Flächenberechnungen. Teil 1: Berechnung durch Ausmessen Obersummen und Untersummen. Datei Nr Strand 6. Februar 2006.

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1 Flächeberechuge Aalysis Teil : Berechug durch Ausmesse Obersumme ud Utersumme Datei Nr. 48 Strad. Februar 00 Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Ihalt Datei 48. Rechtecksmethode. Ei erstes großes Beispiel. Herleitug eier Flächeihaltsformel. Wichtige Bemerkuge 8 Aufgabe 0 Lösug der Aufgabe Datei 48. Flächeberechug mit dem Itegral. Wie kam ma auf die Ableitug. Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug. Eie gute Itegralformel für Kru-Li-Traps.4 4 Aufgabe zur Flächeberechug 9 Datei 48 Datei Lösuge. Kru-Li-Traps uter der x-achse 5.7 Es geht druter ud drüber 5.8 Fläche zwische zwei Kurve 5.9 Fläche, die bis us Uedliche Reiche 55.0 Fläche zwische zwei Kurve 57. Zusammegesetzte Fläche 59. Abschätzug vo Fläche Datei 485. Näherugsverfahre zur Flächeberechug. Rechtecksverfahre. Sehe-Trapez-Regel 4. Simpso-Regel 5.4 Zusatz: Arcus-Tages als Stammfuktio 7

3 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme. Ei erstes großes Beispiel. Rechtecksmethode Wir wolle us eier Methode zuwede, die scho sehr alt ist. Das Bemühe, krummliig begrezte Fläche zu messe (siehe Kreisihalt) stieß scho früh auf das Iteresse der Mathematiker. Eie Methode, die sich etwickelt hat, sah vor, Kästche auszuzähle. Die Fläche zwische der Kurve y = x, der x-achse ud de Gerade x = ud x = ka gaz grob dadurch abgeschätzt Werde, dass ma feststellt, dass sie gaze Quadrate ud 5 ageschittee ethält. Vo de ageschittee sid mache groß, mache klei. Sage wir, im Mittel sid sie etwa ei halbes Quadrat. Also erhalte wir gaze ud 5 halbe 5 Quadrate, also A + = +,5 = 4,5 (FE). Zugegebe, eie sehr ugeaue Methode. Daher ehme wir jetzt eie Verfeierug vor. Wir zähle eu ud fide 4 gaze ud 8 ageschittee Kästche, die wir wieder als im Mittel 8 halbe Kästche, also zusamme als 4 Kästche asehe köe. So komme wir da auf = 8 Kästche. Da usere eue Kästche de Ihalt 0,5 (Flächeeiheite) habe, führt us diese verfeierte Methode wieder auf 4,5 FE. Aber dies heißt och icht, dass dies das geaue Ergebis ist. Versuche Sie es mal mit mm-papier. Nu ich will verrate, daß der tatsächliche Ihalt A = 4 FE 4,FE ist. Dieses Ergebis erhalte wir mit der folgede Rechtecksmethode. Zuächst zerteile wir die Fläche i Teile, d.h. wir arbeite mit Rechtecke. Die Gesamtbreite ist, Wir mache es us leicht ud mache alle Rechtecke gleich breit, also wird die B B Breite Δ x =. Im. Bild lasse wir die Rechtecke vo ute gege die Kurve A stoße. Sie berühre da A ud i de Pukte ( ) B. ( ) Im. Bild werde die Rechtecke so hoch, daß die Kurvefläche gaz ierhalb der Rechtecksfläche liegt. Die Rechtecke gehe daher bis zu de Kurvepukte 9 C. B ( ) ud ( ) C

4 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme Utere Rechtecksfläche: U = + = + =,5 9 9 Obere Rechtsecksfläche: O = + = + =,5. Die tatsächliche Fläche liegt dazwische: U < A < O also wisse wir ach dem. Schritt:,5 < A <,5. (). Schritt: Wir verbesser die Methode, idem wir zweimal halbiere, das ergibt 4 Teilitervalle, jedes vo der Breite. Das sie da so aus: U = + + +, = = = Obersumme: O ( ) ( ) ( ) ( ) = f + f + f + f = f ( ) + f( ) + f( ) + f( ) O = , = = = 8 Bemerkug: Es sollte klar werde, daß die Utersumme immer als Höhe die Fuktioswerte a de like Räder verwedet, währed die Obersumme ihre Höhe a de rechte Räder als Fuktioswerte verwedet. Neues Ergebis: 5 5 Utersumme: U = f() + f( ) + f( ) + f( ) = f( ) + f( ) + f( ) + f( ),75 < A < 5,75 (). Schritt: mal fortgesetzt halbiere ergibt 8 Teilitervalle gleicher Breite Δ x = = 8 4 Wir köe jetzt die Utersumme ud die Obersumme sofort aufschreibe. Dabei klammer wir die bei alle Rechtecke gleiche Breite sofort aus: Utersumme: U = 4 f ( ) + f( ) + f 4 4 ( 4) + f( 4) + f( 4) + f( 4) + f( 4 ) + f ( 4) Wir schematisiere die weitere Berechug so: Die Fuktiosgleichug lautet: f( x) = x ud wir beötige diese Fuktioswerte: ( ) ( ) f = = ud dies für = 4 bis. 4 4 Damit folgt: 49 U = , = = 8 Für die Obersumme wede wir jetzt eie abkürzede Trick a. Ma erket aus der Zeichug für = 4 Teile, daß die Rechtecke bis 4 der Utersumme geau die Reckecke bis der Obersumme sid. Bei = 8 Teile sid die Rechtecke bis 8 der Utersumme idetisch mit de Rechtecke bis 7 der Obersumme. Wir ersetze Die 4 ierhalb der Kurvefläche liegede Rechtecke bilde die sogeate Utersumme. Die 4 Rechtecke, welche die Kurvefläche gaz beihalte, bilde die sogeate Obersumme. Alle Rechtecke habe dieselbe Breite Δ x =. Wir erhalte diese Formel:

5 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme also ur das. Rechteck der Utersumme durch das 8. der Obersumme ud sid fertig: Utersumme: 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( O = 4 f + f + f + f + f + f + f ) + f ( 4 ) 0 O = , = = 8 Damit lautet das Ergebis des. Schrittes:,8475 < A < 4,8475 () Bemerkug: Schaue wir us eimal diese drei Ergebisse a, die wir bisher habe:,5 < A <,5. (),75 < A < 5,75 (),8475 < A < 4,8475 () Wir erkee, daß die Utersumme immer größer wird, die Obersumme immer kleier wird, ud daß der Abstad zwische Ober- ud Utersumme auch immer kleier wird. Zuerst war er 4, da, i () och. Würde wir weiter reche, käme wir dem auf Seite () verratee Ergebis A = 4 FE 4,FE immer äher. Das sieht alles ach eier Gesetzmäßigkeit aus, die wir u agehe müsse.. Herleitug eier Flächeihaltsformel zum Beispiel aus. Was wir jetzt achvollziehe, wurde scho millioefach berechet. Ud bei all dieser Routie hat es sich gezeigt, daß wir us eie Fläche mit variablem rechte Rad aussuche müsse. Im Klartext heißt dies: Wir arbeite mit der Fuktio f t = t ee also die Fuktiosvariable jetzt t statt x, damit wir de rechte () Rad der Fläche mit x bezeiche köe. Da der Flächeihalt umehr vom rechte Rad x abhägt, erhalte wir als Ergebis eie Flächeihaltsfuktio. Ud dieser köe wir eie Zusammehag zur Radfuktio f etlocke, was us da weiterhelfe wird. Mit eiem feste rechte Rad (z.b. wie i.) köte wir keie Zusammehag erkee! Soweit zum methodische Vorgehe. Die u folgede Rechug sollte ei Leistugskurs- Schüler verstehe ud a adere Fuktioe selbst achvollziehe köe, de hier geht es um eie der große historische Leistuge der Mathematik mit wichtige Überleguge. A ( x) x Vorüberleguge: Wir zerlege u das Itervall [ ; x ] i gleich breite Teile, was ma eie äquidistate Zerlegug et. Die Läge des Itervalls ist x (da x wir x > voraussetze) ud somit erhalte wir Teilitervalle der Breite Δ x =. Wir werde jetzt der Eifachheit halber statt Δ x stets h schreibe ud merke us: x Das Itervall [ ; x ] habe wir i gleich Teile der Läge h = zerlegt.

6 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme 4 Dazu bilde wir u eie Utersumme, das heißt wir deke us ählich wie i der rechte Abbildug Rechtecke zwische Kurve ud x-achse eigezeichet. Dies sieht da schematisch so aus: + h + h x Die Pukte auf der x-achse liege bei: { ;+ h;+ h;+ h;...;+ ( ) h;+ h = x} Nu bereche wir die Summe der Rechtecksfläche, also die Utersumme U : U = h f() + h f( + h) + h f( + h ) h f( + ( ) h) Wir köe (da wir gleiche Rechtecksbreite gewählt habe) diese Breite h ausklammer: U = h f() + f( + h) + f( + h ) f( + ( ) h) () Nu müsse wir die eizele Fuktioswerte bereche. Dies köe wir wieder schematisch für alle auf eimal tu, de alle habe die gleiche Form: f + z h = + z h = + zh+ z h Beispiel: z = 0: f( ) = ( ) ( ) ( ) z = : f( + h) = ( + h+ h ) z = : f( + h) = ( + 4h+ 4h ) z = : f( + h) = ( + h+ 9h ) z = ( - ): ( + ( ) ) = + ( ) + ( ) ( ) f h h h Jetzt setze wir alle Fuktioswerte i die Formel () ei. Da zu jedem der Faktor gehört, köe wir diese Bruch ausklammer, da folgt: U = h + ( + h + h ) + ( + 4h + 4h ) + ( + h + 9h ) ( + ( ) h + ( ) h ) I der eckige Klammer komme u drei Sorte Summade vor: I jeder Klammer steht zu Begi die Zahl, diese kommt also mal vor, gibt zusamme. Da ethält jede rude Klammer eie Summade mit dem Faktor h. Wir fasse alle diese Summede zusamme ud klammer h aus, schließlich habe wir och Summade mit dem Faktor h, die wir als drittes zusammefasse ud zugleich h ausklammer:

7 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme 5 ( ) ( ) ( ( )) h ( ) h U = h... + h ( ) + h U = h ( ) ( ) Um weiterreche zu köe, beötige wir höhere Hilfe. Es gibt ämlich Formel, die es gestatte, die Summe der atürliche Zahle (hier farbig blau) ud die Summe der Quadratzahle (rot) zu bereche. Hier folgt der Eischub für diese Formel: Hilfsformel für usere Rechug:. Summe der atürliche Zahle: k ( k+ ) k = (S). Summe der Quadratzahle: k ( k+ )( k+ ) k = (S) I userer Rechug ist diese Summe zu bereche: ( ). Dazu müsse wir die Summeformel S mit k = ( ) awede. Dies ergibt ( ) = ( ) Zweites beötige wir diese Summe der Quadratzahle: ( ) Dazu müsse wir die Summeformel S mit k = ( ) awede. Dies ergibt ( ) ( ) ( ) = Nu setze wir wieder alles zusamme: ( ) ( ) ( ) U = h h h + + x Jetzt müsse wir für h wieder de Term h = eisetze ud da kräftig x x ( ) x ( ) ( ) umforme: U = + + ( ) ( ) x ( ) ( ) U = + x + ( x ) Wir brige das vo liks vore och i die Klammer hiei ud kürze:

8 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme ( ) ( ) ( ) U = x + x + ( x ) ( ) ( ) Neberechug: ( ) ( )( ) = (Nachreche!) U x x = + + ( ) ( ) ( x ) + ( ) ( ) ( ) U = x + x + x Nu zerlege wir die beide Brüche i eizele Bruchsummade: + U ( ) ( ) ( ) = x x x () Jetzt habe wir eie gaz etscheidede Stelle erreicht!!! Tief durchatme ist agesagt, de wir biege sofort auf die Zielgerade ei. We wir usere Flächeihaltsmessug immer besser mache olle, müsse wir immer größer mache. Aber solage wir ei Stufeschema habe, d.h. utere ud obere Rechtecke, wird die Utersumme zu klei ud die Obersumme zu groß sei. Das wird aders we wir gedaklich de Schritt is Uedliche wage. We wir das Itervall i uedlich viele Teile zerlege köte, da wäre die Rechtecke so schmal, daß sie eigetlich die Breite Null habe müsste. De hätte wir eie auch och so kleie Breite ud uedlich viele Rechtecke, da würde sie icht i das Itervall vo bis x hieipasse. Wir müsse vor dem Schritt is Uedliche keie Agst habe. Die Mathematik beherrscht dies gaz gut. Dazu müsse wir eie weitere Ausflug i die Welt der Zahlefolge mache: Der Term a = defiiert eie Zahlefolge, die ma dadurch erhält, daß ma der Reihe ach die Zahle,, usw. eisetzt. Das Ergebis ist die Folge ; ; ; ;... 4 Die Werte dieser Brüche werde immer kleier, de we ma etwa bei = Millio = agekomme ist, da erhält ma das Folgeglied a = = 0, Läßt ma weiterlaufe, werde die Werte der Brüche beliebig klei. Ma sagt dazu: Die Folge hat de Grezwert 0 ud schreibt dies so auf: lim = 0 (Gelese: Limes vo durch für gege Uedlich gleich 0 ).

9 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme 7 Dies besagt u icht etwa, daß ma irgedwa bei 0 agekomme ist. Hier vollzieht die Mathematik quasi de Sprug i die Uedlichkeit, idem ma vortäuscht, ma wäre im Uedliche agekomme da wäre ma bei 0. Stelle wir us es besser so vor: Je größer wird, desto äher ist ma beim Grezwert 0. Dasselbe gilt u auch für die adere Bruchterme, die i der Formel () stehe: Die durch a = defiierte Folge 7; ; ; ;... hat ebeso de Grezwert 0, 4 7 was ma auch etwa a a = = 0, erket Dasselbe gilt für a = mit 7; ; ; ;..., etwa mit a = = 0, oder erst recht mit a = mit ; ; ; ; Alle i () auftretede Folgeterme habe de Grezwert 0, d.h. we wir die Zerlegug useres Itervalls gege Uedlich treibe, da ehme diese Brüche allmählich de Wert 0 a. So geht s jetzt weiter: Es war U ( ) ( ) ( ) = x x x () Verfeiert ma die Zerlegug, idem ma gege Uedlich gehe läßt, ud berücksichtigt dabei diese Grezwerte lim = 0, lim = 0, lim = 0, da wird aus (): lim U = x x ( ) ( ) ( ) lim U = x x x + + ( ) ( ) ( 0) ( x ) ( + 0) Nee wir diese Grezwert u A, da folgt: A = ( x ) ( x ) ( x x ) ( x ) x x x = A = ( x ) x x x ( x ) x x + + = + + A = x x x x x x x + + = = Ergebis: Die Flächeihaltsfuktio für die Fläche ist A( x) = x

10 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme 8. Wichtige Bemerkuge:. Wir habe jetzt aus der Utersumme heraus de Flächeihalt der rechts ochmals gezeigte Fläche berechet. Ma ka u geauso die Obersumme dazu verwede. Zusamme mit de kleie Tricks aus Teil. wird dies etwas rascher gehe. AUFGABE : Zeige, daß die Obersumme dasselbe Ergebis liefert.. Die hier gezeigte Theorie geht auf de deutsche Mathematiker Berhard Riema (8 8) zurück. Er hat diese Methode durchdacht ud i ei System gebracht. Ma ka sie verallgemeier ud zeige, daß die Folge der Utersumme mooto wächst, die der Obersumme mooto fällt, ud daß die Abstäde zwische Ober- ud Utersumme gege Null gehe. Damit ist eie Itervall- Schachtelug defiiert, die eie eideutige Grezwert liefert, de ma der Fläche als Ihalt zuorde ka.. Awedug der Flächeihaltsfuktio: y = f x = x ud der t-achse vo t = bis t = x durch die Fuktio A( x) = x beschriebe wird. I. war der rechte Rad bei x =. Setze wir dies ei, so folgt: 7 A ( ) = = = = = 4 4,. Dieses Ergebis war obe scho verrate worde. Wir wisse jetzt, daß die Fläche zwische der Kurve K mit ( ) 4. Wir köe damit u auch die Fläche uter derselbe Kurve bereche, die etwa vo x = bis x = 4 reicht. Dazu arbeite wir wie köte es aders sei mit eiem Trick. Wir köe ach obigem Ergebis ur Fläche bereche, die vo x = aus ach rechts gehe. Also bereche wir A( 4) = 4 = = ud A( ) = = = Beide Fläche überdecke sich. Subtrahiere wir A() vo der größere Fläche, da bleibt die gesuchte Fläche A vo bis 4 übrig: A = A( 4) A( ) = = =. We ma diese Rechug och ausführlicher macht, sieht sie so aus, wie wir es vo der Itegralrechug her kee: A = A( 4) A( ) = x = = = A ( x) x

11 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme 9 Ich zeige och mehr: Ma erket, daß der Bruch i beide eckige Klammer steht ud daher bei der Subtraktio wegfällt. Da will ich ih mal gleich weglasse: Dies ergibt da folgede Schreibweise: A = A( 4) A( ) = x = = = Ma erket die Aalogie zum bestimmte Itegral. Ud dies ist kei Zufall. Leite wir doch eimal die zuvor berechete Flächeihaltsfuktio ab: A ( x) = x A' ( x) = x = f( x)!!!!!! Wir erkee, daß die Flächeihaltsfuktio eie Stammfuktio der Radfuktio ist. (Dieses Beispiel ist dafür och kei Beweis. Dieser wird i der Datei Nr. 48 (Fläche ) geführt). Aber wir wolle us deoch aschaue, wie ma damit diese Fläche vo bis 4 bereche ka: A = x dx = x = = = Ist dies icht viel eifacher als die Recherei mit Obersumme ud Utersumme? Deoch: Diese historische Leistug der Flächeberechug auf diese Weise gehört i jede Leistugskurs ud sollte auch scho deswege achvollzoge ud ei weig geübt werde, weil dari viele wichtige Überleguge vorkomme. 4. Ud u och der kröede Abschluß: Verwedet ma für die Rechug mit Utersumme ud Obersumme das Summezeiche, da ka ma eie gaz eue Schreibweise verwede: Gleichug () war die Utersumme der Rechtecke: U = h f() + f( + h) + f( + h ) f( + ( ) h) Ich verwede für die Rechtecksbreite jetzt wieder Δ x statt h ud setze Diese Faktor rechts hiter die Klammer: U = f( ) f( x) f( x )... f( ( ) x) + +Δ + + Δ Δ Δx Die i der eckige Klammer stehede Fuktioswerte habe das Schema f( + z Δ x), wobei z vo 0 bis - läuft. Mit Hilfe des Summezeiches ka ma diese Summe vo Fuktioswerte so schreibe: z= 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) f +Δ x = f + f +Δ x + f + Δ x f + Δx (Gelese: Summe für z= 0 bis - über f(...). ) Damit läßt sich die Utersumme so darstelle: ( ) oder auch ( ) U = f + z Δx Δx z= 0 ( ) Δx U = f x Δx Verfeiert ma die Zerlegug so, daß geht, da wird daraus eie Summe aus uedlich viele, uedlich düe Rechtecke. Dafür hat ma die Schreibweise abgewadelt i: x= A = f(x) dx Ma erket jetzt die Bedeutug des Itegralzeiches als Summegrezwert.

12 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme 0 Aufgabe : Nebestehede Abbildug zeigt die Fuktio y = f( t) = t. Schraffiert ist die Fläche zwische der Kurve, der x-achse ud der Gerade t = x. Diese Fläche hat eie Ihalt A(x); Es ist atürlich wieder eie Flächeihaltsfuktio, weil der rechte Rad variabel gehalte ist. Bereche die Utersumme zu dieser Fläche zu eier äquidistate Zerlegug mit Teile ud davo de Grezwert für. = x. 4 Zeige, daß das Ergebis lautet: ( ) 4 A x x

13 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme Lösug zu Aufgabe Gesucht ist die Obersumme zur Fläche auf Seite / 4. Wir zerlege das Itervall [ ; x ] wieder i gleich breite Teilitervalle der Breite x h =, habe also wieder eie äquidistate Zerlegug. Die Teilugspukte auf der x-achse liege wie bei der Utersumme bei: + h + h { ;+ h;+ h;+ h;...;+ ( ) h;+ h = x} Da wir us auf eie mooto steigede Fuktio beschräke wolle, fide wir die Rechteckshöhe jetzt als Fuktioswerte a de rechte Seite der Teil- Rechtecke, wie die Abbildug zeigt. Nu bereche wir die Summe der Rechtecksfläche, also die Obersumme O : O = h f( + h) + h f( + h ) h f( + ( ) h) + h f( + h) Wir köe (da wir gleiche Rechtecksbreite gewählt habe) diese Breite h ausklammer: O = h f( + h) + f( + h ) f( + ( ) h) + f(+ h) () Berechug der eizele Fuktioswerte. Dies köe wir wieder schematisch für alle auf eimal tu, de alle habe die gleiche Form: f + z h = + z h = + zh+ z h ( ) ( ) ( ) Beispiel: z = : f( + h) = ( + h+ h ) z = : f( + h) = ( + 4h+ 4h ) z = : f( + h) = ( + h+ 9h ) z = ( - ): ( + ( ) ) = + ( ) + ( ) z = : f ( + h) = ( + h + h ) = x ( ) f h h h Jetzt setze wir alle Fuktioswerte i die Formel () ei. Da zu jedem der Faktor gehört, köe wir diese Bruch auch och ausklammer, da folgt: O = h [ + h + h + + 4h + 4h + + h + 9h +... ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) h + h + + h + h ] I der eckige Klammer komme u wieder drei Sorte Summade vor: I jeder der Klammer steht zu Begi die Zahl, diese kommt also mal vor, gibt zusamme. Die mittlere Summade ethalte alle de Faktor h. Wir fasse alle diese Summede zusamme ud klammer h aus. x

14 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme Schließlich habe wir och Summade mit dem Faktor h, die wir als drittes zusammefasse ud zugleich h ausklammer: O = h + h ( ) + h ( ) O = h + h ( ) + h ( ) + Mit der Summeformel vo Seite 5 mit k = folgt (+ ) = ( )( ) + + ud = Nu setze wir alles zusamme: ( + ) ( + )( + ) O = h + h + h x Jetzt müsse wir für h wieder de Term h = eisetze x x x O = + + ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) x O = + ( x ) + ( x ) Wir brige das vo liks vore och i die Klammer hiei ud kürze ( + )( ) ( ) ( ) ( + ) + O = x + x + ( x ) + + = = + + Neberechug: ( )( ) ( ) + O ( ) ( ) ( ) + = x + x + x + Nu zerlege wir die beide Brüche i eizele Bruchsummade: O ( ) ( ) ( ) = x x x () Verfeiert ma die Zerlegug, idem ma gege Uedlich gehe läßt, ud berücksichtigt dabei diese Grezwerte lim = 0, lim = 0, lim = 0 da wird aus (): ( ) ( ) ( ) ( ) lim O = x + x 0 + x

15 48 Flächeberechuge Obersumme ud Utersumme ( ) ( ) ( ) lim O = x x x + + Dieser Grezwert stimmt u geau mit dem Grezwert der Utersumme überei, ud dort sahe wir: A = ( x ) ( x ) ( x x ) ( x ) x x x = A = ( x ) x x x ( x ) x x + + = + + A = x x x x x x x + + = = Ergebis: Die Flächeihaltsfuktio für die Fläche ist A( x) = x