Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Prof. Dr. Michael Eisermann Höhere Mathematik (vertieft) Inhalt dieses Kapitels S000 Kapitel S Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistical thinking will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read or write. H.G. Wells ( 9) Les questions les plus importantes de la vie ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité. Pierre-Simon de Laplace (9 ) Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Zufall und Wahrscheinlichkeit: Grundbegriffe Rechnen mit Ereignissen: Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Formel von Bayes Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Fazit: Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenfassung Verständnisfragen ufgaben nwendungen aus dem lltag Sex: Was nützen dem Pfau seine Federn? Tischkicker: Das Runde muss ins Eckige. WiSe 0/ Stand.0.0 Ziele der Wahrscheinlichkeitsrechnung S00 Ziele der Wahrscheinlichkeitsrechnung S00 Unser Ziel sind rationale Entscheidungen unter Unsicherheit. Experimente unter Einfluss von Zufällen Prozesse mit unsicherem usgang Wir suchen hierzu begründete quantitative ussagen. Ungenauigkeit von Messungen, Konfidenzintervalle. usfallwahrscheinlichkeit, Lebensdauer von Bauteilen Bewertung von Risiken (Unfälle, Schutz, Versicherung) Glücksspiele (Lotto, Roulette, Poker, ktienbörse, Klausur) That s life: Fast alles im Leben ist ein Wahrscheinlichkeitsexperiment! Ingenieure müssen Risiken abschätzen, minimieren, verkaufen bzw. Chancen berechnen, maximieren, kaufen. Dazu dient die Stochastik! Literatur: E. Kreyszig: dvanced Engineering Mathematics. Wiley 999 U. Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Vieweg 99 W. Feller: Probability Theory and pplications. Wiley 90 9 Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beginnt im. Jh. mit Rechnungen zu Glücksspielen. S09 Heutzutage wird sie überall eingesetzt, von der Wettervorhersage bis zur Industrieproduktion und klinischen Tests neuer Medikamente. In ihrer Bedeutung für den lltag kommt sie wohl gleich nach Grundrechenarten und Dreisatz. Ich möchte wetten, Wahrscheinlichkeitsrechnung wird von Otto Normalbürger viele hundertmal häufiger benötigt und benutzt als die vielbeschworene Mitternachtsformel! Das hängt natürlich davon ab, was man im lltag oder Beruf so tut... Viele Vorgänge haben unsicheren usgang; stochastische rgumente sind daher unausweichlich. Leider erstaunlich häufig werden aber selbst einfache Fragen falsch behandelt manchmal mit katastrophalen Folgen. Damit es Ihnen nicht so, sondern besser ergeht, sollen Sie hier mit (einer homöopathischen Dosis) Wahrscheinlichkeitsrechnung geimpft werden. Zu Experten werden Sie dadurch noch nicht, aber die Grundideen müssen Sie kennen und anwenden können. Statt Wahrscheinlichkeitsrechnung spricht man gleichbedeutend von Wahrscheinlichkeitstheorie: uf Grundlage eines geeigneten Modells (eines Wahrscheinlichkeitsraums wie unten erklärt) erlaubt sie die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten zu den betrachteten Ereignissen. Ihr Gegenstück ist die Statistik, also die nalyse empirischer Daten (Messwerte, Beobachtungen). Diese versucht, aus bereits vorliegenden Daten relevante Informationen zu extrahieren, insbesondere um ein geeignetes Modell zu bilden bzw. zu testen und anzupassen. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ergänzen sich demnach. Beide fasst man unter dem Oberbegriff Stochastik zusammen, von altgriechisch στοχάζομαι [stochazomai] zielen, vermuten, erraten, auch στοχαστικός [stochastikos] scharfsinnig. Typische nwendung: usfallwahrscheinlichkeit S00 Typische nwendung: Chancen beim Glückspiel S00 ufgabe: Drei unabhängige Bauteile haben usfallwkten 0., 0., 0.. (0) Mit welcher Wkt fällt mindestens ein Teil aus? () Genau 0,,,? () Wenn nur genau ein Teil ausfällt, mit welcher Wkt ist es, B, C? () Konstruieren Sie als Modell hierfür explizit einen WRaum (Ω, P). Techniken: Rechenregeln für WRäume, bedingte Wkt, Bayes. Lösung ab Seite S0: Die Wkten sind 0., 0., 0.9, 0.0. us der Presse: In 000 Reaktorjahren sind Unfälle der höchsten Stufe aufgetreten. Demnach tritt bei europäischen Reaktoren in 0 Jahren ein solcher Unfall mit Wahrscheinlichkeit von über 00% auf. ufgabe: Was ist hieran falsch? Welche Rechnung wäre richtig? Techniken: usfallwkt (exakt), Poissonverteilung (gute Näherung). Lösung ab Seite T09: Die Wkt ist mit 0% erschreckend hoch. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat viele praktische nwendungen, ihre Ursprünge liegen im Würfelspiel. Eines der ersten Probleme war die gerechte Teilung bei vorzeitigem Spielabbruch. Zwei gleich starke Teams spielen Tischkicker bis 0. ufgabe: Wie stehen die Chancen bei : 9? bei :? Lösung ab Seite S: (a) : (leicht) bzw. (b). :. (knifflig) Um Sie vom Ernst solcher Fragestellungen zu überzeugen, folgendes Szenario: Sie spielen um viel Geld, im Film üblicherweise den Wert eines utos, doch das Spiel wird jäh unterbrochen, sagen wir durch eine Razzia. Im Polizeigewahrsam können Sie das Spiel nicht beenden, daher einigen Sie sich mit dem gegnerischen Team, den Einsatz gerecht aufzuteilen, proportional zu den Gewinnchancen beim letzten Stand :. Diese gilt es zu berechnen! Sie haben ja Zeit... Typische nwendung: Gesetze der großen Zahlen S00 Gewählte Themen und benötigte Techniken S00 Nach den grundlegenden Modellen betrachten wir große Datenreihen: ufgabe: Sie wiederholen 00 mal unabhängig ein Experiment mit Trefferwkt 0%. Mit welcher Wkt erhalten Sie 0 bis 90 Treffer? Techniken: Erwartung und Varianz, Binomialverteilung (exakt), lokaler Grenzwertsatz (gute Näherung), Chebychev (bschätzung). Lösung ab Seite U: Die Wkt beträgt recht genau 90%. ufgabe: Sie würfeln 00 mal mit einem fairen/gezinkten Würfel. Mit welcher Wkt erhalten Sie eine ugensumme S 90? ngenommen S 90, mit welcher Wkt ist der Würfel gezinkt? Techniken: Chebychev (grob), zentraler Grenzwertsatz (fein). Lösung ab Seite V: Die Wkt beträgt % für den fairen Würfel. Diese ufgaben nenne ich stellvertretend für unsere vier Kapitel über Wahrscheinlichkeitsrechnung. Meine uswahl der Themen (in Breite und Tiefe) ist naturgemäß ein Kompromiss: Für den einen ist es schon zuviel, für die andere noch lange nicht genug. Ihr Bedarf hängt ganz davon ab, worin Sie sich später spezialisieren! Ich will und kann nur einen Einstieg bieten, damit Sie diese Themen je nach Bedarf vertiefen können. Wenn Sie das alles schon aus der Schule kennen und beherrschen, dann können Sie die folgenden Kapitel als Wiederholung durcharbeiten. Vermutlich ist aber für die meisten noch viel Neues (und Schönes) dabei. Welche Grundlagen und Rechentechniken benötigen wir? Die nfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wie hier dargelegt, erfordern vor allem begriffliche Präzision (Ereignisse und WMaße), sind aber technisch leicht (Reihen, Kombinatorik). Kontinuierliche Verteilungen, wie die Normalverteilung, erfordern zudem Integration. Überall nützlich sind Grenzwerte und Näherungen, wie Stirling Formel oder Taylor Entwicklung. Den zentralen Grenzwertsatz schließlich können wir mit der Fourier Transformation schmerzfrei nachrechnen.

2 Statistik über 0 Lottoziehungen Ziehungen vom bis 09..0, Sa+Mi, mit Zusatzzahl. 00 beobachtete Häufigkeit S gezogene Lottozahl Modell / vereinfachende nnahme: Die Ziehungen unterliegen nur dem Zufall und alle Zahlen,..., 9 sind dabei gleich wahrscheinlich. Statistik: empirische Häufigkeiten beim Würfeln S Statistik über 0 Lottoziehungen Ziehungen vom bis 09..0, Sa+Mi, mit Zusatzzahl. beobachtete Häufigkeit S gezogene Lottozahl Ein Modell ist eine nnahme und sollte kritisch überprüft werden. Titanic (.0.0): Experten warnen: Lottozahlen oft reiner Zufall! Stochastik: Modell eines fairen Würfels Wahrscheinlichkeit 0. / 0. S0 0 ugenzahl Das empirische Gesetz der großen Zahlen ist folgende Erfahrungstatsache: Bei sehr häufiger unabhängiger Wiederholung nähern sich die relativen Häufigkeiten einem Grenzwert an. Stochastisches Modell eines fairen Würfels Mögliche Ergebnisse sind die Zahlen,,,,,. nnahme: lle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Das bedeutet anschaulich: Wenn man sehr oft würfelt, dann treten die Ergebnisse,,,,, gleich häufig auf, jedes also in / aller Fälle. Das ist zunächst eine Erfahrung, sodann eine empirische Beobachtung. Für das theoretische Modell hingegen ist es die grundlegende nnahme. bstraktion des Experiments zu einem mathematischen Modell: Ergebnismenge Ω {,,,,, } Elementarwahrscheinlichkeiten p : Ω [0, ] gegeben durch p() p() p() p() p() p(). Dieses Modell besteht nicht aus empirischen Daten, sondern ist eine axiomatische Festlegung! Wir fixieren damit präzise unsere nnahmen und leiten alle weiteren Rechnungen hieraus ab. In diesem Falle ist die Gleichverteilung plausibel aufgrund der Symmetrie des Würfels. Wie kann man das interpretieren? oder messen? Was bedeutet Wahrscheinlichkeit q [0, ]? Vereinfacht gesagt: Bei häufiger Wiederholung tritt das Ergebnis im nteil q aller Fälle ein. Stochastisches Modell eines gezinkten Würfels Man kann Würfel durch ungleiche Masse manipulieren (Bleieinlage). Präzisionswürfel sind daher transparent, um Betrug zu erschweren. Gleiche Wkten! Präzisionswürfel aus Kunststoff Ungleiche Wkten? ngenommen, die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich, sondern: p() 0., p() p() p() p() 0., p() 0. Dies ist ein anderes stochastisches Modell als die zuvor betrachtete Gleichverteilung! Es besagt anschaulich: Wenn man sehr oft würfelt, tritt die ugenzahl etwa in % aller Fälle auf,,,, jeweils etwa in % aller Fälle, und in etwa in % aller Fälle. Handgesägte Würfel aus Holz S0 S0 Diese Wahrscheinlichkeiten bilden das stochastische Modell. Es handelt sich um eine bstraktion, also theoretische Werte. Hiervon zu unterscheiden sind die empirischen relativen Häufigkeiten: Diese werden bei n maliger Durchführungen des Experiments beobachtet. Nur für n nähern sie sich den Wahrscheinlichkeiten an. Wkt von Ergebnissen und Ereignissen ufgabe: Sie würfeln mit einem fairen Würfel. Wie wahrscheinlich ist das Ereignis : gerade Zahl? B: mindestens? B: beides? Lösung: Das Ereignis {,, } hat die Wahrscheinlichkeit P() P({,, }) p() + p() + p() + +. Das Ereignis B {, } hat die Wahrscheinlichkeit P({, }) p() + p() +. Die Schnittmenge B {} hat die Wahrscheinlichkeit P( B) P({}) P(). Die Ereignisse und B sind hier stochastisch unabhängig. Das Ereignis gerade Zahl entspricht der Teilmenge {,, }. Das Ereignis tritt genau dann ein, wenn ein Ergebnis ω eintritt. Interpretation der Wkt: Das Ereignis tritt in der Hälfte aller Fälle ein. Das Ereignis mindestens eine entspricht der Teilmenge B {, }. Interpretation der Wkt: Das Ereignis B tritt in einem Drittel aller Fälle ein. Diese Rechnungen beruhen auf dem Modell eines fairen Würfels. Ein gezinkter Würfel hat im llgemeinen andere Wahrscheinlichkeiten, wie im nachfolgenden Beispiel erklärt. Vor der Rechnung muss man sich also auf ein Modell festlegen! Wkt von Ergebnissen und Ereignissen ufgabe: Sie würfeln mit diesem gezinkten Würfel. Wie wahrscheinlich ist das Ereignis : gerade Zahl? B: mindestens? B: beides? Lösung: Das Ereignis {,, } hat die Wahrscheinlichkeit P() P({,, }) p() + p() + p() Das Ereignis B {, } hat die Wahrscheinlichkeit P({, }) p() + p() Die Schnittmenge B {} hat die Wahrscheinlichkeit P({}) 0. P() 0.9. Die Ereignisse und B sind hier stochastisch abhängig. Interpretation: Das Ereignis tritt in % aller Fälle ein, B tritt in % aller Fälle ein. Die Wahrscheinlichkeiten sind hier anders als beim fairen Würfel. Es handelt sich um zwei verschiedene Modelle, die unterschiedliche Vorhersagen machen. Welches Modell in einem konkreten Fall das richtige oder das realistischere ist, bleibt hierbei zunächst noch offen. Man wird später versuchen, verschiedene Modellen zu testen und das beste auszusuchen. S0 S0

3 Wie beschreibt man Zufallsereignisse? S09 Grundmenge und Komplemente S0 Ziel: Geeignete Sprache zur Beschreibung von Zufallsereignissen. Möglichst einfache und unmissverständliche Notation Flexibel und leicht anwendbar in konkreten Rechnungen Hierfür bietet sich die Sprache der Mengenlehre an! lle Ergebnisse fassen wir zur Ergebnismenge Ω zusammen. Jedes Element ω Ω nennen wir ein Ergebnis. Jede Teilmenge Ω nennen wir ein Ereignis. Das Ereignis tritt genau dann ein, wenn ein Ergebnis ω eintritt. Beispiel Würfeln: Ω {,,,,, } besteht aus sechs Ergebnissen. Das Ereignis gerade Zahl entspricht der Teilmenge {,, }. Das Ereignis mindestens entspricht der Teilmenge B {, }. Ergebnis und Ereignis klingen ähnlich, bedeuten aber verschiedenes: Bitte unterscheiden Sie beides! Dann weiß jeder, was gemeint ist. Wir bezeichnen mit Ω unsere Gesamtmenge, mit die leere Menge. Wir schreiben B, wenn jedes Element von auch in B liegt. Ω B Ω Die Teilmenge aller Elemente mit einer Eigenschaft P schreiben wir { ω Ω P (ω) }. Beispiel: Für Ω {,,..., } gilt { ω Ω ω gerade } {,, }. Das Komplement von in Ω ist Ω ohne oder nicht : Ω : { ω Ω ω / }. Es besteht aus allen Elementen von Ω, die nicht in liegen. Gebräuchliche Schreibweisen: Ω Ω c... Schnitt und Vereinigung S Schnitt und Vereinigung S Ω B B Ω B Die Vereinigung einer endlichen Familie von Mengen: n k 0 n k0 Die Schnittmenge einer endlichen Familie von Mengen: Die Schnittmenge und B ist B { ω Ω ω und ω B }. Sie besteht aus den Elementen, die sowohl in als auch in B liegen. Die Vereinigung oder B ist B { ω Ω ω oder ω B }. Sie besteht aus den Elementen, die in oder B liegen (oder in beiden). Zwei Mengen, B heißen disjunkt, wenn B gilt. In diesem Fall schreiben wir für die disjunkte Vereinigung: B : B mit B. n k 0 n k0 Schnittmenge einer (abzählbar) unendlichen Familie: k 0 { ω Ω ω k für alle k N } k0 Vereinigung einer (abzählbar) unendlichen Familie: k 0 { ω Ω ω k für mind. ein k N } k0 Restmenge und symmetrische Differenz S Rechenregeln für Vereinigung und Schnitt S Ω B Die Restmenge B ohne ist Ω B B : { ω B ω / }. B Sie besteht aus allen Elementen, die zwar in B nicht aber in liegen. Die symmetrische Differenz entweder oder B ist B : ( B) ( B) ( B) (B ). Sie besteht aus allen Elementen, die entweder in oder in B liegen, aber nicht in beiden zugleich! Man nennt dies exklusives Oder. Satz S (Rechenregeln für Vereinigung und Schnitt ) Folgende nützliche Rechenregeln gelten für alle, B, C Ω: Neutralität, bsorbtion, Idempotenz, Komplemente:, Ω Ω,, Ω Ω,,, Kommutativität: B B, B B ssoziativität: (B C) ( B) C, (B C) ( B) C Distributivität: (B C) ( B) ( C), (B C) ( B) ( C) Rechenregeln für Komplement und Restmenge S Einfache Beispiele zu DeMorgan S Satz SB (Regeln von DeMorgan für Komplemente) Das Komplement einer Menge in Ω ist definiert durch Ω : { ω Ω ω / }. Es gilt Ω und Ω sowie. Für die Restmenge gilt B B. Für je zwei Mengen, B Ω gilt B B, B B. llgemein: Für alle, B, C Ω gilt C ( B) (C ) (C B), C ( B) (C ) (C B). Wie zuvor sei Ω {,,,,, } sowie {,, } und B {, }. Das Komplement der Vereinigung ist der Schnitt der Komplemente: B {,,, } {, } B {,, } {,,, } {, } Das Komplement des Schnittes ist die Vereinigung der Komplemente: B {} {,,,, } B {,, } {,,, } {,,,, } Man sieht insbesondere B B und B B. Die Regeln von DeMorgan sind sehr simpel aber ebenso nützlich: Sie schützen vor ärgerlichen Rechenfehlern und Trugschlüssen!

4 Rechnen mit Ereignissen lle Ergebnisse fassen wir zur Ergebnismenge Ω zusammen. Jedes Element ω Ω heißt Ergebnis. Jede Teilmenge Ω heißt Ereignis. Menge Bedeutung als Zufallsereignis Ω Das sichere Ereignis: Ω tritt immer ein, P(Ω). Das unmögliche Ereignis: tritt nie ein, P(Ω) 0. Ω Das Ereignis tritt ein bei jedem Ergebnis ω. Ω Das Ereignis Ω tritt ein, wenn nicht eintritt. B Wenn eintritt, dann auch B. B Das Ereignis B tritt ein, aber nicht. B B B Die Ereignisse und B treten beide ein. Das Ereignis oder B tritt ein (oder auch beide). Entweder oder B tritt ein (aber nicht beide). B Das Ereignis oder B tritt ein, wobei B. Bequeme Notation und präzises Rechnen mit Zufallsereignissen. Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen Definition SC (diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung) Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine bbildung p : Ω [0, ] mit p(ω). ω Ω Für jedes Ereignis Ω summieren sich die Elementarwkten: P : P(Ω) [0, ] mit P() : ω p(ω). Ein solches Paar (Ω, P) heißt diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Jedem Ergebnis ω Ω wird die Elementarwahrscheinlichkeit p(ω) [0, ] zugeordnet. Beispiele: Für den fairen Würfel gilt p() p() p() p() p() p() /, für unseren gezinkten p() 0., p() p() p() p() 0., p() 0.. Weitere typische Beispiele: Wir betrachten später die Verteilungen p : N [0, ] mit Elementarwkten p(k) ( n k) t k ( t) k oder p(k) e λ λ k /k! oder p(k) q k ( q). Es handelt sich hierbei jeweils um die Binomialverteilung B(n, t) mit n N und t [0, ], die Poisson Verteilung P (λ) mit λ 0, und die geometrische Verteilung G(q) mit q [0, ]. Diese erfüllen p(k) 0 und ω Ω p(ω), wie gefordert. Versuchen Sie es als Übung! Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume uch die Zuordnung P() wollen wir als bbildung auffassen. Wir fassen alle Ereignisse Ω zur Ereignismenge zusammen. Zur gegebenen Ergebnismenge Ω ist dies hier die Potenzmenge P(Ω) : { Ω }. Definition SD (diskreter Wahrscheinlichkeitsraum) Ein diskretes WMaß ist eine bbildung P : P(Ω) [0, ] für die gilt: Normierung: Es gilt P(Ω) für die Gesamtmenge Ω. dditivität: Es gilt P() ω P({ω}) für jedes Ω. Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) besteht aus einer Menge Ω von möglichen Ergebnissen und einem diskreten WMaß P : P(Ω) [0, ] wie oben erklärt. S S9 S Diese einfache Definition fasst unsere bisherigen Überlegungen zusammen. Sie ist ausreichend flexibel für viele nwendungen und legt einen präzisen und bequemen Sprachgebrauch fest. Bei diskreten WRäumen ist P bestimmt durch die Elementarwkten p(ω) : P({ω}) für ω Ω. Neben diskreten werden wir später auch kontinuierliche WMaße kennenlernen. Endliche WRäume und Gleichverteilung Definition SE (endlicher WRaum und Gleichverteilung) Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) heißt endlich, wenn die Ergebnismenge Ω endlich ist, und Laplacesch, wenn zudem alle Ergebnisse ω Ω gleich wahrscheinlich sind: P({ω}) Ω Für dieses Laplace Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω gilt daher P() nzahl der Ergebnisse in günstige Ergebnisse Ω nzahl aller Ergebnisse in Ω mögliche Ergebnisse. Dies nennen wir auch die endliche Gleichverteilung auf Ω. Beispiel: Der Wurf eines fairen Würfels ist ein Laplace Experiment auf Ω {,,..., }, der Wurf unseres gezinkten Würfels hingegen nicht. Roulette ist ein Laplace Experiment auf Ω {0,,,..., }. Hingegen sind {rot, schwarz, zero} nicht gleichwahrscheinlich. S nwendungsbeispiel Sie würfeln mit unserem gezinkten Würfel, p : {,,,,, } R mit p() 0., p() p() p() p() 0., p() 0. ufgabe: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt unser gezinkter Würfel entweder eine gerade Zahl oder mindestens? (aber nicht beides!) Lösung: Gerade Zahl entspricht der Teilmenge {,, }. Das Ereignis mindestens entspricht der Teilmenge B {, }. Entweder oder B entspricht der symmetrischen Differenz: B ( B) ( B) {,,, } {} {,, }. Die Wkt berechnen wir durch ufsummieren der Elementarwkten: P( B) p() + p() + p() Interpretation: Dieses Ereignis tritt in % aller Fälle ein. Bequeme Notation und präzises Rechnen mit Zufallsereignissen. Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Es gilt die Normierung P(Ω) sowie P( ) 0. ußerdem gilt P( B) P() + P( B). Bei disjunkter Vereinigung addieren sich die Wahrscheinlichkeiten: P( B) P() + Per Induktion folgt aus paarweiser die endliche dditivität: P( n ) P( ) + P( ) + + P( n ) S S0 Bei diskreten Wahrscheinlichkeiten gilt sogar allgemeine dditivität: ( ) P i P( i ). i I i I Hier bedeutet i i i i mit i j für i j. Die Indexmenge I ist beliebig. Für kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume werden wir später Integrale statt Summen betrachten und uns (aus unumgänglichen technischen Gründen) auf abzählbare Vereinigungen beschränken müssen und können. Einstweilen ist alles noch diskret und somit besonders einfach. Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen Sicheres Ereignis: Unmögliches Ereignis: Komplement: Monotonie: Restmenge: Vereinigung: Disjunke Vereinigung: P(Ω) P( ) 0 P(Ω ) P() B P() P(B ) P(B ) P( B) P() + P( B) P( B) P() + wegen B Zweimaliger Wurf eines fairen Würfels S ufgabe: Sie würfeln zweimal. () Beschreiben Sie dies als WRaum. () Welche Wkt hat die ugensumme,,,...,? gleichverteilt? Lösung: () ls Ergebnismenge Ω betrachten wir hierzu (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), Ω (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) Wir nehmen an, beide Würfe seien gleichverteilt und unabhängig. Es handelt sich demnach bei (Ω, P) um ein Laplace Experiment! () Wir untersuchen das Ereignis k Die ugensumme ist k. {(, )}, P( ) / Ω / {(, ), (, )}, P( ) / Ω / {(, ), (, ), (, )}, P( ) / Ω / {(, ), (, ), (, ), (, )}, P( ) / Ω / S

5 Zweimaliger Wurf eines fairen Würfels lle Ergebnisse (i, j) {,,,,, } sind gleichwahrscheinlich, die zugehörigen ugensummen i + j hingegen nicht! / + S Dreimaliger Wurf eines fairen Würfels Bei dreimaligem Würfeln sind alle Ergebnisse (i, j, k) {,,,,, } gleichwahrscheinlich, die ugensummen i + j + k hingegen nicht! S Wahrscheinlichkeit / / / / Wahrscheinlichkeit / ugensumme bei zwei unabhängigen Würfen Viermaliger Wurf eines fairen Würfels S 9 0 ugensumme bei drei unabhängigen Würfen Zehnmaliger Wurf eines fairen Würfels S Die hier entstehende Glockenkurve wird uns noch beschäftigen: Sie illustriert den zentralen Grenzwertsatz (ZGS) in Kapitel V. Die hier entstehende Glockenkurve wird uns noch beschäftigen: Sie illustriert den zentralen Grenzwertsatz (ZGS) in Kapitel V. Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit ugensumme bei vier unabhängigen Würfen Kombinatorik der ugensumme beim Würfeln S9 ufgabe: uf wie viele Weisen kann man die ugensumme s erhalten bei einmaligem Würfeln? zweimaligem Würfeln? dreimaligem Würfeln? Lösung: () Bei einmaligem Würfeln ist alles klar: ugensumme s Möglichkeiten n s Die Wkt ist jeweils P(S s) /. Hier haben wir Gleichverteilung. Bei zweimaligem Würfeln rechnen wir wie zuvor erklärt: Die Summe der ugenzahlen entspricht der Faltung der Verteilung () mit sich selbst. ugensumme s 9 0 Möglichkeiten n s Die Wkt ist jeweils P(S s) n s /, also keine Gleichverteilung mehr! Die Wkt ist am größten für die ugensumme, und zwar mit Wkt / ugensumme bei zehn unabhängigen Würfen Kombinatorik der ugensumme beim Würfeln Bei dreimaligem Würfeln müssen wir die Rechnung gut organisieren. S0 Beispiel: uf wie viele Weisen kann die ugensumme 0 entstehen? Je nach erstem Wurf , also Möglichkeiten (siehe vorige Tabelle). Die Wkt ist daher P(S 0) / / 0.. Nach diesem Schema berechnen wir die folgende Tabelle: Die Summe der ugenzahlen entspricht der Faltung der Verteilungen () und (). (Hier kann eine Tabellenkalkulation helfen, zum Beispiel LibreOffice.) ugensumme s 9 0 Möglichkeiten n s 0 0 Die Wkt ist jeweils P(S s) n s /, wie oben graphisch dargestellt. Wie zu erwarten ist die Wkt am größten für die mittleren ugensummen 0 und, und zwar jeweils mit Wkt /. Jetzt können Sie s ausrechnen! Kombinatorik der Summe beim fairen Münzwurf S Kombinatorik der Summe beim fairen Münzwurf S Würfelexperimente sind schön anschaulich, die Rechnungen sind nicht ganz banal und illustrieren bereits viele wichtige Phänomene. Der Münzwurf ist wesentlich leichter und als Modell noch wichtiger: 0. n 0 n 0 n 0 ufgabe: Sie werfen n mal eine faire Münze: 0 Kopf, Zahl. Die Summe der Treffer bezeichnen wir mit S n {0,,..., n}. () Berechnen Sie die Wkt P(S n k) für alle 0 k n. () Skizzieren Sie die Verteilung der Zufallsvariablen S, S, S, S,... Lösung: () Für unabhängig wiederholte faire Münzwürfe finden wir: ( )( ) n n P(S n k) k Wahrscheinlichkeit Die Binomialverteilung ( n k) t k ( t) n k ist ein wichtiges Modell. Wir werden sie in den nächsten Kapiteln ausführlich untersuchen Trefferzahl k

6 Bedingte Wahrscheinlichkeit S0 Bedingte Wahrscheinlichkeit S0 Häufig steht man vor der ufgabe, nach Eintritt eines Ereignisses auf die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses zu schließen. ufgabe: ngenommen, beim Würfeln wurde nicht die gewürfelt. Wie groß ist dann noch die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl? Lösung: Wir nehmen an, das Ereignis B {,,,, } tritt ein. Zum Ereignis {,, } suchen wir die bedingte Wkt P B (). Ergebnis ω Definition S (bedingte Wahrscheinlichkeit) Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B Ω ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit > 0. Für jedes Ereignis Ω definieren wir die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung B durch P( B) : P B () : P( B). Wkt P({ω}) bedingte Wkt P B ({ω}) 0 Beispiel: In der vorigen ufgabe finden wir P ( B ) P( B) P({, }) P({,,,, }) / / 0%. Die gesuchte Wkt ist demnach P B () / + / / 0%. Interpretation: Wir würfeln sehr häufig und werten nur die Fälle, die Bedingung B erfüllen. In dieser Fälle erhalten wir eine gerade Zahl. Bequeme Notation und präzises Rechnen mit Zufallsereignissen. Die Rechnung ist meist leicht, die Interpretation nicht ganz. Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten ufgabe: Ist P B : P(Ω) [0, ] ein Wahrscheinlichkeitsmaß? Lösung: Ja, denn P B erfüllt die beiden definierenden Eigenschaften: Normierung: Es gilt P B (Ω) P(Ω B) dditivität: Für, Ω mit gilt P B ( ) P(( ) B) P(( B) ( B)) P( B) + P( B) P( B) + P( B). P B ( ) + P B ( ). Entsprechendes gilt für (abzählbare) disjunkte Vereinigungen. us diesen beiden Eigenschaften folgen alle weiteren Rechenregeln. Die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Sei Ω B B B l eine Zerlegung in disjunkte Ereignisse. Das heißt, es gilt Ω B B B l mit B i B j für i j. B B B S0 Dies zerlegt jedes Ereignis Ω in disjunkte Teilmengen k B k : ( B ) ( B ) ( B l ) Hieraus folgt die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: P() l k P( B k) l k P( B k) P(B k ) Diese Formel entspricht dem Baumdiagramm für Ω B B B l Die Formel gilt auch für P(B k ) 0, wenn man P( B k )P(B k ) 0 setzt. Die Formel von Bayes: Es lebe der Dreisatz! Für alle Ereignisse, B Ω mit P(), > 0 gilt: P( B) P(B ) P() Def Def P( B) P( B) P( B) P() P() P( B) Durch Umstellen gewinnen wir hieraus die Formel von Bayes: P(B ) P( B) P() Dies erlaubt das Umkehren von Bedingung und Schlussfolgerung nicht im kausalen Sinne, aber immerhin im stochastischen Sinne. Typische nwendung: Wir kennen die Wkten P() und, die Bestimmung von P( B) ist leicht, aber gesucht ist P(B ). Um durch P() zu dividieren, müssen wir P() > 0 voraussetzen. Die Formel gilt auch für 0, wenn man P( B) 0 setzt. S0 S0 Baummodell zu bedingten Wahrscheinlichkeiten B Wkt B Wkt Wkt P( B) Wkt P( B) Wkt P( B) Wkt P( B) Beispiel zur totalen Wahrscheinlichkeit P( B) P( B) P( B) P( B) P( B) P( B) P( B) P( B) ufgabe: us einer Urne mit zwei roten und drei schwarzen Kugeln ziehen wir nacheinander zufällig zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Mit welcher Wkt haben beide die gleiche Farbe? Lösung: Sei G {Beide Kugeln haben die gleiche Farbe} sowie R {Erste Kugel ist rot} und S {Erste Kugel ist schwarz}. Dies ist eine Zerlegung, denn R S und R S Ω. Wir wissen: P(R), P(S), P(G R), P(G S) Hieraus berechnen wir mühelos die totale Wahrscheinlichkeit: P(G) P(G R) P(R) + P(G S) P(S) Bedingte Wkten strukturieren und vereinfachen die Rechnung! Die Formel von Bayes: Zusammenfassung Soweit ist alles klar und einfach, die Formel von Bayes ist sehr leicht. Für viele praktische Rechnungen entfaltet sie jedoch eine enorme Durchschlagskraft. Daher halten wir zusammenfassend fest: Satz SB (Bayes ) S0 Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Ω B B B l eine Zerlegung, also Ω B B B l mit B i B j für i j. Für alle Ω gilt dann die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: P() l k P( B k) l k P( B k) P(B k ) Im Falle P() > 0 gilt zudem die Formel von Bayes: P(B i ) P( B i) P(B i ) P() P( B i ) P(B i ) l k P( B k) P(B k ) Bequeme Notation und präzises Rechnen mit Zufallsereignissen. Die Rechnung ist meist leicht, die Interpretation nicht ganz. S0 S0

7 nwendung: ein Urnenmodell S09 nwendung: Bestehen von Prüfungen S0 X Y Zu einer Prüfung treten drei Typen von Teilnehmern an: 0% sind gut vorbereitet und haben Erfolgswkt 00% (Typ ), 0% sind etwas vorbereitet und haben Erfolgswkt 0% (Typ B), 0% sind schlecht vorbereitet und haben Erfolgswkt % (Typ C). Urne X: rote und schwarze; Urne Y : rote und schwarze Kugel. Wir wählen zufällig eine Urne X, Y und ziehen daraus eine Kugel. ufgabe: () Welche Wkt hat das Ereignis R {rote Kugel}? () Es wurde eine rote Kugel gezogen. Mit welcher Wkt aus Urne X? Lösung: Dank Bayes ist die Rechnung leicht: P(R) P(R X) P(X) + P(R Y ) P(Y ) 0 + P(X R) P(R X) P(X) P(R) 0 Die Rechnung ist leicht, die Interpretation nicht ganz. nwendung: Test für eine seltene Krankheit Eine bestimmte Krankheit tritt bei % aller Personen (zufällig) auf. Ein Testverfahren für diese Krankheit liefert ein positives Ergebnis bei 9% aller kranken, aber auch bei % aller gesunden Personen. ufgabe: () Welche Wkt haben positive Tests? () Wie groß ist die Wkt, dass eine Person mit positivem Testergebnis krank ist? gesund ist? Lösung: Für das Ereignis K {krank} wissen wir P(K) 0.0. Für P {positiver Test} gilt P(P K) 0.9 und P(P K) 0.0. () Hieraus folgt zunächst die totale Wahrscheinlichkeit P(P ) P(P K) P(K) + P(P K) P(K) % () Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(K P ) erhalten wir mit Bayes: P(K P ) P(P K) P(K) P(P ) % Komplementär P(K P ) %. In diesem Beispiel ist eine positiv getestete Person mit größerer Wahrscheinlichkeit gesund als krank! Das Ziegenproblem S S Bei der Spielshow Let s make a deal wählt der Kandidat zwischen drei Türen: Hinter einer ist ein uto, hinter den beiden anderen sind Ziegen. ufgabe: () Wie groß ist der nteil der erfolgreichen Teilnehmer E? () Wie groß ist darunter jeweils der nteil der Typen, B, C Lösung: Die Gesamtmenge wird disjunkt zerlegt in Ω B C. () Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit gilt: P(E) P(E ) P() + P(E B) + P(E C) P(C) () Nach Bayes berechnen wir hieraus folgende Verteilung: P( E) P(E ) P() / P(E) 0. P(B E) P(E B) / P(E) 0. P(C E) P(E C) P(C) / P(E) 0. nwendung: Test für eine seltene Krankheit Ist das Ergebnis plausibel? Erklären Sie warum! S Naiv würde man davon ausgehen, dass obiger Test recht zuverlässig ist und dem Testergebnis vertrauen. Das Problem hierbei ist, dass die Krankheit eher selten ist. Die weitaus meisten der getesteten Personen sind gesund. Hier hat der Test eine Fehlerwahrscheinlichkeit von % falsch positiv zu testen. Das wird insgesamt also recht häufig vorkommen. Diese qualitative Vorüberlegung erklärt das Problem einigermaßen anschaulich. Unsere Rechnung bestätig dies und liefert zudem eine quantitative ussage. Obwohl die Krankheit mit % recht selten ist, werden etwa % aller Personen positiv getestet; das liegt daran, dass von den 99% gesunden % falsch positiv getestet werden. Dies erklärt ganz allgemein, dass Tests für seltene Krankheiten nur sehr geringe Fehlerwahrscheinlichkeiten haben dürfen. Ein positiver Test ist demnach nur ein erstes Indiz, dass die Krankheit vorliegen könnte: Die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, steigt von % vor dem Test auf % nach einem positiven Test. Entsprechend sinkt die Wahrscheinlichkeit, gesund zu sein, von 99% vor dem Test auf % nach einem positiven Test. Meist wird man versuchen, den Verdacht durch weitere, unabhängige (und wenn möglich genauere) Untersuchungen zu erhärten oder auszuräumen. Dank der Formel von Bayes sind solche Rechnungen meist leicht und doch oft überraschend. Üben Sie sich mit diesem Werkzeug! Wissen macht h! Unwissen macht ua! Unkenntnis führt zu Fehleinschätzung und schlimmer noch zu Fehlentscheidungen. Das Ziegenproblem: anschauliche Erklärung S () nschauliche Darstellung der Wahrscheinlichkeiten: Der Kandidat wählt Tür, diese hat Gewinnwkt /, die beiden anderen zusammen /. Das bleibt auch so, nachdem der Moderator eine Ziegentür öffnet. / / / / Der Kandidat wählt eine Tür. Der Showmaster weiß, was hinter den Türen ist, und öffnet eine der beiden anderen Türen, immer mit Ziege. Er bietet dem Kandidaten nun die Möglichkeit zu wechseln. / / 0 Bildquelle: wikipedia.org ufgabe: Ist es vorteilhaft, die Tür zu wechseln? Lösung: Unglaublich aber wahr: Ja! () Experimenteller Vergleich bei 000 Spielshows: Die Strategie nie wechseln erzielt etwa 000 Treffer (ein Drittel). Die Strategie immer wechseln erzielt die verbleibenden 000 Treffer. Das Ziegenproblem: nwendung von Bayes ufgabe: Lösen Sie das Ziegenproblem mit der Formel von Bayes. Lösung: Wir betrachten die Ereignisse:,, Das uto steht hinter Tür,, nnahme der Gleichverteilung: P( ) P( ) P( ) Der Kandidat wählt Tür. Wie kann der Moderator reagieren? M, M, M Der Moderator öffnet Tür,, S Je nach Konstellation kann der Moderator zwischen zwei Türen wählen. In diesem Falle nehmen wir zur Vereinfachung an, er öffnet zufällig: P(M ), P(M ) 0, P(M ), P(M ), P(M ), P(M ) 0. Das Ziegenproblem: nwendung von Bayes Der Moderator öffnet Tür. Was sollte der Kandidat tun? Die Formel von Bayes ergibt für die Gewinnwkt der Tür : S P(M )P( ) P( M ) P(M )P( ) + P(M )P( ) + P(M )P( ) Dementsprechend ist die Gewinnwkt der Tür : P( M ) P(M )P( ) P(M )P( ) + P(M )P( ) + P(M )P( ) Das entspricht genau der anschaulichen Erklärung, wie oben skizziert. Es ist also tatsächlich vorteilhaft zu wechseln! Die Rechnung in allen anderen Fällen verläuft aus Symmetriegründen genauso.

8 Stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse und B sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit von nicht von B abhängt: P( B) P() Das setzt > 0 voraus und bedeutet ausgeschrieben: P( B) P(), also P( B) P(). Dies machen wir nun zur Definition: Definition SC (stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen) Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und, B Ω zwei Ereignisse. Wir nennen und B (stochastisch) unabhängig bezüglich P, wenn P( B) P(). In Worten: Die Wkt des Schnitts ist das Produkt der Wkten. ndernfalls heißen und B (stochastisch) abhängig. S Stochastische Unabhängigkeit ufgabe: Wir würfeln einmal mit einem fairen Würfel. Dies ist ein Laplace Experiment auf Ω {,,,,, }. : {gerade Zahl} {,, } B : {nicht die } {,,,, } Sind und B stochastisch unabhängig? Lösung: Wir finden zunächst B {, }. Es gilt P() und, aber P( B). Die Ereignisse und B sind demnach stochastisch abhängig. nschaulich scheint das klar, man muss es nur ausrechnen. Quantitativer Vergleich: P() aber P( B). Das Eintreten von Ereignis B verändert die Wkt von. Quantitativer Vergleich: aber P(B ). Das Eintreten von Ereignis verändert die Wkt von B. S Stochastische Unabhängigkeit ufgabe: Wir würfeln zweimal mit einem fairen Würfel. Dies ist ein Laplace Experiment auf Ω {,,,,, }. : {Die erste ugenzahl ist gerade} B : {Die ugensumme ist gerade} Sind und B stochastisch unabhängig? Lösung: Wir haben B {Beide ugenzahlen sind gerade}. Somit finden wir P() und sowie P( B). Die Ereignisse und B sind demnach stochastisch unabhängig. nschaulich ist das vielleicht etwas überraschend. Quantitativer Vergleich: P() und P( B). Quantitativer Vergleich: und P(B ). Die Ereignisse und B scheinen sich zu beeinflussen, doch sie sind stochastisch unabhängig! Es geht bei der stochastischen Unabhängigkeit nicht um Kausalität, sondern allein um die Multiplikativität der Wahrscheinlichkeiten. Die Ereignisse und B mögen noch so raffiniert miteinander verknüpft sein, doch es zählt allein die Gleichung P( B) P(). Stochastische Unabhängigkeit ufgabe: Sind folgende Ereignisse, B stochastisch unabhängig? Wkt B B gesamt gesamt Ja! Dies erlaubt, mit P(), die gesamte Tabelle auszufüllen! ufgabe: Sind folgende Ereignisse, B stochastisch unabhängig? Wkt Y Y gesamt X X gesamt Nein! In diesem Fall sind X, Y stochastisch abhängig. Stochastische Unabhängigkeit ufgabe: Wie kann man die Tabelle ausfüllen? bei Unabhängigkeit? Wkt B B ges. 0. ges. 0. Wkt B B ges ges S9 S S Wkt B B ges ges Ohne die Voraussetzung der Unabhängigkeit sind die rot markierten Einträge nicht eindeutig: Man kann einen beliebiges Feld aussuchen und frei festlegen im offensichtlichen Intervall! Bei Unabhängigkeit hingegen gibt es nur die grün angegebenen Lösungen. ufgabe: Wie kann man die Tabelle ausfüllen? bei Unabhängigkeit? Wkt B B ges ges. Wkt B B ges ges Wkt B B ges ges Stochastische Unabhängigkeit ufgabe: Wir würfeln zweimal mit einem fairen Würfel. Sei X die erste ugenzahl, Y die zweite, S X + Y ihre Summe. () Sind die Ereignisse X und S stochastisch unabhängig? () Sind die Ereignisse X und S stochastisch unabhängig? () Berechnen und interpretieren Sie die bedingten Wkten. Lösung: () Wir wissen P(X ) und P(S ) sowie P( X und S ) P({(, )}) unabhängig. () Wir wissen P(X ) und P(S ) sowie P(X und S ) P({(, )}) abhängig. () Es gilt P(S X ) P(S ) und P(X S ) P(X ). Es gilt P(S X ) P(S ) und P(X S ) P(X ). S0 Nochmal zur Betonung: Es geht bei der stochastischen Unabhängigkeit nicht um Kausalität! Die Ereignisse mögen noch so raffiniert miteinander verwoben sein, für die stochastische Unabhängigkeit zählt allein die Multiplikativität der Wahrscheinlichkeiten. So einfach ist das. Stochastische Unabhängigkeit Lemma SD (Komplemente) Sind (, B) unabhängig, dann auch (, B) und (, B) sowie (, B): Nachrechnen: P( B) P( ( B)) P() P( B) P() P() P()( ) P() Jedes Ereignis ist von stochastisch unabhängig: P( ) P( ) 0, P() P( ) 0. Jedes Ereignis ist von Ω stochastisch unabhängig: P( Ω) P(), P() P(Ω) P(). Zusammengefasst: Jedes der Ereignisse,,, Ω ist stochastisch unabhängig von jedem der Ereignisse, B, B, Ω. Stochastische Unabhängigkeit S ufgabe: Drei bsender schreiben je einen Brief an einen von zwei Empfängern. Die Wahlen sind zufällig, gleichverteilt und unabhängig. () Berechnen Sie P( ), P( ), P( ) für die Ereignisse i {Der Empfänger i erhält mindestens einen Brief}. S () Sind, stochastisch unabhängig? () Was gilt für n bsender? Lösung: Es gibt gleichwahrscheinliche Zuordnungen: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) () Demnach finden wir P( ) P( ) / und P( ) /. () Wegen / / / sind, stochastisch abhängig. () llgemein P( ) P( ) n und P( ) n. Unabhängigkeit gilt hierbei nie, aber die bhängigkeit nimmt ab: Für n gilt P( ) P( )/P( ). Das ist plausibel!

9 Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse Zwei Ereignisse, B sind unabhängig, wenn gilt: P( B) P(). Drei Ereignisse, B, C sind unabhängig, wenn gilt: P( B) P(), P( C) P() P(C), P(B C) P(C), P( B C) P() P(C). Die Tripelbedingung folgt nicht aus den drei Paarbedingungen! Sie kennen dieses Problem von linearer Unabhängigkeit von Vektoren. Definition SE (stochastische Unabhängigkeit) Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Familie von Ereignissen,,..., n Ω heißt (stochastisch) unabhängig, wenn folgende Produktformel für jede uswahl i < i < < i l n gilt: P( i i il ) P( i ) P( i ) P( il ) Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse ufgabe: In einer Urne befinden sich die Lose,,,. Sei i das Ereignis an i ter Stelle. Sind, unabhängig? und,? und,? Sind,, unabhängig? Lösung: Wir finden P( ) P( ) P( ) / und P( ) P( ) P( ) /: Die Ereignisse,, sind paarweise unabhängig. Es gibt kein Los, daher gilt P( ) 0: Das Tripel (,, ) ist insgesamt nicht unabhängig. S S ufgabe: Wir würfeln zweimal mit einem fairen Würfel. Berechnen Sie die Wkten von {erster gerade} und B {zweiter ungerade} und C {Summe gleich } und ihrer Schnitte. Sind, B, C unabhängig? Lösung: Wir finden P() / und P(C) / sowie P( B) / und P( C) P(B C) P( B C) /: Die Familie (, B, C) ist paarweise unabhängig, aber nicht unabhängig. Die Siebformel ufgabe: () Erklären Sie graphisch und rechnerisch die Siebformel: P( B C) + P() + + P(C) P( B) P( C) P(B C) + P( B C) S9 () Was erhalten Sie im Spezialfall, wenn, B, C unabhängig sind? () Formulieren und erklären Sie diese Formel für P( B C D). () Formulieren Sie die allgemeine Siebformel: us n i i folgt n i (I I i ) 0 und somit I I {,...,n} ( ) I I I. Lösung: (a) Die Summe P() + + P(C) zählt manche Elemente doppelt oder gar dreifach. Nach Korrektur P( B) P( C) P(B C) zählen die Elemente in B C gar nicht mehr. Nach Korrektur +P( B C) stimmt alles. Siebformel vs Produktformel B C S ufgabe: (nach Lewis Carroll) Projekte im Research & Development leiden erfahrungsgemäß zu 0% an irrealen Zielen, % an schlechter Kommunikation, 0% an Missmanagement, % an Zeitmangel. Wie viele Projekte leiden sowohl an irrealen Zielen, an schlechter Kommunikation, an Missmanagement als auch an Zeitmangel? () höchstens? () mindestens? () wenn diese unabhängig sind? Zeichnen Sie Mengen I, K, M, Z Ω, die diese Werte realisieren! M Z Z M Z M Z M Z M Z M Z I K I K I K I K K M Z M Z M Z M Z M Z I K I K I K I K I K M Z M Z M Z M Z M Z I K I K I K I K I K M Z M Z M Z M Z M Z K K K K K M Z M Z M Z M Z M Z I I I I K Z Z Z Z M Z I K I K I K I K I M Z M Z M M M I K I K I K I K I K Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse Sie werfen zweimal eine faire Münze: 0 Kopf, Zahl. ufgabe: Sind folgende Ereignisse (, B, C) unabhängig? {Zahl beim ersten Wurf} {(, 0), (, )} B {Zahl beim zweiten Wurf} {(0, ), (, )} C {gleiches Ergebnis bei beiden Würfen} {(0, 0), (, )} Ist jedes der drei Paare unabhängig? Ist das Tripel unabhängig? Lösung: Der Ergebnisraum ist Ω {0, } mit Gleichverteilung. Wir berechnen die erforderlichen Wahrscheinlichkeiten: P() P(C) P( B) P( C) P(B C) P( B C) P() P(C). Jedes der Paare (, B) und (, C) und (B, C) ist unabhängig. Das Tripel (, B, C) ist nicht unabhängig! Lesen Sie die Definition! Sie kennen dieses Problem von linearer Unabhängigkeit von Vektoren. Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse S S ufgabe: Wir würfeln zweimal mit einem fairen Würfel. Berechnen Sie die Wkten von {erster gerade} und B {zweiter oder } und C {Summe gleich } und ihrer Schnitte. Sind, B, C unabhängig? Lösung: Wir finden P() / und / und P(C) / sowie P( B) / und P( C) / und P(B C) / und P( B C) /. Die Familie (, B, C) ist also unabhängig. ufgabe: Seien (, B, C) drei unabhängige Ereignisse, B, C Ω. Sind dann auch die folgenden Tripel von Ereignissen unabhängig? () (, C, B), () (B,, C), () (, B, C), () (, B, C) Lösung: Ja! lle Bedingungen in der Definition der Unabhängigkeit sind invariant unter Vertauschung (,). Wir rechnen () exemplarisch nach: P( B C) P(( B) ( B C)) P( B) P( B C) P() P() P(C) P() ( P(C)) P() P(C) Die Siebformel (b) Wir nutzen P( B) P() + P( B) und finden: P( B C) P( B) + P(C) P(( B) C) P() + P( B) + P(C) P(( C) (B C)) P() + + P(C) P( B) P( C) P(B C) + P( B C) () Sind, B, C unabhängig, so finden wir hier die vertraute Formel P( B C) [ P()][ ][ P(C)]. S0 () Für,..., n Ω und n i i gilt n i (I I i ) 0, denn für jedes x ist mind. ein Faktor Null. Für jede Indexmenge I {,..., n} sei I : i I i die zugehörige Schnittmenge. Wir erhalten folgende Siebformel, auch Inklusions-Exklusions-Prinzip: I I {,...,n} ( ) I I I, ( n ) P i i I {,...,n} ( ) I P( I ). Siebformel vs Produktformel S Lösung: () Höchstens 0% leiden an allen vier; das ist offensichtlich. () Mindestens 0% leiden an allen vier; das rechnen wir geduldig aus: P(I) 0. P(I K) P(I) + P(K) P(I K) P(I K M) P(I K) + P(M) P((I K) M) P(I K M Z) P(I K M) + P(Z) P((I K M) Z) Die oben skizzierten Graphiken zeigen, dass diese Werte tatsächlich angenommen werden können. Unsere Schranken sind also optimal. () Bei Unabhängigkeit von I, K, M, Z gilt die einfache Produktformel: P(I K M Z) P(I) P(K) P(M) P(Z) 0. Die untere Schranke 0% und die obere Schranke 0% gelten immer, die Produktformel gilt nur im Spezialfall stochastischer Unabhängigkeit.

10 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) besteht aus einer Menge Ω von möglichen Ergebnissen und einer normierten und additiven bbildung P : P(Ω) [0, ]. Letzteres bedeutet P(Ω) und P() ω P({ω}) für alle Ω. lle Ergebnisse fassen wir zur Ergebnismenge Ω zusammen. Jedes Element ω Ω heißt Ergebnis. Jede Teilmenge Ω heißt Ereignis. Das Ereignis tritt genau dann ein, wenn ein Ergebnis ω eintritt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist das Wahrscheinlichkeitsmaß P(). Spezialfall: Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) heißt endlich, wenn die Ergebnismenge Ω endlich ist. Er heißt Laplacesch, wenn zudem alle Ergebnisse ω Ω gleich wahrscheinlich sind. Für das Laplace Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω gilt daher P() nzahl der Ergebnisse in günstige Ergebnisse Ω nzahl aller Ergebnisse in Ω mögliche Ergebnisse. Für Laplace Experimente berechnet man die Wkten durch bzählen der Ergebnisse. Hierbei helfen kombinatorische bzählformeln. Bedingte Wahrscheinlichkeit Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B Ω ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit > 0. Für jedes Ereignis Ω definieren wir die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung B durch P( B) : P B () : P( B). Sei Ω B B B l eine Zerlegung in disjunkte Ereignisse. Für Ω gilt dann die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: P() l k P( B k) l k P( B k) P(B k ) Im Falle P() > 0 gilt zudem die Formel von Bayes (Satz SB): P(B i ) P( B i) P(B i ) P() P( B i ) P(B i ) l k P( B k) P(B k ) Bequeme Notation und präzises Rechnen mit Zufallsereignissen. Die Rechnung ist meist leicht, die Interpretation nicht ganz. Verständnisfragen Versuchen Sie, folgende Fragen frei aber genau zu beantworten, etwa so, wie Sie sie einem Kommilitonen / Kollegen erklären wollen. Was ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum? Wann nennen wir ihn endlich? Laplacesch? Was ist die endliche Gleichverteilung auf Ω? Welche allgemeinen Rechenregeln gelten für Ereignisse und Wkten? S0 Fazit S0 Fazit S0 Welche Wkten haben die ugensummen bei zweimal Würfeln? dreimal? Wie berechnet man dies geschickt? Wie nutzt man hierzu die Faltung? Wie definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit? Warum ist dies ein Wahrscheinlichkeitsmaß? Wie lautet und was besagt die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit? und die Formel von Bayes? Wann sind zwei Ereignisse stochastisch unabhängig? drei Ereignisse? allgemein n Ereignisse? Was genau kann man damit berechnen? Nennen Sie Beispiele von un/abhängigen Ereignissen! Verständnisfragen ufgabe: () Die Wkt, die Klausur zu bestehen, beträgt 0%. Bei drei Versuchen bestehe ich mit 0%iger Sicherheit! Richtig? () Die Erfolgswkt einer unbemannten Marsmission liegt bei 0%. Es genügen also zwei Missionen, und wir haben 00%igen Erfolg! Lösung: () Offenbar ist 0% 0% nicht die richtige ntwort! Die Wkt, alle dreimal nicht zu bestehen, ist bei Unabhängigkeit! Die Wkt, mindestens einmal zu bestehen, ist also nur 0. %. S0 Man könnte nun einwenden, dass diese Rechnung unrealistisch ist: Sobald man den ersten Test besteht, muss und wird man keine weiteren Versuche unternehmen. Wenn Sie möchten, können Sie auch dieses alternative Modell ausführlich durchrechnen. Es kommt dasselbe heraus! Ernster ist folgender Einwand: Klausuren sind keine Lotterie! Unabhängigkeit gilt nicht, da sich jeder vernünftige Prüfling nach einem ersten Misserfolg sorgfältiger vorbereitet. (Nicht wahr?) () Tatsächlich ist 0% 00% nicht die richtige ntwort! Die Wkt von zwei Misserfolgen ist bei Unabhängigkeit Die Wkt von mindestens einem Erfolg ist demnach nur 0. %. Rechnen mit Ereignissen Die Sprache der Mengen erlaubt uns, mit Ereignissen zu rechnen: Menge Bedeutung als Zufallsereignis Ω Das sichere Ereignis: Ω tritt immer ein, P(Ω). Das unmögliche Ereignis: tritt nie ein, P(Ω) 0. Ω Das Ereignis tritt ein bei jedem Ergebnis ω. Ω Das Ereignis Ω tritt ein, wenn nicht eintritt. B Wenn eintritt, dann auch B. B Das Ereignis B tritt ein, aber nicht. B B B Die Ereignisse und B treten beide ein. Das Ereignis oder B tritt ein (oder auch beide). Entweder oder B tritt ein (aber nicht beide). B Das Ereignis oder B tritt ein, wobei B. Bequeme Notation und präzises Rechnen mit Zufallsereignissen. Stochastische Unabhängigkeit Eine Familie von Ereignissen,,..., n Ω heißt (stochastisch) unabhängig, wenn alle Schnittmengen die Produktregel erfüllen: P( i i il ) P( i ) P( i ) P( il ) für jede uswahl i < i < < i l n: Die Wkt jedes Schnitts ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten. Für unabhängige Ereignisse lassen sich damit die Wkten aller erzeugten Ereignisse berechnen. Das heißt, zwei Ereignisse, B Ω sind unabhängig, wenn gilt: P( B) P(). Drei Ereignisse, B, C Ω sind unabhängig, wenn gilt: P( B) P(), P( C) P() P(C), P(B C) P(C), P( B C) P() P(C). Die Tripelbedingung folgt nicht aus den drei Paarbedingungen! Verständnisfragen S0 Fazit S0 Fazit S0 ufgabe: Seien, B, C Ω Ereignisse in einem WRaum (Ω, P). Gelten folgende Formeln allgemein? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel! Kennen Sie zusätzliche, hinreichende Voraussetzungen? () P( B) P() () P(Ω ) P() () P( B) P() () P( B) P() + () P( B) P() + () P( B) P() + P( B) () P( B C) P() + + P( B) P(B C) P( C) Lösung: Zeichnen Sie Skizzen! Formeln (),(),() gelten immer. () Falsch im llgemeinen. Dies ist äquivalent zur Unabhängigkeit! () Falsch im llgemeinen. Es braucht P(B ) 0, z.b. B. () Falsch im llgemeinen. Es braucht P( B) 0, z.b. B. () Falsch im llgemeinen. Es fehlt der Korrekturterm +P( B C). Fair oder gezinkt? ufgabe: (us der NEW YORK TIMES, ugust 0) Von drei gleich aussehenden Münzen sind zwei fair, zeigen also Kopf 0 und Zahl mit gleicher Wkt, die dritte ist gezinkt und zeigt Kopf mit Wkt 0%. Sie wählen zufällig eine der Münzen aus und machen einen Testwurf. Wenn Sie Kopf erhalten, mit welcher Wkt ist Ihre Münze gezinkt? Lösung: Sie wählen eine faire Münze mit Wkt P(F ) / und die gezinkte mit Wkt P(F ) /. Gegeben sind zudem die Wkten P(0 F ) P( F ) / sowie P(0 F ) 0. und P( F ) 0.. Dank Bayes folgt also für die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P(F 0) P(0 F )P(F ) P(0 F )P(F ) + P(0 F )P(F ) / / + / nschaulich gesagt: Vor dem Testwurf ist die Wkt / 0., nach dem Testwurf / 0.. Das ist plausibel. Ist eine höhere Sicherheit nötig, dann sollten Sie umfangreichere Tests durchführen. S0

11 Ursprünge der Stochastik im Würfelspiel S09 Ursprünge der Stochastik im Würfelspiel S0 Chevalier de Meré (0 ) war ein berufsmäßiger Spieler und suchte hierzu Rat beim Mathematiker Blaise Pascal ( ). Speziell plagte ihn folgendes Problem. Beim Würfelspiel war er davon ausgegangen, dass folgende Ereignisse gleich wahrscheinlich seien: : Bei Würfen eines Würfels wird mindestens eine Sechs geworfen. B: Bei Würfen zweier Würfel wird mind. eine Doppelsechs geworfen. Er argumentierte ganz einfach und anschaulich so: Eine Doppelsechs ist mal unwahrscheinlicher, dafür führt man mal mehr Würfe aus, also sind beide gleich wahrscheinlich. Damit hatte er jedoch auf Dauer Geld verloren, was ihn sehr wunderte und vor allem sehr verdross. Wissen macht h! Unwissen macht ua! Unkenntnis führt zu Fehleinschätzung und schlimmer noch zu Fehlentscheidungen. ufgabe: Wie wahrscheinlich sind diese Ereignisse und B? uf welches sollte der Chevalier de Meré demnach wetten? Lösung: () Die Wahrscheinlichkeit, bei vier Würfen keine Sechs zu werfen ist ( ) Bei vier Würfen mindestens eine Sechs zu werfen, hat somit die Gegenwahrscheinlichkeit (B) Die Wahrscheinlichkeit, bei Würfen keine Doppelsechs zu werfen ist ( ) 0.0. Bei Würfen mindestens eine Doppelsechs zu werfen, hat somit die Gegenwahrscheinlichkeit Der Chevalier de Meré sollte demnach auf Ereignis wetten. Der kleine Unterschied von etwa.% fällt nicht sofort auf. Bei häufiger Wiederholung fällt er jedoch spürbar ins Gewicht. Für professionelle Spieler wie Meré ist genaues Wissen wertvoll. Gleiches gilt für alle Prozesse, die häufig wiederholt werden. Wie fair ist ein fairer Würfel? S Bei einem fairen Würfel sind alle sechs Ergebnisse,,,,, gleich wahrscheinlich. Manche verstehen fair wesentlich strenger so, dass bei sechsmaligem Würfeln jedes der möglichen Ergebnisse,,,,, einmal autreten muss. (Sonst wär s ja irgendwie unfair... ) ufgabe: () Warum ist das keine vernünftige Definition von fair"? () Wie wahrscheinlich ist das? Was sagt Ihre Intuition? Rechnung? () Können Sie dennoch eine realistische Vorhersage machen? Lösung: () Der Würfel müsste wissen, was er noch würfeln darf. Insbesondere beim letzten Wurf wäre er festgelegt und nicht zufällig! () Es gibt Möglichkeiten (unter Beachtung der Reihenfolge). lle sind gleich wahrscheinlich. Darunter sind! Möglichkeiten, bei denen jede der Zahlen,,,,, genau einmal vorkommt. Die Wahrscheinscheinlichkeit ist also!/ 0/ 0.0. Das ist eher unwahrscheinlich und tritt nur etwa jedes. Mal auf. () Gesetz der großen Zahlen (VC): Bei häufiger unabhängiger Wiederholung nähern sich die relativen Häufigkeiten den Wkten, hier also /. Sechsmalige Wiederholung ist aber noch keine große Zahl. Mikrozensus: Familienbande Laut Mikrozensus 009 haben von ca. Mio Haushalten mit Kindern (vereinfacht) etwa % ein Kind, % zwei Kinder, 9% drei Kinder, % vier Kinder, % fünf Kinder. (Weitere vernachlässigen wir hier.) Die Wkten von Mädchen und Jungen seien gleich und unabhängig. S ufgabe: () Stimmt die Schlagzeile Jedes zweite Kind ist Einzelkind? Wie viele sind Einzelkinder? oder eins von,,, Geschwistern? () ngenommen Sie haben später einmal drei Kinder. Mit welcher Wkt sind es zwei Mädchen und ein Junge? () ngenommen Sie haben später einmal vier Kinder. Mit welcher Wkt sind es zwei Mädchen und zwei Jungs? () Xanthia hat zwei Geschwister, dabei ist das ältere ein Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere Geschwist ein Junge? () Yago hat zwei Geschwister, dabei (mindestens) eine Schwester. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere Geschwist ein Junge? () Sie lernen zufällig Zé kennen, von dem Sie zunächst nichts wissen. Wie groß ist die Wkt, dass er (mindestens) eine Schwester hat? Mikrozensus: Familienbande S () In Geburtsreihenfolge ist möglich: MM, MJ, JM, JJ. Das Ereignis {mindestens ein Bruder} hat Wkt P() /. Das Ereignis B {mindestens eine Schwester} hat Wkt /. Gefragt ist die Wkt P( B) P ( B)/P (B) (/) / (/) /. lternativ: Das entspricht zwei der drei Möglichkeiten MM, MJ, JM. Vergleichen Sie () und (): Der Unterschied mag überraschen. () Zé habe n {0,,,, } Geschwister. Dann gilt: P ( Zé hat keine Schwester Zé hat n Geschwister ) n ls nächstes benötigen wir die Wahrscheinlichkeiten P ( nzahl der Kinder mit n Geschwistern Zé hat n Geschwister ). Gesamtzahl aller Kinder us dem Mikrozensus () berechnen wir (auf drei Nachkommastellen): n 0 p n Efrons intransitive Würfel ufgabe: Der Statistiker Bradley Efron hat folgende Würfel erfunden: :,,,,, B :,,,,, C :,,,,, D :,,,, 0, 0 Je zwei dieser Würfel treten gegeneinander an, z.b. gegen B. Wie groß sind die Gewinnwahrscheinlichkeiten P( > B) etc.? Lösung: bzählen aller Gewinnkombinationen ergibt: P( > B) / / P(B > C) / / P(C > D) / / P(D > ) / / Es gibt keinen besten Würfel: Jeder wird vom nächsten geschlagen! P( > C) / / P(B > D) 0/ /9 Mikrozensus: Familienbande Lösung: () Es gab 00 Mio Einzelkinder, 00 Mio Kinder mit genau einem Geschwist, Mio Kinder mit genau zwei Geschwistern Mio Kinder mit drei Geschwistern und S S 00 Mio Kinder mit vier Geschwistern. Insgesamt sind das Kinder. Etwa jedes dritte ist Einzelkind. Die Zeitungsschlagzeile ist also falsch. Sie gründet, wie so oft, auf mangelnder Sachkenntnis. Man muss eine Statistik auch lesen können! () In Geburtsreihenfolge: {MMJ, MJM, JMM}. Das sind drei von acht gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten. Die Wkt beträgt /.%. () Hier {MMJJ, MJMJ, MJJM, JMMJ, JMJM, JJMM}, also von gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten. Die Wkt beträgt /.%. Diese beiden Fragen sind Spezialfälle der Binomialverteilung TB. () Das Geschlecht des jüngeren Geschwist ist unabhängig vom Geschlecht der älteren. lso ist die Wahrscheinlichkeit / 0%. Mikrozensus: Familienbande Damit finden wir schließlich die Gesamtwahrscheinlichkeit: P ( Zé hat keine Schwester ) P ( Zé hat n Geschwister und keine Schwester ) n0 P ( Zé hat n Geschwister ) P ( Zé hat keine Schwester Zé hat n Geschwister ) n Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach: P ( Zé hat mindestens eine Schwester ) P ( Zé hat keine Schwester ) Mit den Mitteln dieses Kapitels verfügen Sie über eine bequeme und präzise Notation zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. S

12 usfallwkt: Welcome to the machine! S usfallwkt: Welcome to the machine! S ufgabe: Drei unabhängige Bauteile haben die usfallwkten P() a 0., b 0., P(C) c 0.. (0) Mit welcher Wkt fällt mindestens ein Teil aus? () Genau 0,,,? () Wenn nur genau ein Teil ausfällt, mit welcher Wkt ist es, B, C? () Konstruieren Sie als Modell hierfür explizit einen WRaum (Ω, P). Lösung: (0) Offenbar ist unsinnig! (Warum?) Kein Teil fällt aus, wenn funktioniert, B funktioniert, C funktioniert: {Keins fällt aus} B C Dank Unabhängigkeit können wir diese Wkt als Produkt berechnen: P(Keins fällt aus) P() P(C) Die Wkt, dass mindestens ein Teil ausfällt, ist demnach Der Trick verkürzt die Rechnung. Frage () geht den langen Weg. () Mit welcher Wkt fallen genau 0,,, Teile aus? Wir zerlegen: {Keins fällt aus} F 0 : B C {Eins fällt aus} F : ( B C) ( B C) ( B C) {Zwei fallen aus} F : ( B C) ( B C) ( B C) {Drei fallen aus} F : B C Wir nutzen alle oben ausgeführen Rechenregeln: Bei Vereinigung disjunkter Ereignisse ist die Wkt additiv. Bei Schnitten unabhängiger Ereignisse ist die Wkt multiplikativ. P(Keins fällt aus) P(F 0 ) a b c 0. P(Eins fällt aus) P(F ) a b c + a b c + a b c 0. P(Zwei fallen aus) P(F ) a b c + a b c + a b c 0.9 P(Drei fallen aus) P(F ) a b c 0.0 Plausibilitätsprüfung: Für WMaß gilt usfallwkt: Welcome to the machine! S9 usfallwkt: Welcome to the machine! S0 () Genau ein Teil fällt aus; mit welcher Wkt ist es, B, C? Die Wkten berechnen wir dank Unabhängigkeit (wie zuvor): Nur fällt aus: X : B C, P(X) Nur B fällt aus: Y : B C, P(Y ) Nur C fällt aus: Z : B C, P(Z) Eins fällt aus: F : X Y Z, P(F ) Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten folgt somit: P( F ) P( F ) P(F ) P(B F ) P(B F ) P(F ) P(C F ) P(C F ) P(F ) P(X) P(F ) P(Y ) P(F ) P(Z) P(F ) Plausibilitätsprüfung: Für WMaß gilt Was nützen dem Pfau seine Federn? Pfauen-Männchen haben ein prachtvolles Gefieder. Fürs Überleben ist das leider hinderlich: Tarnung, Flucht, Energie,... Warum lohnen sich dennoch lange Federn? Wozu dienen sie? ngenommen, es gebe fitte und unfitte Pfauen-Männchen. Letztere werden öfter von Raubtieren gefressen etc. Sowohl fitte als auch unfitte können kurze oder lange Federn haben. Die mit langen Federn werden aufgrund der genannten Nachteile jedenfalls öfter gefressen. Eine Population von Pfauen-Männchen könnte etwa so aussehen: Pfauen fit unfit kurze Federn 0% 0% lange Federn 0% 0% Das Pfauen-Weibchen sieht nicht die Fitness, sondern nur die Federn! ufgabe: Welche Strategie der Partnerwahl ist für sie vorteilhaft? Federlänge ignorieren: Trefferquote 0 : 0 (möglich) Kurze Federn bevorzugen: Trefferquote 0 : 0 (schlechter) Lange Federn bevorzugen: Trefferquote 0 : 0 (besser!) Trotz aller Nachteile zahlen sich lange Federn doch aus! Ineffizienz ist der Preis für unvollständige Information. Kann ein unnützer Doktortitel doch nützlich sein? Eine Personalchefin sucht für eine Stelle einen Ingenieur (m/w). us Erfahrung schätzt sie die allgemeine Bewerberlage wie folgt: Bewerber geeignet ungeeignet gesamt Diplom/Master 0% % % Promotion 0% % % gesamt 0% 0% 00% ls individuelle Information hat sie zunächst nur den bschluss laut Bewerbungsunterlagen. Die eigentlich interessante Zielgröße der tatsächlichen Eignung kennt sie hingegen nicht. Eine Promotion kostet Zeit und Mühe, bringt aber für diese Stelle keinen direkten Nutzen. ufgabe: Welche Strategie ist bei ihrer uswahl vorteilhaft? bschluss ignorieren: Trefferquote 0 : 0 (möglich) Master einstellen: Trefferquote 0 : (schlechter) Doktor einstellen: Trefferquote 0 : (besser!) Trotz aller Nachteile kann sich eine Promotion auszahlen... selbst wenn sie für die eigentliche Tätigkeit nicht relevant ist! S0 S0 () Wir konstruieren explizit einen geeigneten WRaum (Ω, P). Mögliches Modell: Ω {0, } mit 0 fehlerfrei und fällt aus. Die zugehörigen Wkten erhalten wir dank Unabhängigkeit: P({}) a b c 0.0, P({0}) a b c 0.0, P({0}) a b c 0.09, P({00}) a b c 0.09, P({0}) a b c 0., P({00}) a b c 0., P({00}) a b c 0., P({000}) a b c 0. Hiermit ist (Ω, P) tatsächlich ein WRaum: P 0 und P(Ω). Unsere Ereignisse sind dann {??} und B {??} und C {??} sowie ihre Komplemente {0??} und B {?0?} und C {??0}. Die zugehörigen Wkten erhalten wir jeweils durch Summation. Ebenso X {00}, Y {00}, Z {00} und F {00, 00, 00}. Das explizite Modell () ist detailliert; das kann helfen. Oft genügt die implizite Schreibweise wie in (0 ); sie ist schnell und bequem. Es liegt immer ein Modell zu Grunde; im Zweifel führt man es aus. Was nützen dem Pfau seine Federn? S0 Das auffallend prächtige Gefieder der Pfauen-Männchen wird in der Verhaltensbiologie als visuelles Ornament bezeichnet. Die lange Schleppe ist zwar hinderlich und vermindert das Flugvermögen, paradoxerweise kann es dennoch ein Indikator für genetische Fitness sein und Pfauen-Weibchen als Indiz für gesunden Nachwuchs dienen. (Siehe unser Zahlenbeispiel.) Wäre es nicht effizienter, Pfauen würden diesen ufwand sparen und die Energie in bessere Überlebensstrategien stecken? uf den ersten Blick betrachtet ja. ber für ein Weibchen gibt es keine bessere Wahl: Es kennt nicht die tatsächliche Fitness, sondern nur das vom Männchen ausgesandte Signal der Federn. uf Grundlage dieser unvollständigen Information muss es sich (in unserem Modellbeispiel) tatsächlich für die langen Federn entscheiden, selbst wenn das Überlebensnachteile mit sich bringt, auch für seinen eigenen Nachwuchs! Damit bleibt dann auch den Männchen keine Wahl: Lange Federn sind unsinnig aber werden zum Must-Have. uch Menschen ist dieses Phänomen vertraut: Manche Männer beeindrucken Frauen, indem sie Geld verschwenden oder andere verrückte Dinge tun. Mit diesem Verhalten schaden sie sich zunächst selbst und es erscheint daher irrational. Wäre dieses Verhalten insgesamt nachteilig, so würde man vermuten, dass es auf lange Sicht ausstirbt. Das ist jedoch nicht der Fall, da Frauen dieses Verhalten als Indikator für (gesellschaftlichen) Erfolg interpretieren können und eventuell bei der Partnerwahl belohnen. (Das funktioniert selbstverständlich auch umgekehrt... ) Dieses Phänomen wird Handicap-Prinzip genannt. Beispiele gibt es viele: Produktwerbung verschwendet Geld, wird aber vom Käufer belohnt. Manch akademischer Titel ist scheinbar Zeitverschwendung, wird aber vom rbeitgeber belohnt. uch Ihr Studium ist nur teilweise für Ihren Beruf relevant, und dennoch wird diese nstrengung meist belohnt. Zum Beispiel gelten Leistungen in Mathematik als zuverlässiger Indikator für intellektuelle Leistungsfähigkeit. Vorurteil und Gerechtigkeit Wir untersuchen hier zwei simple aber frappierende Beispiele: Federn und Doktortitel. Beide sind durchaus realistisch und handfeste Illustrationen für das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit: Diese ist nicht nur eine schöne Theorie, sondern alltägliche Praxis. S0 Die rgumente in unserer fiktiven Bewerbungssituation mögen manche für ungerecht halten. In der Tat basieren Sie auf Vorurteilen des rbeitgebers ein eher negativ besetzter usdruck, aber inhaltlich bedeutet es dasselbe wie bedingte Wahrscheinlichkeit: Er nutzt seine Erfahrung. Unter den gegebenen spärlichen Informationen ist das Vorurteil nützlicher als gar kein Urteil. Das Grundproblem: Die primäre Zielgröße Eignung ist nicht direkt zugänglich. Der sekundäre Faktor Ornament ist eigentlich unwichtig, dafür aber leicht sichtbar. In Ermangelung primärer Information muss man sich mit sekundärer Information begnügen. Diese erhält dadurch eine größere Bedeutung als sie eigentlich haben sollte, und das wird als ineffizient oder ungerecht empfunden. Das ist der Preis für unvollständige Information! Zur Beruhigung der Gemüter: Nichts hält den rbeitgeber davon ab, über die erste grobe Vorinformation hinaus genauere Information zu gewinnen, zum Beispiel durch Gespräche, Tests oder eine Probezeit. Genau das wird in der Praxis auch erfolgreich genutzt. Das ist der Vorteil, wenn man Information nicht nur passiv beobachtet, sondern aktiv herstellen kann. Schließlich zur Ehrenrettung der Promotion, auch aus meiner persönlichen Sicht: Viele Studenten empfinden große Begeisterung für ihr Fach. Dies kann sogar dazu führen, dass sie aus ehrlichem intrinsischem Interesse einer Frage auf den Grund gehen wollen und darüber promovieren. Das wird durch die obigen allzu berechnenden rgumenten nicht in Zweifel gezogen!

13 Nun zu etwas völlig anderem... S0 Mit den Mitteln dieses Kapitels verfügen Sie über eine bequeme und präzise Notation zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Insbesondere die Formel von Bayes ist sehr einfach aber nützlich. Man kann sie in den unterschiedlichsten Situationen einsetzen: Glücksspiel, Testverfahren, Partnerwahl, Bewerbung, etc. Versuchen wir es mal mit den großen Fragen der Menschheit... There is a theory which states that if ever anybody discovers exactly what the Universe is for and why it is here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. (Douglas dams, 9 00) Seul au monde? Sind Sie das einzige denkende Wesen? S0 Sind Sie das einzige denkende Wesen? S0 ls Kopfnuss noch eine erstaunliche Rechnung, die nicht ganz ernst gemeint ist. (Oder doch?) Es gibt Menschen, die glauben, sie seien das einzige denkende Wesen im Universum. Für den Fall, dass Sie sich diese Frage stellen, schlage ich Ihnen ein stochastisches rgument vor. (a) ngenommen, es gibt genau X denkende Wesen im Universum. Diese nzahl X ist Ihnen nicht bekannt, Sie nehmen deshalb die Gleichverteilung auf der Menge {,,,..., n} an, etwa n < e 00. Wir wollen nur annehmen, dass n sehr groß ist, aber doch kleiner als die geschätzten 0 0 Elementarteilchen im Universum. (Paralleluniversen nicht mitgerechnet, wie auch?) (b) ngenommen, nur eines der Wesen hat zufällig die Erleuchtung: Ich denke, also bin ich... Bin ich das einzige denkende Wesen? Das ist von allen nnahmen die willkürlichste und rechnerisch auch die einschneidendste. ndererseits: Wer sich fragt, ob er das einzige denkende Wesen im Universum ist, der wird auch vor dieser nnahme der Einzigkeit nicht zurückschrecken. lso sei s drum. ufgabe: ngenommen, dieses denkende Wesen sind zufällig Sie. Mit welcher Wahrscheinlichkeit können Sie nun zurückschließen, dass Sie das einzige denkende Wesen im Universum sind? Lösung: Nach nnahme der Gleichverteilung (a) wissen Sie P(X) P(X)... P(Xn) n. Ihre Erleuchtung E hat nach (b) die Wahrscheinlichkeit P(E Xk) k. Ihre Einzigkeit {X } hat nach Bayes die Wahrscheinlichkeit P(X E) P(E X) P(X) n k P(E Xk) P(Xk) n n k k n n k ln n > 00 % k Zur harmonischen Reihe siehe??. Unter den genannten nnahmen (a) und (b) gibt es also eine nicht zu vernachlässigende Wahrscheinlichkeit von > %, dass Sie das einzige denkende Wesen im Universum sind. Gut, dass wir das klären konnten. Ich gratuliere! Objektive und subjektive Wahrscheinlichkeit S09 Objektive und subjektive Wahrscheinlichkeit S0 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) ist ein theoretisches Modell. Was sagt es über die Wirklichkeit? Was bedeuten ussagen wie: Das Ereignis tritt mit Wahrscheinlichkeit P() ein? Objektive Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit drückt die relative Häufigkeit bei beliebig wiederholbaren Experimenten aus. Sie kann empirisch überprüft werden, man kann sie messen! Bei einem fairen Würfel erscheinen gerade Zahlen mit Wkt /. Bei unserem gezinkten Würfel haben gerade Zahlen Wkt %. Die Wkt für Richtige beim Lotto ist Eins zu ( 9 ) 9. Subjektive Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit drückt den Grad unseres Unwissens aus, oder die gefühlte Wahrscheinlichkeit. Dies hat keinen präzisen Sinn und kann nicht überprüft werden. Morgen beträgt die Regenwahrscheinlichkeit 0%. Die Klausur werde ich mit 90% Wahrscheinlichkeit bestehen. Mit Wahrscheinlichkeit % bin ich das einzige denkende Wesen. Wir suchen nach objektiven ussagen und Schlussfolgerungen. ussagen, die keine Prüfung erlauben, haben keinen objektiven Sinn. Präzise ussagen und rationales Entscheiden folgen strengen Regeln: Dies ist das übliche und bewährte Vorgehen der Naturwissenschaften! Theorie: Die präzise Beschreibung des zugrundegelegten Modells dient der wissenschaftlichen Redlichkeit: Es enthält alle nnahmen und die festgelegten Wahlen, Parameter, Kalibrierungen etc. lle Rechnungen bauen auf diesen Daten auf und auf nichts weiter. Empirie: Ob ein Modell zur Beschreibung der Realität geeignet ist, oder ob von zwei Modellen eines besser ist als das andere, lässt sich empirisch feststellen: Man vergleicht hierzu die Vorhersagen und prüft sie durch Experimente stochastisch unabhängig wiederholt! Klassisches Beispiel einer falsifizierbaren Theorie (als populärer Ulk): Die Hummel hat 0.cm Flügelfläche und wiegt.g. Nach den Regeln der erodynamik ist es unmöglich, bei diesem Verhältnis zu fliegen. Zum Glück weiß die Hummel das nicht und fliegt einfach trotzdem. Man kann die Theorie empirisch überprüfen und falsifizieren! Wahrscheinlichkeit impliziert nicht Kausalität! S Wahrscheinlichkeit impliziert nicht Kausalität! S ufgabe: Wir beobachten sehr häufig folgende Ereignisse: R {Es regnet}, S {Scheibenwischer laufen} () Es gilt etwa P(S R) 99%. Was kann man hieraus folgern? Verursacht Regen das nschalten der Scheibenwischer? () Es gilt auch etwa P(R S) 99%. Was kann man hieraus folgern? Verursacht das nschalten der Scheibenwischer etwa Regen? Dieser Denkfehler ist absurd aber dennoch sehr häufig. Dieses Beispiel ist so gewählt, dass der Denkfehler möglichst auffällig ist, gar absurd. Doch wo genau liegt der Fehler? Wir wissen alle aus Erfahrung, dass das nschalten der Scheibenwischer nicht Regen verursacht. Woher wissen wir das? Das sagen uns nicht die obigen Wahrscheinlichkeiten, sondern folgendes aktive Experiment: Wir können willkürlich / zufällig den Scheibenwischer anschalten und den Regen beobachten. Nach zahlreicher Wiederholung dieses Experiments sind wir sicher, dass der vermutete kausale Zusammenhang nicht besteht. Kausalität beweist man nur aktiv, durch randomisierte Tests. So lernten wir als Kinder, Zusammenhänge zu begreifen und mögliche Erklärungen zu erhärten: durch ausgiebige Tests und endlos wiederholte Spiele. Das ist eine überaus sinnvolle Strategie! Kausalität impliziert meist gewisse Wahrscheinlichkeiten. Unser Erfahrungswissen nutzen wir zur Erstellung unserer Modelle. Umgekehrt jedoch muss man vorsichtig sein: Die Kenntnis gewisser Wahrscheinlichkeiten impliziert noch keine Kausalität. Wissenschaftliche Grundregel: Ursache und Wirkung lässt sich nur durch ein detailliertes Verständnis der Mechanismen ergründen! Ein passives, statistisches bbild der Situation ist hierfür zu grob. Um Kausalität zu messen, nutzt man aktiv randomisierte Tests. Beispiel: Menschen mit hohem Vitamin-C-Gehalt im Blut erleiden seltener einen Herzinfarkt. Kann man hieraus folgern, dass Vitamin C das Risiko mindert? Nein, daraus allein noch nicht! Ein hoher Vitamin-C-Gehalt kann durch andere Faktoren verursacht werden (z.b. gesunder Lebenswandel, viel Obst, viel Sport) und diese mindern das Infarktrisiko, nicht das Vitamin C: Es ist noch nicht schlüssig, ob zusätzliches Vitamin C das Risiko senkt oder gar erhöht. Da sehr viele (bekannte und unbekannte) Faktoren das Infarktrisiko beeinflussen, muss man mit voreiligen Schlussfolgerungen sehr vorsichtig sein. Die Wirkung von Vitamin C auf das Infarktrisiko kann man dennoch testen: Sorgfältig konstruiert kann ein randomisierter kontrollierter Test (RCT) hierauf ntwort geben. Dies ist zwar extrem aufwändig, aber allgemein das beste Studiendesign in der medizinischen, psychologischen und ökonomischen Forschung.

14 Das Runde muss ins Eckige. ngenommen beim Tischkicker zwischen gleich starken Gegnern fallen die Tore zufällig und unabhängig voneinander. Gespielt wird bis 0. ufgabe: Wie stehen die Gewinnchancen bei : 9? bei :? Lösung: Wahrscheinlichkeitstafel für den Sieg von beim Stand a : b. m oberen und linken Rand ist das Spiel beendet und die Wkt ist entweder 0 oder. Im Inneren ist jeder Eintrag der Mittelwert aus dem linken und dem oberen Nachbarn. a : b Das Runde muss ins Eckige. S S ngenommen beim Tischkicker fallen die Tore zufällig und unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 0 : 0. Gespielt wird bis 0. ufgabe: Wie stehen die Gewinnchancen bei : 9? bei :? Lösung: Wahrscheinlichkeitstafel für den Sieg von beim Stand a : b. m oberen und linken Rand ist das Spiel beendet und die Wkt ist entweder 0 oder. Im Inneren ist jeder Eintrag 0. mal der linke Nachbar plus 0. mal der obere Nachbar. a : b Das Runde muss ins Eckige. Wie kommt diese Berechnung zustande? Ganz einfach dank Bayes! Beim Stand von a : b gibt es genau zwei mögliche Fortgänge: ls nächstes trifft entweder Spieler oder es trifft Spieler B. Sei [a : b] das Ereignis Spieler gewinnt nach Stand a : b. Dank Satz SB gilt für die totale Wahrscheinlichkeit: P ( [a : b] ) P ( [a : b] trifft ) P ( trifft ) + P ( [a : b] B trifft ) P ( B trifft ) P ( [a + : b] ) P ( trifft ) + P ( [a : b + ] ) P ( B trifft ) S Mit dieser Rekursionsformel kann man nun die Tabelle ausfüllen. Besonders bequem geht s mit einer Tabellenkalkulation, z.b. LibreOffice. Pascal lässt grüßen: Die nte Diagonale unserer Tabelle entspricht der nten Zeile des Pascalschen Dreiecks (hier kumuliert und normiert). In unserer Tabelle versteckt sich die Binomialverteilung! Das Runde muss ins Eckige. S ngenommen beim Tischkicker fallen die Tore zufällig und unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit :. Gespielt wird bis 0. ufgabe: Wie stehen die Gewinnchancen bei : 9? bei :? Lösung: Wahrscheinlichkeitstafel für den Sieg von beim Stand a : b. m oberen und linken Rand ist das Spiel beendet und die Wkt ist entweder 0 oder. Im Inneren ist jeder Eintrag / mal der linke Nachbar plus / mal der obere Nachbar. a : b Irrfahrten und Potentiale: das Dirichlet Problem uf einem Spielfeld Ω Z ziehen Sie jeweils mit Wkt / nach links / rechts / oben / unten. Das Spiel endet mit den Gewinnen am Rand. 0 0 Ω S Irrfahrten und Potentiale: das Dirichlet Problem S ufgabe: () Wie groß ist die Gewinnerwartung u(x, y) auf jedem Feld? Wo ist sie maximal? Ist die gesuchte Lösung u : Ω R eindeutig? Wie berechnet man sie? möglichst effizient? näherungsweise? () Mechanik: elastisches Netz aus Massen und Federn in Ruhelage. () Kirchoff: äußere / innere Spannung einer elektrischen Schaltung. () Fourier: Die Wärmeleitungsgleichung t u κ u fließt von jeder Startverteilung u 0 zur gesuchten stationären Lösung u mit u 0. Irrfahrten und Potentiale: das Dirichlet Problem S9 Lösung: () Sei u(x, y) die Gewinnerwartung auf dem Feld (x, y) Ω. In jedem Randpunkt (x, y) Ω ist der Gewinn u(x, y) fest vorgegeben. In jedem inneren Punkt (x, y) Int Ω gilt die Mittelwerteigenschaft: u(x, y) u(x, y) + u(x+, y) + u(x, y ) + u(x, y+) Eine solche diskrete Funktion u : Z Ω R nennen wir harmonisch. Wir betrachten hier das ebene Gitter Z und darin eine Teilmenge Ω Z. Innere Punkte z Ω sind solche, deren vier direkte Nachbarn auch in Ω liegen. Bei einem Randpunkt z Ω liegt mindestens ein Nachbar außerhalb von Ω. Dirichlet Problem: In jedem Randpunkt z Ω ist der Wert u(z) fest vorgegeben durch eine Funktion v u Ω : Ω R. LGS: Gesucht ist also eine harmonische Funktion u : Ω R mit u Ω v. Existiert eine Lösung? Ist sie eindeutig? Minimum-Maximum-Prinzip: Jede harmonische Funktion u : Ω R auf einem beschränkten Gebiet Ω nimmt Min & Max am Rand Ω an: min ( u ) min ( u Ω ), max ( u ) max ( u Ω ) Eindeutigkeit: Zwei harmonische Funktionen u, ũ : Ω R mit gleichen Randwerten u Ω ũ Ω sind gleich auf ganz Ω, denn (u ũ) Ω 0. 0 x Irrfahrten und Potentiale: das Dirichlet Problem Dieses einfache Beispiel illustriert das allgemeine und überall wichtige Dirichlet Problem. Die Rechnung ist trickreicher als in der vorigen ufgabe: Dort konnten wir mit den Startwerten direkt Zeile für Zeile ausrechnen. Hier hingegen muss man wirklich ein nicht-triviales LGS lösen! Die ufgabe führt uns zu einem linearen Gleichungssystem... mit Unbekannten! Für diese finden wir genau Gleichungen. Das sieht vernünftig aus, bedeutet aber noch nicht, dass es genau eine Lösung gibt. Hierzu müssen wir genauer hinschauen und präzise begründen! Meine Tabellenkalkulation LibreOffice weigert sich zunächst mit Fehler : zirkulärer Bezug. Mit Extras > Optionen > Calc > Iterationen rechnet sie dann iterativ obige Näherungslösung aus. y S0

15 Minimalflächen in der Natur S Minimalflächen in der rchitektur S Die Oberflächenspannung von Seifenblasen führt zu Minimalflächen. Der vorgegebene Rand ist hier ein Drahtrahmen. (Emanuele Paolini, oro.math.unifi.it/paolini/diletto/minime) Das Zeltdach des Olympiastadions in München ist eine Minimalfläche. Es beruht auf Ideen von Frei Paul Otto (9 0) vom Institut für Leichte Flächentragwerke der Universität Stuttgart. Harmonische Funktionen: Gleichgewicht! S Wärmeleitungsgleichung: lles fließt! S Kontext und nwendung ändern sich, die Rechnung bleibt dieselbe! () Wir betrachten Massenpunkte in (x, y, u(x, y)) R in Ruhelage. Jeder ist durch gleich starke Federn mit seinen Nachbarn verbunden. Es gilt: Ruhelage Kräftegleichgewicht Mittelwerteigenschaft! Sie können es nachrechnen! Genauer gesagt ist dies die Näherung bei geringer Krümmung. U W U N U U S U E () Wir betrachten die gezeigte Schaltung mit vier gleichen Widerstände. n den Nachbarpunkten liegen die Potentiale U E, U N, U W, U S an. Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Regel: U U E + U N + U W + U S usführlich: Es gilt das Ohmsche Gesetz I E (U E U)/R. Die Kirchhoffsche Regel besagt hier I E + I N + I W + I S 0. Einsetzen und uflösen nach U ergibt die Mittelwerteigenschaft! Wir können Ω als Schaltung realisieren und am Rand die Spannungen 0V, V, V anlegen. Mit einem Voltmeter messen wir das Potential u(x, y) im Inneren und finden die obige Lösung. () Wir betrachten Ω als ein Bauteil aus wärmeleitendem Material. n den Rändern liegen die Temperaturen 0 C, 00 C, 00 C an. Wärme fließt von warm nach kalt proportional zur Temperaturdifferenz. Stationäre Verteilung Fließgleichgewicht Mittelwerteigenschaft! Unser LGS ist die diskrete Version der Potentialgleichung u 0. Für u : R R zweimal stetig differenzierbar gilt die Taylor Formel: 0 u(x, y) u(x, y) + u(x+, y) + u(x, y ) u(x, y) + u(x, y+) xu(x, y) + h.o.t. yu(x, y) + h.o.t. Wir diskretisieren die Wärmeleitungsgleichung t u κ u für κ : u(t, x, y) + u(t, x+, y) + u(t, x, y ) + u(t, x, y+) u(t+, x, y) Diese Iteration nähert sich der stationären Lösung u mit u 0. Diese Beobachtung führt uns schließlich zur Methode der iterativen Näherung, die auf den folgenden Folien numerisch illustriert wird. Die Rechnung beginnt mit einer (beliebigen!) Startverteilung und konvergiert recht schnell gegen die (eindeutige!) stationäre Lösung. Das ist für den Computer einfach und schnell zu rechnen. (So macht es auch die Tabellenkalkulation.) Iterative Näherung des Gleichgewichts S Iterative Näherung des Gleichgewichts S t t t t Iterative Näherung des Gleichgewichts S Iterative Näherung des Gleichgewichts S t t t t

16 Die Mathematik hinter Google S9 Benutzer Suchmaschine Suchanfrage nach Schlüsselwörtern Liste aller Webseiten mit diesen Wörtern Die Suchmaschine Google ist seit 99 in Betrieb und dominiert seither den Markt. Sie wird ständig weiterentwickelt. Die meisten Optimierungen hütet Google als Firmengeheimnis, aber das ursprüngliche Grundprinzip ist veröffentlicht und genial einfach: Sergey Brin, Larry Page: The anatomy of a large-scale hypertextual web search engine. Stanford University 99, infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf Bei vorherigen Suchmaschinen musste man endlose Trefferlisten durchforsten, bis man auf die ersten interessanten Ergebnisse stieß. Bei Google stehen sie auf wundersame Weise ganz oben auf der Liste. Wie ist das möglich? Die ntwort liegt (zu einem großen Teil) in folgender Formel. Google misst die Popularität pi (PageRank) jeder Seite i durch folgendes Gleichungssystem: Effiziente Sortierung nach Relevanz Mathematik: Wie misst man Relevanz von Informationen? Finanzstrategie: Wie verdient man mit einem Gratisprodukt? Chaos und Struktur im Web 0 S Miniaturbeispiel des Web. Gegeben sind die Seiten i,..., N und die Links i j. Versuch einer hierarchischen nordnung: 9 9 Chaos und Struktur im Web S Klassische Texte sind von einem utor und linear geschrieben: Ein Buch hat einen nfang und ein Ende, typischerweise liest man es von vorne nach hinten in der Reihenfolge der Seiten. Meist gibt es zudem ein Inhaltsverzeichnis oder einen Index zum leichteren Nachschlagen. (Ja, liebe Kinder, unsere Vorfahren konnten Texte mit hunderttausend Buchstaben am Stück lesen, ohne Clicks und ohne Werbung. Man nannte das Buch und speicherte es auf Papier.) Webseiten bilden hingegen eine gänzlich andere Struktur. Niemand käme auf die Idee, das Internet von nfang bis Ende durchzulesen: Es hat keine lineare Struktur, keine erste und keine letzte Seite, es ist zudem viel zu groß, und das meiste ist ohnehin uninteressant. X q q + pj N j i `j Keine ngst, die Formel sieht nur auf den ersten Blick kompliziert aus. Ich werde sie anhand von Beispielen Schritt für Schritt erläutern. Wer sowas schon gesehen hat, weiß, dass es sich um eine besonders einfache Formel handelt, nämlich ein lineares Gleichungssystem, das keine Quadrate oder komplizierteres enthält. Schon die Formel von Pythagoras a + b c ist komplizierter. Informatik: Wie verarbeitet man enorme Datenmengen? pi PageRank Kernprobleme bei Suchmaschinen (und beim Data Mining allgemein): S0 ls das World Wide Web Mitte der 990er noch klein war, da genügte es, zu einer Suchanfrage einfach alle Treffer aufzulisten. Die Liste war noch kurz, der Nutzer konnte sie noch leicht selbst überblicken. Das Internet blieb jedoch nicht lange so klein und überschaubar... Wo simmer denn dran? ha, heute krieje mer de Suchmaschin. Wat is en Suchmaschin? Da stelle mer uns janz dumm.... Nutzergerecht sortierte Liste der Ergebnisse Die Mathematik hinter Google 0 Eine Seite ist populär, wenn viele Seiten auf sie verweisen? Zu naiv! Eine Seite ist populär, wenn viele populäre Seiten auf sie verweisen. Das Web ist ein Graph aus Seiten i,..., N und Links i j. Ein zufälliger Surfer folgt von der aktuellen Seite zufällig einem der Links. ufgabe: Berechnen Sie die ufenthaltswkten. Konvergieren sie gegen ein Gleichgewicht? Wie schnell? Immer dasselbe, d.h. ist es eindeutig? Wenn Sie diese ufgabe vor 99 professionell gelöst hätten, so wären Sie heute Milliardär. Irrfahrt eines zufälligen Surfers S Zweiter Versuch: Eine Seite ist populär, wenn viele populäre Seiten auf sie verweisen. Das klingt zunächst zirkulär, lässt sich aber in eine einfache Gleichung fassen und lösen. Ich erläutere die besonders anschauliche Betrachtungsweise des zufälligen Surfers. Irrfahrt eines zufälligen Surfers Diese nordnung war Handarbeit. Lässt sie sich automatisieren? Nach welchen Regeln? Erster Versuch: Eine Seite ist populär, wenn viele Seiten auf sie verweisen. Nachteil: Die simple Linkzählung ist zu naiv und anfällig für Manipulationen! 9 0 Googles Heuristik: ufenthaltswkt Popularität Relevanz ufgabe: Berechnen Sie die ufenthaltswkten bei Start auf Seite. t0 t t t t t... t 9 t 0 Die Webseiten verweisen gegenseitig aufeinander und bilden einen Hypertext. Zur Illustration betrachten wir ein Miniaturbeispiel bestehend aus Webseiten. Unter den Seiten,,, wird am häufigsten zitiert. Die Seite scheint daher besonders relevant oder populär. Gleiches gilt für 9, 0,, mit 9 an der Spitze. Die Struktur von,,, ist ähnlich mit an der Spitze. ber die Seiten und 9, die wir schon als relevant erkannt haben, verweisen beide auf die Seite. Diese scheint daher wichtig und für die Suche besonders relevant Zufall und Notwendigkeit S Gleichgewicht pi (t + ) pi 9 0 Googles Heuristik: ufenthaltswkt Popularität Relevanz ufgabe: Berechnen Sie die ufenthaltswkten bei Start auf Seite. t0 t t t t t... t 9 t Zufall und Notwendigkeit S 0 9 S Diffusion Wir beobachten eine Diffusion: Sie konvergiert gegen eine stationäre Gleichgewichtsverteilung! Ebenso beim Start in ; sie konvergiert langsamer aber schließlich zum selben Gleichgewicht! Dank dieser Betrachtungsweise löst sich unser LGS sozusagen von allein! Verfeinertes Modell: Mit Wkt q startet unser Surfer neu auf irgendeiner zufälligen Seite i {,..., N }. Mit Wkt ( q) folgt er von der aktuellen Seite j zufällig irgendeinem der `j Links. Dies führt zu folgenden Gleichungen, analog zur Wärmeleitung bzw. Potentialgleichung: S X q q + pj (t) N j i `j X q q + pj N j i `j Dieses verfeinerte Modell mit Teleportation lässt sich ebenso leicht berechnen. Für q 0. entspricht sie dem typischen Verhalten, sechs bis sieben Links zu folgen, bevor man neu anfängt. Die Ergebnisse entsprechen der Nutzererwartung und sind robust gegenüber Manipulationen. Unsere obigen Beobachtungen zur Konvergenz sind nicht bloß zufällig, sondern beruhen auf mathematischen Gesetzmäßigkeiten. Diese kann man beweisen und darf sich darauf verlassen: us dem Fixpunktsatz von Banach (9) folgt sofort: Bei Sprunghaftigkeit 0 < q gilt: () Es gibt genau ein Gleichgewicht p. Dieses erfüllt p,..., pn > 0 und p + + pn. () Für jede nfangsverteilung konvergiert die Diffusion gegen die Gleichgewichtsverteilung p. () Die Konvergenz ist mindestens so schnell wie die der geometrischen Folge ( q)n 0. 0 Googles Heuristik: ufenthaltswkt Popularität Relevanz ufgabe: ufenthaltswkten bei Sprunghaftigkeit q 0.: t0 t t t t t... t 9 t