mechatronic Dynamische und robuste Regelung von Direktantrieben Vortrag anlässlich der SPS/IPC/Drives 2003 Reprint

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1 Dynamische und robuste Regelung von Direktantrieben Vortrag anlässlich der SPS/IPC/Drives 23 Reprint mechatronic Autoren: Dr. Elmar Schäfers Dr. Jens Hamann Dr. Hans-Peter Tröndle

2 Dynamic and robust control of direct drives In contrast to conventional drives, with direct drives the motor is not created until it is integrated into the machine. The mechanical and electrical subsystems are merged to form the mechatronic system by the velocity and position control loops. Since control parameters have a crucial influence on the behavior of the complete system, a main goal of this article is to explain their importance for machine characteristics such as rigidity and dynamics. Furthermore, a new approach for velocity control of direct drives is discussed. It combines high dynamics and robustness and is therefore of great importance for direct drives. Keynotes: Direct drives, PI control, compliance frequency response, elliptic filters 1 Einführung Im Gegensatz zu herkömmlichen Antrieben entsteht bei Direktantrieben der funktionsfähige Motor erst durch die Integration der elektrischen und mechanischen Komponenten in die Maschine. Die Schnittstelle zwischen elektrischem und mechanischem Teilsystem des mechatronischen Systems befindet sich oft räumlich nahe an der Stelle der Bearbeitung. Zusammengeführt werden die Teilsysteme durch Lage- und Geschwindigkeitsregelung des Direktantriebs, und die regelungstechnischen Parameter haben daher entscheidenden Einfluss auf Dynamik und Genauigkeit des Gesamtsystems. Ein zentrales Anliegen dieses Beitrags liegt darin, die Bedeutung regelungstechnischer Größen für wichtige Maschineneigenschaften verständlich zu machen. So wird zunächst im zweiten Abschnitt ein einfaches mechanisches Ersatzmodell eines geschwindigkeitsgeregelten Motors hergeleitet und der Zusammenhang zwischen Reglerparametern und Steifigkeit eines angetriebenen Systems erläutert. Im dritten Kapitel wird ein neuer Ansatz zur Geschwindigkeitsregelung entwickelt, dem gerade bei direkt angetriebenen Systemen eine hohe Bedeutung zukommt. Eine Zusammenfassung beschließt den Beitrag. F mot m Mot v Mot v soll - K P 2 Dynamische Eigenschaften geregelter Antriebssysteme In industriellen Systemen liegt der Antriebsregelung in der Regel eine Kaskadenstruktur zu Grunde [GHW2, SHT21]. Der innerste unterlagerte Regelkreis dient der Stromregelung und wird im Folgenden nicht weiter diskutiert. Der überlagerte Drehzahl- oder Geschwindigkeitsregelkreis, der zunächst untersucht werden soll, verbindet das elektrische mit dem mechanischen Teilsystem zu einem mechatronischen System, dessen Eigenschaften von den Reglerparametern maßgeblich beeinflusst werden. Zwar sind die Antriebsregelkreise in den meisten Fällen digital realisiert, doch erlaubt eine vereinfachte kontinuierliche Betrachtung wie in Bild 1 die transparente Herleitung einiger grundlegender Beziehungen, weshalb in diesem Beitrag eine quasikontinuierliche Näherung der Abtastsysteme zu Grunde gelegt wird. Basis des Regelkreises in Bild 1 ist ein PI-Regler mit Verstärkung Kp und Nachstellzeit Tn, der aus der Regeldifferenz eine Sollmotorkraft F soll errechnet. Die tatsächliche Motorkraft F mot ergibt sich allerdings erst nach einer gewissen Zeit aus der Sollkraft. Verzögerungen entstehen beispielsweise durch digitale Rechenzeiten, durch die begrenzte Dynamik des geschlossenen Stromregelkreises oder durch Stromsollwertfilter. Letztere verursachen, wie im dritten Abschnitt erläutert wird, in vielen Fällen die dominierende Verzögerung. In Bild 1 sind alle Verzögerungen durch die Übertragungsfunktion G ver zusammengefasst. 1 T N m Last PI-Regler F soll G ver Bild 1: Vereinfachte Darstellung eines geschwindigkeitsgeregelten Systems. 2

3 Vernachlässigt man zunächst den Einfluss der Verzögerungen, kommt man zu einem einfachen mechanischen Ersatzmodell des geschwindigkeitsgeregelten Systems. Die Motorkraft folgt dann aus zwei Anteilen, die durch mechanische Übertragungsglieder dargestellt werden können: Die mit der Reglerverstärkung Kp multiplizierte Differenz zwischen Soll- und Motorgeschwindigkeit lässt sich durch ein Dämpfungsglied mit der Dämpfung Kp darstellen. Der zweite Anteil der Motorkraft entsteht durch Integration der Geschwindigkeitsdifferenz und Multiplikation mit dem Faktor Kp/Tn; die Übertragung einer solchen wegabhängigen Kraft kann im mechanischen Ersatzmodell mit Hilfe einer Feder mit der Steifigkeit Kp/Tn erfolgen. Möchte man eine Dämpfung von etwa 6% der kritischen Dämpfung 1 erreichen, dann zeigt die Rechnung unter Berücksichtigung der Verzögerungen, dass die Nachstellzeit zu 5 ms zu wählen ist. Daraus folgt bei einer starren Masse M von 1 kg eine regelungstechnische Ersatzsteifigkeit von 24 N/µm. x soll - K V F mot G verlage m Mot v Mot - stationären Zustand verschwindende Regelabweichung des Lageregelkreises kommt einer unendlichen statischen Steifigkeit gleich. Wird in ein System eine Kraft mit einer bestimmten Frequenz eingeleitet (harmonische Anregung) und der eingeschwungene Zustand abgewartet, dann K P 1 T N m Last x Last Bild 3: Vereinfachte Darstellung eines geschwindigkeits- und lagegeregelten Systems. F soll G ver v soll c = K p / T N d = K p v Mot m Mot v Last m Last Bild 2: Mechanisches Ersatzschaltbild des Systems aus Bild 1, Verzögerungen G verz vernachlässigt. Dem mechanischen Ersatzmodell des geschwindigkeitsgeregelten Systems nach Bild 2 liegt die Vorstellung zu Grunde, dass die kommandierte Geschwindigkeit v soll einem Balken eingeprägt wird, dessen Bewegung sich über ein Feder/ Dämpfersystem mit Steifigkeit Kp/Tn und Dämpfung Kp auf den Motor überträgt. Dieses Ersatzmodell aus Bild 2 hat nur Gültigkeit für solche Parameter Kp und Tn, die eine Vernachlässigung der Verzögerungen G verz zulassen. Kommt beispielsweise ein Simodrive Antrieb der Siemens AG zum Einsatz, dann ergibt sich für ein starres System mit der Masse M bei Abtastzeiten von Strom- und Geschwindigkeitsregelung von 125 µs ein maximal einstellbares Kp von etwa 12 Ns/(m kg) M. Durch das Schließen des Lageregelkreises (Bild 3) erhält man ein System, welches nicht durch ein derartiges mechanisches Ersatzschaltbild dargestellt werden kann. Proportional zur Lage-Regeldifferenz und dem Kv-Faktor wird eine Sollgeschwindigkeit bestimmt, die nach einer Verzögerung den Sollwert des Geschwindigkeitsregelkreises bildet. Im Übertragungsglied G verlage sind vereinfachend alle Verzögerungen (beispielsweise bedingt durch Rechenzeit, Filterung, Istwerterfassung) zusammengefasst. Durch den Lageregler wird die statische Steifigkeit des geregelten Systems unendlich, wenn die Prozesskraft an der Masse eingeleitet wird, wo die Lagemessung erfolgt: Im stationären Zustand ist die Geschwindigkeit des Systems gleich Null, und durch den Integralanteil des Geschwindigkeitsregelkreises wird dessen stationäre Genauigkeit erzwungen. Daher muss die Sollgeschwindigkeit verschwinden und damit auch die Regeldifferenz des Lageregelkreises. Eine im lässt sich die sogenannte dynamische Nachgiebigkeit bei dieser Frequenz errechnen. Deren Betrag ist für jede Anregungsfrequenz durch den Quotienten aus der Amplitude der Wegauslenkung an der Stelle der Krafteinleitung und der Amplitude der Krafteinleitung gegeben. Die zugehörige Phase entspricht der Differenz der Phasenwinkel von Wegauslenkung und Krafteinleitung. Werden Betrag und Phase über der Frequenz aufgetragen, erhält man den Nachgiebigkeitsfrequenzgang. 1 Ein mit der sogenannten kritischen Dämpfung versehenes Feder(c)-Masse(m)-Dämpfer(d)- System ist gerade nicht schwingfähig, d. h. die Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung setzt sich nur aus abklingenden Exponentialfunktionen ohne Sinus- oder Kosinusanteile zusammen. Die kritische Dämpfung berechnet sich zu d krit =2 (c m). Bei kleinerer Dämpfung d<d krit wird das System schwingfähig. 3

4 In Bild 4 sind die Amplitudengänge verschiedener Nachgiebigkeitsfrequenzgänge dargestellt, die einer direkt angetriebenen, starren Masse von 1 kg zugeordnet werden können. Das ungeregelte System, also die freie Masse, weist entsprechend dem doppelt integralen Zusammenhang zwischen eingeleiteter Kraft und Wegauslenkung einen Amplitudenabfall von 4 db/ Dekade auf. Wird die Geschwindigkeitsregelung mit einem Kp von 12 Ns/m und einer Nachstellzeit von 5 ms aktiviert, ergibt sich entsprechend dem Ersatzmodell aus Bild 2 eine Steifigkeit von 24 N/µm bzw. eine Nachgiebigkeit von.42 µm/n. Durch den Lageregler (Bild 4, rechtes Bild) wird die Steifigkeit für niedrige Frequenzen erhöht, und im statischen Fall ( Hz) wird eine unendliche Steifigkeit bzw. verschwindende Nachgiebigkeit erreicht. Bemerkenswert ist, dass durch Aktivieren der Geschwindigkeitsregelung in einem bestimmten Frequenzbereich (etwa zwischen 15 Hz und 7 Hz, siehe Bild 4, linkes Bild) das Systemverhalten schlechter wird, da die Nachgiebigkeit im Vergleich zum ungeregelten System (freie Masse) zunimmt. Dies lässt sich dadurch erklären, dass eine regelungstechnische Störunterdrückung nur in Frequenzbereichen erreicht werden kann, in denen der Amplitudengang des offenen Regelkreises oberhalb der db- Linie liegt. In Frequenzbereichen, wo sich der Amplitudengang des offenen Kreises deutlich (etwa 1 db) unterhalb der db-linie befindet, ist der Einfluss der Regelung vernachlässigbar, und das Systemverhalten gleicht dem des ungeregelten Systems. Liegt die Frequenzkennlinie des offenen Kreises im Bereich der db-linie, zeigt das geregelte System eine höhere Nachgiebigkeit als das ungeregelte. Bild 5 zeigt den offenen Geschwindigkeitsregelkreis für das System aus Bild 4. Im Zusammenhang mit der Lageregelung (Bild 4, rechtes Bild) ist das prinzipiell gleiche Verhalten zu beobachten. In diesem Abschnitt wurde der Einfluss regelungstechnischer Parameter auf das Verhalten eines angetriebenen Systems verdeutlicht. Beschränkungen für einstellbare Reglerparameter ergeben sich durch Verzögerungen im Regelkreis, die oft maßgeblich durch Filter beeinflusst werden. Im folgenden Abschnitt wird diese Problemstellung ausführlich behandelt. Nachgiebigkeit 1 / (1-1 N/µm) 1 / (1N/µm) 1/(1N/µm) 1/(1N/µm) 1/(1N/µm) 1/(1.N/µm) 1/(1.N/µm) 1/(M ω 2 ) T N / K P Freie Free mass Masse Geschwindigkeitsgeregeltes Velocity-controlled system System 6 A/dB ϕ/grad -45 Zone Bereich ofaktiver active disturbance Störunterdrückung suppression Nachgiebigkeit Compliance etwas larger than größer als ungeregelt uncontrolled Compliance Nachgiebigkeit similar wie ungeregeltes to uncontrolled System system Frequenz (Hz) Nachgiebigkeit / (1-1 N/µm) 1 / (1N/µm) 1/(M ω 2 ) /(1N/µm) 1/(1N/µm) 1/(1N/µm) 1/(1.N/µm) 1/(1.N/µm) T N / K P Position Lage- und and geschwindigkeitsgeregeltes system velocitycontrolled System Frequenz (Hz) Bild 5: Frequenzkennlinie des offenen Geschwindigkeitsregelkreises (quasikontinu-ierliche Näherung) aus Bild Frequenz (Hz) Bild 4: Nachgiebigkeits-Amplitudengänge einer Masse von 1 kg. Gestrichelter Verlauf: ungeregeltes Verhalten, punktierte Linie: geschwindigkeitsgeregelt, Kp = 12 Ns/m, Tn = 5 ms. Unteres Bild, durchgezogener Verlauf: Nachgiebigkeits-Amplitudengang mit aktiver Lageregelung (Kv = 1m/(mm min)). 4

5 3 Phasensparende Tiefpassfilter zur dynamischen und robusten Regelung von direkt angetriebenen Systemen Die folgenden Ausführungen werden am Beispiel von Rundachsen erläutert, die mit Direktantrieben ausgestattet sind (Bild 6). Als Maß für die Dynamik der Reglereinstellung einer derartigen Achse wird sowohl das Führungs- als auch das Störverhalten herangezogen. Die Robustheit einer Einstellung drückt sich darin aus, inwieweit die Parametrierung für verschiedene Massenträgheitsmomente der Last gültig ist, da bei vielen Anwendungen direkt angetriebener Rundachsen die mechanischen Eigenfrequenzen abhängig von der aufgespannten Last (beispielsweise verschiedene Werkzeuge oder Werkstücke) variieren. Bei linearen Direktantrieben zeigt sich häufig anders als bei den hier betrachteten Rundachsen eine positionsabhängige Verschiebung der mechanischen Eigenfrequenzen, die ebenfalls eine robuste Reglerparametrierung erfordert. Im 2. Kapitel wurde gezeigt, dass die Steifigkeit eines geschwindigkeits- oder drehzahlgeregelten Systems gleich dem Quotienten aus K P und T N ist, weshalb dieser Quotient im Folgenden als Gütemaß eines drehzahlgeregelten Systems herangezogen wird. Anhand der Frequenzkennlinien des offenen Regelkreises wird deutlich, wodurch die Größen K P und T N beschränkt werden. Bild 7 zeigt den Frequenzgang des offenen Drehzahlregelkreises für ein mechanisches System nach Bild 6, das vereinfacht durch einen Zweimassenschwinger beschrieben wurde. Eingangsgröße ist der Sollwert des Motormoments in N, Ausgangsgröße die Motordrehzahl in rad/s. Die mechanische Resonanz liegt bei 1 khz, und das gesamte Massenträgheitsmoment beträgt 1 kgm 2. Angenommen wurde ein Drehzahlreglertakt von 125 ms. Für den gestrichelt gezeichneten Amplituden- und Phasenverlauf wurde ein P- Regler mit einer Verstärkung von 1 Nms/rad angenommen. Entsprechend dem Nyquistkriterium, das für die hier betrachtete Aufgabenstellung in seiner vereinfachten Form angewendet werden kann [FDK1994], wird die zulässige Verstärkung zum einen durch die notwendige Phasenreserve beschränkt, die aus der gewünschten Dämpfung des geregelten Systems folgt und im Drehzahlregelkreis nicht unter 35 liegen sollte. Zum anderen ist sicherzustellen, dass der geschlossene Regelkreis keine Überhöhung von mehr als 5 db zeigt. Ohne eine Filterung ist lediglich eine Verstärkung von etwa 5 Nms/rad möglich, da ansonsten im geschlossenen Drehzahlregelkreis die mechanische Resonanz zu einer unzulässigen Überhöhung führen würde. Würde man die Resonanz im offenen Kreis durch eine Bandsperre (Notch-Filter) bei 1 khz kompensieren, wäre zwar eine hohe Verstärkung möglich, aber die Einstellung wäre nicht robust, da bei einer Verschiebung der Resonanz (z. B. anderes Werkstück oder Werkzeug) das System nicht mehr stabil wäre. Notwendig ist eine breitbandige Filterung, um die geforderte Robustheit zu erreichen. Oftmals werden in der Regelungstechnik PT2-Glieder zur Tiefpassfilterung verwendet. Wird gefordert, dass eine Unterdrückung von mindestens 25 db bei Frequenzen ab A/dB -5-1 ϕ/grad F O mit PT2-Filter Bild 7: Frequenzgang des offenen Drehzahlregelkreises (gestrichelt mit P-Regler, Verstärkung 1 Nms/rad, durchgezogen mit PT2-Glied) für ein System nach Bild 7. 8 Hz gewährleistet sein muss, dann ergibt sich mit einem entsprechend berechneten PT2- Glied ein offener Regelkreis gemäß Bild 7, durchgezogener Verlauf. Die Resonanz wird hinreichend unterdrückt, und begrenzend wirkt jetzt der durch das PT2-Glied verursachte starke Phasenverlust, was im Vergleich mit dem offenen Kreis mit P- Regler deutlich wird. Ein starker, über der Frequenz auftretender Phasenabfall ist gleichbedeutend mit einer großen Verzögerung im System. F O mit P-Regler F O mit PT2-Filter Resonanz bei 1kHz F O mit P-Regler f/hz Bild 6: Schematische Darstellung einer direkt angetriebenen Rundachse 5

6 Verstärkung K P und Nachstellzeit T N können jetzt so bestimmt werden, dass bei der geforderten Phasenreserve von 35 der Quotient KP/TN möglichst groß wird. Das Optimum liegt hier bei K P = 37 Nms/rad und T N = 7.6 ms. Um den durch das Tiefpassfilter verursachten starken Phasenabfall zu vermindern, ohne die Anforderung hinsichtlich der erforderlichen Amplitudenabsenkung zu verletzen, müssen höherwertige Filteralgorithmen zur Anwendung kommen. Mit einer Tiefpassfilterung, bei welcher die Dämpfung im Sperrbereich nicht unnötig anwächst und die einen möglichst steilen Übergang vom Durchlass- zum Sperrbereich aufweist, kann ein erheblich geringerer Phasenabfall bei niedrigen Frequenzen erreicht werden. Diese Anforderungen werden bei gegebener Filterordnung optimal durch Cauer-Filter erreicht: Durch deren Tschebyscheff-Verhalten sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich wird die maximale Abweichung von der geforderten Dämpfung minimal, und Cauer- Filter passen sich dadurch optimal in ein gegebenes Toleranzschema mit bereichsweise konstanten Mindest- bzw. Maximaldämpfungen ein [C1934]. Die Anwendung von Cauer-Filtern wird in der Nachrichtentechnik durch die starken Änderungen der Phase eingeschränkt, die beim Übergang vom Durchlass- zum Sperrbereich und im Sperrbereich auftreten. Bei regelungstechnischen Anwendungen profitiert man dagegen vom geringen Phasenabfall bei niedrigen Frequenzen, ohne dass die Phasenänderungen im Sperrbereich ins Gewicht fallen: Bei niedrigen Frequenzen ist der Phasenverlauf entscheidend, bei hohen Frequenzen dagegen die Sicherstellung der Amplitudenabsenkung. Mathematische Grundlagen und Hinweise zum Filterentwurf sind beispielsweise in [H1993, D1978] zu finden. A/dB ϕ/grad db bei 46Hz Bild 8 zeigt links den Amplitudenund Phasengang eines Cauer- Filters 6. Ordnung (,5 db Toleranz im Durchlassbereich, 25 db Absenkung ab 8 Hz) im Vergleich zum PT2-Glied. Erkennbar sind die diskutierten Eigenschaften des Cauer-Filters. Wegen des bedeutend geringeren Phasenabfalls bei niedrigen Frequenzen lassen sich bei einer geforderten Phasenreserve von 35 Verstärkung und Nachstellzeit des PI-Reglers zu K P = 68 Nms/rad und T N = 4.2 ms einstellen, die einen im Vergleich zu den oben ermittelten Werten um den Faktor 3,3 größeren Quotienten K P /T N ergeben! PT2 PT2-45 bei 85Hz Cauer Cauer Bild 8: Linkes Diagramm: Frequenzgang des Cauer-Filters 6. Ordnung im Vergleich zum PT2-Glied, rechtes Diagramm: Führungsfrequenzgang Drehzahlregelkreis, durchgezogen: mit Cauer-Filter, gestrichelt: mit PT2-Glied. f/hz f/hz Sowohl beim Führungs- als auch beim Störverhalten zeigt sich die Überlegenheit des Ansatzes auf Basis von Cauer-Filtern. Die Ersatzzeitkonstante des geschlossenen Drehzahlregelkreises, die nach [HT1997] ein Maß für die Dynamik des Führungsverhaltens darstellt, lässt sich näherungsweise aus dem Kehrwert der Kreisfrequenz bestimmen, bei der die Phase 45 beträgt. Diese errechnet sich aus den im rechten Diagramm von Bild 8 eingetragenen Werten zu 1/(2 π 85 Hz) = 1,9 ms, wenn das Cauer-Filter verwendet wird, und zu 1/(2 π 46 Hz) = 3,5 ms, wenn das PT2-Glied zum Einsatz kommt. 6

7 .3 Ω [rad/s].25.2 System mit PT System mit Cauer-Filter t [s] Bild 9: Verlauf der Winkelgeschwindigkeit an der Last bei sprungförmig aufgeschaltetem Störmoment von 1 Nm Die Reaktion der Last bei einem sprungförmig aufgeschalteten Drehmoment von 1 Nm ist in Bild 9 zu sehen. Beim System mit Cauer-Filter ist im Vergleich zum PT2-geregelten System ein deutlich geringerer Ausschlag an der Last zu beobachten. Schließlich werden in Bild 1 gemessene Frequenzgänge der direkt angetriebenen Rundachse einer Schleifmaschine gezeigt, bei der Cauer-Filter zu einer erheblichen Verbesserung des dynamischen Verhaltens geführt haben. Die komplette Automatisierung der Schleifmaschine erfolgte mit Komponenten der Siemens AG (Steuerung Sinumerik 84D, Antriebe Simodrive 611D, Motoren der 1FT6- bzw. 1FE-Baureihe), so dass die gezeigten Messungen mit den internen Messfunktionen erfolgen konnten. Bild 1: Gemessene Frequenzgänge der direkt angetriebenen Achse einer Schleifmaschine: links mechanische Regelstrecke (Eingangsgröße Motormoment, Ausgangsgröße Motordrehzahl), rechts geschlossener Drehzahlregelkreis mit Cauer-Filter Insgesamt wurde in diesem Abschnitt deutlich, dass mit dem Einsatz von phasensparenden Cauer-Filtern ein erheblicher Gewinn an Dynamik und Robustheit gerade bei direkt angetriebenen Achsen erzielt werden kann. Dies ist im Wesentlichen darauf zurückzuführen, dass mit solchen höherwertigen Filteralgorithmen eine definierte Anpassung der dynamischen Verstärkung des Regelkreises möglich ist, wodurch sich ein günstiger Phasenverlauf ergibt. 7

8 4 Zusammenfassung In diesem Beitrag wurde zunächst die Bedeutung regelungstechnischer Parameter in Hinblick auf Dynamik und Steifigkeit einer geregelten Maschinenachse erläutert. Es wurde ein mechanisches Ersatzmodell für eine geschwindigkeitsgeregelte Achse hergeleitet, an dem der Einfluss von Reglerverstärkung und Nachstellzeit deutlich wird. Die Nachgiebigkeit einer lageund geschwindigkeitsgeregelten Achse wurde im Frequenzbereich diskutiert. Darüber hinaus wurde eine neue Vorgehensweise zur robusten und dynamischen Regelung direkt angetriebener Systeme erläutert. Mit Cauer-Tiefpassfiltern gelingt eine Unterdrückung hochfrequenter Resonanzen, ohne dass die Phase bei niedrigen Frequenzen stark gesenkt wird. Mit der dadurch einstellbaren hohen Reglerverstärkung wird eine im Vergleich zu herkömmlichen Methoden bedeutend bessere Dynamik des Drehzahlregelkreises erreicht. Literatur [GHW2] H. Groß, J. Hamann, G. Wiegärtner: Elektrische Vorschubantriebe in der Automatisierungstechnik. Publicis MCD Verlag, Erlangen und München, 2. [SHT21] E. Schäfers, J. Hamann, H.-P. Tröndle: Mechatronik für Werkzeug- und Produktionsmaschinen. Tagungsband VDI Mechatronik- Workshop Innovation im Maschinenbau durch Systemintegration von Mechanik und Mikroelektronik, September 21, Stuttgart, 21. [HT1997] J. Hamann, H.-P. Tröndle: Die Schallgrenze bei der Regelung elastomechanischer Systeme. 3. Magdeburger Maschinenbau- Tage, September 1997, Tagungsband 2, S , Logos-Verlag Berlin, [FDK1994] O. Föllinger, F. Dörrscheid, M. Klittich: Regelungstechnik. Einführung in die Methoden und ihre Anwendung. 8. bearbeitete Auflage, Hüthig- Verlag, [C1934] W. Cauer: Siebschaltungen. VDI-Verlag, Berlin, [H1993] W. Hess: Digitale Filter. 2. überarb. und erw. Auflage, Teubner-Verlag, Stuttgart, [D1978] S. Darlington: Simple Algorithms for elliptic filters and generalization thereof. IEEE Transactions CAS-25, , Siemens Aktiengesellschaft Automation and Drives Motion Control Systems Postfach 31 8, D-915 Erlangen Bestell-Nr. E21-A34-P63 Printed in Germany 21D6834 MK.MC.3.MAST SD 541. Siemens AG, 24 Änderungen vorbehalten