Aufgaben zu Mathematik 2

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1 Aufgaben zu Stuiengang Sensorik Hochschule Karlsruhe Literatur/Theorie: Thomas Westermann: für Ingenieure Ein anwenungsorientiertes Lehrbuch Springer-Verlag, 6. Auflage Stan 4.. /3

2 Aufgaben zu Kompleen Zahlen en in Maple Aufgabe Berechnen Sie: a) ( 3+ 4 I ) ( I ) b) ( 3+ 4 I )( I ) c) ( I ) ( 3 4 I ) I 3 I ) e) f) + I I + I Aufgabe Berechnen Sie für ie kompleen Zahlen c ( cos( 45 ) + I sin( 45 )) c 6( cos( ) + I sin( )) 3 e a) c c b) c c 3 c) c c 3 ) c / c e) c / c 3 c 3 I π 6. Aufgabe 3 Schreiben Sie in Eponentialform: a) c I b) c I c) c 3 3 I Aufgabe 4 Berechnen Sie 3 4 a) c b) c c) c Aufgabe 5 a) Bestimmen Sie alle 4.ten Wurzeln von c 3 I. b) Berechnen Sie I. c) Wie lauten ie 6 Einheitswurzeln in algebraischer un eponentieller Normalform? Aufgabe 6 a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von z 6 z + 5. b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von z 4 z + 5. *c) Bestimmen Sie alle Nullstellen von z 4 z 3 z + 6 z /3

3 Aufgabe 7 (Maple) Bestimmen Sie en Maple-Befehl fsolve mit er Option comple alle kompleen en von z 6 z 5 8 z z 3 z 3 z Maple Aufgabe 8 (Maple) Benutzen Sie ie Maple-Befehle evalc, conjugate, Re, Im um für a I, b I +, c 6 I ie folgenen kompleen Ausrücke zu berechnen: a) b ab b + 5 b) c) ab * + a * c b ) b c a e) (( a + b ) ( a c) ) f) * ab * c + a * b c * (z* bezeichnet ie konjugiert-komplee Zahl von z) Maple Aufgabe 9 a) Wie lautet er Funamentalsatz er Algebra? Wie sein Zusatz? b) Geben Sie ein Beispiel zum FS an. c) Geben Sie ein Beispiel zum Zusatz an. ) Geben Sie ein Beispiel an bei em er Zusatz nicht anwenbar ist. g) R ( ab * c ) h) I (( a b) ) **Aufgabe (Maple) Geben Sie mit Maple ie ersten Glieer un en Betrag er kompleen Zahlenfolge z, z z + n + n c für en Parameter c I an. Wählen Sie für en Parameter c I, c.5 +. I, c. +. I. Was beobachten Sie? Maple 3/3

4 Aufgaben zur Anwenung kompleer Zahlen en in Maple Aufgabe a) Man berechne en kompleen un reellen Scheinwierstan er in Figur a skizzierten Reihenschaltung ( ω 6 /s). b) Man berechne en kompleen un reellen Scheinwierstan er in Figur b skizzierten Parallelschaltung ( ω 5 /s). Aufgabe a) Berechnen Sie en kompleen Scheinwierstan er in Figur a argestellten Schaltung als Funktion von ω. b) Berechnen Sie en kompleen Scheinwierstan er in Figur b argestellten Schaltung bei einer Kreisfrequenz ω 3 /s mit Maple. Aufgabe 3 Gegeben sin ie beien Wechselspannungen u ( t ) un u ( t ). Man bestimme ie urch Superposition entstehene resultierene Wechselspannung u ( t ) + u ( t ) bei ω 34 /s. u ( t ) V sin( ω t ) un u ( t ) 5 π V cos ω t 4 Aufgabe 4 Die mechanische Schwingungen y ( t ) π cm sin π t + un y ( ) t 5 cm cos π t + weren ungestört zur Überlagerung gebracht. Wie lautet ie resultierene Schwingung? (Man rechne in er Kosinusarstellung!) π 6 4/3

5 Aufgaben zu Integralrechnung en in Maple Aufgabe Bestimmen Sie sämtliche Stammfunktionen von a) f( ) b) f() t 3 sin( t) 4 cos( t) c) f( t ) e t ) f( ) + 3 t 6 e) f( u ) 3 sin( u) u f) f( ) 3 e cos( ) u Aufgabe Zeigen Sie ie Gültigkeit er folgenen Gleichungen: a) e ( ) ( ) e ( ) + C b) cos( ) e sin( ) e sin( ) + C c) sin 3 cos( 3 ) sin( 3 ) + C 6 Aufgabe 3 Lösen Sie ie folgenen Integrale unter Verwenung einer geeigneten Substitution: a) b) + 3 ( 5 + ) c) 3 t t π / 3 ) cos ( arctan( z ) )sin( ) e) z z f) + 6 g) h) i) ln( ) sin( ) j) π t t π k) sin + t 3 t 4 t 5 + *l) - m) n) e ( 3 ) tan ( z + 5) cos ( z + 5) z 5 5/3

6 Aufgabe 4 Lösen Sie ie Integrale mit er vorgegebenen Substitution: r a) ( 4 cos( y) ) b) 6 ( r sin( y ) ) r c) ( sinh( y ) ) *) + ( cosh( y ) ) *Aufgabe 5 a) Man bestimme as Integral + mit er Substitution y + b) Man bestimme as Integral mit er Substitution sin( u) Aufgabe 6 Berechnen Sie folgene Integrale urch partielle Integration: a) b) c) cos( ) e ( ) ln( t) t ) e) f) ln( ) cos( ) ( ω t) t g) sin( 3 ) h) arctan( ) Aufgabe 7 Lösen Sie folgene Integrale urch Partialbruchzerlegung 4 a) a b) c) 3 z z z 4 z + ) ( 3 ) e) f) ( + )( 3) ( + )( ) 6/3

7 Aufgabe 8 (Maple) Lösen Sie ie folgenen Integrale mit Maple (int-, Int-Befehl): ln( ) a) b) c) cot( ) cosh( ) ) e) sin( ) e cos( ) 3 4 f) ( )( + ) + 3 [ ln( ) ] g) h) 3 i) arctan( ) Maple 7/3

8 Aufgaben zur Anwenung er Integralrechnung (mit Maple) en in Maple Aufgabe (plot-, solve-, int-befehl) Berechnen Sie en Flächeninhalt zwischen er Parabel g ( ) 3. f ( ) un er Geraen Aufgabe (int-befehl) Berechnen Sie ie urchschnittliche Leistung P Wechselstromes für p( t) u i sin( ω t ) sin ( ω t + φ ). T p( t) t eines sinusförmigen T Aufgabe 3 (int-befehl) Für einen Wechselstrom I () t mit Perioe T sin rei Mittelwerte efiniert: I eff T I I T T I( t ) t (Effektivwert) T I( t) t (linearer Mittelwert) T Berechnen Sie iese rei Mittelwerte a) für I( t ) I sin ( π t ). T b) für einen Sägezahnstrom. T I( t) t (Gleichrichtwert). Aufgabe 4 (proc-, iff-, print-befehl) Erstellen Sie eine Maple-Prozeur zur Berechnung er Krümmung einer Funktion yf() un bestimmen Sie ie Bogenlänge un ie Krümmung er Kurve: a) für y 3 zwischen un 5. b) für y a cosh a zwischen un b. Aufgabe 5 (proc-, iff-, int-, print-befehl) Berechnen Sie ie Schwerpunktskoorinaten er Fläche zwischen em Graphen f( ) h un h g( ) a für aus [, a]. 8/3

9 Aufgaben zu Zahlen- un Potenzreihen Aufgabe Untersuchen Sie ie folgenen Zahlenreihen auf Konvergenz a) n e ( n) b) n c) n! n n n n e) (-) ( n + ) n n n f) (-) ( n + ) g) n + n n n 5 ( ) n ( n ) 3 ( n )! ) ( n) n h) n n n Aufgabe Untersuchen Sie ie folgenen Zahlenreihen auf Konvergenz sin( n) a) b) n n n n c) (-) n n n + n Aufgabe 3 Berechnen Sie en Konvergenzraius von a) n n n b) n n n + n n n ( n + ) e) n n f) n + n un iskutieren Sie en Konvergenzbereich K. c) n n n g) ( n + ) n n! n ) (-) n n n n h) n n /n n Aufgabe 4 a) Bestimmen Sie en Konvergenzraius un en Konvergenzbereich er Potenzreihe n n e ( n ) n. b) Bestimmen Sie en Konvergenzbereich er Potenzreihe n n e ( n ) n ( ). Aufgabe 5 Für welche konvergiert ie Reihe i i 3 i + i? 9/3

10 Aufgaben zu Taylor-Reihen en in Maple Aufgabe Berechnen Sie ie Taylor-Reihe un iskutieren Sie en Konvergenzbereich K von a) f( ) am Entwicklungspunkt b) f( ) ( + ) am Entwicklungspunkt Aufgabe Berechnen Sie ie Taylor-Reihe von f() urch Zurückspielen auf ie geometrische Reihe: a) f( ) am Entwicklungspunkt. b) f( ) am Entwicklungspunkt. c) f( ) ln( + ) am Entwicklungspunkt. Aufgabe 3 Bestimmen Sie ie Taylor-Reihe von artanh( ) am Entwicklungspunkt. (Hinweis: Beachten Sie, ass artanh( ) un artanh()). Aufgabe 4 Entwickeln Sie für ie Funktion f( ) cos( ) am Entwicklungspunkt π 3 in eine Taylor-Reihe. Aufgabe 5 Berechnen Sie ie Taylor-Reihe von f( ) am Entwicklungspunkt un iskutieren Sie en Konvergenzbereich. (Bemerkung: Für liegt Konvergenz vor!) Aufgabe 6 Man entwickle ie Funktion am Entwicklungspunkt f( ), <, in eine Taylor-Reihe un gebe en zugehörigen Konvergenzbereich an. /3

11 Aufgabe 7 Bestimmen Sie ie Taylor-Reihe er Funktion f( ) en Konvergenzbereich er Reihe an. + an er Stelle un geben Sie /3

12 Aufgaben zur Anwenung von Taylor-Reihen en in Maple Aufgabe Die Funktion f( ) e ( ) soll in er Umgebung es Nullpunktes urch ein Polynom bis maimal 3. Graes angenähert weren. Man bestimme mit er Taylorschen Reihenentwicklung iese Funktion. Aufgabe Man berechne en Funktionswert von f ( ) an er Stelle.5 auf sechs Dezimalstellen genau, wenn als Auswertepolynom ein Taylor-Reihenansatz mit em Entwicklungspunkt gewählt wir. Aufgabe 3 Lösen Sie as unbestimmte Integral F( ) t, inem Sie en Integranen zunächst in + t eine Taylor-Reihe am Entwicklungspunk entwickeln un Sie anschließen en Term glieweise integrieren. Aufgabe 4 (Maple) Fällt ein Körper er Masse m in eine Flüssigkeit, so ist er zur Zeit t zurückgelegte Weg: s( t ) m k ln cosh kg m t t. Dabei ist g ie Erbeschleunigung un k er Reibungsfaktor. a) Man bestimme ie Geschwinigkeit v( t ) un ie Beschleunigung a( t). b) Man entwickle mit Maple en Ausruck für kleine k. Aufgabe 5 (Maple) Wie groß ist er maimale Fehler im Intervall, 3, wenn man ie Funktion sin( ) f( ) um en Punkt bis zur Ornung entwickelt? Zur Beantwortung er Aufgabe zeichne man beie Funktionen. /3

13 Aufgaben zu Funktionen in mehreren Variablen en in Maple Aufgabe Berechnen Sie für ie folgenen Funktionen alle partiellen Ableitungen erster Ornung: a) f ( y, ) 3 + y y ( ) b) f ( at, ) 3 a+ y ln( t ) c) f ( uv, ) ) f ( yz,, ) arsinh ( + z ) e) f (,, 3 ) f) f ( a, b ) ( a+ b ) (-) + y e ( ab) u+ w u+ v Aufgabe Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen. un. Ornung für ie folgenen Funktionen: a) f ( y, ) y y b) f (, y) cos( 3 y ) c) f ( y, ) ( 3 5 y) 4 y ) f ( y, ) e) f ( y, ) 3 e ( y) + y f) f (, y ) y Aufgabe 3 Gegeben ist ie Funktion f ( y, ) sin ( + y ). Man bestätige en Satz von Schwarz, ass f y f y, inem man iese gemischten Ableitungen eplizit berechnet. Aufgabe 4 Berechnen Sie ie partielle Ableitungen. Ornung für ie Funktion f (,, 3 ) ln ( + 3 ) 3/3

14 *Aufgabe 5 Wir betrachten ifferenzierbare Funktionen f, f : R R un g : R R un bilen ie Verkettung h (, ) g ( f ( ), f ( )). Berechnen Sie h un ie ersten partiellen Ableitungen von h in folgenen Fällen: a) f ( ) a + a ; f ( ) b + b un g ( u, u ) c + c u + c u. b) f ( ) sin( ) ; f ( ) cos( ) un g ( u, u ) u + u u. Aufgabe 6 Linearisieren Sie ie Funktion im Punkte a,, π. f ( yz,, ) y cos( z ) + ln ( + ) y Aufgabe 7 Bestimmen Sie ie Taylor-Reihe er Funktion f an er Stelle (, y ) bis zur Ornung in en folgenen Fällen: y a) f ( y, ) + y ; (, y )(, ). b) f ( y, ) e ( + y ) ; (, y )(, ). Aufgabe 8 Berechnen Sie as totale Differenzial von a) f ( y, ) sin ( + y) b) f ( y, ) y y c) f (, y) y cos ( y ) ) f ( yz,, ) z yz Aufgabe 9 Für en Durchmesser eines geraen Kreiszyliners hat man 6,+/-,3 m gemessen, für ie Höhe 4,+/-, m. Wie groß ist er größte absolute un relative Fehler im Volumen es Zyliners? Wie groß ist er mittlere Fehler? 4/3

15 Aufgabe Bestimmen Sie für ie folgenen Funktionen zunächst ie kritischen Stellen un entscheien Sie anach, ob (un wenn ja welche) es sich um lokale Etrema hanelt: a) f ( y, ) 3 y + 3 y 8 y b) f ( y, ) ( y) 3 + y c) f ( y, ) + cos y Aufgabe Welcher Punkt er Fläche z + ( y ) hat en kleinsten Abstan vom Punkt (,-,)? Hinweis: Der Abstan ist gegeben urch ( ) + ( y+ ) + + ( y) Aufgabe Zeigen Sie, ass ie Funktion er Laplace-Gleichung + + a f ( yz,, ) + y + z f f yy f zz ist. Aufgabe 3 Zeigen Sie, ass ie Funktion ie partielle Differenzialgleichung + f ( y, ) f f yy erfüllt. ln ( + y ) Aufgabe 4 Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangentialebene an ie Fläche z (3 + y) im Punkt P(/ ). 5/3

16 Aufgabe 5 Berechnen Sie en Graienten un ie Richtungsableitung in Richtung a) f ( y, ) ( 3 + y) ; mit a 4. ln ( + ) 3 b) f ( yz,, ) y cos( z ) + ; mit y a -. a für ie Funktion: Aufgabe 6 In einer elektrischen Anornung lässt sich ie Potentialverteilung in er Form Φ ( y, ) angeben. Φ + y 4 3 Φ 4 3 ( + y ) 3 a) Man bestimme alle partiellen Ableitungen er Funktion bis zur Ornung. b) Man berechne as elektrische Fel E (, y) gra Φ (, y ). c) Man berechne ie Ableitung es Potentials in Richtung n. ) Man berechne ie Laungsverteilung ρ (, y ) urch ρ (, y) ε iv E, wenn iv E δ E (, y) + δ y E (, y ). 6/3

17 Aufgaben zur Anwenung von Funktionen in mehreren Variablen mit Maple en in Maple Aufgabe (iff-befehl) Bestimmen Sie mit Maple as totale Differenzial er Funktionen a) z ( y, ) 4 3 y 3 e y + y b) z ( y, ) y ) f (, y, z) ln + y + z. Aufgabe (D-, mtaylor-befehl) Lösen Sie Aufgabe 6 un 7 aus en Aufgaben zu Funktionen mit mehreren Variablen mit Maple. Aufgabe 3 (etrema-befehl) Bestimmen Sie mit Maple ie relativen Etrema er Funktionen a) f ( y, ) 3 y 3 y 3 b) f ( y, ) + y + y c) f ( y, ) + y y+ y ) f ( y, ) e ( + y ) 4 y. Aufgabe 4 (Prozeur Regressionsgrae) Bestimmen Sie mit Maple zu en folgenen Messreihen jeweils ie Ausgleichsgerae: a) y b) y Aufgabe 5 (Prozeur Regressionsgrae) a) Bestimmen Sie ie Eponentialfunktion vom Typ y ae ( ), ie sich an ie 4 Messwerte geeignet anpasst. i 3 y i b) Wie lautet ie Potenzfunktion vom Typ y c n, ie sich an en folgenen Messpunkten anpasst? i y i /3

18 Aufgaben zum Einlesen un zur Interpretation von Messaten mit Maple Aufgabe (reaata-, plot-befehl) Kopieren Sie ie Dateien aten.tt, aten.tt, aten3.tt in as Verzeichnis e:/temp/. en in Maple a) Lesen Sie ie Daten aus er Datei aten.tt un mit em reaata-befehl ein un speichern Sie gleichzeitig ie Daten in er Maple-Variablen aten ab: > aten:reaata(`e:\\temp\\aten.tt`,): Bestimmen Sie ie Anzahl er Messaten mit: > nops(aten); Stellen Sie ie Messaten graphisch ar mit: > plot(aten); b) Verfahren Sie unter (a) mit en Messaten aus en Dateien aten.tt un aten3.tt. Verwenen Sie ie Maple-Befehle logplot un loglogplot (logarithmische Skalierung er y-achse bzw. oppellogarithmische Skalierung), um en funktionalen Zusammenhang zu erkennen. Um welche Funktionstypen hanelt es sich bei iesen Datensätzen? Aufgabe (Prozeur Regressionsgerae) Suchen Sie auf er CD-ROM ie Prozeur Regressionsgerae, lassen Sie iese Prozeur einmal ablaufen un speichern Sie as somit übersetzte Programm in ie Datei e:/temp/regr.m > save Regressionsgerae, `e:\\temp\\regr.m`: ab. Mit > rea `e:\\temp\\regr.m` kann as übersetzte Programm nun von einem beliebigen Worksheet aus eingelesen weren. Aufgabe 3 (Prozeur Regressionsgerae) Bestimmen Sie mit er Prozeur Regressionsgerae() ie Ausgleichsgerae für ie Messaten aus er Datei aten.tt. > restart: > aten:reaata(`e:\\temp\\aten.tt`,): > rea `e:\\temp\\regr.m` > Regressionsgerae(aten); 8/3

19 Aufgabe 4 (Prozeur Regressionsgerae) Bestimmen Sie mit er Prozeur Regressionsgerae() ie Ausgleichsgerae für ie angepassten Messaten aus en Dateien aten.tt un aten3.tt. Beachten Sie, ass aten[i] aus en Paaren [[i], y[i]] besteht, as heißt aten[i][] i un aten[i][] y i! Sie erhalten also ie angepassten Messaten z.b. über > for i from to nops(aten) > o > aten_neu : [aten[i][], ln(aten[i][])]: > o: Vor em Aufruf er Prozeur konvertieren Sie en manipulierten Datensatz mit convert > aten_neu:convert(aten_neu,'list'): wieer in eine Liste. Wie heißen ie Funktionen zu en Datensätzen? Aufgabe 5 (writeata-befehl) Erzeugen Sie selbst einen Messatensatz, en Sie mit > writeata(`e:\\tem\\file.tt`,...): in eine Tetatei schreiben. Ihr Nachbar soll iese Daten auf en funktionalen Zusammenhang analysieren. 9/3

20 Aufgaben zur Laplace-Transformation en in Maple Aufgabe Berechnen Sie ie Laplace-Transformierte von a) 3 e ( b) t c) 4 cos( 5 t ) ) S ( t t ) t ( α ( t t )) e) e f) cosh( α t) Aufgabe Bestimmen Sie unter Verwenung einer Tabelle / Maple ie Laplace-Transformierten von a) sin( π t) b) 5 t 4 + e ( 4 t ) c) 5 sin( t) 3 cos( t) Aufgabe 3 Geben Sie ie Zeitfunktionen an, ie zu en folgenen Laplace-Transformierten gehören: 5 4 s 3 s 5 a) b) c) s + s + 4 s Aufgabe 4 Berechnen Sie ie inverse Laplace-Transformation, inem Sie ie Bilfunktionen in Partialbrüche zerlegen a) s 4 ( s )( s + )( s 3 ) b) 3 s + ( s )( s + ) Aufgabe 5 Zeigen Sie ie Formel für ie Laplace-Transformierte er zweiten Ableitung L( f ") s L( f ) s f () f '(). Aufgabe 6 a) Zeigen Sie, ass ie Laplace-Transformation linear ist,.h. L( c f ( t) + c f ( t ) ) c L( f ( t ) ) + c L( f ( t ) ). b) Zeigen Sie, ass ie inverse Laplace-Transformation linear ist,.h. (-) L ( c F ( s) + c F ( s ) ) c f ( t) + c f ( t ). /3

21 Aufgaben zur Anwenung er Laplace-Transformation Aufgabe Lösen Sie ie folgenen Differenzialgleichungen erster Ornung a) y ' () t α y() t, y ( ) y. b) y ' ( t ) y( t ) + e ( ), y ( ). Aufgabe Gegeben ist ein Konensator mit Kapazität C, er mit einem Ohmschen Wierstan in Reihe liegt. Zum Zeitpunkt t wir eine Wechselspannungsquelle mit U B ( t ) si n( ω t ) angeschlossen. Wie verhält sich ie Laung q() t am Konensator als Funktion er Zeit? Aufgabe 3 Lösen Sie ie Differenzialgleichung y " () t + y ' ( t) 4 mit y ( ) un y ' ( ). Aufgabe 4 Lösen Sie ie Differenzialgleichung y " () t 3 y ' ( t ) + y( t ) e ( ) mit y ( ) un y ' ( ) -. Aufgabe 5 Lösen Sie ie Differenzialgleichung y " ( t ) + ω y( t ) mit y ( ) y un y ' ( ) v. Aufgabe 6 Gegeben ist ein Feer-Masse-System, welches reibungsfrei schwingen kann. (Feerkonstante D, Masse m ). Zeigen Sie, ass ieses System urch ie DG aus Aufgabe 5 beschrieben weren kann. /3

22 Aufgaben zu Integration von Funktionen mit mehreren Variablen Aufgabe Berechnen Sie folgene Doppelintegrale 3 a) y b) y 5 y y y l y Aufgabe Zeigen Sie, ass er Wert er beien Gebietsintegrale gleich ist I Um welches Gebiet hanelt es sich? Aufgabe 3 y y I y 4 y yy Das Gebiet G sei efiniert urch untenstehene Skizze Bestimmen Sie a) en Flächeninhalt A, b) en Flächenschwerpunkt ( s, y s ), c) ie Flächenträgheitsmomente I un I y. Aufgabe 4 Bestimmen Sie folgene Dreifachintegrale a) y z b) yz y z z z yz- y + y l z-l z z + z y-z /3

23 Aufgabe 5 Gegeben ist er unten gezeichnete Rotationskörper, er urch Rotation von an er y-achse entsteht. Bestimmen Sie a) as Volumen V b) en Schwerpunkt ( s, y s, z s ) c) as Trägheitsmoment I z. Hinweis: Verwenen Sie Zylinerkoorinaten! Aufgabe 6 Aufgabe 7 *Aufgabe 8 Das Gebiet G sei efiniert urch ie nebenstehene Skizze. a) Beschreiben Sie as Gebiet (Streifen parallel zur -Achse). b) Bestimmen Sie ie Gesamtfläche. c) Berechnen Sie as Flächenträgheitsmoment J. 3 J y y y. Um welches Gebiet hanelt es sich? Das Gebiet G sei efiniert urch ie nebenstehene Skizze. a) Beschreiben Sie as Gebiet urch eine Gebietszerlegung in Streifen parallel zur y-achse. b) Bestimmen Sie ie Gesamtfläche A. c) Berechnen Sie ie Koorinaten es Schwerpunktes /3 /3 y y y y s un A y s A y Gegeben ist as nebenstehene T-Profil einer Alu-Schiene. Bestimmen Sie a) ie Fläche A es Profils, b) ie Koorinaten es Schwerpunktes ( s, y s ), c) ie Flächenträgheitsmomente I un I y, ) ie Flächenträgheitsmomente I un I y,bgl. es Schwerpunktes, e) ie Flächenträgheitsmomente I un I y,bgl. es Schwerpunktes unter Verwenung es Steinerschen Satzes.