DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR.

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2 α sin 0 1/2 2 /2 3/2 1 cos 1 3/2 2 /2 1/2 0 sin(90-α) = cos(α) cos(90-α) = sin(α) sin(90+α) = cos(α) cos(90+α) = -sin(α) sin(180-α) = sin(α) cos(180-α) = -cos(α) sin(180+α) = -sin(α) cos(180+α) = -cos(α) sin(-α) = -sin(α) cos(-α) = cos(α) WICHTIG: [ ]Achsen einzeichnen! [ ]Bei Momenten im 2D-Sys: Wirkungslinien statt crossp! [ ]Vor Trennen Gleichungen im Gesamtsystem abzählen! [ ]Bewegung Statik! M 0 Kinematik Schnelligkeit / Geschwindigkeit in Zylinder- & Polarkoordinaten v= v = ẋ 2 ẏ 2 ż 2 v= e e ż e z (Polarkoordinaten: ż= e z =0 ) Freiheitsgrad eines starren Körpers f =n b 6, n=3*anzahl Körper, b=anzahl unabhängige Bindungen Satz der projizierten Geschwindigkeiten Punkte P & Q in einem starren Körper: v P '=v Q ' v P cos x =v Q cos x (v' = Projektion auf Verbindungsgerade) Der SdpG Ist bei jeder starren Bewegung erfüllt! Das Momentanzentrum Schnittpunkt der Geraden rechtwinklig zu den Geschwindigksvektoren in 2 Punkten (falls v P v Q ) v P = r P, v P = v B r BP (allg. Bewegung eines starren Körpers) Bsp. Rollendes Rad: Momentanzentrum im Berührungspunkt mit dem Boden Kreiselung Ein Punkt des Körpers ist fix und dient als Momentanzentrum. (Formel siehe oben) Kinemate {v B,ω} (Translations- und Rotationsgeschwindigkeit) Invarianten der Kinemate I 1 =, I 2 = v B ( unabhängig vom Bezugssystem, z.b. ω=ω') Mögliche Bewegungen Ruhe: =0 und v B =0 Translation: =0 Die Translationsgeschwindigkeit aller Punkte ist gleich Rotation: 0 und I 2 =0 Eine Achse ist fix (auch ausserhalb des Körpers) Schraubung: I 2 0 Translation in Richtung der Rotationsachse Moment M = r F M =r F sin M =d F wobei d der kürzeste Abstand Punkt-Vektor darstellt Actio/Reactio übt P auf Q eine Kraft F aus, so übt Q auf P eine Kraft -F aus. F und -F haben dieselbe Wirkungslinie. Bei Kontaktkräften greifen beide Kräfte im gleichen geometrischen Punkt, aber in unterschiedlichen materiellen Punkten an. Bei Betrachtungen an einem System muss dieses immer zuerst freigeschnitten werden alle inneren Kontaktkräfte heben sich gegenseitig auf. mmueri@ee.ethz.ch V 1.7 1/7

3 Statik Leistung = R v P M P (R = Resultierende = Summe aller Kräfte) existiert kein Moment = R v P ; bei einer reinen Rotation = M P statische Äquivalenz: F 1 = G 1 2 Kräftegruppen sind statisch äquivalent wenn ihre Gesamtleistungen bei beliebigen Starrkörperbewegungen gleich sind. Transformationsregel (beim Wechsel des Bezugssystems) M P = M r P R (R bleibt gleich für jeden Punkt) Ist ein System statisch äquivalent zu einem Momentvektor, so gilt M P = M R=0 Bsp: Vorgegebenes Moment: M =l /2 F M E (=0 in e. statischen System) Dyname {R, M 0 } Invarianten der Dyname I 1 = R, I 2 = R M Mögliche Bewegungen Eine Kräftegruppe ist statisch äquivalent zu einem......nullsystem: R=0, M =0...Moment (Kräftepaar): R=0, M 0...Einzelkraft: R 0, I 2 =0...Schraube: I 2 0 l F M E (Reduktion der Kräftegruppe = Berechnung der Dyname) ( F, G ; F = G, F = G,Wirkungslinien nicht gleich) Kräftemittelpunkt & Massenmittelpunkt Kräftemittelpunkt C: r C = 1 R i F i r i R= i F i Massenmittelpunkt (Schwerpunkt): r C = 1 m r dm... homogener Körper (konstante Dichte): r C = 1 V r dv... homogen mit Masse belegte Fläche F: r C = 1 F r df (Symmetrien benutzen!) Prinzip der virtuellen Leistungen Ein virtueller Bewegungszustand { v 0, } kann entweder zulässig oder unzulässig ( verletzt Bindungen) sein. = i a =0 Ein System befindet sich genau dann in einer Ruhelage, wenn die virtuellen Gesamtleistungen der inneren und äusseren Kräften bei jedem virtuellen Bewegungszustand verschwinden. Handelt es sich um wirkliche Geschwindigkeiten werden die Tilden weggelassen: Vorgehen: Suche einen geschickten virtuellen Bewegungszustand, so dass unbekannte Kräfte in Gelenken, etc. nicht berechnet werden müssen (e.g. sich diese Punkte nicht bewegen) mmueri@ee.ethz.ch V 1.7 2/7

4 Hauptsatz der Statik ( oftmals günstiger als PdVL!) In einer Ruhelage eines Systems müssen alle (äusseren) Kräfte im Gleichgewicht sein. R=0, M =0 (da = R v M =0 ) Ruhelage Hauptsatz erfüllt. ABER: Hauptsatz erfüllt Ruhelage gilt nur bei Starrkörpern) Bindungen & Lagerkräfte (reibungsfrei) Auflager N>0 N Gelenk A y A x Längs- und kurzes Querlager Langes Querlager A A M N>0 Einspannung A y M Seil / Pendelstütze S>0 S A x Ein System ist statisch bestimmt: kinematisch bestimmt: Die Lagerkräfte und -momente lassen sich eindeutig aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen (gleich viele Unbekannte wie linear abhängige Gleichungen je eine für x-,y- und z-richtung + Moment) Systeme mit Gelenken (oder anderen Bindungen ohne vollständige Dyname) können getrennt werden (pro Trennung zusätzlich 3 Gl.) Auf Grund der Lagerung sind keine zulässigen Bewegungen möglich Analytische Statik Ist nur eine Kraft gesucht, so lässt sich diese am einfachsten mit dem PdVL bestimmen Will man Lager- und Bindungskräfte bestimmen, so muss man das System Trennen und den Hauptsatz auf alle Teile anwenden. Gibt es eine Bewegung, die Kinemate bzgl. des Massenmittelpunkts ändert sich jedoch nicht, so können ebenfalls die Methoden der Statik angewendet werden. Vorgehen bei Statikaufgaben: 1. Abgrenzung des materiellen Systems & Einführung der äusseren Lasten und Bindungskräfte 2. Wahl eines zweckmässigen Koordinatensystems (Achsen immer einzeichnen!) 3. Abzählen der Gleichungen und Unbekannten 4. Komponentenweise Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen (PdvL & Hauptsatz der Statik) und ev. weiteren Gleichungen 5. Falls nötig: System trennen, Schnittkräfte einführen und Schritte 2-4 wiederholen 6. Auflösung der Gleichungen & Diskussion der Resultate Bsp: ermitteln einer Stabkraft in einem Fachwerk: Stab entfernen und durch 2 Kräfte ersetzen (Zugkraft) das System bewegt sich nicht: =0 Stabkräfte berechnen Bsp: Klotz auf einer Schiefen Ebene Angriffspunkt der Normalkraft ist unbekannt. Wäre a(=distanz Zentrum-Normalkraft) grösser als ±l/2, so würde der Klotz kippen. mmueri@ee.ethz.ch V 1.7 3/7

5 Reibung Zusätzlich wird noch eine Reibungskraft und ein Reibungsmoment eingeführt. Haftreibung: Gleitreibung: F 0 N F = 1 N (Richtung stets entgegengesetzt der Bewegung) Rollreibung: M f = 2 N, in Ruhe: M f 2 N ) (M f ist entgegengesetzt zu ω gerichtet) Wird zusätzlich zur Haft-/Gleitreibung eingeführt! Bsp: Kugel M 0 =M f r F=0 (F=Reibungskraft) Im Fall der Ruhe muss die Reibungskraft aus den GGWB bestimmt werden. Das Reibungsgesetz liefert nachträglich ein Kriterium dafür, dass Ruhe wirklich möglich ist. Im Fall der Bewegung ist die Reibungskraft durch die Normalkraft bestimmt ( liefert zusätzliche Gleichung) Quader bleibt in Ruhe falls: - N>0 - e < a/2 (a=seitenlänge, e=abstand Normalkraft-Mittelpunkt) - F R μ 0 * N Gelenke mit Reibung: Kräfte A,B und Moment M f: M f 0 r 1 A 2 B 2 M f =± 1 r 1 A 2 B 2 mmueri@ee.ethz.ch V 1.7 4/7

6 Dynamik Beschleunigung kartesische Koordinaten: a= v=ẍ e x ÿ e y z e z Bsp. Rad: x= R sin, v x =R 1 cos, a x =R 1 cos R 2 cos y=r 1 cos, v y =R sin, a y =R sin R 2 cos falls = Rot.schnelligkeit konstant ist: a x =R 2 sin, a y =R 2 cos a = R 2 Zylinderkoordinaten: v= e e ż e z, a= 2 e 2 e z e z (Umrechnung: e =cos e x sin e y, e = sin e x cos e y ) Polarkoordinaten: v=ṙ e r r e r, a= r r 2 e r r 2 ṙ e bei einem festen Radius (r'=0) gilt a= r 2 e r r 2 e Bsp. Kreisbewegung:r=konstant v=r e a= r 2 e r r e Trägheitskräfte, Prinzip der virtuellen Leistungen df t = a dm F t = am (fiktive Kraft verletzen das Reaktionsprinzip) = i a t =0 { v} t = df v Bsp. gleitender Klotz auf schiefer Ebene: F t = m ẍ mit virtuellen Geschwindigkeiten v x, v y einführen, virtuelle Leistung =0 setzen und nach ẍ auflösen: ẍ= g sin cos 2x nach der Zeit integrieren, Anfangsbed. x 0 =0, ẋ 0 =0 x t =g / 2 sin cos t 2 Bsp. mathematisches Pendel: Kräfte G,S,F (t) (Beschleunigung siehe Kreisbewegung) einführen, Leistung berechnen, v= v r wählen S=mg cos ml 2 wählt man v= v erhält man g l sin =0 := g l, =c 1 cos t c 2 sin t 2 =0 (φ=sin( φ ) da φ<<1) t = 0 cos t, T = 2 Inertialsysteme: Systeme mit konstanter Geschwindigkeit (a=0) identische Gleichungen Newton'sches Bewegungsgesetz R=m a (wirkliche Kräfte, keine Trägheitskräfte mehr), Anwendung auf Massenpunkte Feder: F =c x m ẍ= c x x 0, 2 = c m x t =x 0 a cos t (der Einfachheit halber sollte x 0=0 definiert werden) Bei einer 2D-Federbewegung mit Auslenkung a e x, b e y kann man die Gleichung umformulieren zu F x =F cos =F a / x=c x a / x F x =c a, F y =c b Lösungsansätze: 1. ẍ 2 x=0 x=c 1 cos t c 2 sin t 2. ẍ 2 x=k x=c 1 cos t c 2 sin t k / 2 3. ẍ 2 x=0 x=c 1 e t c 2 e t 4. ẍ=k x=k /2 t 2 c 1 t c 2 ω=kreisfrequenz = ACHTUNG:Bei der Anfangsbedingung x(0)=a muss die partikuläre Lösung mitberücksichtigt werden! mmueri@ee.ethz.ch V 1.7 5/7

7 Konservative Kraftfelder & Systeme konservatives Kraftfeld F(r): F r = grad = (Potentialfunktion r ist ein Skalarfeld) r F r, R 3 R 3, r r,r 3 R...in kartesischen Koordinaten: Bsp. Schwerkraftfeld: Bsp. Federkraft: F = c r, = cr 2 Bsp. Gleitreibung: konservative Kraft: F x, y, z = x x, y, z, y x, y, z, x, y, z z G= 0, 0, mg, =mgz,g= grad 2 ist nicht konservativ, da sie nicht nur von der Lage sondern auch der Geschwindigkeit abhängig ist. die Menge der verrichteten Arbeit ist unabhängig vom zurückgelegten Weg konservatives System: ein System, bei dem alle inneren, äusseren und Bindungskräfte konservativ sind oder keine Arbeit leisten. Energiesatz Energiesatz: Ṫ = t = i a... für konservative Systeme: = =konst. (Energie konst., da = = F v Ṫ =0 ) kinetische Energie: = E kin = 1 v 2 Massepunkt dm 2 potentielle Energie: =E pot =mgh T = m v2 2 Spannungsenergie: E D = 1 2 D x2 Vorgehen beim Lösen mittels Energiesatz: 1. Aufstellen von = =c gehört zum Aufstellen dazu! 2. Berechnung der Gesamtenergie für t 0 3. Kommt in der Gleichung ein r 2 vor Ableiten zu 2r sollte sich kürzen lassen) 4. Nun kann jeder Zeitabhängige Zustand mit t 0 hergeleitet werden Vorgehen beim Lösen von Kinetik-Aufgaben: 1. Modellbildung und Abgrenzung des Systems (ev. System trennen) 2. Alle angreifenden Kräfte in einer allgemeinen Lage (nicht Anfangslage!) einführen 3. Wahl eines zweckmässigen Koordinatensystems (ev. mehrere Systeme + Umrechnung!) 4. Bewegungsdifferentialgleichungen für alle Komponenten formulieren 5. Falls nützlich, auch den Energiesatz aufstellen 6. Auflösung nach den gesuchten Grössen & Diskussion der Resultate mmueri@ee.ethz.ch V 1.7 6/7

8 Impuls- & Drallsatz (gelten für starre und beliebig verformbare Körper) Impulssatz (Translationen): p= R p= v dm p=m v Massenmittelpunktssatz: Impulserhaltung: Drallsatz (Rotationen):...bzgl. Massenmittelpunkt: d dt m v C =m a C = R Ist bei einem Stoss ṗ=0, so gilt m 1 v 1 m 2 v 2 =m 1 v' 1 m 2 v' 2 (elastisch) bzw. v= m 1 v 1 m 2 v 2 / m 1 m 2 (unelastisch) L = M L = r v dm (bzgl. eines ortsfesten Punktes) L C = M C, L = r C p L C (relativer Drall: L C = r ' v ' dm ) Kinetik von ebenen Starrkörperbewegungen Drall: L =I, L C =I C, L C =I C =M C Massenträgheitsmoment: I = r 2 dm...eines Massenpunktes: I =mr 2 L...eines homogenen Stabes: I = 0 x 2 m ml2 dx = (dm= m/l dx) L einer homogenen Kreisscheibe: I = 0 R 0 r 2 2 m m R r dr d = R Transformation des Trägheitsmoments: I C =I m r oc Drallsatz für ebene Rotationen: L =I =M, L C =I C =M C Sätze sind äquivalent (Ist die Lage des MMP einfach beschreibbar, v erwendet man eher den MMPS) kinetische Energie: T =T T T R (da sich die Masse zusätzlich noch dreht) Translationsenergie: T T = m 2 v 2 C relative kinetische Energie: T R = 1 2 v' 2 dm v= v C v '...einer Starrkörperbewegung: T R = 1 2 L C...einer ebenen Starrkörperbewegung: T R = 1 2 I C 2 ebene Rotation um : T = 1 2 I 2 Bsp: = 1 2 I 2 T R 1 2 M 1 ẋ2 2 c x2 E kin E feder M g x E pot mmueri@ee.ethz.ch V 1.7 7/7