Formelheft. Sarah Leitner. Fiona Aschenbrenner. Paul Brandauer. Julia Nageler. Alwin Dürrer. Sarah Neumann. Angelina Eder.

Transkript

1 Formelheft der 8C ('/') ulett geädert m 9.. Fio Aschereer Pul Brduer Alwi Dürrer Ageli Eder Kord Esterm Mimili Heim Kthri Höck Christi Hörhger Fi Jicek Christi Joh Christi Jurkeit Mimili Kimmel Ev Körschild Christi Kohl Thoms Kriesche Srh Leiter Juli Ngeler Srh Neum Ale Pschke Beedikt Pfeil Feli Pfluger Suse Pleer Mimili Rdford Juli Scheilegger Flori Schroll Ptrick Schwighofer Mil Stojovic Coor Troger Cludi Tschlleer Shkurte Uk

2 Kp. Potee; Kp. Gleichuge S. Potee, IR + ; r, s IR; k Z; m, IN 0 ; - k k k r s r+s r : s r-s ( r ) s r s ( ) r r r r r r k k m km m m k,, c IR ( + )² ² + + ² ( )² ² + ² ( + )³ ³ + ² + ² + ³ ( )³ ³ ² + ² ³ ( + + c)² ² + ² + c² + + c + c ² ² ( ) ( + ) ² + ² icht erlegr ³ ³ ( ) (² + + ²) ³ + ³ ( + ) (² + ²) 4 4 (² + ²) (² ²) (² + ²) ( + ) ( ) Gleichuge qudrtische Gleichuge p, q,, c IR; IR \ {0} p p ² + p + q 0 / q 4 ² + + c 0 / 4 c

3 Kp. Gleichuge; Kp. Komplee Zhle S. St vo Viet:, sid Lösuge eier qudrtische Gleichug ² + p + q 0 Es gilt:. ² + p + q ( ) ( ). + - p. q Gleichuge dritte Grdes (Crd sche Formel) r, s, t ³ + r ² + s + t 0 Sustitutio: r p ³ + p + q 0 q q p q q dere Gleichuge (höhere Grdes) ekte Lösug durch: Herushee gemeismer Fktore (,, ) Sustitutio ( u, u, si() u, ) Proiere (mit Wertetelle) schließed Polomdivisio äherugsweise Lösug durch: Itervllschchtelug Komplee Zhle + i, ud i² - Regul flsi + f( ) f( ) f( ) Newto sches Näherugsverf. + f'( ) f( ) r r cos rg [0 ;60 [ t r si r (cos + i si ) (r;) (r ; ) (r ; ) (r r ; + ) (r; ) (r ; ) r ; r (r;) (r ; ) r ( r; ) ;

4 Kp. 4 Logrithmus; Kp. 5 Folge ud Reihe S.4 4 Logrithmus IR + \ {}; u, v IR + ; k IR; IN; IR u log(u) log() log( ) log( ) - log() 0 log(u v) log(u) + log(v) log( v u ) log(u) log(v) log(u k ) k log(u) log( u ) log(u) 0 log() lg() m TI: log() e log() l() m TI: l() Bereche vo Logrithme mit elieiger Bsis: log(u) l() l(u) log(u) 0 0 log(u) log() 5 Folge, Reihe Arithmetische Folge: + k + ( ) k mit k IR Arithmetische Reihe: s ( + ) [ + ( ) k] Geometrische Folge: q q ( ) mit q IR \ {0} Geometrische Reihe: s q q mit q lim s q mit q < p Jährliche Verisug: K K ( + 00 Vierteljährliche Verisug: K K ( + p 400 ) ) 4 Tägliche Verisug: K K ( + p 00 Augelicksverisug: K K e p ) 60 Wchstumsproesse/Zerfllsproesse: Epoetielles Wchstum: P(t) A k t e Begretes Wchstum: P(t) G A Logistisches Wchstum: P(t) Gkt k t e Gkt G A e A e

5 Kp. 6 Fuktioe S.5 6 Fuktioe Gerde: Kostte Fuktio: f () d Ihomogee liere Fuktio: f () k +d Homogee liere Fuktio: f () k Prel: Qudrtische Fuktio f () ²: Scheitel S(0/0); ch oe offe Allgemeie qudrtische Fuktio f () ² + + c f () (² + ) + c 4 f () (² + + ) + c f () + c 4 Scheitel: S c 4 4 > 0 ch oe offe; < 0. ute offe; 0 keie Prel! (Gerde) Potefuktio: f() f () 4 f () mit IR; Z ähl. für IN g ähl. für IN u f () - ähl. für Z - Wurelfuktio: f() f 4 () mit IN Epoetilfuktio: f 5 () e Bsis e,78 gerde Fuktio: f(-) f() ugerde Fuktio: f(-) -f()

6 Kp. 7 Aussge ud Mege S.6 7 Aussge ud Mege Schreiweise für Aussge: Megeschreiweise: A, B... Aussge A, B... Mege: A... Negtio vo A A... Komplemet vo A: w.a., f.a.... whre w. flsche Aussge G, { }... Grudmege w. leere Mege:... ud... oder... Vereiigug... Durchschitt: A B B A A B B A A B B A A B B A (A B) C A (B C) A B C A B C (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) A (A B) A A (A B) A A (A B) A A (A B) A A ( B c) (A B) (A c) A (B C) (A B) (A C) A ( B c) (A B) (A c) A (B C) (A B) (A C) A f.a. A A w.a. A A { } A A G A A A w.a. A A G A A f.a. A A { } A A A A A A A A A A A A A w.a. w.a. A G G A f.a. f.a. A { } { } ( A ) A ( A ) A f.a. w.a. { } G w.a. f.a. G { } (A B) A B (A B) A B (A B) A B (A B) A B`

7 Kp. 8 Eee Figure S.7 8 Eee Figure A Flächeihlt u Umfg Rechtwikliges Dreieck: A ² + ² c² [St d. Pthgors] h² p q [Höhest] ² p c, ² q c [Kthetest] Gleichseitiges Dreieck: A 4 h Allgemeies Dreieck: A h h c h c Hero sche Flächeformel: A s (s ) (s ) (s c), woei s c A Umkreisrdius: r Ikreisrdius: 4 A s c Kreis: A r² u r Kreissektor: A r r 60 Kreisoge: r 80 Ellipse: A

8 Kp. 8 Eee Figure S.8 Rechteck: A u + Qudrt: A ² u 4 d Prllelogrmm: A h h u + Rute (Rhomus): A h e f u 4 Trpe: A ( c) h Deltoid: A e f

9 Kp. 9 Körper S.9 9 Körper G Ihlt der Grudfläche M Ihlt der Mtelfläche O Ihlt der Oerfläche V Volume h Höhe r Rdius Gerdes Prism: O G + M V G h Quder: O ( + c + c) V c Prmide (elieige Grudfläche): O G + M G h V Würfel: O 6 ² V ³ Rumdigole d Drehkegel: O r² + r s r h V M r s Drehlider: O r² + r h V r² h M r h Drehkegelstumpf: O r ²+r ²+(r +r )s M (r +r )s h V (r +r r +r ) Kugel: O 4 r² 4 r V Kugelsegmet: (Kugelmüte) O r h + h V ( r h) Querschitt: Kugelschichte: O rh + + h V ( + +h ) 6

10 Kp. 0 Trigoometrie - Wikelfuktioe S.0 0 Trigoometrie - Wikelfuktioe Gegekthete si() H poteuse Boge-/Wikelmß: Akthete cos() H poteuse [rd] 80 grd t() Gegekthete Akthete si () + cos () t() si( ) cos( ) Sius-, Kosius- ud Tgeswerte esoderer Wikel: si() 0 cos() t() si(80 ) si() si(80 + ) - si() si(60 ) - si() si(60 + ) si() si(- ) - si() si(90 ) cos() si( + 90 ) cos() cos(80 ) - cos() cos(80 + ) - cos() cos(60 ) cos() cos(60 + ) cos() cos(- ) cos() cos(90 ) si() cos( + 90 ) si() t(80 ) - t() t(80 + ) t() t(60 ) - t() t(60 + ) t() t(- ) - t(). Summest: si( ) si() cos() cos() si() cos( ) cos() cos() si() si() si() si() cos() cos() cos () si () t( ) t( ) t( ) t( ) t( ) t() t( ) t ( ) Siusst: Kosiusst: c si( ) si( ) si( ) + c c cos() + c c cos() c + cos() Flächeihlt: A c si( ) c si( ) si( ) Hero sche Flächeformel: A s (s ) (s ) (s c), woei s c

11 Kp. Vektorrechug S. Vektorrechug Ortsvektore i Eee ud Rum: OA OA Additio, Sutrktio, Sklrmultipliktio (k IR): geg.: ; ; k k k k k k k k k Sklrprodukt, Betrg, Eiheitsvektor, Wikel: II cos() II II isesodere: 0 (, ) 90 Vektorprodukt (ur im Rum):

12 Kp. Altische Geometrie S. Altische Geometrie Pukte:,, c... Ortsvektore der Pukte A, B, C (i der Eee oder im Rum) Vektor vo A ch B: AB OB OA Astd weier Pukte A ud B: AB AB ( ) Mittelpukt der Strecke AB: OM ( + ) Schwerpukt eies Dreiecks ABC: OS ( + + c ) Teilugspukt eier Strecke AB im Verhältis p u q: OT + p p q ( ) q p q + p p q Flächeihlt - Rumihlte: Prllelogrmm: A () Dreieck: A () Prllelepiped: V ( ) c Tetreder: V 6 ( ) c Gerde (i der Eee): g Gerde g Richtugsvektor vo g Normlvektor vo g OA, OB Ortsvektore der Pukte A, B Prmeterdrstellug: g: OX OA + s g (A g) oder: g: OX OA + s AB (A, B g) prmeterfreie Form/Normlvektorform: g: OX OA (A g) (ur für Gerde im IR ², lso i der Eee)

13 Kp. Altische Geometrie S. Gerde (im Rum): Es git keie Normlvektorform. g Gerde g Richtugsvektor vo g OA, OB Ortsvektore der Pukte A, B Prmeterdrstellug: g: OX OA + s g (A g) Eee: oder: g: OX OA + s AB (A, B g) Eee, Richtugsvektore vo Normlvektor vo OA, OB, OC Ortsvektore der Pukte A, B, C Prmeterdrstellug: : OX OA + s + t (A ) oder: : OX OA + s AB + t AC (A, B, C ) prmeterfreie Form/Normlvektorform: : OX OA (A ) Kreis ud Kugel: Kreis: k { X IR XM r kost.} ( m ) + ( m ) r Kugel: k { X IR XM r kost.} ( m ) + ( m ) + ( m ) r Kegelschitte (Ellipse, Hperel, Prel): Ellipse: ell { X IR XF + XF kost.} F, F IR (Brepukte). Huptlge: + e. Huptlge: + e Hperel: hp { X IR l XF XF l kost.} F, F IR (Brepukte). Huptlge: e +. Huptlge: - + e + Prel: pr { X IR XF Xl } F, l IR (l Leitgerde). Huptlge: p p e. Huptlge: p w. p p e

14 Kp. Altische Geometrie; Kp. Differetilrechug S.4 Für de TI-Voge defiierte Befehle: Betrg eies Vektors: ( dotp(vek, vek)) etrg(vek) Eiheitsvektor: vek/etrg(vek) eih(vek) Vo Puk i Richtug Pukt eie estimmte Astd trge: vek+disteih(vek-vek) tr(vek,vek,dist) Wikel wische wei Vektore: cos - (dotp(vek,vek)/(etrg(vek)etrg(vek))) wikel(vek,vek) Eee durch drei Pukte: dotp(crossp(vek-vek,vek-vek),vek)dotp(crossp(vek-vek,vek-vek),vek) eeep(vek,vek,vek) Eee durch Pukt ud Normlvektor: dotp(vek,vek)dotp(vek,vek) eeep(vek,vek) Schitt Eee,Gerde m erhält Prmeter: solve(eee,prm)dotp(gerde,[[][0][0]]) d dotp(gerde,[[0][][0]]) d dotp(gerde,[[0][0][]]) schegs(eee,gerde,prm) Hlierugspukt : (vek+vek)/ hlp(vek,vek) Smmetrieeee: eeep(vek-vek,hlp(vek,vek)) sm(vek,vek) -Vektor (ist reserviert): [[][][]] vek Kreuprodukt: crossp(vek,vek) Sklrprodukt: dotp(vek,vek) Differetilrechug Aleitugsfuktioe: kostte Fuktio f() c f () 0 liere Fuktio f() k + d f () k Potefuktio f() f () - Epoetilfuktio f() e f () e Epoetilfuktio (Bsis ) f() f () l() türlicher Logrithmus f() l() f () Logrithmus (Bsis ) f() log() f () l()

15 Kp. Differetilrechug; Kp. 4 Koste-/Preistheorie; Kp. 5 Itegrlrechug S.5 Siusfuktio f() si() f () cos() Kosiusfuktio f() cos() f () -si() Tgesfuktio f() t() f () Aleitugsregel: cos () Summe-/Differeeregel f() g() ± h() f () g () ± h () kostte Fktore (k IR) f() k g() f () k g () Produktregel f() g() h() f () g () h() + g() h () Quotieteregel f() g() h() g'() h() g() h'() f () [h()] Ketteregel f() g(h()) f () g (h()) h () 4 Koste-/Preistheorie Koste: degressive Koste liere Koste progressive Koste K () < 0 K () 0 K () > 0 Stückkoste Koste eier Megeeiheit: K () Erlös/Gewi: p Stückpreis (fier Preis) Erlösfuktio: E() p() Elstiität: 5 Itegrlrechug Stmmfuktioe: K() p() Nchfrgefuktio (vriler Stückpreis) Gewifuktio: G() E() K() p() p' () kostte Fuktio f() d F() d + C liere Fuktio f() k + d F() k + d + C Potefuktio f() F() + C Soderfll: f() F() l + C Epoetilfuktio f() e F() e + C Epoetilfuktio (Bsis ) f() F() l() + C türlicher Logrithmus f() l() F() l() + C Logrithmus (Bsis ) f() log() F() l() l() + C Siusfuktio f() si() F() - cos() + C

16 Kp. 5 Itegrlrechug; Kp. 6 Komitorik S.6 Kosiusfuktio f() cos() F() si() + C Tgesfuktio f() t() F() - l cos() + C Itegrtiosregel: Summe-/Differeeregel f() g() ± h() F() G() ± H() kostte Fktore (k IR) f() k g() F() k G() estimmtes Itegrl: f ()d F() F() Aweduge der Itegrlrechug: Q() Querschittsfuktio Rottioskörper (um die -Achse) Rottioskörper (um die -Achse) V Q ()d V [ f()] d f() V f() [ f ()] d (f - Umkehrfukt.) Läge eies Kurveoges vo f(): l [f' ()] d Läge eies Kurveoges vo (t) (t) : l [ ' (t)] [' (t)] Mtelfläche eies Rottioskörpers um die -Achse: M f () Schwerpukt ei Rottio um die -Achse: Schwerpukt eies Flächestücks: 6 Komitorik t t dt [f' ()] d [f()] d [f()] d f() d [f()] d f() d f() d! (-) (-) 0! IN\{0}, k IN, k! k k! (k)! () ()...( k) k(k) (k)... 0 ( ± ) 0 ± ± k k - + +/± 0

17 Kp. 6 Komitorik; Kp. 7 Whrscheilichkeitsrechug S.7 Ermittel der Ahl möglicher Stichproe: Elemete werde geordet:! Möglichkeite Vo Elemete werde k Elemete mit Zurücklege usgewählt: Es git k geordete ud k k ugeordete Stichproe. Vo Elemete werde k Elemete ohe Zurücklege usgewählt: Es git! (k)! geordete ud k ugeordete Stichproe. 7 Whrscheilichkeitsrechug E, E, E Ereigisse E Gegeereigis Ereigisrum E E E oder E E E E ud E P(E) W(E) Whrscheilichkeit des Ereigisses E P(E E ) Whrscheilichkeit vo E, we E eigetrete ist Recheregel für Whrscheilichkeite: P(E ) P(E) P(E E ) P(E ) + P(E ) P(E E ) P(E E ) P(E ) + P(E ), we E ud E eider usschließe P(E E ) P(E ) P(E E ) P(E ) P(E E ) P(E E ) P(E ) P(E ), we E ud E voeider uhägig sid Zufllsvrile, Whrscheilichkeitsverteiluge: X Zufllsvrile V(X), Vri E(X), Erwrtugswert, V Stdrdweichug E(X) P(X ) + P(X ) + P(X ) + + k P(X k ) V(X) ( E(X)) P(X ) + ( E(X)) P(X ) + + ( k E(X)) P(X k ) Biomilverteilug: P(Xk) ;p (k) p k ( p) ( k) E(X) p ² V(X) p ( p) k Hpergeometrische Verteilug: P(Xk) K N K k k N Normlverteilug: E(X) N K V(X) N K K N N N

18 Kp. 6 Whrscheilichkeitsrechug S.8 () e () e d (-) () P(X ) P(X ) P( X ) Stetigkeitskorrektur ei Approimtio der Biomilverteilug durch die Normlverteilug: Liere Iterpoltio ur Berechug vo Zwischewerte: P( X ) () ( ) + 0,5 0,5 0,0 (( ) ( )) p p