Moderne Methoden der Regelungstechnik I

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1 Technische Universität München Vorlesungsmitschrift Moderne Methoden der Regelungstechnik I Sommersemester 2014 Autor Konstantin Werner konstantin.werner@gmail.com 1. Überarbeitung Christian Dengler sumo_spider@yahoo.de 2. Überarbeitung Tobias Scheuermann mail@tobias-scheuermann.de 19. Juli 2014 Dies ist nur eine Mitschrift der Vorlesung und ersetzt nicht den Besuch der Vorlesung. Dies ist kein offizelles Skript des Lehrstuhls. Dieses Dokument erhebt keinen Anspruch auf Richtigkeit und Vollständigkeit, wohl aber auf die Bemühung um selbige.

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung und Zustandsregelung 1 2. Konstante Zustandsrückführung und Führungsgrößenaufschaltung für lineare Systeme Struktur der Zustandsregelung Wahl von M und M u (für p = q) Führungsübertragungsmatri G w (s) Entwurf der Zustandsrückführung R durch Eigenwertvorgabe (engl.: Pole Placement) Berechnung von R über die Regelungsnormalform Berechnung von r T bei vorhandener RNF Berechnung von r T bei beliebiger Zustandsdarstellung Berechnung von R über vollständige modale Synthese Entkoppelung des Ein/Ausgangsverhaltens Minimierung eines quadratischen Gütemaßes Aufgabe Lösung Zustandsbeobachter Prinzip Entwurf des Beobachters Berechnung des Beobachters über einen Zustandsreglerentwurf Vorgebbarkeit von Beobachter-Eigenwerten Reduzierter Beobachter Beobachter im Regelkreis - Separationstheorem Kalman-Filter Digitale Implementierung Berücksichtigung von Störgrößen Störmodell und Störgrößenbeobachter Störgrößenaufschaltung Konstante Rückführung von w Dynamische Störgrößenaufschaltung Vollständige Unterdrückung von Störungen durch geeignete Zustandsrückführung (=Störentkoppelung) Bewertung Erweiterte Regelungsstrukturen Zustandsregelung mit I-Anteil (p=q) Modellgestützte dynamische Führungsgrößenaufschaltung Modellgestützte dynamische Störgrößenaufschaltung Trajektoriengenerierung

3 6. Ein-Ausgangslinearisierung nichtlinearer Systeme Einleitung Differenzordnung und Lie-Ableitung Reglerentwurf Künstliche neuronale Netze Multi-Layer-Perception (MLP) Radial-Basis-Funktionsnetze (RBFN) Nachbildung dynamischer Systeme durch KNN A. Notation 41

4 Abbildungsverzeichnis 1.1. Übersicht über die Struktur der Zustandsregelung detaillierte Struktur der Zustandsregelung alternative Darstellung Zweitanksystem Strecke & Rückführung mögliche Verläufe einer Zustandsgröße i Ansatz für Beobachter Luenberger-Beobachter = vollständiger Zustandsbeobachter (BB 3.1) fiktiver Regelkreis Beispielverläufe für Störgrößen Störmodell konstante Störgrößenaufstellung dynamische Störgrößenaufstellung Zustandsregelung mit I-Anteil statische Führungsgrößenaufschaltung Dynamische Steuerung ohne Regelung Dynamische Steuerung mit Zustandsregelung Dynamische Steuerung mit Zustandsregelung, Beobachter und I-Anteil Darstellung als Zwei-Freiheitsgrade-Regelung dynamische Störgrößenaufschaltung inverses Pendel

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6 1. Einführung und Zustandsregelung Entwurf von Regelsystemen im Zustandsraum, Zustandsregelung w Steuereinrichtung Strecke u soll + u y + Regler soll + - =Verallgemeinerung der Zwei-Freiheitsgrade-Regelung (BB 1.1) Abbildung 1.1.: Übersicht über die Struktur der Zustandsregelung Ziele: 1. Stabilität 2. Sollwertfolge und Störminderung 3. Dynamik 4. Robustheit dieser Eigenschaften 1

7 2. Konstante Zustandsrückführung und Führungsgrößenaufschaltung für lineare Systeme 2.1. Struktur der Zustandsregelung w M u 0 u Steuer u ẋ B C y R A Strecke M soll - Abbildung 2.1.: detaillierte Struktur der Zustandsregelung Strecke: ẋ = A (n n) (n 1) + B u (n p) (p 1), (t 0 ) = 0 (1) y = C (2) (q n) Regelgesetz: u = R( soll ) + u steuer = R ( M w ) + M u w (3) (p n) (n q)(q 1) (p q) = R + (R M + M u ) w (4) F 2

8 also: w + u y F Strecke - R ohne Soll-Ist-Wertvergleich Abbildung 2.2.: alternative Darstellung (3),(4) in (1): ẋ = (A B R) + B(R M + M u )w = (A B R) + B F w (5) y = C Zustandsgleichungen des geregelten Systems. Es ist stabil, wenn die Eigenwerte von A B R in der linken kompleen Halbebene liegen. 1. Stabilitätsforderung: R so wählen, dass die Anfangsstörung o ausgeregelt wird. (t) 0 für t (mit w = 0) 2. Sollwertfolge (=stationäre Genauigkeit): M und M u so wählen, dass stationär. y stat. = w stat., soll,stat. = stat., (mit R = 0) 2.2. Wahl von M und M u (für p = q) Stationär gilt: ẋ = A st + B u st! = 0 y st = C st! = w st A B st 0 = C 0 u st w st P 0 st = P 1 0 (0) = P 1 0 (0) w u st w st I st 3

9 Nun soll st = soll,st = M w st, folglich u st = u steuer,st = M u w st sein. M w st M =! st w M u w st = = P 1 0 (0) st u st I M u Da w st beliebig und konstant ist, gilt das nur mit M M u = 1 A B 0 C 0 I Dies ist die stationär genaue Steuereinrichtung. Sie ist unabhängig von R. Die Lösungen von A ηi B det = 0 ( ) C 0 P (η) heißen invariante Nullstellen des Systems A B C. Liegt keine von ihnen in 0, so ist P(0) invertierbar und ( ) eindeutig lösbar. M Hinweis: Falls p q: P (0) 0 = zu lösen versuchen. M u I 2.3. Führungsübertragungsmatri G w (s) Laplace-Transformation von (5) und (2) mit 0 = 0 w st sx(s) = (A B R)X(s) + B(R M + M u )W (s) (si A + B R)X(s) = B F W (s) X(s) = (si A + B R) 1 B F W (s) (6) mit Y (s) = C X(s) Y (s) = C(sI A + B R) 1 B F W (s) (7) G (s) w G w (s) ist die Führungsübertragungsmatri. G w (s) ist übertragungsstabil, wenn das char. Polynom det(si A+B R) nur Nullstellen in der linken Halbebene hat, wenn also alle EW von A B R links liegen Stationäres Verhalten wird mit s = 0 beschrieben (vgl. Endwertsatz): y stat = C( A + B R) 1 B F G (0) w w stat G w (0)! = I für stationäre Genauigkeit F = hängt von R ab, siehe BB C(B R A) 1 B 4

10 2.4. Entwurf der Zustandsrückführung R durch Eigenwertvorgabe (engl.: Pole Placement) ẋ = (A B R) + B F w Grundgedanke ist, die Eigenwerte λ R1,..., λ Rn (Regelungseigenwerte) vorzugeben, um eine gewünschte Dynamik zu sichern und R so zu wählen, dass sich diese Eigenwerte tatsächlich einstellen. Dazu vergleicht man das charakteristische Polynom mit dem Polynom der gewünschten Regelungseigenwerte: det(si A + B R) charakteristisches Polynom = (s λ R1 )... (s λ Rn ) vorgegebene Eigenwerte s n + a n 1 (R)s n a 0 (R) = s n + p n 1 s n p 0 Koeffizientenvergleich: a n 1 (R) = p n 1. Synthese-Gleichungen a 0 (R) = p 0 n Gleichungen für n p Elemente von R. Fall 1: p = 1 (Eingrößensystem). In diesem Fall sind die Synthesegleichungen linear und können eindeutig gelöst werden, sofern das System steuerbar ist. Fall 2: p > 1 (Mehrgrößensystem). Die Synthesegleichungen sind nichtlinear und unterbestimmt. Unendlich viele Lösungen. 5

11 Beispiel 1. Zweitank-System q zu = u 1 q ab1 = k q ab2 = k 2 2 Abbildung 2.3.: Zweitanksystem ẋ1 ẋ 2 k1 0 1 = k 1 k 2 2 } {{ } A y = 0 1 c T 1 + u 0 b Hinweis: negative Füllhöhen und Fließgeschwindigkeiten machen physikalisch keinen Sinn. Man kann das System als Abweichung von einem gewählten Arbeitspunkt verstehen. Auch negative Einträge in und sind dann zulässig. Negative Geschwindigkeite ẋ würden aber immer noch bedeuten, dass das Wasser in den Tank zurück fließt, dies soll aber hier so hingenommen werden. Regelgesetz: r 1 r 2 u = } {{ } r T + f w (t) charakteristisches Polynom des geregelten Systems: det(si A + b r T s + k1 + r ) = det 1 r 2 k 1 s + k 2 = s 2 + s(k 1 + r 1 + k 2 ) + k 2 k 1 + k 2 r 1 + r 2 k 1 Eigenwertvorgabe: z.b. λ r1 = 2, λ r2 = 3 (s + 2)(s + 3) = s 2 + 5s + 6 Koeffizientenvergleich: k 1 + r 1 + k 2 = 5 r 1 = 5 k 1 k 2 mit k 1 = k 2 = 1: k 1 k 2 + k 2 r 1 + r 2 k 1 = 6 r 2 = 6 k 2(5 k 2 ) k 1 r T = 3 2 6

12 Vorfilter f: f = c T (b r T A) 1 b 1 = = 6 oder: A b m 0 c T = 0 m u m m 2 = m u 1 1 m =, m 1 u = 1 Probe: r T m + m u = f 2.5. Berechnung von R über die Regelungsnormalform (für Eingrößensysteme) Definition der Regelungsnormalform (RNF), alle sind Größen in RNF: ẋ..... = u 1 0 a a n 1 A b Die negierten Elemente der letzten Zeile von A sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms det(si A ) = s n + a n 1 s n a Berechnung von r T bei vorhandener RNF ẋ = A + b u u = r T = r1... rn ẋ = (A b r T ) Dabei: A b r T = A.. r1... rn = A = r rn a 0 r a n 1 rn Somit hat auch der geschlossene Regelkreis Regelungsnormalform. Daraus berechnet sich das charakteristische Polynom des Regelkreises: s n + (a n 1 + r n)s n (a 0 + r 1) 7

13 Eigenwertvorgabe: s n +(a n 1 +r n)s n 1 + +(a 0 +r 1) = (s λ R1 ) (s λ Rn ) = s n +p n 1 s n 1 + +p 0 Koeffizientenvergleich: r 1 = p 0 a0 ;... ; r n = p n 1 a n 1 Ergebnis: r T = p 0 a 0... p n 1 a n 1 (1) Diese Wahl von r T garantiert die gewünschten Regelungseigenwerte λ R1... λ Rn Berechnung von r T bei beliebiger Zustandsdarstellung Gegeben: ẋ = A + b u Gesucht: Transformation auf Regelungsnormalform = T ; = T 1 mit T = t T 1. t T n Eingesetzt ergibt sich: T 1 ẋ = A T 1 + bu ẋ = T A T 1 A + T b b u Forderung 1: T A = A T 0 1 t T A =!... 1 t T n 0 a a n t T 1. t T n t T 1 A. t T n A = t T 2. a 0 t T 1 a 1t T 2 a n 1t T n Zeilenweiser Vergleich: t T 2 = t T 1 A t T 3 = t T 2 A = t T 1 A 2. t T n = t T n 1A = t T 1 A n 1 8

14 T = t T 1 t T 1 A1. t T 1 An 1 (2) Aus der letzten Zeile folgt: a 0 t T 1 a 1 t T 1 A a n 1 t T 1 A n 1 = t T 1 A n (3) Dies ist laut Theorem von Cayley-Hamilton immer erfüllt, liefert also keine neue Information und kann somit nicht zur Berechnung von t T 1 verwendet werden. (Siehe BB.2.2). Forderung 2: T b = b t T 1 0 t T 1 T b = A. b =. 0 t T 1 An 1 1 Elementweiser Vergleich: t T 1 b = 0, t T 1 A b = 0,..., t T 1 A n 1 b = 1 t T 1 b A b... A n 1 b = } {{ } } {{ } Steuerbarkeitsmatri Q s e T n t T 1 = e T n Q 1 s = letzte Zeile von Q 1 s Vorraussetzung für die freie Eigenwertvorgabe ist die Steuerbarkeit des Systems! Dann können alle Regelungseigenwerte frei vorgegeben werden. In der Regelungsnormalform gilt: Aus (1) r T = p 0 a 0... p n 1 a n 1 u = r T, = T, r T = r T T t T 1 t T 1 A1. t T 1 An 1 mit (3) folgt die Ackermann-Formel (1972) = (p 0 a 0 )t T 1 + +(p n 1 a n 1 )t T 1 A n 1 r T = p 0 t T 1 + p 1 t T 1 A + + p n 1 t T 1 A n 1 + t T 1 A n 9

15 Beispiel 2. Zweitanksystem ẋ1 ẋ = u 0 gesucht: Regelgesetz u = r 1 r 2 Eigenwertvorgabe: λ R1 = 2; λ R2 = 3 Charakteristisches Polynom: (s + 2)(s + 3) = s p1 s + 6 p0 = 0 Bestimmung von t T 1 Siehe BB.2.6. Q 1 s Q s = = b A b = t T 1 = r T = = Berechnung von R über vollständige modale Synthese (für Mehrgrößensysteme) 1. Ausgangspunkt: ẋ = A + B (n 1) u (n p)(p 1) ; rang(b) = p Regelgesetz: u = R ; Annahme: R sei bereits bekannt geschlossener Regelkreis: ẋ = (A B R) Die Regelungseigenwerte λ R1... λ Rn seien von den Streckeneigenwerten λ 1... λ n verschieden und einfach. Die Eigenvektoren v R1,..., v Rn von (A B R) sind dann linear unabhängig. 2. Dann gilt: λ Ri I (A B R) v Ri = 0 (λ Ri I A)v Ri = B R v Ri p i Definition 1. Parametervektoren p i p i = R v Ri, i = 1...n (1) (λ Ri I A)v Ri = B p i (2) v Ri = (A λ Ri I) 1 B p i (3) 10

16 3. Umkehrung: λ R1... λ Rn und p 1... p n werden frei vorgegeben. Dann folgt die Berechnung von v R1... v Rn nach (3). Diese v Ri werden genau dann Regelungseigenvektoren sein, wenn ein R eistiert, derart dass die p i tatsächlich p i = R v Ri erfüllen. p 1... p n = R v R1... v Rn V R (n n) Ein solches R eistiert, wenn die mit (3) gefundenen v R1... v Rn linear unabhängig sind bzw. V R invertierbar ist. Mit (3): R = 1 p 1... p n v R1... v Rn (4) Allgemeine Formel für den Polvorgaberegler: R = (p n) 1 p 1... p n (A λ R1 I) 1 B p 1... (A λ Rn I) 1 B p n } {{ } (p n) } {{ } (n n) (5) Roppenecker-Formel (1981) (parametric state feedback) siehe BB Entkoppelung des Ein/Ausgangsverhaltens Strecke Regelgesetz ẋ = A + B (n p) u; y = C ; p = q; rang(c) = rang(b) = p (q n) u = R + F w (1) Aufgabe ist es nun, F und R so zu wählen, dass jede Regelgröße y i ihrer Führungsgröße w i möglichst gut folgt ( Entwurf auf Führungsverhalten ) und durch die anderen Führungsgrößen nicht angeregt wird ( Entkoppelung ). Schritt 1: Differentialgleichung für y i Nach Ableitung: y = C sofern c T i B = 0T folgt ẏ i = c T i A nach nochmaligem Ableiten: y 1. y p = ct1. c T p y i = c T i ẏ i = c T i ẋ = c T i A + c T i B u ÿ i = c T i ẍ = c T i A 2 + c T i A B u 11

17 sofern c T i A B = 0T folgt ÿ i = c T i A2 usw. so lange bis c T i A δ i 1 B 0 T Es gilt: c T i B = 0 T c T i A B = 0 T c T i A δ i 2 B = 0 T c T i A δ i 1 B 0 T δ i heißt Differenzordnung des Systems bezüglich y i und bezeichnet die niedrigste Ableitung von y i auf die u unmittelbar zugreift. Wir haben also für i = 1...p: y i = c T i ẏ i = c T i A.. y i = c T i Aδi 1 (δ i 1). (2) Nun (1) in (3) einsetzen (δ i ) y i = c T i A δ i + c T i A δi 1 B u (3) 0 T (δ i ) y i = (c T i A δ i c T i A δ i 1 B R) + c T i A δ i 1 B F w (4) Schritt 2: Entkoppelung Damit y i nur von seiner Führungsgröße w i abhängt, ist F so zu wählen, dass c T i A δ i 1 B F w! = k i w i = k i w (5) oder c T 1 A δ 1 1 B F = k c T p A δp 1 B F = k p oder c T 1 Aδ 1 1 B k 1 0. F =... = diag(k 1... k p ) c T p A δp 1 B D } 0 {{ K k p } (p p) (p p) 12

18 Somit wird (4) mit (5) F = (D ) 1 K (6) sofern det(d ) 0 (Entkoppelbarkeitsbedingung) (δ i ) y i = (c T i A δ i c T i A δ i 1 B R) + k i w i (7) Um den Term mit durch einen mit y i, ẏ i,... zu ersetzen, wählt man R so, dass gilt: (c T i A δ i c T i A δ i 1 B R)! (δ i 1) = (M i0 y i + M i1 y i + + M iδi y 1 i ) = δ i 1 ν=0 M iν (ν) y i M iν beliebig (konstant) (8) Aus (2) ist bekannt (ν) y i = c T i A ν ; ν < δ i δ c T i A δ i c T i A δi 1 i 1 B R = M iν c T i A ν i = 1... p ν=0 c T 1 Aδ 1 1 B c T 1 Aδ 1 + δ 1 1 M 1ν c T 1 Aν ν=0. R =. c T p A δp 1 (p n) B c T δ p 1 p A δp + M pν c T p A ν D ν=0 (p n) (p p) hieraus wird R ermittelt. Somit wird aus (7) wegen (8): oder Nach Laplacetransformation δ (δ i ) i 1 (ν) y i = M iν y i + k i w i ν=0 (δ 1 ) y M 10 y 1 = k 1 w 1 (δ p) y p + + M p0 y p = k p w p entkoppeltes System Y 1 (s) =. Y p (s) = k 1 s δ M11 s + M 10 W 1 (s) k p s δp + + M p1 s + M p0 W p (s). 13

19 Diese Gleichungen beschreiben das Ein-/Ausgangsverhalten des geregelten Systems ẋ = (A B R) + B F w y = C Es besitzt eine diagonalförmige Führungsübertragungsmatri. Schritt 3: Polvorgabe Man gibt nun die Pole der einzelnen Übertragungsfunktionen vor, dadurch sind die M iν bestimmt. Außerdem kann man für stationäre Genauigkeit (y i = w i für s = 0) k i = M i0 wählen. Ist die Entkoppelbarkeitsbedingung det(d ) 0 erfüllt, so kann man entkoppeln und δ δ p = δ Eigenwerte vorgeben. δ ist die Differenzordnung des Systems (relativer Grad). Fall 1 δ = n: alle Eigenwerte können vorgegeben werden. Fall 2 δ < n: Es eistieren Eigenwerte, die nicht als Pole der Übertragungsmatri G(s) auftreten. Sie sind kompensiert durch invariante Nullstellen an gleicher Stelle. Die nicht vorgegebenen Eigenwerte werden durch R in invariante Nullstellen verschoben, sie werden unbeobachtbar. Stabilität der Entkoppelungsregelung tritt genau dann ein, wenn alle invarianten Nullstellen in der linken kompleen Halbebene liegen (und die δ vorgegebenen Pole links platziert wurden). siehe BB.2.5./ Minimierung eines quadratischen Gütemaßes Aufgabe - u Strecke ẋ = A + B u R Abbildung 2.4.: Strecke & Rückführung Rückführung R ist so zu wählen, dass (a) der Übergang von 0 nach s = 0 schnell und nicht zu stark oszillierend erfolgt. (b) die dazu erforderliche Steuerenergie möglichst klein ist. 14

20 i ideal t Abbildung 2.5.: mögliche Verläufe einer Zustandsgröße i Die Fläche unter der Kurve ist ein Maß für die Energie Quantitative Erfassung von Forderung (a) Gütemaß für den Verlauf von i : J i = Um alle Zustandsvariablen zu berücksichtigen J = i (t)dt q (t) + + q nn 2 n(t) dt Darin sind q ii > 0 Gewichtungsfaktoren. Soll z.b. 1 besonders klein gemacht werden, dann ist q 11 besonders groß zu wählen. Mit folgt q n.... n } 0 {{ q nn } Q J = 1 2 R ist so zu wählen, das J minimal wird. Quantitative Erfassung von (b): J = 1 2 = T (t)q (t)dt q 11 u 2 1(t) + + q pp u 2 p(t) dt u T (t) Qu(t)dt mit Q = = q q nn 2 n q q nn 15

21 Erfüllung (a) und (b) mit Gütemaß: J = J(R) = 1 T (t)q(t)dt + 1 u T (t) 2 2 Qu(t)dt 0 0 verlaufsoptimaler Anteil verbrauchsoptimaler Anteil R ist so zu wählen, das J minimal wird Lösung Optimales Regelgesetz (Herleitung in moderne Methoden der Regelungstechnik 2 ): u = Q 1 B T P } {{ } R Darin ist P die konstante, symmetrische, positiv definite (n n) Matri, die sich als Lösung von: P B Q 1 B T P P A A T P Q = 0 ergibt. Sie heißt algebraische Riccati Gleichung. P heißt positiv definit, wenn T P > 0 für 0. Routinen zur Lösung in jedem Programmpaket. Beispiel 3. skalare Ricatti-Gleichung ẋ = a + bu J = 1 2 ( q 2 + qu 2) dt 0 u = bp 1 q r pb bp pa ap d = 0 1 q Ricatti-Gleichung b 2 q p2 2ap q = 0 p 1/2 = a q b 2 ± ) (a q 2 b 2 + q q b 2 Es ist die positiv definite Lösung zu nehmen (p 2 > 0). p 1 = a q ) (a q 2 b 2 + b 2 + q q b 2 16

22 3. Zustandsbeobachter 3.1. Prinzip Problem der Zustandsrückführung u = R ist, dass alle n Zustandsgrößen gemessen und rückgeführt werden müssen. Die Messung bestimmter Größen kann aber sehr teuer oder sogar unmöglich sein. Abhilfe schafft die Schätzung der nicht messbaren Zustandsgrößen durch einen sog. Beobachter. Gesamtheit der Messgrößen: y = C Messvektor Gesamtheit der Regelgrößen: y a = C a Regelvektor 0 u ẋ = A + B u C a y a ˆ? y C Näherungswert = Schwätzwert für Abbildung 3.1.: Ansatz für Beobachter Vorschlag von Luenberger =Dynamisches System (Luenberger-Beobachter) ˆ = M ˆ + G u + K y (1) Darin sind M, G, K so zu wählen, dass der Schätzfehler (t) = (t) ˆ(t) 0 für t und zwar für beliebiges 0, ˆ 0. Fehler-Differentialgleichung: = ẋ ˆ = A + B u M ˆ G u K y M( ) K C 17

23 = M + (A M K C) + (B G)u Man wählt: 1. G = B damit der Einfluss von u verschwindet und der Beobachter somit für jedes u gilt. 2. K und M so, dass A M K C = 0, also M = A K C. Somit ist nur K frei wählbar. Dann gilt: = M (t) 0, falls alle Eigenwerte von M links liegen. Luenberger-Beobachter: ˆ = (A K C) ˆ + B u + K y (2) M wobei K so zu wählen ist, dass die Eigenwerte von M = A K C links liegen. Umformung: M ˆ = ( ) A K C ˆ = A ˆ K C ˆ = A ˆ K ŷ ŷ ˆ = A ˆ K ŷ + B u + K y 0 u ẋ = A + B u C y y ŷ - ˆ = A ˆ + B u + K(y ŷ) ˆ C ŷ 0 Luenberger-Beobachter Parallelmodell mit Korrekturterm K(y ŷ) Abbildung 3.2.: Luenberger-Beobachter = vollständiger Zustandsbeobachter (BB 3.1) ˆ 0 wird = 0 gewählt oder auf vorbekannte Werte gesetzt (wenn verfügbar). 18

24 3.2. Entwurf des Beobachters 1. Man gibt die Eigenwerte β 1,..., β n von M = A K C vor und zwar (Faustregel) links der Eigenwerte des ohne Beobachter geschlossenen Regelkreises, aber nicht zu weit links, da der Beobachter sonst differenzierend wirkt. 2. Bestimmung von K detsi (A K C)! = (s β 1 ) (s β n ) = s n + + p 1 s + p 0 = p(s) durch Koeffizientenvergleich: Synthesegleichungen des Beobachters Beispiel: Zweitanksystem BB Berechnung des Beobachters über einen Zustandsreglerentwurf (Bei Transposition bleibt die Determinante unverändert) detsi (A K C) = detsi (A T C T K T )! = (s β 1 ) (s β n ) Das ist das charakteristische Polynom des folgenden fiktiven Regelkreises - u f ẋ = A T f + C T u f f K T Abbildung 3.3.: fiktiver Regelkreis Bei Polvorgabe war ẋ f = A T f + C T u f ; u f = K f für fiktiv ẋ f = (A T C T K T ) f detsi (A B R)! = p(s) Somit das gleiche Problem wie Eigenwertvorgabe durch Zustandsrückführung nur mit A T statt A, C T statt B und K T statt R. Daher kann jedes Verfahren zur Zustandsreglerberechnung durch Polvorgabe Anwendung finden. nur eine Messgröße: Ackermann-Formel mehrere Messgrößen: Roppenecker-Formel 19

25 3.4. Vorgebbarkeit von Beobachter-Eigenwerten BB Reduzierter Beobachter Messgrößen y 1,..., y q werden als Zustandsvariablen eingeführt, die nicht messbaren Zustandsvariablen seien mit v 1,..., v n q bezeichnet. y = v Dann wird ẋ = A + B u zu y = v A11 A 12 A 21 A 22 Vollständigen Beobachter für v entwerfen: Messgleichung: v ẋ y B1 + u v B 2 ẏ = A 11 y + A 12 v + B 1 u v = A 21 y + A 22 v + B 2 u = A 22 v A + (A 21 y + B 2 u) B u ẏ A 11 y B 1 u = A 12 v y C Für dieses System wird nun ein vollständiger Beobachter für v entworfen: ˆ = (A K C)ˆ + B u + K y ˆv = (A 22 K A 12 )ˆv + (A 21 y + B 2 u) + K(ẏ A 11 y B 1 u) Um die Differentiation von y zu vermeiden führt man anstelle von ˆv den Vektor z = ˆv K y ein. ˆv = z + K y ˆv = ż + K ẏ ż + K ẏ = (A 22 K A 12 )(z + K y) + (A 21 y + B 2 u) + K ẏ K A 11 y K B 1 u ẏ fällt herraus. Der reduzierte Beobachter lautet: ż = (A 22 K A 12 )z + (B 2 K B 1 )u + (A 22 K A 12 )K + (A 21 K A 11 ) y v = z + K y (n q 1) Der Beobachter hat die Ordnung n q. Siehe Beiblatt 3.2. zur Vorgebbarkeit von Beobachtereigenwerten und Beiblatt 3.4. für Beispiele 20

26 3.6. Beobachter im Regelkreis - Separationstheorem Struktur des über Beobachter und Zustandsregler geschlossenen Regelkreises nach Beiblatt 3.1. Wird durch das Einfügen des Beobachters in den geschlossenen Regelkreis die Lage der zuvor festgelegten Eigenwerte in unkontrollierbarer Weise verändert? Gleichungen der Regelung (mit w = 0, ohne y 0 ) ẋ = A + B u y = C ˆ = (A K C)ˆ + B u + K y u = R ˆ ẋ = A B R ˆ ˆ = (A K C)ˆ B R ˆ + K C Zustandsdifferentialgleichung des über den Beobachter geschlossenen Regelkreis. A B R = ˆ K C A K C B R ˆ Charakteristische Gleichung: si A B R det = 0 K C si A + K C + B R Addition der zweiten Spalte zur ersten: si A + B R B R det = 0 si A + B R si A + K C + B R Subtraktion der ersten Zeile von der zweiten: si A + B R B R det = 0 0 si A + K C det(si A + B R) det(si A + K C) = 0 char.polynom char.polynom des Regelkreises des Beobachters ohne Beobachter Resultat: Die Eigenwerte des ohne Beobachter geschlossenen Regelkreises werden durch den Beobachter nicht verändert. Zu ihnen treten lediglich die Eigenwerte des Beobachters hinzu Kalman-Filter Siehe Beiblatt Digitale Implementierung Siehe Beiblatt

27 4. Berücksichtigung von Störgrößen Bisher wurden nur Anfangsstörungen berücksichtigt. Nun sollen auch Dauerstörungen einbezogen werden: Störung z(t) messen oder schätzen und dann gegensteuern (siehe 4.1/4.2) Zustandsregler entwerfen, der alle Störungen z(t) von y fernhält. (siehe 4.3) Spezielle andere Strukturen (siehe 5.) 4.1. Störmodell und Störgrößenbeobachter Manchmal hat man eine Vorstellung von der Gestalt der Störgrößen C e t T Lastmoment an Motor verfahrenstechnischer Prozess Vibrationsstörung Abbildung 4.1.: Beispielverläufe für Störgrößen Solche Störungen können durch Differentialgleichungen erzeugt werden, die in zufälligen Zeitpunkten durch zufällige Anfangswerte angeregt werden. 1. ż = 0 (Sprünge entsprechen neuen Anfangswerten) 2. T ż + z = 0 3. T 2 z + z = 0 allg.: lineare homogene Differentialgleichungen beliebiger Ordnung Zustandsdarstellung: (ẋ = A ) ẇ = W w w(t 0 ) = w 0 (y = C ) z = Z w 22

28 W und Z sind im mathematischem Modell der Störung (=Störmodell) bekannte, konstante Matrizen. Hinzu kommt das Streckenmodell mit Störeingriff. ẋ = A + B u + E z (t 0 ) = 0 y = C Messgleichung w 0 (Anfangswertstörung) 0 ẇ = W w z = Z w z u ẋ = A + B u y = C y Abbildung 4.2.: Störmodell = w A E Z 0 W + w B u y = C 0 0 ( ) w Beobachter (reduziert) für das Gesamtmodell in gleicher Weise, wie bisher für das Streckenmodell Zustands- und Störgrößenbeobachter. T Er liefert den Näherungswert ˆ(t) ŵ(t) und damit eine Näherung- für die Störung ẑ = Z ŵ. Damit ist die Störung bekannt. Falls Komponenten von z messbar sind, braucht man hierfür keine Schätzung (und kein Störmodell). Entwurf eines Zustandsreglers unabhängig vom Beobachter möglich, da das Separationstheorem auch hier gilt. Ansatz einer Zustandsrückführung wie bisher: u = R gesamt w = R R w = R R w w w Einsetzen in ( ) = w A B R E Z B Rw 0 W w 23

29 Strecke, Störung und Zustandsrückführung enthalten. Charakteristisches Polynom si (A B R) E Z + B Rw det 0 si W = det(si (A B R)) det(si W ) Die erste Determinante entspricht der bisherigen Verschiebung der Eigenwerte von A durch R. Die Eigenwerte von W können jedoch von R oder R gesamt nicht verschoben werden. verbleibendes Problem: Wie kann die Einwirkung von z auf den Regelkreis in anderer Weise als durch Eigenwertvorgabe gemindert werden? 4.2. Störgrößenaufschaltung Konstante Rückführung von w w 0 (Anfangswertstörung) w ẇ = W w z = Z w N N u 0 z y soll M u u ẋ = A + B u y = C y R M Abbildung 4.3.: konstante Störgrößenaufstellung Ausgangspunkt: System mit gleich vielen Stell- wie Regelgrößen. W in Diagonalform (andernfalls BB.4.1) N zur Elimination des Einflusses von w auf R. R soll unabhängig von w entwerfbar 24

30 sein. Für y soll = 0: Rückführgesetz: u = N u w + R N w R R w w Zustandsgleichung = w A B R E Z + B(R N + N u ) 0 W w y = C 0 w e = I N w Idee: N und N u so wählen, dass die Eigenwerte des Störmodells W (s s) unbeobachtbar werden. Dazu Forderungen gemäß Gilbertkriterium: C 0 v i = 0 für i = 1... s I N v i = 0 für i = 1... s in y und e Eigenvektoren v i A B R λi I E Z + B(R N + N u ) vi = 0 ( ) 0 W λ i I e i v i Mit e i = Einheitsvektor mit 1 an i ter Stelle, da W diagonal. Aus Forderung 2: v i = N e i = n i ( ) wird zu: (A B R λ i I)n i + E z i + B R n i + B n ui = 0 (A λ i I)n i + E z i + B n ui = 0 Aus Forderung 1: C 0 v i = C v i = C n i = 0 A λi I B C 0 P (λ i ) ni n ui = E zi 0 ( ) Ergebnis: Die Spalten der gesuchten Matrizen N u, N sind ni n ui = P 1 E zi (λ i ) 0 i = 1... s 25

31 worin λ i die Eigenwerte von W sind. Die durch W, Z beschriebenen Störungen werden unbeobachtbar. Eingenwerte λ i werden dabei invariante Nullstellen vorausgesetzt Nur Dauereinflüsse werden ausgeblendet. Speziell für abschnittsweise konstante Dauerstörungen ist W = 0 und Z = I, folglich N = P 1 E A B E (0) = 0 C 0 0 N u Im Fall R = 0 wird nur N u implementiert. siehe Beiblatt Dynamische Störgrößenaufschaltung ẋ = A + B u + E z y = C z sei messbar. Kein Regelgesetz. Ziel: Vollständige Unstörbarkeit von y für beliebiges z(t). Übertragungsverhalten: sx(s) = A X(s) + B U(s) + E Z(s) X(s) = (si A) 1 B U(s) + (si A) 1 E Z(s) G (s) G (s) u z Y (s) = C X(s) Y (s) = C(sI A) 1 B U(s) + C(sI A) 1 E Z(s) G (s) G (s) uy zy Forderung: Y (s)! = 0. z G zy y? G uy Abbildung 4.4.: dynamische Störgrößenaufstellung G uy (s) U(s) = G zy (s)z(s) U(s) = G 1 uy (s) G zy (s)z(s) dynamische Störgrößenaufschaltung. Sie hält beliebige Verläufe z(t) von y für alle t fern. Erweiterungen und Probleme siehe Beiblatt 4.4. Auswege: Kapitel 5 26

32 4.3. Vollständige Unterdrückung von Störungen durch geeignete Zustandsrückführung (=Störentkoppelung) Vollständige Unterdrückung des Störeinflusses durch geeignete Zustandsrückführung. ẋ = A + B u + E z y = C Ziel: u = R derart wählen, das y = 0 für alle z(t). Störentkoppelung ist genau dann gegeben, wenn sich jede Spalte von E als Linearkombination derjenigen Regelungseigenvektoren bilden lässt, für die C v Ri = 0 gilt. Beweis siehe Beiblatt 4.2. Entwurf von R über die Roppeneckerformel mit R = (λ Ri und p i werden vorgegeben.) Forderung: C v Ri = 0 ( ). Kombination von ( ) und ( ): 1 p 1... p n v R1... v Rn (A λ Ri I)v Ri = B p i i = 1... n ( ) A λri I B C 0 P (λ Ri ) vri p i = 0 0 ( ) Diese Gleichung hat genau dann nichttrivale Lösungen v Ri, p i wenn man λ Ri gleich den invarianten Nullstellen wählt, da dort P (λ Ri ) singulär wird. Entwurfsschritte: 1. Man bestimmt die invarianten Nullstellen und die v Ri, p i aus ( ). 2. Prüfung der Störentkoppelbarkeitsbedingung: jede Spalte von E muss als Linearkombination der v Ri darstellbar sein. 3. Man gibt diejenigen invarianten Nullstellen, deren zugehörige v Ri zur Bildung von E benötigt werden, als Regelungseigenwerte vor und verwendet die v Ri, p i in der Roppeneckerformel. 4. Die restlichen Eigenwerte und p i werden frei vorgegeben Bewertung Beiblatt

33 5. Erweiterte Regelungsstrukturen 5.1. Zustandsregelung mit I-Anteil (p=q) z w M u Strecke y R I R e I M e Abbildung 5.1.: Zustandsregelung mit I-Anteil Herrscht Stabilität, so müssen im stationären Zustand die Eingänge der I-Glieder = 0 sein. e = 0 y stat. = w stat. d.h. z(t) = const. wird stationär genau ausgeregelt, ebenso Abweichungen durch Modellierungsfehler. Gleichungen des erweiterten System: ẋ = A + B u + E z ė I = w y y = C u = R (M w ) + M u w + R I e I Für die Eigenwertvorgabe darf z = 0 und w = 0 gesetzt werden. ẋ = A + B u ė I = w y u = R + R I e I 28

34 oder A 0 B = + u e I C 0 e I 0 Ã B y = C 0 e I C R R I u = } {{ } R e I Berechnung des Reglers R für die erweiterte Strecke in bekannter Weise. Da die I-Glieder statische Genauigkeit sichern ist die Wahl von M, M u frei. Vorschläge für M, M u : 1. M = 0, M u = 0 Vorteil: einfach Nachteil: langsames Führungsverhalten (Tracking) 2. Wie bisher M M u Vorteil: stat = soll.stat, e Istat = 0 (Beiblatt 5.1) = 1 A B 0 C 0 I 29

35 5.2. Modellgestützte dynamische Führungsgrößenaufschaltung Bisher : Statische Führungsgrößenaufschaltung M u, M w M u u Strecke y R M statische Vorsteuerung Abbildung 5.2.: statische Führungsgrößenaufschaltung Fall 1: Dynamische Steuerung ohne Regelung (R = 0, M = 0) (Beiblatt 5.2-1) Modell u reale Strecke w M u ũ = A + B ũ ỹ = C ỹ ẋ = A + B u y = C y R M Vorsteuerung Abbildung 5.3.: Dynamische Steuerung ohne Regelung 30

36 Fall 2: Dynamische Steuerung mit Zustandsregelung (Beiblatt 5.2-2) w dynamische ũ u Vorsteuerung Strecke y aus Fall 1 R = soll - Abbildung 5.4.: Dynamische Steuerung mit Zustandsregelung Fall 3: Dynamische Steuerung mit Zustandsregelung, Beobachter und I-Anteil (Beiblatt 5.2-3) 31

37 z w dynamische Vorsteuerung ũ u Strecke y R I R Beobachter e I ˆ ỹ e Abbildung 5.5.: Dynamische Steuerung mit Zustandsregelung, Beobachter und I- Anteil getrennte Auslegung: Beobachter und R, R I auf Störverhalten Vorsteuerung auf Führungsverhalten 32

38 Diese Struktur kann auch als Zwei-Freiheitsgrade-Regelung dargestellt werden. z w V (s) u Strecke y R(s) - Abbildung 5.6.: Darstellung als Zwei-Freiheitsgrade-Regelung 5.3. Modellgestützte dynamische Störgrößenaufschaltung z Modell N u = A + B ũ ỹ = C Strecke N R Vorsteuerung R Abbildung 5.7.: dynamische Störgrößenaufschaltung siehe Beiblatt 5.2 Fall IV 5.4. Trajektoriengenerierung siehe Beiblatt

39 6. Ein-Ausgangslinearisierung nichtlinearer Systeme 6.1. Einleitung Ausgangspunkt: Eingangslineares Eingrößensystem: Beispiel 4 (Inverses Pendel). ẋ = a() + b() u (1) y = c() (2) m ϕ l M Abbildung 6.1.: inverses Pendel J ϕ mgl sin(ϕ) = M (3) oder mit 1 = ϕ, 2 = ϕ, u = M, y = ϕ in Regelungsnormalform: = mgl 2 J sin( + 1 u (4) 1) J y = 1 Intuitive Regelung: M so wählen, dass (3) eine lineare Differentialgleichung wird: J ϕ + k d ϕ + k p ϕ = k p ϕ soll (5) Durch Vergleich von (3) und (5) findet man das Regelgesetz: M = k d ϕ k p ϕ mgl sin(ϕ) + k p ϕ soll w 34

40 u = k d 2 k p 1 mgl sin( 1 ) + k p w in (4): = 2 kp J k + d k J p ϕ soll, 2 J y = 1 Das ist die lineare Regelungsnormalform von Y (s) = k p J s 2 + k d J s + k d J ϕ soll (s) Ergebnis: Liegt die Strecke in nichtlinearer Regelungsnormalform vor, so kann ein Regelgesetz sofort angegeben werden. Frage: Wie lässt sich der ein-ausgangslinearisierende Entwurf allgemein durchführen 6.2. Differenzordnung und Lie-Ableitung Bildung der Ableitung von y: y = c() ẋ = a() + b() u (1) y = c() (2) ẏ = c ẋ c ẋ n = c c n ẋ 1 n. ẋ n = c T ẋ Einsetzen in (1): ẏ = c T a() + c T b()u (3) Definition 2 (Lie-Ableitung von c() bzgl. a). L a c() = c T a() (4) Dann c T ẏ = L a c() + b() u häufig =0 ẏ = L a c() (5) La c() T La c() T La c() T ÿ = ẋ = a() + b() u L a(l ac()):=l 2 ac() häufig =0 ÿ = L 2 ac() (6) (δ 1) y = L (δ 1) (δ) y = L (δ) a c() + a c() (7) (δ 1) T L a c() b() u (8) } {{ } 0 35

41 δ ist die Differenzordnung des Systems. c T b = 0 L b c() = 0 La c() T b = 0 L b L a c() = 0 L (δ 2) a L (δ 1) a c() c(). T b = 0 L b L (δ 2) a c()= 0 T b 0 L b L (δ 1) a c() Reglerentwurf (δ) y = L (δ) a c() + Daraus folgt: L (δ 1) a c() T b()u =! (δ 1) α δ 1 y α 1 ẏ α 0 y + α 0 w (1) (δ) y + α δ 1 (δ 1) y + + α 0 y = α 0 w (2) Aus (1): Regelgesetz u = 1 (δ 1) L a c() Y (s) = T b() α 0 s δ + α δ 1 s δ α 0 W (s) L δ (δ 1) ac() α δ 1 y α 1 ẏ α 0 y + α 0 w Die α ν werden so gewählt, dass das System vorgegebene Pole hat. Ersetzung der y-ableitungen führt zum Regelgesetz: 1 u = (δ 1) T Lδ ac() α δ 1 L δ 1 a c() α 1 L a c() α 0 c() L a c() b() Einführung einer gewünschten linearen Dynamik Kompensation der Nichtlinearitäten vor u + α 0 w Führungsverhalten (3) 36

42 Beispiel 5 (inverses Pendel). ẏ = } {{ } L ac()= } {{ } L b c()=0 u = 2 ÿ = 0 1 a() b()u = mgl J sin J u δ = 2 L 2 a c() ÿ = mgl J sin( 1) + 1 J u =! α 1 ẏ α 0 y + α 0 w ( u = J mgl ) J sin( 1) α 1 2 α α 0 w Resultat: Das nichtlineare Regelgesetz bewirkt lineares Ein-/Ausgangsverhalten, nämlich α 0 Y (s) = s δ + α δ 1 s δ 1 W (s) + + α 1 s + α 0 Hinweise: Nur praktikabel, wenn keine Singularitäten zum Tragen kommen Bei δ < n kann interne Instabilität auftreten (vlg. linearer Entkoppelungsentwurf mit inv. Nullstelle in rechter Halbebene) Siehe Beiblatt

43 7. Künstliche neuronale Netze 1 f1 f3 y1 2 f2 f4 also y=f() statische zeitinvariante Abbildung von auf y 7.1. Multi-Layer-Perception (MLP) b21 1 w b f (.) b31 2 f (.) 2 3 f (.) 1 y 2 b23 w f (.) 3 Schicht 1: Eingabeschicht Schicht 2...n: Versteckte Schichten Ausgabeschicht: (häufig f()=) oder 3 2 y = wi1 23 fi 2 ( wji 12 j + b 2i ) + b 31 mit f1 3 () = i=1 j=1 Eine häufig verwendete Aktivierungsfunktion f() ist: f() = e β ; β > 0 38

44 1 0.5 Signoidf unktion Die Parameter des MLP sind dann: Die Gewichte w Die Schwellwerte (Bias Werte) b 21,... Parameter β i Die Zahl der Schichten und Neuronen "Training"des MLP=Optimierung der Parameter derart, dass y möglichst eine gewünschte, durch gegebene Trainingsdaten,,... beschriebene Abhän- (t1 ) (t2 ) y(t 1 ) y(t 2 ) gigkeit von aufweist Radial-Basis-Funktionsnetze (RBFN) Ähnlich wie MLP, aber mit Gaussglockenfunktion, z.b.: mit 3 y = w i ϕ i (, c i, V i ) i=1 ϕ i = e ( c i ) V T i V i ( c i ) (Gaußsche Radialbasisfunktion) Parameter: Gewichte w i,... Zentrenlagen c i Matrizen V i Zahl der Neuronen 39

45 7.3. Nachbildung dynamischer Systeme durch KNN y k 1 y k 1 Speist man ein KNN, y k = f( k ), mit k =. u so resultiert: k. u k m y k = f(y k 1,..., y k n, u k,..., u k m ) nichtlineares, zeitdiskretes dynamisches System als Differenzengleichung z -1 y K-1 z -1 y K-2 KNN (u K ) Time delay neural (y K) network z -1 u K-1 z -1 u K-2 40

46 A. Notation Bezeichnung Symbol Beispiel Skalar a a = 1 Spalten-Vektor im Zeitbereich b b = Zeilen-Vektor im Zeitbereich c T c T = Spalten-Vektor im Frequenzbereich D D = Matri E E =