Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) 2.2 Gekoppelte Schwingungen

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1 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 5. Gekoppete Shwingungen.. Einführung Wenn zwei shwingungsfähige Systee in Verinung stehen, knn Energie usgetusht weren. er Energieustush hängt von er Stärke er Koppung. Beispie: Zwei Feerpene sin it einer Koppefeer er Feerkonstnte * iteinner verunen. Beohtungen: ie Einzessen führen i.a. keine hronishe Bewegung us. Wir Pene in Shwingungen versetzt, fängt uh Pene ngs n zu shwingen. Wenn Pene it xier Apitue shwingt, ist Pene vostänig zur Ruhe gekoen. ieser Vorgng wieerhot sih nun ugekehrt usw. 3 Wir ie Koppung verstärkt, ine ie Koppefeer stärker gespnnt wir, änern sih ie Shwingungszustäne rsher. * t t 4 ie Bewegungsfor geiht einer Shweung! eine Shweung ie Üergerung von zwei Shwingungen ist, stet sih ie Frge, wehe zwei Shwingungen üergert weren? Eigenshwingungen Für zwei esonere Anfngseingungen können wir iese zwei Shwingungen, ei enen sih ie Einzessen hronish ewegen, isoiert rsteen. iese usgezeihneten Bewegungsforen es Systes nennt n Eigenshwingungen, Norshwingungen oer Funentshwingungen. Eigenshwingungen für zwei gekoppete Fenpene. Eigenshwingung: ie Frequenz, it er ie Pene shwingen entspriht er eines einzenen (niht gekoppeten Penes. ie Shwingungen er eien Pene sin in Phse.

2 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - /5. Eigenshwingung ie Frequenz hängt von er Koppung. ie Phsenge ist eenfs konstnt, er gegenphsig. ie geeine Shwingungsfor ist eine Üergerung ieser eien Eigenshwingungen. Anere Funentshwingungen können niht uftreten. Vergeeinerung: Ein Syste it f Shwingungsfreiheitsgren esitzt f Eigenshwingungen. Zu Beispie esitzt ein Moekü it N Atoen f = 3N 6 Shwingungsfreiheitsgre un it (3N 6 vershieene hronishe Shwingungsforen (Funentshwingungen. Jees Ato ewegt sih nn hronish un it er geihen Frequenz. hrkteristish für eine Eigenshwingung ist ie hronishe Bewegung er Mssenpunkte it er geihen Frequenz un fester Phsenge zueinner. Beispie. Trnsverse Eigenshwingungen einer Perenshnur Eine Perenshnur it N Mssenpunkten (it Feern gekoppet ht N Eigenshwingungen. ie Eigenshwingung it er höhsten Frequenz ist einen Zik-Zk-Bewegung. Üergng von eine konkreten Syste it N Freiheitsgren zu eine kontinuierihen Syste shwingene Site. Ausik uf s nähste Huptkpite: Wir in eine gekoppeten Shwingungssyste eine Msse (Shwingung ngestoßen, reitet sih iese Störung uf Grun er Koppung it en Nhrn us. ie Ausreitung ieser Störung heißt Wee. Von en 3N Freiheitsgren eines Systes von N Moeküen üssen 3 für ie Trnstion un 3 für ie Rottion gezogen weren, vereien insgest f = 3N - 6 Freiheitsgre für ie Shwingungen. Bei ineren Moeküen, wie O oer H sin nur zwei Rottionen ögih, so ss hier git: f = 3N 5.

3 .. Longituine Shwingungen gekoppeter Feerpene 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 3/5... Errten er Eigenshwingungen Geihgewiht (Ruhege: ie Feern soen zunähst niht vorgespnnt sein. (Wir weren jeoh später sehen, ss sih Ergenis nihts änert, wenn ie Feern uf Zug oer ruk vorgespnnt sin. Koppefeer ' Eigenshwingung : ie ittere Feer ist nie gespnnt! Beie Mssen ewegen sih it er geihen Frequenz un it konstnter Phsenge ' ( = synhrones Shwingen sin( t : Eigenshwingung : Beie Mssen ewegen sih gegenäufig it er geihen Frequenz un konstnter Phsenge. ( = synhrones Shwingen ' ges für eine Msse: ges = + ' ' sin( t :... Lösung er Bewegungsgeihungen (Norkoorintentrnsfortion ' Rüktreiene Kräfte F '( R F '( R it erhät n nh e Newtonshen Aktionsprinzip ie Bewegungsgeihungen '( '( ( ( s ist ein Syste von zwei gekoppeten ifferentigeihungen.

4 Entkoppung urh "geshikte Koorintentrnsfortion. (3 (4 Sue ( + ( ifferenz ( - ( 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 4/5 ( ( ( ( '( ( ' Entkoppete GL Lösungen: Eigenfrequenz ' Eigenfrequenz A t Eigenshwingung B t Eigenshwingung ie geeine Lösung ist nn eine Linerkointion er eien Eigenshwingungen. Wegen es Entkoppungsnstzes git für ie Shwingungen er Mssen un : A B os( t os( t A B os( t os( t...3 Beeutung er Eigenshwingungen - speziee Anregungseingungen Syste shwingt it Eigenshwingung Tere it üssen vershwinen. A os( t Shwerpunktsewegung: ( / / Anregungseingung: ( t ( t ( t ( t (z.b. eie Mssen shwingen hronish synhron it geiher Apitue un geiher Frequenz ittere Feer wir nie gespnnt - könnte entfernt weren Syste shwingt it Eigenshwingung Tere it üssen vershwinen. B os( t Retivewegung: Anregungseingung: ( t ( t ( t ( t (z.b. eie Mssen shwingen hronish it geiher Apitue un geiher Frequenz er synhron ittere Feer erfährt oppete ehnung

5 3 Anregungseingung (ie niht zu einer Eigenshwingung führt z.b.: ( t ( t ( t ( t ( t A os ( t B os A ( t A sin B ( t B sin 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 5/5 it erhät n s Lösungen ˆ os t (ost ost os t (ostos t eine trigonoetrishe Uforung iefert: os ( t os ( t sin ( t sin ( t zeitih ngs sih änerner Apituenfktor Shwingungsfor ist eine Shweung t t osoost sin tsint o o Entwikung für shwhe Koppung: ' << o ' o ' ' ' S o Energie in Energie in Shwinger Shwinger perioisher Energieustush eutung: ie Shwingung er Msse knn s erzwungene Shwingung i Resonnzf geeutet weren. Msse s Erreger shwingt it er Eigenfrequenz von Msse un äuft ieser (wie ei er erzwungenen Shwingung u / vorus. Befinet sih keine Energie ehr i Shwinger kehrt sih er Vorgng u - ei Nuurhgng er Shweung tritt nn ein Phsensprung ein.

6 ...4 Systetisher Lösungsnstz Beispie: zwei gekoppete Pene 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 6/5 x x Ruhege: Koppefeer entspnnt Bewegungsgeihungen (Keinwinkenäherung Rüktreiene Feerkräfte: (x = FR ( F ( R g( g ( ( ( A Errten er Eigenshwingungen Eigenshwingung ie ittere Feer ist nie gespnnt! Shwerpunktsewegung, synhrones Shwingen (Feer üerfüssig g os( t : Eigenshwingung Gegensinnige Bewegung synhrones Shwingen Feer oppet gespnnt (F = g os( t :

7 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 7/5 B Systetisher Lösungsnstz für gekoppete Shwingungen "Geshikte Koorinten", (sog. Norkoorinten zur Entkoppung er GL sin i geeinen shwierig zu finen. In er Mthetik git es zu ie Methoe er Eigenwertzw. Eigenvektorestiung. Ornen er GLn in ie For... j j j jn n Beispie n = für gekoppetes Feerpene g ( g ( ( g ( ( ( rsteung er GL it Vektoren un Mtrizen A Eigenfrequenzen estien Lösungsnstz für ie Eigenfrequenzen ( steht für zw. os( t os( t in e Lösungsnstz für ie Shwingungen un geihes un geihes hen, ist eine Eigenshwingung. Einsetzen in GL ( un ( ergit g ( g ( ( ('' ('' in Vektorfor: A Aes uf ie inke ringen g ( - ( - ( g + ( it erhät n ein hoogenes ineres Geihungssyste, s nur nn eine nihttrivie Lösung ht, wenn ie eterinnte er Koeffiziententrix. (Eigenwertgeihung et(

8 ie eterinnte ist nn eine Bestiungsgeihung n-ten Gres für. ie Geihung heißt "hrkteristishe Geihung". 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 8/5 g ( g ( ( g ( Lösung er qurtishen Geihung iefert ie Eigenfrequenzen un g. Lösung: g Eigenwert(frequenz g. Lösung: Eigenwert(frequenz Eigenshwingungsforen (Eigenvektoren estien (Koeffizienten un er weren urh Einsetzen von un in ('' oer ('' erittet. Eigenshwingung : g in ('' ergit: os( t os( t g Eigenshwingung : in ('' ergit: os( t os( t Ageeine Lösung ie geeine Lösung ergit sih urh Üergerung er Eigenshwingungsforen un. os( t os( t os( t os( t ie Koeffizienten un un ie Phsen un ergeen sih us en Anregungseingungen. Beispie: Syste shwingt it Eigenshwingung Tere it üssen vershwinen: = os( t os( t Syste shwingt it Eigenshwingung Tere it üssen vershwinen: = os( t os( t

9 ..4 Trnsverse Shwingungen gekoppeter Feerpene Gegenüersteung: ongituin / trnsvers ; n = ongituin trnsvers Ruhege: 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 9/5 = o o - Feern in Ruhege entspnnt - Feern strk vorgespnnt eff für eine Feer Eigenshwingung : - Feern shwh gespnnt un keine Ausenkungen eff ( - ittere Feer entspnnt - geihe Ausenkung - geihphsige Bewegung - Feern vorgespnnt - geihe Ausenkung - geihphsige Bewegung eff Eigenshwingung : - ittere Feer oppet gespnnt - geihe Ausenkung - gegenphsige Bewegung 3 - Feern vorgespnnt - geihe Ausenkung - gegenphsige Bewegung 3 eff eff eff

10 ongituin Bewegungsgeihungen ( ( 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - /5 trnsvers Bewegungsgeihungen ( eff eff ( eff eff ie Feern soen nun für en ongituinen F eine Vorspnnung hen. o Bewegungsgeihungen für Vorspnnung ( - [ ( ] {[( ( ] } [ ( ] {[ ( ] oeres Vorzeihen: Stuhung unteres Vorzeihen. ehnung Nh e Ausutipizieren kürzt sih ( - herus un es ergeen sih ieseen Geihungen wie oen. ie Frequenz er ongituinen Shwingung ist it unhängig von er Feer-Vorspnnung. Kennzeihen von Eigenshwingungen: geihe Frequenz für e Mssenpunkte jee Msse führt eine hronishe Shwingung us konstnte Phsenge er Einzeshwingungen kein Energieustush Norshwingungen können s Resonnzfäe es gekoppeten Systes ufgefsst weren. Jee freie Shwingung eines gekoppeten Systes knn s Linerkointion seiner Eigenshwingungen eshrieen weren.

11 ..5 Weitere Beispiee gekoppeter Shwingungen 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - /5 Beispie : s inere, reitoige Moekü Ein freies, ineres reitoiges Moekü weist 3N 5 = 4 Shwingungsfreiheitsgre uf un ht it 4 Norshwingungen (Beispie O : zwei Strekshwingungen (Änerung er Binungsängen zwei entrtete efortionsshwingungen (Änerung er Binungswinke Bewegungsgeihungen (für ongituine Strekshwingungen ( ( ( 3 ( Eine Lösung (trivi utet = = 3 = + t s ist er nur eine Shwerpunktsewegung un keine Shwingung, so ss sih noh zwei ongituine Strekshwingungen ergeen. Spezif: = = 3 ; = = Eigenshwingungen errten (trivi Shwerpunktsewegung synhrone Bewegung er äußeren Atoe (Shwerpunkt eit in Ruhe 3 synhrone Bewegung es itteren Atos (Shwerpunkt eit in Ruhe Lösung it systetishen Anstz ergit. t os( t 3 t t os( t os( t os( t os( t Norshwingungen von O syetrishe Strekshwingung s ( ~ = syetrishe Strekshwingung s ( ~ = (IR-ktiv entrtete efortionsshwingung ( ~ = 667 -

12 Beispie : Kpzitiv gekoppete L-Shwingkreise 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - /5 s ehnishe Anogon zu gekoppeten L-Shwingkreisen sin ie eknnten gekoppeten Feerpene. Hier wir von er Shwingung es. Penes üer eine Koppeshnur eine perioishe Krft uf s. Pene usgeüt, ie ieses zu erzwungenen Shwingungen nregt. In er nähsten Phse ient nn s. Pene s Erreger. Bei iese Vorgng wir Energie perioish von eine Pene zu neren üertrgen. s perioishe An- un Ashween er Apitue ht s Aussehen einer Shweung, ie urh Üergerung zweier hronisher Shwingungen, en sog. Norshwingungen, zustne kot. Gnz ähnih sin ie Verhätnisse ei gekoppeten eektrishen Shwingungen. In er A. sin zwei kpzitiv gekoppete L-Shwingkreise gezeihnet. ie Koppung erfogt üer en Koppekonenstor k. Fießt z.b. vo inken Shwingkreis eine Lung Q uf k wirkt ie entstehene Spnnung U = Q/k wie eine treiene Spnnung für en rehten L-Kreis. ie Anwenung er Kirhhoffshen Sheifen- un Knotenrege iefert: L i i L u u u L k uk ul u i ik i U ik k Uk U Für ie Spnnungen üer un L git geein: Q u i un u L i L ifferenziert n ie eien Sheifengeihungen ergeen sih für en Spezif = = un L = L = L ie eien GL : i L i k k i L i i k k i Mit Hife er Knotenrege i k = i - i weren rus zwei gekoppete GL für ie Ströe i un i. i i i ( L L i i k i ( L L i i k Biet n ie Sue (+( un ie ifferenz (-( er eien Geihungen, wir s Geihungssyste it e Anstz i = i + i un i = i - i entkoppet. ( i i ( i i L ( i i ( ( i i L Lk ie Lösungen i un i sin ie eien Norshwingungen. Für ie eien Norfrequenzen un erhät n:

13 Norfrequenz L ie Norshwingung zu (i = = i - i entspriht e F, ss eie Ströe in iesee Rihtung fießen (i = i un k strofrei eit (i k =. er Koppekonenstor eit nn ier ungsfrei un könnte uh gnz weggessen weren. 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 3/5 Norfrequenz L Lk Bei (i = = i + i fießen ie eien Ströe in entgegengesetzter Rihtung (i = - i. er Koppekonenstor wir nn oppet so strk ufgeen (ik = i + i. ' ; L' L L ' ' L er geeine F stet eine Üergerung eier Shwingungsforen,.h. eine Shweung, r. Strke Koppung: er Grenzf k eeutet strke Koppung: ie eien Shwingkreise verhten sih wie ein einzener Shwingkreis it L = L + L un / = / + /. Shwhe Koppung: Shwhe Koppung iegt für k >> vor. ie treiene Spnnung Koppekonenstor U = Q/k wir retiv kein. Für k weren ie eien Shwingkreise sogr entkoppet, U geht, unhängig von wievie Lung e Konenstor zugeführt wir. er Koppekonenstor wirkt für A-Signe wie ein Kurzshußrht un zwingt ie Verinung er eien L-Kreise uf Erpotenti. Für shwhe Koppung ergit sih ie Shweungs- oer Austushfrequenz = - zu (Leiten Sie iese Beziehungen her: L k ie ittere Frequenz: / L k ergit sih zu:

14 Beispie 3: Inuktiv gekoppete L-Shwingkreise 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 4/5 In er A. sin zwei inuktiv gekoppete L-Shwingkreise gezeihnet. ie Koppung erfogt urh Annäherung er eien Spuen. s von Spue erzeugte Mgnetfe urhsetzt teiweise uh ie Spue un erzeugt in ihr eine zusätzihe Inuktionsspnnung u' in,l = -L i /, ie wie eine treiene Spnnung für en rehten L-Kreis wirkt un sih zur Inuktionsspnnung u in,l = -L i / iert. Ugekehrt git sinngeäß s geihe. ie Anwenung er Kirhhoffshen Sheifen- un Knotenrege uf ie Kreise un iefert: u u u' L L u u u' L L L L L U U Für ie Spnnungen üer un L git geein: Q u i un u L i L ul uin ifferenziert n ie eien Sheifengeihungen, ergeen sih für en Spezif = = un L = L = L ie eien gekoppeten GL : i i i L L ( i i i L L ( Biet n ie Sue (+( un ie ifferenz (-( er eien Geihungen, wir s Geihungssyste it e Anstz i = i + i un i = i - i entkoppet. ( i i ( i i ( L L ( L L ( i i ( i i (3 (4 ie Lösungen i un i sin ie eien Norshwingungen. Für ie eien Norfrequenzen un erhät n: (5 ( L L (6 ( L L I Norf stet ie freie Shwingung es gekoppeten Shwingkreises eine Üergerung er Norshwingungen it en Frequenzen un r.

15 Beispie 4: Wierstnsgekoppete L-Shwingkreise 9_GekoppeteShwingungen_BA_W.o - 5/5 In er A. sin zwei gekoppete L-Shwingkreise gezeihnet, ie it eine Wierstn gekoppet sin. ie Koppung uf en rehten Shwingkreis erfogt urh ie Spnnung, ie er Stro i i Wierstn R erzeugt. iese Spnnung wirk i rehten Shwingkreis wie eine erregene Spnnung. ie Anwenung er Kirhhoffshen Sheifen- un Knotenrege uf ie Kreise un iefert: u ul ur u R ul u i - i - i R = U L i i L i R R U Für en Spezif = = un L = L = L ergeen sih ie eien gekoppeten GL : Q i L ir R i Q irr L Wegen i - i - i R = (Q / - Q / - i R = git weiter: Q ( Q Q L Q Q ( Q Q R L R Q Q Q R Q ( L R L Q ( Q Q L Q Q L ( ( Biet n ie Sue (+( un ie ifferenz (-( er eien Geihungen, wir s Geihungssyste it e Anstz Q = Q + Q un Q = Q - Q entkoppet. Q Q Q L R Q L Q L L R L L ie Eigenshwingung it ist eine geäpfte Shwingung, währen ie Eigenshwingung it er Frequenz niht geäpft ist!