Teil 1. Kurseinheit 1

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1 Teil 1 Kurseinheit 1 1

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3 Inhlt der Kurseinheit Studierhinweise und Nottionen 5 1 Ds Riemnn-Integrl Definition und elementre Eigenschften Anhng: Gleichmäßige Stetigkeit Integrtionsmethoden und Beispiele Grenzwerte und Integrle Exkurs: Gleichmäßige Konvergenz Fortsetzung: Grenzwerte und Integrle Uneigentliche Riemnn-Integrle Zwei Erweiterungen des Riemnn-Integrls Lösungen zu den Aufgben us Kpitel 1 75

4 4 INHALT DER KURSEINHEIT

5 Bevor es los geht: Studierhinweise und Nottionen Studierhinweise Der vorliegende Kurs Mß- und Integrtionstheorie führt in ein zentrles Gebiet der Anlysis ein. Die moderne Mß- und Integrtionstheorie ist für zhlreiche Gebiete der reinen Mthemtik (z. B. Funktionlnlysis, Differentilgeometrie) und der ngewndten Mthemtik (insbesondere in Whrscheinlichkeitstheorie und mthemtischer Sttistik) unverzichtbr. Auch für Anwendungen der Mthemtik in Physik, Technik oder Wirtschftswissenschften spielt die Mß- und Integrtionstheorie eine wichtige Rolle. In diesem Kurs trgen wir die unserer Meinung nch wichtigsten Grundlgen der Mß- und Integrtionstheorie zusmmen, wie sie jeder Mthemtiker kennen sollte. Der vorliegende Kurs Mß- und Integrtionstheorie ist fester Bestndteil des Bchelorstudiengngs Mthemtik. Vollzeitstudierenden rten wir den Kurs im dritten Semester zu berbeiten (bei Studienbeginn im Wintersemester) oder im zweiten Semester (bei Studienbeginn im Sommersemester). Bei Teilzeitstudierenden rten wir den Kurs im fünften bzw. vierten Semester zu belegen. Für Studierende ndere Studiengänge (wie Diplom oder Mster) knn der Kurs eine sinnvolle Ergänzung im Bereich Anlysis und/oder Stochstik sein. Im Lehrtext sind viele Aufgben eingestreut, zu denen Sie Musterlösungen im Anhng des jeweiligen Kpitels finden. Wir empfehlen sehr dringend, dss Sie diese Aufgben zunächst versuchen selbstständig zu lösen. Konsultieren Sie die Musterlösung erst dnn, wenn Sie die Aufgbe selbst gelöst hben oder wirklich nicht mehr weiterkommen. Mthemtik lernt mn vor llem durch Problemlösen. Neben den Aufgben im Text dienen dzu insbesondere die Einsendeufgben. Zu jeder Kurseinheit erhlten Sie (in der Regel vier) Einsendeufgben, für deren 5

6 6 Studierhinweise und Nottionen Berbeitung Sie jeweils zwei Wochen Zeit hben (b offiziellem Berbeitungsbeginn der Kurseinheit). Die von Ihnen eingeschickten Lösungen erhlten Sie gemeinsm mit den Musterlösungen korrigiert zurück. Die ktive Teilnhme n der Lösung dieser Aufgben ist nicht einfch ein zusätzliches Angebot; es ist vielmehr die zentrle Möglichkeit, den Stoff zu erlernen und zu vertiefen. Auch die Klusur zum Abschluss des Kurses wird us Aufgben bestehen, die mit Einsendeufgben vergleichbr sind. Als Vorwissen wird für diesen Kurs nur der Kurs Mthemtische Grundlgen vorusgesetzt. Ntürlich können Sie dieses Grundwissen uch uf ndere Art erworben hben, etw durch die Kurse Anlysis (01134) und Linere Algebr (01104). An einigen Stellen dieses Kurses benötigen wir Konzepte und Ergebnisse us der lineren Algebr, wie sie z. B. im Kurs vermittelt werden. Wenn Sie diesen Kurs gleichzeitig belegen, hben Sie diese Kenntnisse dort bereits erworben, bevor Sie im vorliegenden Kurs gebrucht werden. An einigen Stellen benötigen wir Kenntnisse us der Anlysis, die in den Mthemtischen Grundlgen nicht enthlten sind. Diese Begriffe, Resultte und meist uch Beweise sind im vorliegenden Kurs enthlten. Der Kurs Anlysis (01144) knn dfür zur Vorbereitung oder Vertiefung dienen, sein Inhlt wird jedoch für den vorliegenden Kurs nicht benötigt. Es gibt eine Anzhl guter Lehrbücher über Mß- und Integrtionstheorie. Wir hben uns für diesen Kurs insbesondere n den folgenden Monogrfien orientiert, die wir dem Leser uch zur Vertiefung und Abrundung des Stoffs empfehlen können: Heinz Buer: Mß- und Integrtionstheorie 2. Auflge, de Gruyter 1992 und Jürgen Elstrodt: Mß- und Integrtionstheorie 2. Auflge, Springer Letzteres Buch zitieren wir z. B. im Text gelegentlich ls Elstrodt. Auf den Kurs Mthemtische Grundlgen verweisen wir durch Hinweise wie MG, Kpitel 17. An dieser Stelle dnken wir der Autorin von MG, Fru Prof. Dr. Unger für wertvolle Strthilfe zum Schreiben des vorliegenden Kurses. Drüber hinus empfehlen wir Ihnen Lehrbücher us der Anlysis, z.b. Mrtin Brner, Friedrich Flohr, Anlysis I und II de Gruyter 2000 und 1989

7 Studierhinweise und Nottionen 7 Otto Forster, Anlysis 1-3 Vieweg + Teubner und (in Englisch): Wlter Rudin, Anlysis Oldenburg 1998 Serge Lng, Rel Anlysis Addison-Wesley 1983 Der Kurs Mß- und Integrtionstheorie beginnt in Kurseinheit 1 mit einer Wiederholung und Vertiefung des Riemnn-Integrls. Sie lernen ußerdem Begriffe wie gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz und ds Riemnn-Stieltjes- Integrl kennen. Kurseinheit 2 ist verschiedenen Grundlgen gewidmet, die Sie für die folgenden Kurseinheiten bruchen. Es bietet einen Mix us Mengenlehre, Anlysis, Topologie und Funktionlnlysis. Alle nötigen Begriffe werden eingeführt, die meisten Resultte bewiesen. Kurseinheit 3 und 4 entwickeln die Theorie der Mße. Dbei ist ds Volumenmß in R d (Lebesgue-Mß) von beispielgebender Bedeutung, ber uch ndere wichtige Mße werden eingeführt und usführlich diskutiert. Kurseinheit 5 behndelt die Integrtionstheorie, die uf der Mßtheorie ufbut. Wir definieren ds Lebesgue-Integrl und seine Verwndten und zeigen insbesondere die wichtigen Konvergenzsätze (Stz von der monotonen Konvergenz, Stz von der mjorisierten Konvergenz). Kurseinheit 6 beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit der Integrtion im R d. Die bschließende Kurseinheit 7 gibt einen Überblick über weitere Themen der Mß- und Integrtionstheorie und insbesondere einen Ausblick uf wichtige Anwendungsgebiete in Funktionlnlysis und Whrscheinlichkeitstheorie.

8 8 Studierhinweise und Nottionen Wir hben eine Internetseite eingerichtet, in der wir über Korrekturen m Skript, über zusätzliche Hinweise und ktuelle Neuigkeiten informieren. Gerne nehmen wir Vorschläge zu Gestltung, Veränderung und Ergänzung der Seite entgegen. Wir rten Ihnen dringend, diese Web-site von Zeit zu Zeit zu besuchen: Noch eine Bitte in eigener Sche: Leider wird dieser Kurs trotz mehrfchem Korrekturlesen Druckfehler und Unstimmigkeiten enthlten. Vielleicht ist uch die eine oder ndere Argumenttion unverständlich oder fehlerhft. Möglicherweise wünschen Sie sich einige Themen usführlicher oder weniger usführlich behndelt. Bitte teilen Sie uns dies Alles mit. Wir sind bei der Verbesserung des Textes uf Ihre Mitwirkung ngewiesen! Wir wünschen Ihnen viel Erfolg (und vielleicht uch ein bisschen Spß) beim Berbeiten des Kurses.

9 Studierhinweise und Nottionen 9 Mthemtische Nottionen A := B bedeutet: A wird definiert ls B. N bezeichnet die ntürliche Zhlen: {1, 2,... }, bei N 0 nehmen wir noch die Null dzu, lso N 0 = {0, 1, 2,... }. Z sind die gnzen Zhlen und Q sind die rtionlen Zhlen, lso die Zhlen p mit p Z und q N. q R bezeichnet die reellen Zhlen, R + = {x R x 0}. Wir nennen eine reelle Zhl x positiv, wenn x 0 ist. Wenn wir x > 0 meinen, sgen wir x ist strikt positiv. (, b) := {x R x > und x < b } [, b) := {x R x und x < b } (, b] := {x R x > und x b } [, b] := {x R x und x b } ist die leere Menge { }. N M bedeutet: N ist eine Teilmenge von M. Ds heißt, dss jedes Element von N uch ein Element von M ist. Insbesondere gilt für jede Menge M: M und M M. N M heißt N M, ber N M. Zwei Mengen M und N heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsmen Elemente hben, wenn lso M N = gilt. Mengendifferenzen schreiben wir A \ B := {x x A und x B}. Wir schreiben uch A := M \ A, wenn die Grundmenge M us dem Zusmmenhng klr ist. Sind f und g Abbildungen mit f : M N und g : N K, dnn ist die Abbildung g f : M K definiert durch g f(x) := g ( f(x) ). Eine Funktion f : R R heißt monoton wchsend (oder monoton steigend oder isoton), wenn us x < y folgt, dss f(x) f(y) gilt und streng monoton wchsend (oder streng monoton steigend oder streng isoton), wenn us x < y die Aussge f(x) < f(y) folgt. Entsprechend folgt us x < y für monoton fllende (oder ntitone) Funktionen, dss f(x) f(y) ist, und für streng monoton fllende (oder streng ntitone) Funktionen, dss f(x) > f(y) gilt. Sind A und B Aussgen, dnn ist die Konjunktion A B von A und B diejenige Aussge, die genu dnn whr ist, wenn A und B beide whr sind. Die Disjunktion A B von A und B ist diejenige Aussge, die genu dnn whr ist, wenn mindestens eine der Aussgen A oder B whr sind. Die Aussprche von A B ist A und B und die von A B ist A oder B.

10 10 Studierhinweise und Nottionen Die Impliktion A = B von Aussgen A und B bedeutet: Ist A whr, dnn ist B whr. Sie wird ls us A folgt B oder A impliziert B usgesprochen. Insbesondere gilt: Die Impliktion A = B ist schon dnn whr, wenn die Aussge A flsch ist. us Flschem knn mn Alles folgern. Anlog bezeichnet A = B: Ist B whr, dnn ist A whr. Sie wird ls us B folgt A oder B impliziert A usgesprochen. Die Äquivlenz A B von Aussgen A und B bedeutet A = B und A = B. Sie wird ls A und B sind äquivlent usgesprochen. Häufig werden wir in diesem Kurs Äquivlenzen A B ddurch zeigen, dss wir im ersten Teil des Beweises A = B zeigen, ds deuten wir durch m Beginn dieses Beweisteiles n, und dnn im zweiten Teil die Impliktion A = B (lso B = A) zeigen, ws wir durch ein einleiten. Eine Aussge es gibt ein x wird mit Hilfe vom Existenzquntor usgedrückt: x. Die Aussge x M A(x) bedeutet: Es gibt ein x M und für dieses x gilt die Aussge A(x). Der Allquntor wird verbl durch Für lle usgedrückt; x bedeutet "für lle x. Insbesondere bedeutet x M A(x): Für lle x M gilt die Aussge A(x). noch usführlicher geschrieben: Für lle x gilt: x M = A(x).

11 Studierhinweise und Nottionen 11 Griechische und ndere Buchstben Wie in der Mthemtik üblich und wohl unvermeidlich benutzen wir Buchstben des griechischen Alphbets, insbesondere α sprich: lph, ds griechische β sprich: bet, ds griechische b γ sprich: gmm, ds griechische g δ sprich: delt, ds griechische d sprich: Delt, ds griechische D ε sprich: epsilon, ds griechische e λ sprich: lmbd, ds griechische l µ sprich: mü, ds griechische m ν sprich: nü, ds griechische n χ sprich: chi, ds griechische ch ω sprich: omeg, ds griechische (lnge) o Ω sprich: Omeg, ds griechische (lnge) O Drüber hinus benutzen wir Schönschrift-Buchstben, wie A, C, I, die mn (z. B.) Skript-A, Skript-C usw. spricht.

12 12 Studierhinweise und Nottionen

13 Kpitel 1 Ds Riemnn-Integrl In diesem Kpitel beschäftigen wir uns mit dem Riemnn-Integrl, ds Sie us dem Kurs Mthemtische Grundlgen und vielleicht uch us der Schule kennen. Wir werden zunächst die Definition wiederholen und n einige wichtige Eigenschften erinnern, ndere neu beweisen. Zur Vorbereitung uf dieses Kpitel empfehlen wir Ihnen, sich noch einml den Inhlt des Kpitels 19 (us Kurseinheit 7) des Kurses Mthemtische Grundlgen ins Gedächtnis zu rufen. Sie werden ußerdem die Begriffe Grenzwerte von Folgen (Kpitel 12) und Stetigkeit sowie Grenzwerte von Funktionen (Kpitel 14) us diesem Kurs bruchen. Im Folgenden kürzen wir den Kurs Mthemtische Grundlgen ls MG b. Ein Zitt wie MG zum Beispiel weist hin uf die Definition der Konvergenz einer Funktion im Kpitel 14 Abschnitt 3 des Kurses Mthemtische Grundlgen. 13

14 Definition und elementre Eigenschften 1.1 Definition und elementre Eigenschften Vereinbrung: Im Folgenden sind und b reelle Zhlen, für die < b gilt Definition: Eine Prtition des Intervlls [, b] ist eine Folge P von endlich vielen reellen Zhlen t 0, t 1,..., t n für die gilt: (1) t 0 =, t n = b, (2) t 0 < t 1 <... < t n. Die Zhlen t 0,..., t n heißen die Stützpunkte von P, wir schreiben die Prtition P uch ls P = t 0,..., t n. Die Menge ller Prtitionen von [, b] bezeichnen wir mit Z([, b]) Definition: Ist f : [, b] R eine beschränkte Funktion und P = t 0,..., t n eine Prtition von [, b], dnn setzen wir für i = 1,..., n: und m i = inf{f(x) t i 1 x t i } (1.1) M i = sup{f(x) t i 1 x t i }. (1.2) Dnn definieren wir die Untersumme U(f, P ) ls n U(f, P ) = m i (t i t i 1 ) (1.3) und die Obersumme O(f, P ) ls O(f, P ) = i=1 n M i (t i t i 1 ). (1.4) i= Bemerkung: Nur wenn f beschränkt ist, sind lle m i und lle M i definiert! Deshlb hben wir in Definition die Beschränktheit von f gefordert Definition: Ist < b und f : [, b] R eine beschränkte Funktion, dnn heißt f Riemnn-integrierbr, wenn gilt: sup{ U(f, P ) P Z([, b])} = inf{ O(f, P ) P Z([, b])}. Ist f Riemnn-integrierbr, dnn heißt f(x) dx = sup{ U(f, P ) P Z([, b])} (= inf{ O(f, P ) P Z([, b])}) ds Riemnn-Integrl von f (von bis b oder uf [, b]).

15 Kpitel 1. Ds Riemnn-Integrl Bemerkung: Im Kurs MG werden Riemnn-integrierbre Funktionen einfch integrierbr gennnt. Wir werden in diesem Kurs llgemeinere Integrierbrkeitskonzepte betrchten. Zur Unterscheidung fügen wir hier die Vorsilben Riemnn n. Ist eine Funktion f uf der Menge M R definiert und [, b] M, dnn sgen wir, dss f uf [, b] Riemnn-intergrierbr ist, wenn die Einschränkung von f uf ds Intervll [, b] Riemnn-integrierbr ist Definition: Für b < definieren wir f(x) dx = f(x) dx, (1.5) b flls f über [b, ] Riemnn-integrierbr ist. Außerdem setzen wir f(x) dx = 0. (1.6) Im Kurs MG wurde bereits die folgende Formulierung für die Riemnn-Integrierbrkeit bewiesen: Proposition: Ist < b und f : [, b] R beschränkt, dnn ist f genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn es zu jedem ε > 0 eine Prtition P von [, b] gibt, so dss O(f, P ) U(f, P ) < ε ist. Aus dem Kurs MG kennen wir bereits die folgenden Sätze (MG , ): Stz: Sind die Funktionen f und g uf [, b] Riemnn-integrierbr und sind α, β R, dnn ist die Funktion uf [, b] Riemnn-integrierbr und es gilt: h(x) = αf(x) + βg(x) (1.7) h(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. (1.8)

16 Definition und elementre Eigenschften Stz: Sei < c < b. Ist die Funktion f : [, b] R uf [, c] und uf [c, b] Riemnn-integrierbr, dnn ist f uf [, b] Riemnn-integrierbr und es gilt: f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. (1.9) c Wir beweisen den folgenden Stz, der die Monotonie des Integrls usdrückt: Stz: Sind f und g uf [, b] Riemnn-integrierbre Funktionen und gilt f(x) g(x) für lle x [, b], dnn folgt f(x) dx g(x) dx. (1.10) Beweis: D f(x) g(x) gilt, folgt für jede Prtition P Z([, b]): (und O(f, P ) O(g, P )). Also gilt uch U(f, P ) U(g, P ) f(x) dx = sup U(f, P ) P Z([,b]) = sup U(g, P ) P Z([,b]) g(x) dx Korollr: () Ist f uf [, b] Riemnn-integrierbr und gilt f(x) 0 für lle x [, b], dnn gilt: f(x) dx 0. (b) Ist f uf [, b] Riemnn-integrierbr und gilt m f(x) M für lle x [, b] mit Zhlen m, M R, dnn gilt: m (b ) f(x) dx M (b ).

17 Kpitel 1. Ds Riemnn-Integrl 17 Beweis: () Ergibt sich us b) mit m = 0. (b) Es sei h(x) = m für lle x [, b]. h ist Riemnn-integrierbr uf [, b] mit Es gilt Also ist nch Stz h(x) dx = m(b ). h(x) f(x). m(b ) = h(x) dx f(x) dx. Die obere Schrnke zeigt mn nlog Stz: Ist die Funktion f : [, b] R beschränkt und ist f uf llen Intervllen [c, d] (, b) Riemnn-integrierbr, dnn ist f uch uf [, b] Riemnnintegrierbr. Beweis: D f beschränkt ist, gibt es ein C, so dss für lle x, y [, b] gilt: f(x) f(y) C. Nun sei ε > 0 gegeben. Wir wählen c, d [, b] so, dss < c < d < b ist und c < ε sowie b d < ε gelten. 4 C 4 C Nch Vorussetzung ist f uf [c, d] Riemnn-integrierbr, lso gibt es (nch Proposition 1.1.8) eine Prtition P = t 0,..., t n von [c, d] mit: O(f, P ) U(f, P ) < ε 4. Wir setzten m = inf x [,c] f(x) und M = sup x [,c] f(x) sowie m = inf x [d,b] f(x) und M = sup x [d,b] f(x). Durch Hinzunhme der Stützstellen und b zur Prtition P = t 0,..., t n entsteht die Prtition P =, t 0,..., t n, b von [, b]. Es gilt: O(f, P ) U(f, P ) = (M m) (c ) + O(f, P ) U(f, P ) + ( M m) (b d)

18 Definition und elementre Eigenschften C < ε. ε 4 C + ε 4 + C ε 4 C Wir beweisen nun, dss viele Funktionen Riemnn-integrierbr sind. Wir beginnen mit: Stz: Sei f : [, b] R monoton. Dnn ist f Riemnn-integrierbr uf [, b]. Nottion: Eine Funktion f : R R heißt monoton steigend, wenn us x < y die Ungleichung f(x) f(y) folgt, und streng monoton steigend, wenn us x < y die Ungleichung f(x) < f(y) folgt. Sie heißt monoton fllend, wenn us x < y f(x) f(y) folgt, und streng monoton fllend, wenn us x < y f(x) > f(y) folgt. Eine Funktion f heißt monoton, wenn sie monoton steigend oder monoton fllend ist. Beweis: Wir führen den Beweis für eine monoton steigende Funktion f, für monoton fllendes f ist der Beweis nlog. Ist P = t 0,..., t n eine Prtition von [, b], dnn gilt wegen der Monotonie von f: m i = inf{f(x) t i 1 x t i } = f(t i 1 ) und Dher gilt und Deshlb gilt: M i = sup{f(x) t i 1 x t i } = f(t i ). n U(f, P ) = f(t i 1 )(t i t i 1 ) i=1 n O(f, P ) = f(t i )(t i t i 1 ). i=1 O(f, P ) U(f, P ) = n (f(t i ) f(t i 1 ))(t i t i 1 ). i=1

19 Kpitel 1. Ds Riemnn-Integrl 19 Wir wählen jetzt ε > 0 und eine Prtition P = t 0,..., t n mit δ(p ) = mx i=1,...,n (t i t i 1 ) < δ. (1.11) wobei δ > 0 ist. Der genue Wert von δ wird später in Abhängigkeit von ε gewählt. Für eine solche Prtition gilt O(f, P ) U(f, P ) = = δ n ( f(ti ) f(t i 1 ) ) (t i t i 1 ) i=1 n ( f(ti ) f(t i 1 ) ) δ i=1 n ( f(ti ) f(t i 1 ) ). i=1 Die Summe n i=1 n ( f(ti ) f(t i 1 ) ) ist eine Teleskop-Summe, d.h.: i=1 ( f(ti ) f(t i 1 ) ) = ( f(t 1 ) f(t 0 ) ) + ( f(t 2 ) f(t 1 ) ) (1.12) + ( f(t 3 ) f(t 2 ) ) ( f(t n 1 ) f(t n 2 ) ) + ( f(t n ) f(t n 1 ) ). In dieser Summe fllen fst lle Terme weg, weil sie einml mit + und eineml mit - vorkommen. Übrig bleibt n i=1 ( f(ti ) f(t i 1 ) ) = f(t n ) f(t 0 ) = f(b) f(). Dher gilt O(f, P ) U(f, P ) ( f(b) f() ) δ. Wenn wir lso (siehe (1.11)) δ(p ) < δ so klein mchen, dss ( f(b) f() ) δ < ε ist, dnn gilt O(f, P ) U(f, P ) < ε. Also ist f nch Proposition Riemnn-integrierbr.

20 Definition und elementre Eigenschften Studierhinweis: Den Stz hben Sie bereits ls Korollr zum Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung im Kurs MG kennengelernt. Hier geben wir einen nderen, etws direkteren Beweis. Für diesen Beweis benötigen wir den Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit, der uch in nderen Zusmmenhängen sehr wichtig ist. Wenn Sie den Kurs Anlysis berbeitet hben, dnn sollten Sie den Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit bereits kennen. Für lle, die diesen Begriff nicht (oder nicht mehr) kennen, gibt es den Anhng Gleichmäßige Stetigkeit in diesem Kpitel. Dort wird der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit eingeführt und erläutert. Insbesondere wird dort bewiesen, dss jede uf [, b] stetige Funktion dort sogr gleichmäßig stetig ist. Wir wenden uns nun dem folgenden wichtigen Stz zu: Stz: Ist f : [, b] R stetig, dnn ist f uf [, b] Riemnn-integrierbr. Im Beweis von Stz benötigen wir folgendes Resultt: Stz: Ist f : [, b] R stetig, dnn gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dss für lle x, y [, b] mit x y < δ folgt, dss gilt. f(x) f(y) < ε Bemerkung: Dieser Stz besgt, dss zu ε > 0 die Zhl δ > 0 unbhängig von x (bzw. y) gewählt werden knn. Den Beweis von Stz finden Sie im Anhng zu diesem Abschnitt oder im Kurs Anlysis. Beweis von Stz : Zunächst ist die Funktion f wegen MG beschränkt. Wir setzen zu n N: Dnn ist t (n) k = + k b n. (1.13) P n = t (n) 0, t (n) 1,..., t (n) n eine Prtition von [, b] und es gilt t (n) k t (n) k 1 = b, k = 1,..., n. D die Funktion n f nch Vorussetzung uf [, b] stetig ist, gibt es nch Stz zu jedem ε > 0

21 Kpitel 1. Ds Riemnn-Integrl 21 ein n N, so dss gilt (x, y [, b]). f(x) f(y) < ε 2(b ) flls x y < 2 b n Wir untersuchen nun die Ober- und Untersumme zur Prtition P n : n b O(f, P n ) = M k n, Dbei ist wie üblich M k = U(f, P n ) = k=1 n k=1 Für x, y [t k 1, t k ] gilt x y b n x, y [t k 1, t k ]) f(x) f(y) < und dher uch Folglich gilt m k b n. sup f(x), m k = inf f(x). (1.14) t k 1 x t k t k 1 x t k M k m k < 2 b. Für n groß genug ist lso (für n ε 2(b ) ε 2(b ). O(f, P n ) U(f, P n ) b n (M k m k ) n k=1 b n n ε 2(b ) = ε 2 < ε. Nch Proposition ist dher f integrierbr. Stz lässt sich in verschiedene Richtungen verllgemeinern. Hier folgt eine wichtige Verllgemeinerung: Stz: Ist die Funktion f uf [, b] beschränkt und gilt für eine endliche Menge M, dss f uf der Menge [, b] \ M stetig ist, dnn ist f uf [, b] Riemnnintegrierbr.

22 Definition und elementre Eigenschften Aufgbe: Beweisen Sie Stz ! Stz: Ist f stetig uf [, b], f(x) 0 für lle x [, b] und gilt f(x) dx = 0, dnn folgt f(x) = 0 für lle x [, b]. Beweis: Angenommen f(x 0 ) > 0 für ein x 0 [, b]. Dnn muss wegen der Stetigkeit von f gelten, dss es für ε = 1 2 f(x 0) > 0 ein δ > 0 gibt mit f(x) f(x 0 ) < ε für lle x mit x x 0 < δ (und x [, b]). Dies impliziert f(x) 1 2 f(x 0) (1.15) für lle x x 0 < δ (und x [, b]). Es gibt lso ein Intervll [c, d] [, b], (c < d), so dss f(x) die Ungleichung (1.15) für lle x [c, d] erfüllt. Also folgt f(x) dx d f(x) dx c d c 1 2 f(x 0) dx = 1 2 f(x 0)(d c) > 0 im Widerspruch zur Vorussetzung f(x) dx = 0. Also wr die Annhme, dss f(x 0 ) > 0 ist, flsch Beispiel: Für f(x) = sin x gilt 1 f(x) dx = 0, ber offenbr ist f(x) nicht für lle x [ 1, 1] gleich Null. Ds ist kein Widerspruch zu Stz , weil f(x) = sin x in [ 1, 1] nicht größer oder gleich Null ist. 1

23 Kpitel 1. Ds Riemnn-Integrl Aufgbe: Wo hben wir die Vorussetzung f(x) 0 im Beweis von Stz eigentlich verwendet? Stz: Ist f : [, b] R stetig und gilt für lle [c, d] [, b] d c f(x) dx = 0, dnn gilt: f(x) = 0 für lle x [, b]. Beweis: Angenommen f(x 0 ) 0 für ein x 0 [, b]. Wir dürfen nnehmen, dss f(x 0 ) > 0. (Der Beweis ist für f(x 0 ) < 0 völlig nlog.) Wegen der Stetigkeit von f gibt es (wie im vorigen Beweis) ein Intervll [c, d] [, b] mit c < d, so dss für lle x [c, d] gilt. Also gilt uch d c f(x) 1 2 f(x 0) > 0 f(x) 1 2 f(x 0) (d c) > 0 im Widerspruch zur Vorussetzung. Die Aussge der Sätze und sind flsch, wenn mn die Stetigkeit von f nicht vorussetzt. Sei dzu Definition: Ist A R, dnn definiert { 1 flls x A, χ A (x) = 0 sonst (1.16) die chrkteristische Funktion χ A : R R der Menge A. Dnn gilt: Proposition: χ {0} (x) dx = 0 für beliebige, b R, < b.

24 Definition und elementre Eigenschften Beweis: Wir beweisen die Behuptung durch Untersuchung von Ober- und Untersummen und zeigen dmit uch die Riemnn-Integrierbrkeit. Wir wählen ein Intervll [, b] mit < b und 0 [, b]. (Ist 0 [, b], dnn ist χ {0} (x) = 0 in [, b] und dmit die Behuptung trivil.) Ist P = t 0,..., t n eine Prtition von [, b], dnn gilt, dss U(χ {0}, P ) 0. Wir wählen nun P so, dss ist. Dnn folgt δ(p ) = mx i=1,...,n (t i t i 1 ) < δ O(χ {0}, P ) δ, lso ist inf O(χ {0}, P ) = 0 = sup U(χ {0}, P ) χ {0} ist Riemnn-integrierbr und χ {0} (x) dx = 0. Leider gibt es uch hrmlos wirkende Funktionen, die nicht Riemnn-integrierbr sind. Im Folgenden werden wir dzu ein Beispiel kennenlernen Definition: Für D = Q [0, 1] heißt die Funktion χ D die Dirichletfunktion Bemerkung: Es gilt lso χ D (x) = { 1 x Q [0, 1], 0 sonst. (1.17) Stz: Die Dirichletfunktion χ D : [0, 1] R gegeben in (1.17) ist nicht Riemnn-integrierbr. Beweis: In jedem Intervll [s, t] [0, 1] mit s < t liegen sowohl rtionle Zhlen ls uch irrtionle, d.h. [s, t] Q und [s, t] ( [0, 1] \ Q ). Ist lso P = t 0, t 1,..., t n eine Prtition von [0, 1], dnn gilt: und m k = inf{χ D (x) t k 1 x t k } = 0 M k = sup{χ D (x) t k 1 x t k } = 1. Also gilt U(χ D, P ) = 0 und O(χ D, P ) = 1 für jede Prtiton P von [0, 1], folglich ist χ D nicht Riemnn-integrierbr.

25 Kpitel 1. Ds Riemnn-Integrl A Anhng: Gleichmäßige Stetigkeit. In diesem Anhng führen wir den Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit ein. Der Anhng ist gedcht für lle, die diesen Begriff noch nicht kennen oder ihn wiederholen wollen. Sei M R. Eine Funktion f : M R heißt stetig in M, wenn f in jedem Punkt x M stetig ist, d.h. zu jedem x M und jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 (ds von ε und x bhängen drf), so dss gilt: Aus y M und y x < δ folgt f(y) f(x) < ε Beispiele: 1. Die Funktion f : (0, 1) R, f(x) = x 2 ist in (0, 1) stetig. 2. Die Funktion g : (0, 1) R, g(x) = 1 x ist in (0, 1) stetig. Wir beweisen die Stetigkeit von f (us Beispiel 1): Wir rechnen f(y) f(x) = y 2 x 2 = y + x y x 2 y x (weil x, y (0, 1)). Ist lso ε > 0, dnn wählen wir δ = 1 ε. (1.18) 2 Ist y x < δ, dnn ist f(y) f(x) 2 y x < ε. Bechten Sie, dss wir δ unbhängig von x wählen konnten! Für ds Beispiel 2 in zeigen wir die Stetigkeit folgendermßen: Für x, y > 0 ist g(y) g(x) = 1 y 1 x y x =. xy Ist lso ε > 0, dnn ist g(y) g(x) < ε flls x y < εxy. Wählen wir δ = min (ε x2 2, x ), (1.19) 2

26 Definition und elementre Eigenschften dnn folgt us x y < δ zunächst y = x (x y) x x y > x δ x x 2 und ferner = x 2 x y g(y) g(x) = xy < δ x x 2 ε x2 2 x 2 2 = ε. Bechten Sie, dss δ nicht nur von ε sondern uch von x bhängt. Insbesondere muss (unser) δ immer kleiner gewählt werden, wenn x klein wird Definition: Sei M R. Eine Funktion f : M R heißt gleichmäßig stetig uf M, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 (ds von ε, ber nicht von x bhängen drf), so dss für lle x M gilt: Ist y M und y x < δ dnn gilt f(y) f(x) < ε Beispiele: 1. f : (0, 1) R, f(x) = x 2. f ist gleichmäßig stetig uf (0, 1). Ds hben wir gerde bewiesen, denn die Whl von δ in (1.18) wr unbhängig von x (0, 1). 2. g : (0, 1) R, g(x) = 1. g ist nicht gleichmäßig stetig uf (0, 1). x Unsere Whl von δ in (1.19) hing (strk) von x b. Es könnte ntürlich sein, dss es eine clevere Whl von δ gibt, die unbhängig von x ist. Dies ist jedoch nicht der Fll. Angenommen, wir hätten zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gefunden, so dss: Aus y x < δ folgt g(y) g(x) < ε für lle x, y (0, 1). Wir wählen x = 1 und y = 1 1, dnn ist y x = < δ flls n groß genug n 2n 2n ist. Aber 1 1 = n > ε für große n. Dies ist ein Widerspruch. y x Aufgbe: Betrchten Sie die Funktion f : R R f : R R; f(x) = x 2. (1.20)

27 Kpitel 1. Ds Riemnn-Integrl 27 Ist f uf R gleichmäßig stetig? In unserem Beispiel 2 in mchte der linke Rnd von (0, 1) die gleichmäßige Stetigkeit kputt. Die Funktion g(x) = 1 ist für lle x > 0 stetig, ber die x Stetigkeit wird für kleine x immer schlechter, d.h. für festes ε > 0 musste δ(ε, x) immer kleiner gewählt werden, wenn x kleiner wird. Mit nderen Worten: Die Funktion g(x) = 1 wird immer steiler, wenn x gegen x Null geht. Der folgende zentrle Stz zeigt, dss Hindernisse für die Gleichmäßigkeit der Stetigkeit nur vom Rnd kommen können: Stz: Ist f : [, b] R stetig uf [, b], dnn ist f gleichmäßig stetig uf [, b] Bemerkungen: 1. Es ist entscheidend, dss ds Intervll [, b] bgeschlossen ist. Wir hben bereits gesehen (Beispiel 2 in ), dss der Stz für offene Intervlle nicht gilt. 2. Weiterhin ist entscheidend, dss ds Intervll [, b] beschränkt ist. Wir hben gesehen (Aufgbe ), dss der Stz uf R ebenflls nicht gilt. 3. Im Stz knn dss Intervll durch eine beliebig bgeschlossene und beschränkte Menge M ersetzt werden. Ttsächlich gilt der folgende Beweis uch für diesen Fll. (Siehe uch Kpitel 2.) 4. Stz folgt direkt us Stz und Definition Beweis (Stz ): Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, die Funktion f ist nicht gleichmäßig stetig. Es ist lso FALSCH, dss zu ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dss für x, y [, b] gilt: y x < δ = f(y) f(x) < ε. Ds heißt: (durch Negtion von Quntoren) Es gibt ein ε > 0, so dss zu jedem δ > 0 x, y [, b] existieren mit y x < δ, ber f(y) f(x) ε. Sei ein solches ε > 0 fest gewählt. Wir können dnn δ = 1 wählen und x n n, y n [, b] mit y n x n < 1 und f(y n n) f(x n ) ε. x n ist eine Folge mit Werten in [, b]. Weil [, b] beschränkt ist, existiert eine Teilfolge x nj von x n, die konvergiert, etw

28 Definition und elementre Eigenschften x nj x 0. Weil [, b] bgeschlossen ist, gehört x 0, der Limes von x nj zu [, b]. Die Folge y nj konvergiert ebenflls gegen x 0, denn y nj x 0 y nj x nj + x nj x 0 1 n j + x nj x 0 0. Nch Vorussetzung ist f in [, b] stetig, lso insbesondere setig in x 0 [, b]. D die Folgen x nj und y nj gegen x 0 konvergieren, folgt us der Stetigkeit von f, dss gilt. Ds ist ber nicht möglich, denn f(x nj ) f(x 0 ) und f(y nj ) f(x 0 ) f(x nj ) f(x 0 ) ( f(x nj ) f(y nj ) ) + ( f(y nj ) f(x 0 ) ) f(x nj ) f(y nj ) f(y nj ) f(x 0 ) ε f(y nj ) f(x 0 ) > ε 2 für großes n, weil f(y nj ) f(x 0 ). Ds ist ein Widerspruch.