Flächenmaße : 1 m 2 = 100 dm 2 = cm 2. 1 a = 100 m 2 1 ha = 100 a = m 2. Dreieck. A = 1 2 g h. u = a+b+c+d. Trapez.

Transkript

1 Römische Zhlzeiche I õ V õ 5 X õ 0 L õ 50 C õ00 D õ 500 M õ 000 Zhlereiche z türliche Zhle z gze Zhle z rtiole Zhle Ø reelle Zhle griechische uchste Ø komplexe Zhle z lph z et g G z Gmm d D z Delt e E z Epsilo l L z Lmd p P z Pi s S z Sigm f F z Phi Prozetrechug / Mßeiheite Prozetrechug : G : Grudwert W : Prozetwert p : Prozetstz W = G p 00 Flächemße : m 2 = 00 dm 2 = cm 2 = 00 m 2 h = 00 = m 2 Volume : m 3 = 000 dm 3 dm 3 = 000 cm 3 l = dm 3 Präfixe für Mßeiheite Ex 0 8 = Trillioe Milli 0-3 = Tusedstel Pet 0 5 = illirde Mikro 0-6 = Milliostel Ter 0 2 = illioe No 0-9 = Millirdstel Gig 0 9 = Millirde Piko 0-2 = illiostel Meg 0 6 = Millioe Femto 0-5 = illirdstel Kilo 0 3 = Tused tto 0-8 = Trilliostel Eee Figure (: Flächeihlt, u Umfg) Rechteck Dreieck = u = Prllelogrmm = 2 g h u = ++c Trpez = g h u = Kreis =p r 2 u = 2p r Stz des Pythgors Im rechtwikl. Dreieck gilt = c 2 c HHypoteuseL,, HKtheteL Trigoometrie (im rechtwiklige Dreieck) Im rechtwiklige Dreieck gilt : = 2 H+cL h u = ++c+d Kreissektor ud Kreisoge = p r2 360 = p r 80 Höhe- ud Kthetestz h 2 = p q 2 = c p 2 = c q si = c = Gegekthete Hypoteuse cos = c = kthete Hypoteuse t = = Gegekthete kthete

2 2 FormelsmmlugLK. Körper (V: Volume O: Oerfläche G: Grudfläche M: Mtelfläche ) Quder V = c O = c + 2 c Prism V = G h O = 2 G + M Zylider V =p r 2 h O = 2 p r p r h Kegel qudrtische Pyrmide V = 3 2 h= 3 G h O = h s Kugel V = 3 p r2 h O = p r 2 + p r s V = 4 3 p r3 O = 4 p r 2 iomische Formel H+L 2 = H-L 2 = H+L H-L = 2-2 Potez- Wurzel- Logrithmegesetze 0 = - = m m = m = m+ I m L = m log e H L = log e HL+log e HL m : = m- m m = H L m log e HL x = x log e HL x = x lhl Ziseszise (expoetielles Wchstum) log HL = lhl lhl k 0 : fgskpitlhfgsmegel k : Edkpitl HEdmegeL : Zeit i Jhre Hoder ZisperiodeL p%: Zisstz pro Periode i% Liere Fuktio Zisfktor q = 00+p 00 Ziseszisformel k = k 0 q Normlform : m : Steigug der Gerde : y-chseschitt y = m x + Steigug der Gerde g durch die Pukte P Hx y L ud P 2 Hx 2 y 2 L : m= y 2 -y x 2 -x Prllelität : Gerde sid prllel, we ihre Steiguge gleich sid : m = m 2 Gerde stehe ufeider sekrecht, we für ihre Steiguge gilt : m m 2 =- Steigugswikel : thl=m qudrtische Fuktio

3 FormelsmmlugLK. 3 Normlform : y = x 2 + x + c Scheitelpuktform : y=hx-el 2 + f Koordite des Scheitelpuktes : SHe f L < ïprel gestucht > ïprel gestreckt < 0 ï Prel ch ute geöffet Qudrtische Gleichug (p - q - Formel) Normlform : x 2 + p x + q = 0 Lösug : x,2 = - p 2 ± J p 2 N2 - q leitugsregel kostte Summde flle weg kostter Summd H fhxl+cl'= fhxl' kostte Fktore leie erhlte kostter Fktor Hcÿ fhxll'= cÿ f 'HxL Summe werde eizel geleitet Summeregel H fhxl+ ghxll'= f 'HxL+ g 'HxL Gilt für lle e Potezregel Hx L'=ÿ x - Hu vl' = u' v+u v' Produktregel H fhxlÿghxll'= f 'HxLÿ ghxl+ fhxlÿ g 'HxL HuHvLL' = u'hvl v' Ketteregel H fhghxll'= f 'HgHxLLÿg'HxL J u v N' = u'ÿv-uÿv' v 2 Quotieteregel K fhxl ghxl O' = f 'HxLÿgHxL- fhxlÿg'hxl ghxl 2 f - sei Umkehrfuktio Umkehrfuktiosregel f - ' HxL= f 'If - HxLM Huptstz der Differetil-ud Itegrlrechug (HDI) F ist Stmmfuktio vo f : Ÿ Itegrtiosregel fhxl x = FHL- FHL Ÿ fhm x+l dx= m FHm x+l Liere Sustitutio Ÿ 2 x+3 dx= 2 2 x+3 F f 'HxL fhxl dx=@lh fhxld Logrithmische Sustitutio 2 x x 2 +3 dx=lix2 + 3E Ÿ g'hxl fhghxll dx Ÿ fhxlÿg 'HxL dx=@ fhxlÿ ghxld-ÿ f 'HxL g 'HxL dx Sustitutiosregel Prtielle Itegrtio Wichtige leituge ud Stmmfuktioe Ÿ 2 xÿ x2 dx= x2 F mit y= ghxl= x 2 ; y'= dy dy = 2 x ï dx= dx 2 x Ÿ 2 xÿe x dx=@2 x x D-Ÿ2ÿ x dx leitug Fuktio Stmmfuktio x 2 x2 2 x x 2 3 x3 2 x x 3 2 x 3 ÿ x - x + x+ leitug Fuktio Stmmfuktio x x x x lhxl xÿl x -x - x 2 x lh x L ÿ ÿx+ ÿx+ ÿ ÿx+ ÿx+ lhÿ x+l Ñ Fläche zwische Fuktiosgrphe

4 4 FormelsmmlugLK. ud seie die x-werte der Schittpukte der Grphe vo f ud g. Git es mehr ls 2 Schittpukte, müsse die Teilitegrle eizel estimmt ud ufsummiert werde. Für eie Teilfläche gilt: Rottioskörper = ŸH fhxl- ghxll x Rotiert ei Grph zwische de Greze ud um die x-chse, etsteht ei Rottioskörper. Für sei Volume V gilt: Gerde- ud Eeegleichuge V =pÿ fhxl 2 x fhxl Prmeterforme: Gerde Eee g : x= + kÿu E : x= + kÿu+lÿv x, =Ortsvektor u, v = Richtugsvekore Gerde (Pukt-NF) g : ÿix- pm=0hexistiert ur i d. EeeL = Normlevektor Normleforme: Eee (llgemeie-nf E : ÿ x-c=0 x, p= Orts-HStützL vektore Hesse'sche Normleform E : 0 ÿ x-d = 0 0 = EiheitsormlevektorHLäge L Koorditeforme: Gerde Eee Sklrprodukt g : x+ y= d Hur i d. EeeL E : x+ y + c z = d x, y, z = Puktkoordite,, c, d = ZhleHSklreL Defiitio : = coshl =Wikel zwische ud erechugsformel: c d e f = d + e+c f Ermöglicht Wikel ud Lägemessug Vektorprodukt Defiitio : erechugsformel: Sptprodukt â = ä = ÿ ÿsihl c â d e f = f - c e -H f - c dl e - d Fläche ud Körpererechuge steht sekrecht uf ud Fläche des Prllelogrmms,, c ilde Rechtssystem erechug vo Normlevektore x 2 -Wert deres Vorzeiche Qudrt, Rechteck, Prllelogr. = g ÿh = ä ud sid ufspede Vektore Dreieck = 2 gÿh= 2 ä Defiitio : V Spt = Gÿh=JäNÿc Spt gleich "schräger Quder" Pyrmide mit qudrtischer Grudfl. V qudr.pyr. = 3 Gÿh= 3 JäNÿc, ud c sid ufspede Vektore Pyrmide mit dreieckiger Grudfl. V dreieck.pyr. = 3 Gÿh= 6 JäNÿc Dreieck ist hles Prllelogrmm Wikel Merkstz zum Sekrechtstehe: = 90 ñ = 0

5 FormelsmmlugLK. 5 Zwische 2 Vektore: Zwische 2 Gerde : Zwische 2 Eee : Zwische Gerder u. Eee : Läge ud städe coshl= ÿ ÿ coshl= ÿ ÿ coshl= ÿm ÿm sihl= uÿ uÿ Sklrprodukt wede etrg, Richugsvektore etrg, Normlevektore Sius, etrg, NV ud RV! Läge eies Vektors: x= x = x x 2 = x 2 + x x 2 3 x 3 std zweier Pukte ud dh, L= - std Pukt - Gerde HIL emittelt zusätzlich de Lotfußpukt std Pukt - Gerde HIIL scheller mit dem Vektorprodukt k = uÿhp-l uÿu d HP, gl= uäp u De Wert für k i die gegeee Gerdegleichug eisetze, ergit de Fußpukt F des Lotes vo P uf g. D die Läge der Strecke PF ereche. Fläche durch Grudseite ergit die Höhe std widschiefer Gerde (I) mit erechug des Gemeilotes Pœg ; Qœ g 2. Der Vektor PQ steht uf eide Gerde sekrecht (Gemeilot). P ud Q sid llgemeie Pukte mit Prmeter k zw. l. Dher gelte die eide Gleichuge:HL uÿiq- pm=0 ud H2L v ÿiq- pm=0. uflöse ch de Gerdeprmeter k ud l ergit die Lotfußpukte P ud Q. std widschiefer Gerde HIIL scheller mit dem Sptprodukt dhg, hl= Iuäv Mÿ uäv Volume durch Grudfläche ergit die Höhe std Pukt - Eee Pfdregel d = ÿhp-l De Pukt i die Hesse`sche Form der Eeegleichug eisetze. d ist positiv, we der Ursprug ud der Pukt P uf verschiedeö e Seite der Eee liege. PHL P HL = PH L PHL Strt PHL P HL P HL P HL P HL PHL P HL = PI M PHL P HL = PI M PHL P HL = PI M. Whrscheilichkeit eies Ergeisses (z.. ): Multipliziere die Whrscheilichkeite etlg des Pfdes zum Ergeis. 2. Whrscheilichkeite eies Ereigisses: (z.. 9, M=: ddiere die Whrscheilichkeite ller Pfde, die zum Ereigis gehöre. Komitorik Uhägigkeit/edigte Whrscheilichkeit zhlestimmuge ei Ureziehuge Kugel k Ziehuge mit Zurücklege ohe Zurücklege geordet k H-L...H-k+L ugeordet +k- k k = Pr = Cr edigte Whrscheilichkeite Defiitio P HL= PH L PHL Uhägigkeit ud sid uhägig PH L=PHL PHL Stz vo yes " Umkehrformel " P HL= PHL P HL PHL Stz vo yes (Umkehrug des umdigrmms)

6 6 FormelsmmlugLK Strt Strt Erwrtugswert m ud Stdrdweichug s eier Zufllsgröße 0.5 Die fehlede edigte WhrscheiÖ lichkeite uf der 2. Stufe ergee sich ch der yes'sche Regel, die llerdö igs sofort us der Pfdregel folgt: P HL= PHL P HL PHL EHXL = m = PHX = L+ 2 PHX = 2 L+ 3 PHX = 3 L+...+ PHX = L s = Hx - ml 2 PHX = x L+Hx 2 - ml 2 PHX = x 2 L+...+Hx - ml 2 PHX = x L Hypergeometrische Verteilug (Erweiterug des Uremodells derkomitorik) ufteilug der Grudgesmtheit N i 2 Teile der Größe R ud N - R. D werde Kugel ohe Zurücklege gezoge ud ch der Whrscheilichkeit vo k Kugel us dem Teil der Größe R gefrgt. Z.. Lotto: 49 (N) Kugel, 6 (R) richtige ud 43 (N - R) Niete. Whrscheilichkeit vo z.. 3 (k) Richtige uter de 6 () gezogee. eroulli-versuche - iomilverteilug HHN, R,, kl = PHX = kl = R k N-R -k N Ei eroull-versuch ht ur 2 mögliche usfälle (Erfolg ud Missefolg).Wird ei eroulli-versuch mit eier Erfolgswhrscheilichkeit vo p ml durchgeführt,so gilt für die Whrscheilichkeit vo k Erfolge ch der sogete iomilverteilug : H, kl = PHX = kl = k p k H- pl -k Grid@88, Grid@88, <<, ligmet 8Left, Ceter<D, SpFromLeft<<, ligmet 8Left, Ceter<, ItemSize 8Scled@0.33D, utomtic<d ghhjh jkjkjk