Implizite Optionen in der Risikomessung und Steuerung. Optionsmapping-Ansatz. verhalten. Mögliche Schäden, die durch die Ausübung der Rechte

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1 BANK-IT Implizite Optionen in der Risikomessung und Steuerung Optionsmapping-Ansatz Das Optionsbuch der impliziten Optionen aus dem Kundengeschäft kann je nach Art der angebotenen Bankprodukte sehr umfangreich sein. Daraus ergeben sich zwei grundlegende Herausforderungen: Zum einen ist der Rechenaufwand für die Risikomessung impliziter Optionen sehr hoch, da die Risikomessung durch Berechnung von Szenariowerten über ein Zinsstrukturmodell erfolgen muss. Schon ein typisches kleines Optionsbuch mit Optionsrechten kann eine Rechenzeit von mehreren Stunden erfordern. Zum anderen lassen sich aus der Vielzahl von Kundenoptionen nicht unmittelbar Hedge-Maßnahmen ableiten. Dies stellt jedoch eine wichtige Basis für die Risikosteuerung der impliziten Optionen dar. Durch ein in diesem Beitrag entwickeltes Mappingverfahren, das die impliziten Optionen auf optimale liquide Standard-Zinsoptionen abbildet, können beide Probleme elegant gelöst werden. Es entsteht somit ein neues gemapptes Optionsbuch, dessen Risikomessung innerhalb weniger Minuten durchführbar ist. Dr. Manuela Ender, Research msggillardon. Bild: 32 Viele bewährte Produkte aus dem Kundengeschäft beinhalten Optionsrechte, die sich sowohl auf der Aktiv- als auch auf der Passivseite der Bilanz wiederfinden. Typische Beispiele dafür sind Tilgungs- und Abhebungsrechte mit unterschiedlicher Ausgestaltung. Die Bewertung dieser Rechte kann in der Vorkalkulation mit Hilfe gängiger Optionspreismodelle durchgeführt werden, so dass eine marktgerechte Konditionierung erfolgen kann. Die eigentliche Bewertung der impliziten Optionen stellt somit kein prinzipielles Problem mehr dar. Sind die Kundenrechte marktgerecht bewertet und die Optionsprämien in die Konditionen für den Marktbereich eingerechnet, hat die Ausübung seitens des Kunden bis zum erwarteten Rationalitätsgrad, den die Bank für das Produkt zur Kalkulation zugrunde gelegt hat, auf den Marktbereich keinen Einfluss mehr. Der Rationalitätsgrad gibt den Anteil der Kunden an, die sich zinssensitiv und damit im finanzmathematischen Sinne rational verhalten. Mögliche Schäden, die durch die Ausübung der Rechte bis zum erwarteten Rationalitätsgrad entstehen können, sind ausschließlich durch das Treasury abzusichern. In der Steuerung von Optionsrechten kann das Treasury dabei zum einen das Ziel verfolgen, aktiv auf Zinsentwicklungen mittels bewusst eingegangener Optionspositionen zu setzen. Andererseits kann das Treasury jedoch auch ein möglichst geringes Risiko in solchen Positionen anstreben. Da die Optionsrechte aus den Kundengeschäften jedoch bereits existieren, sollte das Treasury im zweiten Fall versuchen, Gegengeschäfte zu den Optionen aus den Kundenprodukten zu tätigen, um sich somit gegen das mit den Kundenoptionen verbundene Risiko abzusichern. Vorgehensweise und Problemstellung Peter Jacob, Research msggillardon. Bild: Zur Messung des Risikos aus impliziten Optionen werden die ein- zelnen Kundenprodukte zunächst in den jeweils zugehörigen Cashflow und die enthaltenen Optionsrechte aufgeteilt. In Abbildung 1 ist die bisher übliche Vorgehensweise im grauen Kasten schematisch dargestellt. Durch Summierung werden die einzelnen Cashflows zu einem Summen-Cashflow aggregiert. Auf der Seite der Optionsrechte werden die einzelnen Optionsrechte analog zu einem Optionsbuch zusammengefasst. Zur Ermittlung des Value at Risk (VaR) der Kundenprodukte werden der Summen-Cashflow und das Optionsbuch unter verschiedenen Zinsszenarien simuliert. Aus den Simulationsergebnissen lässt sich im Anschluss das zugehörige Chancen-Risiko-Profil statistisch auswerten, um die Risikokennzahlen sowie geeignete Steuerungsmaßnahmen abzuleiten. Die bisherige Vorgehensweise ist zielführend, kann aber aufgrund sehr umfangreicher Optionsbücher sehr rechenaufwändig sein. Je nach Art der Kundenprodukte können im Optionsbuch bis verschiedene Optionsrechte geführt werden. Dabei ist das Volumen, das auf eine einzelne Option entfällt, in den meisten Fällen sehr gering. Da in der Risikomessung die Berechnung der möglichen Szenariowerte für das Chancen-Risiko-Profil mittels eines Zinsstrukturmodells erfolgt, führt die Abbildung vieler Optionsrechte zu extrem langen Rechenzeiten. Beispielsweise kann die Simulation von Optionsrechten auf einem typischen Arbeits-

2 platzrechner bereits mehrere Stunden benötigen. Neben der Herausforderung durch die insgesamt große Anzahl von Kundenrechten kann auch die Ausgestaltung einiger Optionen derart komplex sein, dass eine Bewertung mit einfachen Modellen nicht mehr möglich ist. Somit wird der Aufwand zusätzlich erhöht. Darüber hinaus lassen sich für die Risikosteuerung aus den reinen Kundenoptionen keine direkten Hedge-Maßnahmen ableiten. Für diesen Schritt fehlt eine Abbildung der individuellen Kundenoptionen auf standardisierte Optionen, die am Markt gehandelt werden. OPTIONEN RISIKOMESSUNG effizientes Vorgehen Cashflow Kundenprodukt Kundenprodukt Kundenprodukt Optionsmapping modifiziertes Optionsbuch Cashflow Optionsrechte Optionsrechte Optionsrechte Summierung Summen-Cashflow Risikoberechnung (PIA+, sdis+ ) Cashflow Optionsbuch bisheriges Vorgehen Beispiel Um die Problematik im Umgang mit impliziten Kundenoptionen in der Risikomessung zu verdeutlichen, wird folgendes Beispiel herangezogen. Auf der Aktivseite einer Beispielbank befinden sich unterschiedliche Kredite mit gesetzlichem Kündigungsrecht und einem Gesamtvolumen von 100 Millionen Euro. Der Zeitpunkt der ersten Kündigungsmöglichkeit variiert bei den Krediten von heute bis in zehn Jahren. Auf der Passivseite befinden sich 300 Tranchen eines Sparproduktes mit Zinsstaffel und jährlichem Kündigungsrecht mit einem Gesamtvolumen von 900 Millionen Euro. Im Optionsbuch befinden sich insgesamt Zinsoptionen mit mehrfachem Ausübungsrecht seitens der Kunden. Hierbei ist zu beachten, dass nur der Teil der Kundenoptionen im Optionsbuch abgebildet wird, bei dem von einem zinssensitiven Verhalten der Kunden ausgegangen wird. Befinden sich im Gesamtbestand des Beispieldepots Optionen mit einem Wert von 150 Millionen Euro, so sind rund 100 Millionen Euro im Optionsbuch abzubilden, falls davon ausgegangen wird, dass zwei Drittel aller Kunden im Falle veränderter Zinsen eine Umschichtung vornehmen. Die Schätzung des Ausübungsverhaltens ist somit eine wesentliche Voraussetzung für eine adäquate Messung und Steuerung der Risiken. Im Allgemeinen erfolgt dies durch eine Analyse des in der Vergangenheit beobachteten Verhaltens. In vielen Instituten ist dabei festzustellen, dass besonders Produkte auf der Passivseite von einer rationalen Ausübung betroffen sind. Hier ist eine Umschichtung meist mit einem geringen zeitlichen Aufwand und niedrigen Kosten seitens des Kunden verbunden. Auch eine kundenfreundliche Beratung, die dem Kunden eine Umschichtung nahelegt, bedeutet, dass die Option rational ausgeübt wird. Letztendlich spielt es keine Rolle, wer Kunde oder Berater die Entscheidung zur Ausübung trifft. Auf der Aktivseite bestehen die vergebenen Optionsrechte sehr oft aus Sondertilgungsrechten in kleinerem Umfang, um dem Kunden bei vorhandener, aber nicht fest einplanbarer, Liquidität eine schnellere Entschuldung zu ermöglichen. Bei der Entscheidung, ob der Kunde ein solches Recht wahrnimmt, spielt die aktuelle Zinssituation daher eine eher untergeordnete Rolle. In der Steuerung kann aus diesem Grund mit einem erwarteten Cashflow, der Risikokennzahlen die durchschnittlichen Sondertilgungen abbildet, gearbeitet werden. Die Steuerung kann dementsprechend mit klassischen deterministischen Maßnahmen erfolgen, während das Optionsbuch davon unbetroffen bleibt. Im hier vorgestellten Beispiel sind auf der Aktivseite folglich nur die hohen Optionsrechte abgebildet, da bei vollen Tilgungsrechten eher mit einer zinssensitiven Ausübung durch Umschuldung zu rechnen ist. Für die Berechnung des Value at Risk werden die Optionen im Optionsbuch in der modernen historischen Simulation mit dem Zinsstrukturmodell von Black-Derman- Toy bewertet. Die Haltedauer beträgt drei Monate. Der Betrachtungszeitraum umfasst Marktdaten von 1988 bis Auf Basis dieser Parameter ergibt sich für das Optionsbuch nach einer Rechenzeit von rund acht Stunden ein Barwert Grafik: gi Abbildung 1: Erweiterung des bisherigen Vor - gehens um das Optionsmapping bei der Risikomessung von impliziten Optionen. Abbildung 2: Risikoprofil des gehaltenen Optionsbuchs aus dem betrachteten Beispiel. 33

3 BANK-IT Abbildung 3: Gittermodell für Zinsentwicklungen im Baum. in Höhe von 13 Millionen Euro und das zugehörige Chancen-Risiko-Profil, welches in Abbildung 2 dargestellt ist. Beispielsweise liegt der VaR zum Konfidenzniveau von 99 Prozent bei 119 Prozent, was einem Wert in Höhe von 15,6 Millionen Euro entspricht. Das Optionsbuch stellt eine Schuldenposition dar, da es durchweg aus Short-Positionen besteht. Ein Barwert von 13 Millionen Euro bedeutet somit, dass die Bank theoretisch 13 Millionen Euro aufwenden müsste, um die entsprechenden Gegenpositionen am Interbankenmarkt zu kaufen und so die Schuldenposition zu schließen. In der Praxis ist jedoch der Kauf der Gegenpositionen aufgrund der individuellen Ausstattung und der kleinen Tranchen nicht möglich. Im Chancen-Risiko-Profil in Abbildung 2 ist die typische Asymmetrie einer Stillhalterposition deutlich zu erkennen. Im günstigen Fall kann die Optionsprämie odere ein Teil der Optionsprämie durch den Zeitwertverlust gewonnen werden. Im ungünstigen Fall übersteigen die Verluste den aktuellen Wert der Optionen deutlich. Summation von Optionsrechten? Sowohl für die Performanceverbesserung in der Risikomessung als auch für die Herleitung geeigneter Hedging-Instrumente sollte ein Mechanismus zur Zusammenfassung des Optionsbuchs vorgeschaltet werden, der den gleichen Zweck verfolgt wie die Bildung des Summen-Cashflows aus den einzelnen Cashflows. Bei Optionsrechten kann dies allerdings nicht durch eine einfache Addition erfolgen, da sich die Kundenoptionen hinsichtlich vieler verschiedener Ausprägungen unterscheiden. Bei den einzelnen Optionen unterscheiden sich Laufzeit, Restlaufzeit des Underlyings, Ausübeschwellen, Ausübungspreise sowie der zugrunde liegende Optionstyp (europäisch, amerikanisch, Bermuda). Eine reine Addition wäre lediglich für die Optionen möglich, bei denen die komplette Ausstattung identisch ist. Dies trifft jedoch in der Regel nur auf die wenigsten Kundenoptionen zu. Idee des Optionsmappings Da eine einfache Addition zur Aggregation der Optionsrechte im Allgemeinen, wie vorher dargelegt, nicht möglich ist, wird eine andere Art der Aggregation das sogenannte Optionsmapping im vorliegenden Beitrag konzipiert und durchgeführt. Dabei werden die Optionen in einem Mappingverfahren zusammengefasst und ein modifiziertes gemapptes Optionsbuch wird ermittelt. Diese Schritte sind im grünen Kasten auf der linken Seite im Schema aus Abbildung 1 enthalten. Das gemappte Optionsbuch soll folgende Eigenschaften erfüllen: Es sollte aus möglichst wenigen Optionen bestehen, um eine effiziente Risikoberechnung durchführen zu können. Des Weiteren sollten möglichst nur Standardoptionen (Swaptions) enthalten sein, um in der Risikosteuerung die notwendigen Hedge-Maßnahmen unmittelbar umsetzen zu können. Neben diesen beiden idealerweise wünschenswerten Eigenschaften müssen sowohl Barwert als auch Risikoprofil des modifizierten Optionsbuchs und des Ausgangsbuchs übereinstimmen. Risikoprofil von Optionen Das Ziel des Mappings ist, wie bereits oben erwähnt, der Aufbau einer Optionsposition, die ein gleiches oder sehr ähnliches Risikoprofil aufweist wie das gehaltene Optionsbuch. Dieses Vorgehen ist im Bereich des Financial Engineering für explizite Optionen schon lange alltägliche Praxis. Zur Motivation sind daher vorab grundlegende Überlegungen zum Umgang mit dem Risiko einzelner Optionen sinnvoll. Die wesentliche Information über das Risiko einer Option ist bereits im Preis der Option enthalten. Jedes Optionspreismodell berücksichtigt die potenziellen Wertentwicklungen bis zum Verfalltag der Option. Der Optionspreis wird immer als abgezinster Erwartungswert berechnet, wobei die Schwankungsbreite des Spotkurses durch die Volatilität vorgegeben wird. Die bekannteste Darstellung der potenziellen Wertentwicklungen ist das Verfalltagprofil einer Option, das den Optionswert in Abhängigkeit des Spotkurses beschreibt. Der Informationsgehalt solcher Verfalltagprofile ist erheblich. Beispielsweise kann anhand identischer Verfalltagprofile zweier europäischer Optionen die Aussage getroffen werden, dass diese zwei Optionen immer denselben Preis haben. Dies gilt sowohl heute als auch für jeden zukünftigen Zeitpunkt, unabhängig von den Entwicklungen der Marktpreise. Diese Eigenschaft wird unter anderem bei der Zerlegung strukturierter Produkte ausgenutzt, um deren Preis zu bestimmen. Für strukturierte Instrumente ist das Verhalten am Verfalltag bekannt. Ziel einer Zerlegung ist es, ein Portfolio, bestehend aus Standardoptionen, so aufzubauen, dass die Verfalltagprofile übereinstimmen. Mit obiger Argumentation kann im Anschluss der Preis der Einzeloptionen berechnet und durch Summation der Preis des strukturierten Produktes bestimmt werden. Es ist somit finanzmathematisch äquivalent, ob in das strukturierte Produkt investiert wird oder ob die Einzeloptionen aus der zugehörigen Zerlegung gekauft werden. Mapping durch Nachbildung von Risikoprofilen Die Idee des Optionsmappings besteht nun darin, das Optionsbuch als ein strukturiertes Produkt aufzufassen und wie beim Financial Engineering expliziter Optionen vorzugehen. Dabei wird implizit unterstellt, dass die tatsächliche Zu- 34

4 Für den eingangs beschriebenen Beispielfall werden konkret die Laufzeiten 0,5, 1, 2 und 7 Jahre gewählt. Dabei liegt, wie bereits motiviert, das Raster im kurzen Bereich etwas dichter. Nach Festlegung der Optionslaufzeiten sind des weiteren die Ausübungspreise (Strikes) und die Restlaufzeiten zu wählen, wobei die Restlaufzeiten das Spektrum der zu mappenden Optionen widerspiegeln sollten. Die Restlaufzeiten der Kundenoptionen aus dem Beispiel bewegen sich auf der Passivseite von sofort ausübbar bis circa 5 Jahre, während auf der Aktivseite die maximale Laufzeit 10 Jahre besammensetzung des Optionsbuchs unbekannt ist und erst anhand von Risikoprofilen ermittelt wird. Ein einziges Verfalltagprofil wäre hierbei offensichtlich problematisch, da Einzeloptionen mit den unterschiedlichsten Laufzeiten enthalten sind. Stattdessen können aber Risikoprofile zu verschiedenen Zeitpunkten in der Zukunft generiert und diese für die Zerlegung in Einzelinstrumente verwendet werden. Für alle gewählten Zeitpunkte besteht also die Aufgabe darin, ein gegebenes Risikoprofil durch die Mappinginstrumente nachzubauen. Im Grenzfall kann dies für jeden Zeitpunkt erfolgen. Allerdings führt dies wiederum zu sehr vielen Einzelinstrumenten und bringt somit für die praktische Steuerung keinen wirklichen Vorteil. Die Erzeugung der Risikoprofile kann auf verschiedenen Wegen erfolgen. Ein erster einfacher Ansatz besteht in der Berechnung der Optionswerte unter Marktparameterszenarien. Dieses Vorgehen entspricht jedoch der Berechnung des VaR mittels historischer Simulation, so dass ein Performancegewinn bei diesem Ansatz ausgeschlossen ist. Eine wesentlich bessere Möglichkeit bietet die Bewertung der Optionen über ein Zinsstrukturmodell. Ähnlich wie beim Binomialmodell für die Bewertung von Aktienoptionen kann hier die Bewertung ebenfalls in einem Baum erfolgen. Im Unterschied zur Aktienoption wird jedoch die komplette Zinsstruktur als stochastische Variable modelliert, so dass in jedem Knoten ein komplettes Zinsszenario vorliegt, mit dem die Optionen bewertet werden. Die Optionswerte in einer senkrechten Zeitschicht im Baum, schematisch dargestellt im Gittermodell in Abbildung 3, können als Verfalltagprofil interpretiert werden. Ein Risikoprofil besteht aus allen Optionswerten in den Knoten einer einzigen Zeitschicht. Die Depotwerte ergeben sich durch die Summation der Einzelwerte pro Knoten. Voraussetzung dabei ist, dass alle Kundenoptionen im selben Modell oder im selben Baum bewertet werden. Dies gilt insbesondere auch für die einfachen, beispielsweise europäischen, Optionen, die gegebenenfalls auch mit einem vergleichsweise einfacheren Modell bewertet werden könnten. Wird dies beachtet, erhält man für jeden Knoten oder jedes Zinsszenario in den Knoten den fairen Preis des Optionsbuchs. Ausstattungsmerkmale und Anzahl der Swaptions Die Standardoptionen, auf die die individuellen Optionsrechte gemappt werden, sind beim Mapping vorzugeben, was eine Festlegung der Spezifika der Standardoptionen erfordert. Im Folgenden wird das Vorgehen näher erläutert und für das Beispiel durchgeführt. Die Wahl von Swaptions als Mappinginstrument ist, wie bereits beschrieben, sehr naheliegend. Swaptions werden sowohl mit langen Optionslaufzeiten als auch mit verschiedenen Restlaufzeiten gehandelt und sind im Optionsbereich mit langen Laufzeiten eines der liquidesten Instrumente. Die Ausstattung der Plain Vanilla Swaptions ist europäisch, so dass eine Bewertung sehr effizient mit Black76 erfolgen kann und Marktpreise in Form von impliziten Black76-Volatilitäten verfügbar sind. Im nächsten Schritt müssen die konkreten Ausstattungsmerkmale und die genaue Anzahl der Swaptions bestimmt werden. Je mehr Swaptions verwendet werden, umso höher ist die Genauigkeit des Mappings. Anderseits erschwert eine sehr hohe Anzahl an Optionen das spätere Hedging. Die Wahl der geeigneten Anzahl sollte somit in Abhängigkeit von der konkreten Zielsetzung, der Berechnung des VaR und von der geplanten Generierung der Maßnahmen erfolgen. Darüber hinaus bestehen folgende Freiheitsgrade bei der Wahl der Ausstattungsmerkmale der Swaptions: Optionslaufzeit, Restlaufzeit des Underlyings nach Verfalltag der Swaption, Ausübungspreis (Strike), Optionstyp (Payer- oder Receiverswaption). Die Optionslaufzeiten als ein wesentliches Ausstattungsmerkmal werden nach Vorgabe der Risikoprofile gewählt, das heißt, ein Risikoprofil in einem Jahr wird durch einjährige Swaptions approximiert. Die gewählten Laufzeiten müssen nicht unbedingt mit den Laufzeiten der Kundenoptionen übereinstimmen. Da sich für einige Optionen, wie beispielsweise für ein amerikanisches Optionsrecht, keine konkreten Laufzeiten für eine europäische Option ableiten lassen, sollte ein möglichst breites Laufzeitspektrum gewählt werden, um eine gute Abdeckung zu erzielen. Darüber hinaus sollten die Laufzeiten in naher Zukunft feiner gewählt werden, um eine möglichst hohe Genauigkeit bis zum Risikohorizont zu gewährleisten und somit potenzielle Wertänderungen in näherer Zukunft besser zu approximieren. Fortführung des Beispiels Abbildung 4: Vergleich der Risikoprofile in zwei Jahren des gehaltenen und des gemappten Optionsbuchs. 35

5 Tabelle 1: Ergebnis des Mappings Volumina in den Mappinginstrumenten. trägt. Daher werden zur Abdeckung dieser kurzen, mittleren und langen Restlaufzeiten die Laufzeiten 1, 3, und 10 Jahre als Vorgabe an die Mappinginstrumente gewählt. Für die Wahl der Strikes gilt, je mehr verschiedene Preise gewählt werden, desto besser können Krümmungen im Risikoprofil nachgebildet werden. Eine gute Approximation erfordert daher ausreichend viele Strikes, um die Bandbreite der zu mappenden Optionen abzudecken. Im Beispiel orientieren sich die Strikes am Marktzins und sind Am Geld, Im Geld, Weit im Geld, Aus dem Geld und Weit aus dem Geld gewählt. Dies entspricht fünf verschiedenen Strikes. Die Festlegung des Optionstyps, ob es sich bei den Swaptions um eine Payer- oder um eine Receiverswaption handelt, ist nur für die Swaptions Weit aus dem Geld und Weit im Geld entscheidend. Für alle weiteren Swaptions mit Strikes zwischen den beiden Extrema kann der Optionstyp frei gewählt werden, wie es aus dem Financial Engineering für Optionsstrategien bekannt ist. Zum Beispiel lässt sich aus Risikosicht derselbe Bull Spread sowohl mit Put- als auch mit Calloptionen darstellen. Im Beispiel werden Receiverswaptions für die Strikes Am Geld, Im Geld und Aus dem Geld festgelegt. Durch die Kombination aller Ausstattungsmerkmale erhält man insgesamt 84 verschiedene Swaptions als mögliche Mappinginstrumente, die in Tabelle 1 auszugsweise angegeben sind. Durchführung des Mappings Da sich das Risikoprofil des gehaltenen Optionsbuchs mit den zur Verfügung stehenden Mappinginstrumenten nicht zu 100 Prozent exakt nachbilden lässt, wird die Kombination von Volumina in den Swaptions gesucht, die dem echten Profil möglichst nahekommt. Es werden also die Abweichungen der Approximation mittels der Swaptions vom echten Risikoprofil minimiert, bis die bestmögliche Lösung gefunden werden konnte. Die Abweichungen werden dabei mit der Eintrittswahrscheinlichkeit der Zinsszenarien gewichtet. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten von sehr starken Zinsänderungen nach oben oder nach unten sind naturgemäß sehr klein, werden aber dennoch im Rahmen der Optionsbewertungen generiert. Da die Gewichtung gemäß Eintrittswahrscheinlichkeit bei der Optionsbewertung genauso stattfindet, ist das Mappingverfahren in diesem Sinne konsistent zur Berechnung von Fair Values. Das Ergebnis der Minimierung sind die optimalen Volumina der Swaptions, die auszugsweise in Tabelle 1 für das Beispiel dargestellt sind. Für jedes der insgesamt 84 Mappinginstrumente ist das Volumen als Nominal berechnet und der aktuelle Marktpreis als Istwert ausgewiesen. In Abbildung 4 ist als weiteres Ergebnis des Mappings das Risikoprofil für die Optionslaufzeit 2 Jahre des echten Optionsbuchs im Vergleich zu dem Risikoprofil des emappten Optionsbuchs, basierend auf den 21 Swaptions zu dieser Laufzeit, abgebildet. Auf der x-achse ist der kurzfristige Zins stellvertretend für das Zinsniveau der Zinsstrukturen in den Knoten abgetragen. Beispielsweise bedeutet der Wert 20 Prozent auf der x-achse einen kurzfristigen Zinssatz in Höhe von 20 Prozent. Dies bedeutet automatisch auch für die längeren Zinssätze ein sehr hohes Niveau, unabhängig davon, ob die jeweilige Zinsstruktur normal oder invers ist. Bei fallenden Zinsen tritt ein Wertverlust des Depots auf, da die Kundenoptionen auf der Aktivseite ins Geld laufen. Bei steigenden Zinsen überwiegen allerdings die Verfügungsrechte auf der Passivseite deutlich, da eine vorzeitige Verfügung seitens der Kunden wesentlich wahrscheinlicher wird, was sich in einem höheren Optionspreis bemerkbar macht. Da alle Kundenoptionen aus Sicht der Bank-Short-Positionen darstellen, bedeutet ein steigender Optionspreis Mehrkosten für die Absicherung und einen wachsenden Schaden für die Bank durch Ausübung der Optionen durch die Kunden. Das gemappte Depot weist ein dem gehaltenen Depot sehr ähnliches Risikoprofil auf, da sich in Abbildung 4 beide Kurven für einen sehr großen Bereich an Zinssätzen überdecken. Erst bei sehr großen Zinsänderungen, zum Beispiel auf Zinssätze um die 30 Prozent, lässt sich eine nennenswerte Abweichung erkennen. Risikosimulation Die Berechnung des VaR beziehungsweise anderer Risikokennziffern kann nach erfolgtem Mapping durch Simulation der Standardoptionen (im Beispiel 84 Swaptions) erfolgen. Da die Anzahl der Optionen deutlich reduziert und die Ausstattung der Optionen vereinfacht wurde, ist eine Risikosimulation in wesentlich kürzerer Zeit möglich. Im Beispielfall betrug die Rechenzeit für eine historische Simulation mit den oben aufgeführten Parametern auf einem durchschnittlichen Rechner 8 Minuten. Zusätzlich zur Rechenzeit der Simulation ist die Rechenzeit für das Mapping in Höhe von ebenfalls acht Minuten zu berücksichtigen. Insgesamt benötigt die komplette Risikoberechnung somit etwa 16 Minuten. 36

6 Gegenüber acht Stunden Rechenzeit für das ungemappte Optionsbuch bedeutet das einen erheblichen Zeitgewinn. In Tabelle 2 werden die wichtigsten Kennzahlen, wie Barwert und Risiko, von gehaltenem und gemapptem Depot vergleichend gegenübergestellt. Die gemappte Position weist beispielsweise bei einem Konfidenzniveau von 99 Prozent ein um rund 0,45 Prozent höheres Risiko auf als das tatsächliche Depot. Da diese Abweichungen auf Kennzahlenebene minimal und im Vergleich zu Modellrisiken, die aus der Verwendung eines Binomialmodells resultieren, quasi vernachlässigbar sind, kann die Genauigkeit der Ergebnisse als sehr hoch eingeschätzt werden. Güte des Mappings Zur Beurteilung der Güte des Mappingverfahrens liefert der Vergleich der Risikokennzahlen einen ersten Ansatzpunkt. Eine isolierte Betrachtung der Kennzahlen reicht jedoch für eine allgemeine Aussage noch nicht aus. Denkbar ist beispielsweise, dass die großen Verluste des Optionsbuchs und der gemappten Position in der Höhe übereinstimmen, aber bei völlig unterschiedlichen Zinsänderungen eintreten. Dieses wäre für einen Hedge offensichtlich fatal, da sich unter ungünstigen Umständen die Verluste addieren könnten. Der Begriff Hedge wäre in diesem Fall völlig irreführend. Ein besseres Verständnis über die Güte des Mappings liefert der Vergleich der beiden Chancen-Risiko- Profile, die in Abbildung 5 gegenüber gestellt werden. Jede Wertänderung im Profil wird von einem historischen Marktdatenszenario erzeugt. Zu jedem Szenario wird die Wertänderung der gemappten Position berechnet und ebenfalls im Diagramm dargestellt. Beim Vergleich der beiden Kurven fällt auf, dass die gemappte Position zwar relativ unsystematisch um das tatsächliche Profil schwankt, die Schwankungen jedoch nur eine geringe Breite aufweisen. Das bedeutet, dass die gemappte Position unabhängig vom betrachteten historischen Szenario innerhalb der letzten 20 Jahre nahezu dem gleichen Risiko unterliegt wie das gehaltene Optionsbuch. Folglich müssen die statistischen Kennzahlen wie VaR und ConditionalVaR der beiden Positionen sehr ähnliche Werte annehmen. Die Analyse der Chancen-Risiko- Profile hat somit gezeigt, dass das vorgestellte Mappingverfahren den Voraussetzungen genügt und eine brauchbare Approximation für eine sehr große Anzahl an impliziten Kundenoptionen sowohl für eine performante Risikosteuerung als auch für die Generierung von Hedge-Maßnahmen liefert. Selbst bei extremen Änderungen der Zinsstruktur oder der gehandelten Volatilitäten liefert das Mapping auf Swaptions sehr gute Ergebnisse. Hedge-Maßnahmen Der Ansatz, Optionen mit mehrfachem oder jederzeitigem Ausübungsrecht durch europäische Optionen zu hedgen, erscheint zunächst fehleranfällig. Die Schäden, die durch Ausübung der Kundenoptionen entstehen, können im Allgemeinen nicht durch Ausübung der Hedgeoptionen ausgeglichen werden, da in den meisten Fällen keine der europäischen Optionen genau zu diesem Zeitpunkt fällig sein wird. Der Hedge ist dennoch zielführend, da die europäischen Optionen in der Hedgeposition durch die Zinsentwicklung ebenfalls an Wert gewonnen haben. Unter jedem Szenario ist die Summe der Hedgeoptionen genauso viel wert wie das gehaltene Optionsbuch. Der entstandene Schaden durch die Ausübung der Kunden im tatsächlichen Zinsbuch kann daher durch einen Teilverkauf der Swaptions ausgeglichen werden, was das Ziel der Hedge-Maßnahmen erfüllt. Fazit und Ausblick Das vorgestellte Optionsmapping stellt ein Analogon zum Summenzahlungsstrom auf Cashflow-Ebene dar. Mit Hilfe des Mappings lassen sich beliebige Optionspositionen zu einer Reihe von Standardoptionen zusammenfassen. Neben einem erheblichen Zeitgewinn in der Risikosimulation sind damit weitere Vorteile verbunden. Die große Anzahl kleiner Optionsrechte wird auf eine überschaubare Anzahl reduziert, so dass handelbare Abschnittsgrößen entstehen. Die gemappte Position bietet zusätzlich optimale Voraussetzungen für Hedge-Maßnahmen, da die Absicherung mit marktgängigen Optionen erfolgen kann. Neben der Abbildung von Kundenoptionen kann das Mappingverfahren auch zur Integration exotischer Zinsoptionen in die Risikomessung eingesetzt werden. Dieser Punkt stellt in der Praxis sehr häufig ein Problem dar, weil die zur Risikomessung eingesetzten Tools oft nur relativ einfache Optionsrechte abbilden können. Für das Mapping müssen exotische Optionen einmalig, wie oben beschrieben, im Zinsstrukturmodell bewertet werden. Dies kann unabhängig vom Risikomessmodell erfolgen. Zur Risikomessung werden dann die auf Basis des Mappingverfahrens erzeugten Swaptions im Modell verwendet. Somit wird auch die Risikomessung exotischer Optionen ermöglicht. Die Einsatzmöglichkeiten für das Mappingverfahren sind sehr vielseitig und lassen Raum für weitere Analysen. Tabelle 2: Vergleich der Kennzahlen. Abbildung 5: Vergleich der Chancen-/Risiko-Profile. 37