Übung 8: Transformationen

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1 ZHAW, DSV, 008, Rumc, 1/7 Übug 8: Trasformatioe Aufgabe 1: (Wavelet) Basisfuktioe. Betrachte Sie die folgede 4 Basisfuktioe f m [], m = 1,...,4, sowie das Zeitsigal x[] = [ ]. f 0 [] f 1 [] f [] 0.5 f 3 [] a) Vergewisser Sie sich, dass die 4 Basisfuktioe f m [], m = 0,...,3, orthoormal sid. b) Trasformiere Sie das Sigal x[] durch Projektio auf die 4 orthoormale Basisfuktioe f m [] i de Bildbereich ( Spektralbereich ). Wie laute die (Spektral-) Werte X[m]? c) Stelle Sie x[] als Liearkombiatio der 4 Basisfuktioe f m [] dar. d) Überprüfe Sie die Parseval-Relatio. e) Was köe Sie über das Zeitsigal x[] aussage, we Sie die Koeffiziete bzw. die (Spektral-) Werte X[1], X[] ud X[3] verliere (z.b. beim Komprimiere oder i eier icht-fehlerfreie Übertragug)? f) Iterpretiere Sie die i b) gefudee (Spektral-) Werte X[m] des Sigals x[]. Vergleiche Sie die vorliegede Orthoormal-Trasformatio qualitativ mit der Fouriertrasformatio. Wozu eiget sich die vorliegede Sigalrepräsetatio im Bildbereich besser als das Fourierspektrum?

2 ZHAW, DSV, 008, Rumc, /7 g) Bei de vorliegede Basisfuktioe hadelt es sich um Haar-Wavelets, siehe Vergewisser Sie sich, dass die Trasformatios-Koeffiziete bzw. Spektralwerte X[m] effiziet mit der folgede Oktav-Aalysefilterbak bestimmt werde köe. X[3], X[] x[] = = [1-1]/ = [1 1]/ X[1] X[0] Vergleiche Sie ochmals die Frequez- ud Zeitauflösug der vorliegede (Wavelet-) Trasformatio mit die Frequez- ud Zeitauflösug der Fouriertrasformatio. Aufgabe : JPEG-Basisfuktioe Betrachte Sie die folgede lieare (orthoormale) Trasformatio ud ihre Iverse: 1 = 0 * X[m] = x[] f m [], 0 m -1 1 m= 0 x[] = X[m] f m [], 0-1 We Sie bei der iverse Trasformatio alle Koeffiziete ( Spektralwerte ) X[m] ull setze ausser dem k-te Koeffiziete X[k] = 1, da stimmt das Zeitsigal x[] mit der k-te Basisfuktio f k [] überei, d.h. x[] = f k []. Fide Sie so die D-DCT-Basisfuktioe, die bei der JPEG-Bilddate-Kompressio verwedet werde. Sie köe dazu die Matlab-Vorlage DCTbasisJPEG.m verwede. Reche Sie bitte die zum Spektralwert P(0,0)=1 gehörede Basisfuktio p(m,) vo Had aus. Mache Sie sich mit Hilfe der Matlab-Demo JPEG-Demo vo Prof. Dr. Steffe mit der JPEG-Datekompressio vertraut.

3 ZHAW, DSV, 008, Rumc, 3/7 Aufgabe 3: DFT i Matrizeform (Quelle: M. H. Hayes) a) Schreibe die DFT i der Form X = W x, wobei x = [x[0],, x[-1]] T de Zeitvektor mit s ud X = [X[0],, X[-1]] T das zugehörige komplexwertige DFT-Spektrum darstelle. Bestimme die DFT-Matrix W. Hiweis: Die DFT ist wie folgt defiiert: -1 =0 π j m X[m] = x[] e m = 0, 1,..., 1 b) Schreibe X[m] als Skalarprodukt des m-te Zeilevektors (r m ) H der DFT-Matrix W mit dem Zeitvektor x ud iterpretiere das Resultat. c) Welche Eigeschafte besitzt die DFT-Matrix W bzw. dere Zeile?

4 ZHAW, DSV, 008, Rumc, 4/7 Musterlösug Aufgabe 1 a) Die Basisfuktioe f 0 [] = 0.5 [ ] f 1 [] = 0.5 [ ] f [] = 0.71 [ ] f 3 [] = 0.71 [ ] habe alle Eergie 1 (z.b. sum(f0.^)=1) ud stehe sekrecht zueiader (z.b. f0*f1 =0), d.h. sie sid orthoormal. b) Projektio heisst Skalarprodukt: X[0] = <x[],f 0 []> = 1 X[1] = <x[],f 1 []> = 4 X[] = <x[],f []> = X[3] = <x[],f 3 []> = c) x[] = 1 f 0 [] + 4 f 1 [] + f [] - f 3 [] = [ ] d) Parseval-Relatio: Eergieberechug im Zeitbereich: sum(x.^) = 164 Eergieberechug im Bildbereich (Frequezbereich): sum(x.^) = 164 e) Aus dem Koeffiziete X[0] ka ma weigstes de globale Sigalpegel bzw. de Mittelwert (DC-Wert) vo x[] rekostruiere bzw. sythetisiere, der hier X[0]/ = 6 ist. f) Das Sigal ethält eie hohe Gleichateil, eie weiger grosse tieffrequete Ateil ud eie kleie hochfrequete Ateil, ud zwar gleich stark am Afag ud am Ede des Zeitsigals x[]. g) Mit der Fouriertrasformatio ist es icht möglich, die Zeitperiode mit schelle Äderuge im Sigal zu lokalisiere. = [1-1]/ X[3] = -, X[]= = [1 1]/ X[1] = 4 X[0] =

5 ZHAW, DSV, 008, Rumc, 5/7 h) Zeit-Frequez-Diagramm für gefesterte Fouriertrasformatio (liks) ud Wavelet- Trasformatio (rechts), Quelle: Bei der Fouriertrasformatio sid die Basisfuktioe im Frequezbereich perfekt lokalisiert (stelle Frequezliie dar), im Zeitbereich aber icht gut lokalisiert (sid über das gaze Zeitfester im Wesetliche vo ull verschiede). Eie starre Grösse der Zeit-Frequez-Auflösug ist für eie Aalyse der Date machmal hiderlich ud etspricht eigetlich icht der meschliche Wahrehmug. Bei der Wavelet-Trasformatio sid die Basisfuktioe im Frequez- ud im Zeitbereich gut lokalisiert. Die schelle Sigaläderuge werde im Frequezbereich ur grob, im Zeitbereich dafür aber fei aufgelöst. Die lagsame Sigaläderuge werde im Frequezbereich fei, im Zeitbereich dafür aber ur grob aufgelöst. Dieses Verhalte etspricht dem Zeit-Badbreite-Produkt: Die Basisfuktioe f [] ud f 3 [] dauer ur halb so lag wie die Basisfuktio f 1 [], belege aber ei doppelt so breites Spektrum.

6 ZHAW, DSV, 008, Rumc, 6/7 Aufgabe Matlab-Programm: % JPEG Basisbilder clear; close all; for m=1:8, for =1:8, P=zeros(8); P(m,)=1; p=idct(p); subplot(8,8,(m-1)*8+); imshow(p,[]); ed ed %prit -dpg JPEGBilder Zum Spektralwert P(0,0)=1 gehörede Basisfuktio p(m,) bzw. 8x8-Bild:

7 ZHAW, DSV, 008, Rumc, 7/7 Aufgabe 3 a) I Matrizeschreibweise: π π x[0] 1 exp(-j 1)... exp(-j ( -1)) x[1] X = : : : : π π 1 exp(-j ( -1))... exp(-j ( -1) ) x[ 1] x W Die DFT-Matrix W besteht aus de Twiddle-Faktore exp(j (π/) m). b) Der komplexwertige DFT-Spektralwert X[m] ka wie folgt geschriebe werde: X[m] = < r m,x > wobei (r m ) H = [ 1 exp(-j (π/) m) exp(-j (π/) m) exp(-j (π/) (-1) m) ]. X[m] etspricht also dem Skalarprodukt bzw. der Projektio des Zeitvektors x auf de Zeilevektor r m mit der Frequez m f s /. c) Die Zeile- bzw. die Koloevektore vo W sid orthogoal (bilde eie Basis für de -dimesioale Vektorraum C ). Das Skalarprodukt zwische dem i-te-zeilevektor ud dem k-te Zeilevektor gibt: = < > = 1 π i k r i, r k exp( j ( i k) ) = = 0 0 i k