6.1 Vereinfachung der Grundgesetze für die Magnetostatik

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1 Magnetostatik Seite 6 Magnetostatik 6. Vereinfachung der Grundgesetze für die Magnetostatik Was heißt Magneto-statik? Magneto- : Wir wollen uns nur mit magnetischen Feldern, den darin auftretenden Kräften und deren Wirkungen beschäftigen, nicht mit elektrischen Feldern und Kräften. statik : Wir wollen uns nicht mit zeitlich veränderlichen magnetischen Feldern befassen. Nur magnetische Felder heißt: E 0 und E t 0, dann wird aus (4) (4) ds S ε die Gl. (4 ) + 0 E d t Γ (4 ) ds Sd Γ Ähnlich wird aus (5) (5) F q( E + v ) die Gl. (5 ) (5 ) F q v Die Gl. () beschreibt nur E und entfällt. Nur statische Felder heißt gelten also die Gesetze der Magnetostatik t 0, so daß Gl. (2) entfällt. Es (3) (4 ) d ds Sd Γ (5 ) F q v

2 Seite 2 GET-Skript itte keine nalogien zwischen E und (manche Lehrbücher!!). Merke: -Feld hat Zirkulation, aber keine Quellen (keine magnetische Ladung!), E -Feld (statisch) hat Quellen, aber keine Zirkulation. lso auch bei Magnetostatik enorme Vereinfachung. Es gibt eine Reihe von elektrotechnischen ufgaben, die mit diesen vereinfachten Gleichungen gelöst werden können. Es lassen sich dann wieder vereinfachte Formeln herleiten, die dann aber nur für magnetostatische Probleme gelten. emerkung. Ein elektrostatisches E -Feld setzte voraus, daß die Quellen des E -Feldes (Ladungen) sich nicht bewegen. Ein magnetostatisches Feld, das nach Gl. (4 ) von der Stromdichte S erzeugt wird, setzt voraus, daß sich S nicht ändert. Das ist z.. immer der Fall, wenn sich Ladungen als konstante Ströme in Leitern bewegen. 6.2 Die Lorentz-Kraft 6.2. Regeln für den Umgang mit äußeren Vektorprodukten (Kreuzprodukten) Die Schreibweise F q v besagt: Die Kraft ist F ist an jedem Ort - senkrecht zur Geschwindigkeit v - senkrecht zur Feldstärke - proportional zum etrag der Geschwindigkeit v - proportional zum etrag des Feldes - und proportional zum sinϑ des Winkels ϑ zwischen v und. Dieses Richtungsverhalten läßt sich durch das äußere Produkt, das Kreuzprodukt zwischen v und vollständig beschreiben. v v sinϑ e v sinϑ e steht und v e geht in Richtung einer Rechtsschraube, wenn man v auf kürzestem Weg in hineindreht. Das Ergebnis ist ein Vektor. e

3 Magnetostatik Seite 3 ildlich: v e v Rechtsgewinde e chtung! v v Zum Vergleich: nneres Produkt oder skalares Produkt, z.. E ds E ds cosϑ ds E Ergebnis ist Zahl, Skalar. eispiel: Lorentzkraft auf Elektronenstrahl im Magnetfeld. ϑ F -e v e uf ein Elektron der Ladung q - e wirkt dann die Kraft F ( e) v ( e) v sinϑ e Das Magnetfeld (magnetische nduktion) wurde anhand seiner Kraftwirkung auf bewegte Ladungen definiert mit F q υ. So ergibt sich die Einheit von als [ ] N N Vs s m s m m m Vs m 2 Wegen der Wichtigkeit in der Elektrotechnik hat die zusammengesetzte Einheit [ ] auch den Namen Tesla (früher 0 4 Gauß) erhalten. [ ] Vs Tesla T 0 4 Gauss 0 4 G m 2 (Erdfeld Gauß, el. Maschinen T)

4 Seite 4 GET-Skript Kraft auf stromdurchflossende Leiter Darstellung der Lorentzkraft im stromdurchflossenen Leiter mit der Stromdichte S eispiel: Elektronenleitung F v dl uf jedes Elektron mit Ladung q -e wirkt Fe e v Wir nehmen zunächst an, daß alle Elektronen gleiche Geschwindigkeit v in Größe und Richtung haben. m Volumenelement dv dl sind n Elektronen, also wirkt auf dv die Gesamtkraft df mit df n Fe n ( e ) v dv n ( e) v dv n ( e) oder weil ρ die Ladungsdichte ist, gilt dv df dv ρ v und mit S ρ v df dv S Lorentz-Kraft auf dv bei Stromdichte S Da S unabhängig von Polarität der Ladungsträger definiert ist, gilt dies auch für positive Ladung. Da S unabhängig von der Geschwindigkeitsverteilung der Ladungsträger ist, kann die obige Einschränkung entfallen. Darstellung Lorentz-Kraft auf einen Leiter durch Strom. Wir beschreiben die Länge dl des Leiter-Stücks als Vektor dl in Richtung S, dann wird dv S dl S dl und df dl Lorentzkraft auf Leiterlänge dl bei Strom

5 Magnetostatik Seite 5 Oft interessiert man sich (z.. bei Maschinen) für die Kraft/Leiterlänge, den Kraftbelag df dl und erhält dl df dl ---- Kraftbelag dl Zur erechnung der Gesamtkraft F muß die Kraft df pro Leiterlänge dl über den gesamten Leiter aufintegriert werdne. eispiel: Gerades Leiterstück, Länge l, homogen über l. F l d F dl 0 l 0 Weil homogen ist, hat an jeder Stelle von l gleiche Größe und gleiche Richtung. Weil der Draht gerade ist, hat dl auf der ganzen Länge die gleiche Richtung, also ist auch der Winkel ϑ zwischen dl und überall gleich, d. h. sinϑ const. Dann gilt Spezialfall : l F sinϑ e dl sinϑ e l 0 oder F l sinϑ F l Kraft auf geraden Leiter l Drehmoment auf stromdurchflossenen Schleifen im homogenen Feld eispiel: Rechteckige Leiterschleife, homogen l 4 l l 3 l 2 F3 l 2 /2 α l 2 α F l 2 und l 4 sind bis auf das Vorzeichen gleich, ebenso l und l 3, also l 3 und l 2 4, also auch F l l 3 F3

6 Seite 6 GET-Skript F2 l 2 l 4 F4 Es gibt also keine resultierende Gesamtkraft, die die Leiterschleife verschiebt. ber: F F3 bilden ein Kräftepaar, also Drehmoment T l 2 T --- ;. 2 F sinα T 3 T T + T 3 Nun ist bei l F l sin90 l und T l 2 l sinα sinα bzw. T ist der bekannte Flächenvektor. Wir vereinbaren dabei die Richtung von in ewegungsrichtung der Schraube, wenn in Drehrichtung fließt. Rechtsschraube uf eine Spule mit N Windungen wirkt das N-fache Moment, also m T N m m ist die von der Spule abhängige Proportionalitätskonstante zwischen Drehmoment T und. Diese Konstante heißt das Magnetische Moment einer Spule (auch magnetisches Dipolmoment).

7 Magnetostatik Seite erechnung von -Feldern 6.3. Es gibt keine magnetischen Ladungen Wie in Elektrostatik gibt es auch in der Magnetostatik zwei Feldgleichungen (3), (4 ) Gl. (3) d 0 besagt: Es gibt keine magnetischen Ladungen ildlich: Die Feldlinien von können nirgends beginnen und nirgends enden. m allgemeinen schließen sich die Feldlinien von in sich selbst. ei Feldberechnungen muß mit die Form von d 0 überprüft werden, ob wirklich keine Quellen vorhanden sind. Das entspricht der Überprüfung elektrostatischer Felder mit Eds 0 auf Zirkulationsfreiheit der Feldform. Γ chtung: gilt immer, nur in Elektrostatik d 0 Eds 0 Γ Durchflutungsgesetz, mpere sches Gesetz n der Magnetostatik ergibt sich die Größe des -Feldes (nduktion) aus ds Sd Γ n Worten: Fließt durch eine Fläche mit dem Rand Γ ein Strom der Stromdichte S, so ist der gesamte Strom durch diese Fläche Sd gleich dem Linienintegral über längs dem Rand Γ der stromdurchflossenen Fläche. Die Richtung von muß festgelegt werden. S Rechtsschraube

8 Seite 8 GET-Skript Man legt fest: Fließt der Strom S in ewegungsrichtung einer Rechtsschraube, so verläuft in Drehrichtung. Da Sd in fast allen elektrotechnischen Problemen durch Ströme in Leitung entsteht, schreibt man auch oft ds Γ ges mpere sches Gesetz n dieser Schreibweise muß man daran denken, daß ges bei mehreren Windungen das n-fache des in der Leitung fließenden Stromes sein kann, wenn der Draht in n Windungen durch die von Γ umrandete Fläche fließt! Die ezeichnung Durchflutung Θ für den Gesamtstrom durch vermeidet diese Schwierigkeiten: als Durchflutung Θ bezeichnet man Θ Sd gesamt durch Wenn nun ein Draht mit Strom mehrfach in gleicher Richtung durch läuft, z.. n-mal, dann ist Θ n und ds Γ Θ Durchflutungssatz erechnung symmetrischer Felder aus dem Durchflutungsgesetz eispiel: -Feld eines langen, geraden Leiters r ϕ rϕ (,, z) Hier: erechnung in Zylinderkoordinaten vorteilhaft

9 Magnetostatik Seite 9 m betrachteten Punkt (, r ϕ, z) hat eine radiale Komponente r r (, r ϕ, z) sowie die beiden tangentialen Komponenten z z (, r ϕ, z) und ϕ ϕ (, r ϕ, z), wobei r z ϕ. wird also beschrieben durch den Vektor rϕ (,, z) r ϕ z (, r ϕ, z) (, r ϕ, z) (, r ϕ, z) 0 Wegen d ist r (, r ϕ, z) 0 Die magnetischen Feldlinien können also nur um den Leiter herum geschlossen sein und müssen aus Symmetriegründen kreisförmig verlaufen. Es bleibt nur die tangentiale Komponente ϕ (, r ϕ, z) und somit wird rϕ (,, z) ( 0, ϕ (, r ϕ, z)0, ). us den genannten Symmetriegründen hängt die tangentiale Komponente nur vom bstand r, nicht aber von z oder ϕ ab, also rϕ (,, z) ( 0, ϕ ( r), 0) ϕ ( r) e ϕ. wobei ein Einheitsvektor in tangentialer Richtung ist. e ϕ Für dieses -Feld läßt sich aber die Gl (4 ) auswerten, weil ds Richtung e ϕ hat, also e ϕ ds ds ist (Spezialfall) die ds Kreis µ ϕ r ϕ ( r) e ϕ ds Kreis ( ) 2πr µ ϕ r 0 ( ) ds Kreis also ϕ ( r) Feld eines geraden Leiters 2πr Mit der Schreibweise des Kreuzproduktes kann man und Richtung beschreiben. Mit in Größe e r r z - ; e ist dann r z - z e z e r oder 2π r e z r π r 2

10 Seite 20 GET-Skript r eispiel: Kraft zwischen zwei parallellen geraden Leitern (Länge l, bstand r. 2 F r 2 2 r 2 F2 Es gilt F l 2 F2 2 l2 Weil bei parallelen Drähten 2 l bzw. l 2, wird aus Kreuzprodukt einfaches Produkt. Weiterhin sei r 2 r 2 r Es ist Richtung und die Größe der Kräfte, Richtung F2 r 2 F r 2 F l 2 F 2 2 l l F 2π r Mit dieser eziehung läßt sich die Stromstärke () bzw. Ladung (s) festlegen: mpere ist die Stärke eines Stromes, der durch zwei im Vakuum parallel im bstand m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem Querschitt fließend je Meter Länge die Kraft von N hervorruft.

11 Magnetostatik Seite 2 wurde damit fest- Die Permeabilitätskonstante (Permeabilität) gesetzt zu 2πr N 2π m ( F l) m 2 2 4π N 2 4π 0 7 Tm eispiel: erechnung (Solenoid). -Feld einer langen, zylindrischen Spule d c l a b Γ Für eine rechteckige Schleife Γ a,b,c,d die auf der Länge l a,b N Leiter umschließt, gilt das Durchflutungsgesetz: Θ ds Γ mit Θ N Strom mal Windungen durch Rand Γ. Θ b c d a ds ds ds ds a b c d c Es ist ds d s 0, b weil dort ds. Weiter ist d d s 0, c a d weil außerhalb der Spule 0 ist (eweis hier nicht möglich). Der einzige eitrag kommt von im nneren der Spule, und dieses ist parallel zur Spulenachse und konstant bei Verschiebung des Rechteckes Γ längs der Spule. Dann ist Θ b b l ds ds ,also N a a l oder N l -Feld eines Solenoids Mit n N l schreibt man oft auch n

12 Seite 22 GET-Skript erechnung beliebiger Magnetfelder mit bekannter Stromverteilung (iot-savart sches Gesetz) Das elektrostatische Feld E einer bekannten Ladungsverteilung konnte man sich als Superposition der E -Felder von allen Punktladungen vorstellen, aus denen die Ladungsverteilung aufgebaut ist. Ähnlich kann man das statische Magnetfeld sich als Superposition der -Felder von allen Stromelementen vorstellen, aus den die Stromverteilung aufgebaut ist. Dies ist jedoch mit den z.z. verfügbaren Werkzeugen nicht herleitbar. Deshalb soll nur das Ergebnis gezeigt werden: Ein Element eines beliebigen Leiters mit Länge Strom am Ort () einen eitrag i( ) li r i µ 4π r i 3 li erzeugt bei li i( ) () r i der gesamte Leiter also ein Feld ( ) i li r i π r i 3 und im Grenzfall unendlich kurzer Elemente dl ( ) dl2 r 2 4π r 2 3 iot-savart sches Gesetz (2) l2 d( ) () r 2

13 Magnetostatik Seite Materie im magnetischen Feld 6.4. Magnetische Werkstoffe und deren Eigenschaften eobachtung: ringt man in eine vom Strom durchflossene Spule Materialien, so ändert sich, obwohl die Spule (N/L, also Windungszahl /Länge) und der Strom () unverändert sind Entweder: Durchflutungssatz und die daraus berechnete eziehung N l ist falsch Oder: Es fließen zusätzlich zum Strom Spule weitere Ströme im Material und damit durch den ntegrationsweg Γ. Γ zusätzl. Ströme M Die zusätzlichen Ströme Material können in der gleichen Richtung wie fließen und dabei vergrößern und zwar - kaum merklich (Paramagnetismus) - extrem stark (Ferromagnetismus). Die zusätzlichen Ströme können auch zu Spule entgegengesetzt fließen und - kaum spürbar schwächen (Diamagnetismus). Damit ergibt sich ein -Feld ( Spule + Material ) N l

14 Seite 24 GET-Skript Der Magnetisierungsvektor M n hatten wir gesehen, daß im Dielektrikum durch atomare Dipolmomente eine zusätzliche Oberflächenladung entstanden war. Ähnlich entstehen bei Materialien im Magnetfeld durch atomare magnetische Momente zusätzliche Oberflächenströme. Wir denken uns die atomaren magnetischen Momente m als rechteckige Stromschleifen mit Strom Material und Fläche M, die in Richtung des Moments m den bstand d haben. M M m d lle Ströme zwischen solchen Würfeln heben sich auf. ei einer aus Würfeln zusammengesetzten Scheibe der Dicke d und Fläche bleibt ein Strom M nur längs des Randes von. M d Ein Stück Material mit Länge l, also N Scheiben der Dicke d entspricht der Spule mit N Windungen pro Länge l mit dem Strom Material.

15 Magnetostatik Seite 25 l M d Das von den magnetischen Momenten erzeugte Spule) -Feld ist (siehe zusaetzlich Material N l ei N Scheiben hat man N M Momente, also im Volumen l eine nzahl Momente/Volumen : N M N N M M l N l m ezeichnen wir als Magnetisierung pro Volumen, also M N M m, so ist M auch M das Magnetische Moment M N m N Material M l l M M Material N l M M M ist also ein Vektor mit der Größe M Material N l Richtung. M und der läuft eben- Das oben berechnete zusaetzlich Material N l falls in Richtung und so ist zusaetzl. M Das gesamte -Feld mit Materie ist dann Spule zusaetzl. + Spule + M n gewissen Grenzen wird M zum -Feld der Spule proportional sein (wie im Dielektrikum P E war), also M χ Spule

16 Seite 26 GET-Skript Unter dieser Voraussetzung ist Spule + M Spule ( + χ) Setzt man + χ µ r, so ist Spule µ r Die magnetische Suszeptibilität χ bzw. die relative Permeabilität µ r drücken Materialeigenschaften aus und sind im allgemeinen nicht konstant. Entsprechend der Einteilung in 6.4. gilt: - Diamagnetische Stoffe: µ r ( + χ) - Paramagnetische Stoffe: µ r ( + χ) - Ferromagnetische Stoffe: µ r ( + χ)» Magnetische nduktion und Magnetfeld H in Materie Entsprechend der Erregung magnetischer Felder durch Ströme wird häufig das Magnetische Feld, die Magnetische Erregung (ohne Proportionalitätskonstante zwischen Strom und Magnetfeld) durch den Vektor H beschrieben. Hds Θ Γ Mit H werden folgende weitere egriffe eingeführt: 2 H d s V m magnetischespannung Hds Γ V m magnetischerandspannung chtung: ei der Fesatlegung von H, V m bzw. V m wurden bewußt die von magnetischen Momenten im Material erzeugten Feldanteile nicht einbezogen. H, V m, und V m sind deshalb per Definition nur mit der Durchflutung durch äußere Ströme (Ströme in Leitungen) verknüpft! Demnach ist ohne Materie (Vakuum, näherungsweise Luft) H

17 Magnetostatik Seite 27 und mit Materie wegen H def Spule ( H + M) und mit M χ spule χ H ( + χ) H µ r H µ H Die Materialgröße µ µ r heißt auch absolute Permeabilität des Stoffes. Die Schreibweise mit H ist in der Praxis vorteilhaft, weil man zunächst H aus den äußeren Strömen direkt berechnen kann und daraus mit hilfe von Materialkonstanten. Damit entfällt auch die ndizierung bzw.. Spule Material Die Grundgesetzte schreiben sich mit Elektrotechnik) üblichen Form (4 ) Hds Sd und (3) Γ d 0 H in der (im ereich der eachte: S sind hier alle äußeren Ströme, nicht die durch Magnetisierung verursachten. Zur Lösung braucht man dann jedoch noch die Materialgleichung. µ H µ r H ( + χ) H und diese enthält die (bei anisotropen Materialien nicht zutreffende) nnahme, daß χ eine skalare Konstante ist Diamagnetismus, Paramagnetismus, Ferromagnetismus Die atomaren magnetischen Momente m kommen entweder von - umlaufenden Elektronen M m +

18 Seite 28 GET-Skript - um die eigene chse rotierende Elektronen m eide ilder sind sehr anschaulich, aber quantitativ falsch (klassisch, nicht quantenmechanisch)! Diamagnetismus (Wismut, Kupfer, Silber). Ohne auf. H -Feld heben sich die Momente der Elektronen paarweise ohne äußerem H-Feld mit äußerem H-Feld + m 2 H + m 2 m 2 m 2 Zusätzliche Lorentz Kräfte - auf () in Richtung der Zentrifugalkraft, - auf (2) entgegen der Zentrifugalkraft Deshalb muß () den ahnradius verkleinern, die Zentrifugalkraft verringern und damit wird die Fläche und m kleiner. Durch Vergrößerung des ahnradius wird dagegen größer. Weil m 2 > m, ist m m + m 2 entgegengesetzt zu H und 4 sehr klein; χ d 0. Paramagnetismus (luminium, Platin) uch ohne H -Feld sind atomare magnetische Momente vorhanden, aber deorientiert. Durch das äußere Magnetfeld erfolgt usrichtung der Momente m in Richtung H, also χ p > 0. ei hohen Temperaturen zerstört die thermische Energie immer wieder die usrichtung, χ p ist also temperaturabhängig. ei Zimmertemperatur ist χ p 0 2 m 2

19 Magnetostatik Seite 29 Ferromagnetismus ei Eisen, Kobalt, Nickel, Gadolinium, Dysprosium und deren Legierungen sind sehr starke magnetische Momente auch ohne H - Feld vorhanden. Elektronenspins richten sich spontan parallel zueinander aus (also keine Eigenschaft des einzelnen toms!). Die usrichtung beschränkt sich auf kleine ezirke (Weiß sche eziehung), die ohne H unterschiedlich orientiert sind. ei Temperaturen über einem kritischen Wert (Curiepunkt) hört die spontane Magnetisierung plötzlich auf. Die Größe der Weiß schen ezirke ist durch das Energieminimum bzgl. äußerer Feldenergie und Wandenergie der ezirke gegeben. N S N S S N S N S N N S N S Viel Feldenergie Weniger Feldenergie, jedoch Wand Praktisch kein äußeres Feld, jedoch 4 Wände Keine weitere Reduzierung d. äuß. Feldes, jedoch zusätzl. Wände Wände enthalten Energie, weil ja gerade entgegengesetzt spinnende Elektronen benachbart sind und parallele usrichtung niedrigere Energie hat. Die Magnetisierungskurve Die Magnetisierungskurve stellt Gesamt in bhängigkeit von dar ( H, abhängig von Material!) Spule H r Neukurve H µ c H - r Remanenz (induktion); Koerzitivfeldstärke H c - Steiler Teil der Kurve: Wandverschiebung in ezirken mit leichter Richtung (reversibel).

20 Seite 30 GET-Skript - Flacherer Teil der Kurve: Wandverschiebung mit Überwindung von Hindernissen (nicht reversibel). - Flacher Teil der Kurve: Drehung Weiß scher ezirke in Richtung H (viel Energie nötig; Sättigung; irreversibel). Weil usrichtung z. T. irreversibel, gibt es Hystereseschleife bzw. Neukurve. - eim Zurücknehmen von H auf 0 bleibt eine nduktion r (Remanenzinduktion). - Erst bei einer entgegengesetzten Feldstärke Hc (Koerzitivfelstärke) geht auf Null zurück. Die Fläche der Hystereseschleife ist ein Maß für die Energieverluste infolge irreversibler Vorgänge. 6.5 Der magnetisc he Kreis 6.5. Die Konstanz des magnetischen Flusses φ m 2 d d2 d Man definiert den Magnetischen Fluß d stets in Richtung zeigt. φ m d Leiter, wobei Weil aber nur in bzw. 2 nduktion 0, und weil in d vereinbarungsgemäß d nach außen zeigt, 0

21 Magnetostatik Seite 3 im ild d aber nach innen, gilt 0 d d + 2 d 2 also φ m d 2 d 2 φ m2 oder im homogenen Feld φ m 2 2 φ m2 2 2 Weil φ m in der Elektrotechnik sehr wichtig ist, erhält es eine eigene Einheit: [ φ m ] Weber Wb Tm 2 Vs Das sog. Ohm sche Gesetz des magnetischen Kreises n sich geschlossene nordnungen aus hochpermeablen Materiallien (magnetischen Leitern) heißen magnetische Kreise und dienen zur Führung des magnetischen Feldes. l m N Windg. Legt man die mittlere Länge des magnetischen Leiters mit l m fest, so gilt näherungsweise H l m Θ N Hds Wenn im gesamten Kreis konstant, ist µ r

22 Seite 32 GET-Skript l Θ H l m l m m φ µ r µ r m µ r l m Wegen der Ähnlichkeit zum Ohm schen Gesetz schreibt man auch Θ φ m R m wobei wird. R m l m µ r als magnetischer Widerstand bezeichnet Zum Vergleich: U R mit R Magnetischer KreisStromkreis l κ QuellspannungΘ V m U Strom φ m Widerstand R m R erechnung magnetischer Kreise auf b- Kreis mit i bschnitten unterschiedlicher Materialien schnitten der Länge l mi R mi H i l mi V m Hds V mi i i φ m R mi Θ N eispiel: gegeben, Θ gesucht l m l m2 l m3 φ m V m φ m R m und V m2 φ m R m2 N Θ ( V m + V m2 ) 2

23 Magnetostatik Seite 33 Ersatzschaltbild dazu Φ m V m Θ V m2 V m3 V m4 Dies entspricht der Kirchhoff schen Maschenregel. eispiel 2: Gegeben Θ und Θ 2 ; gesucht φ m, φ m2, φ m3 Hüllfläche 2 Θ Φ m3 Θ 2 Φ m Φ m2 0 Weil d durch Hüllfläche, ist φ m3 φ m + φ m2 Das entspricht der Kirchhoff schen Knotenregel. Ersatzschaltbild: Φ m Φ m2 R m Φ m3 R m2 Θ R m3 Θ 2 linke Masche rechte Masche Θ R m φ m + R m3 φ m3 Θ 2 R m2 φ m2 + R m3 φ m3

24 Seite 34 GET-Skript Für die drei Unbekannten φ m, φ m2, φ m3 sind also 3 Gleichungen - 2 Maschengleichungen - Knotengleichung gegeben. eispiel 3: Magnetischer Kreis mit Luftspalt (Motoren, Elektromagnet) l m d Reihenschaltung von des Eisens und des Luftspalts d. R me R md Die Kirchhoff sche Regeln für den magnetischen Kreis gelten gut, solange Streufeld klein bleibt, also d klein gegen Polflächen. Dann ist natürlich der magnetische Widerstand des Luftspaltes R md d Da die Magnetisierungskurve meist nur als Diagram verfügbar ist, werden in der Praxis graphische Lösungen bevorzugt. Φ m magn. Material Luft ges. Kreis V E V L V ΘG - Weil φ m und H V Eisen l, kann man anstelle der üblichen Magnetisierungskurve des Eisens f( H) auch φ m f( V Eisen ) auftragen, wenn und l gegeben sind (durchgezogene Kurve). - Für den Luftspalt kann man entsprechend statt der Geraden H die Gerade φ m V Luft R md auftragen (gestrichelt) - ddiert man waagerecht für jedes φ m die zugehörigen magnetischen Spannungen V E für das Eisen und V L für die Luft, so erhält man für jedes φ die notwendige magnetische Randspannung V und damit Θ (strich punktierte m Kurve).