Einführung in die lineare modellprädiktive Regelung (MPC)

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1 Einführung in die lineare modellprädiktive Regelung (MPC) Seminararbeit von Susanne Bauer FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK MATHEMATISCHES INSTITUT Datum: 24. April 2006 Betreuung: Prof. Dr. L. Grüne

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die lineare MPC Einleitung Grundlegende Definitionen der Kontrolltheorie Lineare Kontrollsysteme Stabilisierungsproblem für lineare Kontrollsysteme Lineare MPC Modelle Zustandsmodelle Übertragungsfunktionen (transfer functions) Problemstellung der modellprädiktiven Regelung Grundidee von MPC Anwendungsbeispiele Wärmepumpe Destillationskolonne Literaturverzeichnis 18 I

3 II INHALTSVERZEICHNIS

4 Kapitel 1 Einführung in die lineare MPC 1.1 Einleitung Modellprädiktive Regelung oder auch Model (Based) Predictive Control (MBPC oder MPC) ist eine Methode, mit der Feedback Regler sowohl für lineare als auch für nichtlineare Systeme durch Verfahren der Online Optimierung berechnet werden können. Das heisst MPC ist eine Form der Regelung, die online über einen endlichen Zeithorizont das optimale Kontrollproblem löst, indem nur die erste Kontrollfunktion der berechneten Steuerfolge angewandt wird. Im nächsten Schritt wird dann der aktuelle Zustand als Anfangszustand betrachtet und die Online Berechnung mit verschobenem Zeithorizont fortgesetzt. Auf Grund ihrer großen Flexibilität ist MPC unter den modernen Regelungsalgorithmen wahrscheinlich die Methode mit den meisten praktischen Anwendungen. MPC eignet sich für beschränkte, multivariable Systeme und für Kontrollprobleme, bei denen die Offline Berechnung der Kontrollfunktion sehr schwierig oder sogar unmöglich ist. Einer der großen Vorteile von MPC ist seine Fähigkeit, die Beschränkungen des Systems zu behandeln, weswegen diese Verfahren sehr interessant für die Industrie sind. 1.2 Grundlegende Definitionen der Kontrolltheorie Lineare Kontrollsysteme Kontrollsysteme sind dynamische Systeme in kontinuierlicher oder diskreter Zeit, die von einem Parameter u R m abhängen, der sich abhängig von der Zeit und/oder dem Zustand des Systems verändern kann. Dieser Parameter kann entweder als Steuergröße verstanden werden, die von außen aktiv beeinflusst werden kann (z.b. Beschleunigung bei einem Fahrzeug) oder als Störung, die auf das System wirkt (z.b. Straßenunebenheiten bei einem Auto, Kursschwankungen bei Wechselkursen). Es handelt sich hier jedoch nicht um Kontrolle im Sinne von Überwachung, sondern um Einflussnahme von außen. Man spricht von Steuerung, wenn die Parameter u nur von der Zeit t abhängen und von Regelung, wenn die Parameter

5 2 Kapitel 1: Einführung in die lineare MPC u vom aktuellen Zustand x(t) abhängen. In der Vorlesung Kontrolltheorie 1 haben wir uns mit Kontrollsystemen beschäftigt, die in kontinuierlicher Zeit definiert sind und durch gewöhnliche Differenzialgleichungen beschrieben werden können. Solche Systeme sind durch Differenzialgleichungen der Form ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)) (1.1) gegeben. Die Variable t R wird hierbei als Zeit aufgefasst, die Größe x(t) R n ist der Zustand und u(t) R m die Kontrolle oder der Kontrollwert zur Zeit t. Definition 1.1. Ein lineares zeitinvariantes Kontrollsystem mit Ausgang ist gegeben durch die Gleichung mit A R n n, B R n m und C R k n. ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) (1.2) Stabilisierungsproblem für lineare Kontrollsysteme Ein weiterer Ansatz ist nun, statt die Kontrolle als Steuerung abhängig von t anzusetzen, eine Regelung zu wählen, in der wir die Kontrollfunktion in jedem Zeitpunkt zustandsabhängig als u(t) = F(x(t)) setzten. Hier soll nun diese Funktion F : R n R m bestimmt werden. Eine solche Funktion, die jedem Zustand einen Kontrollwert zuordnet, nennt man Feedback. Da unser System linear ist, wählen wir auch die Feedback Funktion F linear, also u = Fx für ein F R m n. Das System ist nun gegeben durch eine lineare zeitinvariante Differenzialgleichung der Form: ẋ(t) = Ax(t) + BFx(t) = (A BF)x(t), y(t) = Cx(t) (1.3) Definition 1.2. Gegeben sei ein lineares Kontrollsystem (1.2) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) mit Matrizen A R n n, B R m n und C R k n. Das (Feedback ) Stabilisierungsproblem für (1.2) besteht darin, eine lineare Abbildung F : R m R n (bzw. die dazugehörige Matrix F R m n ) zu finden, so dass die gewöhnliche Differenzialgleichung ẋ(t) = (A + BF)x(t), y(t) = Cx(t) asymptotisch stabil ist. Wir wollen nun einen Feedback Regler für lineare Kontrollsysteme mit dem Ansatz der modellprädiktiven Regelung bestimmen.

6 1.3. LINEARE MPC MODELLE Lineare MPC Modelle Das Prozessmodell ist der Grundstein von MPC. Das Modell sollte die Prozessdynamik voll erfassen und ebenfalls so aufgestellt werden, dass die Vorhersagen auch berechnet werden können. Gleichzeitig sollte es intuitiv sein und eine theoretische Analyse erlauben. Das Prozessmodell ist notwendig, um die vorhergesagten Ausgangsgrößen ŷ(t + k t) in einer zukünftigen Instanz zu kalkulieren. Die verschiedenen Strategien von MPC können zahlreiche Modelle benutzen, um die Beziehung zwischen den Ausgangsgrößen und den messbaren Inputs aufzuzeigen. Es kann ebenfalls ein Störungsmodell betrachtet werden, um das nicht durch das Prozessmodell wiedergespiegelte Verhalten wie auch nicht messbaren Inputs, Messgeräusche und Modellfehler zu beschreiben. Diese Modelle werden wir jedoch an dieser Stelle nicht berücksichtigen. Praktisch kann jede mögliche Form der Modellierung in einer MPC Formulierung verwendet werden, die folgenden sind jedoch am gebräuchlichsten: Zustandsmodelle Viele modellprädiktive Algorithmen verwenden im Gegensatz zu (1.2) auch zeitdiskrete Modelle. Das zu (1.2) analoge zeitdiskrete Modell ist gegeben durch x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t). (1.4) Hier ist sowohl die Kontrollfunktion u(t) als auch die Lösung x(t) nur für t Z definiert und die Dynamik ist durch eine Differenzengleichung gegeben. Setzt man in (1.2) eine Kontrollfunktion ein, die konstant auf Intervallen der Form [k, k + 1), k Z, ist, so liefern die beiden Modelle für t Z die gleichen Lösungen, wenn man A und B in (1.4) als e A und 1 0 e A(1 t) Bdt (1.5) wählt. Man kann also kontinuierliche Modelle in zeitdiskrete Modelle überführen und erhält so aus einer Differenzialgleichung ein zeitdiskretes Modell. Diese Modelle werden (lineare) Zustandsmodelle genannt. Die Vorhersage der Ausgangsgrößen ist für Zustandsmodelle gegeben durch k ŷ(t + k t) = Cˆx(t + k t) = C[A k x(t) + A i 1 Bu(t + k i t)]. Wenn Modelle dieser Form für ein gegebenes Problem bekannt sind und in einem gegebenen Algorithmus effizient verwendet werden können, werden normalerweise diese Modelle benutzt. i= Übertragungsfunktionen (transfer functions) Es kann jedoch sein, dass geeignete Zustandsmodelle nicht bekannt sind oder die Modelle sich aus strukturellen Gründen für gewisse Algorithmen nicht eignen. Aus diesen Gründen

7 4 Kapitel 1: Einführung in die lineare MPC gibt es weitere Modelle, die alternativ verwendet werden können. Es gibt eine Reihe von Modellen, in denen der Zustand x(t) gar nicht auftaucht, da sie direkt durch eine Abbildung von u nach y gegeben sind. Da x(t) dabei völlig vernachlässigt wird, fixiert man üblicherweise x 0 = 0, was für lineare Systeme keinen wesentlichen Informationsverlust bedeutet, da man die Ausgangsfunktion ỹ für x 0 0 durch Addition von Ce At x 0 bzw. CA t x 0 zu y erhalten kann. Die wahrscheinlich wichtigste Klasse solcher Modelle sind die Übertragungsfunktionen (transfer functions): Hierbei werden im kontinuierlichen Fall t R die Funktionen u und y zunächst durch ihre Laplace Transformationen û(s) = 0 u(t)e st dt, ŷ(s) = 0 y(t)e st dt (1.6) für s C dargestellt (Darstellung im Frequenzbereich). Die Transferfunktion ist dann die Abbildung G : C R l m, für welche die Relation ŷ(s) = G(s)û(s) (1.7) für x 0 = 0 gilt. Für die von (1.2) induzierte y u Relation gilt gerade G(s) = C(sId A) 1 B. Umgekehrt lassen sich zu jeder Übergangsfunktion G Matrizen A, B, C finden, so dass (1.2) das gleiche Verhalten wie G beschreibt. Im zeitdiskreten Fall t Z kann man analog vorgehen, wenn man statt der Laplace Transformation z Transformation verwendet. Ein anderes Modell dieser Art ist das sogenannte ARIMAX Modell, das aus der Zeitreihenanalyse stammt und bei dem die Beziehung zwischen y und u mittels einer Gleichung der Form a 0 y(t) + a 1 y(t 1) a ra y(t r a ) = b 0 u(t 1) + b 1 u(t 2) b r b u(t r b ) (1.8) beschrieben wird. Hierbei werden die Parameter a i und b i durch statistische Methoden aus dem gemessenen Systemverhalten geschätzt. Definiert man den Shift (Verzögerungs ) Operator q 1 mittels q 1 y(t) := y(t 1), die Potenz (q 1 ) k als k malige Ausführung dieses Opterators und die Polynome A(λ) = r a k=0 a kλ k sowie B(λ) = r b k=0 b kλ k, kann man (1.8) kurz als A(q 1 )y(t) = B(q 1 )u(t 1) (1.9) schreiben. Für ARIMAX Modelle ist die Vorhersage der Outputs gegeben durch ŷ(t + k t) = B(z 1 ) u(t + k t). A(z 1 ) Bemerkung 1.3. Es können ebenfalls nichtlineare Modelle verwendet werden, um den Prozess darzustellen. Das Problem hierbei ist, dass das Optimierungsproblem komplizierter wird. Wir werden Verfahren hierzu im weiteren Verlauf des Seminars kennen lernen.

8 1.4. PROBLEMSTELLUNG DER MODELLPRÄDIKTIVEN REGELUNG Problemstellung der modellprädiktiven Regelung Das Stabilisierungsproblem für lineare Kontrollsysteme bestand darin, eine Feedback Funktion F zu finden, so dass die gewöhnliche Differenzialgleichung (1.3) asymptotisch stabil ist, d.h. der Zustand x(t) soll in die Null gesteuert und dort gehalten werden. Das Problem des modellprädiktiven Ansatzes ist eine verallgemeinerte Form der Stabilisierung (tracking Problem). Das Ziel der modellprädiktiven Regelung ist, dass die zukünftigen Ausgangsgrößen y(t+k) einer vorgegebenen Referenztrajektorie w(t+k) folgen, d.h. die Abweichung der Ausgansgrößen y(t + k) von einer bekannten Referenztrajektorie w(t + k) soll innerhalb eines bestimmten Zeitfensters (Prädiktionshorizont N) minimiert werden, um den Prozess so nahe wie möglich an dieser Trajektorie zu halten. Dies kann man erreichen, indem man durch eine auf einem endlichen Horizont N zu berechnende Kontrollfolge u(t + k) Einfluss auf die zukünftigen Ausgangsgrößen nimmt. Dafür wird eine Zielfunktion J aufgestellt, die normalerweise von quadratischer Form ist. Die Sollwerttrajektorie w wird dabei als bekannt vorausgesetzt. Die prädizierten Regelgrößen y(t + k) werden hingegen abhängig von der gewählten Modellbeschreibung und den zu optimierenden zukünftigen Kontrollsignalen u(t+k) bzw. dem Vektor der zukünftigen Kontrollfunktionsänderungen u(t) = u(t) u(t 1) dargestellt. Abbildung 1.1: Problemstellung von MPC

9 6 Kapitel 1: Einführung in die lineare MPC Abbildung 1.2: MPC Strategie Schritt Grundidee von MPC Es sollen nun die zukünftigen Regelgrößen y(t+k) zur Zeit t über einen endlichen Horizont N unter Verwendung des Prozessmodells vorhergesagt werden. Dabei hängen diese prädizierten Ausgangsgrößen von bekannten Werten der Instanz t und den zukünftigen Kontrollsignalen u(t + k) ab, welche an das System ausgegeben und berechnet werden sollen. Die zukünftige Kontrollfolge wird durch Optimieren eines bestimmten Kriteriums berechnet, in den meisten Fällen durch Minimieren eines Zielfunktionals J. Vom aktuellen Zeitpunkt t ausgehend wird nun diese Zielfunktion über den Prädiktionshorizont N aufgestellt und mit geeigneten Optimierungsverfahren in Abhängigkeit der zukünftigen Kontrollfunktionen u(t + k) bzw. Kontrollfunktionsänderungen u minimiert. Schritt1: Berechne zur Zeit t eine Kontrollfolge u über einen zukünftigen endlichen Horizont N, durch Minimierung des Zielfunktionals N 2 N u J N (u, t) = δ(j)[ŷ(t + j t) w(t + j)] 2 + λ(j)[ u(t + j 1)] 2. (1.10) j=n 1 j=1 Diese Optimierung liefert also u(t), u(t + 1),..., u(t + N u 1). N 1 und N 2 sind das Minimum und das Maximum des Kostenhorizonts und N u ist der Kontrollhorizont, welcher nicht notwendigerweise mit dem maximalen Horizont zusammenfallen muss. N 1 und N 2 markieren also die Grenzen des Horizonts, in welchem es erwünscht ist, dass der Output der Referenz folgt. Falls jedoch der Kostenhorizont größer ist als der Kontrollhorizont (also N 2 > N u ), setze u(t) = 0. Die Koeffizienten δ(j) und λ(j) sind Folgen, die das Zukunftsverhalten berücksichtigen (normalerweise konstante Werte oder exponentielle Folgen). Die Optimierung läuft dabei über N 2 N zukünftige Ausgangsgrößen unter Berücksichtigung von N u Inkrementen des Kontrollsignals. In der Zielfunktion kann man folgendes berücksichtigen:

10 1.5. GRUNDIDEE VON MPC 7 Referenztrajektorie: Einer der Vorteile der prädiktiven Kontrolle ist, dass die Zukunftsentwicklung der Referenz a priori bekannt ist, d.h. das System kann reagieren bevor die Veränderung effektiv durchgeführt wird, was somit den Effekt der Verzögerung vermeidet. Die Zukunftsentwicklung oder Referenz r(t+ k) ist in vielen Anwendungen vorher bekannt. In manchen Anwendungen kann man, obwohl die Referenz sogar konstant ist, eine erkennbare Verbesserung in der Darstellung erhalten, indem man einfach die Instanz kennt, in der sich der Wert ändert. In der Minimierung (1.10) verwenden die meisten Methoden normalerweise eine Referenztrajektorie w(t + k), welche nicht notwendigerweise mit der realen Referenz übereinstimmen muss. Sie ist normalerweise eine gleichmäßige Approximation des aktuellen Wertes des Ausgangs y(t) zu der bekannten Referenz: w(t) = y(t) w(t + k) = αw(t + k 1) + (1 + α)r(t + k) k = 1...N (1.11) α ist dabei ein Parameter zwischen 0 und 1 (je näher bei der 1, desto gleichmäßiger die Approximation), welcher ein veränderlichen Wert ist, der die dynamische Resonanz des Systems beeinflusst. In Abbildung 1.3 wird die Form der Trajektorie gezeigt (für konstante Referenz r(t + k) und für zwei verschiedene Werte von α). Abbildung 1.3: Referenztrajektorie Beschränkungen: Konstruktive Gründe, wie z.b. Sicherheits oder Umweltgründe, können Grenzen in den Prozessvariablen verursachen (z.b. der Wasserpegel in Tanks, Wasserfluss in Rohrleitungen oder Maximaltemperaturen und druck). Weiterhin sind die Operationsbe-

11 8 Kapitel 1: Einführung in die lineare MPC dingungen aus grundlegenden ökonomischen Gründen durch den Schnittpunkt verschiedener Beschränkungen definiert, so dass das Kontrollsystem nahe an den Grenzen operieren wird. Zum Beispiel ist es für ein Wirtschaftsunternehmen, welches nur eine bestimmte Schadstoffmenge ausstoßen darf, wünschenswert, so nahe wie möglich an dieser vorgegebenen Grenze zu operieren. All das macht das Einführen von Beschränkungen in die Kostenfunktion notwendig. Normalerweise erhält man Grenzen in der Amplitude oder Veränderungen des Kontrollsignals und Beschränkungen in den Ausgangsgrößen durch: u min u(t) u max für alle t du min u(t) u(t 1) du max für alle t y min y(t) y max für alle t Durch Hinzufügen dieser Beschränkungen in die Zielfunktion wird die Minimierung komplexer, so dass die Lösung nicht explizit wie im unbeschränkten Fall berechnet werden kann. Von dem so ermittelten Vektor der optimalen Kontrollfunktionsänderungen u wird nun lediglich der erste Wert u(t + 1) an das System ausgegeben und angewendet. Die anderen werden verworfen. Der Horizont wird dann verschoben (receding horizon Konzept) und es wird für den jetzt aktuellen Zeitpunkt t + 1, der jetzt zu t wird, erneut eine Kontrollfolge des sich nun neu ergebenden optimalen Steuerungsproblems unter Verwendung des übernommenen ersten Wertes (neuer Anfangswert) berechnet. Diese Vorgehensweise kann nun iterativ angewandt werden bis schliesslich die optimale Steuerfolge bestimmt ist. Schritt2: Wende nur den ersten Wert u(t + 1) der berechneten Kontrollfolge an. Schritt3: Verschiebe den Prädiktionshorizont N (receding horizon Konzept). Schritt4: Berechne zur Zeit t + 1 erneut eine Kontrollfolge des nun neuen optimalen Steuerungsproblems (d.h. gehe zu (Schritt 1)), wenn optimale Kontrollfolge bestimmt, Ende.

12 1.5. GRUNDIDEE VON MPC 9 Abbildung 1.4: MPC Strategie Schritt 2 bis 4 Um diese Strategie zu implementieren, wird die Basisstruktur aus Abbildung 1.5 angewandt: Es wird ein Modell verwendet, um die zukünftigen Ausgangsgrößen vorherzusagen, und zwar basierend auf vergangenen und aktuellen Werten und den vorgeschlagenen optimalen zukünftigen Kontrollaktionen. Diese Aktionen werden unter Berücksichtigung der Kostenfunktion sowie der Beschränkungen vom Optimierungsalgorithmus kalkuliert. Beispiel 1.4. Die MPC Strategie ist der Kontrollstrategie, welche beim Autofahren verwendet wird, sehr ähnlich: Der Fahrer kennt die gewünschte Referenztrajektorie über einen endlichen Kontrollhorizont und entscheidet nun, welche Kontrollaktionen (Beschleunigung, Bremsen, Steuerung) gewählt

13 10 Kapitel 1: Einführung in die lineare MPC werden, um der gewünschten Trajektorie zu folgen. In jeder Instanz werden nur die ersten Kontrollaktionen verwendet, und die Prozedur wird für die nächste Kontrollentscheidung in einer Art von receding horizon Konzept wiederholt. Wenn man die klassischen Kontrollschemen benutzt (z.b. PIDs), basieren die Kontrollaktionen auf vergangenen Fehlern. Wenn man die Analogie zum Autofahren erweitert, wäre der PID Weg zum Autofahren äquivalent dazu, dass man nur die Spiegel benutzt wie es in Abbildung 1.5 dargestellt ist. Abbildung 1.5: Basisstruktur von MPC Abbildung 1.6: MPC Analogie

14 1.6. ANWENDUNGSBEISPIELE Anwendungsbeispiele Wärmepumpe Nun soll anhand einer Wärmepumpe die Temperatur eines Raumes geregelt werden. Das Ziel dabei ist, die Raumtemperatur T R nahe an ihrem Sollwert T R,soll zu halten. Es können dabei auch die Energieaufnahme der Wärmepumpe oder die Betriebskosten minimiert werden. Der Einfachheit halber beschränken wir uns hier jedoch nur auf die Regelung der Raumtemperatur. Wärmepumpe: Eine Wärmepumpe transportiert unter Einsatz von mechanischer Energie Wärmeenergie von einem tieferen auf ein höheres Temperaturniveau. Im Verdampfer fließt der Wärmestrom Q 1 bei der Temperatur T 1 von der Wärmequelle (z.b. Grundwasser, Umgebungsluft, Erdwärme) zu einem Fluid dem sogenannten Arbeitsmittel. Dadurch wird das Arbeitsmittel verdampft. Durch eine polytrope Kompression im Kompressor wird das gasförmige Arbeitsmittel auf die Temperatur T 2 weiter erhitzt. Im Kondensator wird das Gas auf Kondensationstemperatur T 1 abgekühlt und kondensiert unter Abgabe des Wärmestroms Q 2 an das System. Im Expansionsventil wird das Fluid durch eine polytrope Expansion wieder auf die Ausgangstemperatur T 1 gebracht. Eine schematische Darstellung einer Wärmepumpe ist in Abbildung zu sehen. Modell: Abbildung 1.7: Schematische Darstellung einer Wärmepumpe Es wird hier ein lineares Zustandsmodell verwendet. Die Vorlauf (T V L ), Rücklauf (T RL ), Boden (T B ) und Raumtemperaturen (T R ) sind die vier Zustandsgrößen. Die Eingangsgrößen sind das Stellsignal der Wärmepumpe (Q WP ), die Aussentemperatur (T A) und die durch Strahlung und Benutzerverhalten verursachten Wärmegewinne im Raum und im Bo-

15 12 Kapitel 1: Einführung in die lineare MPC den (Q g,b, Q g,r ). Die Ausgangsgrößen entsprechen den vier Zustandsgrößen. Grundlage für Abbildung 1.8: Gebäudeschema für Modellierung das Modell ist das Gebäudeschema in Abbildung 1.6.1: Ausgehend von der Wärmepumpe (W P) wird dem System durch den Heizwasservolumenstrom VWP (t) der Wärmestrom Q WP (t) zugeführt. Die Temperatur T V L(t) des von der Wärmepumpe in das Abgabesystem gelangenden Heizwassers ist hierbei die beeinflussbare Eingangsgröße des Systems. Das Heizwasser erwärmt nun den Boden (wir gehen von einer Fußbodenheizung aus). Der Wärmestrom Q HB (t) entzieht dabei dem Heizwasser Wärme und Q BR ist der Wärmestrom zwischen Boden und Raumluft. Zusätzliche Wärme kann durch Strahlung hauptsächlich solarer Herkunft, aber auch durch Beleuchtungskörper usw. auf den Boden übertragen werden. Dieser Störeingang wird durch Q g,b (t) dargestellt. Analog kann Wärme in der Raumluft gewonnen werden (Q g,r (t)). Durch den Heizwasservolumenstrom VWP (t) fliesst das Heizwasser, das jetzt auf die Temperatur T RL abgekühlt ist, zurück zur Wärmepumpe. Dort wird das Wasser wieder durch den Wärmestrom Q WP erhitzt. Der Kreislauf ist nun geschlossen. Auf Grund dieser Annahmen erhält man nun das folgende zeitkontinuierliche Modell: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (1.12) mit y(t) = Cx(t) (1.13) x(t) = [T RL (t) T B (t) T R (t)] T u(t) = [Q g,b (t) Q g,r (t) T A(t) Q WP (t)]t

16 1.6. ANWENDUNGSBEISPIELE 13 A = Φ RL1 Φ RL2 Φ RL1 Φ RL2 0 Φ B1 Φ RL2 Φ B1 (Φ RL2 + Φ B2 ) Φ B1 Φ B2 0 β R Φ B2 (β R Φ B2 + Φ RA ) B = Φ RL1 Φ B β R Φ RA 0 C = [1 0 0] T Die Parameter Φ und β enthalten dabei thermodynamische Größen, wie zum Beispiel die Dichte, das Volumen und die spezifische Wärmekapazität des Heizwassers/des Bodens/der Luft; spezifische Wärmedurchgangszahlen und beteiligte Oberflächen. Eine genaue Herleitung des Modells kann in [4] gefunden werden. Es soll nun ein optimaler Wärmestrom, der dem Heizwasser aus der Wärmepumpe zugeführt wird, berechnet werden, um die Raumtemperatur so gut wie möglich an ihrem Sollwert anzunähern und dort zu halten. Berechnung des Wärmebedarfs: Die Berechnung des optimalen Wärmestroms Q Bed (p), welcher dem Gebäude zugeführt werden soll, erfolgt mit einem diskreten LQ Folgeregelungsalgorithmus. Da die Werte Q g,b (t) und Q g,r (t) weder für den jetzigen noch für zukünftige Zeitpunkte bekannt sind, wollen wir diese hier der Einfachheit halber gleich Null setzen und aus dem Modell streichen. So erhält man das für die Optimierung relevante, zeitdiskrete System mit x p+1 = Fx p + G u Q Bed (p) + G v ˆ T A (p) (1.14) x p0 = x k = ˆx k k (1.15) y p = Hx p (1.16) G u = [Φ RL1 0 0] T G v = [0 0 Φ RA ] T Der Startwert der Zustandsgrößen x p0 ist dabei ein von einem Beobachter geschäzter Zustandsvektor ˆx k k. Der zukünftige Verlauf für die Störgröße T ˆ A wird von einer Wetterprognose berechnet. Die einzige Ausgangsgröße, welche im Gütekriterium vorkommt und daher prädiziert werden muss, ist die Raumtemperatur T R (p). Daraus ergibt sich H = [0 0 1] T. Die zu minimierende, quadratische Zielfunktion lautet nun: J(Q Bed ) = 1 2 k+n 1 p=k [Q p+1 (T R;soll (p + 1) T R (p + 1)) 2 + R p Q Bed (p)2 ] (1.17) Die Faktoren Q p und R p sind die zeitvariablen Gewichtungen für die Abweichung der Raumtemperatur T R (p) von ihrem Sollwert respektive für den zu optimierenden Wärmestrom Q Bed (p).

17 14 Kapitel 1: Einführung in die lineare MPC Abbildung 1.9: Simulationsergebnisse mit konstanter Aussentemperatur, ohne Störung Destillationskolonne Ein weiteres Anwendungsfeld von MPC ist die Regelung einer Destillationskolonne. Da die hier betrachteten Systeme sehr groß und nichtlinear sind, soll nur ein kurzer Einblick in dieses Problem gegeben werde. Destillationskolonne: Eine typische Anwendung in der chemischen Industrie ist die Auftrennung verschiedener Rohölfraktionen in einer Destillationskolonne in wiederum verschiedene Produktströme. Das Ziel dieses Produktionsschrittes ist die in Qualität und Quantität marktkonforme Herstellung verschiedener Zwischen und Endprodukte. Die betrachtete Kolonne hat mehrere Böden, die jeder wie eine einzelne Destillationskolonne arbeiten. Am untersten Boden (Sumpf) befindet sich ein Verdampfer, am obersten Boden (Kopf) ein Rückfluss Kondensator. In der Mitte wird z.b. eine Methanol/Ethanol Mischung zugeführt. Die Produkte werden nun in Kopf und Sumpf der Kolonne abgeführt. Der schematische Aufbau einer Destillationskolonne kann in Abbildung nachvollzogen werden. Das Ziel der Regelung ist eine hoch prozentige Reinheit der Ausgangsströme. Dies kann z.b. durch Steuerung der Rückströme mittels Kondensator und Verdampfer erreicht werden.

18 1.6. ANWENDUNGSBEISPIELE 15 Der in seiner Steuerung recht komplexe verfahrenstechnische Prozess kann jedoch über eine Vielzahl von Randbedingungen beeinflusst werden, wie z.b.: den jeweiligen Anteil der Rohölfraktionen die der Destillationskolonne am Boden und ggf. an Zwischenböden zugeführte Heizenergie und damit die Temperaturverteilung innerhalb der Kolonne der Wärmeabgabe aus dem System die mittlere Verweildauer des Gemisches in der Kolonne den Entnahmeort der jeweiligen Produkte den gewünschte Anteil der verschiedenen abgezogenen Produkte Modell: Das mathematische Modell besteht hier aus den Massen und stationären Energiebilanzen der einzelnen Böden, was zu einer großen Anzahl von gekoppelten nichtlinearen Differenzialgleichungen führt. Die betrachtete Kolonne hat mehrere Eingangs und Ausgangsgrößen, wovon einige als Stellgrößen und andere als Störgrößen angesehen werden sollen. Einige der Ausgänge sollen geregelt werden. Hierzu werden sowohl für den Gesamtprozess als auch für die unterlagerten Teilprozesse die physikalischen Gegebenheiten möglichst exakt nachbildende dynamische Modelle entwickelt. In diesem Fall sind das thermodynamische Verhalten (Siede und Kondensationsverhalten) der Komponenten, die zahlreichen Wärmeübergänge innerhalb des Systems, der Eintrag und der Abzug der verschiedenen Stoffströme, die Strömungsvorgänge in der Kolonne und erforderlichenfalls das chemische Reaktionsverhalten zu berücksichtigen. Wenn einzelne zur Erstellung des Prozessabbilds erforderliche Daten nicht messbar sind, müssen diese durch eine Zustandsschätzung aus anderen Größen abgeleitet werden. In der Abschätzung dieser Daten sowie in den systemimmanenten Unterschieden zwischen dem Prozessmodell und der physischen Wirklichkeit liegen Ungenauigkeiten, die durch ein Messrauschen nachgestellt werden. Vorgehensweise: Ziel der Regelung ist, durch geeignete Stellgrößen ŷ die Größen ˆx in ihrem Optimum zu halten. Die Kombination von Optimierungsalgorithmus und Modell kann durch Integration in einer gemeinsamen Matrix erfolgen. Hierzu muss sich das Modell in eine geeignete Matrix überführen lassen. Bei einfachen auch nichtlinearen Modellen ist dies zum Teil möglich. Dieser Weg verspricht vor allem kürzere Rechenzeiten durch die dann anwendbare vektorbasierte Lösung der Matrix. Allerdings sind die dabei entstehenden Programmstrukturen dann komplexer. Falls diese Vorgehensweise nicht möglich ist, bleibt die jeweils eigenständige Behandlung des Prozessmodells und des Optimierungsalgorithmus, indem diese nacheinander abgearbeitet werden. Der Vorteil liegt dabei in der Anwendbarkeit praktisch jedes verfügbaren und geeigneten Prozessmodells auch größerer Komplexität. Anwendung Destillationskolonne, ISR Stuttgart:

19 16 Kapitel 1: Einführung in die lineare MPC Abbildung 1.10: Schematische Darstellung einer Destillationskolonne Differenziell-Algebraische (DAE) Systeme: ẋ(t) = f(x(t), z(t), u(t), p) 82 differenzielle Zustände x 122 algebraische Zustände z 0 = g(x(t), z(t), u(t), p) 2 Kontrollen u (Rückfluss L vol, Heizleistung Q) 2 Parameter p (Zulaufstrom, konzentration) Regelungsziel: Temperaturen T 14, T 28 gegen Störungen in x und v konstant halten, ohne Beschränkungen zu verletzen. Vorgehensweise: 1. Schätze Zustand x 0 (und Parameter) aus Messungen 2. Löse in Echtzeit ein beschränktes Optimalsteuerungsproblem: unter min x,z,u t0 +T p t 0 L(x, z, u)dt + E(x(t 0 + T p )) x(t 0 ) x 0 = 0

20 1.6. ANWENDUNGSBEISPIELE 17 ẋ f(x, z, u) = 0, t [t 0, t 0 + T p ] g(x, z, u) = 0, t [t 0, t 0 + T p ] h(x, z, u) 0, t [t 0, t 0 + T p ] r(x(t 0 + T ro )) 0 3. Gib Kontrolle u 0 für Zeit δ an reale Anlage. Setze t 0 = t 0 + δ und gehe zu 1. Lösungsmethoden: direktes Mehrzielverfahren, iterativ durch SQP, Anfangswerteinbettung der Störung in lineare Nebenbedingung, Echtzeititeration Abbildung 1.11: Simulationsergebnisse Destillationskolonne

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22 Literaturverzeichnis [1] L. Grüne, Skript zur Vorlesung Kontrolltheorie 1; Bayreuth, [2] E.F. Camacho, C. Bordons, Model Predictive Control; 2nd Ed., Springer Verlag, London, [3] M. Chidambram, Computer Control of Processes; Alpha Science, Pangbourne, [4] R.W. Wimmer, Regelung einer Wärmepumpenanlage mit Model Predictive Control; Dissertation, Zürich, [5] M. Detering, Modellgestützte Regelung von Stauhaltungssystemen und Laufwasserkraftanlagen; Dissertation, Aachen, [6] M. Diehl, Nichtlineare Modell Prädiktive Regelung einer Destillationskolonne; Vortrag DFG Schwerpunktprogramm Echtzeit Optimierung großer Systeme, Berlin,