Numerik partieller Differenzialgleichungen

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1 Skript zur Vorlesung Numerik partieller Differenzialgleicungen gelesen von Prof Dr M Junk Martin Gubisc Konstanz, Wintersemester 008/009

2 Inaltsverzeicnis 6 Überblick über approximative Lösungsmetoden 3 6 Die Advektionsgleicung 3 6 Finite Differenzen Metode (FDM) 4 63 Linienmetode 5 64 Finite Volumenmetode 6 65 Ansatzverfaren 7 7 Finite Differenzen Metode 9 7 Interpolationsansatz 9 7 Finite Differenzen Metode für elliptisce Gleicungen 73 Finite Differenzen Metode für parabolisce Gleicungen 7 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung 8 Finite Elemente Metode 9 8 Finite Elemente Metode für elliptisce Gleicungen 9 8 Finite Elemente Metode für parabolisce Gleicungen 34 Übungsaufgaben 35

3 6 Überblick über approximative Lösungsmetoden 6 Die Advektionsgleicung 6 Überblick über approximative Lösungsmetoden 6 Die Advektionsgleicung Beispiel 6 (Advektionsgleicung) Wir betracten die skalare, yperbolisce Differenzialgleicung erster Ordnung u t + u x = 0 ((t, x) u(t, x) R) t + x tritt als Differenzialoperator im einfacen Populationsmodell auf: u t + u x = σu (t, x) (0, ) u(0, x) = ϕ(x) x [0, ) u(t, 0) = β(x)u(t, x) dx t (0, ) 0 Dabei bezeicne A A u(t, x) dx die Anzal der Individuen mit Alter zwiscen A und A, σ = σ(x) die altersabängige Sterberate, β = β(x) die altersabängige Sterberate (beide zeitunabängig) und ϕ = ϕ(x) die Alterspyramide zum Startzeitpunkt t = 0 Herleitung der partiellen Differenzialgleicung: σ(x) ist die relative Zal an Todesfällen in der Altersgruppe x pro Jar, zb σ(60) = %/Jar Genauer: σ(a) := lim lim a 0 t 0 t Zal der Todesfälle in der Zeit [t, t + t] in der Altersgruppe [a, a + a] ; Zal der Individuen in [a, a + a] zur Zeit t momentane Sterberate ˆ= Grenzwert der durcscnittlicen Sterberate Also ( a+ a σ(a) = lim lim u(t, x) dx ) a+ a+ t u(t, t, x) dx a a+ t a 0 t 0 t a+ a u(t, x) dx a Ist u inreicend glatt, dann g(s) := a+ a+s a+s u(t + s, x) dx Zäler = t 0 (g(0) g( t)) g (0) t Also: d ds a+ a+s a+s u(t + s, x) dx s=0 x s + x = Param Int = Insgesamt ergibt sic die partielle Differenzialgleicung = d ds a+ a a a+ a a a+ a a d ds u(t + s, x + s) dx s=0 u(t + s, x + s) dx s=0 (u t + u x )(t, x) dx σ(a) = lim a a 0 a+ a a a (u t u x )(t, x) dx a+ a u(t, x) dx a = (u t + u x )(t, a) u(t, a) Martin Gubisc 3 WS 008/009

4 6 Überblick über approximative Lösungsmetoden 6 Finite Differenzen Metode (FDM) 6 Finite Differenzen Metode (FDM) Bemerkung 6 (Finite Differenzen Metode) Definiere ein (x, t)-gitter x i := i x (i = 0,, M), t n := n t (n = 0,, N) zu fest gewälten Scrittweiten t, x und suce die approximative Lösung u n i u(t n, x i ) nur an den Gitterpunkten (t n, x i ) Ersetze dazu die partielle Ableitungen durc Differenzenquotienten Dies liefert die Differenzengleicung u t (t n, x i ) u(t n+, x i ) u(t n, x i ) t u x (t n, x i ) u(t n, x i ) u(t n, x i ) x (Vorwärtsdifferenz); (Rückwärtsdifferenz) t (un+ i u n i ) + x (un i u n i ) = σ(x i )u n i, i =,, M, n = 0,, N Die Anfangs- und Randbedingungen sind dann gegeben durc M u 0 i = ϕ(x i ) (i = 0,, M), u n 0 = β(x i )u n i x i= (n =,, N) Wir eralten also ein inomogenes, lineares Gleicungssystem: u n+ i = u n i t x (un i u n i ) tσ(x i )u n i (i =,, M, n = 0,, N ) Mit Anfangs- und Randbedingungen: u 0 i = ϕ(x) (i = 0,, M), u (n+) 0 = M β(x i )u n i x (n = 0,, N ) Setze b n+ := 0 (n = 0,, N ), dann lässt sic das Problem als LGS mit Koeffizientenmatrix B screiben: 0 β(x ) x β(x ) x β(x M ) x t x ( t x σ(x )) t 0 0 u n+ = t 0 x ( t x σ(x u n + b n+ )) t 0 i= 0 0 t x Damit ist { u n+ + Bu n = b n+ u 0 = b 0 ( t x σ(x M )) t Löst man die N + Systeme, so entsprict das dem Vorwärtsauflösen von Au = b: I 0 0 u 0 b 0 B I u 0 = b 0 B I u N b N Beacte: A ist eine dünn besetzte Dreiecksmatrix! Eine lineare (Integro-)PDE lässt sic also in ein LGS für Funktionswerte an Gitterpunkten umwandeln mit oer Dimension (bei feiner Diskretisierung), aber dünner Besetzung (Lokalität der partiellen Ableitungen) Martin Gubisc 4 WS 008/009

5 6 Überblick über approximative Lösungsmetoden 63 Linienmetode 63 Linienmetode Bemerkung 63 (Linienmetode) Wir wollen eine PDE, zum Beispiel u t (t, x) = u x (t, x) σu(t, x), (t, x) (0, ) auf eine ODE zurückfüren Dies funktioniert, falls eine Variable der Lösung u ausgezeicnet ist (in der Regel (t, x) (0, ) R n mit Zeitvariable t > 0 und Ortsvariable x R n ) Wir diskretisieren ier (n = ) die räumlice partielle Ableitung: u t = u x σu v t = L v mit Differenzialoperator L := x σ und v : (0, ) R, t u(t, ) Wir eralten also eine ODE auf einem Funktionenraum, eine sog Evolutionsgleicung Bemerkung 64 (Umsetzung in Numerik) Statt v(t) : x v(t)(x) betracte v (t) R M+ mit (v (t)) i v(t)(x i ) und 0 β(x ) x β(x ) x β(x M ) x x x σ(x ) 0 0 L L := 0 x x σ(x ) x x σ(x M ) Dies liefert die lineare ODE Diese Gleicung lässt sic nun numerisc lösen v (t) = L v (t) Martin Gubisc 5 WS 008/009

6 6 Überblick über approximative Lösungsmetoden 64 Finite Volumenmetode 64 Finite Volumenmetode Bemerkung 65 (Finite Volumenmetode) Haben die Anfangsdaten einen Sprung, so ist der klassisce Differenziationskalkül nict anwendbar Die Bilanzidee bleibt allerdings weiterin sinnvoll, wir geen daer über zur scwacen Formulierung des Problems Äquidistante Zerlegung des Definitionsbereics in kleine Quader: Sei C n i := [x i, x i ] [t n, t n ], 0 = x 0 < x < < x M, 0 = t 0 < t < < t N, x i = x i + x, t n = t n + t Bezeicne u n i die räumlicen Zellenmittelwerte der Partitionierung: u n i := x xi dann ergibt Integration der Bilanzgleicung über Ci n 0 = u t + u x + σu d(x, t) Hauptsatz = Ci n xi x i u(t n, x) dx, tn tn xi = u t (t, x) dt dx + u x (t, x) dt dx + σu(t, x) d(t, x) x i t n t n x i Ci n xi tn u(t n, x) u(t n, x) dx + u(t, x i ) u(t, x i ) dt + σu(t, x) d(t, x) x i t n Ci ( n ( ) = x u n i tn un i + t u(t, x i ) dt ) tn u(t, x i ) dt t t n t t n + t x σu(t, x) d(t, x) t x C n i Formuliere nun approximative Bedingung an die Zellenmittelwerte u n i, etwa t t x C n i tn t n u(t, x i ) dt F ( ) u n i+, un i σu(t, x) d(t, x) σ(x i )u n i (Numerisce Flussfunktion); und eralte u n i = un i t ( ( ) ( )) F u n i+ x, un i F u n i, u n i tσ(x i )u n i Dieses Verfaren verallgemeiner die Finiten Differenzen Metode: Dort ist F (a, b) := b Beispiel 66 (Laplace-Gleicung) Bekanntlic ist die Form einer Seifenlamelle in einem Ramen derart, dass sie eine möglicst kleine Oberfläce at Werde eine solce Fläce bescrieben durc eine Funktion u : (0, ) R, d die gesucte Fläce wird parametrisiert durc (x, y, u(x, y)) für eine noc unbekannte Funktion u Da die Oberfläce minimiert wird, wenn die Krümmung konstant 0 ist, ist u auf Ω = (0, ) implizit gegeben durc { u(x, y) = 0 u Ω = g, wobei g : Ω R die vorgebene Form des Ramens bescreibt, zb g(x, 0) = g(x, ) = x( x), g(, y) = g(0, y) = y( y) In diesem speziellen Fall können wir die Lösung erraten: u(x, y) = x( y) y( x) Martin Gubisc 6 WS 008/009

7 6 Überblick über approximative Lösungsmetoden 65 Ansatzverfaren 65 Ansatzverfaren Bemerkung 67 (Ansatzverfaren) Sei Ω ein Gebiet, etwa Ω = (0, ) Wir betracten den Differenzialoperator L := und den Randoperator B := ( ) Ω, das eißt, unser Problem lautet { L u = 0 Bu = g für vorgegebenes g, aber noc unbekanntes u : Ω R Grundidee der Diskretisierung: Wir macen einen Ansatz n u n (x) := α k ϕ k (x) k= mit linear unabängigen, inreicend glatten ϕ k (den Ansatzfunktionen) und sucen die Koeffizienten α k u n ist dann unsere approximative Lösung Bestimme die α k also so, dass die Gleicung möglicst gut approximiert wird Bemerkung 68 (Kollokationsmetode) Wir fordern L u n = 0 und Bu n = g an endlic vielen Punkten aus Ω, den Kollokationspunkten Seien also Ω := {x (),, x (p) } Ω und Γ := {x (p+),, x n } Ω, so dass L u n (x) = 0 für alle x Ω und Bu n (x) = g(x) für alle x Γ Im Beispiel: n (L ϕ k )(x (j) )α k = 0 j =,, p n (Bϕ k )(x (j) )α k = g(x (j) ) j = p +,, n k= k= liefert (L ϕ )(x () ) (L ϕ )(x () ) (L ϕ n )(x () ) Aα := (L ϕ )(x (p) ) (L ϕ )(x (p) ) (L ϕ n )(x (p) ) (L ϕ )(x (p+) ) (L ϕ )(x (p+) ) (L ϕ n )(x (p+) ) (L ϕ )(x (n) ) (L ϕ )(x (n) ) (L ϕ n )(x (n) ) Das Problem ist also wieder äquivalent zu Finde α mit Aα = b Beim Pseudospektralverfaren wälen wir Polynome als Ansatzfunktionen: Sei M N fest, n := (M + ), := M und α α p α p+ α n! = 0 0 g(x (p+) ) =: b g(x (n) ) ϕ k : (x, x ) x m + x m (0 m, m M), x (j) := (q, q ) (0 q, q M) Dann ist A eine voll belegte Matrix der Größe n n Beim Spektralverfaren wält man trigonometrisce Funktionen ϕ k als Ansatzfunktionen Bemerkung 69 (Ansatz der kleinsten Quadrate) Wir geen wie beim Kollokationsverfaren vor, wälen aber mer Kollokationspunkte Dann ist das Gleicungssystem Aα = b überbestimmt und damit im Allgemeinen nict mer lösbar Wir sucen daer nict nac einer exakten Lösung, sondern minimieren die Differenz zur Lösung: min α Aα b Wir können dieses Verfaren auc kontinierlic, d mit unendelic vielen Kollokationspunkten, anwenden: ( ) min [(L u )(x)] dx + [(Bu )(x) g(x)] dx α Ω Ω Martin Gubisc 7 WS 008/009

8 6 Überblick über approximative Lösungsmetoden 65 Ansatzverfaren Bemerkung 60 (Finite Elemente Metode (FEM)) Wir diskretisieren die scwace Formulierung des Problems: { u = 0 in Ω u Ω = g mit g = G Ω Umwandlung in omogene Randwerte: Definiere v := u G, dann mit f := G: { v = f v Ω = 0 Multipliziere diese Gleicung mit einer Testfunktion ϕ und integriere über Ω, dann ϕ( v) dx = fϕ dx Mit div(ϕ v) = ϕ( v) + ( ϕ)( v) ergibt sic ϕ v ν dx ( ϕ)( v) dx Gauß = Ω Ω Ω Ω Ω fϕ dx Wir sucen ein solces v nun im Sobolev-Raum H0(Ω), d es soll gelten n, v L (Ω) und v Ω = 0 im H0-Sinne, so dass für alle ϕ H 0 (Ω) gilt a(v, ϕ) := ( ϕ)( v) dx = fϕ dx =: Λ(ϕ) Ω Dann sind a eine Bilinearform auf H 0(Ω) H 0(Ω) und Λ eine Linearform auf H 0(Ω) Diskretisierung: Wäle einen endlic dimensionalen Teilraum V von H0(Ω) und löse das Problem Suce v in V, so dass a(v, ϕ) = Λ(ϕ) für alle ϕ V Sei also (ϕ,, ϕ n ) eine Basis von V, dann ist v = n k= α kϕ k mit gesucten Koeffizienten α k Statt a(v, ϕ) = Λ(ϕ) für alle ϕ V braucen wir dies nur für die Basiselemente ϕ k zu fordern, denn sei ϕ V beliebig, etwa ϕ = n k= β kϕ k, dann ( ) n n n a(v, ϕ) = a v, β k ϕ k = β k a(v, ϕ k ) = β k Λ(ϕ k ) = Λ(ϕ) k= k= Ω k= Damit ergibt sic n n n b k := Λ(ϕ k ) = a α j ϕ j, ϕ k = α j a(ϕ j, ϕ k ) =: α j A kj, j= j= j= wir sucen also wieder Mal ein α R n mit Aα = b Spezielle Klasse von Basen: Finite Elemente Im einfacten Fall triangulieren wir Ω, partitionieren den Definitionsbereic also in Dreiecke, und wälen die ϕ k linear auf jedem Dreieck stetig auf Ω mit ϕ k (x k ) = und ϕ k (x j ) = 0 für alle j k, was zu einem möglicst kleinen Träger der ϕ k fürt A kj = a(ϕ j, ϕ k ) ist damit meist 0, d A dünn besetzt Die Aufstellung von A und b erfordert dabei (analytisce oder numerisce) Integration Bemerkung 6 (Zusammenfassung) () Aus einer (Nict)-Linearen PDE wird durc Diskretisierung ein (Nict)-Lineares LGS für Punktwerte, Mittelwerte oder Ansatzkoeffizienten () Wir müssen dieses LGS untersucen auf Lösbarkeit, Konvergenz der LGS-Lösung bei feiner Diskretisierung gegen die PDE-Lösung und Eraltung qualitativer Eigenscaften der PDE-Lösung Martin Gubisc 8 WS 008/009

9 7 Finite Differenzen Metode 7 Interpolationsansatz 7 Finite Differenzen Metode 7 Interpolationsansatz Vorbemerkung 7 () Lösungsapproximation wird auf endlic vielen Punkten (Gitterpunkten) im Definitionsbereic gesuct () Differenzialoperatoren werden durc Differenzenoperatoren approximiert Da die Differenzialoperatoren aus partiellen Ableitungen aufgebaut sind, genügt es, Approximationen für D-Ableitungen ( d dx )r zu sucen Bemerkung 7 (Interpolation) Bestimme interpolierende (oder sonstwie approximierende), glatte Funktion und nimm ( d dx )r dieser Funktion in den Gitterpunkten x i Mit Lagrange-Interpolation: Sei S := { L,,, 0,,, R} Setze S i := i + S und interpoliere die Paare (x k, u k ) von Stützstellen und Funktionswerten, k S i Lagrange-Grundpolynome: Interpolationspolynom: l k (x) := j S i\{k} x x j x k x j (k S i ) P (x) := k S i u k l k (x) Approximation der r-ten Ableitung in x i : ( ) r d (P )(x) = ( ) r d u k (l k )(x) dx dx k S i x=xi Linearkombination benacbarter Funktionswerte Beispiel 73 Seien S = {, 0, } und x i = i, > 0, dann x=xi =: k S i a (r) (k)u k Erste Ableitungen: l i (x) = l i (x) = l i+ (x) = x x i x x i+ x i x i x i x i+ = (x xi)(x xi+) x x i x x i+ x i x i x i x i+ = (x xi )(x xi+) x x i+ x x i x i+ x i x i+ x i = (x xi )(x xi) l i l i l i+ Damit eralten wir die zentrale Differenz (x) = (x xi)+(x xi+) a () (i ) = (x) = (x xi )+(x xi+) a () (i) = 0 (x xi )+(x xi) (x) = a () (i + ) = u (x i ) u(x i+) u(x i ) Zweite Ableitungen: l i (x) = = a () (i ) l i (x) = = a () (i) l i+ (x) = = a () (i + ), damit eralten wir die kanonisce diskrete zweite Ableitung u (x i ) u(x i ) u(x i ) + u(x i+ ) Martin Gubisc 9 WS 008/009

10 7 Finite Differenzen Metode 7 Interpolationsansatz Bemerkung 74 (Genauigkeit der Approximation) Abzuscätzen ist der Feler Mit dem Satz von Taylor gilt Damit ist e i := u (x i ) u(x i ) u(x i ) + u(x i+ ) u(x i ) = u(x i ) u (x i ) + u (x i ) 3 6 u (x i ) u (x i ) u(x i+ ) = u(x i ) + u (x i ) + u (x i ) u (x i ) u (x i ) + d die Approximation ist von zweiter Ordnung e i = u (x i ) + O( 3 ) = O( ) für kleine, Genauer: Sei u C 4, dann liefert Taylor-Entwicklung Restglieder der Form Also gilt für den Feler e i der Approximation Bemerkung 75 (Allgemeiner Fall) u (±ξ) 4 ξ [x i, x i ], ξ + [x i, x i+ ] 4 e i u Seien u C N+, wobei N = L + R, und r N Approximation der r-ten Ableitung in x i : k S i a (r) (k)u(x k ) Taylor um x i = N m=0 u (m) (x i ) m! a (r) (k)(x k x i ) m k S i }{{} =( d dx )r (x k x i) m l k (x) x=xi k S i + a (r) (k) u(n+) (ξ k ) (x k x i ) N+ (N + )! k S i für ξ k zwiscen x i und x k Da das Interpolationspolynom von x (x x i ) m für m N gleic x (x x i ) m ist, gilt ( ) r d ( r (x k x i ) m l k (x) d dx = (x x i ) k S x=xi dx) m { 0 r m = m! r = m i x=x i Also ist k S i a (r) (k)u(x k ) = u (r) (x i ) + Rest Wir benötigen zur Abscätzung des Restterms noc eine für a (r) (k) Es gilt l k (x) = j S i\{k} x x j l x k x k(x) = j j S i\{k} l k (x) x x j = l k (x) j S i\{k} x x j (x / X Si\{k}), wobei X Si\{k} := {x j j S i \{k}} Menge ebbarer Singularitäten Per Induktion folgt (r N) l (r) k (x) = l k(x) j (S i\{k}) r j n paarw versc (x x j ) (x x jr ) (x / X Si\{k}) mit ebbaren Singularitäten Martin Gubisc 0 WS 008/009

11 7 Finite Differenzen Metode 7 Interpolationsansatz Damit eralten wir auf dem kleinsten Intervall I, das alle x k aus X Si entält: a (r) (k) C m r S i mit m Si := min{ x k x j k, j S i, k j}, dem kleinsten Nacbarabstand Definiere analog den größten Nacbarabstand M Si := diam(x Si ), dann gilt für den Restterm Rest C u (N+) M N+ S i m r S i Speziell bei äquidistanter Stützstellenwal sind M Si = N und m Si =, d Rest c N+ r Die Approximation ist also von der Ordnung O((m Si ) N+ r ) Das Gleice gilt bei einer beliebigen Stützstellenwal mit M Si = αm Si für α α 0 < für 0 Beispiel 76 () Die zentrale Differenz u (x i ) u(x i+) u(x i ) at Genauigkeitsordnung O() = O(N r + ) (u C 3 ) () In Spezialfällen kann die Approximation von öerer Ordnung sein: Die kanonisce diskrete zweite Ableitung u (x i ) u(x i ) u(x i ) + u(x i+ ) at Genauigkeitsordnung O() für u C 4, aber N r + = (dafür O() für alle u C 3 ) (3) Gemiscte Ableitungen können iterativ aufgebaut werden: ( )(u(z)) = (( )(u(z))) zentr Diff ( u(z + e ) u(z e )) ( zentr Diff (u(z + e + e ) u(z + e e )) ) (u(z e + e ) u(z e e )) (4) Welce benacbarten Elemente eines Gitters zu einem Finite Differenzen Verfaren (zb Zentraldifferenz) benötigt werden, gibt der Differenzenstern an Für den Laplace-Operator = + : x x bei obiger gemiscter Ableitung: ( ) ( ) ( ) + = 4 ; Martin Gubisc WS 008/009

12 7 Finite Differenzen Metode 7 Finite Differenzen Metode für elliptisce Gleicungen 7 Finite Differenzen Metode für elliptisce Gleicungen Beispiel 77 (Diricletsce Randwertaufgabe für den Laplace-Operator) Sei Ω = (0, ) Finde u C (Ω) C 0 (Ω) mit { ( u)(x) = g(x) x Ω u(x) = γ(x) x Ω ( ) Wäle Gitter Ω = Ω Z mit = M (M N) und x ij = (i, j) ( i, j M ); sucen u ij u(x ij ) Differenzengleicung an der Stelle x ij ( i, j M ): { (u i,j u i,j + u i+,j + u i,j u i,j + u i,j+ ) = g(x i,j ) x ij Ω u(x ij ) = γ(x ij ) x ij Ω In Matrix-Vektor-Form: Nummeriere (willkürlic) die Gitterpunkte, etwa zeilenweise jede Zeile entält M Unbestimmte und es gibt M Zeilen: u k := u,k u M,k R M u := u u M R (M ) Bestimmung der Matrixstruktur: 0 C B C 0 u u u 3 u 4 u M u M = b b b 3 b 4 b M b M Dabei entält der erste Block C die Verknüpfung mit der oberen Zeile, das B die Verknüpfungen inneralb der Zeile und das zweite C die Verknüpfung mit der unteren Zeile; b entält die Auswertungen von g, γ: B = 4 C = Recte Seite: b = b = b M = g(x ) + γ(x 0 ) + γ(x 0 ) g(x ) + γ(x 0 ) g(x M, ) + γ(x M,0 ) g(x M, ) + γ(x M,0 ) + γ(x M, ) g(x ) + γ(x 0 ) g(x M, ) + γ(x M ) g(x,m ) + γ(x M ) + γ(x 0,M ) g(x,m ) + γ(x M ) g(x M,M ) + γ(x M,M ) g(x M,M ) + γ(x M,M ) + γ(x M,M ) Martin Gubisc WS 008/009

13 7 Finite Differenzen Metode 7 Finite Differenzen Metode für elliptisce Gleicungen Die Finite Differenzen Metode liefert das LGS Au = b mit A R (M ) (M ) Zur Überprüfung der eindeutigen Lösbarkeit (d A invertierbar) berecne Kern(A), d finde alle Funktionen u R (M ) mit Au = 0 Sei u eine Lösung des omogenen Problems Au = 0, d der Disktretisierung von { v = 0 auf Ω v = 0 auf Ω Sei ũ die zugeörige, auf den Rand erweiterte Lösung: { u ũ ij := ij i, j M γ(x ij ) x ij Ω Nac dem diskreten Maximumsprinzip ist ũ ij max{ũ kl x kl Ω} = 0 und zugleic A( u) = Au = 0, d ũ ij 0, also insgesamt ũ ij = 0 für alle i, j {,, M } Also ist Kern(A) = {0} und A damit invertierbar, d das Problem Au = b ist eindeutig lösbar Satz 78 (diskretes Maximumsprinzip) Sei ũ ij eine auf den Rand erweiterte Lösung von Au = 0, d von der Diskretesierung von { v = 0 auf Ω v = 0 auf Ω Dann nimmt (i, j) ũ ij sein Maximum auf dem Rand an Beweis ũ erfüllt die Mittelwerteigenscaft (ũ i,j + ũ i+,j + ũ i,j + ũ i,j+ 4ũ ij ) = 0, d wir aben ũ ij = 4 (ũ i,j + ũ i+,j + ũ i,j + ũ i,j+ ) Habe ũ ein inneres Maximum, d es gibt (i 0, j 0 ) {,, M } derart, dass ũ i0,j0 maximal, dann aben die vier Nacbarn von ũ i0,j0 den gleicen Wert, d ũ ij = ũ i0,j0 für alle i, j {0,, M} Satz 79 (Konsistenz) Definiere E(u) := Au b Dann ist das Finite Differenzen Verfaren konsistent, d für jede exakte C 4 -Lösung w von ( ) gilt lim E(v) = 0 0 (v Diskretisierung von w) Beweis Sei w eine exakte Lösung von ( ) Setze v ij := w(x ij ) und dazu ṽ ij die auf den Rand erweiterte Lösung, d ṽ ij = w(x ij ), 0 i, j M Dann ist (E(v)) ij = (Av b) ij MWE = (4v i,j v i,j v i+,j v i,j v i,j+ g(x ij )) w C 4 = ( w)(x ij ) + O( ) g(x ij ) = O( ), also E(v) C für eine -unabängige Konstante C Lemma 70 Sei Au = b mit b 0 (komponentenweise), dann ist auc u 0 Martin Gubisc 3 WS 008/009

14 7 Finite Differenzen Metode 7 Finite Differenzen Metode für elliptisce Gleicungen Beweis Setze u auf Ω zu ũ fort durc ũ ij := 0 für x ij Ω, dann ũ ij = 4 (ũ i,j + ũ i+,j + ũ i,j + ũ i,j+ ) + b ij für i, j M Sei ũ maximal in x i0,j0 Ist x i0,j0 Ω, dann ũ i0,j0 = 0; andernfalls b i0,j0 = 0 und ũ i0+,j0 = ũ i0+,j0 = = ũ M,j0 = 0 Die FDM-Matrix A ist also invers-monoton, d A existiert und c 0 : u := A c 0 Lemma 7 Seien B R n n nict-negativ (monoton) (in Zeicen: B 0), d k, l {,, n} : B kl 0, und e = (,, ) T, dann gilt B = Be für die durc induzierte Matrixnorm Beweis Klar ist Be B e = B Sei umgekert x 0 beliebig, dann n n n Bx = max i n B ij x i max B ij x i max B ij x = Be x, i n i n j= Bx also auc B = sup x Be x 0 j= j= Lemma 7 Die Inverse E von E ist Lipscitz-stetig mit einer von unabängigen Lipscitz-Konstante Beweis Es ist E (y) = A (y + b) (y R (M ) ), d für alle y, z R (M ) gilt E (y) E (z) = A (y z) A y z Wir müssen zeigen, dass A gleicmäßig in bescränkt ist Sei dazu x, y R : w(x, y) := (x( x) + y( y)), 4 dann ist w Lösung des Problems { w = in Ω w 0 auf Ω Da Polynome zweiten Grades durc den Differenzenstern exakt differenzier werden, gilt für p ij := w(x ij ), dass Ap = e + r mit r 0 Vektor der Randwerte von w mit Faktor, d Ap e Da A monoton, folgt p = A (Ae) A e und damit A (7) = A e max p ij i,j 8 Wir nennen das Verfaren dann stabil (bzgl ) ( = max(p) in (, )) Martin Gubisc 4 WS 008/009

15 7 Finite Differenzen Metode 7 Finite Differenzen Metode für elliptisce Gleicungen Satz 73 (Stabilität) Seien w C 4 (Ω) Lösung der Diricletscen Randwertaufgabe { ( w)(x) = g(x) x Ω w(x) = γ(x) x Ω ( ) und u die Lösung der diskretisierten Gleicung Dann existiert ein C > 0, so dass max w(x ij) u ij C i,j {,,M } ( = M, M ) Wir sagen, das Verfaren konvergiert mit Konvergenzordnung Beweis Sei v ij = w(x ij ) ( i, j M ), dann ist v u = E (E(u)) E (E(v)) (7) C E(u) E(v) = C E(v) (79) C Bemerkung 74 Das diskrete Maximumsprinzip bekommen wir ier nict immer: Wäle etwa Diskretisierung vierter Ordnung dann gelten weder die diskrete Mittelwerteigenscaft noc das diskrete Maximumsprinzip, Definition 75 B R n n eißt L 0 -Matrix, falls B ij 0 für alle i, j n, i j B eißt M-Matrix, falls B invers-monotone L 0 -Matrix Bemerkung 76 (Carakterisierung von M-Matrizen) Genau dann ist eine L 0 -Matrix B R n n eine M-Matrix, wenn ein Vektor p 0 (d alle Komponenten > 0) existiert mit Ap 0 Korollar 77 (Stabilitätsabscätzung) Seien B R n n eine M-Matrix und p 0, so dass Bp 0 Dann gilt: y R n : B y C y mit C := max(p i) min(bp) i Beweis Es ist Bp min(bp) i e; da B invers-monoton, folgt d B e p min(bp) j und damit p = A (Bp) B min j (Bp) j e, B = B e = max(p i) min(bp) i Martin Gubisc 5 WS 008/009

16 7 Finite Differenzen Metode 7 Finite Differenzen Metode für elliptisce Gleicungen Bemerkung 78 () Diskretisierung bei krummlinigen Gebieten: Der Differenzenstern beim nict-äquidistanten Fall liefert O(), also auc zunäcst nur O()-Konvergenz von E(v) Damit das Residium von Ordnung O( ) wird, multipliziere die Gleicungen zu randnaen Punkten mit Die resultierende Matrix A ist eine L 0 -Matrix Wäle Intervall I := [a, b] [c, d] mit Ω I und setze p ij := w(x ij ) mit w(x, y) := (x a)(b x) + (y c)(d y) Der Vektor p erfüllt dann für inreicend kleines, dass p 0 und Ap 0, d A ist sogar eine M-Matrix, also liegt doc auc ier Konvergenz von Ordnung O( ) vor () Nacteil der Feler-/Konvergenzabscätzung bei FDM: Wir benötigen eine oe Regularität der Lösung, das Verfaren ist zb nict (one Weiteres) anwendbar auf { u = in (0, ), u = 0 auf Ω da u / C ([0, ] ) (weil u = 0 auf Ω) Martin Gubisc 6 WS 008/009

17 7 Finite Differenzen Metode 73 Finite Differenzen Metode für parabolisce Gleicungen 73 Finite Differenzen Metode für parabolisce Gleicungen Beispiel 79 (Black-Scoles-Gleicung) Wir betracten den Preisverlauf einer (europäiscen) Option V (s, t) := Wert der Option zur Zeit t bei zugeörigem Produktpreis s erfüllt die partielle Differenzialgleicung t V + σ s s V + rs s V rv = 0 mit σ Scwankungsmaß für Produktkurs und r Rendite eines fest verzinsten Papiers ( Bond ) Endbedingung (zum Ablauf der Option ist der Wert bekannt): V (s, T ) = C(s) (s (0, )) Randbedingung (extreme Situationen): V (0, t) = Optionspreis bei totalem Wertverfall des Produkts; lim V (s, t) = Optionspreis bei -oem Wert des Produkts s Für spezielle C ist die Lösung analytisc bekannt (Black-Scoles-Formel), etwa bei C(s) := (s K) + ( Kaufoption ) Für allgemeine C, etwa den European capped symmetric power call ist sie nict bekannt Durc geeignete Transformation ( V (s, t) = k exp C(s) := min{l, ((s K) + ) p } (L, p > 0), ( s ) ln k ( + k) σ T t ) ( ( s ) u ln σ, T t ) ( k = sr ) 4 k σ kann gezeigt werden: Genau dann erfüllt u die Black-Scoles-Gleicung, wenn u auc die Diffusionsgleicung t u = xu mit entsprecenden Anfangs- und Randwerten bei t = 0 bzw x = ± Lösungsbereic wird R (in der ersten Variablen); der (explizit gegebene) Vorfaktor ist preis- und zeitabängig Bemerkung 70 (Diskretisierung mit Linienmetode und FDM) () Ersetze Gebiet Ω = R [0, T ] durc Ω := [ A, A] [0, T ] (für A inreicend groß) () Diskretisierung der x-ableitung mit FDM: := A M+, Gitterpunkte x i = i, i = M,, M (M N), dann x u(x i, t) = u(x i, t) u(x i, t) + u(x i+, t) + O( ) (falls u(t, ) C 4 ) Unsere Randwerte sind u( A, t) := u (t) und u(a, t) := u (t) bei x = ± und unsere Startwerte sind u(x i, 0) mit i = M,, M Wir eralten mit u(x, t) Au(t) + b(t) x u M (t) 0 u (t) u M+ (t) u(t) :=, A := u M (t), b(t) := 0 0 u M (t) u (t) Martin Gubisc 7 WS 008/009

18 7 Finite Differenzen Metode 73 Finite Differenzen Metode für parabolisce Gleicungen (wie üblic u i (t) u(x i, t)) und daraus ein lineares System gewönlicer Differenzialgleicungen: { u(x M, 0) u(t) = Au(t) + b(t) mit u := u(0) = u u(x M, 0) Zur Wal eines Lösungsverfarens (zb ein Runge-Kutta-Verfaren) benötigen wir, dass das Spektrum σ( t A) im zugeörigen Stabilitätsgebiet liegt Beacte: Bei expliziten Verfaren ist das Stabilitätsgebiet stets bescränkt! (3) Diskretisiere die Zeitvariable der ODE Das Spektrum von A sollte eine Approximation des Spektrums des zugeörigen Operators ( x + Diriclet-Randbedingungen) sein Aus der Teorie ist bekannt: ( + Diriclet-Randbedingungen) ist negativ definit und symmetrisc mit unbescränktem Spektrum Satz 7 (Gerscgorin) Sei A R n n mit zugeörigem Grap (V, E A ), d E A := {(i, j) i j, a ij 0} gerictete Kanten und V = {,, n} Knoten Bezeicne K i := {z C z a ii a ij }, i n den i-ten Gerscgorin-Kreis j i Dann gelten: () σ(a) n i= K i; () Entält (V, E A ) zu jedem Knotenpaar aus V einen gericteten Weg (d eine Folge von Kanten e (),, e (m) mit e (i) = e (i+) ), dann ist σ(a) G = n i= K i Beispiel 7 Im Fall n = 5 at der Grap die Wegeigenscaft und für die Gerscgorin-Kreise gilt ( ) ( ) Damit ist K = K 5 = B und G = G 3 = G 4 = B G = B ( ) ; da A symmetrisc, ist σ(a) R G Wegen n i= K i = ist auc σ(a) G =, d σ(a) ( 4, 0) Also ist A negativ definit (und nict nur negativ semidefinit) Beweis (des Satzes) () Sei Ax = λx mit x = Dann gibt es ein i mit x i = Betractung der i-ten Komponente: λ a ii x i = (λ a ii )x i = }{{} a ij x j j i a ij x j, }{{} i j = also λ K i G () Sei nun λ σ(a) G Wäre λ a ii < a ij, dann λ K i G, Widerspruc zu λ G j i Also gilt nac () Gleiceit: a ij x j i j = λ a ii = a ij ; i j im Fall a ij 0 muss also stets x j = ± sein für alle j Sei nun (i, k) E A, d k ein Nacbar von i, dann ist a ik 0, d x k = und damit λ K k Wiederole diese Argumentation, bis alle Knoten erreict sind, dann λ K j Martin Gubisc 8 WS 008/009

19 7 Finite Differenzen Metode 73 Finite Differenzen Metode für parabolisce Gleicungen Bemerkung 73 Für kleines ist das Spektrum möglicerweise weit auseinander gezogen (dies reflektiert die Tatsace, dass der Operator ( x + Diriclet) unbescränkt ist) Es ist also ein steifes Veralten der Differenzialgleicung zu erwarten, d explizite Standard-Verfaren unterliegen einer starke Zeitscrittbescränkung Beispiel 74 Beim expliziten Euler-Caucy-Verfaren eralten wir aus der Stabilitätsbedingung σ( ta) S, dass 4 t, d t (teuer) Es ist also eine ser kleine Scrittweite erforderlic Nutze also statt dessen ein A-stabiles, implizites Verfaren (d mit Stabilitätsbereic (, 0)) Bemerkung 75 Das Spektrum von A ist in der Tat weit auseinander gezogen, denn mit x := e (i) ist Ax, x =, x = λ Ax, x min = min x 0 x, wir eralten also einen betragsmäßig großen negativen Eigenwert, und zugleic mit x = e (i) = (,, ): Ax, x =, x = n, n λ max = max x 0 Ax, x x Bemerkung 76 (θ-verfaren für u(t) = F (t, u(t))) Betracte die Iteration u n+ = u n + t(θf (t n+, u n+ ) + ( θ)f (t n, u n )) Im Fall θ = 0 eralten wir das explizite Euler-Verfaren; bei θ = das implizite Für θ = vom Crank-Nicolson-Verfaren Ist F (t, u) = Au + b(t), dann (I tθa) u n+ = (I + ( θ) ta) u n + t(θb(t n+ ) + ( θ)b(t n )) }{{}}{{}}{{} =:B =:E =:d n sprict man Dies liefert das Problem { Bu n+ = Eu n + d n n = 0,, N u 0 = u N t = T max () Existenz der diskreten Lösung ( Durcfürbarkeit der Iteration): Ist B invertierbar? tθa ist negativ definit, d B = I tθa positiv definit Dann ist 0 / σ(a), d B invertierbar Die diskrete Lösung existiert also und es ist σ(b) [, ) (genauer: σ(b) = {} für θ = 0 und sonst σ(b) (, )) () Felerabscätzung/Konvergenzuntersucung: Sei v die exakte Lösung der Differenzialgleicung Definiere wi n := v(t n, x i ) und den Feler e := w u Differenz der exakten und der diskreten Lösung Dann erfüllt w nac Taylor die Gleicung Bw n+ = Ew n + d n + r n (r das Residuum) und r n lässt sic abscätzen durc C t( t γ + ) mit γ = { θ θ =, sofern v genügend glatt ist e erfüllt also die Iteration Be n+ = Ee n + r n ; rekursiv eingesetzt: e n+ = B Ee n + B r n = B E(B Ee n + B r n ) + B r n = n = (B E) n+ e 0 + (B E) k B r n k k= }{{} lokaler akkumulierter Diskretisierungsfeler Martin Gubisc 9 WS 008/009

20 7 Finite Differenzen Metode 73 Finite Differenzen Metode für parabolisce Gleicungen Mit w 0 i = v(0, x i) = u 0 (x i ) = u i = u 0 i können wir für den Anfangsfeler e0 setzen e 0 = 0 In p-norm p (mit zugeöriger Matrixnorm ): n e n p (B E) n e 0 p + (B E) k B r n k p ; beim Maximumsprinzip (vgl elliptiscer Fall) nutze -Norm, bei Eigenwertabscätzung die - Norm Wir benötigen eine Matrixnormabscätzung Da für symmetrisce Matrizen C gilt C = ρ(c) (ρ der Spektralradius, d betragsmäßig größte Eigenwert), ist mit α := t : σ(a) ( 4 ), 0 σ(b) [, + tθ 4 ) ( ] σ(b ) + 4αθ,, d B Beacte: also für θ 0: k=0 θe = θi + ( θ) tθa = θi + ( θ)i ( θ) (I tθa), }{{}}{{} =I =B E = θ I θ θ B B E = θ B θ I, θ d für das Spektrum von B E gilt ( σ(b E) θ + 4αθ θ, θ θ θ ] ( = 4α ] θ + 4αθ,, also auc B E, falls 4α +4αθ α( θ) θ oder (θ <, α 4θ ) In dem Fall ist auc (B E) k B E k und (B E) k B, also bzw in der Norm z, := n e n e 0 + r n k max 0 n N zn : e, e 0 + N r, e 0 +C }{{}} N t {{} ( t γ + ) =0 =T max Insgesamt ergibt sic k=0 Satz 77 Seien θ oder (0 θ < und t 4θ ) Sei weiter die exakte Lösung der Diffusionsgleicung in C 4 ([0, T max ] [ A, A]) Dann gilt für den Approximationsfeler mit γ =, falls θ =, und γ = sonst e, C( t γ + ) Bemerkung 78 Zu zeigen bleibt noc die Spektralüberlegung, d dass für symmetrisce Matrizen C gilt ρ(c) = C Wir betracten dazu allgemein Martin Gubisc 0 WS 008/009

21 7 Finite Differenzen Metode 73 Finite Differenzen Metode für parabolisce Gleicungen Lemma 79 Sei A R n n Dann gilt in der Matrixnorm zu auf R n : A = ρ(aa T ), wobei ρ den Spektralradius bezeicnet und A T die zu A transponierte Matrix Beweis AA T ist symmetrisc Nac dem Spektralsatz gibt es ortogonales U R n n (d UU T = I), so dass Damit gilt für beliebiges x R n die Abscätzung d A T AU = UΛ (Λ Diagonalmatrix zu AA T ) Ax = Ax, Ax = A T Ax, x = UΛU T x, x = ΛU T x, U T x = λi (U T x) i ρ(a T A) U T x A ort = ρ(a T A) x, Ax A = sup ρ(a x 0 x T A) Umgekert gilt natürlic für den zu λ max = ρ(a T A) geörigen Eigenvektor x: d A ρ(a T A) Ax = A T Ax, x = λ max x, x = ρ(a T A) x, Korollar 730 Sei A R n n symmetrisc Dann ist A = ρ(a) Beweis Es gilt A = ρ(a T A) = ρ(a ) = ρ(a) = ρ(a) Martin Gubisc WS 008/009

22 7 Finite Differenzen Metode 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung Bemerkung 73 (Bilanzgleicungen) Wir betracten folgendes System von Bilanzgleicungen: t u + div x ϕ [u] = q t u m + div x ϕ m [u] = q m Dabei bescreiben die u Dicten (zb Massendicten ), die ϕ sind Flussfunktionen ( Massenfluss ) und die q Massenquellen (bei q 0: Eraltungsgleicung ) Mit [u] meinen wir eine Abängigkeit vom u und eventuell Ableitungen von u Der Begriff Eraltungsgleicung wird motiviert mit dem Satz von Gauß: d Gauß u dx = ϕ[u] n ds dt Ω Ω }{{}}{{} Massenänderung nur durc Massenfluss über Ω zeitl Änderungsrate der Masse in Ω Interpretation: In einem Gebiet, wo nicts durc den Rand fließt (d ϕ[u] Ω = 0), bleibt die Gesamtmasse eralten Ist ϕ[u] n < 0, dann ϕ[u] n ds > 0, d die Masse in Ω nimmt zu; ist ϕ[u] groß, dann liegt ein Ω starker Fluss in Rictung ϕ[u] ϕ[u] vor Beispiel 73 (Diffusionsgleicung) Im Fall m =, ϕ[u] := x u, q 0 eralten wir die Diffusionsgleicung (bzw Wärmeleitungsgleicung) t u = div( u) = u Beispiel 733 (Wellengleicung) Wir betracten die lineare Wellengleicung im R n : t v = v Umwandlung auf ein System erster Ordnung liefert u v u n := n v tu n+ = t v = v = u n+ t v Definiere weiter ϕ [u] (u n+, 0,, 0) ϕ n [u] := (0,, 0, u n+ ), ϕ n+ [u] (u,, u n ) dann ist die Wellengleicung äquivalent zum System t u + div(ϕ [u]) = 0 t u n+ + div(ϕ n+ [u]) = 0 n i u i Hier: ϕ ij [u](x) = F ij (u(x)), d keine Abängigkeit von den Ableitungen von u Mit der Kettenregel eralten wir t u = 0 0 u n u =: A (u) u + + A n (u) n u Martin Gubisc WS 008/009 i=

23 7 Finite Differenzen Metode 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung Jacobi-Matrix der Spalte j: A j = F ij (u) Das System eißt yperbolisc, wenn n i= ξ ia i (u) diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten für alle ξ R n und jeden zulässigen Vektor u Bei der Wellengleicung: 0 ξ ξ n ξ i A i = ξ ξ n ξ ξ ξ n 0 symmetrisc für alle ξ, also insbesondere über R diagonalisierbar i= Beispiel 734 (Advektionsgleicung) Einfacer Fall: m =, F (u) = ϕ[u] = au, q 0, dann t u + x (au) = 0 Wegen A(u) = (a) ist die Advektionsgleicung trivialerweise reell diagonalisierbar Beispiel 735 (Burgers-Gleicung) Betracte den nict-linearen Fall ϕ[u] = F (z) = u (m =, q 0), dann gilt für t u + u x u = 0 A(u) = F (u) = (u) reell diagonalisierbar ξ (Burgers-Gleicung) Bemerkung 736 (Disktretisierung der Advektionsgleicung) Betracte das System { ut + au x = q in (0, T ] (0, ) u(0, x) = u 0 (x) für x (0, ) zusammen mit periodiscen Randbedingungen Genauer: Betracte Differenzialoperatoren auf R/Z: w : R/Z R eißt differenzierbar, wenn w (x) := lim 0 w(x + ) w(x) für alle x R/Z existiert Beacte: Das + im Differenzenquotienten bezeicnet die Addition mod Die links- und rectsseitigen Ableitungen am Rand müssen also existieren und übereinstimmen Die Lösung im Fall q 0 ist eine wandernde Welle : u(t, x) = u 0 (x at) Diskretisiere [0, ] {x 0,, x N } mit x i = i (i = 0,, N ), = N und beacte: 0 = x 0 = x N = in R/Z, d die Funktionswerte auf den Randpunkten müssen identisc sein Approximiere dann wie üblic u i (t) = u(t, x i ) und q i (t) = q(t, x i ); mit Differenzenstern [ 0 ] ergibt sic x u(t, x i ) (u(t, x i + ) u(t, x i )), speziell beim Rand x 0 = 0: x i + = = x, x i = = = x N in R/Z Dies liefert das Liniensystem { u(t) = Au(t) + q(t) mit der Matrix u(0) = u 0 0 A = a Martin Gubisc 3 WS 008/009

24 7 Finite Differenzen Metode 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung Die Eigenvektoren der Diskretisierungsmatrix sind (bei äquidistamtem Gitter) gegeben durc e (k) j = e πikxj (k, j = 0,, N ), denn setze λ k := a i sin(πk) (k = 0,, N ), dann (Ae (k) ) j = a ( e πikx j+ e πikxj ) = a ( e πik e πik( )) e (k) j = λ k e (k) j Das explizite Euler-Verfaren wird also für keine noc so kleine Scrittweite t stabil sein: Das Spektrum σ(a) i( a, a ) ir liegt stets außeralb des Stabilitätsbereics des Euler-Verfarens Der Stabilitätsbereic des klassiscen Runge-Kutta-Verfarens (RK4) umfasst für t a < c mit inreicend kleinem c dagegen das Spektrum von A c eißt die Courant-Zal und t a < c die CFL-Bedingung (nac Courant-Friedrics-Lax) Bemerkung 737 (Diskretisierung via Rückwärts-/Vorwärtsdifferenz) Wäle als Differenzenstern ( 0) (Rückwärtsdifferenz), dann A = a, dann ist das Spektrum von A σ(a) = a ( cos(πk)) + a }{{} i sin(πk) k = 0,, N, 0 d σ(a) C a 0 Im Fall a < 0 ist das Liniensystem also immer instabil! Begründung: Der Informationstransport bei der exakten Lösung fließt von rects nac links (für a < 0); bei der Diskretisierung mit Rückwärtsdifferenz aber von links nac rects: Informationstransportrictung im Verfaren passt also nict zur Bewegungsrictung der Welle Entsprecend mit (0 ) (Vorwärtsdifferenz): A = a d es gilt σ(a) C a < 0: a σ(a) = ( cos(πk)) a }{{} i sin(πk) k = 0,, N 0 Beacte also: Bei yperboliscen Gleicungen muss der Differenzenstern mit der Wellenbewegungsrictung kompatibel sein Bemerkung 738 (Allgemeine skalare D-Eraltungsgleicung), Betracte das Problem { t u + x F (u) = 0 in (0, T ] R/Z u(0, x) = u 0 (x) x R/Z Nac expliziter Diskretisierung sei das Verfaren von 3-Punkte-Form (analog für 5, 7, ) u n+ i = H(u n i, u n i, u n i+) (i = 0,, N ), (3P) wobei u n i u(t n, x i ) und t n = n t, x i = i Martin Gubisc 4 WS 008/009

25 7 Finite Differenzen Metode 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung Die exakte Lösung erfüllt die Eraltungseigenscaft 0 u(t, x) dx = const, denn wegen t (0, T ] : F (u(t, )) = F (u(t, 0)) = 0 in R/Z ist Satz 739 d dt t 0 u(t, x) dx = t 0 F (t(t, x)) dx = F (u(t, )) F (u(t, 0)) = 0 x Ein explizites 3-Punkte-Verfaren der Form (3P) abe die (diskrete) Eraltungseigenscaft, d n d für jeden Vektor u = (u 0,, u N ) gelte N i=0 Dann ist das Verfaren von der Form u n+ i N i=0 u n i = const H(u i, u i, u i+ ) = N i=0 u i = u n i t (f(un i, u n i+) f(u n i, u n i )) Dabei ist die numerisce Flussfunktion f bis auf eine Konstante eindeutig durc das Verfaren definiert Beweis Definiere G(a, b, c) := t (H(a, b, c) b), dann gilt Dann folgt für N i=0 u = (0,, 0) : G(0, 0, 0) = 0; G(u i, u i, u i+ ) Er = 0 u = (0, x, y, 0,, 0) : G(0, 0, x) + G(0, x, y) + G(x, y, 0) + G(y, 0, 0) = 0; }{{}}{{} =:f(x,y) = f(x,y) u = (0, x, y, z, 0,, 0) : G(0, 0, x) + G(0, x, y) +G(x, y, z) + G(y, z, 0) + G(z, 0, 0) = 0; }{{}}{{} =f(x,y) = f(y,z) d G(x, y, z) = f(y, z) f(x, y) und damit H(a, b, c) = b t (f(b, c) f(a, b)) Zur Eindeutigkeit: Seien f, f zwei numerisce Flussfunktionen mit u n := u := (0, x, y, z, 0,, 0), dann damit: Setze x = y = 0, dann und damit für nur x = 0: u n+ = u n t (f(y, z) f(x, y)) = un t ( f(y, z) f(x, y)); f(y, z) f(x, y) = f(y, z) f(x, y) f(0, z) = f(0, z) + f(0, 0) f(0, 0) =: f(0, z) + f(y, z) = f(y, z) + f(0, y) f(0, y) = f(y, z) + = f(y, z) + const Martin Gubisc 5 WS 008/009

26 7 Finite Differenzen Metode 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung Bemerkung 740 (Zusammenang zwiscen numeriscer und exakter Flussfunktion) Bei der prinzipiellen Felerabscätzung muss der Abstand zwiscen numeriscer und exakter Lösung (bei Stabilität) kontrolliert werden durc das Residuum, d durc den Rest, den die exakte Lösung in der diskreten Gleicung interlässt Sei also v die exakte Lösung, vi n := v(t n, x i ) Berecne das Residuum Res = vn+ i vi n ( ) + t f(vn i, vi+) n f(vi ) n Mit Taylor-Entwicklung gilt v n+ i = v(t n + t, x i ) = v(t n, x i ) + t t v(t n, x i ) + O( ) = v n i + t v n i + O( ), wobei t v n i = x F (v(t n, x)) x=xi =: x F n i und Das Residuum lässt sic also darstellen als mit x F (v n i ) = F (v n i ) xv n i Es muss also gelten ( + )f n i Beacte: es muss also gelten f(vi n, vi+) n = f(vi n, vi n ) + f(vi n, vi n ) (vi+ n vi n ) + }{{} nocmal Taylor = f n i + v n i x v n i + O( ); f(v n i, v n i ) = f n i + f n i ( ) x v n i + O( ) Res = (( + )f n i F (v n i )) x v n i + O( t + ) F (vi n ) = 0, damit das Residuum für, t 0 klein wird ( + )f(v, v) v=v n i = d dv f(v, v) v=v n i, 0 = d dv (f(v, v) F (v)) v=v n i f(v, v) = F (v) + c Beispiele 74 (konsistente numerisce Flussfunktionen) F (u) + F (v) Lax-Friedrics : f(u, v) = min F (w) w [u,v] Godunor : f(u, v) = v u λ λ := t u v falls F monoton min F (w) v u = w [v,u] { F (u) F > 0 F (v) F < 0 Murman-Roe : f(u, v) = Engquist-Oser : f(u, v) = F (u) + F (v) a(u, v) (v a) ( F (u) + F (v) v u ) F (ξ) dξ a(u, v) := { F (u) F (v) u v F (u) u v u = v Lax-Wendroff : f(u, v) = Bemerkung 74 Für das 3-Punkte-Verfaren gilt also: F (u) + F (v) λa(u, v) F (v) F (u) u n+ i = H(u n i, u n i, u n i+) (i = 0,, N ), (3P) () (3P) at die Eraltungseigenscaft H(a, b, c) = b λ(f(b, c) f(a, b)) und () (3P) ist konsistent f(u, u) = F (u) + c Martin Gubisc 6 WS 008/009

27 7 Finite Differenzen Metode 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung Bemerkung 743 Wictige Eigenscaften für die Konvergenz: () L -Stabilität: () total variation diminiscing (TVD): TV(u (n+) ) TV(u n ) max i,n un i C unabängig von t, ; TV(u) := N j=0 u j+ u j Dies sind Konsequenzen der Monotonie von H und liefert die Kompakteit der Approximationsfolge in L loc Definition 744 Das durc H definierte Verfaren eißt monoton, wenn H in jedem Argument monoton ist Beispiel 745 (Lax-Friedrics-Verfaren für differenzierbares F ) Setze wieder λ := t und betracte f(u, v) := (F (u) + F (v)) (v u) λ Dann gilt für die partiellen Ableitungen von H ( H(u, v, w) = λ f(u, v) = λ F (u) + ) 0 λf (u) ; λ ( F (v) H(u, v, w) = λ( f(v, w) f(u, v)) = λ + λ F (v) + ) = 0; λ ( F (w) 3 H(u, v, w) = λ f(v, w) = λ ) 0 λf λ Das Lax-Friedrics-Verfaren ist also monoton unter der CLF-Bedingung λ max F (u) Bemerkung 746 (L -Stabilität) Sei max u i C Wenn u n i C für alle i, dann 0 i N u n+ i = H(u n i, u n i, u n i+) Mon H(C, C, C) Er = C, also und mit u := (C,, C): NH(C, C, C) = N i=0 H(C, C, C) = N i=0 C = NC Also ist das Verfaren L -stabil Bemerkung 747 (TVD-Eigenscaft) C = H( C, C, C) Mon H(u n i, u n i, u n i+) = u n+ i Setze H(u) i := H(u i, u i, u i+ ) (i = 0,, N ), dann folgt: Ist H monoton und eraltend, so gelten H(u)i = u i und (komponentenweise) H(u) H(v), falls u v Martin Gubisc 7 WS 008/009

28 7 Finite Differenzen Metode 74 Finite Differenzen Metode für yperbolisce Gleicung Damit eralten wir H(u) i H(v) i u i v i : H(u)i H(v) i = (H(u) i H(v) i ) + + (H(v i ) H(u) i ) + = max{h(u) i, H(v) i H(u) i } + max{h(v) i, H(u) i H(v) i } Wegen u, v max{u, v} folgt mit der Monotonie, dass H(u), H(v) H(max{u, v}), d (H(u)i H(v) i ) + H(max{u, v}) i H(v) i Er = max{u, v} i v i = (u i v i ) + Analog eralten wir also insgesamt (H(v)i H(u) i ) + (v i u i ) +, H(u)i H(v) i u i v i Wäle nun speziell u := u n i und v := u n+ i, dann folgt die TVD-Eigenscaft Bemerkung 748 Allgemein folgt aus dass H(u) = u u v H(u) H(v) Integrierbarkeitsbed H(u) H(v) u v, Bemerkung 749 () Die Lösung einer nict-linearen Bilanz-/Eraltungsgleicung kann Regularität in den Anfangsdaten verlieren (zum Beispiel Sprünge nac endlicer Zeit) scwace Lösungsteorie erforderlic () Verfaren mit oer Konvergenzordnung sind kompliziert (da Lösungen ia nict glatt, d keine Taylor-Entwicklung zur Abscätzung des Residuums möglic) (3) Die Eindeutigkeit der scwacen Lösung ist nict trivial ( Entropiebedingung ) Martin Gubisc 8 WS 008/009

29 8 Finite Elemente Metode 8 Finite Elemente Metode für elliptisce Gleicungen 8 Finite Elemente Metode 8 Finite Elemente Metode für elliptisce Gleicungen Beispiel 8 (Modellproblem zur Erläuterung des metodiscen Vorgeens) Betracte das Problem { ü(x) + αu(x) = g(x) in (0, ) u(x) = 0 in {0, } Erster Scritt: Übergang zur scwacen Formulierung: (a) Multiplikation mit Testfunktion v mit v(0) = 0 = v(); (b) partielle Integration (Verteilung der Ableitungen); (c) Wal eines Funktionenraumes V, der benötigte Operationen zulässt Finde u H 0(0, ), so dass für alle v H 0(0, ) gilt a(u, v) := 0 u v + αuv dx = 0 gv dx =: b(v) Dies ist sinnvoll für alle α R, g L (0, ) und b [H 0(0, )], dem Dual von H 0(0, ) Entsceidend für die Lösbarkeit von (S) ist die Stetigkeit und Elliptizität von a, d a : V V R muss erfüllen a(u, v) C u V v V ; a(u, u) C u V Ist dann b eine stetige Linearform auf V, so zeigt der Satz von Lax-Milgram, dass genau ein u V existiert mit a(u, v) = b(v) für alle v V Hier: V = H0(0, ) mit Norm u V := 0 u + u dx (u V) Zur Stetigkeit: Seien u, v V, dann a(u, v) u v + α u v dx Caucy-Scwarz u L v L + α u L v L ( + α )( u L v L + u L v L ) Caucy-Scwarz ( + α ) u V v V Zur Elliptizität: Für u C 0 (0, ) (beacte: H 0(0, ) = C 0 (0, )V ) gilt u (x) Hauptsatz = u (0) + x u L = u(x) dx u L u L ; 0 0 u(x) u(x) dx da C 0 (0, ) dict in V, gilt die Ungleicung auc für alle u V Für α 4 (Œ α ) ist 0 u(x) u(x) dx CS u L u L (S) also insgesamt a(u, v) = u L + α u L β 0 = ( β) u L + β u L + α u L ( ) β ( β) u L α u L β = 4 5 ( α) = ( ) 5 α u V, a(u, u) min {, } α u V Martin Gubisc 9 WS 008/009

30 8 Finite Elemente Metode 8 Finite Elemente Metode für elliptisce Gleicungen Zweiter Scritt: Diskretisierung (d) Ersetze V durc einen endlic dimensionalen Teilraum V V; (e) Arbeite mit fast-ortogonaler Basis, um eine dünne Matrixbesetzung zu erreicen Mit äquidistanter Zerlegung x i = i, = N+, i =,, N und Linearen Finiten Elementen ϕ,, ϕ N, d alle ϕ j stetig, linear auf [x j, x j+ ] und 0 sonst (also in allen Gitterpunkten ϕ j (x i ) = δ ij und ϕ j ϕ i für alle i / {j, j, j + }): V = span(ϕ,, ϕ N ) Raum der Polygonzüge mit Stützstellen x 0,, x N+ Wollen zeigen: V V, d v V : v L und v L (im scwacen Sinne) Klar: alle ϕ,, ϕ N liegen in L Berecnung von ϕ i : Sei ψ C 0, dann xi ϕ i ψ = x i = (x x i )ψ(x) part Int = ψ(x i ) + ψ(x i ) + d ϕ i = (I (x i,x i)(x) I (xi,x i+)) L xi+ (x x i )ψ (x) dx + x i xi + x i x i 0 x i (x x i+)ψ (x) dx ψ(x) dx + (x x i+)ψ(x) (I (x i,x i)(x) I xi,x i+ (x))ψ(x) dx, Es gelten also ϕ H (0, ) und ϕ i (0) = 0 = ϕ i () für alle i, d ϕ i H 0(0, ) = V, also V V Dritter Scritt: Diskretes Problem x i+ x i xi+ ψ(x) dx x i (f) Finde u = (u,, u N ) R N, so dass u := N i= u iϕ i die Bedingung a(u, v ) = b(v ) für alle v V erfüllt Da v linear, ist a(u, ϕ i ) = b(ϕ i ) für alle i {,, N}, und da u linear, folgt N a(ϕ j, ϕ i ) }{{} u j = b(ϕ i ) }{{} i =,, N, =:A ij =:d i j= Wir sucen also ein u R N mit Au = d: 0 0 u u u N u N = d d d N d N Das Problem ist eindeutig lösbar, denn Kern(A) = {0}: Sei u R N, dann Au = 0 N a(ϕ j, ϕ i )u j = 0 für alle i =,, N j= a(u, ϕ i ) = 0 für i =,, N, u = u i ϕ i a(u, u ) = 0 0 = a(u, u ) ellipt c u V u V = 0 u = 0 u = 0 Beacte: Symmetrie und Definiteit von a übertragen sic auf A Martin Gubisc 30 WS 008/009

31 8 Finite Elemente Metode 8 Finite Elemente Metode für elliptisce Gleicungen Lemma 8 (Cea) Seien V ein Hilbert-Raum, V V ein abgesclossener Teilraum von V, a : V V R eine stetige, elliptisce Bilinearform mit Konstanten C, c und b V Seien u V und u V Lösungen von { a(u, v) = b(v) für alle v V a(u, v ) = b(v ) für alle v V Dann gilt u u V C c inf v V u v V Beweis Benutze die Galerkin-Ortogonalität: a(u, v ) = b(v ) = a(u, v ) a(u u, v ) = 0 Dann eralten wir c u u V ellipt a(u u, u u ) =0 nac Galerkin {}}{ = a(u u, u v ) + a(u u, v u ) C u u V u v V, also u u C c u v V für alle v V Bemerkung 83 (Konvergenz) Güte der Approximation ängt von der Struktur von V und der Regularität von u ab Mit Linearen Finiten Elementen: Nutze H0(0, ) = C 0 (0, Zu ɛ > 0 gibt es dann ein w C )H 0 u w H < ɛ Definiere w (x) := N i= w(x i)ϕ i (x), dann mit w (x) = w(x i ) + (w(x i+) w(x i ))(x x i ) für x [x i, x i ], also w(x) w (x) C und ẇ(x) ẇ (x) < C, wobei C nac Taylor von ẅ abängt Damit gilt w w V K, d für klein genug ist w w V < ɛ und nac Dreiecksungleicung also u w V < ɛ für w V beliebig Es folgt die Konvergenz der approximativen Lösung gegen die exakte: Sei klein genug, dann u u V Cea C c inf u v V C v V c u w V < C c ɛ Aber: Wir eralten keine Abscätzung für die Konvergenzgescwindigkeit Teorem 84 (Version des Satzes von Bramble-Hilbert) Seien Ω R n offen, bescränkt und zusammenängend mit Lipscitz-Rand Seien µ,, µ k bescränkte Seminormen auf H m (Ω) (m N), so dass für alle Polynome p mit deg(p) m gilt µ i (p) = 0 p = 0 Dann definiert µ eine zu H m äquivalente Norm: µ := ( k H + µ m i ( ) i= ) α ( ) L α =m =: H m Martin Gubisc 3 WS 008/009

32 8 Finite Elemente Metode 8 Finite Elemente Metode für elliptisce Gleicungen Bemerkung 85 (Konvergenzrate der numeriscen Lösung) Definiere affine Transformationen T i : H (x i, x i+ ) H (0, ) durc (T i u)(s) := u(x i + s) (s [0, ]) Dann (T i u) (m) (s) = m u (m) dy = ds (x i + s) T }{{} i u H m (0,) = m u H m (x i,x i+) =:y Für < gilt also T i u H m (0,) m u H m (x i,x i+) Definiere weiter den Interpolationsoperator I lin : H (0, ) H (0, ) durc u N i= u(x i)ϕ i Wegen H (0, ) C b (0, ) ist u u(x i ) ein stetiges Funktional auf H (0, ), d u(x i ) u C u H (0,) nac Sobolevscem Einbettungssatz Wir fordern nun für die Lösung u zusätzlic zu u H 0(0, ) die Regularität u H (0, ) (dies ist beispielsweise erfüllt, wenn g L (0, )) Seien m {0, } und δ := u I lin u, dann δ H m (0,) = Bramble-Hilbert N δ H (x i,x i+) i=0 m m D m N T i δ H m (0,) i=0 N T i δ H (0,) i=0 N T i δ µ i=0 mit µ 0 (u) := u(0) ; µ (u) := u(), d µ, sind Seminormen auf H, nac Sobolev H -bescränkt: Sobolev µ, (u) u C u H C u H und erfüllen µ(p) = 0 p = 0 für alle linearen Polynome p Dabei gilt T i δ µ = T i δ H (0,) + µ 0(δ) + µ (δ) = T i δ H (0,), da µ 0 (T i δ) = T i δ(0) = δ(x i ) + 0 = u(x i ) (I lin u)(x i ) = 0 und analog µ (T i δ) = 0 Außerdem ist ( ) T i δ H (0,) = d (T i δ)(x) dx also insgesamt und wir eralten Dies liefert Satz 86 0 dx lin Interpol = 0 ( ) d (T i u)(x) dx T i δ µ = T i u H (0,) = u H (x i,x i+), u I lin u H m (0,) D( m) N i=0 u H (x i,x i+) = D( m) u H (0,) u I lin u H m (0,) C m u H (0,) dx = T i u H (0,), Seien u H (0, ) Lösung der scwacen Formulierung (S) und u V die approximative Lösung, dann gilt u u H (0,) C u H (0,) Martin Gubisc 3 WS 008/009

33 8 Finite Elemente Metode 8 Finite Elemente Metode für elliptisce Gleicungen Beweis Kombiniere Cea-Lemma mit Interpolationsabscätzung: u u H (0,) Bemerkung 87 Cea C c Ist g sogar eine L (0, )-Funktion, dann gilt inf u v H (0,) C v V c u I }{{} linu V H (0,) u u H (0,) C u H (0,) K g L Interpol K u H (0,) Bemerkung 88 (Nitsce-Trick) Es gilt V := H0(0, ) L (0, ) =: W mit v L v H (0,) Betracte das Problem Finde u V mit a(u, v) = v, g W für alle v V, (S) wobei a : V V R V-elliptisc und stetig (und natürlic b stetig nac Caucy-Scwarzscen Ungleicung: v, g W v W g W C g W v V ) Das zu (S) geörige duale Problem ist gegegen durc wobei a (u, v) := a(v, u) Finde ϕ γ V mit a (ϕ γ, v) = v, γ W für alle v V, (S ) Außerdem formulieren wir für V V abgesclossener Teilraum von V: Finde u V mit a(u, v ) = v, g W für alle v V, (S ) Satz 89 Es gilt ϕ γ v V u u W C u u V sup inf v V γ W γ 0 Beweis u u Nac Riesz gilt u u W = sup,γ W γ W γ 0 also u u W C u u V Bemerkung 80 Im Beispiel gilt also sup inf ϕ γ v V γ 0 v V und u u, γ = a (ϕ γ, u u ) GalOrt = a (ϕ γ, u u ) a(u, v ) + a(u, v ) = a(u u, ϕ γ v ) C u u V ϕ γ v V, inf ϕ γ v V v V (86) inf ϕ γ v V ϕ γ I lin ϕ γ V C ϕ γ H (0,) C γ L, v V γ W C und wegen u u V g L folgt u u K g L Martin Gubisc 33 WS 008/009

34 8 Finite Elemente Metode 8 Finite Elemente Metode für parabolisce Gleicungen 8 Finite Elemente Metode für parabolisce Gleicungen Beispiel 8 (Wärmeleitung) Betracten ein recteckiges Gebiet Ω mit Rand Γ = Γ D Γ N, wobei auf dem unteren Rand Γ D ein Temperaturprofil θ = g (Diricletsce Randbedingung) vorgegeben sei und der Rest Γ N des Randes θ isoliert sei, d n = 0 (Neumannsce Randbedingung) Weiter sei eine Anfangsbedingung θ t=0 = θ 0 vorgegeben Die Wärmeleitung werde modelliert durc θ t = θ Unser Anfangsrandwertproblem lautet dann t θ = θ in (0, T ] Ω PDE θ = g auf Γ D Diricletsce RB θ n = 0 auf Γ N Neumannsce RB θ = θ 0 für t = 0 Anfangsbedingung Ansatz: Linienmetode mit FEM-Diskretisierung der räumlicen Operatoren wir braucen dazu die scwace Formulierung des Problems Dazu: Umwandlung in omogene Diriclet-Bedingungen auf Γ D : Sei G H (Ω) mit G Γ D = g Betracte das Problem für u θ G = d dt u,v L = Γ N v G n ds t u = u + G t G u Γ D = 0 u n Γ N = G n Γ N u t=0 = θ 0 G t=0 Multiplikation mit (zeitunab) Testfunktion v, die v Γ D = 0 erfüllt, und partielle Integration (Gauß): u t v dx = v u n ds u v dx + v G n ds + G v dx G t v dx Ω } {{ } Ω } {{ } Ω } {{ } Ω } {{ } } Ω {{ Ω } =:b(u,v) =:b(v) = Γ N v G n ds Wir sucen also eine Funktion u : [0, T ] V := {w H (Ω) w Γ D = 0}, so dass für alle v V gilt { d dt u, v L = a(u, v) + b(v) in (0, T ] u(0) = u 0 := θ 0 G t=0 (Für eine präzisere Formulierung wird die Teorie der Bocner-Räume benötigt) FEM-Diskretisierung: Ersetze V durc endlic dimensionalen Teilraum V V mit fast-ortogonaler Basis ϕ,, ϕ N Wir sucen wieder ein u = (u,, u n ), so dass u := N i= u iϕ i die Gleicung N N ϕ j, ϕ i L u j = a(ϕ j, ϕ i ) u j + b(ϕ i ) }{{}}{{}}{{} j= j= =:M ij =:A ij =:d i für alle i =,, N erfüllt Wegen der fast-ortogonalität ist die Massenmatrix M dünn besetzt; die Matrix A ei0t Steifigkeitsmatrix (Namensgebung aus der Elastizitätsteorie) Startwert: P V u 0 =: u = N j= u jϕ j Projektion auf V (zb L -Projektion oder H -Projektion) Dies ergibt die ODE { M u = Au + d u(0) = u Bleibt also noc, eine geeignete Basis (ϕ,, ϕ N ) zu wälen Trigonalisiere etwa Ω, d wäle ϕ i linear auf jedem, stetig auf Ω mit ϕ i (x j ) = δ ij für alle i, j (d ϕ i von der Gestalt a i + b i x + c i y) (ϕ i ) bildet dann eine Basis von V Bei Recteckpartionierung: Wäle ϕ i bilinear auf jedem Recteck (d von der Form a i +b i x+c i y+d i xy), also ϕ i linear auf den Kanten, ϕ i stetig auf Ω und wiederum ϕ i (x i ) = δ ij In 3D: Nutze Tetraeder mit Ansatzfunktionen ϕ i = a i + b i x + c i y + d i z (vier Freieitsgrade) Konstruktion von G H (Ω) mit G Γ D = g: Wäle zum Beispiel G := g(x k )ϕ k ; da alle ϕ k H, auc G H und G Γ D g (mit großem Gradienten bei feinem Gitter) Martin Gubisc 34 WS 008/009