Vektorrechnung. Kapitel Vektoren geometrisch

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1 Kapitel 2 Vektorrechnung 2.1 Vektoren geometrisch Sowohl in der Mathematik als auch in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und vielen anderen Anwendungsbereichen spielen Vektoren eine zentrale Rolle. Die anschaulichste von vielen möglichen Interpretationen des Vektorbegriffs ist es, sich unter einem Vektor eine gerichtete Strecke, also einen Pfeil in der Ebene oder im Raum vorzustellen. Dabei ist es wichtig, dass man Vektoren als gleich ansieht, die auseinander durch Verschiebung (ohne Drehung) hervorgehen. Unter all diesen gleichen Vektoren gibt es jedoch nach Wahl eines Koordinatensystems stets einen ausgezeichneten, der im Ursprung (Schnittpunkt der Koordinatenachsen) startet. Man spricht dann von einem Ortsvektor, weil er die Position eines bestimmten Punktes (nämlich des Zielpunktes) festlegt. In diesem Sinne entspricht also jedem Punkt der Ebene bzw. des Raumes genau ein (Orts-)Vektor. In allgemeineren (höher dimensionalen) Vektorräumen funktioniert diese anschauliche Interpretation von Vektoren als Pfeilen allerdings nicht mehr. Vektoren werden unterschiedlich bezeichnet, z. B. mit Kleinbuchstaben, Großbuchstaben, Fettbuchstaben oder durch darüber gesetzte Pfeile (also z.b. a, A, a oder a). Wir werden die einfachste Notation mittels Kleinbuchstaben wie a, b, c verwenden. Parallelogrammregel Zwei Vektoren addiert man, indem man den Startpunkt des einen in den Zielpunkt des anderen verschiebt. b a+b a a b+a b 11

2 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 12 In der so definierten Summe sind die Summanden vertauschbar: a + b = b + a. Allgemein erhält man die Summe von mehreren Vektoren durch Aneinanderhängen: b a c a+b b+c a+b+c Wie man sieht, kommt es auf die Reihenfolge des Aneinanderhängens nicht an: a + (b + c) = (a + b) + c. Der Nullvektor spielt eine besondere Rolle, da er weder eine positive Länge noch eine Richtung besitzt. Offenbar gilt a + = + a = a. Bezeichnet a denjenigen Vektor, der die gleiche Länge wie a, aber die umgekehrte Richtung hat, so gilt a + ( a) = ( a) + a =. Wir setzen a b := a + ( b). Einen Vektor a kann man mit einer reellen Zahl r multiplizieren. Dabei entsteht geometrisch der um den Faktor r gestreckte Vektor ra; für negatives r zeigt er in die entgegengesetzte Richtung wie der Vektor a: ( r)a = ra. a 2a a 2a Außerdem gelten für reelle Zahlen r, s und Vektoren a, b die Regeln (rs)a = r(sa) (r + s)a = ra + sa r(a + b) = ra + rb. Die letzte Gleichung ist geometrisch nichts Anderes als der Strahlensatz : a a 2a+2b a+b 3 b 3 b Die beiden Dreiecke sind ähnlich, da der untere und der obere Strahl von den parallelen Strahlen berührt wird. Die Summen werden um den gleichen Faktor gestreckt wie die einzelnen Vektoren.

3 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Vektoren algebraisch Seit René Descartes ( ) beschreibt man Punkte einer Geraden, einer Ebene oder des Raumes mit Hilfe von Koordinaten, also durch gewisse Paare oder Tripel reeller Zahlen. Hier greifen Algebra und Geometrie eng ineinander, man spricht von analytischer Geometrie. Eine vereinheitlichende und allgemeinere Sicht gewinnt man durch simultane Betrachtung aller n-dimensionalen Räume, wobei n eine beliebige natürliche Zahl (sogar ) sein darf. Die Elemente des kartesischen Produktes R n, d. h. die n Tupel oder Zeilenvektoren (a 1,..., a n ) mit a k R für k n, interpretiert man als Punkte eines n dimensionalen Raumes. Dabei hat R n für n 3 folgende anschauliche Bedeutungen: n = : Einpunktige Menge { } n = 1 : Zahlengerade R n = 2 : Euklidische Ebene R 2 n = 3 : Euklidischer (3 dimensionaler) Raum R 3 a 2 a a 1 a 1 a a 3 2 a a Schreibweise. (Koordinatenbeschreibung von Vektoren) Der Spaltenvektor a 1. a n a beschreibt den Vektor vom Nullpunkt zum Punkt (a 1,..., a n ). Die Gesamtheit aller solchen Spaltenvektoren bezeichnen wir mit R n. Vielfach wird zwischen dem Zeilenraum R n und dem Spaltenraum R n nicht unterschieden Definition. (Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren) Für a 1,..., a n, b 1,..., b n R und r R setzen wir a 1 b 1 a 1 ± b 1. ±. :=., r. a n b n a n ± b n a 1 a n := ra 1. ra n, := sowie a := ( 1)a für a R n. Analog für Zeilenvektoren, d. h. Elemente von R n. Im Folgenden arbeiten wir wahlweise mit Zeilen oder Spaltenvektoren und schreiben R n für R n \ { }, R n für R n \ { }.. (Nullvektor) Für reelle Zahlen verwendet man oft zur Unterscheidung von Vektoren griechische Buchstaben.

4 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 14 Aus den bekannten Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen folgen entsprechende Gesetze für Vektoren, welche algebraisch die im ersten Abschnitt geometrisch plausibel gemachten Beziehungen widerspiegeln Lemma. (Rechenregeln für Vektoren) Für Vektoren a, b, c R n und r, s R gelten folgende Gleichungen: (1 + ) a + b = b + a (Kommutativgesetz für Vektoren) (2 + ) (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativgesetz für Vektoren) (3 + ) + a = a + = a (additives neutrales Element) (4 + ) a + ( a) = (negatives Element) (1 ) r(sa) = (rs)a (Assoziativgesetz für Skalare) (2 ) r(a + b) = ra + rb (Distributivgesetz für Vektoren) (3 ) (r + s)a = ra + sa (Distributivgesetz für Skalare) (4 ) 1a = a (multiplikatives neutrales Element) Um (verschobene) Pfeile in der Ebene festzulegen, braucht man vier Koordinaten: die ersten beiden für den Startpunkt und die letzten beiden für den Zielpunkt. Bei genauer symbolischer Zeichnung wird man einen Pfeil durch einen Polygonzug darstellen (siehe unten). Für das Arbeiten mit Vektoren in der Ebene ist häufig die sogenannte Polardarstellung nützlich: Lemma. (Polardarstellung) Zu jedem (Orts-)Vektor a = (a 1, a 2 ) in der Ebene gibt es genau eine Zahl r > und eine Zahl t im halboffenen Intervall [, 1[ mit a 1 = r cos 2πt, a 2 = r sin 2πt Beispiel. Uhrzeiger Legt man den Koordinatenursprung in die Mitte einer Uhr, so hat der große Minutenzeiger der Länge m zum Zeitpunkt t (in Stunden!) den Koordinatenvektor (m cos( π 2 2πt), m sin(π 2 2πt)). Der kleine Stundenzeiger der Länge h hat hingegen zum Zeitpunkt t (ebenfalls in Stunden!) den Koordinatenvektor (h cos( π 2 2πt 12 ), h sin(π 2 2πt 12 )).

5 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Das Skalarprodukt Um mit Winkeln und Abständen in der Ebene, im Raum oder allgemein im R n bequem rechnen zu können, benutzt man das Skalarprodukt; es ordnet je zwei Vektoren a, b eine gewisse reelle Zahl a b ( Skalar ) zu. Geometrisch beschreibt der Betrag des Skalarprodukts a b den Flächeninhalt des durch die Projektion von b auf a und einem zu a senkrechten und gleich langen Vektor aufgespannten Rechtecks. Wir definieren hier allerdings das Skalarprodukt erst algebraisch und leiten später seine geometrischen Eigenschaften ab Definition. (Skalarprodukt) Für Vektoren a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) R n ist das Skalarprodukt a b definiert als n a b := a 1 b a n b n = a k b k. Speziell im R 2 und R 3 : k=1 (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2, (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b Lemma. (Rechenregeln für das Skalarprodukt) Für Vektoren a, b, c R n und r R gelten folgende Regeln: (S1) a a ; a a = a = (positive Definitheit) (S2) r(a b) = ra b = a rb (Assoziativgesetz) (S3) a b = b a (Kommutativgesetz) (S4) (a + b) c = a c + b c (Distributivgesetz) Das Kommutativgesetz führt auf den schiefwinkligen Kathetensatz : In der nachfolgenden Figur haben die gleichgefärbten Rechtecke jeweils gleichen Flächeninhalt. b c b a b a a b a c c c b c a

6 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Definition. (Orthogonalität, Länge und Abstand) (1) Zwei Vektoren a und b aus R n heißen zueinander orthogonal (oder stehen aufeinander senkrecht), in Zeichen a b, falls ihr Skalarprodukt verschwindet: a b =. (2) Es seien a, b R n. Die Zahl a := a a heißt Länge, Norm oder Betrag des Vektors a, und d(a, b) := a b heißt Abstand zwischen a und b. (3) Für nichtleere Mengen A, B R n versteht man unter dem (Minimal-)Abstand zwischen A und B das Infimum d(a, B) := inf{ d(a, b) a A, b B}. Im Falle A = {a} schreibt man d(a, B) für d(a, B), entsprechend d(a, b) statt d(a, {b}). Es ergeben sich folgende Spezialfälle: Im R 1 : a = a 2 = max{a, a} = a, d(a, b) = a b. Im R 2 : a = a a 2 2, d(a, b) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2. Im R 3 : a = a a a 3 2, d(a, b) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2. Viele algebraische und geometrische Anwendungen hat die folgende Regel: Satz. (Rechteckregel) Für je zwei Vektoren a, b R n sind die folgenden drei Aussagen äquivalent: (a) a b. (b) a + b 2 = a 2 + b 2. (c) a b = a + b. Beweis. (a) (c): a b = a b 2 = (a b) (a b) = a a±2 a b+b b = (a+b) (a+b) = a+b 2. (c) (b): 2 a + b 2 = a b 2 + a + b 2 = 2 a a + 2 a b 2 a b + 2 b b = 2( a 2 + b 2 ). (b) (a): = a + b 2 a 2 b 2 = (a a + 2 a b + b b) (a a + b b) = 2 a b Folgerungen. (Geometrische Interpretationen der Rechteckregel) (1) Satz des Pythagoras: Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn das Quadrat über einer Seite (Hypotenuse) gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten (Katheten) ist. (2) Satz des Thales: Der Durchmesser eines Kreises wird von jedem Peripheriepunkt aus unter einem rechten Winkel gesehen. (3) Satz vom Rechteck: Ein Parallelogramm hat genau dann gleichlange Diagonalen, wenn benachbarte Seiten aufeinander senkrecht stehen. (4) Satz vom Rhombus: Ein Parallelogramm hat genau dann gleichlange Seiten (d. h. es ist ein Rhombus bzw. eine Raute), wenn seine Diagonalen aufeinander senkrecht stehen.

7 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 17 b±a b a b a a b a b a b Rechtecke und Raute Satz und Definition. (Orthogonalprojektion) Für a R n kann jeder Vektor b R n auf eindeutige Weise als Differenz zweier Vektoren dargestellt werden, die aufeinander senkrecht stehen und von denen der eine die Form ra, also dieselbe oder entgegengesetzte Richtung wie a hat. Dieser Vektor liefert den Lotfußpunkt der senkrechten Projektion von b auf a und wird mit L a (b) bezeichnet; der zweite heißt Lot oder Projektionsvektor von b auf a und wird mit P a (b) oder kurz p bezeichnet. Also: b = L a (b) P a (b), L a (b) = ra P a (b). Hierbei ist r = a b a a = a b a b a 2 und L a (b) = a. b P a (b) L a (b) a Beweis. Gilt b = ra p und a p, so folgt a b = a (ra p) = r a a a p = r a a und daraus r = a b a a = a b a b und ra = r a = a 2 a. Setzt man umgekehrt r = a b und p = ra b, so ergibt sich tatsächlich b = ra p und a a a p = a (ra b) = r a a a b =, d.h. a p Satz. (Ungleichung von Cauchy Schwarz) Für a, b R n gilt: a b a b. Gleichheit besteht genau dann, wenn a = oder b = ra, d h. P a (b) = gilt. Beweis. Da die Ungleichung für a = klar ist, können wir a und damit a annehmen. Aus der Orthogonalzerlegung und dem Satz von Pythagoras folgt sofort r 2 a 2 r 2 a 2 + p 2 = ra p 2 = b 2, also a b a b, und Gleichheit tritt genau dann ein, wenn P a (b) = p = ist. Nach Division durch a b im Falle a b besagt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

8 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Folgerung. (Winkel zwischen Vektoren) Für a, b R n gilt: 1 a b a b 1. Also existiert genau ein Winkel γ [, π] (bzw. zwischen und 18 ) mit cos γ = a b a b. Im R 2 und R 3 ist γ der mit (a, b) bezeichnete Winkel zwischen a und b. Insbesondere: a b a b = cos γ = γ ist ein rechter Winkel Folgerung. (Cosinussatz) Für a, b R n und den Winkel γ = (a, b) gilt: a ± b 2 = a 2 ± 2(a b) + b 2 = a 2 ± 2 a b cos γ + b 2. Spezialfall (Pythagoras): a b cos γ = a ± b 2 = a 2 + b Satz. (Norm) Für Vektoren a, b R n und r R gilt: (N1) a, a = a = (Positivität) (N2) ra = r a (Homogenität) (N3) a ± b a + b (Dreiecks Ungleichung). Zu (N3): a ± b 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 a a b + b 2 = ( a + b ) Definition. Ein Vektor v R n heißt Einheitsvektor oder normiert, falls v = 1. Jeder Vektor u R n kann normiert werden : Der Vektor u := u u hat die Norm 1 und es gilt u = u u ( Länge mal Richtungsvektor ) Definition. (Orthonormalbasen) Eine Orthogonalbasis des R n besteht aus n paarweise orthogonalen Vektoren b 1,..., b n. Haben sie alle die Länge 1, spricht man von einer Orthonormalbasis (kurz ONB). Mit dem Kronecker Symbol δ jk = { 1, falls j = k, falls j k gilt dann: b j b k = δ jk. Die Vektoren e k = (δ jk j n) = (,...,, 1,,..., ) R n heißen kanonische Einheitsvektoren des R n ; sie bilden die kanonische Orthonormalbasis.

9 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Das Vektorprodukt Von großem Nutzen für viele Berechnungen im dreidimensionalen Raum (auch in Anwendungsbereichen wie Physik und Technik) ist das Vektorprodukt, welches je zwei Vektoren des R 3 einen dritten zuordnet, der auf diesen beiden senkrecht steht Definition. Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt von u und v aus R 3 ist der Vektor u 2 v 3 u 3 v 2 u u v = u 3 v 1 u 1 v 3 R 1 v 3, wobei u = u 2, v = 1 v 2. u 1 v 2 u 2 v 1 u 3 v 3 Während das Skalarprodukt zweier Vektoren ein Skalar, d. h. eine reelle Zahl ist, ergibt das Vektorprodukt einen Vektor (aus R 3 )! Mit einigen zum Teil etwas aufwändigen Rechnungen ergibt sich: Satz. (Rechenregeln für das Vektorprodukt) Für u, v, w R 3 und r R gilt: (1) u v = v u, insbesondere u u = (Anti Kommutativgesetz) (2) (u + v) w = u w + v w (Distributivgesetz) (3) r(u v) = ru v = u rv (Assoziativgesetz) (4) (u v) u = (u v) v = (Orthogonalität) (5) u (v w) = (u w)v (u v)w (Grassmann Identität) (6) u (v w) + v (w u) + w (u v) = (Jacobi Identität) (7) u v 2 + (u v) 2 = u 2 v 2 (Cauchy Schwarz Identität) Zum Beispiel erhält man (4) folgendermaßen: u 2 v 3 u 3 v 2 u 1 (u v) u = u 3 v 1 u 1 v 3 u 2 = u 2v 3 u 1 u 3 v 2 u 1 + u 3 v 1 u 2 u 1 v 3 u 2 + u 1 v 2 u 3 u 2 v 1 u 3 =. u 1 v 2 u 2 v 1 u Tabelle. (Festlegung des Vektorprodukts durch die Einheitsvektoren) e 1 = 1, e 2 = 1, e 3 = 1, e 1 e 2 e 3 e 1 e 3 e 2 e 2 e 3 e 1 e 3 e 2 e 1 e 1 e 3 e 2

10 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 2 Durch die Multiplikationstabelle und (2) (3) ist das Vektorprodukt vollständig bestimmt: u v = (u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 ) (v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) = (u 2 v 3 u 3 v 2 )e 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )e 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 )e Definition. Für u, v, w R 3 heißt die Zahl uvw = (u v) w = (v w) u = (w u) v = (v u) w = (w v) u = (u w) v das Spatprodukt von u, v und w. Man nennt (u, v, w) ein Rechtssystem (bzw. Linkssystem), falls uvw > (bzw. uvw < ) gilt. Zum Beispiel bilden die kanonischen Einheitsvektoren in der Reihenfolge (e 1, e 2, e 3 ) ein Rechtssystem, in der Reihenfolge (e 1, e 3, e 2 ) dagegen ein Linkssystem Lemma. (Berechnung des Spatprodukts) u 1 v 1 w 1 uvw = u 2 v 2 w 2 := u 1 v 2 w 3 + u 3 v 1 w 2 + u 2 v 3 w 1 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 u 3 v 3 w Satz. (Geometrische Beschreibung des Vektorprodukts) Das Vektorprodukt u v liefert zu u, v R 3 den einzigen Vektor mit folgenden Eigenschaften: (1) Er steht senkrecht auf u und v. (2) Seine Länge ist gleich dem Flächeninhalt des von u und v aufgespannten Parallelogramms: u v = u v sin (u, v). (3) (u, v, u v) ist ein Rechtssystem. Zu (2): u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 = ( u v ) 2 (1 cos 2 (u, v)) = ( u v sin (u, v)) Folgerung. (Orthonormalbasen des R 3 ) Einheitsvektoren u, v, w R 3 bilden genau dann eine ONB, wenn u v = und w = ± u v gilt Satz und Definition. (Spatvolumen) Für u, v, w R 3 ist uvw das Volumen des von u, v, w aufgespannten Spates [u, v, w] = {ru + sv + tw r, s, t [, 1]}. Hierbei kann man das Volumen definieren als Grundfläche mal Höhe.

11 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Geraden, Ebenen und Hyperebenen Die wichtigsten Objekte der Geometrie sind Punkte, Geraden und Ebenen. Das sind Spezialfälle sogenannter affiner Teilräume. Sie entstehen durch Verschiebung von linearen Unterräumen; bei diesen handelt es sich um affine Teilräume, die den Nullvektor enthalten Definition. (Parameterdarstellung von Geraden) Für v R n heißt Rv := {rv r R} die Gerade durch und v. Allgemeiner heißt für a R n a + Rv := {a + rv r R} die Gerade durch a mit Richtung v (oder parallel zu v). Wegen a + Rv = a + Rv kann der Richtungsvektor v immer normiert gewählt werden. b v = b a v o a Satz. (Gerade durch zwei Punkte) Durch je zwei verschiedene Punkte a, b R n geht genau eine Gerade, nämlich a + R(b a) = b + R(a b). Beweis. a = a + (b a) und b = a + 1(b a) liegen auf a + R(b a). Ist c + Rv irgend eine Gerade, die a und b enthält, so gibt es r, s R mit a = c + rv und b = c + sv; es folgt dann b a = (s r)v, also R(b a) = Rv und wegen a c Rv sogar a + R(b a) = c + Rv Bemerkung. (Schnittpunkt zweier Geraden) Sind zwei Geraden G = a + Ru und H = b + Rv mit verschiedenen Ortsvektoren a und b gegeben, so muss man zur Bestimmung des Schnittpunkts (sofern er existiert) das folgende lineare Gleichungssystem nach r und s auflösen: a + ru = b + sv (+). Multiplikation der vektoriellen Gleichung (+) mit u bzw. v ergibt das lineare Gleichungssystem a u + r u u = b u + s v u b v + s v v = a v + r u v woraus man leicht r und s bestimmen kann. Im Falle u v =, d.h. bei aufeinander senkrecht stehenden Richtungsvektoren, ergibt sich die Lösung r = (b a) u u u, s = (a b) v v v.

12 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 22 Hat man r und s berechnet, muss man durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung noch nachprüfen, ob man wirklich einen Schnittpunkt gefunden hat! So ergibt sich zum Beispiel für G = e 1 + Re 2 und H = e 2 + Re 3 sofort r = 1 und s =, aber e 1 + re 2 e 2 = e 2 + se 3. Die beiden Geraden sind windschief, schneiden sich also nicht! Spätestens beim Übergang von Geraden zu Ebenen brauchen wir die folgenden, in vielen Zusammenhängen wichtigen und nützlichen Begriffe: Definition. (Linearkombinationen) (1) Für Vektoren v 1,..., v k R n und r 1,... r k R heißt die Summendarstellung k r 1 v r k v k = r j v j j=1 eine Linearkombination der Vektoren v j. Sie heißt trivial, falls r 1 = = r k =. (2) Eine Teilmenge X von R n heißt linear unabhängig, falls sich der Nullvektor = (,..., ) nur trivial als Linearkombination paarweise verschiedener Vektoren aus X darstellen lässt oder X leer ist. Andernfalls heißt X linear abhängig. Lineare (Un-)Abhängigkeit ist eine Eigenschaft von Mengen von Vektoren, nicht von einzelnen Vektoren! Trotzdem sagt man statt {v 1,..., v k } ist linear (un-)abhängig auch die Vektoren v 1,..., v k sind linear (un-)abhängig Beispiel. (Dreieck, Schwerlinien und Schwerpunkt) Drei Punkte a, b, c im R n bilden die Ecken eines Dreiecks, wenn die Differenzvektoren b a und c a linear unabhängig sind (siehe (2)). Die Schwerlinien (Seitenhalbierenden) des Dreiecks verbinden je eine Ecke mit dem Mittelpunkt der Gegenseite. Die Gerade durch die Schwerlinie, die eine Ecke a mit dem gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt 1 2 (b + c) verbindet, hat die Parameterdarstellung S a = a + R(b+c 2a) = {a + r(b+c 2a) r R}. (Warum?) Der Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken a, b, c ist der Schnittpunkt der drei Schwerlinien. Er entsteht durch die Linearkombination 1 3 (a + b + c) = 1 3 a b c, ist also das arithmetische Mittel der Eckvektoren, wie man sofort durch Einsetzen von r = 1 3 in die Gleichungen der drei Schwerlinien sieht. c 1 2 (a+c) 1 2 (b+c) 1 3 (a+b +c) a 1 2 (a+b) b

13 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 23 Jetzt können wir Ebenen ganz analog wie Geraden beschreiben: Definition. (Parameterdarstellung von Ebenen) Für zwei linear unabhängige Vektoren u, v R n ist Ru + Rv = {ru + sv r, s R} die Ebene durch, u und v. Allgemeiner ist für a R n a + Ru + Rv := {a + ru + sv r, s R} die zu u und v parallele Ebene durch a. u a v u v Satz. (Lineare Abhängigkeit von Vektoren) (1) Ein Vektor v bzw. die Menge {v} ist nur dann linear abhängig, wenn v der Nullvektor ist. (2) Zwei Vektoren u, v sind genau dann linear abhängig, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden durch liegen, d.h., wenn u = gilt oder ein r R mit v = ru existiert. Zwei Vektoren im R 3 sind genau dann linear abhängig, wenn ihr Vektorprodukt Null ist. (3) Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einer Ebene durch liegen. Drei Vektoren aus R 3 sind genau dann linear abhängig, wenn ihr Spatprodukt Null ist. Beweis. (1) gilt wegen rv = r = oder v =. (2) Gilt u = oder v = ru, so haben wir eine nicht triviale Linearkombination 1u + v = oder ru 1v =. Ist umgekehrt {u, v} linear abhängig, etwa r 1 u + r 2 v = mit r 1 oder r 2, so ist für u auch r 2 und v = r 1 r 2 u. Nach Satz (2) liegen u und v in R 3 genau dann auf einer Geraden durch, wenn u v der Nullvektor ist. (3) Gegeben seien linear abhängige Vektoren v 1, v 2, v 3 aus R 3 und Zahlen r 1, r 2, r 3 R mit r 1 v 1 + r 2 v 2 + r 3 v 3 = und z. B. r 1. Dann liegen v 1, v 2, v 3 in der Ebene Rv 2 + Rv 3. Liegen umgekehrt v 1, v 2, v 3 alle in einer Ebene Ru + Rv, so gibt es r i, s i R mit v i = r i u + s i v, und dann folgt (r 2 s 3 r 3 s 2 )v 1 + (r 3 s 1 r 1 s 3 )v 2 + (r 1 s 2 r 2 s 1 )v 3 =. Sind alle drei Koeffizienten Null, so bedeutet das für die Koeffizientenvektoren r, s R 3 gerade r s =, also nach (2) entweder s = und somit v 1, v 2, v 3 Ru, oder r = ts für ein t R, und somit gilt dann v i = s i (tu + v) R(tu + v). In diesen Fällen liegen alle drei Vektoren sogar auf einer Geraden durch und sind daher ebenfalls linear abhängig. Hieraus folgt mit Satz die Aussage über das Spatprodukt (denn das Volumen eines Spats, der ganz in einer Ebene liegt, ist Null).

14 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Definition. (kollinear und komplanar) Mehrere Punkte des R n heißen kollinear, wenn sie auf einer Gerade liegen, und komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen Folgerungen. (Geraden und Ebenen durch drei oder vier Punkte) (1) a, b, c R n sind genau dann kollinear, wenn b a und c a linear abhängig sind. (2) Durch je drei nicht kollineare Punkte a, b, c geht genau eine Ebene, nämlich a + R(b a) + R(c a). (3) Vier Punkte a, b, c, d sind genau dann komplanar, wenn b a, c a, d a linear abhängig sind Bemerkung. (Gleichungsdarstellung von Geraden) Eine Gerade a + Rv in der Ebene lässt sich nach Wahl eines zu v senkrechten Vektors w (z. B. w = ( v 2, v 1 ) für v = (v 1, v 2 )) durch die Gleichung (x a) w = beschreiben. In 3- und höherdimensionalen Räumen lassen sich Geraden nicht mehr durch eine einzige Koordinaten-Gleichung festlegen. Im R 3 braucht man entweder eine vektorielle Gleichung (x a) v =, die besagt, dass die Vektoren zwischen zwei Punkten der Geraden stets Vielfache des Richtungsvektors sind. Oder man beschreibt die Gerade durch zwei Koordinatengleichungen, was geometrisch der Tatsache entspricht, dass eine Gerade (auf vielfache Weise!) als Schnittmenge zweier Ebenen darstellbar ist: Für linear unabhängige Vektoren u, v, w ist die Gerade G = a + Ru der Durchschnitt der Ebenen E = a + Ru + Rv und F = a + Ru + Rw Definition. (Hyperebenen) Für w R n und a R n heißt H a,w := {x R n w (x a)} = {x R n w x = w a} zu w senkrechte Hyperebene durch a. x a w Bemerkung. (Hyperebenen Gleichung) In Koordinatenschreibweise ergibt sich für w = (w 1,...w n ) und t = w a R: H a,w = {(x 1,..., x n ) R n w 1 x w n x n = t}.

15 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 25 Umgekehrt beschreibt jede Gleichung w 1 x w n x n = t mit (w 1,..., w n ) R n und t R eine Hyperebene. In der Ebene R 2 sind die Hyperebenen genau die Geraden, im dreidimensionalen Raum R 3 sind Hyperebenen nichts anderes als Ebenen. Insbesondere liefert w 1 x 1 + w 2 x 2 = t eine Gerade in der Ebene R 2 und w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 = t eine Ebene im Raum R 3. Wie bekommt man eine Parameterdarstellung einer Ebene aus einer Ebenen Gleichung und umgekehrt? Die Antwort gibt der folgende Satz, dessen Beweis eine leichte Aufgabe ist Satz. (Ebenen im dreidimensionalen Raum) Für eine Ebene E = a + Ru + Rv im R 3 und w = u v gilt E = H a,w = {(x 1, x 2, x 3 ) w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 = t} mit t = w a. Umgekehrt findet man für eine Ebene in Gleichungsform E = H a,w Parameterdarstellungen, indem man eine Lösung a des Gleichungssystems w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 = t und zwei linear unabhängige Lösungsvektoren u und v des Gleichungssystems w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 = findet. Dann ist E = a + Ru + Rv Bemerkung. (Schnitt zweier Ebenen) Will man die Schnittmenge zweier Ebenen durch Lösen von Gleichungen bestimmen, so empfiehlt es sich, eine der beiden Ebenen in Parameterform und die andere durch eine Gleichung darzustellen: E = {a + ru + sv r, s R}, F = {x x w = t}. Dann kann man die Parameterdarstellung in die Gleichung einsetzen. Die Schnittmenge besteht aus den Lösungen x = a + ru + sv der Gleichung (a + ru + sv) w = t, d. h. falls u w nicht ist, r = (t a w s v w) u w, (t a w) x = a + u + s(v v w u w u w u), und analog verfährt man, falls v w nicht ist. Die Lösungsmenge ist dann eine Gerade. (Diese Formeln braucht man sich nicht zu merken, nur den Lösungsweg dorthin.) Gilt sowohl u w = als auch v w =, so sind die Ebenen parallel. (Warum?) Ist dann auch noch a w = t, so sind die Ebenen sogar gleich, andernfalls ist ihr Schnitt leer.

16 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Satz. (Lot auf Gerade oder Hyperebene) Gegeben seien a, b, w R n mit w. Dann stehen die Hyperebenen E = H a,w und F = H b,w senkrecht auf der Geraden G = b + Rw, d.h. für x E und y G gilt (x a) (y b) =. Für r = (a b) w w w ist p = b + rw der Schnittpunkt von E und G Weiter ist der Lotfußpunkt der senkrechten Projektion von b auf E der Lotfußpunkt der senkrechten Projektion von a auf G. p a der Abstand zwischen dem Punkt a und der Geraden G p b der Abstand zwischen dem Punkt b bzw. der Hyperebene F und der Hyperebene E. Im R 3 gilt p a = (a b) w. w Der Spiegelpunkt b = 2p b von b an E hat den gleichen Abstand von E wie b, und der Verbindungsvektor 2(p b) steht senkrecht auf E. Beweis. Für p = b + rw ist die Zerlegung p = a + c mit c w äquivalent zu c = p a und (p a) w =, und dies ist wegen p = b + rw gleichbedeutend mit r w w = (a b) w. Die Bedingung p a w besagt, dass der Projektionsvektor p a senkrecht auf G steht, und wegen p = b + rw auch, dass p der Fußpunkt des Lotes von b auf H a,w = E ist. Für x G gilt wegen x p = s w p a nach Pythagoras x a 2 = x p 2 + p a 2 p a 2 ; also ist p a der Minimalabstand von a zu Punkten aus G. Ebenso sieht man, dass p b der Minimalabstand von b zu Punkten aus E ist: Für y E gilt y p rw = p b, also y b 2 = y p 2 + p b 2 p b 2. Der Flächeninhalt des von a b und w aufgespannten Parallelogramms ist (a b) w, zugleich aber auch p a w (Breite mal Höhe). Daraus folgt p a = (a b) w w. Die Aussagen über den Spiegelpunkt sind geometrisch klar und rechnerisch leicht nachzuprüfen. E G w u F v a b p b u v Sind Ebenen in Parameterform gegeben, so erhält man ähnlich wie zuvor:

17 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Satz. (Abstand zwischen Geraden und Ebenen) Gegeben seien a, b R n und linear unabhängige Vektoren u, v aus R n. Für w R n mit u w v ist dann G = b + Rw eine auf den Ebenen E = a + Ru + Rv und F = b + Ru + Rv senkrechte Gerade durch b. Sofern G und E sich schneiden (was für n = 3 immer der Fall ist), ist ihr Schnittpunkt gegeben durch p = b + rw mit r = (a b) w (a b) w w w. Die Länge p b = w des senkrechten Verbindungsvektors ist dann der Abstand zwischen den Ebenen E und F der Geraden a + Ru und der Ebene F der Geraden b + Rv und der Ebene E den Geraden a + Ru und b + Rv. Aus Satz ergibt sich unmittelbar: Folgerung. (Normalform von Hyperebenen) Der Abstand eines Punktes b R n von einer Hyperebene H a,w ist (b a) w. Im R 3 läßt sich für linear unabhängige Vektoren u, v die Ebene E = a+ru+rv durch folgende Normalform beschreiben: E = H a,(u v). Schließlich erhält man durch Betrachtung des von a, b und u v aufgespannten Spates: Satz. (Abstand zwischen zwei Geraden im Raum) Zwei Geraden G = a + Ru und H = b + Rv im R 3 sind genau dann windschief (d. h. disjunkt und nicht parallel), wenn (a b) (u v) gilt. In diesem Fall ist (a b) (u v) der Abstand zwischen den Geraden G und H dem Punkt b und der Ebene E = a + Ru + Rv dem Punkt a und der Ebene F = b + Ru + Rv den parallelen Ebenen E und F Tabelle. (Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen im R 3 ) Punkt b Gerade b + Ru Gerade b + Rv Punkt a a b (a b) u (a b) v Gerade a + Ru (a b) u (a b) u (a b) (u v) Ebene a + Ru + Rv (a b) (u v) (a b) (u v) (a b) (u v) Hierbei sind u und v als linear unabhängig vorausgesetzt.

18 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Unterräume, Erzeugendensysteme und Basen Jetzt wollen wir zwei gemeinsame Sammelbegriffe für Geraden, Ebenen und Hyperebenen studieren: Definition. (Linearer Unterraum) Eine nichtleere Teilmenge U von R n heißt (linearer) Unterraum des R n, falls gilt: (U1) u, v U = u + v U. (U2) r R, u U = ru U. Definitionsgemäß enthält jeder Unterraum U den Nullvektor, und aus u U folgt u U. Wie schon erwähnt, kann man Unterräume vom Nullpunkt wegschieben und bekommt so affine Teilräume: Definition. (Affiner Teilraum) Eine Teilmenge T des R n heißt affiner Teilraum des R n, falls für je zwei verschiedene Elemente a, b T auch die Gerade durch a und b ganz in T liegt, d. h. falls für alle r, s R mit r +s = 1 auch ra + sb T gilt. Dimension Unterräume affine Teilräume Darstellung Nullraum { } Punkte {a} 1 Geraden durch Geraden a + Rv 2 Ebenen durch Ebenen a + Ru + Rv n 1 Hyperebenen durch Hyperebenen H a,w = {x (x a) w} n Gesamtraum R n Gesamtraum {(x 1,..., x n ) x i R} Geometrisch einleuchtend ist folgende Beschreibung affiner Teilräume: Satz. (Differenzraum eines affinen Teilraumes) Eine nichtleere Teilmenge T des R n ist genau dann affiner Teilraum, wenn es einen Unterraum U gibt mit T = a + U = {a + u u U}. Hierbei ist a ein beliebiger Vektor aus T, und U ist der durch T eindeutig bestimmte Differenzraum T = {b c b, c T }. Speziell sind die Unterräume des R n genau diejenigen affinen Teilräume, die enthalten Bemerkung. Zwei affine Teilräume S und T sind genau dann im geometrisch anschaulichen Sinne parallel, wenn S T oder T S gilt. Einen Unterraum des R n nennen wir ab jetzt einfach Vektorraum (über R), erwähnen aber, dass es auch viel allgemeinere Vektorraumbegriffe gibt. Zum Beispiel kann man als Skalarbereich statt R die Menge Q der rationalen Zahlen, die Menge C der komplexen Zahlen oder sogar

19 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 29 die Menge {, 1} mit der Additionsregel = nehmen. Außerdem kann man unendlichdimensionale Vektorräume wie z.b. den der reellen Funktionen betrachten. Auf diese Varianten könne wir an dieser Stelle aus Zeitgründen nicht genauer eingehen. Wir suchen nun nach sparsamen Methoden, einen Vektorraum mittels Linearkombinationen aus wenigen Vektoren aufzubauen Definition. (Lineare Hülle, erzeugter Unterraum) Die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus einer nichtleeren Menge A R n wird mit L(A) oder A bezeichnet und heißt lineare Hülle von A oder von A erzeugter Unterraum. Für A = Ø setzt man L(A) = { } Satz. (Minimalität der linearen Hülle) Für A R n ist L(A) der kleinste Unterraum von R n, der A umfasst. Speziell ist eine Teilmenge V von R n genau dann ein Vektorraum, wenn V = L(V ) gilt. Beweis. Wegen a = 1a für a A ist A natürlich eine Teilmenge von L(A). Sind u = k i=1 s i a i und v = l j=1 t j b j Linearkombinationen von Vektoren aus A, so auch u + v und r v (r R). Also ist L(A) ein Vektorraum, der in jedem A umfassenden Vektorraum enthalten ist Definition. (Erzeugendensystem und Basis) Eine Teilmenge B eines Vektorraums V heißt Erzeugendensystem, falls V = L(B) gilt. Man sagt auch, B erzeugt V. Ist B außerdem linear unabhängig, so heißt B Basis von V Beispiele. (Basen) () Ø ist Basis von { }, aber { } ist keine Basis von { }, da linear abhängig! (1) Für v R n ist {v} eine Basis der Geraden Rv = L({v}). (2) Sind u, v linear unabhängig, so ist {u, v} eine Basis der Ebene Ru + Rv = L({u, v}). (3) {e 1,..., e n } ist eine Basis des Vektorraums R n, die kanonische Basis. Linear unabhängige Mengen kann man schrittweise zu neuen erweitern, indem man Vektoren hinzunimmt, die noch nicht in der linearen Hülle der gegebenen Menge liegen: Lemma. (Unabhängigkeitslemma) Eine nichtleere Teilmenge B eines Vektorraums V ist genau dann linear unabhängig, wenn für ein bzw. jedes b B die Menge B \ {b} linear unabhängig ist und b nicht in L(B \ {b}) liegt. Denn ist dies für ein b B erfüllt, so folgt für paarweise verschiedene v 1,..., v k B mit v 1 = b aus k j=1 r j v j = erst r 1 = (sonst läge b = v 1 = k r j j=2 r 1 v j in L(B \ {b}) und dann r 2 =... = r k = aufgrund der linearen Unabhängigkeit von v 2,..., v k. Umgekehrt ist natürlich jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge wieder linear unabhängig, und keiner ihrer Vektoren kann eine Linearkombination der anderen sein Definition. (Dimension) Für einen Vektorraum V heißt die kleinste natürliche Zahl m mit der Eigenschaft, daß je m+1 Vektoren aus V linear abhängig sind, Dimension von V ; sie wird mit dim V bezeichnet.

20 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG 3 Jeder m dimensionale Vektorraum enthält definitionsgemäß eine m elementige, aber keine (m+1) elementige linear unabhängige Teilmenge Beispiele. Da der R n die n-elementige kanonische Basis hat, ist seine Dimension, wie erwartet, gleich n. Die Dimensionsangaben für den Nullraum, Geraden, Ebenen und Hyperebenen aus Abschnitt 2.5 sind im Einklang mit dem neuen, allgemeineren Dimensionsbegriff. Aus dem Unabhängigkeitslemma folgt induktiv: Satz. (Basis Ergänzungssatz) Jede linear unabhängige Teilmenge eines Erzeugendensystems Z des Vektorraums V lässt sich zu einer in Z enthaltenen Basis von V erweitern. Somit hat jeder Vektorraum eine Basis. Aber solche Basen sind keineswegs eindeutig bestimmt! Mit Hilfe des Unabhängigkeitslemmas und des Basis-Ergänzungssatzes zeigt man: Satz. (Basis Charakterisierungssatz) Für eine beliebige Teilmenge B eines m-dimensionalen Vektorraums V sind äquivalent: (a) B ist eine Basis. (b) B ist ein minimales Erzeugendensystem von V. (c) B ist ein m elementiges Erzeugendensystem von V. (d) B ist eine maximal linear unabhängige Teilmenge von V. (e) B ist eine m elementige linear unabhängige Teilmenge von V. ( f) Jedes v V hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus B Folgerungen. (Dimension und Basen) (1) Ein Vektorraum ist genau dann m dimensional, wenn er eine Basis mit m Elementen besitzt, und dann hat jede seiner Basen genau m Elemente. (2) Für beliebige Unterräume U, W eines Vektorraumes V folgt aus U W und dim U = dim W bereits U = W. Zu jeder Menge von Unterräumen eines festen Vektorraumes gibt es einen größten Unterraum, der in all diesen Unterräumen enthalten ist, nämlich deren Durchschnitt, aber auch einen kleinsten Unterraum, der all diese Unterräume umfasst, den sogenannten Summenraum Definition. (Summen von Unterräumen) Für Unterräume U 1,..., U k eines Vektorraums V heißt U U k := {u u k u j U j für i k} die Summe der Unterräume U 1,..., U k. Ähnlich wie Satz beweist man: Folgerung. (Summenraum als lineare Hülle) Für Unterräume U 1,..., U k eines Vektorraums V ist U U k = L(U 1... U k ).

21 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Definition. (Direkte Summen) Ein Vektorraum V heißt direkte Summe der Unterräume U 1,..., U k, V = U 1... U k, falls V = U U k gilt und aus u u k = mit u j U j (j m) u 1 =... =u k = folgt Satz. (Charakterisierung direkter Summen) Für Unterräume U 1,..., U k eines Vektorraums V sind äquivalent: (a) V ist direkte Summe der U j. (b) Jedes v V ist eindeutig darstellbar als v = u u k mit u j U j. (c) Ist B j eine Basis von U j (j k), so ist B 1... B k eine Basis von V. (d) V = U U k und dim V = dim U dim U k. Die Implikationskette (a) (b) (c) (d) (a) ist leicht nachzuprüfen Beispiel. Für jede Basis B = {b 1,..., b m } eines Vektorraums V ist dieser die direkte Summe der Geraden R b j (j m): V = R b 1... R b m Definition. (Komplemente) Ist ein Vektorraum V direkte Summe zweier Unterräume U und W, d. h. V = U + W und { } = U W, so heißt W Komplement von U in V. Aus dem Basis Ergänzungssatz folgt: Folgerung. (Existenz von Komplementen) Zu jedem Unterraum U eines Vektorraums V gibt es mindestens ein Komplement Beispiele. Komplemente sind fast nie eindeutig; z. B. ist im R 2 jede Gerade durch Komplement jeder anderen. Allgemein ist jede Hyperebene durch, die eine gegebene Gerade Rv nicht enthält, ein Komplement derselben, und umgekehrt. Sehr wichtig und nützlich ist die folgende Gleichung für Dimensionen: Satz. (Dimensionsformel) Für je zwei Unterräume U und W eines Vektorraumes V gilt die Dimensionsformel: dim U + dim W = dim(u + W ) + dim(u W ). Beweis. Wir wählen je ein Komplement U 1 von U W in U und ein Komplement W 1 von U in U + W. Dann ist U + W = (U W ) U 1 W 1, also dim(u + W ) = dim(u W ) + dim U 1 + dim W 1. Für die Dimensionen folgt dim U = dim(u W ) + dim U 1, dim W = dim(u W ) + dim W 1, dim U+dim W = dim(u W )+dim(u W )+dim U 1 +dim W 1 = dim(u W )+dim(u+w ).

22 KAPITEL 2. VEKTORRECHNUNG Beispiele. (Schnitte von Ebenen) (1) Schneiden sich die Ebenen E und F des Raumes R 3 in der Geraden G, so gilt dim E + dim F = = 4 = = dim R 3 + dim G = dim(e + F ) + dim(e F ). (2) Im R 4 kann es vorkommen, dass sich zwei Ebenen im Nullpunkt schneiden! Das passiert genau dann, wenn sie Komplemente voneinander sind, etwa E = R e 1 +R e 2 und F = Re 3 +R e Definition. (Orthogonalräume) Für A R n definiert man den Orthogonalraum durch A := {b R n a b = für jedes a A}. Zwei Teilmengen A, B von R n heißen zueinander orthogonal, in Zeichen A B, falls A B bzw. B A gilt, d. h., falls jeder Vektor aus A orthogonal zu jedem Vektor aus B ist Beispiel. Die Hyperebene H,w steht senkrecht auf der Geraden R w: H,w = {w} = (R w) Lemma. A ist für jede Teilmenge A von R n ein Vektorraum: A = L(A) = L(A ) Satz. (Orthokomplementierung) Ist U ein Unterraum von V, so ist U das einzige Komplement von U, das senkrecht auf U steht. Die Zuordnung U U ist eine Bijektion zwischen der Menge der m dimensionalen Unterräume des R n und der Menge der (n m) dimensionalen Unterräume des R n. Für beliebige Unterräume U, W von R n gilt: dim U + dim U = n, U = U, (U + W ) = U W, (U W ) = U + W. Besonders bequem ist die Konstruktion von Basen mit Hilfe des Skalarprodukts. Wir verallgemeinern dazu den Begriff der Orthogonal- und Orthonormalbasen auf Unterräume: Definition. Sei B eine Menge paarweise orthogonaler, von verschiedener Vektoren des R n und U = L(B). Dann heißt B Orthogonalbasis von U. Gilt außerdem b = 1 für alle b B, so ist B eine Orthonormalbasis (ONB) von U (vgl ) Satz. (Orthogonalbasen) Jede Orthogonalbasis ist eine Basis. Ist B = {b 1,..., b m } eine Orthogonalbasis von U, so läßt sich jeder Vektor u U eindeutig als Linearkombination u = r 1 b 1 + +r m b m schreiben, wobei r k = u b k b k b k. Speziell gilt im Falle einer ONB: r k = u b k Beispiel. Einige Orthonormalbasen lassen sich mit der Regel konstruieren: Man verteilt je eine Eins, zwei Zweien und drei Dreien auf drei Brüche und setzt z. B. b 1 = ( 1 3, 2 3, 2 3 ), b 2 = ( 2 3, 1 3, 2 3 ), b 3 = ( 2 3, 2 3, 1 3 ).