Parabeln. Text Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL. Stand: 2. Juni 2016

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1 Parabeln Tet Nr Stand:. Juni 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 5080 Parabeln Vorwort Parabeln gehören zu den ersten Kurven, die man im Unterricht besricht. Sie sind als Schaubilder quadratische Punktionen gut zu untersuchen. Betrachtet man jedoch Parabeln, die in -Richtung Geöffnet sind, stößt man auf Wurzelfunktionen. Anders jedoch, wenn man diese Parabeln mit den Methoden Kurven der analytischen Geometrie untersucht. Dies wird im Ordner 5_Parabeln geschehen. Hier betrachten wir Parabeln unter dem Asekt, dass sie algebraische Kurven. Grades sind. Wir gehen der Sache nach, welche Arten von Gleichungen es gibt, auch mit Parametern und Polarkoordinaten. Inhalt Vorschau Parabeln als geometrischer Ort. 5 Herleitung der Gleichung y 5 Gleichungen mit Polarkoordinaten 6 Parameterdarstellungen 0 5 Krümmungsradius () Analytische Herleitung () Herleitung mit den Formeln der Differentialgeometrie 6 Ausblick

3 5080 Parabeln. Parabeln, in y-richtung geöffnet Vorschau Eine Parabel kann man z. B. als Grah einer ganzrationalen Funktion. Grades definieren. Die Kurvengleichung lautet dann im kartesischen Koordinatensystem: y a b c für a 0 () Parabeln mit dieser Gleichung sind in y-richtung geöffnet: Ist a > 0, dann nach oben, ist a < 0, dann b b nach unten. Ihr Scheitel ist S c a a. Ist a = oder a = -, nennt man die Kurve eine Normalarabel. In ihrer einfachsten Lage hat sie den Scheitel im Ursrung: y oder Streckt man sie in y-richtung, liegt der Scheitel immer noch im Ursrung: Verschiebt man solche Parabeln kommt man auf die y=a - +y Scheitelgleichung: () S S y () y a () Hinweis: Im Tet 807 wird gezeigt, wie man Parabeln durch Streckungen und Verschiebungen abbildet. Dort lernt man auch die Umkehrung: Wie berechnet man aus Gleichung () den Parabelscheitel. Die Methode dazu heißt quadratische Ergänzung. Siehe auch 809. Aufgabe Bestimme den Scheitel der Parabel y.. Lösung mit quadratischer Ergänzung: Gegeben: y Steckfaktor aus den -Summanden ausklammern: y (Ausklammern bedeutet in der Klammer eine Division durch, also mal.) Ziel der rechten Seite ist y... Dazu muss man das Quadrat ergänzen: y Um die Gleichung zu retten, muss man die Ergänzung wieder komensieren. Dabei muss man beachten, dass nicht das Quadrat = ergänzt worden ist, sondern, denn der Faktor vor der Klammer gehört dazu. Also wird rechts wieder subtrahiert. Jetzt kennt man die Scheitelform: y Den Scheitel S liest man so ab, dass man der entgegengesetzte Vorzeichen nimmt.. Lösung mit der. Ableitung. Gegeben: y. Ableitungsfunktion: f' Mit dieser Funktion berechnet man z. B. Tangentensteigungen. Da eine in y-richtung geöffnete Parabel im Scheitel eine waagerechte Tangente besitzt, fragt man: Wo ist die Tangentensteigung 0: f' 0 0 y f S S S

4 5080 Parabeln. Parabeln, in -Richtung geöffnet Siegelt man die Parabel y an der. Winkelhalbierenden, oder dreht man sie um den Ursrung um 90 O im Uhrzeigersinn, entsteht die nach rechts geöffnete Parabel: y. Sie ist das Schaubild zweier Ersatzfunktionen: y f und y f Streckt oder verschiebt man diese Parabel, entstehen Kurven mit diesen Gleichungen: ay b cy d 0 bzw. in der Scheitelgleichung: yy Warum man den Faktor verwendet, wird in Abschnitt gezeigt. Aufgabe : S Bestimmung des Scheitels mit quadratischer Ergänzung O a) b) c) y 0 Ersatzfunktionen: y Scheitelgleichung; y S 0 Die Parabel ist nach links geöffnet. : y y6 0 Zuerst quadratische Ergänzung: y y 6 Ziel: y... y y 6 y y Scheitel: S () Ersatzfunktionen: y f, y y 0 Zuerst quadratische Ergänzung: y y Faktor ausklammern: y y y... Ziel: Quadrat ergänzen: y y Links wurde ergänzt, also auch rechts!! y y Ergebnis: S Ersatzfunktionen: y f,. Parabeln in Schräglage werden in diesem Tet nicht besrochen. Siehe Tet 50.

5 5080 Parabeln 5 Parabel als geometrischer Ort Man kann eine Parabel über eine geometrische Eigenschaft definieren: Die Menge aller Punkte, für welche die Entfernung von einem festen Punkt F und von einer festen Geraden L gleich groß ist, nennt man (bzw. ist eine) Parabel. F nennt man Brennunkt der Parabel, L heißt Leitlinie Ich nehme den Beweis bzw. die Herleitung der Gleichung für den Fall vor, dass die Parabel in - Richtung geöffnet ist. Üblicherweise gibt man dem Brennunkt die Koordinaten F 0. Die Leitlinie erhält die Gleichung In unserer Abbildung ist = : ist ein Parameter, der den Abstand des Brennunkts von der Leitlinie angibt. Die Strecke PF heißt Brennstrahl, PQ Leitstrahl. Nun zur Rechnung: Es sei P y ein Parabelunkt. Dann gilt für ihn:. PQ. PF y 0 PQ PF : y y y Hieraus ergibt sich die unktweise Konstruktion von Parabelunkten: Man zeichnet um F Kreise, hier mit den Radien,, 5, 6, 7 und 8. Dann zeichnet man Partallelen zur Leilinie in denselben Abständen. Die entsrechenden Schnittunkte sind Parabelunkte. A hat von F und L den Abstand, B hat von F und L den Abstand, usw.

6 5080 Parabeln 6. Polarkoordinatensystem: Gleichungen mit Polarkoordinaten Der Brennunkt sei der Pol, die Parabelachse sei die Polarachse. cos r cos (a) r Andererseits ist r PQ (b). Herleitung: (b) (a): r rcos r cos r cos. Herleitung: (Andere Lage des Ursrungs) Dann gilt: Es ist z : z cos r cos r Also rcos (a) Andererseits ist r PQ (b) (b) (a): r rcos r cos r cos Achtung: Gibt man diese Gleichung in ein Grafikrogramm ein (z. B. MatheGrafi), dann geht dieses davon aus, dass der Ursrung und der Pol identisch sind und liefert die obige Abbildung. Verteilung der Punkte in Abhängigkeit vom Parameter : Zunächst einmal ist klar, dass die Kosinusfunktion und somit auch r eine Periode von. Nebenstehend sieht man einige Kurvenunkte in Abhängigkeit von dem in Klammern stehenden Wert von. Für 0 geht cos und der Nenner gegen 0. Das gibt eine Polstelle für die Funktion r. Also strebt r gegen Unendlich, was man ja am oberen Bogen nach rechts ahnen kann. Für folgt: r, was nur für den Parabelscheitel gilt (minimales r). Mit zunehmendem geht der Nenner wieder gegen 0 und der Punkt gleitet auf dem unteren Ast ins Unendliche. Bedenkt man außerdem, dass ja der Winkel gegen die ositive -Achse ist, dann wird klar, dass man für von 0 bis eine volle Umdrehung gemacht hat.

7 5080 Parabeln 7 Es gibt noch eine Parabelgleichung mit Polarkoordinaten: Die Parabel ist nun nach links geöffnet. Ich habe die Punkte mit den zugehörigen ; oder 0; verwendet. r cos Werten beschriftet. Es ist dabei gleichgültig, ob man Den Scheitelunkt, also den kleinsten r-wert erhält man für 0: r 0. Mit zunehmendem von 0 gegen (also auf dem oberen Parabelast nach links. O 80!) geht r. Die Punkte wandern dann Ist oder 0 dann bewegt sich der Parabelunkt auf dem unteren Ast von links her kommend auf den Scheitel zu.

8 5080 Parabeln 8. Polarkoordinatensystem: rcos und y rsin Der Ursrung wird zum Pol, die Parabelachse sei Polarachse. () Parabel in -Richtung: y Eingesetzt: r sin rcos Ist r 0, kann man durch r dividieren: r sin cos cos r sin Für r = 0 erhält man = y = 0. Hinweis: Die Umformung sin sin cos cot sin ergibt die gleichwertige Darstellung: r cos cot Beisiel: y also cos r sin oder im Polarkoordinatensystem (MatheGrafi):

9 5080 Parabeln 9 Hier die Darstellung mit MatheGrafi: () Parabel in y-richtung y a Dann ist Eingesetzt in y a folgt:. Fall: Ist r 0 rcos und y rsin r sin ar cos : sin a r cos. Fall: Ist r = 0, dann folgt = y = 0. sin r a cos Die Abbildung zeigt y bzw. r sin sin cos cos Die Zahlen hinter dem Punktbuchstaben gibt den Winkel an, und zwar im Bogenmaß.

10 5080 Parabeln 0 Parameterdarstellungen Wie geht man vor, wenn man eine Parabelgleichung y 6 umwandeln will? Die beste Methode scheint mir die folgende zu sein: Man setzt t Daraus folgt t t Dann folgt y 6 t y 6 t bzw. y 6 t also y 6 t in eine Parametergleichung MatheGrafi: Es reicht übrigens, wenn man das Pluszeichen verwendet. Das Minuszeichen bringt nichts Neues. Es gibt zahllose Parameterdarstellungen für Parabeln. Beisiele: t a) yt Mit t erhält man y. t b) y t Mit t y erhält man y bzw. y c) t Mit t y erhält man y y y t d) Besonders witzig ist diese Darstellung: t cos t y t cos t für t0; Man bildet y 9 cos t cos t y und setzt das in die -Gleichung ein: y 9 y 8 9 Ersatzfunktionen. y Das Interessante daran ist, dass man mit dieser Darstellung nur einen begrenzten Parabelbogen erhält. Zu t 0: 0, y 0 : Pt 0 Zu t :, y : Pt t 0,

11 5080 Parabeln e) Sogar mit hyerbolischen Funktionen kommt man zu Parabeln: t cosh t für t. y t sinh t cosh t und y sinh t Eingesetzt in den hyerbolischen Pythagoras : cosh t sinh t erhält man: y mit dem Scheitel S y y y Oder y 9 Man erkennt, dass yt ist, deshalb liefert die Parameterdarstellung nur einen Parabelbogen, der in P endet, während die algebraische Gleichung die ganze Parabel darstellt.

12 5080 Parabeln () Analytische Herleitung 5 Krümmungsradius Als Krümmungskreis bezeichnet man den Kreis mit dem größten Radius, der die Parabel am Scheitel von innen berührt. Zur Herleitung verwende ich Parabeln in der Lage, in der sie den Scheitel im Ursrung hat. Sie hat dann diese Gleichung: y a Dann setze ich einen Kreis mit zunächst beliebigem Radius an, der ebenfalls durch den Ursrung geht, also dort die Parabel berührt. Er hat somit diese Gleichung: r y r. Die Abbildung zeigt, dass mit kleiner werdendem Radius sich die Schnittunkte von Kreis und Parabel Dem Ursrung nähern. Unser Ziel wird es sein, den Radius zu ermitteln, bei dem sie genau in den Ursrung fallen.. Schritt: Kreisgleichung: r y r d. h. bzw. rr y r r y 0 y r () Parabelgleichung: y Schnittgleichung: r r 0 r 0. Lösung: 0. Lösung: r (für die beiden rechten Schnittunkte).. Otimierung: Für den Krümmungskreis, verlangt man, dass = wird: 0 r r Der Mittelunkt des Krümmungskreises ist somit MKKr 0 und die Gleichung lautet: y

13 5080 Parabeln () Herleitung mit den Formeln der Differentialgeometrie: Im Tet 50 wurden für die Krümmung diese Formeln hergeleitet: für Funktionsschaubilder: für Kurven in Parameterdarstellung: y" y' / y y y / (Seite 7) (Seite ) Für die Parabel y Zum Ableiten schreibt man um: verwende ich die Ersatzfunktionen: y y / y' / / y" / / / / 8 Wir suchen die Krümmung an der Stelle = 0: 0 Für den Krümmungskreisradius gilt: r 0 Hinweis: Hier wurde etwas sorglos mit der Stelle = 0 umgegangen. Die Werte y' 0 und y" 0 eistieren nämlich nicht. Da sich aber nach dem Kürzen ein Krümmungswert ergibt, konnte man den Versuch wagen. t t Man kann auch eine Berechnung mit dieser Parameterdarstellung versuchen: y(t) t t t t Dazu folgt: und y(t) y t 0 y y 0 / / / y t t t t t Den Scheitel erhält man in dieser Darstellung für t = 0: t 0 Für den Krümmungskreisradius gilt: r 0. Hier treten nicht die oben geschilderten Probleme auf.

14 5080 Parabeln 6 Ausblick. Man bezeichnet Parabeln auch als Kegelschnitte - Zu Schnitten einer Ebene mit einem Doelkegel gehören Kreis, Ellise, Hyerbel und Parabel. Die gemeinsame Gleichung dieser sogenannten Kegelschnitte lautet: y Für 0 erhält man einen Kreis, für 0 erhält man eine Ellise, für erhält man eine Parabel und für eine Hyerbel.. In der analytischen Geometrie gibt es noch sehr viele Eigenschaften von Parabeln. Dazu gehören auch Tangenten. Diese Eigenschaften wird in den Teten der analytischen Geometrie im Ordner 5 Parabeln besrochen.