}{p}$ $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho]}=e^{-\frac{m}{\rho}}$. Dte Bewegungsgleichung (12.1) ist diejenige, welche von den drei 14) 27) wohlbekannten Beobachtungsdaten unterstutzt ist. Vergleicht man die Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u]=mu^{2}+3mu^{4}$, (12.6) welche aus (12.1) folgt, mit der allgemeinen Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi_{l}}+u]=f(u$] (12.7) f\"ur die allgemeine Zenralkraft $F(u$], so haben wir $F(u)=mu^{2}+3mu^{4}$, (12.8) so dass das entsprechende Potential etwa sein soll, und also wir 7 $(\rho$] $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho]}=1-mu-mu^{3}$ $=(1-mu-mu^{3}]^{2}, (u=1/r$] (12.9) haben. Erfordert man das zweite Gesetz Newtons: $\rho^{2}d\varphi/d\ell=(a^{8}/a^{4}$] $p\sqrt{}\overline{\gamma}=h$, (12.10)

16 134 T. TAKASU. so folgt $\sqrt{}\overline{\gamma}=h(a^{4}[a^{3})[\rho=(a^{4}[a^{1})\prime p$, (12.11) welches nichts anders als das Gesetz Newtons ist. (11.7) zu II. Zweitens m\"ochte ich die Funktion $\overline{\gamma}(p$] in (11.6) so bestimmen, dass $d^{2}u/d\varphi^{2}+u=\frac{m}{h^{2}}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$ (12.12) wird. 24) Dazu haben wir $u+((u^{2}[2]d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u\}/h^{2}=\frac{n}{h^{2}}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$ (12.13] zu setzen, welches ins $d\overline{\gamma}/du+p\overline{\gamma}=q$ (12.14) \"ubergeht, worin $P\equiv 2[u, Q\cong\frac{2m}{u^{2}}(2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}]-\frac{2h^{2}}{u}$ (12.15] ist. Das Integral von (12.14) ist $\overline{\gamma}^{-s^{pax}\uparrow Pdx}=e\{\int e Qdx+C\}$, worin $d.h$. $e^{\int Plx}=u^{2}$, $\overline{\gamma}=\frac{1}{u^{2}}(\int\{4me^{4(mu+c)}-2me^{2(mu+c)}-2h^{2}u\}du+c)$, $\overline{\gamma}=_{u^{2}}^{1}\left\{-e & 4(n*u+c) & -e & 2(mu+c)\right\}-h^{2}+\frac{C}{u^{2}}$ $=-h^{2}+\frac{1}{\ell^{2}}\{2(mu+c]+6(mu+c]^{2}+\frac{28}{3}(mu+c]^{3}+\cdots$. $+\frac{4^{r}-2^{r}}{r!}(mu+c]^{r}+\cdots\cdot+c\}$. (12.16) Vergleicht man die Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u]=mu^{2}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$, (12.17)

17 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 135 welches aus (12.12) folgt mit der allgemeinen Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi}+u]=f(ui$ so haben weir $F(u$] $=mu^{2}\{2e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}\}$, ( $12.I9$] so dass $F(u$] $=mu^{2}\lfloor 1+6(mu+c)+14(mu+c]^{2}+20(mu+c]^{S}+\cdots\cdot$ ]. (12.20) Durch Integration von ( $12.12 $ erhalten wir $h^{2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}$ (12.21] Das Integral von (12.17) ist: $h^{2}((\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}$ (12.22] $\varphi=\int\frac{hdu}{\sqrt{}\overline{e^{4(n\cdot u+c)}-e^{2(mu+c\rangle}-h^{z}u^{z}}}$. (12.23) Also befindet sich die G. D. Birkhoffsche Bahn 24) der Planeten unter den geodatischen Linien zweiter Art. Auch die drei folgenden Resultaten unsrer Theorie sind durch Beobachtungsresultaten 14). 27) unterstutzt. (i) Der Fortschritt des Perihelions des Planets. Da f\"ur Planeten die Gr\"osse $mu+c$ sehr klein ist, aus (12.22) erhalten wir: $h^{2}((\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=2\{(mu+c$] $+3(mu+c]^{2}$], (12.24] dessen Integral $2\pi+\epsilon=2\int d\varphi=\int_{u_{0}}u_{1}\frac{2hdu}{2((mu+c]+3(mu+c]\rangle-h^{2}u}$ (12.25) ist, $u_{0}$ worin und $u_{1}$ bzw. das Minimum und das Maximum vou sind. Der $u$ genaue Wert vom Integral ist $\frac{2\pi h}{\sqrt{}\overline{h^{2}-6m^{2}}}=2(1+\frac{3m^{2}}{h^{2}}+\cdots\cdot\cdot]$, so dass wir $\epsilon=\frac{3m^{2}}{h^{2}}$

18 136 T. TAKASU. haben. Nun ist die Beziehung $h^{2}=ma(1-e^{2}]=mb^{2}/a$ ffir Ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ von der Exentrizitat $e$ wohl bekannt. Daher ist $\epsilon=\frac{3m^{2}}{h^{2}}=\frac{3m}{a(1-e^{2}]}$. (12.26] Dieser Wert Einsteins ist durch Beobachtungsresultaten unterst\"utzt. (Cf. 24), 25), 26)). (ii) Die Lichtsrefraktion. F\"ur Lichtsgeschwindigkeit haben wir $ds=0$, so dass nach ( $1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}]}d\rho=a^{1}dS$ wir $\overline{\gamma}-\infty$ $ mu+c\rightarrow\infty$ und also nach (12.24) es $ haben. Alsdann nach (12.16) ersehen wir dass h\rightarrow\infty$ wird. F\"uhren wir $h^{*}$ so wird (12.21) zu: derart ein, dass $h=h^{*}e^{2m}$, $h^{*2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{mu}-e^{-2c}$. (12.27) F\"ur $ c-\infty$, geht (12.27) in $h^{*2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4nu}$ (12.28) \"uber. Dies ist die Bewegungsgleichung des Photons. Das Integral von (12.28) ist $2\pi+\epsilon-\neg\int^{\frac{1}{p}}\frac{h^{*}du}{\sqrt{e^{4mu}-h^{*2}u}2}$, (12.29) worin den Perihelionsabstand darstellt und $p$ $e$ ${\rm Im}$ Radiusvektors. Perihelion haben wir die winklige Abweichung des $\frac{du}{d\varphi}=0$, $h^{*2}=e^{\frac{4m}{p}2}p$. (12.30) Nach (12.30) wird (12.29) zu $2\pi+\epsilon=2\int_{0}\frac{1dv}{\sqrt{e^{4m(v-1)/p}-v}2}$, (12.31) wo $u=v/p$ gesetzt ist.

19 der DJE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVITATSTHEORIE USW. 137 ${\rm Im}$ Falle cer Sonne sind $m$ und $ m/\rho$ so klein, dass wir den Integrand folgendermassen entwickeln k\"onnen: $2\pi+\epsilon=2\int^{1}\frac{dv}{\sqrt{}\frac{}{1-v^{2}-4(1-v][p}}$ $=2[\sin^{-1}\frac{\frac{2m}{p}}{1-\frac{2m}{p}}]_{0}^{1}$ $=2\mathfrak{c}_{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}}\overline{1-}\frac{p}{\frac 2m,p}]\frac{2m}{}$ $=\pi+2\sin^{-1}\frac{2m}{p}$, $\epsilon=\frac{4m}{p}(mod \pi)$, (12.32) welches mit dem Ergebnis Einsteins \"ubereinstimmt. ( $\ddagger ii$] Verschiebung der Linien Fraunhofers. Da die Partikel in der Ruhe ist, haben wir $d\rho=0,$ $d\theta=0$, $d\varphi=0$ in (11.3), so dass Bezeichnet man die der $\sqrt{}\overline{\gamma}dt=ds$, $\gamma=1-\frac{2m}{\rho}$. (12.32) Sonne $ $ Erde betreffenden Gr\"ossen mit $ $ $e$, so erh\"alt man $\frac{\lambda}{\lambda_{e}}=\frac{\nu_{l}}{\nu_{l}}=\frac{\delta t_{l}}{\delta\ell_{\ell}}=(1-\frac{m}{p_{l}}]:(1-\frac{m}{p^{l}}]$. Da $m_{e}/p_{e}$ im Vergleich mit 1 sehr klein ist, ist $\frac{\lambda_{l}}{\lambda_{e}}=(1-\frac{m}{p}]^{-1}=1+\frac{m_{l}}{\rho_{l}}$, wo $p_{\iota}$ Radius der Sonne ist. Also haben wir

20 $\frac{\partial}{\omega^{\ell}}=\omega_{l}^{v}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}$. 138 T. TAKASU. $\frac{\lambda_{\epsilon}-\lambda_{e}}{\lambda}=\frac{\delta\lambda}{\lambda}=\frac{m}{\rho}=\frac{1.46}{997000}= $. Betrachtet man einen Stem anderes als die Sonne, und sieht man $m$. und $\rho$. also die Einheiten bzw. von der Masse und von dem Radius des Sterns, so erhalt man $\frac{\delta\lambda}{\lambda}= \times\frac{m}{\rho}=0.634$ km $x\frac{m}{\rho}$, der Doppler Effekt betrachtet seiend. Dieses Resultat ist durch die bekannten Beobachtungen unterst\"utzt. 13. Verallgemeinerte Maxwellsche Gleichungen. Vor allem verallgemeinern $\partial/\partial\xi^{\ell}$ wir den Operatoren der partiellen Ableitungen folgendermassen: Dann wird (13.1] $2\frac{d}{dS}=\gamma_{l}\frac{\partial}{\omega^{\ell}}$, (13.2] so dass analog zum Falle der komplexen Geschwindigkeit die Beziehung $2d(\phi+i\psi]/d(x+iy]=(\varphi_{x}+\psi,]-i(\varphi_{y}-\psi_{x})=u-iv$ $ 2d\Phi/dS=\partial\phi^{\ell}/\omega^{l}+\gamma_{1}\gamma(-\mathfrak{U}4[\omega^{1}-\Phi^{1}/\omega^{4}]+\cdots$ $+\gamma_{2}\gamma_{\$}(\infty^{3}/\omega^{2}-\infty^{2}[\omega^{s}]+\cdots\cdot\cdot$ folgt. $=\phi^{i}/\omega^{\prime}-\gamma_{4}\gamma_{1}x^{1}-\cdots+\gamma_{2}\gamma_{8}\alpha^{1}+\cdots\cdots$. (13.3] Setzt man die zur gew\"ohnlichen Bedingung analoge Bedingung $\partial\phi^{\prime}/\omega^{\ell}=0$ (13.4] voraus, so erh\"alt man genau wie bei (6): $4d^{f}\Phi/dS^{2}=J-\gamma_{l}\sigma^{i}$ $=\gamma_{4}(\frac{\partial X^{1}}{\omega^{1}}+\frac{\partial X^{2}}{\omega^{2}}+\frac{\partial X^{3}}{\omega^{S}}]+\gamma_{2}\gamma_{8}\gamma_{4}(\frac{\partial\alpha^{1}}{\omega^{4}}+\frac{\partial X^{s}}{\omega^{2}}-\frac{\partial X^{2}}{\omega^{S}}]+\cdots$ $+\gamma_{1}(\frac{\partial\alpha^{2}}{\omega}-\frac{\partial\alpha^{s}}{\omega^{2}}+\frac{\partial X^{1}}{\omega^{4}}]*\cdots\cdot$. $+\gamma_{1}\gamma_{2}\gamma (\frac{a\alpha^{1}}{\omega^{1}}+\frac{\partial a }{\omega^{f}}+\frac{a\alpha^{8}}{\omega^{8}}]$. (13.5)