Fluidmechanik Strömung von Fluiden

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1 4 Strömung von Fluiden Grundbegriffe Allgemeine Beshreibung des Strömungsfeldes Stationäre und instationäre Strömungen Bahnlinie und Stromlinie Stromröhre, Stromfaden und Stromflähe Kontinuitätsgleihung Energieerhaltungssatz Satz von Bernoulli Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleihung Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleihung Ausfluß aus Gefäßen und Behältern -verlustfrei Ausfluß aus Behältern mit sharfkantigen Öffnungen Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser Ausströmen von Gasen aus Behältern in die Atmoshäre Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter Strömung mit Energietransort Strömungen unter Berüksihtigung von Arbeit und Verlusten Turbine Pume, Gebläse Folie von 57

2 4 Strömung von Fluiden 4. Grundbegriffe 4.. Allgemeine Beshreibung des Strömungsfeldes x, y, z, t, x, y, z, t, x, y, z, t, T T x, y, z, t x, y, z, t stellt ein Vektorfeld dar Geshwindigkeitsfeld Druk, Dihte und Temeratur stellen Skalarfelder dar Zur Lösung des Gleihungssystems existieren 6 Gleihungen: - Drei Bewegungsgleihungen (drei Komonenten) - Kontinuitätsgleihung - Energiesatz - Thermishe Zustandsgleihung Ideale Flüssigkeit: Keine Temeraturabhängigkeit der Zustandsgrößen Ideale Gase: Aus dem Wertetriel,, T müssen immer nur zwei bekannt sein Folie von 57

3 4.. Stationäre und instationäre Strömungen Untersheidung in stationäre und instationäre Strömung in Abhängigkeit von dem zeitlihen Verhalten der Zustandsgrößen V,, T und A A,, T, stationär d dt d dt quasistationär d dt d dt dt dt dt dt d 0 dt d 0 dt Instationär d d dt d 0, 0, 0, 0 dt dt dt dt Folie 3 von 57

4 Stationäre Strömung - Kontinuierlihe Rohrströmung - keine zeitlihe Änderung des Massestroms m A Instationäre Strömung - Ausfluss aus einem Behälter - Massestrom ändert sih in Abhängigkeit vom Füllstand h - Ausflussgeshwindigkeit g h (Torrielli'she Ausflussgleihung) Folie 4 von 57

5 4..3 Bahnlinie und Stromlinie Bahnlinie - Kurve, die ein Fluidelement zu untershiedlihen Zeitunkten ( t t 0, t,..., tn ) durhläuft - Sihtbarmahung z.b. durh Zugabe von Shwebeteilhen und Langzeitbelihtung Wasserkanalaufnahme von NACA 64A05, = 0 (ONERA, Werlé 974) Folie 5 von 57

6 Stromlinie - Tangentenkurve an die Geshwindigkeitsvektoren eines Strömungsfeldes - Sihtbarmahung z.b. durh Zugabe von Shwebeteilhen und Kurzeitbelihtung - Strömungsfeld lässt sih durh eine Kurvenshar darstellen, die in jedem Punkt den zughörigen Geshwindigkeitsvektor tangieren t = t 0 Folie 6 von 57

7 Stromlinien - Stromlinien können beliebig diht zueinander definiert werden - Zwishen zwei Stromlinien liegt immer ein konstanter Massestrom vor - Stromlinienverdihtung Strömungsbeshleunigung - Stromlinienerweiterung Strömungsverzögerung - Kein Massetransort über die Stromlinien - Stromlinien haben keine Unstetigkeitsstelle (Knik) oder Übershneidungen - Bei stationären Strömungen fallen Bahnkurven und Stromlinien zusammen Folie 7 von 57

8 Stromlinie und Bahnlinie Folie 8 von 57

9 4..4 Stromröhre, Stromfaden und Stromflähe Stromröhre - Bündel von Stromlinien, die durh eine geshlossene Kurve im Raum treten Stromfaden - Stromröhre mit infinitesimalem Quershnitt da, eindimensionale Strömung Stromflähe - Umhüllende Mantelflähe der Stromröhre - Massestrom nur durh Ein- bzw. Austrittsflähe A und A möglih Folie 9 von 57

10 Folie 0 von 57

11 Folie von Kontinuitätsgleihung Volumenstrom V s m A V 3 Massestrom m s kg A V m

12 Kontinuitätsgleihung Kontinuitätsgleihung m m onst. A A onst. Differentielle Form der Kontinuitätsgleihung A 0 d d A d A da 0 A d da A d 0 Folie von 57

13 Bs.: Rohrverzweigung eines Abwasserrohrs geg.: D = D = 00 mm V = 4,4 m³/h V = : :V 3 3 ges.:. D 3 (Durhmesser Abzweigungsrohr). (Geshwindigkeit im Quershnitt ) Folie 3 von 57

14 4.3 Energieerhaltungssatz 4.3. Satz von Bernoulli Energieerhaltungssatz - Thermodynamishe Betrahtung eines offenen, durhströmten Systems - Verlustbehafteter behafteter Strömungsrozess mit Austaush von Wärme und Arbeit Folie 4 von 57

15 Folie 5 von 57

16 Zafluft Kabinendruk Kerosin Zafluft Enteisung Luft Abgasstrahl Stromversorgung Folie 6 von 57

17 Systemgrenze m L m, B q zu m, L q ab, L m zu m, q ab ab w el Folie 7 von 57

18 Energien im Kontrollraum zwishen Eintrittsebene () und Austrittsebene () - W t, [J/kg] Tehnishe Arbeit, die dem Fluid zugeführt wird - Q [J/kg] Wärme, die dem Fluid zugeführt wird - E Diss [J/kg] Dissiierte Energie (Verluste, z.b. infolge von Reibung) - E kin, [J/kg] Kinetishe Energie - E ot, [J/kg] Potentielle Energie - H [J/kg] Enthalie Energiebilanz über die Systemgrenze Q W EDiss Transortenergien Transortenergien Ekin, E ot, H Systemenergien Energien, die über die Systemgrenze transortiert werden Systemenergien Energien, die sih innerhalb der Systemgrenze ändern (erster Hautsatz der Thermodynamik) Folie 8 von 57

19 Energieterme und sezifishe Energieterme auf die Systemmasse m bezogen Wärme: Q J Q sez. Wärme: q m kg Arbeit: W J W sez. Arbeit: w m kg Dissiationsenergie: Ediss J E Diss sez. diss. Energie: ediss m kg kinetishe Energie: m Ekin, J E kin, sez. kin. Energie: ekin, m kg otentielle Energie: Eot, J E ot, m g z z sez. ot. Energie: eot, m kg Enthalie: H U V sez. Enthalie: H J h m kg innere Energie: U m v T sez. innere Energie: U J u m kg Drukenergie: V V J sez. Drukenergie: v m kg Folie 9 von 57

20 Folie 0 von 57 Enthalie - Summe aus innerer Energie U und Drukenergie V V U H bzw. v u m H h (sez. Enthalie) Kalorishe Zustandsgleihungen dv v u dt T u du T v v, v T T u v v v, sez. isohore Wärmekaazität d h dt T h dh T, T T h, sez. isobare Wärmekaazität

21 Innere Energie und Enthalie fester und flüssiger Phasen (inkomressibel, d.h. v = onst.) du T vt dt ut ut T Änderung der sez. inneren Energie u h T T, ht, T T v Änderung der sez. Enthalie h Innere Energie und Enthalie idealer Gase v du dt T du v T dt u u v T dh dt v T dt T dh T dt h h T T T R v T T dt sez. Gaskonstante, ist keine Temeraturfunktion T Bei konstanten Werten für und v u T T u v Änderung der sez. inneren Energie u h Änderung der sez. Enthalie h h T T Folie von 57

22 Erster Hautsatz der Thermodynamik für ein offenes, stationär durhströmtes System q wt, ediss Transortenergien ekin, eot, h Systemenergien bzw. q w t, e Diss g z z T T v e kin, e ot, v u sez. Drukenergie oder q w t, e Diss g z z h h e kin, e ot, sez. Enthalie Folie von 57

23 Bs.: Stationär durhströmte Gasturbine P, w t, m m () () T,, z, A Isentroe Zustandsänderung T T T,, z, A - Ein- und Austrittsebene der Turbine auf gleihe Höhe - Isentroe Exansion von 4049 m³/h Heißgas von 8, 9bar auf, 0bar - Turbineneintrittsquershnitt - Turbinenaustrittsquershnitt A 0, 094m A 0, 4306m - Turbineneintrittstemeratur T 980C - sez. Gaskonstante R 87, J kg K - Isentroenexonent, 34 - Konstante sez. Wärmekaazitäten, v = onst. ges.: - Volumenstrom in der Austrittsebene - sez. tehnishe Arbeit w t, - Wellenleistung P Folie 3 von 57

24 Möglihe Vereinfahungen des ersten Hautsatzes der Thermodynamik q = 0: kein Wärmefluß über die Systemgrenze (adiabates System) w t, = 0: keine tehnishe Arbeit über die Systemgrenze e diss = 0: keine Reibung an der Systemgrenze (reibungsfreies System) T = T : konstante Temeratur im System (isothermes System) z = z : kein Höhenuntershied zwishen Zustand () und () Zusätzlihe weitere Vereinfahungen System wird stationär durhströmt, d.h. m onst. Inkomressibles Fluid, d.h. onst. führen den ersten Hautsatz der Thermodynamik q w t, e Diss g z z T T v e kin, e ot, v in den Satz von Bernoulli über 0 g z z v sez. Drukenergie Allgemein: Die Energie oder der Gesamtdruk längs eines Stromfadens ist konstant Folie 4 von 57 u

25 Untershiedlihen Shreibweisen der Bernoulli-Gleihung m kinetishe Energie m g z otentielle Energie V Drukenergie Eges Gesamtenergie onst. (Energieform) Division durh die Masse m sez.kinetishe Energie g z v eges sez. otentielle Energie sez.drukenergie sez.gesamtenergie onst. (sez. Energieform) Multilikation mit = /v g z ges onst. (Drukform) Division durh g z g g h ges onst. (Höhenform) Folie 5 von 57

26 Zusammenfassung Anteile der Bernoulli-Gleihung dynamisher otentieller statisher Gesamtenergie, Anteil Anteil Anteil -druk bzw. -höhe sezifishe Energiegleihung g h e ges onst. N m m kg s Drukgleihung g h ges onst. Höhengleihung g h g N m h ges onst. m Pa Folie 6 von 57

27 Energieanteile in einem durhströmten System ohne Berüksihtigung von Reibung und Arbeit Folie 7 von 57

28 Weitere Möglihkeit zur Herleitung der Bernoulli-Gleihung - Euler-Gleihung Kräftebilanz an einem Volumenelement Annahmen: - keine Berüksihtigung der thermishen Energie - keine Berüksihtigung der inneren Energie - keine Reibung s, df df os, m g dz os ds Drukform der Bernoulli-Gleihung g z ges onst. Folie 8 von 57

29 4.3. Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleihung. Überrüfung der Annahmen - Keine Arbeitsmashine (Pume, Turbine, Komressor, ) im System - Keine Wärmeübertragung (Wärmetausher, Kühler, Brennkammer, ) im System - Reibungsverluste vernahlässigbar - Konstante Temeratur - Stationäre, inkomressible Strömung. Definition von Start- und Endunkt der Bilanz - Wo sind Parameter bekannt? - Wo sollen Parameter bestimmt werden? Folie 9 von 57

30 Folie 30 von 57 Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleihung 3. Aufstellen der vollständigen Bilanz vom Start- zum Endunkt, z.b. von () nah () z g z g ergibt eine Gleihung mit sehs Unbekannten 4. Eliminieren von fünf Unbekannten - Geeignete Wahl von Start- und Endunkt - Geshwindigkeiten: Kontinuitätsgleihung für = onst. A A A A 5. Aufstellen der reduzierten Bilanz

31 4.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleihung Venturi-Rohr Ziel - Messung des Volumenstroms V Messgrößen - Drukmessstellen an der Zuströmseite () und im engsten Quershnitt () Annahmen - Reibungsfreie Strömung: e Diss = 0 - Eindimensionale Strömung: keine Änderung der Strömungsgrößen über den Quershnitt - horizontale Anordnung: z() = z(), e ot = 0 - inkomressible Strömung: onst. Folie 3 von 57

32 Bs.: Venturi-Rohr: Verlustfreie, inkomressible Strömung geg.: d = 50 mm d = 00 mm Luft =,5 kg/m³ - = 50 mmws = onst. ges.: Volumenstrom V Folie 3 von 57

33 4.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern -verlustfrei Folie 33 von 57

34 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern unter Überdruk -verlustfrei Folie 34 von 57

35 Bs.: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruk -verlustfrei geg.: P Ü = bar h = m d = m HO = 000 kg/m³ ges.:, V Folie 35 von 57

36 Bs.: Ausfluß aus einem Benzinshlauh unter Überdruk - verlustfrei geg.: P Ü = 4 bar h = 0. m d = 0 mm d = mm Benzin = 780 kg/m³ ges.: Ausströmgeshwindigkeit Folie 36 von 57

37 4.3.5 Ausfluß aus Behältern mit sharfkantigen Öffnungen Bisherige Betrahtungen - Ausfluss durh gerundete Düsen Strahlquershnitt A str = Düsen- oder Lohquershnitt A L Realität - Strahlgeshwindigkeit wird in der Ausströmöffnung niht erreiht - Strahleinshnürung Kontraktionszahl A A Str L 0.6 (Näherungswert für lange Salte, runde Ausströmöffnungen) (ausgeformte Düse) Folie 37 von 57

38 4.3.6 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser Ausströmen von Fluiden in ein ruhendes Fluid - Strahlkontraktion - Strahl vermisht sih nah kurzer Entfernung mit dem ruhenden Fluid - Umwandlung kinetisher Energie in Wärme (Dissiation) Grenzen der Bernoulli-Gleihung - Bilanz () - (3) aufgrund der Durhmishung ( Dissiation) niht zulässig Folie 38 von 57

39 4.3.7 Ausströmen von Gasen aus Behältern in die Atmoshäre Ausströmen von Gasen in die freie Atmoshäre - Strahlkontraktion - Turbulente Durhmishung mit der Umgebung (= Dissiation) - Dem Strahl wird der Umgebungsdruk 0 aufgerägt (Freistrahl) Folie 39 von 57

40 Bs.: Auslegung eines Belüftungssystems Belüftungsrohr mit Ausblaslöhern (sharfkantig) geg.: V 3 0, 7m s Luftstrom d 0mm Bohrungsdurhmesser Ü 00 Pa Überdruk im Rohr 3 Luft, kg m Luftdihte 0,6 Kontraktionszahl zu 0m s Zuströmgeshwindigkeit ges.: - Durhmesser des Rohres - Anzahl der Bohrungen? - Annahme der Inkomressibilität korrekt? Folie 40 von 57

41 4.3.8 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter Verlustfreies Ausströmen (Torrielli) - Verlustfreier Ausströmvorgang:, th g h, th (Torrielli she Ausflussgleihung) - Verlustfreie Höhe der Fontäne: h,th Realität F - Ausströmgeshwindigkeit <,th g h h g h, th V )! - Reibungsbehaftete Höhe der Fontäne h h,th Verlustziffer C H! D 8 D D JD - Abminderung der Geshwindigkeit g h h g h, th h,th,th ) Folie 4 von 57

42 Kontraktionszahl A A Str L A A * ) F! Ausflußkoeffizient - Zusammenfassung von Kontraktionszahl und Verlustziffer C H! D 8 D D JD Volumenstrom ) V A, th A g h,th Folie 4 von 57

43 * * sharfkantige Öffnung BORDA-Mündung Öffnung Verlustziffer Kontraktionszahl Ausflußkoeffizient sharfkantig gerundet DIN 95: Werte für Blenden und Venturirohre Folie 43 von 57

44 4.4 Strömung mit Energietransort 4.4. Strömungen unter Berüksihtigung von Arbeit und Verlusten Arbeit Verluste - System enthält Baugruen, die Arbeit zuführen (Pume) oder abführen (Turbine) - Berüksihtigung im. Hautsatz durh Arbeitsterm sezifishe Arbeit w t Totaldrukänderung M Förderhöhe, Nutzhöhe H oder H Nutz - Reale, reibungsbehaftete Strömung - Berüksihtigung der dissiierten Energie durh Verlustterm sezifishe dissiierte Energie, e Diss bzw. e V Totaldrukverlust, V Höhenverlust h V Folie 44 von 57

45 Besonderheiten bei Pumen und Turbinen Sezifishe Förderarbeit (Pumen) Y - Dem Fluid zugeführte mehanishe Arbeit - entsriht der sezifishen tehnishen Arbeit w t (Thermodynamik) - Y = w t [Nm/kg = m²/s²] Totaldrukänderung infolge Arbeit - Produkt aus aus der Förderarbeit Y und Dihte t Y [Pa] Förderhöhe H - Förderhöhe (Pume) bzw. Nutzfallhöhe (Turbine) H oder H Nutz Y H g [m] Folie 45 von 57

46 Hydraulishe Leistung P h P h m Y V Y V g H [W] bzw. wegen Y = w t P m w V w h t t V g H Pumenwirkungsgrad P - Verhältnis der an das Fluid übertragenen hydraulishen Leistung P h zu der an Welle zugeführten mehanishe Leistung P W, P < Ph P P W Turbinenwirkungsgrad T - Verhältnis der an der Welle zugeführten mehanishe Leistung P W zur hydraulishen Leistung P h, T < P T P W h Folie 46 von 57

47 Zusammensetzung der Energieanteile unter Berüksihtigung von Arbeit und Verlusten Folie 47 von 57

48 Folie 48 von 57 Zusammenfassung - Strömungen unter Berüksihtigung von Arbeit und Verlusten Sezifishe Energiegleihung e diss z g Y z g Höhengleihung h V g z g H g z g Drukgleihung t V z g z g

49 4.4. Turbine 0 () Energie wird über die Systemgrenze abgeführt w 0 t, w t < 0 0 () Systemgrenze Folie 49 von 57

50 Höhengleihung () () g z g H g z g h V Annahmen für Turbine: = konstanter Umgebungsdruk = = 0 keine Strömungsgeshwindigkeit an Ober- und Unterwassersiegel z = H Oberwassersiegel z = 0 Unterwassersiegel T = T konstante Temeratur Folie 50 von 57

51 Höhengleihung () () z H g g g z g h V H H h V Nutzfallhöhe H = h Nutz h H 0 Nutz h V, Sezifishe tehnishe Arbeit w t, w t, g hnutz 0 Turbinenleistung P m w m g h Turbine t, Nutz 0 Folie 5 von 57

52 Drukgleihung () () g z t g z V g H Turbine V Drukabsenkung durh Turbine Turbine Turbine g H 0 V Sezifishe tehnishe Arbeit w t, w Turbine t, 0 Turbinenleistung P Turbine m w Turbine t, m V Turbine 0 Folie 5 von 57

53 Strömungen mit Energietransort - Turbine Wellenleistung P Welle P Welle Turbine P Turbine Turbine m g h Nutz Turbine V g h Nutz bzw. P Welle hydr. meh. V g h Nutz oder P Welle hydr. meh. V Turbine 0 Folie 53 von 57

54 4.4.3 Pume, Gebläse 0 () Energie wird über die Systemgrenze zugeführt w 0 t, w t > 0 0 () Systemgrenze Folie 54 von 57

55 Höhengleihung () () g z g H g z g h V Annahmen für Pume: = konstanter Umgebungsdruk = = 0 keine Strömungsgeshwindigkeit an Ober- und Unterwassersiegel z = 0 Unterwassersiegel z = H Oberwassersiegel T = T konstante Temeratur Folie 55 von 57

56 Höhengleihung () () z H g g g z g h V H H hv Förderhöhe H = h Nutz h Nutz H hv, 0 Sezifishe tehnishe Arbeit w t, = Y [Nm/kg] w t, g hnutz 0 Pumleistung PPume m wt, m Y m g hnutz 0 Folie 56 von 57

57 Drukgleihung () () g z Pume g z V Pume g H V Drukerhöhung durh Pume Pume Pume 0 Sezifishe tehnishe Arbeit w t, = Y [Nm/kg] w Y Pume t, 0 Pumleistung Pume PPume m wt, m V Pume 0 Folie 57 von 57