Unterlagen für die Lehrkraft

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 0/0 Mathematik 8. Mai 0 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft

2 . ufgabe: Differentialrechnung Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit Der Graph heißt G f. f(x) = 0,5x x,5x + ; x R. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen. b) Ermitteln Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und weisen Sie die rt der Extrema nach. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von G. c) Zeichnen Sie den Graphen G f im Intervall x in ein kartesisches Koordinatensystem. d) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Fläche, die von G f und der x-chse vollständig eingeschlossen wird. e) Gegeben ist eine weitere Funktion g mit g(x) = f(x). Geben Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus den Teilaufgaben b) und d) die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von g an. Bestimmen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g vollständig eingeschlossen wird. f ufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr 0/

3 Mathematik Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Schnittpunkt mit der y-chse: (0 ) Schnittpunkte mit der x-chse: z.b. über Polynomdivision 0 = 0,5(x )(x + )(x ) N ( 0) N ( 0) N ( 0) P y b) f (x) =,5x x, 5 f (x) = x f (x) = Extrempunkte: 0 = x x 5 x f ( 0,79) =,7 < 0 f (,) =,6 > 0 Wendepunkt: 0,79 x E E f( 0,79),0 f(,),0, H( 0,79,0) T(,,0) 0 = x x W 0,67 f (0,67) = 0 f(0,67),0 W(0,67,0) 5 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr 0/

4 c) d) Flächenberechnung: = (0,5x x,5x + )dx = x 8 x 5 x + x = = = f(x)dx = =,67,67 8 Ges = + = 7,88 +,67 = 0,55 FE 5 e) Funktion g: g(x) = f(x) Extremstellen bleiben gleich, nur die Funktionswerte ändern ihr Vorzeichen, Hochpunkt und Tiefpunkt werden vertauscht: T ( 0,79,0) g H (,,0) g Fläche zwischen den Graphen von f und g: fg = f = 0,55 =, FE Summe 7 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr 0/

5 . ufgabe: nwendungsaufgabe (Skizzen nicht maßstabsgerecht) Für ein neu zu bauendes Bürogebäude plant man ein Bodenfenster, das die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten soll. (Skizze ) a) Berechnen Sie die Fensterfläche in m, wenn in der ersten Planung eine Gesamtbreite von m und eine Gesamthöhe von,5 m festgelegt wurden. In dieses Bodenfenster soll in der Mitte eine rechteckige Glastür mit einer Breite von m und einer Höhe von,0 m eingearbeitet werden. Diese so geplante Glasfläche soll einen attraktiven Eingangsbereich des Bürogebäudes bilden. (Skizze ) b) Für die Tür wird Sicherheitsglas (00 pro m ) und für die restliche Verglasung Standardglas (75 pro m ) geplant. Wie hoch sind die geplanten Glaskosten bei einer Gesamtfläche von 6,5 m? Berechnen Sie den nstieg der Kosten in Prozent, wenn man sich für eine Glasfirma, die in ihrem ngebot für das gesamte Glasmaterial 650 veranschlagt, entscheidet? Der geplante Eingangsbereich befindet sich im Giebel des Bürogebäudes. (Skizze ) c) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Eingangsbereich von der gesamten Giebelfläche einnimmt. In der zweiten Planungsphase wurde für den Umfang dieses Bodenfensters 0 m festgelegt, um die Baukosten möglichst gering zu halten. ußerdem wird eine maximale Glasfläche angestrebt, um den Lichteinfall in das Gebäude zu optimieren. d) Erstellen Sie eine Funktion, die den Flächeninhalt dieses Fensters in bhängigkeit vom Radius r des Halbkreises beschreibt. (Skizze ) π (zur Kontrolle: (r) = ( ) r + 0 r ) e) Berechnen Sie die Maße r und a so, dass die verglaste Fläche und damit der Lichteinfall am größten wird. Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Glasfläche. ufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte 6 9 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr 0/

6 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) π π = Rechteck + Halbkreis = a r + r =,50 +,50 6,5 Der verglaste Eingangsbereich besteht aus etwa 6,5 m Fläche. b) Geplante Glaskosten: 6,5 m,m =, m, 75 +, 00 = 5,5 Die geplanten Glaskosten betragen 5,5. 5,5 650 = 00 x x 9,87 Die Kosten würden um 9,87 % steigen. c) 6 m m Giebel = 6 m m + = 7 m x 00 % = x,9 % 6,5 m 7 m Der Eingangsbereich nimmt etwa,9 % des Giebels ein. d) π (a,r) = a r + r U = 0 = a + r + πr πr a = 5 r (r) = (5 r π π r) r + r π = 0 r + ( ) r Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 5 von 9 Schuljahr 0/

7 e) Extremwertberechnung: (r) = 0 r πr 0 = (r) 0 r =,0 + π (r) = π (,0) = π < 0 π,0 a = 5,0,0 (,0) 7,00 Maximum 6 Radius und Rechteckhöhe sind für diesen Eingangsbereich mit jeweils, m zu wählen, wenn bei möglichst großer Fläche die Umrahmung nur 0 m haben soll. Die Fläche beträgt 7 m. Summe 9 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 6 von 9 Schuljahr 0/

8 . ufgabe: Stochastik Ein Hersteller von Motorradhelmen hat für die Produktion eines neu entwickelten Modells die Maschinen programmiert und eingestellt. a) Die Massen der vier Testhelme des ersten Probelaufs wurden mit folgenden Ergebnissen gemessen: g, 0 g, 08 g, 998 g. Ermitteln Sie den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung dieser Werte. b) Im zweiten Probelauf ergab die Kontrolle der Massen von 0 Helmen folgende Ergebnisse (in Gramm): Teilen Sie die Helme des zweiten Probelaufs nach ihrer Masse in fünf gleich breite Klassen von 06 g bis 0 g ein. Stellen Sie die relative Häufigkeitsverteilung der Klassen grafisch dar. Ermitteln Sie den arithmetischen Mittelwert bezüglich der Klasseneinteilung. c) In der laufenden Produktion wird jeder Helm nacheinander drei Tests unterzogen. Die Wahrscheinlichkeiten der Testergebnisse sind aus statistischen Untersuchungen bekannt: I. Test der Masse mit den drei möglichen Ergebnissen: (85 %), B ( %) und ( %) II. Oberflächentest mit den drei möglichen Ergebnissen: (80 %), B (9 %) und ( %) III. Funktionstest mit den zwei möglichen Ergebnissen: (95 %) oder (5 %) Helme, die einen Test mit absolvieren, werden sofort aussortiert. Stellen Sie den Durchlauf der Helme durch die drei Tests in einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten dar. Helme, die alle drei Tests mit bestehen, werden als erste Wahl verkauft. Helme, die mindestens einen Test mit absolvieren sind unverkäuflich. lle anderen Helme werden als. Wahl eingestuft. Ermitteln Sie den nteil der Helme erster Wahl, zweiter Wahl und der unverkäuflichen Helme an der Gesamtproduktion. Wie viele Helme müssten produziert werden, um 000 Helme erster Wahl an den Handel liefern zu können? ufgabenteil a) b) c) Summe Punkte Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 7 von 9 Schuljahr 0/

9 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) x = = 079,75 ( 079,75) + (0 079,75) s = 897,75 s = 990,9 s = 990,9 5,69 + (08 079,75) + ( ,75) Der Mittelwert der Helmmassen beträgt 079,75 g und die Standardabweichung beträgt 5,69 g. (lternativ: für n= gilt s=7,6) b) Klasse 5 Werte H i 5 7 h i 0,5 0,5 0,5 0,5 0, 0, 0,5 relative Häufigkeit 0, 0,5 0, 0,5 0, 0, Masse in g 068, , ,5 + 6,5 +,5 96 x = = = 097,0 0 0 Der Mittelwert der Helmmassen beträgt 097,0 g. Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 8 von 9 Schuljahr 0/

10 c) 85% % % Massentest B 80% 9% % 80% 9% % Sichttest B B Funktionstest 95% 5% 95% 5% 95% 5%.Wahl.Wahl.Wahl 95% 5%.Wahl P(.Wahl) = 85 % 80 % 95 % = 6,6 % P(.Wahl) = 85 % 9 % 95 % + % 80 % 95 % + % 9 % 95 % 8,5% P(Fehlteil) = (P(.Wahl) + P(.Wahl)) = (6,6 % + 8,5%) = 6,89 % Der nteil der Helme. und. Wahl beträgt 6,6 % bzw. 8,5 %. 6,89 % der Helme sind unverkäuflich. 6,6 % x = 000 x 57,99 58 Helme müssten mindestens produziert werden. Summe 0 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 9 von 9 Schuljahr 0/