c, b R. Es sei a der Abstand ihrer Nullstellen und A der Flächeninhalt, den die

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1 Süzkrs Mhmik WIW Üngn Tg Dm:.. ****** Thmn: Grndlgn dr Ingrlrhnng Umfng: Hilfsmil: Afgn Sind kin nowndig. Ein Formlsmmg nd in nih progrmmirrr Tshnrhnr könnn r vrwnd wrdn. Afg A Ingrlrhnng mi Prmr: Ggn si in Prl mi dr Glihng f, woi, R. Es si dr Asnd ihrr Nllsl nd A dr Flähninhl, dn di Prl mi dr -Ahs inshliß. Zign Si, dss A. Lösng: Figr : Bispilskizz für di Brhnng ds gshn Flähninhls. Allgmin Form diss Prlyps: f ², woi > nd >. STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON

2 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON Brhnng dr Nllsl: f ² ² Dr Zsmmnhng mi gsl sih folgndr Mßn: Afsl nd srhnn ds Ingrls: d A ³ ² Anmrkng: Di Konsn k, di im Ingrirn hinzkomm, vrshwind drh di Srkion. Afg A Ermwrfg mi Prodkingrion: Di Whsmsgshwindigki inr spzil Gmmimr im Gwähshs wird shrin drh di Fnkion w, mi R nd R in Monn. Di Höh ds sgwhsnn Bämhns wrd mi H zihn nd wird in Mrn gmssn. Wnn is di Whsmsgshwindigki rml? Wnn ändr sih di Whsmsgshwindigki m shnllsn?

3 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** Sl Si in Forml für dn Zsmmnhng zwishn nd dr mim Höh H f. Wir groß is, wnn dr Bm sgwhsn, 7 Mr miss? Rndn Si sinnvoll! Wir vrwndn nn, in oigr Forml. Dr Bm gil ls sgwhsn, wnn sih sin Größ im Vrlf ins Mons m wnigr ls, m ändr. Wnn is disr Zipnk rrih nd wi groß is dr Bm dnn? Ein gnr Unrshng zig, dss i Bämn disr fikivn Ar, wlh im Jnr ins Jhrs im Gwähshs gpfz wrdn, di Forml w, π, os, mi 6 R nd R in Monn, ssr Ergniss lifr. d Ein Bm is nn nh gn dri Jhrn sgwhsn. Wi groß is r dnn? Wi groß is in Bm, dr drh Forml mi, shrin wird? Wi rklärn Si sih ds Vrglihsrgnis nd wi läss sih dr Zszrm in Forml inrprirn? Wi könn Forml sshn, wnn in Bm Anfng Jli gpfz wird nd sons glihn Vorsszngn nrlig? Lösng: Ds Shild dr Whsmsfnkion ds Gmmims sih wi folg s Zihnng für mhrr Wr von : Figr : Grph dr Fnkion dr Whsmsgshwindigki. STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON

4 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** Di Whsmsgshwindigki is rml, wnn w' nd '' w gil. Wir ildn lso di Alingn: w ', woi wir di Prodkrgl vrwnd hn nd s is w '', nflls mi dr Prodkrgl rhn. Hirmi rh wir nn w '. D ls Konsn nih wrdn knn nd dr -Til nso wnig, rgi sih ls Nllsll. D w' ' < is, lig sogr immr in Mimm vor. Dis is so, d l Vorsszng nr posiiv Wr nnhmn soll. In dism Fll räg di Whsmsgshwindigki w, woi di Einhi Mr pro Mon räg. Für di shnlls Ändrng dr Whsmsgshwindigki rin wir mi dr zwin Aling. w' ', STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON

5 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** di glih Argmnion wi i dr rsn Aling lifr. Di Ürprüfng mi dr drin Aling wlh wir hir nih zign rgi, dss wirklih in Wndpnk vorlig. Einszn in di Aling dr rsprünglih Fnkion rgi w '. Brh mn di Rndwr, so rhäl mn nd w' lim w ' lim. Bi dr Grnzwrildng wrd di Fnkion infh mi Hilf dr Ponzgsz mgsll nd nr Brüksihigng, dss in -Fnkion shnllr ls lls ndr wähs, rhn. D > nh dn Vorsszngn in dr Afg, ändr sih di Gshwindigki zm Zipnk m shnllsn. Di miml Höh rgi sih, wnn dr Bm sgwhsn is, d.h. i nsrr Modllfnkion nh nndlihr Zi. Ds Wirn lig ns nr di Fnkion für di Whsmsgshwindigki vor. Wir müssn lso ingrirn. Nh dm Gsgn is w d H. Wir rhnn w d d, woi wir di Prodkingrion vrwndn. Zr Erinnrng: STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON

6 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE 6 VON PRODUKTINTEGATION: Di Fnkion l: ' v f Für di Ingrion gil dnn: [ ] d v v d v ' ' In nsrm Fll rh wir mi nd v ' [ ] [ ] [ ] [ ]. ' W d d d w v Drh Grnzwrildng rh wir H lim. Dmi hn wir di gsh Forml gfndn, si l H. Dr Zsmmnhng is lso linr, d in Zhl is, kin Vril. Dmi rgi sih i inr Höh von 7, Mrn dr Wr,. Figr : Bmgröß.

7 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** Wir wol wissn, wnn dr Bm sgwhsn is. Dz vrwndn wir nn di Ingrion s Tilfg. Dor rhi wir W. ls Fnkion für di Bmgröß in Mrn. Di Größ soll sih im Vrlf ins Mons m wnigr ls, m lso, Mr ändrn. In Form W W,. Wir rhnn,. Für dn vorggnn Wr, rh wir nmrish, Mon. Nh disr Zi is dr Bm hoh.,, 69 W Mr d Wir rhnn widr ds nsprhnd Ingrl, woi in Jhr j zwölf Mon h. W, π, os d 6 6 π, sin 6 π 6 6 w d, π os d 6 W 6,69m. sin sin6π 6 Wir shn s disr Rhnng, dss dr oszillirnd Trm sih wg h nd id Fnkionn nd dn glihn Fnkionswr lifrn. Ingrir mn i dn vorligndn Arn dr Sins- odr Kosinsfnkionn ür in voll Priod odr drn Vilfh hir: Priod π p π / 6, so is dr orinir Flähninhl glih. STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE 7 VON

8 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** Dr Zszrm läss sih ls drh di Jhrszin ding Shwnkng dr Größ inrprirn, d sin Priod gn in Jhr mfss. Im Fll ins m shs Mon spär gpfzn Bämhns, könn z.b. dr oszillirnd Trm ddir s srhir wrdn, so dss w, vrwnd wrdn knn. π, os, mi 6 Afg A Ingrlrhnng Bsishnikn: R nd R in Monn Gn Si di Smmfnkionn für di Fnkionn mi dn folgndn Fnkionsglihngn n: n m m n mi {,,,... } n. sin m os k d d 7 f f m g g h h sin i i sin j j. Tipp: ' k k sin os l l Lösng: Wir vrwndn di folgndn Rg: Ponzfnkionn: k Aflin k k ons. Alin k k STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE 8 VON

9 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** Linr Ssiion: m k Aflin m m k k ons. m k m k Nüzlih i Brh-Fnkionn: Is f ' f ', so is f d d f ons. f -Fnkionn: Aflin ons. Alin Alin Trigonomrish Fnkionn: sin m Aflin os m ons. m Alin m os m os m Aflin sin m ons. m Alin m sin m STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE 9 VON

10 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** Prodkingrion: Di Fnkion l: f v' Für di Ingrion gil dnn: v' d [ v ] ' v d Dmi sind wir für di Afgn grüs. Drh Anwndn dr Rg findn wir di folgndn Smmfnkionn. m n n m A m n n n m m ons. sin m os os m ons m sin. k C k ons. d d D 7 ons. 7 E ons. f m m 6m F f 6 g g. Di Prodkingrion lifr d [ ] d ons. STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON

11 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** h h sin. Di doppl Prodkingrion lifr sin d [ os ] os d [ os ] [ sin ] os sin os ons. sin d i i sin. Mi Hilf dr dopp Prodkingrion rh wir sin d [ sin ] os d [ sin ] [ os ] sin sin d [ sin ] [ os ] ons. sin d sin os ons. d j. j. Tipp: ' Wir wol dis Fnkion ingrirn. Dz shrin wir si zrs ls in Prodk hin: f Nn inrprirn wir di Fkorn ls nsr Fnkionn in dr Prodkingrionsforml: v' Dnn ildn wir di nöign Af- nd Alingn: nd ' v nd v ' STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON

12 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** Szn wir nn lls in, so rh wir d [ ] d [ ] d ons. k k sin os D sin os Addiionshorm is K d ons. l l. Wir shrin l L ons. L ons. Afg A Ingrlrhnng für Forgshrin: nd ds is Bsimmn Si di Smmfnkionn dr Fnkionn mi dn folgndn Fnkionsglihngn. f rsin g Tipp: Vrwndn Si d. Brhnn Si di folgndn Ingrl. d π d d π sin 9 d STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON

13 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** Lösng: Wir rin hir mi dr pril Ingrion. Es is Wir sind nn n rsin d rsin d rsin d. v' v v d inrssir. Wir szn, womi ' d d d d folg. Alls inszn lifr ns d d d d. Wir findn nn rliv lih, indm wir vrwndn, ds Folgnd: d. Shmißn wir lls in inn Topf, so rh wir di gsh Smmfnkion: rsin d rsin. Widr sürzn wir ns f di prill Ingrion nd nzn di dn ggnn Tipp s. Es is d d [ ] d d [ ] [ ] [ ]. STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON

14 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON Hir müssn wir mi dr Polynomdivision ginnn, m inn h grohnrion Fnkionsil z rh. Es is : Dn gnzrion Til könnn wir lih ingrirn. Für dn grohnrion wndn wir di Prilrhzrlgng n. Unsr Ansz l: B A B A B A B A. Drh Koffizinnvrglih findn wir hir A nd B. Nn könnn wir di Ingrion drhführn. Es is [ ] [ ] d d d d Dmi wärn wir shon frig. zihn zihn zihn Mliplikionn

15 STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG ****** d Hir szn wir 9 π. Dnn rh wir Wir szn in nd kommn d d d π d. π π sin d 9 π d π sin d π sin sin [ os ] os os 9π. 9π π d Hir ssiirn wir, womi d d d d is. Szn wir ds in, so rgi sih d d d. Von nn n gh s mi prillr Ingrion wir, d wir inn Fnkionsil hn, dr im Alin irgndwnn vrshwind nd inn, dr ds n nih. Wir rh d [ ] d [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. Ür so in Ergnis knn mn wirklih nih mkrn, odr? STÜTZKURS MATHEMATIK WIW ÜBUNGEN TAG DHBW STUTTGART SEITE VON