1.13 Reibung Haftreibung und Gleitreibung

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1 1.13 eibung Haftreibung und leitreibung Wir betrachten einen Quader mit ewicht auf einer rauhen Unterlage, an dem eine waagerechte Kraft angreift. us dem Freischnitt wird klar, dass die Unterlage eine ormalkraft und eine Tangentialkraft aufbringen muss, damit der Körper im eichgewicht bleiben kann. F g Lageplan mit Freischnittkontur Freischnitt Kraftplan F F ϕ ϕ F Die ormalkraft hält dem ewicht das leichgewicht (esultierende einer Druckverteilung auf die rundfläche des Körpers). Kein utschen des Körpers: Tangentialkraft von der röße der Kraft F in entgegengesetzter ichtung notwendig. Die Tangentialkraft wird durch eibung zwischen Körper und Unterlage möglich. esultierende Kraft. Winkel φ zur enkrechten wächst mit höherer Belastung F. Bei gegebenem F liegt φ fest. Es gilt: Der Winkel hängt nicht davon ab, aus welcher ichtung die Kraft F gegen den Körper drückt. Die tellung von passt sich jeweils an. Deshalb lässt sich der Winkel auch als Öffnungswinkel eines eibkegels ansehen. Die resultierende uflagerkraft muss für leichgewicht mit ewichtskraft und belastender Kraft ein zentrales Kraftsystem bilden (Drei-Kräfte-atz). Damit liegt auch der ngriffspunkt der uflagerkraft fest (omentengleichgewicht am Quader!). 53

2 Erfahrung: Für leichgewicht kann die Kraft F und damit der Winkel φ nicht beliebig anwachsen renzwinkel φ max Diese renze hängt von den dhäsions- und Kohäsionskräfte zwischen den aterialien, der Oberflächenbeschaffenheit des Quader und der Unterlage und anderen Faktoren ab. Die theoretischen Zusammenhänge zur Bestimmung von φ max sind äußerst kompliziert, und auch die essung im Experiment ist hinreichend komplex; Fachgebiet Tribologie. Für eine erste Betrachtung kann jedoch der nsatz von Coulomb hereangezogen werden, nachdem bei trockenen Oberflächen mit wachsender ormalkraft auch die übertragbare eibkraft proportional wächst: Coulombsches eibungsgesetz für Haftreibung: Der Proportionalitätsfaktor µ H wird Haftreibungskoeffizient genannt. Bestehen die Kontaktflächen aus tahl mit üblicher Oberflächenbeschaffenheit so variiert µ H in den renzen 0, 1 bis 0, 2. Der Winkel des eibkegels φ ist für leichgewicht stets kleiner oder gleich dem maximalen eibwinkel: Coulomb hat auch für gleitende Bewegung trockener Oberflächen ein eibgesetz formuliert. Demnach ist die eibkraft bei gleitender Bewegung trockener Oberflächen unabhängig von der leitgeschwindigkeit und unabhängig von der Kraft F immer proportional zum Betrag der ormalkraft und vom ichtungssinn her entgegengesetzt zum ichtungssinn der Kraft F. Im llgemeinen ändert der Körper beim leiten seinen Bewegungszustand (kein leichgewicht(, so dass uns leitreibung neben Haftreibung erst wieder bei dynamischen Problemen begegnet. Coulombsches eibunggesetz für leitreibung: Der Parameter µ wird leitreibungskoeffizient genannt. Es zeigt sich in Experimenten, dass µ < µ H ist. 54

3 Übung - Berechnen ie den Kraftangriffspunkt der uflagerkraft als Funktion der Höhe des Kraftangriffspunktes der Kraft F über der uflagefläche! Erstes Beispiel zur eibung g Körper auf einer rauhen schiefen Ebene mit Haftreibungskoeffizient µ H, belastet durch sein Eigengewicht. Wie gross ist der maximale Winkel, so dass gerade noch kein utschen eintritt? α Lösung Lageplan mit Freischnittkontur Freischnitt Kraftplan α us der grafischen Lösung sieht man sofort, dass wegen + = 0 und = + Folgendes gilt: Da max = µ H folgt unmittelbar: Experimente an schiefen Ebenen können demnach zur essung des Haftreibungskoeffizienten herangezogen werden, indem der eigungswinkel α der Ebene so lange erhöht wird, bis utschen eintritt. 55

4 Zweites Beispiel zur eibung Eine Leiter lehnt an einer senkrechten Wand. Die Heiftreibkoeffizienten µ und µ B an den uflagepunkten sind bekannt. α Bis zu welcher Höhe h max darf die Leiter bestiegen werden bevor utschen eintritt? Lösung Da bei und B je zwei unbekannte Kraftkomponenten auftreten (zweiwertige Lager) ist das vorliegende ebene Problem einfach statisch unbestimmt. Trotzdem können interessante ussagen getroffen werden, ohne die Lagerkräfte im Detail zu bestimmen. B Wir wissen einerseits, dass die beiden uflagerkräfte, B und die ewichtskraft nur dann leichgewicht herstellen können, falls sich ihre Wirkungslinien in einem Punkt schneiden (Drei-Kräfte-atz). Wir wissen ferner, welchen pielraum die Wirkungslinien der Kräfte und B haben (eibkegel). α ϕ max, K Tragen wir die eibkegel an den Lagerstellen bei und B ein, so können wir das hellgrün dargestellte Bebiet abgrenzen, in dem sich die drei Wirkungslinien schneiden müssen. Liegt der chnittpunkt außerhalb des hellgrünen ebietes, so kann kein leichgewicht hergestellt werden. h max ϕ max,b Dies geschieht sobald die Wirkungslinie der ewichtskraft beim Hochsteigen den kritischen Punkt K überschreitet. B us der grafischen Konstruktion lässt sich h max ablesen bzw. eine Formel für die gesuchte Höhe als Funktion der eibkoeffizienten ableiten. an erkennt ferner, dass der kritische Punkt K bei verkleinertem nstellwinkel α nach links wandert. obald α < φ max,b kann die Leiter bis zum höchsten Punkt beschritten werden, ohne dass bei B utschen auftritt. Die Leiter ist zur icherheit so anzustellen, dass sie sich klar innerhalb des eibkegels von B befindet. Die getroffenen ussagen sind unabhängig von der röße der ewichtskraft. Dies liegt daran, dass die ormalkräfte und damit die eibkräfte proportional zur ewichtskraft anwachsen. Darin drückt sich ein elbsthemmmechanismus aus, der in vielen Fällen bei der nwendung von eibung in der Technik genutzt wird. Beispiele sind Unterlegkeile, chrauben (teigungswinkelbegrenzung der ewindeflanke), Hebevorrichtungen, Extensionshülsen und vieles mehr. 56

5 Drittes Beispiel zur eibung Bodenhaftung beim ad eines Kraftfahrzeuges bei bekannter chslast. Welches ntriebsmoment in bhängigkeit vom Haftreibungskoeffizient µ H ist für quietschende eifen nötig? Lageplan mit Freischnittkontur Lösung omentengleichgewicht um den admittelpunkt liefert: utschbeginn: Haftung auf der traße wird erhöht durch größeres ewicht und größeren addurchmesser. Das negative Vorzeichen weist darauf hin, dass die eibkraft in die entgegengesetzte ichtung wirkt. nfahren nach links erfordert eine schiebende eibkraft von der traße auf das Fahrzeug. Freischnitt Hinweis an achos: otorkraftreserve einkalkulieren, damit Quietschen auch noch dann eintritt, falls die irls zugestiegen sind. Evt. abgefahrene eifen verwenden (selbstverstärkend!). Übung - Warum ist diese Betrachtung nur eine bschätzung der wahren Verhältnisse, welcher achverhalt wurde gar nicht berücksichtigt? Wie stellt sich das Problem beim nfahren am Berg dar? 57

6 eilreibung Wir betrachten eine Umlenkrolle, über die ein eil gespannt ist, das die olle mit einem Winkel φ umschlingt. Zwischen eil und olle sollen Tangentialkräfte übertragen werden, due durch eibung entstehen. Die ormal- und eibkräfte zwischen eil und olle werden in den Freischnittpläne für eil und olle sichtbar. Durch die eibkräfte entsteht ein oment, das für leichgewicht an der chse der olle von einem egenmoment ausgeglichen wird. Entsprechend werden sich auch die eilkräfte 0 und 1 in ihrem Betrag unterscheiden. 1 ϕ dϕ Da die ormalkräfte und eibkräfte an jeder Position unterscheiden, müssen wir das leichgewicht eines kleinen eilstückes betrachten. 0 Lageplan mit Freischnittkonturen Freischnitt Umlenkrolle Freischnitt eil ϕ 0 Freischnitt eilelement mit Winkel ϕ Kraftplan (ϕ + ϕ) ϕ (ϕ) (ϕ) + ϕ (ϕ) y x leichgewicht in tangentiale und normale ichtung: Ft = 0 : Fn = 0 : +(φ) cos( φ ) + ((φ) + ) cos( φ 2 2 ) = 0 (φ) sin( φ ) + ((φ) + ) sin( φ 2 2 ) = 0 58

7 Linearisierung für kleine Winkel mit und renzübergang sin φ = φ 1 3! φ φ für φ << 1, cos φ = 1 1 2! φ für φ << 1 lim φ 0 φ = d dφ : Ft = 0 : d d = 0 Fn = 0 : d dφ = 0 4) d = d d = (φ) sin dφ aximale eibkraft am eilelement dφ: Differentialgleichungen diesen Typs werden durch Trennung der Variablen gelöst: Unbestimmte Integration liefert: wobei C eine freie Kontante ist. Bestimmung der Konstanten aus andbedingungen: Es gilt: Damit bestimmt sich die freie Konstante zu: Wir erhalten für die maximale Zunahme der eilkraft ohne das utschen auftritt: it anwachsendem Umschlingungswinkel nimmt die eilkraft exponentiell zu! Dazu ist eine Vorspannung des eiles mit 0 erforderlich Zahlenbeispiele für µ H = 0, 5 bei verschiedenen Umschlingungswinkeln: eilantrieb: φ = π / 0 = 4, 81 Vertäuen von chiffen: φ = 4π / 0 = 535, 5 4) Zum Vergleich siehe Krafteck 59

8 Beispiel iementriebtrieb it dem iementrieb nach kizze soll mit einem ntriebsmoment a ein oment übertragen werden. a r B Lösung Freischnitt ntriebsrolle Freischnitt mitgenommene olle y a 1 1 x B x B y y 2 2 x omentengleichgewicht an der mitgenommenen cheibe: aximale eilkraft: aximal übertragbares oment: Die eilkräfte ergeben sich zu 1 = r 1 e µ Hφ 1, 2 = r e µ Hφ e µ Hφ 1 60

9 Übung - Bestimmen ie das Verhältnis a! - Zeigen ie, dass die rbeit beider omente gleich groß ist 5)! Im tand muss eine indestvorspannung des iementriebs eingestellt werden, damit ein oment übertragen werden kann. = = 2r e µ Hφ +1 e µ Hφ 1 = 2r coth(µ Hφ 2 ) stehend - Zahlenbeispiel: a µ H = 0, 5, = r φ = π : = 0, 76 r laufend + Übung - Weisen ie mit Hilfe der Lagerkräfte bei und B nach, dass sich die iemenkraft im tand aus der gemittelten iemenkraft im laufenden Zustand ergibt! - Bei tillstand und unter Belastung ändert sich die elastische Verformung der oberen und unteren iemenstränge. ehmen ie ein lineares Belastungs-Dehnungs-esetz an und leiten ie daraus wiederum den Zusammenhang = her! 2 5) Zur Beantwortung dieser Frage können ie die omente durch Kräftepaare ersetzen und usnutzen, dass die rbeit W F einer Kraft durch das kalarprodukt aus Kraft und Verschiebung berechnet wird: W F = F d s 61