Lösung Abiturprüfung 1992 Leistungskurs (Baden-Württemberg)

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Christoph Hartmann
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1 Lösung Abiturprüfung 199 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Analysis I.1. a) f x= x= f = K geht durch denursprung U / f ' x= x x x 1 f ' ' x= x x 1 4 f ' x= x x = x 1 = ; x = f ' ' ' x= 6x x 1 5 f ' ' = kein Extrempunkt ; f ' ' = Tiefpunkt T /,5 f ' ' x= x= ; f ' ' ' = Wendepunkt Sattelpunkt W / Polynomdivision x :x 1= x x1 1 x 1 f x= x x1 1 x 1 1 x 1 = x x 1 x x 1 1 x 1 1 x 1 Polynomdivision x :x = x 1 1 x f x= x 1 x x x 1 1 x 1 f x= x x 1 x 1 = x 1 x 1 1 x 1 x ist die Steigung Polynomdiv. x:x = 1 1 x lim x 1 x 1 1 = x 1 schiefe Asymptote : y = x ; senkrechte Asymptote : x =1 b) f x= x 1 x 1 1 x 1 F x= x 6 x 1 ln x 1 x

2 v f x x dx= x F x 6 v v ẋ 1 = ln x 1 x = ln v 1 1 v 1 Av = lnv 1 1 v 1 F E lim lnv 1 1 v 1 v = Ja,es ist möglich v so zu wählen,dass Avgrößer 1 6 wird c) Tangente : t x= a a a 1 x a a a 1 t = a a a 1 a a a 1 = = a4 a a 1 a a 1 a 1 / a 1 ; zusammenfassen a a 1 Führt zu keiner Lösung von a. Es ist unmöglich vom Punkt S eine Tangente an K zu legen. d) h x= x x x 1 x 1 x 1 x hist die Ableitung von H,denn hxdx=h x hx= h x= hx= x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x1 x x x1 x 4 x x 1 x x1 4x x 6 x 4 x 1 / HN ; Binome ausrechnen / ausmultilplizieren, zusammenfassen ux=x 6 x 4 x 1= wenn der Nenner von h nie negativ wird,wird auch h nie negativ u' x=6x 5 4x x=x 6x 4 4x u' ' x=x 4 1x x6x 4 4x = x 1 =, f ' ' = also Maximum 6x 4 4x = / subst. a= x 6a 4a = a a = a 1, = 1 ± 4 9 a 1=1 a = 1 f ' ' 1= f ' ' 1=16 alsotiefpunkte. rücksubst x = 1 ; x =1 x =1 x = 1 Es handelt sich um absolute Minima bei T 1 1/,T 1/. Somit wird h positiv und null aber nie negativ h der Steigung von H für alle x H ist monoton steigend

3 x 6 x 4 x 1 subst : x =b b b b1 Polynomdiv. b b b1:b 1=b 1 für strenge Monotonie gilt : b 1 b 1 x 1 x 4 1 x 1 x 4 1 rücksubst. für 1x1 für 1x1 für 1 x1 Das Produkt zweier negativer Faktoren wird positiv : x 1 x 4 1 für 1 x1 Somit ist H i m Intervall : 1x1 sogar streng monoton steigend. Lösung Abiturprüfung 199 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Analysis I.. a) f x= x e,5 x = x e,5 x = f x f x= e,5x x = ; x= K ist punktsymmetrisch zum Ursprung K geht durch denursprung U / f ' x= e,5 x x x 4 f ' ' x= e,5 x x 5 7x 6x f ' x= e,5 x x x 4 = e,5 x ; x 1 = ; x = x = ; x = f ' ' = kein Extrempunkt ; f ' ' also Hochpunkt Hochpunkt : H / 7 e ; Tiefpunkt : T / 7 e waagerechte Asymtote : y= b) t x= e,5 b b b 4 x bb e,5 b t = e,5 b b b 5 b = ausklammern! / e,5 b b b = b 1 = ; b = ; b = Berührpunkte sind : B 1 / ; B / e ; B / e

4 y x=m x ; y= m = e Berührpunkte : unabhängig von m: B 1 / abhängig von m : B / m ; B / m c) a x = x e,5 x / 1 x ln a=,5 x positive Lsg.erforderlich, da x s x s = lna a ; a 1 da x s für lna wird x s ; a1 Für a 1 schneidet K die Kurve y=ax i n einem Punkt S x s / y s mit x s lim lna x s Für x s strebt a gegen 1 d) F x= x e,5 x be,5 x b ' = e,5 x x bb' x bb'= x b= x F x= x e,5 x c f x dx= [ x e,5 x ] c = c e,5 x A c= e,5 x c F E lim A c= F E c

5 Lösung Abiturprüfung 199 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Analysis I. a) f t x = ln x t=ln x t= f t x K t ist achsensymmetrisch zur y Achse f t x= x =1 t x 1 = 1 t ; x =1 t Nullstellen existieren für t 1 : N 1 1 t / ; N 1 t / f t ' x= x x t ; f t ' ' x= x t ; f x t t ' ' ' x= 4x5 tx 1t x x t 4 f t ' x= x x t = x= f t ' ' = Tiefpunkt T /ln t t f t ' ' x= x =t x 1 = t ; x 1 =t f t ' ' ' t Wendepunkt Wendepunkte W 1 t / lnt ; W t / ln t f t t = f t t=ln t Für t= 1 liegendie Wendepunkte auf der x Achse. Für t 1 liegen diewendepunkte unterhalb der x Achse b) Höhe h=ln t, Radius r=t Volumen Kegel V K = 1 r h = 1 t ln t Extremum bei t= 1 e Für t = 1 e wird der Rauminhalt des Kegels am größten c) y=ln x 4 ln = ln x 4 Umkehrfunktion bilden! e y = x 4 ln 1 x =e y 4, eine Lsg. genügt x= e y 4 x y y 1 = e x 4 e x 4 dx= [e x 4x ] ln 1 = 44ln 1 = 4 1ln 1 VE Der Rotationskörper um die y Achse bildet ein Volumen von rund,6 VE

6 d x 4 4x x 4 x1 x 4x4 x 4 x x1 x x für x 1,5 wird x für x 1,5 wird x für x = wird x = x= i n I x : = Untere Schranke A= x= i n II x= : = Obere Schranke A= Lösung Abiturprüfung 199 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Geometrie II.1. a) = n = E 1 4 ; n E 1 1 cos= 7 7 = =cos 1 7 = 74,979o 6 7 Die Ebenen E 1 und E bilden einenwinkel vonetwa =75 E 1 E : 1x y 9= ; y=r x= 1 5 r9 z=1 5 r9 Schnittgerade :s :x= 9 9 r, 1,4 M a a /a/ ; M //, M 1 1// Gerade der Mittelpunkte : j : x= q 1 DieGerade der Mittelpunkte,also alle M a,liegenauf der xy Ebene: g E = Zudembesitzten alle K a den gleichen Radius r=9 Alle Kugeln K a haben somit den gleichenschnittkreis mit der xy Ebene. d = x = a=9 ; a=4,5 ; Für a=4,5berührt K die xz Ebene 1 Für 4,5a4,5 hat K a mit der xz Ebenemehr als zwei Punkte gemeinsam

7 b) QM =a a 14 Minimumbei a=5mit d =1 L E Die Kugel K 5 liegt dem Punkt Q am nächsten. Der Mindestabstand voneinem Punkt zu dieser Kugel beträgt 1 L E 9 L E L E a 6 =9 a=45 ; Der Abstand der Mittelpunkte M a1 und M a ist 45 angenommen a 1 = :M // ; M a /a / M a1 M a =a a = 45 a =6 Beziehung zwischen a 1 und a : a 1 a =6 c) U t / 55t/ 1t ; P 1/ / 4 up soll senkrecht zuv= sein t 5t t 15 t1 1 1t= t= n= up= 1 1t up= 1 Ebene mit/ 5/ und n ; E : x y z = 9 d) M B= 4 4 ; Ebene M A B G : x5y4z= ; 7 v= x z y DieTangente liegt i n der Tangentialebene n T =M B und i n Ebene G es folgt :v M B und v n G I x 4 y 4 z 7= II x y 5 z 4= x= 1 ; y=15, z= 6 Kugeltangente Fluglinie: t : x= v

8 Lösung Abiturprüfung 199 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Geometrie II.. a) E : x= t 4 1 r = n E 1 ; E : x y 1z 96 = E PQTS : x= u 4 r 6 cos= 4 1 = = n E 4 PQTS ; E PQTS : 4x y 1= =cos 1 = 7,665o 5 17 Kante: v= 1 sin = 1 1 = =sin 1 1 = 54,549o 17 b) A Dreieck = 1 a ha= 1 4= 6cm V Prisma = g h=6cm 6 cm= 6 cm A Trapez = 1 1 ac h= 4= 6 cm V Pyramide = 1 a ha= 1 6cm cm= 6cm Volumen Werkstück=V prisma V pyramide =4cm 6 =,145 4 Das Werkstück erfährt durch den Abschliff eine Volumenabnahme von etwa 14, % g PQ :x= t 4 L t /4t / U L= t 4t 6 = 5t 1t45 Minimum bei t=,6 mit d =6, 46cm L1.9 /1, 44 / besitzt die kleinste Entfernung zu PQ mit 6, 46 cm

9 c) M a/b/ ; E PQTS : 4x y 1= ; Ebene x= d 1 = a 1 ; d = b 1 ; d = 4ab 1 5 d 1 =d =d d 1 =d =a=b a= 4aa 1 5 a=6 unbrauchbar zu weit! a= 4aa 1 5 a= 1 1 ; M 1 1 / 1 1 Der Durchmesser des Bohrlochs beträgt etwa, 646 cm 1 / ; r=1,6= 1 65 d= 4 65 cm Radius Kugel : r K = 1 1 9,= cm Durchmesser der Kugel d= cm oberer Bohrkreismittlepunkt: M BK 1 1 / 1 1 g AH :x= 7 w SP 4 / /5,916 1 /6 oberster Punkt der Kugel K 1 1 / 1 1 / g 1,75 AH Ebene y= 75,75w= w= 1 Da 5,91 cm 6cm liegt die Sehebene unter der Kante SU. Die Kugel ist somit von H nicht sichtbar

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