Von TSURUSABURO TAKASU. \S 1. Einleitung. die. $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{3}dt^{2}$ (1] $\gamma_{4}=i\gamma_{\epsilon}$,

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Von TSURUSABURO TAKASU. \S 1. Einleitung. die. $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{3}dt^{2}$ (1] $\gamma_{4}=i\gamma_{\epsilon}$,"

Transkript

1 die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE, WELCHE ALS EINE FASERB\"UNDELGEOMETRIE AUFGEFASST IST.*) Von TSURUSABURO TAKASU. (Eingegangen am 10. Juli, 1956) \S 1. Einleitung. Betreffs der speziellen Relativit\"atstheorie bleibt es heut-zu-tage bis auf ihre Laguerre-geometrische Auffassung des Verfassers, welche gleichzeitig ihre konkrete physikalische Auffassung ist, keine Frage wie die folgenden Betrachtungen sofort zeigen: $i$ ( ] emitiert ein Elektron ($x,y,$ ] ] die Energie $z$ $=(x^{\ell}$ $c$ in wie einfache Zeichnung sofort zeigt, $ds$ derart, dass Zeiteinheit, so ist, $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{3}dt^{2}$ (1] ist, der rein imagin\"are tangentielle Abstand zwischen den orientierten Kugelfl\"achen ( $x^{t},$ $ri$ und $(x^{i}+dx^{i}, r+dr$] mit $r=ct$, die die Energiefronten (genauer: Aktionsfunktionsfronten]** sind. Dann ist 16) $ds=\gamma_{1}dx^{1}+\gamma_{2}dx^{2}+\gamma_{3}dx^{3}-\gamma_{4}dr,$ $ ds =ds$, (2) $\gamma_{h}\gamma_{k}+\gamma_{k}\gamma_{h}=2\delta_{hk}$, ( $h,$ $k=1,2,3,5$], $\gamma_{4}=i\gamma_{\epsilon}$, (3] worin $\gamma_{1},$ $\gamma_{2},$ $\gamma_{3}$ $\gamma_{5}$ und Diracschen Matrizen sind.$*$) Die quadratische Form (1) ist die Grundform f\"ur die Laguerresche Geometrie mit der orientierten Kugel $(x^{i}, r]$ als Raumelement; (ii) Die Bewegungsgleichungen des freien Elektrons sind $\frac{d^{2}x^{\ell}}{ds^{\ell}}=0$, $\frac{d^{2}r}{ds^{z}}=0$, ($i=1,2,3$], (4] welche einen Drehkegel mit der Achse $\frac{d}{d}s^{x_{\overline{2}}^{\ell}}=02$ darstellen; $*)$ Diesc Abhandlung ist eine Einzelheitsdarstellung vom Auszug: T. Takasu 17) und gibt eine Berichtigung zu den Aufs\"atzen: T. Takasu 13). 14) und liefert die Standardmethode. $**]$ T. Takasu (1953). 5) Jan Wcyssenhoff 13) hat die Idce von Energiefrontekugel fur speziele Relativit\"atstheorie gehabt. Aber sein geometrisches Gesetz ist 3-dimensionalc Lieschc Geomctrie, welche 4-dimensionale M6biussche Geometrie ist. Betreffs der konformen Gcomctric siche 18), 19), 20) und 21). $*]$ Vgl. 22) und 23).

2 $-\frac{\partial X^{1}}{\partial r}-(\frac{\partial\alpha^{2}}{\partial x^{3}}-\frac{\partial^{3}\frac{\partial X^{\ell}}{\partial x^{i}\alpha]}}{\partial x^{l}}=\sigma^{1}usw=.\sigma,$ $ $ $\frac{\partial\alpha^{1}}{\partial r}-(\frac{\partial X^{2}}{\partial x^{3}}-\frac{\partial\frac{\partial\alpha^{\ell}}{x^{3\backslash }\partial x^{t})}}{\partial x^{\ell}}=0usw.=0,$ 120 T. TAKASU. (iii) die acht Maxwellschen Gleichungen (5] sind die acht Komponenten der einzigen hyperkomplexen Gleichung $4\frac{d^{2}\Phi}{dS^{g}}=J$, (6) worin $\phi^{\ell}=elektromagnetische$ Vektorpotentialc, ($i=1,2,3$], $-\phi =elektrostatisches$ Potential, $\sigma^{i}=elektrische$ Stromdichte, $\sigma=elektrische$ $X^{\ell}=$ Ladungsdichte, elektrische Feldstarke, $\alpha^{\ell}=magnetische$ Feldstarke, $\Phi\equiv\gamma_{\ell}\phi^{\ell}\underline{=}\gamma\phi-\gamma\phi^{\ell}$, ($l=1,2,3,4$], (7] $2\frac{d}{dS}=\gamma_{\ell}\frac{\partial}{\partial x^{\iota}}$, (8) $J\equiv\gamma_{\ell}\sigma^{l}\equiv\gamma_{4}\sigma-\gamma_{\ell}\sigma^{\ell}$ (9] ist; (iv) die Gleichung $4\frac{d^{2}\psi}{dS^{2}}=2_{\frac{d}{d}\psi_{\overline{S}}}=\gamma_{i}\frac{\partial\phi}{\partial x^{i}}=0$, ( $x^{4}=r$ ] (10] mit $\psi\equiv 2\frac{d\Phi}{dS}=\frac{\mathfrak{B}^{\lambda}}{\partial x^{\lambda}}-\gamma\gamma_{1}x^{1}-\cdot\cdot+\gamma_{2}\gamma_{3}\alpha^{1}+\cdots$ ist die lineare Wellengleichung, welche uns mit $p^{\ell}=\frac{h}{2\pi l}\frac{\partial}{\partial x^{\ell}}$, $p4=-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial}{\partial r}$ (12) zur Diracschen Gleichung ($\gamma_{\ell}(p^{\ell}+(e/c1\phi)-(p4+(e/c$ ] $\phi^{4}$] $+\gamma_{f}mae$} $\psi=0$ (13] f\"uhrt; $*$ ) (v) die Gleichung $\gamma_{k}\frac{\partial}{\partial x^{k}}(\gamma_{i}\frac{\partial}{\partial x^{l}}]\psi=0$ (14) $*)$ Eine hyperkomplexc Behandlung des gew6hn1ichcn Prozesses. Vgl. etwa G. Temple, An Introduction to Quantum Theory, S

3 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 121 ist die Wellengleichung zweiter Ordnung, welche uns zur schen Gleichung Schr\"odinger-Gordon {( $p^{\ell}+(efc$ ] $\phi^{i}$]( $p^{\iota}+(e/c$ $\phi$ ] ] $-tp+(e[c)p4]^{2}+m_{0/}^{21}c^{0}\cdot\psi=0$ (15) f\"uhrt. $*$ ) Betreffs der allgemeinen Relativitatstheorie sowie betreffs der einheitlichen Feldtheorie ist der Umstand ganz anders. Es ist bezweckt in dieser Abhandlung erstens \S 2. zu beweisen, dass die allgemeine Relativitatstheorie Einsteins keine echten $Beu\cdot egungsgleichungen$ furfreie Massenpartikeln liefert $da$ der Momentumvektor langs der geodatischen Linien nicht tangentiell parallel sein kann; zweitens \S 3. zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheone Einsteins 4) vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enthalt; und schliesslich \S 4. die echte allgemeine Relativitatstheorie zu liefern, welche eine physikalische Forderung ist und gleichzeitig die universale, naturliche und wesentliche einheitliche $Feld\ell heone$ von selbst bildet. Diese endg\"ultige Relativit\"atstheorie ist die vom Verfasser begr\"undete nicht-holonome Laguerresche Faserbiindelgeometrie zweiter Art, welche im drei-dimensionalen Cartesischen Raume durch Fibrierung mit (im allgemeinen) nicht-holonomen Aktionen und also durch eine fernparallelismische Torsionierung realisiert ist. Dabei sind die Raumelemente orientierte verallgemeinerte Kugeln, die die Energiefronten (genauer: die Aktionsfunktionsfronten) sind und deren Radien die Bahnen des betreffenden Fernparallelismus sind und ist die gesetzliche Dimension $4^{2}-({}_{4}C_{2}+4)+4=10d.h$. diejenige des betreffenden Faserb\"undels. 16) A. Einstein selber hat schon ge\"aussert: 2) Es ist daher denkbar, dass diese Theorie (Fernparallelismus!) die urspr\"ungliche Fassung der allgemeinen Relativit\"atstheorie verdrangen wird. (Er hat dabei eine einheitliche Feldtheorie bezweckt. Also ist sein Gesichtspunkt von meinem hiesigen verschieden.) Es sieht so aus, dass man nachher seine Auswahlsweise von elektromagnetischen Vektorpotentialen als bedenkliches angesehen hat. Aber die genannte Verdr\"angung findet hier statt, was f\"ur unsren hochstverehrenden Einstein mir grosses Leid tut.

4 ( 122 T. TAKASU. \S 2. Zu beweisen, dass der Momentumvektor l\"angs der geod\"atischen Linien im Raum-Zeit Einsteins nicht parallel sind. 1. Die geod\"atischen Linien lm Raum-Zeit Einsteins.{?}Es seien $\omega_{\mu}^{l},$ $l,$ $ m,\cdots$ ; $\lambda,$ $\mu,\cdots=1,2,3,4$] die kovarianten Komponenten eines Momentumvektors, welche durch $L:l$ ($x^{1},$ $x^{2},$ dung einer Partikel ] im drei-dimensionalen Cartesischen Raume $x^{3}$ mit Masse oder mit Elektrizit\"at oder mit beiden entsteht. Dann geht der Vektor $ds=\gamma_{i}dx^{l}=(\gamma_{\ell}\frac{dx^{i}}{d\ell}]dt$ (1.1) $de^{\neg}$ konstanten Momentums ins Folgende \"uber: $ds=\gamma_{\ell}\omega^{\ell}=\gamma_{l}\frac{\omega^{i}}{d\ell}dt$, ($\omega^{r}=\omega_{\mu}^{i}dx^{\mu}$], (1.2) wobei $\omega^{l}$ (im allgemeinen) nicht-holonomen Aktionskomponenten sind und die $x^{\lambda}$ von jetzt an beliebige kr\"ummlinige Koordinaten sein k\"onnen. Wie bei (1) haben wir so dass $ds^{2}=-ds^{2}=dsds=-\omega^{l}\omega^{\ell}=-g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu},$ $ ds =ds$, (1.3) $g_{\mu\nu}\equiv g_{\underline{\mu\nu}}+g_{\mu\nu,\vee}$, $g_{\underline{\mu\nu}}=g_{\underline{v\mu}}$, $ g_{\mu\nu}=-g_{\nu\mu}\vee\vee$ (1.4] $g_{\mu\nu}=\omega_{\mu\nu\mu v\mu)}^{\iota_{\omega^{i}=\omega^{4}\omega^{4}-\omega^{\ell}\omega^{\ell}}},$, ($i=1,2,3$], (1.5) $g_{\mu v,v}=\gamma_{4}\gamma_{1}(\omega_{\mu}^{4}\omega_{\nu}^{1}-\omega_{\mu}^{1}\omega_{v}^{4}$] $+\cdots+\gamma_{2}\gamma_{3}(\omega_{\mu}^{2}\omega_{\nu}^{3}-\omega_{\mu}^{3}\omega_{\nu}^{2}$] $+\cdots$ (1.6) ist. Dabei ist $ds$ die Resultanteaktion. F\"ur die Lagrangeschen Funktion $L\equiv_{s^{l}}\frac{1}{2}\frac{\omega}{d}-\frac{\omega^{i}}{dS}$, (1.7] haben wir $\frac{1}{2}\delta S=\delta\int_{\dot{s}_{0}}s_{1}LdS=0$, (1.8) woraus folgt: $\frac{d}{ds}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{\lambda}}]-\frac{\partial L}{\partial q^{\lambda}}=0$, (1.9) worin $q^{\lambda}=x^{\lambda}$, $\dot{q}^{\lambda}=dx^{\lambda}/ds$ ist. (1.9) wird zu

5 sind $\frac{d^{2}x^{\sigma}}{ds-},$ $+\frac{1}{2}g^{\underline{\mu\sigma}}(\omega_{\mu}^{l}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\nu}}+\omega_{\mu}^{l}\frac{\partial\omega_{\nu}^{l}}{\partial x^{\lambda}}+\omega_{\nu}^{l}\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\lambda}}+\omega_{\lambda}^{\iota_{\partial x^{\nu}}^{\partial\omega_{\mu}^{l}}}$ $\omega_{\mu}^{l}\omega_{l}^{\lambda}=\delta_{\mu}^{\lambda}$ $-\omega_{v}^{l}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\omega_{\lambda}^{l}\frac{\partial\omega_{\nu}^{i}}{\partial x^{\mu}}]\frac{dx^{\lambda}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0$ $\ell\overline{\partial x^{\nu}}$ des entsprechenden $\mu\overline{\partial x^{\nu}}$ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 123 $0=\frac{d}{dS}(\frac{\omega^{l}}{dS}\omega_{\mu}^{l}]-\frac{\omega^{l}}{dS}\frac{\partial co_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}\frac{dx^{\lambda}}{ds}$ $=g_{\underline{\mu\lambda}}\frac{d- x^{\lambda}}{ds^{2}}+(\omega_{\mu}^{\iota}\frac{\partial\omega_{\lambda}^{\prime}}{\partial x^{\nu}}+\omega_{\nu}^{l}\frac{\partial\omega_{\mu}^{\prime}}{\partial \mathfrak{r}^{\lambda}}-\omega_{\nu\frac{\partial\omega_{\lambda}^{l}}{\partial x^{\mu}}]\frac{dx^{\lambda}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}}^{\ell}$, welche weiter zu d.h. zu $\frac{d^{2}x^{\lambda}}{ds^{2}}+\left\{\begin{array}{l}\lambda\\\underline{\mu\nu}\end{array}\right\}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0$ (1.10) wird, welche die geod\"atischen Linien darstellen. $\Omega_{\ell}^{\lambda}$ Die kontravarianten Komponenten durch Momentumvektors $\omega_{\lambda}^{l}$ werden $\omega_{\lambda}^{l}\omega_{m}^{\lambda}=\delta_{m}^{\ell}$ (1.11] definiert und gelten die folgenden Beziehungen: $g^{\underline{\mu\nu}}=\omega_{\ell l}^{\mu Qv}$, $\omega_{\nu}^{l}=g_{\underline{\mu\nu}}\omega_{\ell}^{\mu}$, $\Omega_{\ell}^{\lambda}=g^{\underline{\lambda\mu}}\omega_{\mu}^{l}$. (1.12] F\"uhrt man die Bezeichnung $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}\equiv\omega^{\sigma}\equiv-\omega^{\iota\partial\omega_{l}^{\sigma}}\partial\omega_{\mu}^{l}$ (1.13] ein, so lasst sich leicht beweisen: $\left\{\begin{array}{l}\sigma\\\underline{\mu\nu}\end{array}\right\}\lambda-=\frac{1}{2}(\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}+\bigwedge_{\gamma\mu}^{\sigma}]+g[g_{\mu\tau}(\bigwedge_{\lambda\nu}^{\tau}-\bigwedge_{\nu\lambda}^{\tau}]$ $+g_{\tau\nu}(\bigwedge_{\lambda\mu}^{\tau}-\bigwedge_{\mu\lambda}^{\tau}$]], (1.14) worin $\triangle\lambda\mu\nu=\left \begin{array}{lll}\omega_{\lambda}^{i} & \omega_{\mu}^{l} & \omega_{\nu}^{l}\\\frac{\partial}{\partial x^{\lambda}} & \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} & \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\\\omega_{\lambda}^{l} & \omega^{l} & \omega_{\nu}^{i}\end{array}\right $ (1.15) gesetzt ist. Die $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ bekanntlich die den $\omega_{\mu}^{l}$ Fernparallelismus-

6 ein und langs l\"angs l\"ang8 $g_{\underline{\mu\nu}}\omega_{l}^{\lambda}\omega_{\ell}^{\nu}=g_{\underline{\mu\nu}}g^{\underline{\lambda\nu}}=\delta_{\mu}^{\lambda}$ einen die 124 T. TAKASU. parameter 3) 2. $Da8S$ $\Omega_{l}^{\lambda}$ $\omega_{\mu}^{i}$ der Momentumvektor der Bahn des den Fernparallelismus parallel ist. Aus (1.13) folgt: entsprechenden $\frac{\partial\omega_{p}^{\sigma}}{\partial x^{v}}+\bigwedge_{\mu v}^{\sigma}\omega_{p}^{\mu}=0$, welche bedeutet, dass $\frac{d\omega_{p}^{\sigma}}{ds}+\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}\frac{dx^{\nu}}{ds}\omega_{p}^{\mu}=0$, (2.1) $d.h$. dass der Momentumvektor $\Omega_{\ell}^{\sigma}$ der Bahn $2_{\ell}^{\lambda}\frac{d\omega^{\ell}}{dSdS}\equiv\frac{d^{2}x^{\lambda}}{dS^{2}}+\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}\frac{dx^{\mu}dx^{\nu}}{dSdS}=0$ (2.2) des Fernparallelismus $\wedge^{\lambda}$ $\mu\nu$ parallel ist. N. B. Man kann $-dx^{\lambda}\partial F^{=a^{\iota}\Omega_{\ell}^{\lambda}}$ ohne Schwierigkeit aus (7.2) herleiten. 3, $\Omega_{l}^{\lambda}$ Dass der Momentumvektor der geod\"atischen Linien im Raumzeit nicht parallel ist. Wie die aus (2.2] stammende Beziehung $\frac{d}{ds}\frac{\omega^{\ell}}{ds}=0$ d.h. die Beziehung $\frac{\omega^{l}}{ds}\underline{=}\omega_{\mu}^{l}\frac{dx^{\mu}}{ds}\equiv g_{\lambda\underline{\mu}}\omega_{\ell}^{\lambda}\frac{dx^{\mu}}{ds}=a^{\ell}$, ( ], (3.1) $a^{l}a^{l}\underline{=}1$ samt der Identitat $\Omega_{\ell}^{\lambda}$ $a^{\ell}$ zeigt, ist Einheitsvektor derart, dass die $\frac{dx^{\lambda}}{ds}$ von Richtungskosinus des Vektors darstellt. Daf\"ur, dass $\{_{\mu\nu}\sigma\rangle$ $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ l-komponente einer Art und denselben Parallelismus geben, nach Friesecke $ 1925I$ $\psi_{\nu}$ ist es notwendig und hinreichend, dass ein Vektor derart existiert, dass $f_{\mu\nu}^{\sigma}\}=\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}+2\delta_{\mu}^{\sigma}\psi_{\nu}$ (3.2) wird, so dass $g^{\underline{\sigma}\tau}\omega_{\nu}^{\ell(\frac{\partial\omega_{\tau}^{\ell}}{\partial x^{\mu}}-}\frac{\partial\omega_{\mu}^{\ell}}{\partial x^{\tau}}i+\frac{1}{2}g^{\underline{\sigma\tau}}\delta_{\tau\mu\nu}=2\delta_{\mu}^{\sigma}\psi_{\nu}$ (3.3)

7 langs $\frac{\partial\omega_{\sigma}^{\ell}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}=0$ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 125 sein muss. Dann m\"usste f\"ur $\sigma\neq\mu$ $g^{\underline{\sigma\tau}}\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\tau}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\tau}}]+\frac{1}{2}g^{\underline{\sigma\tau}}\delta_{\tau\mu\nu}=0$ (3.4) sein. ${\rm Im}$ Falle des Orthogonalsystems haben wir $ F-\neq 0(\sigma=\tau$ ]; $g^{\underline{\sigma\tau}}=0$ ( $\sigma\neq\tau$ ]. Dann wird (3.4) zu $\omega_{\nu}^{\iota}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}--\partial\partial\frac{\omega_{\mu}^{l}}{x^{\sigma}}]+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}=0$. $\mu$ nimmt $n-1$ Werte ( $\neq\sigma$ ] an. F\"ur $\mu=\sigma$ haben wir $\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}})+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}\equiv 0$. (3.5) Also haben wir $\omega_{\nu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{i}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}]+\frac{1}{2}\delta_{\sigma\mu\nu}=0,$ ($\mu,$ $\nu=1,2,$ $\cdots,$ $n$] (3.6] f\"ur einen bestimmten Wert (aus 1, 2, $\cdots$, $n$) von $\sigma$. Betrachten wir den besonderen Fall, dass $\nu\rightarrow\mu$ ist, dann wird (3.6) zu $\omega_{\mu}^{l}(\frac{\partial\omega_{\sigma}^{l}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial\omega_{\mu}^{l}}{\partial x^{\sigma}}]=0$ ($\sigma,$ $\mu=1,2,\cdots,$ $n$] f\"ur $\mu$ nicht summierend. Nun ist $ \omega_{\mu}^{\ell} \neq 0$. Also muss $\omega^{i}$ sein, was dann und nur dann der Fall ist, wenn die s\"amtlichen Pfaffianen exakt (holonom) sind, was ausgeschlossen ist. Daher k\"onnen wir schliessen: $im$ ist. $\Omega_{l}^{\lambda}$ Als der Momentumvektor der geodatischen Linien $im$ Raumzeit allgemeinen nicht parallel ist, er desto mehr dabei nicht tangentiell parallel Z. B. Die geod\"atischen Linien auf der Kugeloberfl\"ache sind die Grosskreise, w\"ahrend die Bahnen des Fernparallelismus die Loxodromen sind. 4. $Da8S$ die Bahn $de8$ Fernparallelismus die Bahn einer freien Partikel ist. Erstens erfordern die Gleichungen (2.1) und (2.2) dass die Bahn (2.2] dlejenige

8 }\prime,\vee}$ in 126 $t\gamma$. TAKASU. einer freien Partikel ist. Zweitens erfordert das Prinzip Hamiltons der kleinsten Aktionsfunktion: $\delta S=0$, welches nach (1.9) f\"ur $q =\int_{s_{0}}s\frac{cl)l}{ds}ds,\dot{q}^{\prime}=\frac{\omega^{\prime}}{ds}$ zu (3.1] wird, dass die Bahn (3.1) des Fernparallelismus diejenige einer freien Partikel ist. \S 3. Zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enth\"alt. 5. Zu beweisen, dass die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins $\omega_{u}^{\iota}$ vom Jahre 1953 einen Widerspruch in sich enthalt. Wenn die (1.5) rein gravitationell \mbox{\boldmath $\iota$}v\"aren, dann w\"aren $g_{v\mu}$ die ebenfalls rein gravitationell. Dann m\"ussten die $g_{\mu^{\backslash dass die $g_{\mu\nu,\forall}$ nach (1.6) auch rein gravitationell sein, entgegen die Vermutung Einsteins, elektromagnetisch seien. 6. Dass die allgemeine Relativit\"atstheorie Einsteins sowie die verallgemeinerte \S 4. Die echte Relativit\"atstheorie. Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 nicht die richtigen sind. Die Resultaten der Artikeln 2, 3 und 4 \"uberzeugen uns dass weder (i) die allgemeine Relativitatstheorie $Eiliste^{;}\ovalbox{\tt\small REJECT} ns$ noch (ii) die verallgemeinerte Gravitationstheorie Einsteins vom Jahre 1953 keine richtigen Theorien sind, trotzdem allgemeine Relativitatstheorie Einsteins durch drei wohl-bekannten Beobachtungsresultatcn (vgl. Art. 12) unterst\"utzt ist. Die beiden $\prime I^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}heorien$ sind blosse $\nwarrow^{7}erm\mathfrak{u}tungen$ Einsteins gewesen. In diesem \S m\"ochte ich die echte allgemeine Relativit itstheorie liefern, die durch dieselben Beobachtungsresultaten ebenfalls unterst\"uzt wird. indem ich physikalische Forderungen verfolge. Die theoretische Physik ist meistenteils reduzibel zur Behandlung von Partikeln. Physiker sind bis jetzt gewohnt unmittelbar die Partikeln selber zu behandeln. Wenn jedoch die Partikeln Ladungen haben, dann emitieren sie Energie in jeder Richtung. Dic Energiefronten (genauer: Aktionsfunktionsfronten) sind f\"ur die spezielle Belativit\"atstheorie gew\"ohnliche Kugelfl\"achen und f\"ur die allgemeine Relativit\"atstheorie verallgemeinerte Kugelflachen, deren Radien die Bahnen des den $\omega_{\mu}^{l}$ entsprechenden Fernparallelismus sind.

9 darstellen. ein als in die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 127 Der Verfasser hat gefunden, dass die drei-dimensionale nicht-holonome Laguerresche Faserb\"undelgeometrie zweiter Art 8) die physikalischen Ph\"anomenen nat\"urlicherweise ganz genau beschreibt, wenn man die Aktionsfunktionsfrontenkugelfi\"achen (im verallgemeinerten Sinne) als Raumelemente aufnimmt. 7. Die echte allgemeine Relativit\"atstheorie. Wenn eine Partikel im dreidimensionalen Cartesischen Raume ohne Ladung liegt, so lasst sich sie bloss als $x^{\ell},$ ein geometrischer Punkt ( $i=1,2,3$ Sobald sie jedoch Ladung erh\"alt, ; Cartesische Koordinaten) reprasentieren. emitiert sie eine Menge von Energie etwa mit den Komponenten $\omega^{i}/dt\equiv\omega_{\mu}^{i}dx^{\mu}/dt$ in Zeiteinheit, so dass die $\omega^{\ell}$ der Aktion sind. Es sei dabei das Bezugsystem $\omega^{l}$ wir (1.3): $ds^{2}=\omega^{l}\omega^{\ell}=g_{\underline{\mu}}\nu dx^{\mu}dx^{\nu}$, ( Komponenten Orthogonalsystem, so dass $l,$ $m,\cdots;\lambda,\mu,$ $\nu,\cdots=1,2,3,4$] (7.1) haben. Hierbei ist $ds$ die $Resultan\ell eaktlon$ Da die $\omega^{l}$ geschrieben sind, k\"onnen wir von jetzt an die $x^{\lambda}$ ansehen. invarianter Form kr\"ummlinige Koordinaten F\"ur (7.1) ziehen wir die Formeln (1.2], (1.3], (1.4], (1.5], (1.6], (1.11], (1.12], (1.13], (2.2), (3.1) und (3.2) in Betracht. Die Differentialgleichungen (3.1] haben die Losungen: welche die Bahn des Fernparallelismus $\bigwedge_{\mu\nu}^{\sigma}$ $\xi^{\ell}=\int^{s}\omega^{l}/ds\cdot ds=a^{l}s$, ( $a^{\iota}a^{l}=1$ ], (7.2] Diese Bahn wollen wir die II-geodatischen Linien nennen. Diejenige verallgemeinerten Kugeln, deren Radien II-geod\"atische Linien sind, wollen wir $II$ -geodatische Kugeln nennen. Die II-geod\"atischen Linien verhalten sich betreffs der Projizieren und Schneiden genau wie gerade Linien. \"Uberdies sind sie Lbsungen des Variationsproblems $\delta S=0$ des Artikels 4. Also k\"onnen wir ( $\xi^{\ell}$ ] als ein Analogon des Cartesischen Koordinatensystems ansehen. Dabei sind die Koordinatenachsen die ll-geodatischen Linien. Da $\omega^{l}$ parameterinvariant sind, k\"onnen wir die Koordinaten ( $\xi^{\iota}$ ] im Grossen zu sein annehmen. Das Gefas.; der physikalischen Phanomenen ist der ursprungliche Cartesische Raum, trotzdem die ursprunglichen Geraden als Folge der Ladung der Partikel in die II-geodatischen Linien ubergegangen sind. Der gesetzliche

10 durch. (also 128 T. TAKASU. Raum hat die Torsion $\bigwedge_{\mu^{\gamma}}^{\sigma}-\bigwedge_{\nu\mu}^{\sigma}$ $t$ als ${\rm Im}$ allgemeinsten erhalten. Falle enthalten die Funktionen $\omega_{\mu}^{l}$ auch $\Omega_{\iota}^{\lambda}$] die Zeit $\xi^{t}$ eine Ver\"anderliche, so dass das Koordinatensystem ( ] $im$ allgemeinen sich mit der Zeit bewegt. Aktionen ($\omega^{\iota}$] $\xi^{\ell}$ Die Raumelemente sind die II.geodatischen Kugeln ( ], welche durch $(\omega_{\mu}^{\ell}, fibriert sind. Die gesetzliche Dimension ist, wegen x^{\lambda}$] $6+4=10-$ dimensional. Unsre Relativitatstheorie ist eine 3-dimensionale nicht-holonome Laguerresche Faserbiindelgeometrie. Die Referenzgruppe der Faserbundel ist die Orthogonalgruppe fiir $\omega^{l}$, welche als Faser betrachtet, den Hauptfaserbiindel (principal fibre bundle) von der Dimension $4^{\ell}-(4C_{2}+4$ ] $+4=10$ uns liefert. Auch die Koordinatentransfornationen $\overline{x}^{\lambda}=x^{\overline{\lambda}}(x^{\mu}$] kommen in Betracht. Die Bedingung $R_{\mu\nu}=0$ Einsteins entspricht unsrem $R_{mn}=0$ (als Folge von $\xi^{\iota}$ $R_{mn}^{l}=0]$, weil die ( ] rechtwinklig sind. Die fundamentalen Voraussetzungen Einsteins sind von selbst befriedigt. Also sind die mystischen Terminologien Einsteins wie Raumzeit, Intervall, Relativit\"atstheorie sollen jetzt bzw. durch nicht-holonomer Laguerrescher Faserbiindelraum, Resultanteaktion nicht-holonome Physik ersetzt werden. und holonome Physik und Die \"Ubergangsweise von der Newtonschen Physik zur jetzigen ist jetzt ganz durchsichtlich geworden: $e\dot{t}ne$ glatte Fortsetzung ohne Sprunge! In den folgenden Artikeln m\"ochte ich einzelne Theorien und experimentelle Unterst\"uzungen genauer darstellen. $x^{\lambda}$ $\xi^{\ell}$ 8. Ausdr\"ucke von Wegen der Formeln (7.2) wird die Gleichung (2.2) zu: $\partial^{2}x^{\lambda}/(\partial\xi^{m}\partial\xi^{n}$] $+\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}(\partial x^{\mu}[\partial\xi^{m}](\partial x^{\nu}/\partial\xi^{n}$] $a^{m}a^{n}=0$. (8.1) Dieses System von Differentialgleichungen besitzen ein einziges System von L\"osungen $x^{\lambda}=x^{\lambda}(\xi^{\ell}$], welche ein System von Anfangsbedingungen: $\iota^{\mu}=p\mu$ ( $\xi^{\ell}=0$ ], (8.2] $\partial x^{\mu}/\partial\xi^{\ell}=p_{\ell}\mu$ ($\xi^{l}=0$] (8.3] vergn\"ugen, worin $p_{\mu}$ und $ p_{i}\mu$ wilk\"urliche Konstanten sind.

11 $\bigwedge_{\mu\tau}^{\lambda}=\frac{1}{3}[(\partial\overline{\wedge}_{\mu v}^{\lambda}/\partial x^{\tau}+\partial\overline{\wedge}_{\nu\tau}^{\lambda}/\partial x^{\mu}+\partial\overline{\wedge}_{\tau\mu}^{\lambda}/\partial x^{\nu}]$ Euklidischer $ $ DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 129 Wir bestimmen die aufeinanderfolgenden Koeffizienten $H(p$ ] von der Potenzreihe $x^{\lambda}=p\lambda+\omega_{l}^{\lambda}(p_{\mu}$] $\xi^{\ell}-\frac{1}{2!}h_{lj}^{\lambda}(p\mu$ ] $\xi^{\ell}\xi^{j}-\frac{1}{3!}h_{fk}^{\lambda}(p\mu$] $\xi^{i}\xi^{f}\xi^{k}-\cdots$, (8.4] durch iterierte Differenzierungen von (8.1) und durch Benutzung der $Anfangs-$ bedingungen (8.2) und (8.3). Also haben wir wo $H_{J^{=\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\lambda}}}^{\lambda}\Omega_{\ell}^{\mu}\Omega_{f}^{\nu}$, (8.5) $\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\lambda}=\frac{1}{2}(\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}+\lambda_{\nu\mu}^{\lambda}$] $=\frac{1}{2}\omega_{\ell}^{\lambda}(\partial\omega_{\mu}^{\ell}[\partial x^{\nu}+a_{\omega_{\nu}^{l}}/\partial x^{\mu}],$ (8.6] und $H_{fk}^{\lambda}=\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda},\Omega^{\mu}\Omega_{j}^{\nu}\Omega_{k}^{r}$, (8.7) wo $-2(\overline{\wedge}_{\sigma\mu}^{\lambda}\overline{\wedge}_{\tau}^{\sigma}\overline{\wedge}_{\sigma\nu}^{\lambda}\overline{\wedge}_{\tau\mu}^{\sigma}\overline{\wedge}_{\sigma}^{\lambda},\overline{\wedge}_{\mu\nu}^{\sigma}]$, (8.8] usw. Die Jacobiane $ \Omega_{\ell}^{\lambda}(\mu$] $ $ von (8.4! ist von Null verschieden im Ursprung. Daher besitzt (8.4) die Umkehrungen, welche das Koordinatensystem ( $\xi^{\ell}$] eindeutigerweise definieren. 9. Nicht-holonome Laguerresche Geometrie. Als Folge der (7.2] ergibt sich die folgende Zuordnung: Riemannscher Raum $V_{4}$ $ $ Raum $E_{4}$ $II- geod\text{"\""{a}"} tischeli:\xi^{\ell}=\int\frac{nic\omega^{l}}{ds}ds=a^{\iota}\int ds$, Gerade $Linie:\xi^{l}=a^{\ell}S$, (9.1] $a^{\ell}a^{l}=1$. Nicht-holonome $ $ Cartcsische Koordinaten ( $\xi^{l}$]; $d\xi^{i}=\omega_{\mu}^{\ell}(x^{\lambda}]dx^{\mu}$. Gew6hn1iche Die folgende Zuordnung ist wohl bekannt:

12 Gerade $ $ 130 T. TAKASU. $(\xi^{\ell}),$ ( $\eta^{\ell}$]: $(\xi^{\ell}-\eta^{\ell})(\xi^{\ell}-\eta^{l}$]. Orientierte Ebene $ $ Minimalebene { $u_{\ell}$]; $u_{\ell}u_{l}\equiv 0$. Homozentrisches System. $ $ Linie. 4-dimensional im abstrakten Sinne. Also sind wir zur folgenden Zuordnung gef\"uhrt: $\ovalbox{\tt\small REJECT} Nicht- ho1onomerlagueroescherfaserb\{ihde1- Riemannscher Raum RaumL_{3} $ $V_{4}$ $(\xi^{l}], (\eta^{l}$]: ( ]( $\xi^{\ell}-\eta^{\ell}$]. (9.3] $\xi^{\ell}-\eta^{l}$ Homozentrisches System von orientierten $II$ -geodatischen Kugeln ( $\xi^{\iota}$]; $\xi^{\ell}=a^{\ell}s$. II-geod\"atische Kurve $4^{2}-(4C_{2}+4$ } $+4=1k$ $ $ 4- dimensional im abstrakten Sinne. Orientierte total-ii-geod\"atische$e$ verallgemeinerte $Ebenet$ $ Minimaltotal- II- geodatischeverallgemeinertehyperebene$ ( $u^{\ell}$]: $u_{\ell}\xi^{1}=0$, ( $uu_{\ell}=0$]. $\ovalbox{\tt\small REJECT}$

13 $\bigwedge_{\mu\nu}^{\lambda}-\bigwedge_{\nu\mu}^{\lambda}\neq 0$ produziert. die DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 131 Die Zuordnung zwischen der Laguerreschen Geometrie und der nichtholonomen Laguerreschen Faserb\"undelgeometrie ist jetzt naheliegend. Laguerreschen Koordinaten $\xi^{l}$ Ein Prinzip. Ersetzt man die Differcntiale $d\xi^{l}$ orientierter Kugel durch Pfaffianen $\omega^{l}$ der, so entsteht eine nicht-holonome Laguerresche Faserb\"undelgeometrie. Dabei wird die Fernparallelismustorsion Cartesische Raum. Das Gef\"ass der Raumelemente ist der urspr\"ungliche 10. Behandlung der Bewegungsgleichungen einer freien Partikel mittels der Polarkoordinaten. Wir haben schon gezeigt, dass die Bewegungsgleichungen einer freien Partikel diejenige einer II-geod\"atischen Linie (2.2) sind. Die L\"osungen sind durch (7.2) gegeben. Es seien $\rho,\theta$ und $\varphi$ Raume. Dann haben wir Polarkoordinaten im drei-dimensionalen Cartesischen $ ds^{2}=\gamma(\rho)dt^{2}-\{\overline{\gamma}(\rho$] $\rangle^{-1}d\rho^{2}-\rho^{2}d\theta^{2}-p^{2}\sin^{2}\theta d\varphi^{2}$. (10.1] Der Ausdruck (10.1) l\"asst sich stets in der Gestalt $ds_{1}^{2}=\gamma_{1}(\rho\iota)dt^{2}-d\rho_{1}^{2}-p_{1}^{2}d\theta^{2}-\rho_{1}^{2}$ sin2 $\theta d\varphi^{2}$ (10.2) umschreiben. In der Tat l\"asst sich die (10.1) folgendermassen umschreiben: $\overline{\gamma}f.ds^{a}=\gamma\overline{\gamma}f.d\ell^{2}-fd\rho^{l}-\overline{\gamma}f\rho^{2}d\theta^{2}-\overline{\gamma}f\rho^{2}\sin^{2}\theta d\varphi^{2}$. (10.3) Wir suchen die $ f=f(\rho$] derart nach, dass $\overline{\sqrt f}dp=dp_{1},$ $\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}\rho=p_{1}$ (10.4) wird. Aus (10.4) folgt $d\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}$. $p+\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}$. $dp=dp_{1}=\sqrt{}\overline{fd}p$ $d.h$. $d\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}/dp=\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}(1[\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}}-1][p$, (10.5) dessen Integral $f=(1[p^{2}\overline{\gamma}](\int\sqrt f-dp+c]^{2}$ (10.6) $\bullet$ ergibt. Aus (10.4) und (10.6) folgt: $\rho_{1}=\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f.}p=j\sqrt{}\overline{f}dp+c$. Setzt man nun $\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}f}ds=p^{-1}(j\sqrt{}\overline{f}d\rho+c$] $ds=ds_{1}$, (10.8]

14 $\bullet$ 132 T. TAKASU. $\gamma_{1}=\gamma\overline{\gamma}f=(\gamma/p^{2}$](, $\int\sqrt{f}d\rho+c]^{2}=\gamma\rho_{1}^{2}/p^{2}$ (10.9) dann wird (10.3] zu (10.2). 11. Der Fall einer Bewegung in einer Ebene. I. F\"ur eine Bewegung in $\theta=\frac{\pi}{2}$ der Ebene wird $ds^{2}=\gamma(p]dt^{2}-d\rho^{2}-\rho^{2}d\varphi^{2}$. (10.2] zu: Die Bewegungsgleichungen sind: woraus weiter $\sqrt{}\overline{\gamma}dt=a^{4}ds$, $d\rho=a^{1}ds$, $\rho d\varphi=ads,$ (( $a^{4}]^{2}-(a^{1}]^{2}-(a]^{2}=1$ ], $ d\rho:p=hd\varphi$, $dt=kdp:\sqrt{}\overline{\gamma(p]}$ folgt, worin und Konstanten sind. Die Bahn ist die logarithmische $h$ $k$ $S\mu rale$ (Loxodrome); $\rho=\exp h(\varphi-\varphi_{0}$ ]. (11.2) II. Die Bewegungsgleichungen f\"ur (10.1) sind: mit ( $1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}}$] $\rho=a^{1}ds$, $\mu\theta=a^{2}ds$, $p$ sin $\theta d\varphi=a^{8}ds$, $dr=\sqrt{}\overline{\gamma}dt=a^{4}ds$ (11.3] $1=(a]^{2}-(a^{1}]^{2}-(a^{2}]^{2}-(a^{\theta}]^{2}$. (11.4] F\"ur die ebene Bewegung $\theta=\pi/2$, erhalten wir ( $a^{2}=0$ ]; $pd\varphi=a^{3}ds=(a^{3}/a^{4}]\sqrt{}\overline{\gamma}dt$, $(1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}]}dp=a^{1}dS$, woraus folgt; ($du[d\varphi]^{8}-\overline{\gamma}u^{2}[h^{2}=0, (u=1/\rho]$, (11.5) wo $a^{3}/a^{1}=h$ ist. Daraus folgt: $J(1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}(u}$]] $du=\pm(\varphi-\varphi_{0}$ ]$/h$, (11.6) welche ein Bild von (11.2] ist. Differenziert man (11.5) noch einmal und den Faktor $ du/d\varphi$ beseitigt, so erh\"alt man $d^{2}u/d\varphi^{2}+u=u+(1/h^{2}$]{( $u^{2}/2$ ] $d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u$] $/h^{2}$. (11.7) 12. Der Fall einer planetarischen Bewegung. I. Jetzt m\"ochte ich die Funktion $\overline{\gamma}(p$] in (11.6) so bestimmen, dass (11.7) zu

15 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 133 $d^{2}u\prime d\varphi^{2}+u=m/h^{2}+3mu^{2}$ (12.1) wird. Dazu haben wir $u+\{(u^{2}/2$] $d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u$ ]$/h^{2}=m/h^{2}+3mu^{2}$ (12.2) zu setzen, welches ins $d\overline{\gamma}/du+p\overline{x}=q$ (12.3] \"ubergeht, worin ist. Das Integral von (12.3) ist welche $unab\mathcal{m}ng\dot{\iota}g$ N. B. (i) Newton: $\sqrt{}\overline{\gamma}(\rho$] $P\equiv 2/u$, $Q\equiv h^{2}(6m-2/u+2m/h^{2}u^{2}$] (12.4] $-\overline{\gamma}=h^{2}(1-2mu-2m/h^{2}u]+c/u^{2}, (C=konst.$], (12.5] von der Wahl von der stetigen Funktion $\gamma(\rho$] (iii) Einstein : $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho)}=\sqrt{}(1-\frac{\overline $=\frac{m}{\rho}$. (ii) $\dot{\iota}s\ell$.. (iv) Yukawa: m}{\rho}]$ Coulomb:. $\sqrt{}\overline{\gamma(p}$] $=\frac{e}{p}$ $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho]}=e^{-\frac{m}{\rho}}$. Dte Bewegungsgleichung (12.1) ist diejenige, welche von den drei 14) 27) wohlbekannten Beobachtungsdaten unterstutzt ist. Vergleicht man die Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u]=mu^{2}+3mu^{4}$, (12.6) welche aus (12.1) folgt, mit der allgemeinen Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi_{l}}+u]=f(u$] (12.7) f\"ur die allgemeine Zenralkraft $F(u$], so haben wir $F(u)=mu^{2}+3mu^{4}$, (12.8) so dass das entsprechende Potential etwa sein soll, und also wir 7 $(\rho$] $\sqrt{}\overline{\gamma(\rho]}=1-mu-mu^{3}$ $=(1-mu-mu^{3}]^{2}, (u=1/r$] (12.9) haben. Erfordert man das zweite Gesetz Newtons: $\rho^{2}d\varphi/d\ell=(a^{8}/a^{4}$] $p\sqrt{}\overline{\gamma}=h$, (12.10)

16 134 T. TAKASU. so folgt $\sqrt{}\overline{\gamma}=h(a^{4}[a^{3})[\rho=(a^{4}[a^{1})\prime p$, (12.11) welches nichts anders als das Gesetz Newtons ist. (11.7) zu II. Zweitens m\"ochte ich die Funktion $\overline{\gamma}(p$] in (11.6) so bestimmen, dass $d^{2}u/d\varphi^{2}+u=\frac{m}{h^{2}}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$ (12.12) wird. 24) Dazu haben wir $u+((u^{2}[2]d\overline{\gamma}/du+\overline{\gamma}u\}/h^{2}=\frac{n}{h^{2}}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$ (12.13] zu setzen, welches ins $d\overline{\gamma}/du+p\overline{\gamma}=q$ (12.14) \"ubergeht, worin $P\equiv 2[u, Q\cong\frac{2m}{u^{2}}(2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}]-\frac{2h^{2}}{u}$ (12.15] ist. Das Integral von (12.14) ist $\overline{\gamma}^{-s^{pax}\uparrow Pdx}=e\{\int e Qdx+C\}$, worin $d.h$. $e^{\int Plx}=u^{2}$, $\overline{\gamma}=\frac{1}{u^{2}}(\int\{4me^{4(mu+c)}-2me^{2(mu+c)}-2h^{2}u\}du+c)$, $\overline{\gamma}=_{u^{2}}^{1}\left\{-e & 4(n*u+c) & -e & 2(mu+c)\right\}-h^{2}+\frac{C}{u^{2}}$ $=-h^{2}+\frac{1}{\ell^{2}}\{2(mu+c]+6(mu+c]^{2}+\frac{28}{3}(mu+c]^{3}+\cdots$. $+\frac{4^{r}-2^{r}}{r!}(mu+c]^{r}+\cdots\cdot+c\}$. (12.16) Vergleicht man die Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u]=mu^{2}\{2e^{4(mu+c)}-e^{2(mu+c)}\}$, (12.17)

17 DIE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVIT\"ATSTHEORIE USW. 135 welches aus (12.12) folgt mit der allgemeinen Formel $h^{2}u^{2}(\frac{d^{2}u}{d\varphi}+u]=f(ui$ so haben weir $F(u$] $=mu^{2}\{2e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}\}$, ( $12.I9$] so dass $F(u$] $=mu^{2}\lfloor 1+6(mu+c)+14(mu+c]^{2}+20(mu+c]^{S}+\cdots\cdot$ ]. (12.20) Durch Integration von ( $12.12 $ erhalten wir $h^{2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}$ (12.21] Das Integral von (12.17) ist: $h^{2}((\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4(mu+c)}-$ $e^{2(mu+c)}$ (12.22] $\varphi=\int\frac{hdu}{\sqrt{}\overline{e^{4(n\cdot u+c)}-e^{2(mu+c\rangle}-h^{z}u^{z}}}$. (12.23) Also befindet sich die G. D. Birkhoffsche Bahn 24) der Planeten unter den geodatischen Linien zweiter Art. Auch die drei folgenden Resultaten unsrer Theorie sind durch Beobachtungsresultaten 14). 27) unterstutzt. (i) Der Fortschritt des Perihelions des Planets. Da f\"ur Planeten die Gr\"osse $mu+c$ sehr klein ist, aus (12.22) erhalten wir: $h^{2}((\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=2\{(mu+c$] $+3(mu+c]^{2}$], (12.24] dessen Integral $2\pi+\epsilon=2\int d\varphi=\int_{u_{0}}u_{1}\frac{2hdu}{2((mu+c]+3(mu+c]\rangle-h^{2}u}$ (12.25) ist, $u_{0}$ worin und $u_{1}$ bzw. das Minimum und das Maximum vou sind. Der $u$ genaue Wert vom Integral ist $\frac{2\pi h}{\sqrt{}\overline{h^{2}-6m^{2}}}=2(1+\frac{3m^{2}}{h^{2}}+\cdots\cdot\cdot]$, so dass wir $\epsilon=\frac{3m^{2}}{h^{2}}$

18 136 T. TAKASU. haben. Nun ist die Beziehung $h^{2}=ma(1-e^{2}]=mb^{2}/a$ ffir Ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ von der Exentrizitat $e$ wohl bekannt. Daher ist $\epsilon=\frac{3m^{2}}{h^{2}}=\frac{3m}{a(1-e^{2}]}$. (12.26] Dieser Wert Einsteins ist durch Beobachtungsresultaten unterst\"utzt. (Cf. 24), 25), 26)). (ii) Die Lichtsrefraktion. F\"ur Lichtsgeschwindigkeit haben wir $ds=0$, so dass nach ( $1/\sqrt{}\overline{\overline{\gamma}]}d\rho=a^{1}dS$ wir $\overline{\gamma}-\infty$ $ mu+c\rightarrow\infty$ und also nach (12.24) es $ haben. Alsdann nach (12.16) ersehen wir dass h\rightarrow\infty$ wird. F\"uhren wir $h^{*}$ so wird (12.21) zu: derart ein, dass $h=h^{*}e^{2m}$, $h^{*2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{mu}-e^{-2c}$. (12.27) F\"ur $ c-\infty$, geht (12.27) in $h^{*2}[(\frac{du}{d\varphi}]^{2}+u^{2}]=e^{4nu}$ (12.28) \"uber. Dies ist die Bewegungsgleichung des Photons. Das Integral von (12.28) ist $2\pi+\epsilon-\neg\int^{\frac{1}{p}}\frac{h^{*}du}{\sqrt{e^{4mu}-h^{*2}u}2}$, (12.29) worin den Perihelionsabstand darstellt und $p$ $e$ ${\rm Im}$ Radiusvektors. Perihelion haben wir die winklige Abweichung des $\frac{du}{d\varphi}=0$, $h^{*2}=e^{\frac{4m}{p}2}p$. (12.30) Nach (12.30) wird (12.29) zu $2\pi+\epsilon=2\int_{0}\frac{1dv}{\sqrt{e^{4m(v-1)/p}-v}2}$, (12.31) wo $u=v/p$ gesetzt ist.

19 der DJE ENDG\"ULTIGE KUGELGEOMETRISCHE RELATIVITATSTHEORIE USW. 137 ${\rm Im}$ Falle cer Sonne sind $m$ und $ m/\rho$ so klein, dass wir den Integrand folgendermassen entwickeln k\"onnen: $2\pi+\epsilon=2\int^{1}\frac{dv}{\sqrt{}\frac{}{1-v^{2}-4(1-v][p}}$ $=2[\sin^{-1}\frac{\frac{2m}{p}}{1-\frac{2m}{p}}]_{0}^{1}$ $=2\mathfrak{c}_{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}}\overline{1-}\frac{p}{\frac 2m,p}]\frac{2m}{}$ $=\pi+2\sin^{-1}\frac{2m}{p}$, $\epsilon=\frac{4m}{p}(mod \pi)$, (12.32) welches mit dem Ergebnis Einsteins \"ubereinstimmt. ( $\ddagger ii$] Verschiebung der Linien Fraunhofers. Da die Partikel in der Ruhe ist, haben wir $d\rho=0,$ $d\theta=0$, $d\varphi=0$ in (11.3), so dass Bezeichnet man die der $\sqrt{}\overline{\gamma}dt=ds$, $\gamma=1-\frac{2m}{\rho}$. (12.32) Sonne $ $ Erde betreffenden Gr\"ossen mit $ $ $e$, so erh\"alt man $\frac{\lambda}{\lambda_{e}}=\frac{\nu_{l}}{\nu_{l}}=\frac{\delta t_{l}}{\delta\ell_{\ell}}=(1-\frac{m}{p_{l}}]:(1-\frac{m}{p^{l}}]$. Da $m_{e}/p_{e}$ im Vergleich mit 1 sehr klein ist, ist $\frac{\lambda_{l}}{\lambda_{e}}=(1-\frac{m}{p}]^{-1}=1+\frac{m_{l}}{\rho_{l}}$, wo $p_{\iota}$ Radius der Sonne ist. Also haben wir

20 $\frac{\partial}{\omega^{\ell}}=\omega_{l}^{v}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}$. 138 T. TAKASU. $\frac{\lambda_{\epsilon}-\lambda_{e}}{\lambda}=\frac{\delta\lambda}{\lambda}=\frac{m}{\rho}=\frac{1.46}{997000}= $. Betrachtet man einen Stem anderes als die Sonne, und sieht man $m$. und $\rho$. also die Einheiten bzw. von der Masse und von dem Radius des Sterns, so erhalt man $\frac{\delta\lambda}{\lambda}= \times\frac{m}{\rho}=0.634$ km $x\frac{m}{\rho}$, der Doppler Effekt betrachtet seiend. Dieses Resultat ist durch die bekannten Beobachtungen unterst\"utzt. 13. Verallgemeinerte Maxwellsche Gleichungen. Vor allem verallgemeinern $\partial/\partial\xi^{\ell}$ wir den Operatoren der partiellen Ableitungen folgendermassen: Dann wird (13.1] $2\frac{d}{dS}=\gamma_{l}\frac{\partial}{\omega^{\ell}}$, (13.2] so dass analog zum Falle der komplexen Geschwindigkeit die Beziehung $2d(\phi+i\psi]/d(x+iy]=(\varphi_{x}+\psi,]-i(\varphi_{y}-\psi_{x})=u-iv$ $ 2d\Phi/dS=\partial\phi^{\ell}/\omega^{l}+\gamma_{1}\gamma(-\mathfrak{U}4[\omega^{1}-\Phi^{1}/\omega^{4}]+\cdots$ $+\gamma_{2}\gamma_{\$}(\infty^{3}/\omega^{2}-\infty^{2}[\omega^{s}]+\cdots\cdot\cdot$ folgt. $=\phi^{i}/\omega^{\prime}-\gamma_{4}\gamma_{1}x^{1}-\cdots+\gamma_{2}\gamma_{8}\alpha^{1}+\cdots\cdots$. (13.3] Setzt man die zur gew\"ohnlichen Bedingung analoge Bedingung $\partial\phi^{\prime}/\omega^{\ell}=0$ (13.4] voraus, so erh\"alt man genau wie bei (6): $4d^{f}\Phi/dS^{2}=J-\gamma_{l}\sigma^{i}$ $=\gamma_{4}(\frac{\partial X^{1}}{\omega^{1}}+\frac{\partial X^{2}}{\omega^{2}}+\frac{\partial X^{3}}{\omega^{S}}]+\gamma_{2}\gamma_{8}\gamma_{4}(\frac{\partial\alpha^{1}}{\omega^{4}}+\frac{\partial X^{s}}{\omega^{2}}-\frac{\partial X^{2}}{\omega^{S}}]+\cdots$ $+\gamma_{1}(\frac{\partial\alpha^{2}}{\omega}-\frac{\partial\alpha^{s}}{\omega^{2}}+\frac{\partial X^{1}}{\omega^{4}}]*\cdots\cdot$. $+\gamma_{1}\gamma_{2}\gamma (\frac{a\alpha^{1}}{\omega^{1}}+\frac{\partial a }{\omega^{f}}+\frac{a\alpha^{8}}{\omega^{8}}]$. (13.5)

\"UBER DIE BIVEKTOR\"UBERTRAGUNG

\UBER DIE BIVEKTOR\UBERTRAGUNG TitleÜBER DIE BIVEKTORÜBERTRAGUNG Author(s) Hokari Shisanji Journal of the Faculty of Science Citation University Ser 1 Mathematics = 北 要 02(1-2): 103-117 Issue Date 1934 DOI Doc URLhttp://hdlhandlenet/2115/55900

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr

Formulierung einer relativistisch invarianten Definition der Energie von Gravitationswellen - ein unerwarteter Zusammenhang zur Quantenmechanik

Formulierung einer relativistisch invarianten Definition der Energie von Gravitationswellen - ein unerwarteter Zusammenhang zur Quantenmechanik Formulierung einer relativistisch invarianten Definition der Energie von Gravitationswellen - ein unerwarteter Zusammenhang zur Quantenmechanik Von Torsten Pieper Mannheim 11. November 2013 Zusammenfassung

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

~n - f =- (R' - r/)2,

~n - f =- (R' - r/)2, 44 7. By fitting the submatrices Y n m together we can now obtn a solution to the matrix equation Bs Y= YBT where Bs and BT are the rational canonical forms of the matrices S and T respectively. Suppose

Mehr

Hamilton-Formalismus

Hamilton-Formalismus KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten

Mehr

Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik

Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Die grundlegenden Gesetze der Physik sind Verallgemeinerungen (manchmal auch Extrapolationen) von hinreichend häufigen und zuverlässigen

Mehr

Die Klein-Gordon Gleichung

Die Klein-Gordon Gleichung Kapitel 5 Die Klein-Gordon Gleichung 5.1 Einleitung Die Gleichung für die Rutherford-Streuung ist ein sehr nützlicher Ansatz, um die Streuung von geladenen Teilchen zu studieren. Viele Aspekte sind aber

Mehr

B H 0 H definieren, die somit die Antwort des Ordnungsparameters auf eine Variation der dazu konjugierten

B H 0 H definieren, die somit die Antwort des Ordnungsparameters auf eine Variation der dazu konjugierten In Anwesenheit eines äußeren magnetischen Felds B entsteht in der paramagnetischen Phase eine induzierte Magnetisierung M. In der ferromagnetischen Phase führt B zu einer Verschiebung der Magnetisierung

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören:

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: david vajda 3. Februar 2016 Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: Elektrische Stromstärke I Elektrische Spannung U Elektrischer Widerstand R Ladung Q Probeladung q Zeit t Arbeit

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Leonhard Euler 1 Wann immer in den Anfängen der Analysis die Potenzen des Binoms entwickelt

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde.

Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde. 73 Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde. von F. Mertens. 1. Ich habe in dem hundertsten Bande

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Allgemeine Relativitätstheorie

Allgemeine Relativitätstheorie Allgemeine Relativitätstheorie Ein konzeptioneller Einblick Von Jan Kaprolat Gliederung Einleitung Übergang SRT -> ART Grundlegende Fragestellungen der ART Kurzer Einblick: Tensoralgebra Einsteinsche Feldgleichungen

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

3.6 Drehungen in der Ebene

3.6 Drehungen in der Ebene 3.6-1 3.6 Drehungen in der Ebene 3.6.1 Die Drehmatrix Gelegentlich müssen wir die Lage eines Teilchens in einem ebenen Koordinatensystem beschreiben, das gegenüber einem festen System um φ gedreht ist.

Mehr

Mathe Leuchtturm TI N spire-leuchtturm

Mathe Leuchtturm TI N spire-leuchtturm 1 Mathe Leuchtturm TI N spire-leuchtturm 003 = TI N spire Übungskapitel 3.Klasse Erforderlicher Wissensstand (ohne Computeranwendung) Die ganzen Zahlen Z -> negative Zahlen (nicht unbedingt erforderlich:)

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Angewandte Stochastik

Angewandte Stochastik Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 17 Crash Course Brownsche Bewegung (stetige Zeit, stetiger Zustandsraum); Pricing & Hedging von Optionen in stetiger Zeit Literatur Kapitel 17 * Uszczapowski:

Mehr

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 Differenziation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann einen Punkt P im Raum eindeutig durch die

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Was ist Gravitation?

Was ist Gravitation? Was ist Gravitation? Über die Einheit fundamentaler Wechselwirkungen Hans Peter Nilles Physikalisches Institut Universität Bonn Was ist Gravitation, Stuttgart, November 2010 p. 1/19 Wie gewiss ist Wissen?...die

Mehr

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die

Mehr

Achim Rosch, Institut für Theoretische Physik, Köln. Belegt das Gutachten wesentliche fachliche Fehler im KPK?

Achim Rosch, Institut für Theoretische Physik, Köln. Belegt das Gutachten wesentliche fachliche Fehler im KPK? Impulsstrom Achim Rosch, Institut für Theoretische Physik, Köln zwei Fragen: Belegt das Gutachten wesentliche fachliche Fehler im KPK? Gibt es im Gutachten selbst wesentliche fachliche Fehler? andere wichtige

Mehr

Seminar Mathematische Physik vom 12.1.2010 Markus Penz

Seminar Mathematische Physik vom 12.1.2010 Markus Penz Kaluza-Klein Theorie Seminar Mathematische Physik vom 12.1.2010 Markus Penz Zusammenfassung. Mit besonderem Augenmerk auf die Beiträge von Kaluza und Klein soll der nicht von Erfolg gekrönte Weg zur Vereinheitlichung

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Karl Menger Selecta Mathematica Volume 1

Karl Menger Selecta Mathematica Volume 1 Karl Menger Selecta Mathematica Volume 1 Bert Schweizer, Abe Sklar, Karl Sigmund, Peter Gruber, Edmund Hlawka, Ludwig Reich, Leopold Schmetterer (eds.) SpringerWienNewYork Schweizer, B.: Introduction 1

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen,

Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen, Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen, von À. KIEFER (Zürich). (Als Manuskript eingegangen am 25. Januar 1926.) I. Gesucht im Raum der Ort des Punktes, von dem aus die Zentralprojektionen

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall 4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt

Mehr

Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finite- Elemente-Methode

Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finite- Elemente-Methode K.Bräuer: Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finiten-Elemente-Methode 1 Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finite- Elemente-Methode Kurt Bräuer Privatdozent am Institut

Mehr

II. Klein Gordon-Gleichung

II. Klein Gordon-Gleichung II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

Skizze zur Veranschaulichung der Legendretransformation

Skizze zur Veranschaulichung der Legendretransformation 9 Die thermodynamischen Funktionen G und H Ehe das Schema des vorherigen Abschnittes zur Konstruktion weiterer thermodynamischer Potentiale zu Ende gebracht wird, kurz einige Erläuterungen zur Legendretransformation.

Mehr

Skalare Differentialgleichungen

Skalare Differentialgleichungen Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Die Keplerschen Gesetze

Die Keplerschen Gesetze Die Keplerschen Gesetze Franz Embacher Fakultät für Physik der Universität Wien Didaktik der Astronomie, Sommersemester 009 http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/lehre/didaktikastronomie/ss009/ 1

Mehr

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht Seite 1 von 2 Ostfalia Hochschule Fakultät Elektrotechnik Wolfenbüttel Prof. Dr.-Ing. T. Harriehausen Bearbeitungszeit: Theoretischer Teil: 60 Minuten Praktischer Teil: 60 Minuten Klausur FEM für elektromagnetische

Mehr

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Elektrizitätslehre und Magnetismus Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 27. 04. 2009 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 27. 04. 2009

Mehr

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 6 Endliche Kameras Die Lochkamera Die Projektive Kamera Die projektive Kamera Spalten von P Zeilen von P Hauptpunkt und Hauptachse

Mehr

II.2 Lösung der freien Klein Gordon-Gleichung

II.2 Lösung der freien Klein Gordon-Gleichung II. Lösung der freien Klein Gordon-Gleichung II..1 Allgemeine Lösung Da die Klein Gordon-Gleichung eine lineare partielle Differentialgleichung ist, kann man als Lösungsansatz eine ebene Welle φ(x) N e

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

2. Vorlesung Wintersemester

2. Vorlesung Wintersemester 2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik 1

Grundlagen der Elektrotechnik 1 Grundlagen der Elektrotechnik 1 Kapitel 5: Elektrisches Strömungsfeld 5 Elektrisches Strömungsfeld 5.1 Definition des Feldbegriffs 5. Das elektrische Strömungsfeld 3 5..1 Strömungsfeld in einer zylindrischen

Mehr

Klassische Theoretische Physik: Elektrodynamik

Klassische Theoretische Physik: Elektrodynamik Klassische Theoretische Physik: Elektrodynamik Kaustuv Basu (Deutsche Übersetzung: Jens Erler) Argelander-Institut für Astronomie Auf dem Hügel 71 kbasu@astro.uni-bonn.de Website: www.astro.uni-bonn.de/tp-l

Mehr

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern.

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern. Wie hoch ist der - und Luftwiderstand eines Autos? Original s. http://www.arstechnica.de/index.html (Diese Seite bietet außer dieser Aufgabe mehr Interessantes zur Kfz-Technik) Kann man den Luftwiderstand

Mehr

VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme

VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot

Mehr

2. Universelle Algebra

2. Universelle Algebra 2. Universelle Algebra Die Theorie der universellen Algebra verallgemeinert die Theorien der klassischen Algebren. Obwohl ursprünglich nur eine Sorte betrachtet wurde, werden wir hier gleich den mehrsortigen

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Dokumentation zum Projekt Multimediale Lehre Fluidmechanik an der Technischen Universität Graz

Dokumentation zum Projekt Multimediale Lehre Fluidmechanik an der Technischen Universität Graz Dokumentation zum Projekt Multimediale Lehre Fluidmechanik an der Technischen Universität Graz Andreas Aigner email: andreasa@sbox.tu-graz.ac.at. Januar 00 Inhaltsverzeichnis Theorie. Stromfunktion...........................

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Physik 1 MW, WS 2014/15 Aufgaben mit Lösung 6. Übung (KW 03/04) Aufzugskabine )

Physik 1 MW, WS 2014/15 Aufgaben mit Lösung 6. Übung (KW 03/04) Aufzugskabine ) 6. Übung (KW 03/04) Aufgabe (M 9. Aufzugskabine ) In einem Aufzug hängt ein Wägestück der Masse m an einem Federkraftmesser. Dieser zeigt die Kraft F an. Auf welche Beschleunigung a z (z-koordinate nach

Mehr

Allgemeine Relativitätstheorie, was ist das?

Allgemeine Relativitätstheorie, was ist das? , was ist das? 1905 stellte Albert Einstein die Spezielle Relativitätstheorie auf Beim Versuch die Gravitation im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie zu beschreiben stieß er allerdings schnell auf

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Kap. 8: Speziell gewählte Kurven

Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Stefan Lucks 8: Spezielle Kurven 82 Verschl. mit Elliptischen Kurven Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Zur Erinnerung: Für beliebige El. Kurven kann man den Algorithmus von Schoof benutzen, um die Anzahl

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Grundlagen der lektrotechnik (GT ) Vorlesung am 09.0.007 Fr. 08:30-0:00 Uhr; R. 603 (Hörsaal) Dr.-ng. René Marklein -Mail: marklein@uni-kassel.de kassel.de Tel.: 056 804 646; Fax: 056 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni

Mehr

Stromdurchossene Leiter im Magnetfeld, Halleekt

Stromdurchossene Leiter im Magnetfeld, Halleekt Physikalisches Anfängerpraktikum 1 Gruppe Mo-16 Wintersemester 2005/06 Jens Küchenmeister (1253810) Versuch: P1-73 Stromdurchossene Leiter im Magnetfeld, Halleekt - Vorbereitung - Inhaltsverzeichnis 1

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3

Mehr

6 Conways Chequerboard-Armee

6 Conways Chequerboard-Armee 6 Conways Chequerboard-Armee Spiele gehören zu den interessantesten Schöpfungen des menschlichen Geistes und die Analyse ihrer Struktur ist voller Abenteuer und Überraschungen. James R. Newman Es ist sehr

Mehr

Über den Zusammenhang zwischen geometrischer Parallaxe und der Entfernung des Mondes

Über den Zusammenhang zwischen geometrischer Parallaxe und der Entfernung des Mondes Über den Zusammenhang zwischen geometrischer Parallaxe und der Entfernung des Mondes U. Backhaus Universität Duisburg-Essen Wenn man ein entferntes Objekt von verschiedenen Orten aus anpeilt, dann unterscheiden

Mehr

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Felder und Wellen WS 2016/2017

Felder und Wellen WS 2016/2017 Felder und Wellen WS 216/217 Musterlösung zum 2. Tutorium 1. Aufgabe (**) Berechnen Sie das el. Feld einer in z-richtung unendlich lang ausgedehnten unendlich dünnen Linienladung der Ladungsdichte η pro

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Klassische Feldtheorie 2 Mitschrift von Martin Bendschneider

Klassische Feldtheorie 2 Mitschrift von Martin Bendschneider Klassische Feldtheorie 2 Mitschrift von Martin Bendschneider 1 Inhaltsverzeichnis 1 Hamilton Mechanik 3 1.1 Newton Mechanik.......................... 3 1.2 Lagrange............................... 3 1.3

Mehr

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Das Wythoff-Nim-Spiel Wir wollen uns ein Spiel für zwei Personen ansehen, welches sich W.A.Wythoff 1907 ausgedacht hat: Vor den Spielern liegen zwei

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

QED Materie, Licht und das Nichts. Wissenschaftliches Gebiet und Thema: Physikalische Eigenschaften von Licht

QED Materie, Licht und das Nichts. Wissenschaftliches Gebiet und Thema: Physikalische Eigenschaften von Licht QED Materie, Licht und das Nichts 1 Wissenschaftliches Gebiet und Thema: Physikalische Eigenschaften von Licht Titel/Jahr: QED Materie, Licht und das Nichts (2005) Filmstudio: Sciencemotion Webseite des

Mehr

O. Rott Starrkörperbewegungen, Singularitäten, die Jacobimatrix und Roboterdynamik

O. Rott Starrkörperbewegungen, Singularitäten, die Jacobimatrix und Roboterdynamik W eierstraß-institut für Angew andte Analysis und Stochastik Robotik-Seminar O. Rott Starrkörperbewegungen, Singularitäten, die Jacobimatrix und Roboterdynamik Mohrenstr 39 10117 Berlin rott@wias-berlin.de

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

13. Abzählen von Null- und Polstellen

13. Abzählen von Null- und Polstellen 13. Abzählen von Null- und Polstellen 77 13. Abzählen von Null- und Polstellen Als weitere Anwendung des Residuensatzes wollen wir nun sehen, wie man ot au einache Art berechnen kann, wie viele Null- bzw.

Mehr

5.8.8 Michelson-Interferometer ******

5.8.8 Michelson-Interferometer ****** 5.8.8 ****** Motiation Ein wird mit Laser- bzw. mit Glühlampenlicht betrieben. Durch Verschieben eines der beiden Spiegel werden Intensitätsmaxima beobachtet. Experiment S 0 L S S G Abbildung : Aufsicht

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen

Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen Jörn Loviscach Versionsstand: 9. April 2010, 18:48 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach

Mehr

Jugend Forscht 1999 (Mathematik) W. Behrenhoff F. Krahmer A. Sorge

Jugend Forscht 1999 (Mathematik) W. Behrenhoff F. Krahmer A. Sorge Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 1 1.1 Das Spiel Set!... 1 1. Ausgangspunkt unserer Überlegungen... 1 1.3 Fragestellungen... 1 Definitionen und Verallgemeinerungen....1 Eigenschaft.... Variante....3

Mehr

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ

Mehr

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner

Mehr

ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine

ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine 24 ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine gerade Linie. Die (:~). Kurve (verg I. Fig. 5) ist ein Parabel. Wenn nun d gröszer als a wird. wird die Kurve wieder steigen. Die

Mehr

Fallender Stein auf rotierender Erde

Fallender Stein auf rotierender Erde Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen

Mehr

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung,

Mehr

RIEMANNSCHE GEOMETRIE UND TENSORANALYSIS

RIEMANNSCHE GEOMETRIE UND TENSORANALYSIS P. K. RASCHEWSKI RIEMANNSCHE GEOMETRIE UND TENSORANALYSIS 2. unveränderte Auflage mit 32 Abbildungen VERLAG HARRI DEUTSCH INHALTSVERZEICHNIS L Tensoren im dreidimensionalen euklidischen Baum 1. Einstufige

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Lösung 12 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16

Lösung 12 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16 Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphysik www.tfp.kit.edu ösung 1 Klassische Theoretische Physik I WS 1/16 Prof. Dr. G. Schön + Punkte Sebastian Zanker, Daniel Mendler

Mehr

Die Burgers Gleichung

Die Burgers Gleichung Die Burgers Gleichung Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spektralmethoden Elena Frenkel Samuel Voit Balthasar Meyer 29. Mai 2008 1 Einfürung Ein kurzer Überblick Physikalische Motivation 2 Cole-Hopf Transformation

Mehr