Von TSURUSABURO TAKASU. \S 1. Einleitung. die. $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{3}dt^{2}$ (1] $\gamma_{4}=i\gamma_{\epsilon}$,

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Von TSURUSABURO TAKASU. \S 1. Einleitung. die. $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{3}dt^{2}$ (1] $\gamma_{4}=i\gamma_{\epsilon}$,"

Transkript

1 die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE, WELCHE ALS EINE FASERB\"UNDELGEOMETRIE AUFGEFASST IST.*) Von TSURUSABURO TAKASU. (Eingegangen am 10. Juli, 1956) \S 1. Einleitung. Betreffs der speziellen Relativit\"atstheorie bleibt es heut-zu-tage bis auf ihre Laguerre-geometrische Auffassung des Verfassers, welche gleichzeitig ihre konkrete physikalische Auffassung ist, keine Frage wie die folgenden Betrachtungen sofort zeigen: $i$ ( ] emitiert ein Elektron ($x,y,$ ] ] die Energie $z$ $=(x^{\ell}$ $c$ in wie einfache Zeichnung sofort zeigt, $ds$ derart, dass Zeiteinheit, so ist, $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{3}dt^{2}$ (1] ist, der rein imagin\"are tangentielle Abstand zwischen den orientierten Kugelfl\"achen ( $x^{t},$ $ri$ und $(x^{i}+dx^{i}, r+dr$] mit $r=ct$, die die Energiefronten (genauer: Aktionsfunktionsfronten]** sind. Dann ist 16) $ds=\gamma_{1}dx^{1}+\gamma_{2}dx^{2}+\gamma_{3}dx^{3}-\gamma_{4}dr,$ $ ds =ds$, (2) $\gamma_{h}\gamma_{k}+\gamma_{k}\gamma_{h}=2\delta_{hk}$, ( $h,$ $k=1,2,3,5$], $\gamma_{4}=i\gamma_{\epsilon}$, (3] worin $\gamma_{1},$ $\gamma_{2},$ $\gamma_{3}$ $\gamma_{5}$ und Diracschen Matrizen sind.$*$) Die quadratische Form (1) ist die Grundform f\"ur die Laguerresche Geometrie mit der orientierten Kugel $(x^{i}, r]$ als Raumelement; (ii) Die Bewegungsgleichungen des freien Elektrons sind $\frac{d^{2}x^{\ell}}{ds^{\ell}}=0$, $\frac{d^{2}r}{ds^{z}}=0$, ($i=1,2,3$], (4] welche einen Drehkegel mit der Achse $\frac{d}{d}s^{x_{\overline{2}}^{\ell}}=02$ darstellen; $*)$ Diesc Abhandlung ist eine Einzelheitsdarstellung vom Auszug: T. Takasu 17) und gibt eine Berichtigung zu den Aufs\"atzen: T. Takasu 13). 14) und liefert die Standardmethode. $**]$ T. Takasu (1953). 5) Jan Wcyssenhoff 13) hat die Idce von Energiefrontekugel fur speziele Relativit\"atstheorie gehabt. Aber sein geometrisches Gesetz ist 3-dimensionalc Lieschc Geomctrie, welche 4-dimensionale M6biussche Geometrie ist. Betreffs der konformen Gcomctric siche 18), 19), 20) und 21). $*]$ Vgl. 22) und 23).

2 $-\frac{\partial X^{1}}{\partial r}-(\frac{\partial\alpha^{2}}{\partial x^{3}}-\frac{\partial^{3}\frac{\partial X^{\ell}}{\partial x^{i}\alpha]}}{\partial x^{l}}=\sigma^{1}usw=.\sigma,$ $ $ $\frac{\partial\alpha^{1}}{\partial r}-(\frac{\partial X^{2}}{\partial x^{3}}-\frac{\partial\frac{\partial\alpha^{\ell}}{x^{3\backslash }\partial x^{t})}}{\partial x^{\ell}}=0usw.=0,$ 120 T. TAKASU. (iii) die acht Maxwellschen Gleichungen (5] sind die acht Komponenten der einzigen hyperkomplexen Gleichung $4\frac{d^{2}\Phi}{dS^{g}}=J$, (6) worin $\phi^{\ell}=elektromagnetische$ Vektorpotentialc, ($i=1,2,3$], $-\phi =elektrostatisches$ Potential, $\sigma^{i}=elektrische$ Stromdichte, $\sigma=elektrische$ $X^{\ell}=$ Ladungsdichte, elektrische Feldstarke, $\alpha^{\ell}=magnetische$ Feldstarke, $\Phi\equiv\gamma_{\ell}\phi^{\ell}\underline{=}\gamma\phi-\gamma\phi^{\ell}$, ($l=1,2,3,4$], (7] $2\frac{d}{dS}=\gamma_{\ell}\frac{\partial}{\partial x^{\iota}}$, (8) $J\equiv\gamma_{\ell}\sigma^{l}\equiv\gamma_{4}\sigma-\gamma_{\ell}\sigma^{\ell}$ (9] ist; (iv) die Gleichung $4\frac{d^{2}\psi}{dS^{2}}=2_{\frac{d}{d}\psi_{\overline{S}}}=\gamma_{i}\frac{\partial\phi}{\partial x^{i}}=0$, ( $x^{4}=r$ ] (10] mit $\psi\equiv 2\frac{d\Phi}{dS}=\frac{\mathfrak{B}^{\lambda}}{\partial x^{\lambda}}-\gamma\gamma_{1}x^{1}-\cdot\cdot+\gamma_{2}\gamma_{3}\alpha^{1}+\cdots$ ist die lineare Wellengleichung, welche uns mit $p^{\ell}=\frac{h}{2\pi l}\frac{\partial}{\partial x^{\ell}}$, $p4=-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial}{\partial r}$ (12) zur Diracschen Gleichung ($\gamma_{\ell}(p^{\ell}+(e/c1\phi)-(p4+(e/c$ ] $\phi^{4}$] $+\gamma_{f}mae$} $\psi=0$ (13] f\"uhrt; $*$ ) (v) die Gleichung $\gamma_{k}\frac{\partial}{\partial x^{k}}(\gamma_{i}\frac{\partial}{\partial x^{l}}]\psi=0$ (14) $*)$ Eine hyperkomplexc Behandlung des gew6hn1ichcn Prozesses. Vgl. etwa G. Temple, An Introduction to Quantum Theory, S

3 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 121 ist die Wellengleichung zweiter Ordnung, welche uns zur schen Gleichung Schr\"odinger-Gordon {( $p^{\ell}+(efc$ ] $\phi^{i}$]( $p^{\iota}+(e/c$ $\phi$ ] ] $-tp+(e[c)p4]^{2}+m_{0/}^{21}c^{0}\cdot\psi=0$ (15) f\"uhrt. $*$ ) Betreffs der allgemeinen Relativitatstheorie sowie betreffs der einheitlichen Feldtheorie ist der Umstand ganz anders. Es ist bezweckt in dieser Abhandlung erstens \S 2. zu beweisen, dass die allgemeine Relativitatstheorie Einsteins keine echten $Beu\cdot egungsgleichungen$ furfreie Massenpartikeln liefert $da$ der Momentumvektor langs der geodatischen Linien nicht tangentiell parallel sein kann; zweitens \S 3. zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheone Einsteins 4) vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enthalt; und schliesslich \S 4. die echte allgemeine Relativitatstheorie zu liefern, welche eine physikalische Forderung ist und gleichzeitig die universale, naturliche und wesentliche einheitliche $Feld\ell heone$ von selbst bildet. Diese endg\"ultige Relativit\"atstheorie ist die vom Verfasser begr\"undete nicht-holonome Laguerresche Faserbiindelgeometrie zweiter Art, welche im drei-dimensionalen Cartesischen Raume durch Fibrierung mit (im allgemeinen) nicht-holonomen Aktionen und also durch eine fernparallelismische Torsionierung realisiert ist. Dabei sind die Raumelemente orientierte verallgemeinerte Kugeln, die die Energiefronten (genauer: die Aktionsfunktionsfronten) sind und deren Radien die Bahnen des betreffenden Fernparallelismus sind und ist die gesetzliche Dimension $4^{2}-({}_{4}C_{2}+4)+4=10d.h$. diejenige des betreffenden Faserb\"undels. 16) A. Einstein selber hat schon ge\"aussert: 2) Es ist daher denkbar, dass diese Theorie (Fernparallelismus!) die urspr\"ungliche Fassung der allgemeinen Relativit\"atstheorie verdrangen wird. (Er hat dabei eine einheitliche Feldtheorie bezweckt. Also ist sein Gesichtspunkt von meinem hiesigen verschieden.) Es sieht so aus, dass man nachher seine Auswahlsweise von elektromagnetischen Vektorpotentialen als bedenkliches angesehen hat. Aber die genannte Verdr\"angung findet hier statt, was f\"ur unsren hochstverehrenden Einstein mir grosses Leid tut.

4 ( 122 T. TAKASU. \S 2. Zu beweisen, dass der Momentumvektor l\"angs der geod\"atischen Linien im Raum-Zeit Einsteins nicht parallel sind. 1. Die geod\"atischen Linien lm Raum-Zeit Einsteins.{?}Es seien $\omega_{\mu}^{l},$ $l,$ $ m,\cdots$ ; $\lambda,$ $\mu,\cdots=1,2,3,4$] die kovarianten Komponenten eines Momentumvektors, welche durch $L:l$ ($x^{1},$ $x^{2},$ dung einer Partikel ] im drei-dimensionalen Cartesischen Raume $x^{3}$ mit Masse oder mit Elektrizit\"at oder mit beiden entsteht. Dann geht der Vektor $ds=\gamma_{i}dx^{l}=(\gamma_{\ell}\frac{dx^{i}}{d\ell}]dt$ (1.1) $de^{\neg}$ konstanten Momentums ins Folgende \"uber: $ds=\gamma_{\ell}\omega^{\ell}=\gamma_{l}\frac{\omega^{i}}{d\ell}dt$, ($\omega^{r}=\omega_{\mu}^{i}dx^{\mu}$], (1.2) wobei $\omega^{l}$ (im allgemeinen) nicht-holonomen Aktionskomponenten sind und die $x^{\lambda}$ von jetzt an beliebige kr\"ummlinige Koordinaten sein k\"onnen. Wie bei (1) haben wir so dass $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=-\omega^{l}\omega^{\ell}=-g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu},$ $ ds =ds$, (1.3) $g_{\mu\nu}\equiv g_{\underline{\mu\nu}}+g_{\mu\nu,\vee}$, $g_{\underline{\mu\nu}}=g_{\underline{v\mu}}$, $ g_{\mu\nu}=-g_{\nu\mu}\vee\vee$ (1.4] $g_{\mu\nu}=\omega_{\mu\nu\mu v\mu)}^{\iota_{\omega^{i}=\omega^{4}\omega^{4}-\omega^{\ell}\omega^{\ell}}},$, ($i=1,2,3$], (1.5) $g_{\mu v,v}=\gamma_{4}\gamma_{1}(\omega_{\mu}^{4}\omega_{\nu}^{1}-\omega_{\mu}^{1}\omega_{v}^{4}$] $+\cdots+\gamma_{2}\gamma_{3}(\omega_{\mu}^{2}\omega_{\nu}^{3}-\omega_{\mu}^{3}\omega_{\nu}^{2}$] $+\cdots$ (1.6) ist. Dabei ist $ds$ die Resultanteaktion. F\"ur die Lagrangeschen Funktion $L\equiv_{s^{l}}\frac{1}{2}\frac{\omega}{d}-\frac{\omega^{i}}{dS}$, (1.7] haben wir $\frac{1}{2}\delta S=\delta\int_{\dot{s}_{0}}s_{1}LdS=0$, (1.8) woraus folgt: $\frac{d}{ds}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{\lambda}}]-\frac{\partial L}{\partial q^{\lambda}}=0$, (1.9) worin $q^{\lambda}=x^{\lambda}$, $\dot{q}^{\lambda}=dx^{\lambda}/ds$ ist. (1.9) wird zu

5 sind $\frac{d^{2}x^{\sigma}}{ds-},$ $+\frac{1}{2}g^{\underline{\mu\sigma}}(\omega_{\mu}^{l}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\nu}}+\omega_{\mu}^{l}\frac{\partial\omega_{\nu}^{l}}{\partial x^{\lambda}}+\omega_{\nu}^{l}\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\lambda}}+\omega_{\lambda}^{\iota_{\partial x^{\nu}}^{\partial\omega_{\mu}^{l}}}$ $\omega_{\mu}^{l}\omega_{l}^{\lambda}=\delta_{\mu}^{\lambda}$ $-\omega_{v}^{l}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\omega_{\lambda}^{l}\frac{\partial\omega_{\nu}^{i}}{\partial x^{\mu}}]\frac{dx^{\lambda}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0$ $\ell\overline{\partial x^{\nu}}$ des entsprechenden $\mu\overline{\partial x^{\nu}}$ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 123 $0=\frac{d}{dS}(\frac{\omega^{l}}{dS}\omega_{\mu}^{l}]-\frac{\omega^{l}}{dS}\frac{\partial co_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}\frac{dx^{\lambda}}{ds}$ $=g_{\underline{\mu\lambda}}\frac{d- x^{\lambda}}{ds^{2}}+(\omega_{\mu}^{\iota}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{\prime}}{\partial x^{\nu}}+\omega_{\nu}^{l}\frac{\partial\omega_{\mu}^{\prime}}{\partial \mathfrak{r}^{\lambda}}-\omega_{\nu\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}]\frac{dx^{\lambda}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}}^{\ell}$, welche weiter zu d.h. zu $\frac{d^{2}x^{\lambda}}{ds^{2}}+\left\{\begin{array}{l}\lambda\\\underline{\mu\nu}\end{array}\right\}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0$ (1.10) wird, welche die geod\"atischen Linien darstellen. $\Omega_{\ell}^{\lambda}$ Die kontravarianten Komponenten durch Momentumvektors $\omega_{\lambda}^{l}$ werden $\omega_{\lambda}^{l}\omega_{m}^{\lambda}=\delta_{m}^{\ell}$ (1.11] definiert und gelten die folgenden Beziehungen: $g^{\underline{\mu\nu}}=\omega_{\ell l}^{\mu Qv}$, $\omega_{\nu}^{l}=g_{\underline{\mu\nu}}\omega_{\ell}^{\mu}$, $\Omega_{\ell}^{\lambda}=g^{\underline{\lambda\mu}}\omega_{\mu}^{l}$. (1.12] F\"uhrt man die Bezeichnung $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}\equiv\omega^{\sigma}\equiv-\omega^{\iota\partial\omega_{l}^{\sigma}}\partial\omega_{\mu}^{l}$ (1.13] ein, so lasst sich leicht beweisen: $\left\{\begin{array}{l}\sigma\\\underline{\mu\nu}\end{array}\right\}\lambda-=\frac{1}{2}(\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}+\bigwedge_{\gamma\mu}^{\sigma}]+g[g_{\mu\tau}(\bigwedge_{\lambda\nu}^{\tau}-\bigwedge_{\nu\lambda}^{\tau}]$ $+g_{\tau\nu}(\bigwedge_{\lambda\mu}^{\tau}-\bigwedge_{\mu\lambda}^{\tau}$]], (1.14) worin $\triangle\lambda\mu\nu=\left \begin{array}{lll}\omega_{\lambda}^{i} & \omega_{\mu}^{l} & \omega_{\nu}^{l}\\\frac{\partial}{\partial x^{\lambda}} & \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} & \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\\\omega_{\lambda}^{l} & \omega^{l} & \omega_{\nu}^{i}\end{array}\right $ (1.15) gesetzt ist. Die $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ bekanntlich die den $\omega_{\mu}^{l}$ Fernparallelismus-

6 ein und langs l\"angs l\"ang8 $g_{\underline{\mu\nu}}\omega_{l}^{\lambda}\omega_{\ell}^{\nu}=g_{\underline{\mu\nu}}g^{\underline{\lambda\nu}}=\delta_{\mu}^{\lambda}$ einen die 124 T. TAKASU. parameter 3) 2. $Da8S$ $\Omega_{l}^{\lambda}$ $\omega_{\mu}^{i}$ der Momentumvektor der Bahn des den Fernparallelismus parallel ist. Aus (1.13) folgt: entsprechenden $\frac{\partial\omega_{p}^{\sigma}}{\partial x^{v}}+\bigwedge_{\mu v}^{\sigma}\omega_{p}^{\mu}=0$, welche bedeutet, dass $\frac{d\omega_{p}^{\sigma}}{ds}+\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}\frac{dx^{\nu}}{ds}\omega_{p}^{\mu}=0$, (2.1) $d.h$. dass der Momentumvektor $\Omega_{\ell}^{\sigma}$ der Bahn $2_{\ell}^{\lambda}\frac{d\omega^{\ell}}{dSdS}\equiv\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dS^{2}}+\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}\frac{dx^{\mu}dx^{\nu}}{dSdS}=0$ (2.2) des Fernparallelismus $\wedge^{\lambda}$ $\mu\nu$ parallel ist. N. B. Man kann $-dx^{\lambda}\partial F^{=a^{\iota}\Omega_{\ell}^{\lambda}}$ ohne Schwierigkeit aus (7.2) herleiten. 3, $\Omega_{l}^{\lambda}$ Dass der Momentumvektor der geod\"atischen Linien im Raumzeit nicht parallel ist. Wie die aus (2.2] stammende Beziehung $\frac{d}{ds}\frac{\omega^{\ell}}{ds}=0$ d.h. die Beziehung $\frac{\omega^{l}}{ds}\underline{=}\omega_{\mu}^{l}\frac{dx^{\mu}}{ds}\equiv g_{\lambda\underline{\mu}}\omega_{\ell}^{\lambda}\frac{dx^{\mu}}{ds}=a^{\ell}$, ( ], (3.1) $a^{l}a^{l}\underline{=}1$ samt der Identitat $\Omega_{\ell}^{\lambda}$ $a^{\ell}$ zeigt, ist Einheitsvektor derart, dass die $\frac{dx^{\lambda}}{ds}$ von Richtungskosinus des Vektors darstellt. Daf\"ur, dass $\{_{\mu\nu}\sigma\rangle$ $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ l-komponente einer Art und denselben Parallelismus geben, nach Friesecke $ 1925I$ $\psi_{\nu}$ ist es notwendig und hinreichend, dass ein Vektor derart existiert, dass $f_{\mu\nu}^{\sigma}\}=\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}+2\delta_{\mu}^{\sigma}\psi_{\nu}$ (3.2) wird, so dass $g^{\underline{\sigma}\tau}\omega_{\nu}^{\ell(\frac{\partial\omega_{\tau}^{\ell}}{\partial x^{\mu}}-}\frac{\partial\omega_{\mu}^{\ell}}{\partial x^{\tau}}i+\frac{1}{2}g^{\underline{\sigma\tau}}\delta_{\tau\mu\nu}=2\delta_{\mu}^{\sigma}\psi_{\nu}$ (3.3)

7 langs $\frac{\partial\omega_{\sigma}^{\ell}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}=0$ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 125 sein muss. Dann m\"usste f\"ur $\sigma\neq\mu$ $g^{\underline{\sigma\tau}}\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\tau}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\tau}}]+\frac{1}{2}g^{\underline{\sigma\tau}}\delta_{\tau\mu\nu}=0$ (3.4) sein. ${\rm Im}$ Falle des Orthogonalsystems haben wir $ F-\neq 0(\sigma=\tau$ ]; $g^{\underline{\sigma\tau}}=0$ ( $\sigma\neq\tau$ ]. Dann wird (3.4) zu $\omega_{\nu}^{\iota}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}--\partial\partial\frac{\omega_{\mu}^{l}}{x^{\sigma}}]+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}=0$. $\mu$ nimmt $n-1$ Werte ( $\neq\sigma$ ] an. F\"ur $\mu=\sigma$ haben wir $\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}})+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}\equiv 0$. (3.5) Also haben wir $\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{i}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}]+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}=0,$ ($\mu,$ $\nu=1,2,$ $\cdots,$ $n$] (3.6] f\"ur einen bestimmten Wert (aus 1, 2, $\cdots$, $n$) von $\sigma$. Betrachten wir den besonderen Fall, dass $\nu\rightarrow\mu$ ist, dann wird (3.6) zu $\omega_{\mu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}]=0$ ($\sigma,$ $\mu=1,2,\cdots,$ $n$] f\"ur $\mu$ nicht summierend. Nun ist $ \omega_{\mu}^{\ell} \neq 0$. Also muss $\omega^{i}$ sein, was dann und nur dann der Fall ist, wenn die s\"amtlichen Pfaffianen exakt (holonom) sind, was ausgeschlossen ist. Daher k\"onnen wir schliessen: $im$ ist. $\Omega_{l}^{\lambda}$ Als der Momentumvektor der geodatischen Linien $im$ Raumzeit allgemeinen nicht parallel ist, er desto mehr dabei nicht tangentiell parallel Z. B. Die geod\"atischen Linien auf der Kugeloberfl\"ache sind die Grosskreise, w\"ahrend die Bahnen des Fernparallelismus die Loxodromen sind. 4. $Da8S$ die Bahn $de8$ Fernparallelismus die Bahn einer freien Partikel ist. Erstens erfordern die Gleichungen (2.1) und (2.2) dass die Bahn (2.2] dlejenige

8 }\prime,\vee}$ in 126 $t\gamma$. TAKASU. einer freien Partikel ist. Zweitens erfordert das Prinzip Hamiltons der kleinsten Aktionsfunktion: $\delta S=0$, welches nach (1.9) f\"ur $q =\int_{s_{0}}s\frac{cl)l}{ds}ds,\dot{q}^{\prime}=\frac{\omega^{\prime}}{ds}$ zu (3.1] wird, dass die Bahn (3.1) des Fernparallelismus diejenige einer freien Partikel ist. \S 3. Zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enth\"alt. 5. Zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins $\omega_{u}^{\iota}$ vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enthalt. Wenn die (1.5) rein gravitationell \mbox{\boldmath $\iota$}v\"aren, dann w\"aren $g_{v\mu}$ die ebenfalls rein gravitationell. Dann m\"ussten die $g_{\mu^{\backslash dass die $g_{\mu\nu,\forall}$ nach (1.6) auch rein gravitationell sein, entgegen die Vermutung Einsteins, elektromagnetisch seien. 6. Dass die allgemeine Relativit\"atstheorie Einsteins sowie die verallgemeinerte \S 4. Die echte Relativit\"atstheorie. Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 nicht die richtigen sind. Die Resultaten der Artikeln 2, 3 und 4 \"uberzeugen uns dass weder (i) die allgemeine Relativitatstheorie $Eiliste^{;}\ovalbox{\tt\small REJECT} ns$ noch (ii) die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 keine richtigen Theorien sind, trotzdem allgemeine Relativitatstheorie Einsteins durch drei wohl-bekannten Beobachtungsresultatcn (vgl. Art. 12) unterst\"utzt ist. Die beiden $\prime I^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}heorien$ sind blosse $\nwarrow^{7}erm\mathfrak{u}tungen$ Einsteins gewesen. In diesem \S m\"ochte ich die echte allgemeine Relativit itstheorie liefern, die durch dieselben Beobachtungsresultaten ebenfalls unterst\"uzt wird. indem ich physikalische Forderungen verfolge. Die theoretische Physik ist meistenteils reduzibel zur Behandlung von Partikeln. Physiker sind bis jetzt gewohnt unmittelbar die Partikeln selber zu behandeln. Wenn jedoch die Partikeln Ladungen haben, dann emitieren sie Energie in jeder Richtung. Dic Energiefronten (genauer: Aktionsfunktionsfronten) sind f\"ur die spezielle Belativit\"atstheorie gew\"ohnliche Kugelfl\"achen und f\"ur die allgemeine Relativit\"atstheorie verallgemeinerte Kugelflachen, deren Radien die Bahnen des den $\omega_{\mu}^{l}$ entsprechenden Fernparallelismus sind.

9 darstellen. ein als in die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 127 Der Verfasser hat gefunden, dass die drei-dimensionale nicht-holonome Laguerresche Faserb\"undelgeometrie zweiter Art 8) die physikalischen Ph\"anomenen nat\"urlicherweise ganz genau beschreibt, wenn man die Aktionsfunktionsfrontenkugelfi\"achen (im verallgemeinerten Sinne) als Raumelemente aufnimmt. 7. Die echte allgemeine Relativit\"atstheorie. Wenn eine Partikel im dreidimensionalen Cartesischen Raume ohne Ladung liegt, so lasst sich sie bloss als $x^{\ell},$ ein geometrischer Punkt ( $i=1,2,3$ Sobald sie jedoch Ladung erh\"alt, ; Cartesische Koordinaten) reprasentieren. emitiert sie eine Menge von Energie etwa mit den Komponenten $\omega^{i}/dt\equiv\omega_{\mu}^{i}dx^{\mu}/dt$ in Zeiteinheit, so dass die $\omega^{\ell}$ der Aktion sind. Es sei dabei das Bezugsystem $\omega^{l}$ wir (1.3): $ds^{2}=\omega^{l}\omega^{\ell}=g_{\underline{\mu}}\nu dx^{\mu}dx^{\nu}$, ( Komponenten Orthogonalsystem, so dass $l,$ $m,\cdots;\lambda,\mu,$ $\nu,\cdots=1,2,3,4$] (7.1) haben. Hierbei ist $ds$ die $Resultan\ell eaktlon$ Da die $\omega^{l}$ geschrieben sind, k\"onnen wir von jetzt an die $x^{\lambda}$ ansehen. invarianter Form kr\"ummlinige Koordinaten F\"ur (7.1) ziehen wir die Formeln (1.2], (1.3], (1.4], (1.5], (1.6], (1.11], (1.12], (1.13], (2.2), (3.1) und (3.2) in Betracht. Die Differentialgleichungen (3.1] haben die Losungen: welche die Bahn des Fernparallelismus $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ $\xi^{\ell}=\int^{s}\omega^{l}/ds\cdot ds=a^{l}s$, ( $a^{\iota}a^{l}=1$ ], (7.2] Diese Bahn wollen wir die II-geodatischen Linien nennen. Diejenige verallgemeinerten Kugeln, deren Radien II-geod\"atische Linien sind, wollen wir $II$ -geodatische Kugeln nennen. Die II-geod\"atischen Linien verhalten sich betreffs der Projizieren und Schneiden genau wie gerade Linien. \"Uberdies sind sie Lbsungen des Variationsproblems $\delta S=0$ des Artikels 4. Also k\"onnen wir ( $\xi^{\ell}$ ] als ein Analogon des Cartesischen Koordinatensystems ansehen. Dabei sind die Koordinatenachsen die ll-geodatischen Linien. Da $\omega^{l}$ parameterinvariant sind, k\"onnen wir die Koordinaten ( $\xi^{\iota}$ ] im Grossen zu sein annehmen. Das Gefas.; der physikalischen Phanomenen ist der ursprungliche Cartesische Raum, trotzdem die ursprunglichen Geraden als Folge der Ladung der Partikel in die II-geodatischen Linien ubergegangen sind. Der gesetzliche

10 durch. (also 128 T. TAKASU. Raum hat die Torsion $\bigwedge_{\mu^{\gamma}}^{\sigma}-\bigwedge_{\nu\mu}^{\sigma}$ $t$ als ${\rm Im}$ allgemeinsten erhalten. Falle enthalten die Funktionen $\omega_{\mu}^{l}$ auch $\Omega_{\iota}^{\lambda}$] die Zeit $\xi^{t}$ eine Ver\"anderliche, so dass das Koordinatensystem ( ] $im$ allgemeinen sich mit der Zeit bewegt. Aktionen ($\omega^{\iota}$] $\xi^{\ell}$ Die Raumelemente sind die II.geodatischen Kugeln ( ], welche durch $(\omega_{\mu}^{\ell}, fibriert sind. Die gesetzliche Dimension ist, wegen x^{\lambda}$] $6+4=10-$ dimensional. Unsre Relativitatstheorie ist eine 3-dimensionale nicht-holonome Laguerresche Faserbiindelgeometrie. Die Referenzgruppe der Faserbundel ist die Orthogonalgruppe fiir $\omega^{l}$, welche als Faser betrachtet, den Hauptfaserbiindel (principal fibre bundle) von der Dimension $4^{\ell}-(4C_{2}+4$ ] $+4=10$ uns liefert. Auch die Koordinatentransfornationen $\overline{x}^{\lambda}=x^{\overline{\lambda}}(x^{\mu}$] kommen in Betracht. Die Bedingung $R_{\mu\nu}=0$ Einsteins entspricht unsrem $R_{mn}=0$ (als Folge von $\xi^{\iota}$ $R_{mn}^{l}=0]$, weil die ( ] rechtwinklig sind. Die fundamentalen Voraussetzungen Einsteins sind von selbst befriedigt. Also sind die mystischen Terminologien Einsteins wie Raumzeit, Intervall, Relativit\"atstheorie sollen jetzt bzw. durch nicht-holonomer Laguerrescher Faserbiindelraum, Resultanteaktion nicht-holonome Physik ersetzt werden. und holonome Physik und Die \"Ubergangsweise von der Newtonschen Physik zur jetzigen ist jetzt ganz durchsichtlich geworden: $e\dot{t}ne$ glatte Fortsetzung ohne Sprunge! In den folgenden Artikeln m\"ochte ich einzelne Theorien und experimentelle Unterst\"uzungen genauer darstellen. $x^{\lambda}$ $\xi^{\ell}$ 8. Ausdr\"ucke von Wegen der Formeln (7.2) wird die Gleichung (2.2) zu: $\partial^{2}x^{\lambda}/(\partial\xi^{m}\partial\xi^{n}$] $+\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}(\partial x^{\mu}[\partial\xi^{m}](\partial x^{\nu}/\partial\xi^{n}$] $a^{m}a^{n}=0$. (8.1) Dieses System von Differentialgleichungen besitzen ein einziges System von L\"osungen $x^{\lambda}=x^{\lambda}(\xi^{\ell}$], welche ein System von Anfangsbedingungen: $\iota^{\mu}=p\mu$ ( $\xi^{\ell}=0$ ], (8.2] $\partial x^{\mu}/\partial\xi^{\ell}=p_{\ell}\mu$ ($\xi^{l}=0$] (8.3] vergn\"ugen, worin $p_{\mu}$ und $ p_{i}\mu$ wilk\"urliche Konstanten sind.

11 $\bigwedge_{\mu\tau}^{\lambda}=\frac{1}{3}[(\partial\overline{\wedge}_{\mu v}^{\lambda}/\partial x^{\tau}+\partial\overline{\wedge}_{\nu\tau}^{\lambda}/\partial x^{\mu}+\partial\overline{\wedge}_{\tau\mu}^{\lambda}/\partial x^{\nu}]$ Euklidischer $ $ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 129 Wir bestimmen die aufeinanderfolgenden Koeffizienten $H(p$ ] von der Potenzreihe $x^{\lambda}=p\lambda+\omega_{l}^{\lambda}(p_{\mu}$] $\xi^{\ell}-\frac{1}{2!}h_{lj}^{\lambda}(p\mu$ ] $\xi^{\ell}\xi^{j}-\frac{1}{3!}h_{fk}^{\lambda}(p\mu$] $\xi^{i}\xi^{f}\xi^{k}-\cdots$, (8.4] durch iterierte Differenzierungen von (8.1) und durch Benutzung der $Anfangs-$ bedingungen (8.2) und (8.3). Also haben wir wo $H_{J^{=\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\lambda}}}^{\lambda}\Omega_{\ell}^{\mu}\Omega_{f}^{\nu}$, (8.5) $\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\lambda}=\frac{1}{2}(\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}+\lambda_{\nu\mu}^{\lambda}$] $=\frac{1}{2}\omega_{\ell}^{\lambda}(\partial\omega_{\mu}^{\ell}[\partial x^{\nu}+a_{\omega_{\nu}^{l}}/\partial x^{\mu}],$ (8.6] und $H_{fk}^{\lambda}=\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda},\Omega^{\mu}\Omega_{j}^{\nu}\Omega_{k}^{r}$, (8.7) wo $-2(\overline{\wedge}_{\sigma\mu}^{\lambda}\overline{\wedge}_{\tau}^{\sigma}\overline{\wedge}_{\sigma\nu}^{\lambda}\overline{\wedge}_{\tau\mu}^{\sigma}\overline{\wedge}_{\sigma}^{\lambda},\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\sigma}]$, (8.8] usw. Die Jacobiane $ \Omega_{\ell}^{\lambda}(\mu$] $ $ von (8.4! ist von Null verschieden im Ursprung. Daher besitzt (8.4) die Umkehrungen, welche das Koordinatensystem ( $\xi^{\ell}$] eindeutigerweise definieren. 9. Nicht-holonome Laguerresche Geometrie. Als Folge der (7.2] ergibt sich die folgende Zuordnung: Riemannscher Raum $V_{4}$ $ $ Raum $E_{4}$ $II- geod\text{"\""{a}"} tischeli:\xi^{\ell}=\int\frac{nic\omega^{l}}{ds}ds=a^{\iota}\int ds$, Gerade $Linie:\xi^{l}=a^{\ell}S$, (9.1] $a^{\ell}a^{l}=1$. Nicht-holonome $ $ Cartcsische Koordinaten ( $\xi^{l}$]; $d\xi^{i}=\omega_{\mu}^{\ell}(x^{\lambda}]dx^{\mu}$. Gew6hn1iche Die folgende Zuordnung ist wohl bekannt:

12 Gerade $ $ 130 T. TAKASU. $(\xi^{\ell}),$ ( $\eta^{\ell}$]: $(\xi^{\ell}-\eta^{\ell})(\xi^{\ell}-\eta^{l}$]. Orientierte Ebene $ $ Minimalebene { $u_{\ell}$]; $u_{\ell}u_{l}\equiv 0$. Homozentrisches System. $ $ Linie. 4-dimensional im abstrakten Sinne. Also sind wir zur folgenden Zuordnung gef\"uhrt: $\ovalbox{\tt\small REJECT} Nicht- ho1onomerlagueroescherfaserb\{ihde1- Riemannscher Raum RaumL_{3} $ $V_{4}$ $(\xi^{l}], (\eta^{l}$]: ( ]( $\xi^{\ell}-\eta^{\ell}$]. (9.3] $\xi^{\ell}-\eta^{l}$ Homozentrisches System von orientierten $II$ -geodatischen Kugeln ( $\xi^{\iota}$]; $\xi^{\ell}=a^{\ell}s$. II-geod\"atische Kurve $4^{2}-(4C_{2}+4$ } $+4=1k$ $ $ 4- dimensional im abstrakten Sinne. Orientierte total-ii-geod\"atische$e$ verallgemeinerte $Ebenet$ $ Minimaltotal- II- geodatischeverallgemeinertehyperebene$ ( $u^{\ell}$]: $u_{\ell}\xi^{1}=0$, ( $uu_{\ell}=0$]. $\ovalbox{\tt\small REJECT}$

13 $\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}-\bigwedge_{\nu\mu}^{\lambda}\neq 0$ produziert. die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 131 Die Zuordnung zwischen der Laguerreschen Geometrie und der nichtholonomen Laguerreschen Faserb\"undelgeometrie ist jetzt naheliegend. Laguerreschen Koordinaten $\xi^{l}$ Ein Prinzip. Ersetzt man die Differcntiale $d\xi^{l}$ orientierter Kugel durch Pfaffianen $\omega^{l}$ der, so entsteht eine nicht-holonome Laguerresche Faserb\"undelgeometrie. Dabei wird die Fernparallelismustorsion Cartesische Raum. Das Gef\"ass der Raumelemente ist der urspr\"ungliche 10. Behandlung der Bewegungsgleichungen einer freien Partikel mittels der Polarkoordinaten. Wir haben schon gezeigt, dass die Bewegungsgleichungen einer freien Partikel diejenige einer II-geod\"atischen Linie (2.2) sind. Die L\"osungen sind durch (7.2) gegeben. Es seien $\rho,\theta$ und $\varphi$ Raume. Dann haben wir Polarkoordinaten im drei-dimensionalen Cartesischen $ ds^{2}=\gamma(\rho)dt^{2}-\{\overline{\gamma}(\rho$] $\rangle^{-1}d\rho^{2}-\rho^{2}d\theta^{2}-p^{2}\sin^{2}\theta d\varphi^{2}$. (10.1] Der Ausdruck (10.1) l\"asst sich stets in der Gestalt $ds_{1}^{2}=\gamma_{1}(\rho\iota)dt^{2}-d\rho_{1}^{2}-p_{1}^{2}d\theta^{2}-\rho_{1}^{2}$ sin2 $\theta d\varphi^{2}$ (10.2) umschreiben. In der Tat l\"asst sich die (10.1) folgendermassen umschreiben: $\overline{\gamma}f.ds^{a}=\gamma\overline{\gamma}f.d\ell^{2}-fd\rho^{l}-\overline{\gamma}f\rho^{2}d\theta^{2}-\overline{\gamma}f\rho^{2}\sin^{2}\theta d\varphi^{2}$. (10.3) Wir suchen die $ f=f(\rho$] derart nach, dass $\overline{\sqrt f}dp=dp_{1},$ $\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}\rho=p_{1}$ (10.4) wird. Aus (10.4) folgt $d\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}$. $p+\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}$. $dp=dp_{1}=\sqrt{}\overline{fd}p$ $d.h$. $d\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}/dp=\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}(1[\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}}-1][p$, (10.5) dessen Integral $f=(1[p^{2}\overline{\gamma}](\int\sqrt f-dp+c]^{2}$ (10.6) $\bullet$ ergibt. Aus (10.4) und (10.6) folgt: $\rho_{1}=\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f.}p=j\sqrt{}\overline{f}dp+c$. Setzt man nun $\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}ds=p^{-1}(j\sqrt{}\overline{f}d\rho+c$] $ds=ds_{1}$, (10.8]

14 $\bullet$ 132 T. TAKASU. $\gamma_{1}=\gamma\overline{\gamma}f=(\gamma/p^{2}$](, $\int\sqrt{f}d\rho+c]^{2}=\gamma\rho_{1}^{2}/p^{2}$ (10.9) dann wird (10.3] zu (10.2). 11. Der Fall einer Bewegung in einer Ebene. I. F\"ur eine Bewegung in $\theta=\frac{\pi}{2}$ der Ebene wird $ds^{2}=\gamma(p]dt^{2}-d\rho^{2}-\rho^{2}d\varphi^{2}$. (10.2] zu: Die Bewegungsgleichungen sind: woraus weiter $\sqrt{}\overline{\gamma}dt=a^{4}ds$, $d\rho=a^{1}ds$, $\rho d\varphi=ads,$ (( $a^{4}]^{2}-(a^{1}]^{2}-(a]^{2}=1$ ], $ d\rho:p=hd\varphi$, $dt=kdp:\sqrt{}\overline{\gamma(p]}$ folgt, worin und Konstanten sind. Die Bahn ist die logarithmische $h$ $k$ $S\mu rale$ (Loxodrome); $\rho=\exp h(\varphi-\varphi_{0}$ ]. (11.2) II. Die Bewegungsgleichungen f\"ur (10.1) sind: mit ( $1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}}$] $\rho=a^{1}ds$, $\mu\theta=a^{2}ds$, $p$ sin $\theta d\varphi=a^{8}ds$, $dr=\sqrt{}\overline{\gamma}dt=a^{4}ds$ (11.3] $1=(a]^{2}-(a^{1}]^{2}-(a^{2}]^{2}-(a^{\theta}]^{2}$. (11.4] F\"ur die ebene Bewegung $\theta=\pi/2$, erhalten wir ( $a^{2}=0$ ]; $pd\varphi=a^{3}ds=(a^{3}/a^{4}]\sqrt{}\overline{\gamma}dt$, $(1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}]}dp=a^{1}dS$, woraus folgt; ($du[d\varphi]^{8}-\overline{\gamma}u^{2}[h^{2}=0, (u=1/\rho]$, (11.5) wo $a^{3}/a^{1}=h$ ist. Daraus folgt: $J(1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}(u}$]] $du=\pm(\varphi-\varphi_{0}$ ]$/h$, (11.6) welche ein Bild von (11.2] ist. Differenziert man (11.5) noch einmal und den Faktor $ du/d\varphi$ beseitigt, so erh\"alt man $d^{2}u/d\varphi^{2}+u=u+(1/h^{2}$]{( $u^{2}/2$ ] $d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u$] $/h^{2}$. (11.7) 12. Der Fall einer planetarischen Bewegung. I. Jetzt m\"ochte ich die Funktion $\overline{\gamma}(p$] in (11.6) so bestimmen, dass (11.7) zu

15 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 133 $d^{2}u\prime d\varphi^{2}+u=m/h^{2}+3mu^{2}$ (12.1) wird. Dazu haben wir $u+\{(u^{2}/2$] $d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u$ ]$/h^{2}=m/h^{2}+3mu^{2}$ (12.2) zu setzen, welches ins $d\overline{\gamma}/du+p\overline{x}=q$ (12.3] \"ubergeht, worin ist. Das Integral von (12.3) ist welche $unab\mathcal{m}ng\dot{\iota}g$ N. B. (i) Newton: $\sqrt{}\overline{\gamma}(\rho$] $P\equiv 2/u$, $Q\equiv h^{2}(6m-2/u+2m/h^{2}u^{2}$] (12.4] $-\overline{\gamma}=h^{2}(1-2mu-2m/h^{2}u]+c/u^{2}, (C=konst.$], (12.5] von der Wahl von der stetigen Funktion $\gamma(\rho$] (iii) Einstein : $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho)}=\sqrt{}(1-\frac{\overline $=\frac{m}{\rho}$. (ii) $\dot{\iota}s\ell$.. (iv) Yukawa: m}{\rho}]$ Coulomb:. $\sqrt{}\overline{\gamma(p}$] $=\frac{e}{p}$ $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho]}=e^{-\frac{m}{\rho}}$. Dte Bewegungsgleichung (12.1) ist diejenige, welche von den drei 14) 27) wohlbekannten Beobachtungsdaten unterstutzt ist. Vergleicht man die Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u]=mu^{2}+3mu^{4}$, (12.6) welche aus (12.1) folgt, mit der allgemeinen Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi_{l}}+u]=f(u$] (12.7) f\"ur die allgemeine Zenralkraft $F(u$], so haben wir $F(u)=mu^{2}+3mu^{4}$, (12.8) so dass das entsprechende Potential etwa sein soll, und also wir 7 $(\rho$] $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho]}=1-mu-mu^{3}$ $=(1-mu-mu^{3}]^{2}, (u=1/r$] (12.9) haben. Erfordert man das zweite Gesetz Newtons: $\rho^{2}d\varphi/d\ell=(a^{8}/a^{4}$] $p\sqrt{}\overline{\gamma}=h$, (12.10)

16 134 T. TAKASU. so folgt $\sqrt{}\overline{\gamma}=h(a^{4}[a^{3})[\rho=(a^{4}[a^{1})\prime p$, (12.11) welches nichts anders als das Gesetz Newtons ist. (11.7) zu II. Zweitens m\"ochte ich die Funktion $\overline{\gamma}(p$] in (11.6) so bestimmen, dass $d^{2}u/d\varphi^{2}+u=\frac{m}{h^{2}}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$ (12.12) wird. 24) Dazu haben wir $u+((u^{2}[2]d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u\}/h^{2}=\frac{n}{h^{2}}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$ (12.13] zu setzen, welches ins $d\overline{\gamma}/du+p\overline{\gamma}=q$ (12.14) \"ubergeht, worin $P\equiv 2[u, Q\cong\frac{2m}{u^{2}}(2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}]-\frac{2h^{2}}{u}$ (12.15] ist. Das Integral von (12.14) ist $\overline{\gamma}^{-s^{pax}\uparrow Pdx}=e\{\int e Qdx+C\}$, worin $d.h$. $e^{\int Plx}=u^{2}$, $\overline{\gamma}=\frac{1}{u^{2}}(\int\{4me^{4(mu+c)}-2me^{2(mu+c)}-2h^{2}u\}du+c)$, $\overline{\gamma}=_{u^{2}}^{1}\left\{-e & 4(n*u+c) & -e & 2(mu+c)\right\}-h^{2}+\frac{C}{u^{2}}$ $=-h^{2}+\frac{1}{\ell^{2}}\{2(mu+c]+6(mu+c]^{2}+\frac{28}{3}(mu+c]^{3}+\cdots$. $+\frac{4^{r}-2^{r}}{r!}(mu+c]^{r}+\cdots\cdot+c\}$. (12.16) Vergleicht man die Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u]=mu^{2}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$, (12.17)

17 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 135 welches aus (12.12) folgt mit der allgemeinen Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi}+u]=f(ui$ so haben weir $F(u$] $=mu^{2}\{2e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}\}$, ( $12.I9$] so dass $F(u$] $=mu^{2}\lfloor 1+6(mu+c)+14(mu+c]^{2}+20(mu+c]^{S}+\cdots\cdot$ ]. (12.20) Durch Integration von ( $12.12 $ erhalten wir $h^{2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}$ (12.21] Das Integral von (12.17) ist: $h^{2}((\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}$ (12.22] $\varphi=\int\frac{hdu}{\sqrt{}\overline{e^{4(n\cdot u+c)}-e^{2(mu+c\rangle}-h^{z}u^{z}}}$. (12.23) Also befindet sich die G. D. Birkhoffsche Bahn 24) der Planeten unter den geodatischen Linien zweiter Art. Auch die drei folgenden Resultaten unsrer Theorie sind durch Beobachtungsresultaten 14). 27) unterstutzt. (i) Der Fortschritt des Perihelions des Planets. Da f\"ur Planeten die Gr\"osse $mu+c$ sehr klein ist, aus (12.22) erhalten wir: $h^{2}((\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=2\{(mu+c$] $+3(mu+c]^{2}$], (12.24] dessen Integral $2\pi+\epsilon=2\int d\varphi=\int_{u_{0}}u_{1}\frac{2hdu}{2((mu+c]+3(mu+c]\rangle-h^{2}u}$ (12.25) ist, $u_{0}$ worin und $u_{1}$ bzw. das Minimum und das Maximum vou sind. Der $u$ genaue Wert vom Integral ist $\frac{2\pi h}{\sqrt{}\overline{h^{2}-6m^{2}}}=2(1+\frac{3m^{2}}{h^{2}}+\cdots\cdot\cdot]$, so dass wir $\epsilon=\frac{3m^{2}}{h^{2}}$

18 136 T. TAKASU. haben. Nun ist die Beziehung $h^{2}=ma(1-e^{2}]=mb^{2}/a$ ffir Ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ von der Exentrizitat $e$ wohl bekannt. Daher ist $\epsilon=\frac{3m^{2}}{h^{2}}=\frac{3m}{a(1-e^{2}]}$. (12.26] Dieser Wert Einsteins ist durch Beobachtungsresultaten unterst\"utzt. (Cf. 24), 25), 26)). (ii) Die Lichtsrefraktion. F\"ur Lichtsgeschwindigkeit haben wir $ds=0$, so dass nach ( $1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}]}d\rho=a^{1}dS$ wir $\overline{\gamma}-\infty$ $ mu+c\rightarrow\infty$ und also nach (12.24) es $ haben. Alsdann nach (12.16) ersehen wir dass h\rightarrow\infty$ wird. F\"uhren wir $h^{*}$ so wird (12.21) zu: derart ein, dass $h=h^{*}e^{2m}$, $h^{*2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{mu}-e^{-2c}$. (12.27) F\"ur $ c-\infty$, geht (12.27) in $h^{*2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4nu}$ (12.28) \"uber. Dies ist die Bewegungsgleichung des Photons. Das Integral von (12.28) ist $2\pi+\epsilon-\neg\int^{\frac{1}{p}}\frac{h^{*}du}{\sqrt{e^{4mu}-h^{*2}u}2}$, (12.29) worin den Perihelionsabstand darstellt und $p$ $e$ ${\rm Im}$ Radiusvektors. Perihelion haben wir die winklige Abweichung des $\frac{du}{d\varphi}=0$, $h^{*2}=e^{\frac{4m}{p}2}p$. (12.30) Nach (12.30) wird (12.29) zu $2\pi+\epsilon=2\int_{0}\frac{1dv}{\sqrt{e^{4m(v-1)/p}-v}2}$, (12.31) wo $u=v/p$ gesetzt ist.

19 der DJE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVITATSTHEORIE USW. 137 ${\rm Im}$ Falle cer Sonne sind $m$ und $ m/\rho$ so klein, dass wir den Integrand folgendermassen entwickeln k\"onnen: $2\pi+\epsilon=2\int^{1}\frac{dv}{\sqrt{}\frac{}{1-v^{2}-4(1-v][p}}$ $=2[\sin^{-1}\frac{\frac{2m}{p}}{1-\frac{2m}{p}}]_{0}^{1}$ $=2\mathfrak{c}_{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}}\overline{1-}\frac{p}{\frac 2m,p}]\frac{2m}{}$ $=\pi+2\sin^{-1}\frac{2m}{p}$, $\epsilon=\frac{4m}{p}(mod \pi)$, (12.32) welches mit dem Ergebnis Einsteins \"ubereinstimmt. ( $\ddagger ii$] Verschiebung der Linien Fraunhofers. Da die Partikel in der Ruhe ist, haben wir $d\rho=0,$ $d\theta=0$, $d\varphi=0$ in (11.3), so dass Bezeichnet man die der $\sqrt{}\overline{\gamma}dt=ds$, $\gamma=1-\frac{2m}{\rho}$. (12.32) Sonne $ $ Erde betreffenden Gr\"ossen mit $ $ $e$, so erh\"alt man $\frac{\lambda}{\lambda_{e}}=\frac{\nu_{l}}{\nu_{l}}=\frac{\delta t_{l}}{\delta\ell_{\ell}}=(1-\frac{m}{p_{l}}]:(1-\frac{m}{p^{l}}]$. Da $m_{e}/p_{e}$ im Vergleich mit 1 sehr klein ist, ist $\frac{\lambda_{l}}{\lambda_{e}}=(1-\frac{m}{p}]^{-1}=1+\frac{m_{l}}{\rho_{l}}$, wo $p_{\iota}$ Radius der Sonne ist. Also haben wir

20 $\frac{\partial}{\omega^{\ell}}=\omega_{l}^{v}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}$. 138 T. TAKASU. $\frac{\lambda_{\epsilon}-\lambda_{e}}{\lambda}=\frac{\delta\lambda}{\lambda}=\frac{m}{\rho}=\frac{1.46}{997000}= $. Betrachtet man einen Stem anderes als die Sonne, und sieht man $m$. und $\rho$. also die Einheiten bzw. von der Masse und von dem Radius des Sterns, so erhalt man $\frac{\delta\lambda}{\lambda}= \times\frac{m}{\rho}=0.634$ km $x\frac{m}{\rho}$, der Doppler Effekt betrachtet seiend. Dieses Resultat ist durch die bekannten Beobachtungen unterst\"utzt. 13. Verallgemeinerte Maxwellsche Gleichungen. Vor allem verallgemeinern $\partial/\partial\xi^{\ell}$ wir den Operatoren der partiellen Ableitungen folgendermassen: Dann wird (13.1] $2\frac{d}{dS}=\gamma_{l}\frac{\partial}{\omega^{\ell}}$, (13.2] so dass analog zum Falle der komplexen Geschwindigkeit die Beziehung $2d(\phi+i\psi]/d(x+iy]=(\varphi_{x}+\psi,]-i(\varphi_{y}-\psi_{x})=u-iv$ $ 2d\Phi/dS=\partial\phi^{\ell}/\omega^{l}+\gamma_{1}\gamma(-\mathfrak{U}4[\omega^{1}-\Phi^{1}/\omega^{4}]+\cdots$ $+\gamma_{2}\gamma_{\$}(\infty^{3}/\omega^{2}-\infty^{2}[\omega^{s}]+\cdots\cdot\cdot$ folgt. $=\phi^{i}/\omega^{\prime}-\gamma_{4}\gamma_{1}x^{1}-\cdots+\gamma_{2}\gamma_{8}\alpha^{1}+\cdots\cdots$. (13.3] Setzt man die zur gew\"ohnlichen Bedingung analoge Bedingung $\partial\phi^{\prime}/\omega^{\ell}=0$ (13.4] voraus, so erh\"alt man genau wie bei (6): $4d^{f}\Phi/dS^{2}=J-\gamma_{l}\sigma^{i}$ $=\gamma_{4}(\frac{\partial X^{1}}{\omega^{1}}+\frac{\partial X^{2}}{\omega^{2}}+\frac{\partial X^{3}}{\omega^{S}}]+\gamma_{2}\gamma_{8}\gamma_{4}(\frac{\partial\alpha^{1}}{\omega^{4}}+\frac{\partial X^{s}}{\omega^{2}}-\frac{\partial X^{2}}{\omega^{S}}]+\cdots$ $+\gamma_{1}(\frac{\partial\alpha^{2}}{\omega}-\frac{\partial\alpha^{s}}{\omega^{2}}+\frac{\partial X^{1}}{\omega^{4}}]*\cdots\cdot$. $+\gamma_{1}\gamma_{2}\gamma (\frac{a\alpha^{1}}{\omega^{1}}+\frac{\partial a }{\omega^{f}}+\frac{a\alpha^{8}}{\omega^{8}}]$. (13.5)

\"UBER DIE BIVEKTOR\"UBERTRAGUNG

\UBER DIE BIVEKTOR\UBERTRAGUNG TitleÜBER DIE BIVEKTORÜBERTRAGUNG Author(s) Hokari Shisanji Journal of the Faculty of Science Citation University Ser 1 Mathematics = 北 要 02(1-2): 103-117 Issue Date 1934 DOI Doc URLhttp://hdlhandlenet/2115/55900

Mehr

Die Klein-Gordon Gleichung

Die Klein-Gordon Gleichung Kapitel 5 Die Klein-Gordon Gleichung 5.1 Einleitung Die Gleichung für die Rutherford-Streuung ist ein sehr nützlicher Ansatz, um die Streuung von geladenen Teilchen zu studieren. Viele Aspekte sind aber

Mehr

Seminar Mathematische Physik vom 12.1.2010 Markus Penz

Seminar Mathematische Physik vom 12.1.2010 Markus Penz Kaluza-Klein Theorie Seminar Mathematische Physik vom 12.1.2010 Markus Penz Zusammenfassung. Mit besonderem Augenmerk auf die Beiträge von Kaluza und Klein soll der nicht von Erfolg gekrönte Weg zur Vereinheitlichung

Mehr

II. Klein Gordon-Gleichung

II. Klein Gordon-Gleichung II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht Seite 1 von 2 Ostfalia Hochschule Fakultät Elektrotechnik Wolfenbüttel Prof. Dr.-Ing. T. Harriehausen Bearbeitungszeit: Theoretischer Teil: 60 Minuten Praktischer Teil: 60 Minuten Klausur FEM für elektromagnetische

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)

Mehr

Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde.

Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde. 73 Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde. von F. Mertens. 1. Ich habe in dem hundertsten Bande

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine

ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine 24 ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine gerade Linie. Die (:~). Kurve (verg I. Fig. 5) ist ein Parabel. Wenn nun d gröszer als a wird. wird die Kurve wieder steigen. Die

Mehr

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Leonhard Euler 1 Wann immer in den Anfängen der Analysis die Potenzen des Binoms entwickelt

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen,

Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen, Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen, von À. KIEFER (Zürich). (Als Manuskript eingegangen am 25. Januar 1926.) I. Gesucht im Raum der Ort des Punktes, von dem aus die Zentralprojektionen

Mehr

Intermezzo: Das griechische Alphabet

Intermezzo: Das griechische Alphabet Intermezzo: Das griechische Alphabet Buchstaben Name Buchstaben Name Buchstaben Name A, α Alpha I, ι Iota P, ρ Rho B, β Beta K, κ Kappa Σ, σ sigma Γ, γ Gamma Λ, λ Lambda T, τ Tau, δ Delta M, µ My Υ, υ

Mehr

Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Entwurf robuster Regelungen

Entwurf robuster Regelungen Entwurf robuster Regelungen Kai Müller Hochschule Bremerhaven Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik z P v K Juni 25 76 5 OPTIMALE ZUSTANDSREGELUNG 5 Optimale Zustandsregelung Ein optimaler

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR.

Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR. Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR. (Communicated by Prof. R. WEITZENBÖCK.) (Communicated at the meeting of December

Mehr

4. Kapitel 3D Engine Geometry

4. Kapitel 3D Engine Geometry 15.11.2007 Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics 4. Kapitel 3D Engine Geometry Anne Adams & Katharina Schmitt Universität Trier Fachbereich IV Proseminar Numerik Wintersemester 2007/08

Mehr

Elektromagnetische Felder

Elektromagnetische Felder Heino Henke Elektromagnetische Felder Theorie und Anwendung 3., erweiterte Auflage Mit 212 Abbildungen und 7 Tabellen * J Springer Inhaltsverzeichnis Zur Bedeutung der elektromagnetischen Theorie 1 1.

Mehr

Die Weierstraßsche Funktion

Die Weierstraßsche Funktion Die Weierstraßsche Funktion Nicolas Weisskopf 7. September 0 Zusammenfassung In dieser Arbeit führen wir die Weierstraßsche Funktion ein und untersuchen einige ihrer Eigenschaften. Wir zeigen, dass jede

Mehr

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale 300 Arbeit, Energie und Potential 30 Arbeit und Leistung 30 Felder und Potentiale um was geht es? Arten on (mechanischer) Energie Potentialbegriff Beschreibung on Systemen mittels Energie 3 potentielle

Mehr

Physik 1 für Ingenieure

Physik 1 für Ingenieure Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#

Mehr

QED Materie, Licht und das Nichts. Wissenschaftliches Gebiet und Thema: Physikalische Eigenschaften von Licht

QED Materie, Licht und das Nichts. Wissenschaftliches Gebiet und Thema: Physikalische Eigenschaften von Licht QED Materie, Licht und das Nichts 1 Wissenschaftliches Gebiet und Thema: Physikalische Eigenschaften von Licht Titel/Jahr: QED Materie, Licht und das Nichts (2005) Filmstudio: Sciencemotion Webseite des

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term

Mehr

Physik für Mediziner und Zahmediziner

Physik für Mediziner und Zahmediziner Physik für Mediziner und Zahmediziner Vorlesung 03 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1 Arbeit: vorläufige Definition Definition der Arbeit (vorläufig): Wird auf

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung s s m g m g mgs = mgs s/2 mgs = const. s 2m g m g 2mgs/2 = mgs.. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung Arbeit ist Kraft mal Weg Gotthardstraße Treppe und Lift Feder Bergsteiger/Wanderer

Mehr

Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten

Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten Martin Zellner 18. Juli 2011 Einleitende Worte Diese Formelsammlung enthält alle Formeln und Konstanten die im Verlaufe des Semesters in den Übungsblättern

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Computer Vision: Optische Flüsse

Computer Vision: Optische Flüsse Computer Vision: Optische Flüsse D. Schlesinger TUD/INF/KI/IS Bewegungsanalyse Optischer Fluss Lokale Verfahren (Lukas-Kanade) Globale Verfahren (Horn-Schunck) (+ kontinuierliche Ansätze: mathematische

Mehr

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn

Mehr

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung

Mehr

Einführung in die Beschleunigerphysik WS 2001/02. hc = h ν = = 2 10 10 J λ. h λ B. = = p. de Broglie-Wellenlänge: U = 1.2 10 9 V

Einführung in die Beschleunigerphysik WS 2001/02. hc = h ν = = 2 10 10 J λ. h λ B. = = p. de Broglie-Wellenlänge: U = 1.2 10 9 V Bedeutung hoher Teilchenenergien Dann ist die Spannung Die kleinsten Dimensionen liegen heute in der Physik unter d < 10 15 m Die zur Untersuchung benutzten Wellenlängen dürfen ebenfalls nicht größer sein.

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,

Mehr

Kapitel 7. Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung. 7.2 Die Klein-Gordon-Gleichung. 7.1 Einleitung

Kapitel 7. Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung. 7.2 Die Klein-Gordon-Gleichung. 7.1 Einleitung 10 Teilchenphysik, HS 007-SS 008, Prof. A. Rubbia ETH Zurich) 7. Die Klein-Gordon-Gleichung Kapitel 7 Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung Wir können im Prinzip die Schrödinger-Gleichung einfach erweitern.

Mehr

8. Energie, Impuls und Drehimpuls des elektromagnetischen

8. Energie, Impuls und Drehimpuls des elektromagnetischen 8. Energie, Impuls un Drehimpuls es elektromagnetischen Feles 8.1 Energie In Abschnitt.5 hatten wir em elektrostatischen Fel eine Energie zugeornet, charakterisiert urch ie Energieichte ω el ɛ 0 E. (8.1

Mehr

Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2nfach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist. Bernhard Riemann

Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2nfach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist. Bernhard Riemann Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2nfach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist. Bernhard Riemann (Auszug aus einem Schreiben Riemann s an Herrn Weierstrass) [Journal für

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

Gefesselte Masse. Jörg J. Buchholz 23. März 2014

Gefesselte Masse. Jörg J. Buchholz 23. März 2014 Gefesselte Masse Jörg J. Buchholz 23. März 204 Einleitung In Abbildung ist eine Punktmasse m dargestellt, die sich, von einem masselosen starren tab der Länge l gefesselt, auf einer Kreisbahn bewegt. Dabei

Mehr

Höhe, Breite, Länge & Zeit -gibt es mehr als diese vier bekannten Dimensionen?

Höhe, Breite, Länge & Zeit -gibt es mehr als diese vier bekannten Dimensionen? Höhe, Breite, Länge & Zeit -gibt es mehr als diese vier bekannten Dimensionen? Betti Hartmann Jacobs University Bremen Schlaues Haus Oldenburg, 11. März 2013 1884, Edwin Abbott: Flächenland eine Romanze

Mehr

Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011

Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011 Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011 1. Fermat Teil I : Berechnen Sie die Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes. Die beiden Katheten sollen

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

CPM: A Deformable Model for Shape Recovery and Segmentation Based on Charged Particles. Stefan Fleischer, Adolf Hille

CPM: A Deformable Model for Shape Recovery and Segmentation Based on Charged Particles. Stefan Fleischer, Adolf Hille CPM: A Deformable Model for Shape Recovery and Segmentation Based on Charged Particles Stefan Fleischer, Adolf Hille Gliederung des Vortrags Motivation Physikalische Modellgrundlagen CPM im Einzelnen Resultate

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412

Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412 Patrick Christ und Daniel Biedermann 16.10.2009 1. INHALTSVERZEICHNIS 1. INHALTSVERZEICHNIS... 2 2. AUFGABE 1...

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) I

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) I Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) I Autor: Harald Höller letzte Änderung: 17.03.10 Lizenz: Creative Commons Lizenz by-nc-sa 3.0 at Differentialgleichungen lösen und plotten in Mathematica Grundlegendes

Mehr

Einführung in die Robotik Kinematik. Mohamed Oubbati Institut für Neuroinformatik. Tel.: (+49) 731 / 50 24153 mohamed.oubbati@uni-ulm.de 20. 11.

Einführung in die Robotik Kinematik. Mohamed Oubbati Institut für Neuroinformatik. Tel.: (+49) 731 / 50 24153 mohamed.oubbati@uni-ulm.de 20. 11. Einführung in die Robotik Kinematik Mohamed Oubbati Institut für Neuroinformatik Tel.: (+49) 731 / 50 24153 mohamed.oubbati@uni-ulm.de 20. 11. 2012 Die Klausur findet am 12 März 2013 im H20 um 11h. Dauer:

Mehr

Abitur in Mathematik Operatoren. 2 Operatoren Anforderungen und Arbeitsaufträge in den Abiturprüfungen

Abitur in Mathematik Operatoren. 2 Operatoren Anforderungen und Arbeitsaufträge in den Abiturprüfungen 2 Anforderungen und Arbeitsaufträge in den Abiturprüfungen Durch die in den Abituraufgaben verwendeten Arbeitsaufträge und Handlungsanweisungen oder auch genannt wie z. B. begründen, herleiten oder skizzieren

Mehr

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals:

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals: 1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als

Mehr

Berechnung und Zusamenstellung: Hans Cousto

Berechnung und Zusamenstellung: Hans Cousto Stimmtabellen zum Kammerton der Planckschen Maßeinheit der Zeit, zum Kammerton der reduzierten Planckschen Maßeinheit der Zeit und zum Ton der Einheit berechnet nach den Angaben von Norbert Böhm auf Basis

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Arbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag

Arbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag Arbeit und Energie Brückenkurs, 4. Tag Worum geht s? Tricks für einfachere Problemlösung Arbeit Skalarprodukt von Vektoren Leistung Kinetische Energie Potentielle Energie 24.09.2014 Brückenkurs Physik:

Mehr

2. Arbeit und Energie

2. Arbeit und Energie 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewegungsgleichung erfordert die Berechnung von mehr oder weniger komplizierten Integralen. Für viele Fälle kann ein Teil der Integrationen

Mehr

2. Arbeit und Energie

2. Arbeit und Energie 2. Arbeit und Energie Zur Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewegungsgleichung müssen mehr oder weniger komplizierte Integrale berechnet werden. Bei einer Reihe von wichtigen Anwendungen treten die

Mehr

Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13

Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 PD Dr. Ewald Müller Max-Planck-Institut für Astrophysik Karl-Schwarzschild-Straße

Mehr

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung Musterlösungen zu n über gewöhnliche Differentialgleichungen a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y + - y = e - ln, > 0 Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an Wie lautet

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012

SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012 SO(2) und SO(3) Martin Schlederer 06. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Wiederholung 2 2.1 Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n)..................... 2 2.2 Erzeuger.....................................

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Zeichnen von Graphen. graph drawing

Zeichnen von Graphen. graph drawing Zeichnen von Graphen graph drawing WS 2006 / 2007 Gruppe: D_rot_Ala0607 Christian Becker 11042315 Eugen Plischke 11042351 Vadim Filippov 11042026 Gegeben sei ein Graph G = (V; E) Problemstellung V E =

Mehr

Berufsmatura / Physik Seite 2/18

Berufsmatura / Physik Seite 2/18 Berufsmatura / Physik Seite 1/18 Schulinterner Lehrplan nach RLP 001 Gültig ab 005 Physik BM 1 SLP 005 Allgemeine Bildungsziele Physik erforscht mit experimentellen und theoretischen Methoden die messend

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Zulassungsprüfung für den Master-Studiengang in Elektrotechnik und Informationstechnik an der Leibniz Universität Hannover

Zulassungsprüfung für den Master-Studiengang in Elektrotechnik und Informationstechnik an der Leibniz Universität Hannover Zulassungsprüfung für den Master-Studiengang in Elektrotechnik und Informationstechnik an der Leibniz Universität Hannover Zulassungsjahr: 203 (Sommersemester) Allgemeine Informationen: Der deutschsprachige

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Versuchsauswertung mit Polynom-Regression in Excel

Versuchsauswertung mit Polynom-Regression in Excel Versuchsauswertung mit Polynom-Regression in Excel Aufgabenstellung: Gegeben sei die in Bild 1 gezeigte Excel-Tabelle mit Messwertepaaren y i und x i. Aufgrund bekannter physikalischer Zusammenhänge wird

Mehr

Optionskennzahlen. 1 Man beachte, daß die mittels dieser Verhältnisse berechneten Veränderungen nur für kleine Veränderungen rich-

Optionskennzahlen. 1 Man beachte, daß die mittels dieser Verhältnisse berechneten Veränderungen nur für kleine Veränderungen rich- Optionskennzahlen 1 Einführung Die Abhängigkeit des Optionspreises von den verschiedenen Parametern wird analysiert, indem diese marginal 1 verändert und ins Verhältnis zu der daraus resultierenden Veränderung

Mehr

Bei Konstruktionen dürfen nur die folgenden Schritte durchgeführt werden : Beliebigen Punkt auf einer Geraden, Strecke oder Kreislinie zeichnen.

Bei Konstruktionen dürfen nur die folgenden Schritte durchgeführt werden : Beliebigen Punkt auf einer Geraden, Strecke oder Kreislinie zeichnen. Geometrie I. Zeichnen und Konstruieren ================================================================== 1.1 Der Unterschied zwischen Zeichnen und Konstruieren Bei der Konstruktion einer geometrischen

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

EIN LEMMA ÜBER PERLENKETTEN. Christian SIEBENEICHER

EIN LEMMA ÜBER PERLENKETTEN. Christian SIEBENEICHER EIN LEMMA ÜBER PERLENKETTEN VON Andreas DRESS UND Christian SIEBENEICHER Abstract: We establish a diagram providing various bijections related to the theory of necklaces (or aperiodic words ) and clarifying

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte März 2008 Zusammenfassung IB 1. Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten 1.1 Punkt-Gerade Ein Punkt kann entweder auf einer gegebenen

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

Workshop über Kompaktifizierungen von Modulräumen und tropische Geometrie. Einführung. Termine WS 2007/08

Workshop über Kompaktifizierungen von Modulräumen und tropische Geometrie. Einführung. Termine WS 2007/08 WS 2007/08 Workshop über Kompaktifizierungen von Modulräumen und tropische Geometrie Termine Der Workshop findet an drei Samstagen im Wintersemester stattfinden: 10. November, 1. Dezember, 19. Januar.

Mehr

Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen

Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Christoph Bischko, Lukas Einkemmer, Dominik Steinhauser Fakultät für Mathematik, Informatik und Physik Universität Innsbruck 2. Juli, 2010 Christoph,

Mehr

3PbÁTcfPbÁP]STaTÁFXbbT]bRWPUcbV[^bbPaÁ

3PbÁTcfPbÁP]STaTÁFXbbT]bRWPUcbV[^bbPaÁ 8]U^a\PcX^]bQ[Pcc 3PbTcfPbP]STaTFXbbT]bRWPUcbV[^bbPa Natürlich bilde ich mir nicht im Geringsten ein, über diese allgemeinen Dinge irgendetwas Neues oder auch nur Originelles sagen zu können. Albert Einstein

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

a' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg

a' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg ufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und nti-steinersche Punkte Darij Grinberg Eine durch den Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks B gehende Gerade g werde an den Dreiecksseiten B; und B gespiegelt;

Mehr