Trigonometrie. für Maschinenbauer und Elektrotechniker. Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium. von. Dr.

Transkript

1 Trigonometrie für Maschinenbauer und Elektrotechniker. Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium von Dr. Adolf Heß, Professor am kantonalen Technikum in Wintertbnr. Mit 112 Textfiguren. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1911.

2 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. ISBN ISBN (ebook) DOI / Softcover reprint of the bardeover Ist edition 1911

3 Vorwort. In diesem Lehrbuch der Trigonometrie wird auf das Rechnen mit den natürlichen Werten der trigonometrischen Funktionen das Hauptgewicht gelegt. Der praktische Ingenieur rechnet tatsächlich fast einzig und allein mit den numerischen werten; zudem ist es auch methodisch entschieden besser, dieaufmerksamkeit des Schülers direkt auf die trigonometrischen Funktionen zu lenken statt auf eine zweite Funktion, den Logarithmus, dieser Größen. Jeder, der die Rechnung mit den naturliehen Werten beherrscht, wird sich übrigens im Gebiete ihrer Logarithmen leicht zurecht finden. Bei vielen Aufgaben kommt man mit Hilfe de~ Rechenschiebers zu genügend genauen Resultaten. Wird eine größere Genauigkeit verlangt, dann kann man sich mit großem Vorteil der abgekürzten Rechnungsarten bedienen. Da diese im Unterricht leider immer noch zu wenig Berücksichtigung finden, ist diesem Buche im Anhang eine kurze Anleitung über die abgekürzte Multiplikation und Division, sowie über das abgekürzte Wurzelausziehen beigegeben. Sodann wurde auch auf die graphische Darstellung der trig. Funktionen besonderes Gewicht gelegt. Der Verlauf der trig. Funktionen, die Interpolation, die Auflösung goniometrischer Gleichungen, die Kombination mehrerer Sinusfunktionen usw. lassen sich an Hand von Kurven wohl am klarsten darlegen. Die bezüglichen Textfiguren sind vom Verlage in sehr verdankenswerter Weise sorgfältig und maßstäblich richtig ausgeführt worden. Im letzten Paragraphen wird die Sinuskurve, die für den Elektrotechniker und den Maschinenbauer von besonderer Wichtigkeit ist, etwas eingehender behandelt, und zwar werden hauptsächlich die geometrischen Eigenschaften der Kurve, im Anschluß an die

4 IV Vorwort. gleichförmige Rotation eines Vektors um eine Achse entwickelt. Kenntnisse aus der Wechselstromtheorie oder den höheren Gebieten der Mechanik sind zum Verständnis dieses Paragraphen nicht erforderlich. Der Zweck dieses ganzen Kapitels ist vielmehr der, dem Anfänger speziell die Schwierigkeiten, die ihm dort auf dem Gebiete der Trigonometrie begegnen könnten, zu heben und ihm auch zugleich die Freude an der graphischen Darstellung von Funktionen zu wecken. Das eigentli_ch Theoretische bildet nur einen kleinen Teil des Buches. Die -zahlreichen übungsaufgaben sind fast durchweg dem Ideenkreis des Technikers entnommen und mit Resultaten versehen.. "Das Lebendige der Mathematik, die wichtigsten Anregungen, ihre Wirksamkeit beruhen ja durchaus auf den Anwendungen, d. h. auf den Wechselbeziehungen der rein logischen Dinge zu allen andern Gebieten. Die Anwendungen aus der Mathematik verbannen, wäre ebenso, als wenn man das Wesen des lebenden Tieres im Knochengerüst allein finden wollte, ohne Muskeln, Nerven und Gefäße zu betrachten." 1) Man vermißt vielleicht in dem Buche eine streng wissenschaftliche Systematik; aber man bedenke, daß es für junge Leute mit geringer mathematischer Vorbildung geschrieben wurde, für Leute, die oft jahrelang im praktischen Leben standen und nun ihre Kenntnisse an einer technischen Mittelschule oder durch Selbststudium erweitern wollen. Solchen Leuten darf man nicht "von Anfang an mit einer kalten, wissenschaftlich aufgeputzten Systematik ins Gesicht springen". 2) Der Stoff ist methodisch angeordnet; nur wenige Kapitel sind ganz ausführlich behandelt; überall wird dem Studierenden reichlich Gelegenheit zu eigener, nutzbringender Arbeit geboten. Der Tangentensatz, die Mollweidsehen Gleichungen usw. haben für den Maschinen- und Elektrotechniker nur eine ganz unter- 1 ) Nach Felix Klein: Elementarniathematik vom höhern Standpunkt aus, I. Teil, S. 39. Leipzig. 9) Ebenda S. 589.

5 Vorwort. V geordnete Bedeutung und sind daher im Buche nicht behandelt worden. Ebensowenig wurden alle die charakteristischen "Schulbeispiele" aufgenommen, wie die Berechnung der Dreiecke aus Summen und Differenzen von Seiten, die Beispiele über den Turm auf der Anhöhe, über die Säule, welche von einem Beobachter genau nach Südost erblickt wird, über die Wolke und ihr Spiegelbild im Flusse usf. Solche Aufgaben gehören in kein zeitgemäßes Lehrbuch der Trigonometrie für Maschinen- und Elektrotechniker, ebensowenig wie in eine Aufgabensammlung für Algebra viele fast unausrottbare Beispiele, welche aus den Zeiten der alten Griechen, der Inder und Chinesen stammen; ich erinnere auch an die Aufgaben über Äpfel, Nüsse, Eierfrauen und Gänsehirten, an all die gekünstelten, unnatürlichen Probleme aus der Zins-, Teilungs- und Mischungsrechnung usf. Zum Schlusse erfülle ich noch die angenehme Pflicht, meinen verehrten Kollegen an der Schule für Maschinen- und Elektrotechniker für manchen freundliehst erteilten Rat meinen herzlichen Dank auszusprechen. Winterthur, den 1. Dezember Der Verfasser.

6 Inhaltsverzeichnis. Seite 1. Definition der trigonometrischen Funktionen eines spitzen Winkels 1 2. Geometrische Darstellung der trig. Funktionen mit Hilfe des Einheitskreises 5 3. Trigonometrische Werte für einige besondere Winkel. Benutzung der Tabellen 8 Winkel' von 30, 45, 60 S Gegeben ein Winkel; gesucht der zugehörige trig. Wert S Gegeben ein trig. Wert; gesucht der zugehörige Winkel S Die trig. Skalen am Rechenschieber S Logarithmen der trig. Funktionen S Geschichtliches über die trig. Tafeln S Beziehungen zwischen den trig. Funktionen des nämlichen Winkels Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks Beispiele 26 Allgemeine Beispiele S Kräftezerlegung S. 29. Schraube S Projektion S Kurbelgetriebe S Konstruktion trig. Ausdrücke S Bogenmaß eines Winkels S Bogenlänge S Winkelgeschwindigkeit S Riemenlänge S Sektor S Sehne, Pfeilhöhe usw. S Regelmäßige Vielecke S Kreisringsektor S Rechtwinklige und Polarkoordinaten eines Punktes. Definition der trig. Funktionen für beliebige Winkel Geometrische Darstellung der trig. Funktionen am Einheitskreis. Verlauf der Funktionen Zurückführen der trig. Funktionen beliebiger Winkel auf trig. Funktionen spitzer Winkel 58 Gegeben ein trig. Wert; gesucht der Winkel S Gegeben ein Winkel; gesucht der Logarithmus einer trig. Funktion desselben und umgekehrt S Einige Anwendungen 64 Vektorgrößen. Kräftepolygon S Berechnung der rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes aus den Polarkoordinaten

7 Inha,ltsverzeichnis. VII und umgekehrt S Raumkoordinaten S Einige wichtige KurYen S. 71. Seite 11. Der Sinussatz Der Kosinussatz Anwendungen des Sinus- und Kosinussatzes 75 Kräfteparallelogramm S Geschwindigkeitsdiagramme S Kegelräder S Inhaltsformeln für Dreiecke S Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier Winkel Trigonometrische Funktionen der doppelten und halben Winkel Übungen zu den 14 und Allgemeine Bei,;piele S Reibung S Schiefe Ebene S Kreis, welcher zwei konz. Kreise unter bestimmten Winkeln seimeidet S Summe und Differenz zweier gleicher Funktionen Goniometrische meichungen Graphische Lö,;ung en S Die Sinnskurve 97 AllgemeineH S Veränderung der Amplitude S Veränderung der Periodenzahl S Phasenverschiebung S Algebraische Summen von zwei oder mehreren Sinnsfunktionen S Produkte von Sinusfunktionen S Gedämpfte Schwingungen S Inhalt!ler Fläche zwischen Sinuskurve und Abszissenachse S Mittlere Höhe der Sinuskurve 114. Anhang. Die abgekürzte Multiplikation 115 Die abgekürzte Division S Abgekürztes Wurzelausziehen S Tabelle der trigonometrischen Werte und der Bogenlängen für den Einheitskreis 124 Längen der Kreisbogen im Einheitskreis 128