HOCHSCHULE HARZ Fachbereich Automatisierung und Informatik. Physik. Gedämpfte Schwingung (Drehpendel nach Pohl)

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1 Gruppe: HOCHSCHUL HARZ Fachbereich Automatisierung un Informatik Physik Versuch-Nr.: S1 Geämpfte Schwingung (Drehpenel nach Pohl) Glieerung: 1. inleitung 2. Beschreibung es Versuchsaufbaus 3. Theoretische Grunlagen 4. Versuchsurchführung Unterschrift er Stuenten: Als Laborversuch anerkannt: Wernigeroe, en Unterschrift es Dozenten:

2 Physik Versuch: S1 Seite: 2 1. inleitung In verschieenen Gebieten er Physik kommt es vor, ass sich gewisse Problemstellungen wieerholen. Die mathematische Beschreibung führt ann auch immer auf Gleichungen, ie von er Struktur her ientisch sin. Dazu gehören u.a. ie Schwingungsvorgänge: In er Mechanik sin es ie Schwingungen verschieener Penel: Mathematisches Penel, Feerpenel, Physikalisches Penel. lektrische Schwingkreise spielen in er lektrotechnik eine wichtige Rolle. Schwingene Stimmgabeln, Membranen un Saiten weren in er Akustik behanelt. In er lektroynamik sin es schwingene elektrische un magnetische Feler. Man unterscheiet ungeämpfte, geämpfte un erzwungene Schwingungen. Ungeämpfte Schwingungen sin harmonisch, wenn eine rücktreibene Kraft wirkt, ie proportional zur momentanen Auslenkung ist. Diese Voraussetzung ist für kleine Auslenkungen meistens erfüllt. Harmonische Schwingungen lassen sich urch eine Sinus- oer Kosinusfunktion beschreiben. Ungeämpfte Schwingungen, also Schwingungen ohne nergieverlust, sin Iealisierungen. In Wirklichkeit ist jee Schwingung wegen er Reibung, ie sich nie vollstänig eliminieren lässt, geämpft. Ihre Amplitue nimmt im Laufe er Zeit ab. Wirkt zusätzlich eine äußere antreibene Kraft, z.b. von einem Motor, so spricht man von erzwungenen Schwingungen. Hängt iese Kraft harmonisch von er Zeit ab, so ist ie Schwingungsamplitue eine Funktion er Anregungsfrequenz. s treten Resonanzerscheinungen auf. 1.1 Ziel es Versuches Am Beispiel er Drehschwingungen einer Scheibe weren in iesem Versuch ie wesentlichen igenschaften schwingungsfähiger Systeme iskutiert un untersucht. Wir beschränken uns auf kleine Auslenkungen. Die ämpfene Kraft soll proportional zur Geschwinigkeit sein un ie antreibene Kraft harmonisch von er Zeit abhängen. Wir untersuchen vor allem as Verhalten bei verschieenen Dämpfungen un ie Resonanzerscheinungen. Anhan von Analogien lassen sich iese Überlegungen ohne weiteres auf anere schwingungsfähige Systeme übertragen, was in er Vorlesung an einigen Beispielen emonstriert wir. Dabei geht es um: Schwingungsfähige Systeme, Systeme mit einer Kraft proportional zur Auslenkung - harmonische Schwingungen, ie Dämpfung einer Schwingung, erzwungene Schwingungen un Resonanz. 2. Beschreibung es Versuchsaufbaus Das Drehpenel nach Prof. Pohl besteht aus einem auf einer hölzernen Grunplatte montiertem schwingenen System un einem lektromotor (Bil 1). Das schwingene System ist ein kugelgelagertes Kupferra (5), as über eine Spiralfeer (6), ie as rücktreibene Moment liefert, mit em rregergestänge verbunen ist. Zur Anregung es Drehpenels ient ein Gleichstrommotor mit grob- un fein einstellbarer Drehzahl, er über einen xzenter (14) mit Schubstange (13) ie Spiralfeer in perioischer Folge auseinaner zieht un zusammenrückt un so as Kupferra in Schwingung versetzt. Für ie Dämpfung wir eine elektromagnetische Wirbelstrombremse (11) verwenet. in Skalenring (4) umgibt as schwingene

3 Physik Versuch: S1 Seite: 3 System (1 Skalenteil =,2). Zeiger befinen sich an rreger (1) un Resonator (9). in Drehsensor (nicht im Bil) ermöglicht ie Aufnahme er Schwingung un ie Weiterleitung er Daten zu einem Rechner bzw. Drucker. Bil 1: Versuchsaufbau Die Wirbelstrombremse ist mit em Ausgang für ie einstellbare Spannung es Drehpenel- Netzgeräts zu verbinen. In en Stromkreis ist ein Amperemeter zu schalten. Die Anschlussbuchsen (16) es rregermotors weren mit em Festspannungsausgang es Drehpenel- Netzgeräts verbunen. in Voltmeter wir mit en Anschlussbuchsen (15) es rregermotors verbunen. Zur Messwertaufnahme ient ein Messcomputer (Xplorer GLX). Seine Beienung wir vom Betreuer erklärt.

4 Physik Versuch: S1 Seite: 4 3. Theoretische Grunlagen (3.1) (3.2) (3.3) System Nullphasenwinkel Bil 2: (3.4) 3.2 Harmonische Drehschwingungen ine Harmonische Drehschwingung liegt vor, wenn ie rücktreibene Kraft proportional zur Auslenkung ist. Bei harmonischen Drehschwingungen ist as rücktreibene Drehmoment M proportional zum Auslenkwinkel : M D (3.1) Der Proportionalitätsfaktor D (Winkelrichtgröße) lässt sich urch Messung es Auslenkwinkels un es auslenkenen Moments errechnen. Die igenkreisfrequenz es Systems ergibt sich nach Messung er Perioenauer T aus = 2 / T (3.2) un as Massenträgheitsmoment J aus 2 D. (3.3) J 3.3 Freie geämpfte Drehschwingungen Bei einem schwingenen System, bei em urch Reibungsverluste nergie verloren geht, ohne ass iese urch von außen zugeführte nergie kompensiert wir, verringert sich ie

5 Physik Versuch: S1 Seite: 5 Amplitue stänig,.h. ie Schwingung ist geämpft. Dabei ist as Dämpfungsmoment b proportional zur Winkelgeschwinigkeit. Aus em Drehmoment-Gleichgewicht ergibt sich ie Bewegungsgleichung J b D. (3.4) Für ie ungeämpfte Schwingung ist b = (Bil 2a). Beginnt ie Schwingung bei t = s mit er maximalen Amplitue ˆ, ergibt sich ie Lösung er Differenzialgleichung bei einer nicht zu starken Dämpfung zu: t ˆ e cos t (3.5) (siehe Bil 2b, Schwingfall). Dabei ist b / 2J ie Dämpfungskonstante un (3.6) ie igenfrequenz es geämpften Systems. Bei einer starken Dämpfung schwingt as System nicht, sonern kriecht in ie Ruhelage zurück (Bil 2, Kriechfall). Wir, so spricht man vom Aperioischen Grenzfall (Bil 2c). Die Perioenauer T es geämpft schwingenen Systems änert sich gegenüber T es ungeämpft schwingenen Systems bei nicht zu starker Dämpfung nur geringfügig. Durch insetzen von t = n. T in ie Gleichung e ˆ t cos t un für ie Amplitue nach n Perioen ˆ n erhält man mit er Beziehung 2 / T ˆ n ˆ e n T (3.7) un araus as logarithmische Dekrement : 1 ˆ ˆ n n T ln ln. (3.8) n ˆ ˆ n1 Durch insetzen von /T, 2 / T un 2 / T in ie Gleichung erhält man:

6 Physik Versuch: S1 Seite: 6 T T womit sich ie Perioenauer T genau berechnen lässt, wenn T bekannt ist. 3.4 rzwungene Drehschwingungen Bei erzwungenen Drehschwingungen wirkt von außen ein perioisch mit einer Sinusfunktion veränerliches Drehmoment auf as schwingene System. In er Bewegungsgleichung ist ieses rregermoment zu ergänzen: J b D Mˆ sin t. Nach einer inschwingzeit schwingt as Drehpenel in einem stationären Zustan mit erselben Kreisfrequenz wie er rreger, abei kann noch gegen phasenverschoben sein. Der System-Nullphasenwinkel System un em rreger: ˆ sin. S t Für ie Systemamplitue ˆ S gilt: ist ie Phasenverschiebung zwischen em schwingenen ˆ Mˆ J 2 4 un für en System-Nullphasenwinkel : 2 arctan. Bei ungeämpften Schwingungen steigt ie Amplitue im Resonanzfall ( gleich ) theoretisch unenlich an un führt zur Resonanzkatastrophe. Bei nicht zu stark geämpften Schwingungen wir ie Systemamplitue maximal, wobei ie rregerkreisfrequenz kleiner ist als ie igenfrequenz es Systems. Man erhält ie Resonanzkreisfrequenz R aus: 2 R. Bei sehr starker Dämpfung gibt es keine Amplituenüberhöhung. Für (Resonanz) ist er System-Nullphasenwinkel 9. Dies gilt auch für mit entsprechenem Grenzübergang. Bei geämpften Schwingungen un ergibt sich 9, für gilt 9 18.

7 Physik Versuch: S1 Seite: 7 Bei ungeämpften Schwingungen gilt bei un 18 für. 4. Versuchsurchführung 4.1 Bestimmung er Dämpfungskonstanten Stellen Sie en Strom urch ie Wirbelstrombremse auf einen Wert von,2 A ein. Lenken Sie as Drehpenel nach links um 16 Skalenteile ( ˆ ) aus un lassen Sie as Penel schwingen. Zeichnen Sie ie geämpfte Schwingung mit em Messcomputer auf un rucken Sie as rgebnis aus. ntnehmen Sie em Ausruck ie maximalen Amplituen in Gra nach jeweils einer vollen Schwingung un ie Perioenauer T er geämpften Schwingung Tragen Sie iese Werte in ie Tabelle 4.1 ein: I = A T = s in I = A T = s in Tabelle 4.1 Wieerholen Sie en Versuch bei größerer Dämpfung (Strom urch Wirbelstrombremse erhöhen) un tragen Sie ie rgebnisse in Tabelle 4.1 ein. Anmerkung: 1 ra ˆ 57,3 Die Gleichung (3.5) beschreibt eine geämpfte Schwingung mit nicht zu großer Dämpfung (Schwingfall). Ihre Amplitue (t) nimmt mit er Zeit t ab: t t ˆ e. Durch Logarithmieren wir araus: t log log ˆ t log e. Diese Gleichung stellt eine Gerae mit er Steigung log e ar.

8 Physik Versuch: S1 Seite: 8 Tragen Sie ie Punkte aus Tabelle 4.1 in as logarithmische Papier ein. Legen Sie jeweils eine Ausgleichsgerae (lineare Regression) urch ie Punkte un bestimmen Sie ie Steigungen er beien Geraen un araus ie Dämpfungskonstante 1 un 2. 1 = 2 = Überprüfen Sie ie gefunenen Werte mit Hilfe es Logarithmischen Dekrements nach (3.8). 4.2 rzwungene Drehschwingungen un Resonanz Stellen Sie en Strom urch ie Wirbelstrombremse auf,2 A ein. Mit Hilfe es Motors wir as Drehpenel zum Schwingen gebracht. Mit er Motorspannung kann ie Drehzahl un amit ie rregerkreisfrequenz veränert weren. Zur Bestimmung er Schwingungsamplitue in Abhängigkeit er rregerkreisfrequenz wir er maximale Ausschlag es Penelkörpers links un rechts abgelesen un er Mittelwert gebilet. rhöhen Sie ie Motorspannung ausgehen von 4 Volt in 1 Volt Schritten bis 11 V un lesen sie ie maximalen Ausschläge es Penelkörpers ab. Die Amplituen immer erst ann ablesen, wenn as Penel nach einiger Zeit eingeschwungen ist. Währen ieser Wartezeit b

9 Physik Versuch: S1 Seite: 9 stimmt man mit er Stoppuhr aus 1 Umrehungen ie jeweils eingestellte rregerkreisfrequenz nach er Beziehung 2 n, mit n = Motorrehzahl in Umrehungen/s. Finen Sie en genauen Spannungswert für ie maximale Auslenkung (Resonanz). Verkleinern Sie ie afür ie Spannungsschritte. Tragen Sie ie Werte für ie Motorspannung un ie Mittelwerte er maximalen Amplituen in Tabelle 4.2 ein un berechnen Sie n un. Stellen Sie ie gemessenen Resonanzkurve unten grafisch ar, inem Sie ie Amplitue (Skalenteile) in Abhängigkeit er rregerkreisfrequenz auftragen. Wieerholen Sie ie Messung bei 2 weiteren Dämpfungswerten (z.b. I =,4 A un I =,6 A). I = A U in V in Skt. n in s -1 in s -1 I = A U in V in Skt. n in s -1 in s -1 I = A U in V in Skt. n in s -1 in s -1 Tabelle Amplitue / Skalenteile rregerkreisfrequenz / s -1

10 Physik Versuch: S1 Seite: 1 Schalten Sie ie Wirbelstrombremse aus un bringen Sie as System in Resonanz. Bestimmen Sie ie Perioenauer T er jetzt (fast) ungeämpften Schwingung un tragen Sie en Wert für in as Diagramm ein.