Kurze Herleitung der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel

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1 Kurze Herletung der sopermetrschen Egenschaft der Kugel Autor(en): Hadwger, H. Objekttyp: Artcle Zetschrft: Elemente der Mathematk Band (Jahr): 9 (1954) Heft 5 PDF erstellt am: Persstenter Lnk: Nutzungsbedngungen De ETH-Bblothek st Anbetern der dgtalserten Zetschrften. Se bestzt kene Urheberrechte an den Inhalten der Zetschrften. De Rechte legen n der Regel be den Herausgebern. De auf der Plattform e-perodca veröffentlchten Dokumente stehen für ncht-kommerzelle Zwecke n Lehre und Forschung sowe für de prvate Nutzung fre zur Verfügung. Enzelne Dateen oder Ausdrucke aus desem Angebot können zusammen mt desen Nutzungsbedngungen und den korrekten Herkunftsbezechnungen wetergegeben werden. Das Veröffentlchen von Bldern n Prnt- und Onlne-Publkatonen st nur mt vorherger Genehmgung der Rechtenhaber erlaubt. De systematsche Specherung von Telen des elektronschen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schrftlchen Enverständnsses der Rechtenhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständgket oder Rchtgket. Es wrd kene Haftung übernommen für Schäden durch de Verwendung von Informatonen aus desem Onlne-Angebot oder durch das Fehlen von Informatonen. Des glt auch für Inhalte Drtter, de über deses Angebot zugänglch snd. En Denst der ETH-Bblothek ETH Zürch, Rämstrasse 101, 8092 Zürch, Schwez,

2 ELEMENTE DER MATHEMATIK Revue de mathematques elementares Rvsta d matematca elementare Zetschrft zur Pflege der Mathematk und zur Forderung des mathematsch-physkalschen Unterrchts Organ fur den Veren Schwezerscher Mathematk- und Physklehrer El Math Band IX Nr Seten Basel, 15 September 1954 Kurze Herletung der sopermetrschen Egenschaft der Kugel Henz Hopf zum 60 Geburtstag gewdmet We W Blaschke, em Altmester der Theore der konvexen Korper, noch kürzlch1) feststellte «steht em wrklch enfacher Bewes fur de sopermetrsche Hauptegen schaft der Kugel mmer noch aus» Immerhn darf gesagt werden, dass nsbesondere durch de neueren Methoden der drekten Mengengeometre gegenüber den klassschen, mehr analytschen Verfahren, we se noch H A Schwarz n senem berühmten Bewes verwendet hat, erheblche Fortschrtte erzelt worden smd Genannt seen he neuere Bewese von G Bol, A Dnghas, E Schmdt und andern De her gegebene Herletung stutzt sch ledglch auf enfache Tatsachen der Theore der konvexen Korper, verwendet de Mmkowsksche Lnearkombnaton, de Parallelkorperbldung sowe de Stenerschen Formeln und setzt noch den Auswahlsatz Blaschkes voraus Im übrgen bleben de Rechnungen m Rahmen der elementaren Analyss Da sch m Zuge der Beweskonstrukton auch glechzetg zwe Unglechungen Mnkowsks ergeben, entschloss sch der Verfasser dese Losung des Problems, welche dem erstrebten Zel der Enfachhet und Kurze schon recht nahe zu kommen schent, Herrn H Hopf zuzuegnen der den neu erzelten Fortschrtten be den Isopermetne bewesen stets Interesse entgegenbrachte I Es wrd ene Begründung der sopermetrschen Unglechung F3-36 n F2 ^ 0 (1) fur egentlche konvexe Korper des gewöhnlchen Raumes vorgetragen und gezegt, dass Glechhet nur fur de Kugel besteht. Glechzetg wrd de Gültgket der beden Mmkowskschen Unglechungen M2-4ttF^0, M*-48j2V^0 W Blaschke, Grechsche und anschaulche Geometre, Mathematsche Enzelschrften, Bd bourg, München 1953), S 44 x) (2a) (2b) 1 (R Olden

3 H.Hadwger: Kurze Herletung der sopermetrschen Egenschaft der Kugel 98 nachgewesen. In (1) und (2) bedeuten V, F, M Volumen, Oberfläche und Integral der mttleren Krümmung. Wr gehen von ener Parameterdarstellung der Gesamthet der nneren Punkte P enes egentlchen Ekörpers A aus. Indem wr uns auf en rechtwnklges Koordnatensystem bezehen, beschreben wr zunächst A we folgt: Bezechnet A" de orthogonale Projekton von A auf de #-Achse, A' dejenge auf de (x, y)-ebene, so gelte A" u < x < u + a; A' v(x) <y< v(x) + b(x) [(x) A w(x, y) <z< + [(x, y) (3 a) w(x, y) c(x, y) A"}', (3 b) A']. (3c) Bedeutet T(X, v, ju) enen Punkt des offenen Enhetswürfels E: 0 < X < 1; 0 < v < 1; 0 < // < 1, so ordnen wr hm enen nnern Punkt P(x, y, z) des Körpers A we folgt zu: (4 a) x(x) x =-u + Xa; y == z y(x, v) v(x) + v b(x); z(x, v,/u) = w(x, y) + ja c(x, (4b) y). (4c) We man sch lecht überlegt, st durch de Zuordnung von T zu P ene enendeutge und stetge Abbldung des offenen Enhetswürfels E auf den offenen Kern von A erklärt. Im weteren setzen wr noch a - oc, b(x) - b[x(x)} ß(X) und c(*, y) - c[3c(a), y(a, v)] - y{x, v). II. en extremaler Ekörper, der be vorgegebenem M0 (>0) das grosste F0 (>0) aufwest. De Exstenz von_40 ergbt sch nach dem Auswahlsatz auf Grund der Bemerkung, dass alle zulässgen Ekörper n ene Kugel engelagert werden können, deren Grösse nur von M0 abhängt. Weter se A^ en Ekörper, der aus _40 durch ene Drehung um de x-achse hervor geht. Nun blden wr den Ekörper Es se _40 a0x ~2 Alt der aus _40 und Ax durch de angedeutete Mnkowsksche Lnearkombnaton gewon nen wrd. De Punkte P(x, y, z) von A ergeben sch nach dem Ansatz (w) (_!_+ _, +. + _), wobe de Punkte Pt(x%, yt, zt) unabhängg vonenander n At( 0, 1) vareren.

4 H. Hadwger Kurze Herletung der sopermetrschen Egenschaft der Kugel 99 Der Körper Ä, dessen Punkte P(x, y, z) sch dagegen nach dem Ansatz " [x, y z) v > =- -*0 + Xl * 2 ' y +2L 2 Ä+*:'-) gewnnen lassen, wobe de Punkte Pt(xt, yt,zt) n abhängger Wese n At( 0, 1) so vareren, dass se demselben Punkt T des Enhetswürfels E entsprechen, wrd offenbar n A enthalten sen, so dass ÄCA glt. Demnach wrd auch (a) V _g V sen. Nach (4) ergbt sch mt Rückscht auf a0 ax - dx dy dz -= ^ [ß0(X) + ß,(X)] [y0(x, v) + 7l(X, v)] dx dv dp, (5) und demnach V=C4 ff[ß,w + ßW] l7o(l ö v) + Yl{l, r)] dl dv. (6) 6 Berückschtgen wr weter, dass I y,(a, v) dv ß,W /,(A) (t 0, 1) (7) Ö glt, wo f,(x) den Flächennhalt des Eberechs At(X) darstellt, der durch de Ebene x u + Xa aus At ausgeschntten wrd, und bedenken wr noch, dass f0(x) fx(x) st, so resultert aus (6) 0 und da der Wert n der eckgen Klammer ncht klener als 4 st, F^o./"/,( ) rfa-k0. (9) 0 Zusammen mt (a) resultert (b) V ^> V0. Da sch be der Mnkowskschen Lnearkombnaton von Ekörpern de Breten n fester Rchtung n glecher Wese lnear kombneren und da weter das Integral der mttleren Krümmung proportonal zur mttleren Brete st, folgt n unserem Falle (c) M M0. Wegen der Extremalegenschaft von A0 muss n (b) Glechhet bestehen, so dass (d) V V0 glt. Notwendgerwese muss auch n der Abschätzung (9) das Glechhetszechen gelten; des kann m Hnblck auf de Stetgket des Ausdrucks n der eckgen Klammer von (8) nur dann sen, wenn ß0(X) = ßx(X) ausfällt. Beachten wr, dass de Schnttbereche A0(X) und AX(X) kongruent und um enen belebgen Wnkel gegenenander gedreht snd, so hat de obge Feststellung de Konsequenz, dass^40(a) en Eberech konstanter Brete sen muss. Da de Lage des Koordnaten systems relatv zu A0 fre wählbar war, zehen wr de wetergehende Folgerung, dass A0 durch jede Ebene n enem Berech konstanter Brete (Orbforme) geschntten wrd.

5 100 H Hadwger Kurze Herletung der sopermetrschen Egenschaft der Kugel Jetzt ergbt sch lecht, dass A0 ene Kugel sen muss In der Tat1) Es bezechne K0 de Umkugel des (abgeschlossenen) Korpers _40 und S deren Oberflache. Der Durchschntt M A0S enthalt wengstens zwe Punkte. Ist M S, so st A0 K0, und de Behauptung st bewesen. Treffen wr de Gegenannahme, dass 5 M ene (n S offene) nchtleere Menge se, so gbt es ene (n S offene) sphärsche Kalotte N vom postven Radus, welche ganz zu S M gehört und deren Randkres C weng stens zwe Punkte P und Q enthalt, de zu M gehören Nun legen wr durch P und Q ene Ebene E, welche aus K0 enen Kresberech EK0 vom Durchmesser PQ aus schnedet. Auch de offenschtlch ganz m Kres EK0 legende Orbforme (Voraus setzung1) EA0 bestzt dann de (konstante) Brete PQ, und demzufolge muss EA0 mt EK0 zusammenfallen. Insbesondere folgt, dass der Kresrand C0 von EK0 ganz zu M gehört. C und C0 laufen durch P und Q, wobe aber C0 ncht n das Innere der von C begrenzten Kalotte N endrngen darf. So folgt, dass C mt C0 zusammenfallt und dass P und Q Gegenpunkte auf C sen müssen Da nun aber, we oben festgestellt, C0 zu M gehört, lassen sch an Stelle von P und Q zwe andere Punkte P' und Q' auf C wählen, de scher ncht Gegenpunkte snd De gleche Konstrukton fuhrt jetzt auf enen Wderspruch. Da also A0 ene Kugel st, glt Ml 48 n2 V0 0, und so ergbt sch m Hnblck auf de Extremalegenschaft von A0 fur enen belebgen Ekörper A das Bestehen der Unglechung (2 b). III. Es bezechne A(q) den äusseren Parallelkorper von A m Abstand g (^ 0), das hesst de Mttelpunktsmenge aller Kugeln vom Radus q, welche A treffen. Nach Stener gelten fur de Masszahlen M(q), F(q) und V(q) des Parallelkorpers de Formeln M-\ 4tzq, M(q) F(o) V(q) (10a) F+2Mq + 4jzq2, 4n o -V +Fq +Mq2+*^o*. 3 - (10b) (10c) We man ausrechnet, glt M*(q) - 48 tz2 V(q) - M3-48 n2 V + 12 n (M2-4 n F) Q, ^ und da deser Ausdruck nach (2 b) fur alle 0 q < oo nchtnegatv bleben muss, schhesst man auf das Bestehen der Unglechung (2 a). IV. Her bezechne A( q) den nneren Parallelkorper von A m Abstand q (^0), das hesst de Mttelpunktsmenge aller Kugeln vom Radus g, welche ganz n A enthalten snd. Offenbar unterlegt q der Enschränkung Inkugelradus). Werden 0^^r(f= x) De damt zum Ausdruck gebrachte Charakterserung der Kugel lasst sch auf verschedene Art nachbewesen Den her vorgetragenen kurzen und hübschen Bewes hat Herr H Debrunner (Bern) gefunden

6 M Jeger Zur Erzeugung ebener Fguren durch Projekton 101 de Masszahlen deses Parellelkorpers mt M(-q), F(-~q) und V(-q) bezechnet, so hat man wegen der unmttelbar aus den Defntonen folgenden Relaton nach (10 b) [A(-Q)] {Q) ^ä F(-q) + 2M(~q) q + 4jzq2^F. Wendet man auf das her auftretende mt enfacher Umrechnung M(- q) de Unglechung (2 a) an, so resultert F(-Q) ^()ff-)/4~7q)\ Da nnerhalb der Parallelschar stets F( q) Integraton m (b) von 0 bs r V^Fr- (a) (b) V'( q) glt, so gewnnt man durch )/4~7Fr2 + 4f r\ (c) oder be passender Umformung schlesslch V;F3 - ^36 n V ^ ^F - ]/4 n r)\ (d) Des st ene Verschärfung der sopermetrschen Unglechung (1), welche es abzu lesen gestattet, dass Glechhet fur egentlche Ekörper (r > 0) nur fur de Kugel bestehen kann, da de rechte Sete n (d) nur verschwndet, wenn_4 mt sener Inkugel zusammenfallt. Fur unegenthche Ekörper wrd de sopermetrsche Unglechung auch durch ene Strecke (F V 0) befredgt. H. Hadwger, Bern. Zur Erzeugung ebener Fguren durch Projekton Zahlreche Inzdenzsatze der ebenen Geometre lassen sch auf sehr überschtlche Wese oft dadurch bewesen, dass de auftretenden ebenen Fguren als Projektonen von räumlchen Fguren nterpretert werden, wobe gee gnete Rotatonsflächen zweter Ordnung m Mttelpunkt der Betrachtungen stehen. Em auf deser Idee auf gebauter Bewes der Kegelschnttsatze von Pascal und Branchon durfte bekannt sen1). Im wetern lassen sch durch de räumlche Interpretaton ebener Fguren n velen Fallen fur planmetnsche Konstruktonsaufgaben recht enfache Losungen gewnnen, de nur Hlfsmttel aus der darstellenden Geometre benotgen2). Be der Beschäftgung mt dem genannten Problemkres st der Verfasser deser Zelen auf de nachfolgenden Zusammenhange gestossen, de nfolge hrer Verknüpfung mt der darstellenden Geometre der Rotatonsflächen zweter Ordnung von engem Interesse sen durften. Sollten von desen Ausfuhrungen enge Anregungen fur den Geometre unterrcht ausgehen, so st ene Abscht des Verfassers n Erfüllung gegangen. *) Ene ausfuhrlche Darstellung fndet sch etwa n W Blaschkl, Projektve Geometre (Brkhauser, Basel 1954), Sete 70, sowe n E Stefel, Lehrbuch der darstellenden Geometre (Brkhauser, Basel 1947), Sete 89 2) Sehe etwa m vorgenannten Lehrbuch der darstellenden Geometre von E Stefel, Sete 102