Prof. Dr. habil. Knut Haase. Quantitative Methoden Teil B Aufgaben- und Foliensammlung

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1 Institut für Verkehrswirtschaft Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Verkehr Schwerpunkt: Operations & Supply Chain Management Universität Hamburg Fakultät Wirtschafts- und Sozialwissenschaften Institut für Verkehrswirtschaft Professur für Betriebswirtschaftslehre, insb. Verkehr Prof. Dr. habil. Knut Haase Quantitative Methoden Teil B Aufgaben- und Foliensammlung Sommersemester 2013 Hamburg, 8. Juli 2013

2 Inhaltsverzeichnis 6 Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung Erweiterung des Einführungsbeispieles Zielkonflikte und Lösungsmöglichkeiten Lexikographische Ordnung von Zielen Unterteilung in Haupt- und Nebenziele Zielgewichtung Goal-Programming Goal-Programming mit GAMS Aufgaben Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen Lineare Nutzenfunktion Das Multinomiale Logit-Modell (MNL) Maximum Likelihood Schätzung Schätzung eines MNL mit BIOGEME Aufgaben Mehrstufige Entscheidungen bei diskreten Umweltzuständen Strategie Entscheidungsbaum Rollbackverfahren Berücksichtigung einer variablen Informationsstruktur Aufgaben

3 2 INHALTSVERZEICHNIS

4 6 Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung Vorbemerkung: Nachfolgend betrachten wir lediglich Probleme der linearen Optimierung. Die vorzustellenden Ansätze gelten aber auch für andere Problemstellungen, insbesondere der ganzzahligen Optimierung. 6.1 Erweiterung des Einführungsbeispieles Beispiel 6.1 Wir betrachten erneut das Beispiel 2.1. Für das Be- und Entladen werden jeweils externe Dienstleister eingesetzt. Diese erhalten pro Tonne 2.50 Euro, d.h. insgesamt fallen variable Kosten in Höhe von 5 Euro pro Tonne an. Weitere variable Kosten seien vernachlässigbar. Aus der Controlling-Abteilung kommt der Hinweis, dass die Auftragsannahme in Abhängigkeit der zu erzielenden Deckungsbeiträge zu erfolgen hat. Welche Lösung ist nun dem Frachtführer zu empfehlen? Zur Beantwortung der Frage sind zunächst die auftragsspezifischen Deckungsbeiträge pro Palette zu berechnen: Deckungsbeitrag pro Palette bei Auftrag 1: DB 1 = = 15 Deckungsbeitrag pro Palette bei Auftrag 2: DB 2 = = 15 Somit ist folgende Problemstellung zu lösen: max F 2 = 15x x 2 unter den Nebenbedingungen x 1 + x 2 5 x 1 + 3x 2 9 x 1, x 2 0, wobei F 2 den Zielfunktionswert bei Maximierung der Deckungsbeiträge angibt. Die zugehörige optimale Lösung lautet: x 1 = 5, x 2 = 0, F 2 = 75 Offensichtlich wird bei dieser Lösung das maximale Ladegewicht nicht vollständig ausgeschöpft, d.h. es ist noch eine Restladekapazität von 4 Tonnen vorhanden. Ferner sinken die Umsatzerlöse von 120 Euro auf 5 20 = 100 Euro. Daraufhin meldet sich die Verkaufsabteilung erbost und bringt zum Ausdruck, dass die umsatzmaximale Lösung zu bevorzugen sei. Die 3

5 4 Kapitel 6: Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung Controlling-Abteilung ist natürlich bestens informiert und weiß daher, dass die Mitarbeiter der Verkaufsabteilung in Abhängigkeit der erzielten Umsätze Prämien erhalten. Offensichtlich liegt hier ein Zielkonflikt vor. Wie ein derartiger Zielkonflikt mit Methoden des Operations Research gelöst werden kann, ist Gegenstand der nachfolgenden Abschnitte. 6.2 Zielkonflikte und Lösungsmöglichkeiten Ein Zielkonflikt zwischen zwei Zielen liegt vor, wenn die Verbesserung des Zielerreichungsgrades eines Zieles zur Verschlechterung des Zielerreichungsgrades des anderen Zieles führt. Wir sprechen dann von zwei konkurrierenden oder konträren Zielen. Dagegen sind zwei Ziele komplementär, wenn die Verbesserung des Zielerreichungsgrades des einen Zieles gleichermaßen zur Verbesserung des anderen Zieles beiträgt. Kein Zielkonflikt liegt bei neutralen Zielen vor, d.h. die Verbesserung des einen Zieles führt weder zu einer Verbesserung noch zu einer Verschlechterung des anderen Zieles. Graphisch würde dies bedeuten, dass die Zielfunktionen orthogonal zueinander sind. Zur Auflösung von Zielkonflikten werden folgende Ansätze betrachtet: 1. Lexikographische Ordnung von Zielen 2. Unterteilung der Ziele in ein zu optimierendes Hauptziel und zu satisfizierender Nebenziele 3. Methoden der Zielgewichtung 4. Goal-Programming-Ansätze Sie sind Gegenstand der nachfolgenden Abschnitte. 6.3 Lexikographische Ordnung von Zielen Bei diesem Ansatz wird davon ausgegangen, dass die Ziele hinsichtlich ihrer Bedeutung geordnet werden können, d.h. wir können eine Rangfolge der Ziele angegeben: Ziel A: Ziel B: Ziel C: wichtigstes Ziel zweitwichtigstes Ziel drittwichtigstes Ziel usw. Ein Problem mit t Zielen kann dann in t Schritten gelöst werden: Schritt 1: Optimiere Problem ausschließlich bezüglich Ziel A. Menge der optimalen Lösungen X A Schritt 2: Optimiere Problem ausschließlich bezüglich Ziel B, wobei nur X A als Menge der zulässigen Lösungen betrachtet wird. Menge der optimalen Lösungen X B X A Schritt 3: Optimiere Problem ausschließlich bezüglich Ziel C, wobei nur X B als Menge der zulässigen Lösungen betrachtet wird. Menge der optimalen Lösungen X C X B

6 6.4 Unterteilung in Haupt- und Nebenziele 5 usw. Die Betrachtung nachrangiger Ziele macht nur Sinn, wenn die Menge der optimalen Lösungen mehr als nur eine Lösung enthält. Betrachten wir ein lineares Optimierungsproblem, so muss mindestens eine Nichtbasisvariable mit reduzierten Kosten von Null vorliegen. Stellt die Deckungsbeitragsmaximierung das Hauptziel A dar, so lautet die optimale Lösung (vgl. oben): x 1 = 5, x 2 = 0, F A = F 2 = 75 Ferner gilt c 2 = 0, d.h. die reduzierten Kosten der Nichtbasisvariablen x 2 sind Null. Somit kann davon ausgegangen werden, dass mehrere optimale Lösungen existieren. Eine nachrangige Optimierung hinsichtlich des Umsatzes ist daher zweckmäßig. Dabei stellt sich die Frage, wie wir gewährleisten, dass wir nur Lösungen anschauen, die zu X A gehören, d.h. zugleich auch die Deckungsbeiträge maximieren. Dies erreichen wir durch Einführen einer zusätzlichen Nebenbedingung, die aussagt, dass nur Lösungen zu betrachten sind, die zu maximalen Deckungsbeiträgen führen. Für unser Beispiel muss also 15 x x 2 75 gelten; anstelle von 75 könnten wir auch = 75 fordern. Insgesamt ist somit folgende erweiterte Problemstellung in Schritt 2 zu lösen. max F B = 20x x 2 unter den Nebenbedingungen 15x x 2 75 x 1 + x 2 5 x 1 + 3x 2 9 x 1, x 2 0 x 1 = 3, x 2 = 2, F B = 120 Zur Überprüfung der Lösung berechnen wir den zugehörigen Deckungsbeitrag: = 75. Somit werden die Interessen der Controlling- und der Verkaufsabteilung gleichermaßen befriedigt. 6.4 Unterteilung in Haupt- und Nebenziele Im vorherigen Ansatz sind mehrere Problemstellungen nacheinander zu lösen. Unterteilen wir die Ziele in ein Hauptziel und mehrere als Nebenbedingungen formulierte Nebenziele, so ist lediglich ein Gesamtproblem zu lösen. Dabei ist ein zu maximierendes Nebenziel als -Nebenbedingung und ein zu minimierendes Nebenziel als -Nebenbedingung derart zu berücksichtigen,

7 6 Kapitel 6: Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung dass untere bzw. obere Schranken für die Zielfunktionswerte der Nebenziele eingehalten werden. Beispielsweise könnte die Verkaufsabteilung fordern, dass bei Maximierung des Deckungsbeitrages ein Umsatz von mindestens 110 Euro zu gewährleisten ist. Dies führt zu folgender Problemstellung: max F = 15x x 2 unter den Nebenbedingungen 20x x x 1 + x 2 5 x 1 + 3x 2 9 x 1, x 2 0 Die zugehörige optimale Lösung lautet: x 1 = 3, x 2 = 2, F = 75 Angemerkt sei, dass bei ungünstiger Wahl der Schranken der Zielerreichungsgrad des Hauptzieles sehr gering ausfallen oder keine Lösung existieren kann. 6.5 Zielgewichtung Durch Zielgewichtung werden mehrere Zielfunktionen zu einer Zielfunktion zusammengefasst. Grundsätzlich kann dabei eine Linearkombination betrachtet werden, d.h. die Summe der nichtnegativen Gewichtungsfaktoren der Ziele ergänzen sich zu eins, was aber nicht zwingend erforderlich ist. Anzumerken ist, dass ein Maximierungsziel durch Multiplikation mit minus eins in ein Minimierungsziel und umgekehrt transformiert werden kann, sodass sämtliche Ziele gleichgerichtet sind, d.h. zu minimieren bzw. zu maximieren sind. Zur Formalisierung definieren wir t als Anzahl der Ziele und λ i als reellwertigen Gewichtungsfaktor des Zieles i mit 0 λ i 1 und ggf. t λ i = 1. i=1 Bei ausschließlich zu maximierenden Zielen erhalten wir somit folgende gewichtete Zielfunktion: max Z = t λ i F i i=1 (6.1) Für unser Beispiel wollen wir nun davon ausgehen, dass die Maximierung der Umsätze und der Deckungsbeiträge gleichgewichtet werden sollen, d.h. wir wählen λ 1 = λ 2 = 0.5. Somit erhalten wir folgende Zielfunktion: Z = 0.5(20x x 2 ) + 0.5(15x x 2 ) = 17.5x x 2 (6.2)

8 6.6 Goal-Programming 7 Unter Beibehaltung der bekannten Restriktionen liefert GAMS folgende optimale (und bereits bekannte) Lösung: x 1 = 3, x 2 = 2, F = Goal-Programming Das Goal-Programming ist eine Erweiterung der Zielgewichtung. Für jedes Ziel i wird zunächst gesondert (Vernachlässigung der anderen Ziele) der optimale Zielfunktionswert Fi (=obere/untere Schranke) bestimmt. Gesucht wird dann eine Lösung, die einen möglichst geringen Abstand zwischen Fi und den durch die Lösung gewährleisteten Zielerreichungsgrad aufweist. Je nach Bedeutung und zur Normierung können die einzelnen Ziele durch λ i gewichtet werden. Grundsätzlich steht eine Vielzahl von Funktionen zur Messung des Abstandes zur Verfügung. Bei den zu minimierenden Abstandsfunktionen 1. Minimiere Summe der gewichteten absoluten Abstände Z 1 = t i=1 λ i F i F i 2. Minimiere den gewichteten maximalen Abstand Z 2 = max i λ i F i F i ist gewährleistet, dass wir weiterhin ein lineares Optimierungsproblem zu lösen haben, da die Betragsstriche - wie wir unten sehen werden - durch geeignete Umformungen eliminiert werden können. Betrachten wir dagegen die Summe der quadrierten Abstände, d.h. Z 3 = t i=1 λ i (F i F i ) 2 so haben wir ein nichtlineares Problem zu lösen. In den ersten beiden Abstandsfunktionen können bei einem zu maximierenden Ziel i die Betragsstriche weggelassen werden, da stets Fi F i 0 gilt. Bei einem Minimierungsproblem gilt λ i Fi F i = λ i (F i Fi ), d.h. wir können λ i (F i Fi ) anstatt λ i Fi F i betrachten. Zur Bestimmung der maximalen gewichteten Zielabweichung ist für jede Zielfunktion eine zusätzliche Restriktion einzuführen, und zwar bei Maximierung Z 2 λ i (F i F i ) und bei Minimierung (6.3) Z 2 λ i (F i F i ). (6.4) Damit gewährleisten wir, dass die (Zielfunktions-)Variable Z 2 stets größer als oder gleich der maximalen gewichteten Abweichung sein muss. Die Zielfunktion zur Minimierung der maximalen gewichteten Abweichung lautet daher lediglich min Z 2. (6.5)

9 8 Kapitel 6: Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung Für unser Beispiel 6.1 wäre bei Minimierung der Summe (gewichteter) Abweichungen folgende Zielfunktion zu betrachten: min Z 1 = (75 15x 1 15x 2 ) + (120 20x 1 30x 2 ) (6.6) wobei wir λ 1 = λ 2 = 1 festgelegt haben. Diese Zielfunktion ist äquivalent mit max Z 1 = 35x x 2. (6.7) Das folgende lineare Optimierungsproblem veranschaulicht für λ 1 = λ 2 = 1 die Vorgehensweise bei Anwendung der zweiten Abstandsfunktion: min Z 2 unter den Nebenbedingungen Z 2 1 (120 20x 1 30x 2 ) Z 2 1 (75 15x 1 15x 2 ) x 1 + x 2 5 x 1 + 3x 2 9 x 1, x 2 0 Wir haben also ein lineares Optimierungsproblem formuliert, das mit Hilfe des Simplexalgorithmus gelöst werden kann. F + Z 2 = 0 (6.8) 20x 1 30x 2 Z 2 + y 1 = 120 (6.9) 15x 1 15x 2 Z 2 + y 2 = 75 (6.10) x 1 + x 2 + y 3 = 5 (6.11) x 1 + 3x 2 + y 4 = 9 (6.12) 6.7 Goal-Programming mit GAMS Algebraische Modellierungssprachen erlauben zumeist die Definition von mehreren Problemstellungen, die mehrfach und grundsätzlich in beliebiger Reihenfolge gelöst werden können. In dem nachfolgenden GAMS-Skript werden drei Modelle definiert. Das erste Modell maximiert die Umsätze und das zweite die Deckungsbeiträge. Die zugehörigen Zielfunktionswerte sind Parameter für das dritte Modell, in dem die maximale absolute Abweichung vom jeweiligen Optimalwert minimiert wird. scalars UE maximale Umsatzerlöse DB maximale Deckungsbeiträge ; variables F1 Zielfunktionswert (Umsatzerlöse) F2 Zielfunktionswert (Deckungsbeiträge) Z2 Zielfunktionswert (Maximale Abweichung) ;

10 6.8 Aufgaben 9 positive variables x1 Anzahl Paletten von Angebot 1 x2 Anzahl Paletten von Angebot 2 ; equations ziel_ue maximiere die Umsatzerlöse ziel_db maximiere die Deckungsbeiträge plaetze 5 freie Palettenstellplätze gewicht 9 Tonnen zusätzliches Ladegewicht ue_abw Abweichung der Umsatzerlöse db_abw Abweichung der Deckungsbeiträge ; ziel_ue.. F1 =e= 20*x1 + 30*x2; ziel_db.. F2 =e= 15*x1 + 15*x2; plaetze.. x1 + x2 =l= 5; gewicht.. x1 + 3*x2 =l= 9; ue_abw.. F3 =g= UE - 20*x1-30*x2; db_abw.. F3 =g= DB - 15*x1-15*x2; model max_umsatz /ziel_ue, plaetze, gewicht/; model max_db /ziel_db, plaetze, gewicht/; model goal_prog /plaetze, gewicht, ue_abw, db_abw/; solve max_umsatz maximizing F1 using lp; UE = F1.l; solve max_db maximizing F2 using lp; DB = F2.l; solve goal_prog minimizing Z2 using lp; display x1.l, x2.l, F3.l; Die zugehörige Lösung lautet: x 1 = 3, x 2 = 2, Z 2 = 0. Erwartungsgemäß wird jedes Ziel zu 100% erreicht. 6.8 Aufgaben Aufgabe 6.1 Wir betrachten erneut das Beispiel 6.1. Modellieren Sie das Problem als Goal- Programming-Ansatz unter der Prämisse, dass die maximale absolute relative Abweichung minimiert werden soll. Aufgabe 6.2 Wir betrachten erneut das Beispiel 6.1. Modellieren Sie das Problem als Goal- Programming-Ansatz unter der Prämisse, dass die Summe der absoluten relativen Abweichungen (Umsatz, Deckungsbeitrag) minimiert werden soll. Aufgabe 6.3 Lösen Sie das Optimierungsproblem (6.8)-(6.12) mit dem dualen Simplexalgorithmus.

11 10 Kapitel 6: Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung Aufgabe 6.4 Das Gleichungssystem des Goal-Programming Ansatzes ist wie folgt gegeben: 20x 1 30x 2 +1y 1 1Z 2 = x 1 15x 2 +1y 2 1Z 2 = 75 +1x 1 +1x 2 +1y 3 = 5 +1x 1 +3x 2 +1y 4 = 9 +1Z 2 +1F = 0 Lösen Sie das Optimierungsproblem mit dem dualen Simplexalgorithmus. Aufgabe 6.5 Die Zuordnung von Studierenden des Bachelor-Studiengangs BWL zu den Schwerpunkten des Fachbereichs soll unter Verwendung eines Planungsmodells vorgenommen werden. Die Studierenden können dabei ihre Präferenzen angeben. Es ergeben sich daraus die folgenden Ziele: 1. Maximierung der Summe aller realisierter Wahlpräferenzen 2. Minimierung der maximalen Abweichung (Studierender zu Schwerpunkt) von der Wahlpräferenz des Studierenden 3. Minimierung der maximalen Abweichung der Kapazitätsbeanspruchung eines Schwerpunktes von der durchschnittlichen Kapazitätsbeanspruchung aller Schwerpunkte (Glättung) Formulieren Sie einen Goal-Programming-Ansatz. Dabei können u.a. die folgenden Symbole verwendet werden: P Schwerpunkte des Fachbereichs (p = 1,..., P ) S Studierende (s = 1,..., S) k p c sp Kapazität des Schwerpunkts (in Anzahl Studierender) Präferenz des Studierenden s für Schwerpunkt p, dabei gilt c sp = 0 für den am stärksten präferierten Schwerpunkt und c sp = P 1 für den am wenigsten präferierten Schwerpunkt X sp Zuordnungsvariable: 1,falls Student s dem Schwerpunkt p zugeordnet wird, 0 sonst, d.h. X sp {0, 1} s S, p P U p Kapazitätsauslastung des Schwerpunktes, wobei 0 U p 1 p P gilt K durchschnittliche Kapazitätsauslastung der Schwerpunkte: K = S P p=1 k p

12 7 Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen Literatur zur Vorbereitung: Koppelmann/Bath 2006[3] Das Buch ist als kostenfreier Download unter COURSES/LM_Draft_060131Final pdf verfügbar. 7.1 Lineare Nutzenfunktion Die beobachtete Gesamtnachfrage eines Produktes oder einer Dienstleistung eines Unternehmens resultiert zumeist aus einer Vielzahl von Individualentscheidungen. Betrachten wir lediglich die aggregierten Daten in unserer Analyse können wichtige Informationen verdeckt bleiben. Zur Vermeidung von Informationsverlusten ist daher eine Analyse des Entscheidungsverhaltens von Individuen zu bevorzugen. In der Regel haben Individuen beim Kauf eines Produktes oder einer Dienstleistung mehrere Alternativen zur Auswahl. So muss ein Kunde zunächst eine Entscheidung bezüglich des Anbieters treffen, wobei die einzelnen Anbieter mehrere alternative Produkte von unterschiedlichen Herstellern im Sortiment haben können. Dann muss der Kunde auch noch eine Entscheidung bezüglich der angebotenen alternativen Produkte treffen. Haben die einzelnen Anbieter unterschiedliche Sortimente, so kann die Entscheidung des Kunden für oder gegen einen Anbieter von dessen Sortiment abhängen. Daraus wird ersichtlich, dass die Abbildung des Entscheidungsverhaltens von Individuen eine komplexe Aufgabe werden kann. Ein Ansatz wäre dann, Alternativen als Kombinationen von Anbieter und Produkthersteller zu definieren. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass sich die Individuen für die Alternative mit dem größten Nutzen entscheiden. Zur Formalisierung bezeichnen wir mit U ni den Nutzen der Alternative i {1,..., I} für das Individuum n = {1,..., N}, d.h. zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass jedem der N Individuen I Alternativen zur Auswahl stehen, von denen genau eine auszuwählen ist. Individuum n wählt i genau dann, wenn U ni > U nj für alle j i und j {1,..., I} gilt, wobei der Nutzen U ni nicht direkt messbar ist. Das heißt, Nutzen per se hat keine spezifische Einheit. Der Nutzen U ni besteht im Folgenden aus einer deterministischen Nutzenkomponente V ni und einer stochastischen Nutzenkomponente ɛ ni : U ni = V ni + ɛ ni 11

13 12 Kapitel 7: Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen Individuen, die hinsichtlich ihrer Lebenssituation (Ausbildung, Geschlecht, Einkommen, Familienstand, Wohnort, usw.) nicht unterscheidbar sind, treffen nicht unbedingt die selben Entscheidungen. Selbst das einzelne Individuum kann in seinem Entscheidungsverhalten trotz identischer Umweltbedingungen variieren. Beispielsweise fährt ein Individuum unabhängig von der Wetter- und Verkehrssituation an einigen Tagen mit dem ÖPNV und an anderen Tagen mit dem eigenen Pkw zur Arbeit. Nichtbeobachtbare psychologische Einflussfaktoren mögen hier ursächlich sein. Aus der Sicht des Analysten erscheint das Verhalten der Individuen zufällig. Daher benötigen wir die stochastische Nutzenkomponente des Individuums n und der Alternative i: ɛ ni. Hinsichtlich der Verteilung der stochastischen Nutzenkomponente muss der Analyst Annahmen treffen. Überlicherweise wird unterstellt, dass die stochastischen Nutzenkomponenten identisch und unabhängig extremwertverteilt sind, was die analytische Handhabung maßgeblich erleichtert. Im Gegensatz zur stochastischen Nutzenkomponente beinhaltet die deterministische Nutzenkomponente beobachtbare Attribute der Alternativen i I und Eigenschaften der Individuuen n N. Zur Bestimmung von V ni benötigen wir ein Modell. Ein derartiges Modell bildet den Zusammenhang der einzelnen Variablen (beobachtete Eigenschaften und Attribute) ab, die die Entscheidungen der Individuen beeinflussen. Üblicherweise wird ein linearer Zusammenhang unterstellt. Definieren wir z nik ist die Ausprägung der Variablen k bezüglich der Alternative i und des Individuums n, und β ik ist der Nutzenbeitrag pro Einheit (Parameter) der Variablen k für die Alternative i, so liefert V ni = K β ik z nik k=1 die lineare deterministische Nutzenkomponente der Alternative j für das Individum n. Beispiel 7.1 Sie haben die Vermutung, dass die Verkehrsmittelwahl der Studierenden der Universität Hamburg von der Reisezeit, dem Geschlecht und den Kosten abhängt. Für eine ausgewählte Gruppe stehen nur die drei Alternativen zu Fuss gehen (i = 1), mit dem Fahrrad fahren (i = 2) oder den ÖPNV nutzen (i = 3) zur Verfügung. Die Aufgabe besteht nun zunächst darin, die deterministische Nutzenkomponente zu spezifizieren. Grundsätzlich ist davon auszugehen, dass jede Alternative einen konstanten Grundnutzen besitzt. Wir sprechen daher von der alternativenspezifischen Konstante. Datentechnisch können wir dies wie folgt in unserer deterministischen Nutzenkomponente berücksichtigen: z ni0 = 1 für i = {1, 2, 3} und n = {1,..., N}. Berücksichtigen wir keine weiteren Variablen, so lautet unser Modell für das Individuum n folgendermaßen: V n1 = β 10 z n10 = β 10 V n2 = β 20 V n3 = β 30

14 7.1 Lineare Nutzenfunktion 13 Die Variable z ni0 variiert nicht über die Alternativen. Da wir nur Nutzendifferenzen 1 erfassen können, gibt es ein Identifikationsproblem, d.h. für gegebene Nutzendifferenzen existieren unendlich viele Ausprägungen von β 10, β 20 und β 30, die die gleichen Nutzendifferenzen widerspiegeln können. Sind beispielsweise sämtliche Nutzendifferenzen gleich Null, so gilt β 10 = β 20 = β 30. Nun gibt es unendlich viele Lösungen, die diese Bedingung erfüllen, d.h., es gibt keine eindeutige Lösung. Zur Vermeidung des Identifikationsproblems müssen wir einen Parameter (auf Null) fixieren. Die zugehörige Alternative wird als Referenzalternative bezeichnet. Wählen wir i = 1, so folgt β 10 = 0, d.h. V n1 = 0 V n2 = β 20 V n3 = β 30 Die Reisezeit der Alternativen i = 1 und i = 2 hängt maßgeblich von der Distanz vom Wohnort des Studierenden n zur Universität ab. Die Reisezeit mit dem ÖPNV wird darüber hinaus auch von der Anbindung an den ÖPNV determiniert. Beispielsweise kann die nächstgelegene Bus-Haltestelle ungünstig liegen. Sei z ni1 ist die Reisezeit in Minuten (k = 1) für Individuum n bei Wahl von Alternative i so erhalten wir folgende deterministischen Komponenten des Individuums n: V n1 = β 11 z n11, V n2 = β 20 + β 21 z n21, V n3 = β 30 + β 31 z n31. Im Gegensatz zur Distanz variiert die Reisezeit über die Alternativen, so dass sich das Spezifikationsproblem nicht unmittelbar stellt. Denkbar ist, dass ein strengproportionaler Zusammenhang zwischen dem Nutzen und der Reisezeit nicht gegeben ist. Beispielsweise wäre dann eine logarithmische Transformation der Reisezeit angezeigt. Die lineare Struktur des Modells bliebe dabei unverändert. Wird das Fahrrad erst ab einer Reisezeit von 5 Minuten eingesetzt, so könnten wir dies beispielsweise durch z n21 := max{reisezeit Fahrrad 5, 0} abbilden. Anhand des einfachen Beispiels wird deutlich, dass hier die Kreativität des Analysten gefragt ist. Wir wollen zusätzlich vermuten, dass die Verkehrsmittelwahl geschlechtspezifisch ist. Hierzu definieren wir eine sogenannte Dummyvariable: z ni2 =1, falls Individuum n männlich ist (=0, sonst) für alle Verkehrsmodi i = {1,..., 3} Da auch hier keine Variation über die Alternativen gegeben ist, dass heißt das Geschlecht variiert für ein gegebenes n nicht über die Alternativen i (Verkehrsmittel), erhalten wir nun folgende deterministischen Nutzenkomponenten des Individuums n: V n1 = β 11 z n11, V n2 = β 20 + β 21 z n21 + β 22 z ni2, V n3 = β 30 + β 31 z n31 + β 32 z ni2. 1 Wir erinnern uns, dass wir lediglich sagen können um wieviel U ni größer ist als U nj. Wir kennen aber nicht die tatsächlichen Werte von U ni und U nj.

15 14 Kapitel 7: Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen Da das Geschlecht lediglich individualspezifisch ist, d.h. unabhängig von der Alternative ist, können wir auch z n2 =1, falls Individuum n männlich ist (=0, sonst) definieren und erhalten dann V n1 = β 11 z n11, V n2 = β 20 + β 21 z n21 + β 22 z n2, V n3 = β 30 + β 31 z n31 + β 32 z n2. Abschließend wollen wir davon ausgehen, dass die Kosten einer Alternative das Entscheidungsverhalten beeinflussen, wobei eine zu zahlende Geldeinheit einen (negativen) Nutzen besitzt, der unabhängig davon ist, wofür die Geldeinheit aufgewendet wird, d.h. der Nutzen pro Geldeinheit ist unabhängig von der Alternative. Daher sollte der zugehörige β-parameter für jede Alternative identisch sein. In diesem Kontext sprechen wir von einer generischen Spezifikation. Sei z ni3 die Kosten der Alternative i für das Individuum n, so lauten unsere deterministischen Nutzenkomponenten nun wie folgt: V n1 = β 11 z n11 + β 3 z n13, V n2 = β 20 + β 21 z n21 + β 22 z n2 + β 3 z n23, V n3 = β 30 + β 31 z n31 + β 32 z n2 + β 3 z n33. Zu beachten ist, dass β 3 unabhängig von der Alternative i definiert ist (kein Index i für die jeweilige Alternative). Zur übersichtlichen Darstellung des Nutzenmodells empfiehlt sich - gerade bei größeren Modellen - eine sogenannte Spezifikationstabelle aufzustellen. Die zu den oben aufgeführten deterministischen Nutzenkomponenten zugehörige Spezifikationstabelle finden wir in Tabelle 7.1. ASCs: z ni0 Reisezeit: z ni1 Geschlecht: z n2 Kosten: z ni3 Alternative β 10 β 20 β 30 β 11 β 21 β 31 β 12 β 22 β 32 β 3 zu Fuß (i = 1) 1 z n11 z n2 z n13 Fahrrad (i = 2) 1 z n21 z n2 z n23 ÖPNV (i = 3) 1 z n31 z n2 z n33 Tabelle 7.1: Spezifikationstabelle zu Beispiel 7.1. ASCs sind die alternativen-spezifischen Konstanten (c wegen constants im Englischen). Aus Identifikationsgründen sind lediglich 8 der 10 Parameter (β s) identifizierbar. In unserem Beispiel haben wir β 10 = β 12 = 0 gewählt. Insgesamt unterstellen wir folgende Nutzenfunktionen: U n1 = β 11 z n11 + β 3 z n13 + ɛ n1, U n2 = β 20 + β 21 z n21 + β 22 z n2 + β 3 z n23 + ɛ n2, U n3 = β 30 + β 31 z n31 + β 32 z n2 + β 3 z n33 + ɛ n3. Zur Schätzung der Parameter β ik bzw. β k benötigen wir Daten bezüglich des Entscheidungsverhaltens der Individuen. Meist werden diese Daten in Form einer Stichprobe gewonnen. Mittels eines Schätzverfahrens werden dann die Parameter so festgelegt, dass das beobachtete Entscheidungsverhalten möglichst gut widergespiegelt wird. Dies ist Gegenstand der folgenden Abschnitte.

16 7.2 Das Multinomiale Logit-Modell (MNL) Das Multinomiale Logit-Modell (MNL) Unterstellen wir, dass die stochastische Nutzenkomponente ɛ ni identisch unabhängig extremwertverteilt ist, so ist das multinomiale Logit-Modell zur Bestimmung der Auswahlwahrscheinlichkeiten der Alternativen geeignet. Stehen nur zwei Alternativen zur Auswahl, so sprechen wir von einem binären Logit-Modell. Die Dichte einer extremwertverteilten Zufallsvariablen ɛ ni R lautet f(ɛ ni ) = e ɛ ni e e ɛ ni, (7.1) woraus die zugehörige Verteilungsfunktion F (ɛ ni ) = e e ɛ ni (7.2) folgt. Eine graphische Visualisierung finden wir in der nachfolgenden Abbildung e e ɛ ni F (ɛni) e ɛ ni e e ɛ ni Abbildung 7.1: Dichte- und Verteilungsfunktion der Extremwertverteilung ɛ ni Wir erinnern uns, dass ein Individuum n die Alternative i wählt, wenn U ni > U nj j i. Da U ni = V ni +ɛ ni gilt, ist U ni stochastisch, d.h. wir können lediglich Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen, ob U ni > U nj j i. Unter Berücksichtigung von f(ε n ) als Dichtefunktion des Zufallsvektors ε n = ε n1,..., ε nj kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Individuum n Alternative i wählt, angegeben werden mit: P ni = P [ j i : U ni > U nj ] = P [ j i : V ni + ɛ ni > V nj + ɛ nj ] = P [ j i : ɛ nj ɛ ni V ni V nj ] = I( j i : ɛ nj ɛ ni V ni V nj )f(ɛ n )dɛ n = e V ni j ev nj. (7.3)

17 16 Kapitel 7: Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen Wobei I( ) die sogenannte Indikatorfunktion darstellt. Die Indikatorfunktion nimmt den Wert 1 an, wenn die Bedingung in den Klammern erfüllt ist. (7.3) ist das sogenannte multinomiale Logit-Modell kurz MNL. Eine besondere Eigenschaft des MNL ist, dass das Verhältnis der Auswahlwahrscheinlichkeiten beim Entfernen einer Alternative aus der Menge der Alternativen unverändert bleibt, d.h. die Auswahlwahrscheinlichkeiten der Alternativen verändern sich alle um den selben Prozentsatz. Gleiches gilt für das Hinzufügen einer weiteren Alternative in die Alternativenmenge bzw. die Variation in der deterministischen Nutzenkomponente anderer Alternativen. In diesem Kontext sprechen wir von der Eigenschaft der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen (independence from irrelevant alternatives (IIA)) 2. Formal kann es wie folgt gezeigt werden: P n (i) P n (i ) = e V ni / evni j ev nj j ev nj = ev ni e V ni = e V ni V ni. 7.3 Maximum Likelihood Schätzung Da wir eine Verteilungsannahme getroffen haben, können wir zur Schätzung der β s die etablierte Maximum-Likelihood-Methode anwenden. Hierzu definieren wir den beobachtbaren Auswahlindikator y ni =1, wenn Individuum n die Alternative i ausgewählt hat (=0, sonst), so dass für die Auswahlwahrscheinlichkeiten gilt: P ni = J (P ni ) y ni i=1 Da die ɛ ni unabhängig identisch verteilt sind, können wir nun die Likelihood-Funktion mit L(β) = N n=1 i=1 J (P ni ) y ni angeben. Die Log-Likelihood-Funktion vereinfacht die Bestimmung der optimalen Lösung: L(β) = ln L(β) = ln ( N n=1 i=1 ) J (P ni ) y ni = N n=1 i=1 J y ni ln P ni 2 Als anschauliches Beispiel sei auf das bekannte roter Bus - blauer Bus Paradoxon hingewiesen.

18 7.4 Schätzung eines MNL mit BIOGEME 17 Ersetzen wir P ni durch L(β) = = = N n=1 i=1 N n=1 i=1 N n=1 i=1 e V ni, so erhalten wir j ev nj ( J y ni ln J y ni V ni e V ni j ev nj N J n=1 i=1 ) y ni ln ( J K ) y ni β ik z nik k=1 ( J j=1 N n=1 i=1 e V nj ) ( J J y ni ln j=1 e ( K k=1 β jk z njk) Unser Optimierungsproblem lautet nun: Maximiere L(β) Setzen wir ˆβ = 0, so erhalten wir mit L( ˆβ) = 0 N ln J eine untere Schranke für den optimalen Zielfunktionswert. Der theoretisch maximale Wert (obere Schranke) von L( ˆβ) ist dagegen Null. Durch Standardverfahren der nichtlinearen Optimierung läßt sich der optimale Vektor mit den Schätzkoeffizienten, ˆβ, bestimmen. Ein Maß für die Anpassungsgüte des Modells ist das sogenannte Pseudo-R 2 : ρ 2 = 1 L( ˆβ )/L(0) Zur Bestimmung von ˆβ stehen mehrere Softwarepakete zur Verfügung. Genannt seien BIOGEME, LIMDEP, NLOGIT, SPSS und R. ) 7.4 Schätzung eines MNL mit BIOGEME BIOGEME steht für BIerlaire Optimization toolbox for Generalized Extreme value Model Estimation (vgl. [1] und [2]). Das Programm ist kostenfrei (public domain) und kann unter für unterschiedliche Betriebssysteme heruntergeladen werden. BIOGEME wird innerhalb eines Kommandofensters (cmd.exe) gestartet. Hierzu ist eine Modell-Datei und eine Datendatei erforderlich. In der Modell-Datei sind im Wesentlichen die Nutzenfunktionen zu definieren. In der Datendatei sind die Beobachtungen in Tabellenform anzugeben, wobei die Zeilen zu den Individuen korrespondieren und in den Spalten die Variablenwerte für jedes Individuum bereitzustellen sind. Die Modelldatei muss die Dateiendung.mod haben. Sei unser Modell in der Datei mymodel.mod und unsere Daten in der Datei mysample.dat abgespeichert, dann starten wir BIOGEME, indem wir folgende Kommandozeile eingeben: biogeme mymodel mysample.dat

19 18 Kapitel 7: Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen Die Ergebnisse der Schätzung finden wir dann in der Datei mymodel.rep. Beispiel 7.2 Studierende (n), die keinen Pkw zur Verfügung haben, pendeln zu ihrer Universität entweder zu Fuss (i = 1) oder mit dem Fahrrad (i = 2) oder mit dem Bus (i = 3). Die Entscheidung der Studentin oder des Studenten n hängt vermutlich von der Reisezeit tt ni [in Minuten], vom Geschlecht s n (1= Student, 0 = Studentin) sowie von den Kosten c i [in Euro] ab. Wir stellen daher folgende deterministischen Nutzenfunktionen auf: V n1 = β 10 + β 11 tt n1 + β 12 s n + β 3 c 1 V n2 = β 20 + β 21 tt n2 + β 22 s n + β 3 c 2 V n3 = β 30 + β 31 tt n3 + β 32 s n + β 3 c 3 Zur Vermeidung von Identifikationsproblemen setzen wir: β 10 = β 12 = 0. Unsere Modelldatei mymodel.mod ist wie folgt aufgebaut: [Choice] Choice [Beta] // Name Value LowerBound UpperBound status (0=variable, 1=fixed) b b b b b b b b b b [Utilities] // Id Name Avail linear-in-parameter expression 1 Foot av1 b10 * one + b11 * tt1 + b12 * s + b3 * c1 2 Bike av2 b20 * one + b21 * tt2 + b22 * s + b3 * c2 3 Bus av3 b30 * one + b31 * tt3 + b32 * s + b3 * c3 [Expressions] one = 1 av1 = 1 av2 = 1 av3 = 1 [Model] $MNL

20 7.4 Schätzung eines MNL mit BIOGEME 19 Nachfolgend ein Auszug unserer Datei mysample.dat: ID Choice tt1 tt2 tt3 s c1 c2 c : : : : : : : : : Die von BIOGEME erzeugte Ergebnisdatei mymodel.rep hat u.a. folgenden Inhalt: Model: Multinomial Logit Number of estimated parameters: 8 Number of observations: Number of individuals: Null log-likelihood: Cte log-likelihood: Init log-likelihood: Final log-likelihood: Likelihood ratio test: Rho-square: Adjusted rho-square: Final gradient norm: e-002 Diagnostic: Convergence reached... Iterations: 10 Run time: 00:04 Utility parameters ****************** Name Value Std err t-test p-val Rob. std err Rob. t-test Rob. p-val b fixed-- b b b b fixed-- b b b b * * b * *

21 20 Kapitel 7: Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen Somit wurden folgende deterministischen Nutzenfunktionen geschätzt: V n1 = tt n1 + 0 s n c1 V n2 = tt n s n c2 V n3 = tt n s n c3 Die zugehörige Modellstatistiken: L( ˆβ ) : ρ 2 : Aufgaben Aufgabe 7.1 Wir betrachten das Beipsiel 7.2 aus dem Skript! Für Beobachtung 1 im Datensatz mysample.dat und die geschätzten Koeffizienten für das MNL (Utility Parameters) sind die Auswahlwahrscheinlichkeiten für alle drei Alternativen zu berechnen! Aufgabe 7.2 Wir betrachten erneut das Beispiel 7.2. Eine Studentin benötigt für die Fahrt zur Universität mit dem Fahrrad 15 Minuten und mit dem ÖPNV 13 Minuten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht die Studentin zu Fuss zur Universität? Aufgabe 7.3 Wir betrachten erneut das Beispiel 7.2. Angenommen, wir hätten eine Stichprobe mit n = 200 Studierenden und BIOGOME hätte folgendes ausgewiesen: Final log-likelihood: -80 Welchen Wert hätten wir für das ρ 2 (Rho-square) erhalten? Aufgabe 7.4 Gegeben sind die nachfolgend aufgeführten Nutzenfunktionen eines Discrete Choice Modells ohne Normalisierungen. V car = β asc_car + β tt_car tt car + β cost cost car V rail = β asc_rail + β tt_rail tt rail + β cost cost rail V bike = β asc_bike + β tt_rail tt bike + β cost cost bike (a) Erstellen Sie die zugehörige Spezifikationstabelle! (b) Welche Spezifikationstabelle ergibt sich, wenn wir annehmen, dass sich die Fahrtkosten unterschiedlich auf die Alternativen auswirken? (d) Bei welchen Koeffizienten sind in den o.a. Nutzenfunktionen Normalisierungen zu berücksichtigen? Warum ist dies notwendig? (c) Nehmen Sie an, die Nutzenfunktionen sollen um die Variable age für das Alter eines Individuums n erweitert werden! Um was für eine Variable handelt es sich? Was zeichnet diese Art von Variablen aus? (d) Geben Sie die Spezifikationstabelle(n) zu (c) an und berücksichtigen Sie notwendige Normalisierungen!

22 7.5 Aufgaben 21 Aufgabe 7.5 Es wurden zur Schätzung eines MNL folgende Nutzenfunktionen spezifiziert: V car = β asc_car + β tt_car tt car + β cost cost car + β gender1 gender V rail = β tt_rail tt rail + β cost cost rail + β gender2 gender Die Ergebnisse der Schätzung liegen in der folgenden Tabelle vor: Parameter Name Wert Std. Fehler t-stat 1 β asc_car β cost β gender e β gender e β time_car β time_rail Sind Sie mit der angegebenen Spezifikation einverstanden? Begründen Sie Ihre Entscheidung auch anhand der Schätzergebnisse!

23 22 Kapitel 7: Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen

24 8 Mehrstufige Entscheidungen bei diskreten Umweltzuständen 8.1 Strategie In der Unternehmenspraxis sind zukünftige Umweltzustände ungewiss. Gleichwohl bestehen Handlungsmöglichkeiten (Optionen) zu späteren Zeitpunkten in Abhängigkeit des eingetretenen Umweltzustandes. Die Festlegung von Handlungsanweisungen bis zum Planungshorizont in Abhängigkeit der im Zeitablauf eingetretenen Umweltzustände bezeichnen wir als Strategie. Folglich beschreibt eine optimale Strategie eine optimale Abfolge von Einzelentscheidungen in Abhängigkeit der eingetretenen Umweltzustände. Ein Option kann beispielsweise die Durchführung einer Werbekampagne sein, wenn der Absatz in der vergangenen Periode nicht den Erwartungen entsprach. 8.2 Entscheidungsbaum Mehrstufige Entscheidungsprobleme mit diskreten Umweltzuständen lassen sich durch Entscheidungsbäume veranschaulichen. Beispiel 8.1 Wir betrachten ein Investitionsprojekt bei einem Planungszeitraum von zwei Perioden. Der kalkulatorische Zinssatz sei 10%. Das Investitionsprojekt wäre mit einer Anfangsauszahlung A 0 in Höhe von 500 GE verbunden. Nach einer Periode besteht die Möglichkeit, für 80 GE eine Werbekampagne durchzuführen. Bei einer hohen (geringen) Nachfrage in der ersten Periode, N 1, wird ein Überschuss von 300 GE (150 GE) erwartet. Die Überschüsse stehen jeweils am Ende der betrachteten Periode zur Verfügung. Die Eintrittswahrscheinlichkeit einer hohen Nachfrage in der ersten Periode sei P (N 1 = h) = 0.4 und die einer geringen sei P (N 1 = g) = 0.6. Die weiteren Angaben sind dem nachfolgenden Entscheidungsbaum zu entnehmen. Insbesondere sind für die zweite Periode die Überschüsse und die Eintrittswahrscheinlichkeiten von Umweltzuständen in Abhängigkeit der Nachfrageentwicklung der Vorperiode und der Durchführung bzw. Nichtdurchführung einer Werbekampagne den Pfeilbewertungen zu entnehmen. Beispielsweise gilt P (N 2 = h N 1 = h) =.55, wobei der zugehörige Überschuss 720 GE ausmacht. 23

25 24Kapitel 8: Mehrstufige Entscheidungen bei diskreten Umweltzuständen h/.55/720 h/.4/300 W? ja/-80 nein/0 N 2 N 2 g/.45/600 h/.45/620 g/.55/580 I? ja/-500 nein/0 N 1 g/.6/150 W? ja/-80 nein/0 N 2 N 2 h/.65/480 g/.35/380 h/.35/380 g/.65/280 I? Investition tätigen? W? Werbekampagne durchführen? N t Nachfrage in Periode t {1, 2}? Endknoten h hohe Nachfrage g geringe Nachfrage Pfeilbewertungen [0, 1] repräsentieren (bedingte) Eintrittswahrscheinlichkeiten ansonsten Einbzw. Auszahlungen 8.3 Rollbackverfahren Zur Bestimmung einer optimalen Strategie unter Verwendung eines Entscheidungsbaumes kann das Rollbackverfahren angewandt werden. Hierzu arbeiten wir die Knoten von rechts (hinten) nach links (vorne) ab. Zur Erläuterung der Vorgehensweise betrachten wir das Beispiel 8.1, wobei wir von einer risikoneutralen Entscheidungsfindung ausgehen. Für einen Ereignisknoten bestimmen wir die erwarteten Überschüsse, wenn die (erwarteten) Überschüsse der rechts liegenden Knoten vorliegen. Bezüglich der notwendigen Abzinsung ist darauf zu achten, dass in unserem Beispiel die Überschüsse durch die Nachfrage am Ende einer Periode erzielt werden, während die Auszahlungen für das Investitionsprojekt und die Werbekampagne zu Beginn der ersten bzw. zweiten Periode erfolgen. Somit erhalten wir beispielsweise für den linken oberen Ereignisknoten einen erwarteten und um eine Periode abgezinsten Überschuss von ( )/1.1 = Für den direkt darunter liegenden Ereignisknoten rechnen wir ( )/1.1 = Da nun die erwarteten Überschüsse der Nachfolgeknoten des rechten oberen Entscheidungsknotens vorliegen, können wir für diese Situation eine rationale Entscheidung treffen. Bei Durchführung einer Werbekampagne würden wir einen erwarteten Überschuss von = GE erzielen. Verzichten wir auf eine Werbekampagne, so kommen wir auf = GE. Offensichtlich ist die Alternative zu wählen, die den höchsten Überschuss verspricht, d.h. wir würden auf eine Werbekampagne verzichten. Der erwartete Überschuss des linken oberen Entscheidungsknotens beträgt also max{525.45, } = GE. In einem Entscheidungsknoten wählen wir also die Alternative aus, die den höchsten Überschuss erwarten lässt. Analog kön-

26 8.4 Berücksichtigung einer variablen Informationsstruktur 25 nen wir den erwarteten Überschuss für den rechten unteren Entscheidungsknoten bestimmen (=324.55). Anschließend berechnen wir den erwarteten Überschuss für den Ereigniskonten N 1 : 0.4( )/ ( )/1.1 = Für den ersten Entscheidungsknoten (links) gilt max{ , 0} = Die Rechenergebnisse für unser Beispiel zeigt die nachfolgende Graphik. Da der erwartete Überschuss des Investitionsprojektes (=Kapitalwert) positiv ist, ist die Investition aus der Sicht einer risikoneutralen Entscheidungsträgerin durchzuführen h/.55/ h/.4/ W? ja/-80 nein/0 N N 2 g/.45/600 h/.45/620 g/.55/ I? ja/-500 nein/0 N 1 g/.6/ W? ja/-80 nein/ N N 2 h/.65/480 g/.35/380 h/.35/380 g/.65/280 Die optimale Strategie ist der nachfolgenden Abbildung zu entnehmen. Offensichtlich ist nur dann eine Werbekampagne durchzuführen, wenn die Nachfrage in der ersten Periode gering ausfällt ja/-500 I? N 1 h/0.4/300 g/0.6/ W? W? nein/0 ja/ N N 2 h/.45/620 g/.55/580 h/.65/480 g/.35/ Berücksichtigung einer variablen Informationsstruktur Durch empirische Studien, Heranziehung von Experten, Durchführung physikalischer Experimente, Qualitätskontrollen und dgl. kann die Informationslage einer Entscheidungssituation verbessert werden, wodurch beispielsweise die erwarteten Überschüsse besser prognostiziert werden können. Die Entscheidung zusätzliche Informationen zu gewinnen, verursacht zumeist erhebliche Kosten. Daher ist abzuschätzen, ob die Kosten gerechtfertigt sind. Zur Verdeutlichung betrachten wir ein Beispiel.

27 26Kapitel 8: Mehrstufige Entscheidungen bei diskreten Umweltzuständen Beispiel 8.2 Wir betrachten ein landwirtschaftlichen großflächigen Betrieb. Ein Unternehmen vermutet, dass auf dem Betriebsgelände erhebliche Gasmengen wirtschaftlich gefördert werden können. Das Energieunternehmen ist bereit, dem Betrieb für eine Konzession 120 TEUR unabhängig von der Fördermenge zu zahlen. Sollte tatsächlich Gas gefördert werden, so werden weitere 1200 TEUR in Aussicht gestellt. Die Betriebsleitung überlegt, die Förderung eigenverantwortlich durchzuführen. Die Suche nach Gas würde von einem Dienstleister für 200 TEUR übernommen werden. Bei erfolgreicher Suche und Gasförderung werden Überschüsse in Höhe von 4200 TEUR erwartet (exklusive Suchkosten). Auf Empfehlung eines Geschäftsfreundes wird darüber nachgedacht, vorab seismische Tests in Höhe von 60 TEUR durchzuführen, die eine bessere Abschätzung der Gasmenge erlauben. Recherchen ergaben folgende Wahrscheinlichkeitsangaben: P [Gasvorkommen] = 0.6 P [kein Gasvorkommen] = 0.4 P [seismische Tests negativ Gasvorkommen] = 0.3 P [seismische Tests negativ kein Gasvorkommen] = 0.9 Die Betriebsleitung überlegt, ob der finanzielle Aufwand für die Durchführung eigenfinanzierter seismischer Test gerechtftertigt ist. Zur Entscheidungsfindung werden Wahrscheinlichkeitsaussagen über das Vorhandensein bzw. nicht Vorhandensein von Gasvorkommen, in Abhängigkeit der Testergebnisse benötigt. Sei y j die denkbaren Ausprägungen der Testergebnisse und s i die des Gasvorkommens, so können wir mithilfe des Bayes-Theorems P (s i y j ) = P (y j s i ) P (s i ) q r=1 P (y j s r ) P (s r ) die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bestimmen. y + y s + s Für unser Beispiel definieren wir Tests zeigen ein positives Ergebnis (=Gasvorkommen ist vorhanden) an, Tests zeigen ein negatives Ergebnis an, es ist Gas vorhanden, es ist kein Gas vorhanden und erhalten somit und analog P (s + y ) = P (y s + ) P (s + ) P (y s + ) P (s + ) + P (y s ) P (s ) = P (y s + ) P (s + ). P (y ) P (s + y + ) = P (y+ s + ) P (s + ). P (y + )

28 8.4 Berücksichtigung einer variablen Informationsstruktur 27 Unter Verwendung obiger Daten gilt zunächst einmal P (s + ) = 0.6 P (s ) = 0.4 P (y s + ) = 0.3 P (y + s + ) = 1 P (y s + ) = 0.7 P (y s ) = 0.9 P (y + s ) = 1 P (y s ) = 0.1 Somit können wir die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, dass die seismischen Tests ein negatives P (y ) = P (y s + ) P (s + ) + P (y s ) P (s ) = = 0.54 oder ein positives P (y + ) = 1 P (y ) = 0.46 Ergebnis liefern würden. Darauf aufbauend können wir nun die gesuchten Wahrscheinlichkeiten wie folgt berechnen: P (s + y + ) = P (y+ s + ) P (s + ) P (y + ) = ( )/0.46 = P (s y + ) = 1 P (s + y + ) = P (s + y ) = P (y s + ) P (s + ) P (y ) = = 1/ P (s y ) = 1 P (s + y ) = 2/3 Beispielsweise könen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 91.3% rechnen, dass ein Gasvorkommen vorhanden ist, wenn die seismischen Test positiv ausfallen. Das Entscheidungsfeld zeigt die nachfolgende Abbildung.

29 28Kapitel 8: Mehrstufige Entscheidungen bei diskreten Umweltzuständen y + /.46 K? ja/120 nein/-200 G G s + /0.913/1200 s /0.087/0 s + /0.913/4200 S? ja/-60 E y /.54 K? ja/120 nein/-200 G G s /0.087/0 s + /0.333/1200 s /0.666/0 s + /0.333/4200 s /0.666/0 nein/0 K? S? Seismisches Tests durchführen? K? Konzession vergeben? ja/120 nein/-200 G G s + /0.6/1200 s /0.4/0 s + /0.6/4200 s /0.4/0 E G Testergebnis (y + = positiv, y = negativ) Gasvorkommen (s + = vorhanden, s = nicht vorhanden) Zur Bestimmung der optimalen Strategie wenden wir wieder das Rollbackverfahren an, wobei wir zur Vereinfachung auf Zinseffekte verzichten wollen bzw. die gegebenen Ein- und Auszahlungswerte seien bereits abgezinst. Das Ergebnis des Rollbackverfahrens zeigt nachfolgende Abbildung.

30 8.5 Aufgaben S? ja/ E y + /.46 y / K? 1200 K? ja/120 nein/-200 ja/120 nein/ G G 400 G 1400 G s + /0.913/1200 s /0.087/0 s + /0.913/4200 s /0.087/0 s + /0.333/1200 s /0.666/0 s + /0.333/4200 s /0.666/0 nein/ K? ja/120 nein/ G 2520 G s + /0.6/1200 s /0.4/0 s + /0.6/4200 s /0.4/0 Die optimale Strategie lautet also: keine seismische Test durchführen, eigenverantwortlich nach Gasvorkommen suchen und ggf. das Gasvorkommen auf eigene Rechnung fördern. 8.5 Aufgaben Aufgabe 8.1 Gegeben seien die beiden möglichen Ausprägungen x 1 = 1200 und x 2 = 0 sowie deren Eintrittswahrscheinlichkeiten p 1 = bzw. p 2 = Dann erhalten wir den zugehörigen Erwartungswert µ, die Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ wie folgt: µ = = σ 2 = (x 1 µ) 2 p 1 + (x 2 µ) 2 p 2 = ( ) ( ) = σ = = Wir betrachten erneut das Beispiel 8.2, wobei wir jetzt von einem risikoaversen Entscheidungsträger ausgehen wollen. Seine Risikofunktion lautet r = µ 0.5σ, wobei r das Risikoäquivalent darstellt. Bestimmen Sie die optimale Strategie des Entscheidungsträgers.

31 30Kapitel 8: Mehrstufige Entscheidungen bei diskreten Umweltzuständen

32 Literaturverzeichnis [1] M. Bierlaire. BIOGEME: a free package for the estimation of discrete choice models. In 3rd Swiss Transport Research Conference, [2] M. Bierlaire. An introduction to BIOGEME (Version 1.8), [3] F. S. Koppelman and Ch. Bhat. A self instructing course in mode choice modeling: Multinomial and nested logit models. Technical report, U.S. Department of Transportation, Federal Transit Administration, [4] H.A. Taha. Operations research: an introduction, volume 8. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ,