Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in der Form f(x) = n x n + n 1 x n 1 +... + 2 x 2 + 1 x + 0 drstellen, wobei n 0 ngenommen ist. Die Zhl n ist der Grd. Die konstnten Funktionen f(x) = 0, die lineren Funktionen f(x) = 1 x + 0 und die qudrtischen Funktionen f(x) = 2 x 2 + 1 x + 0 sind die einfchsten Polynomfunktionen. Polynomfunktionen sind Linerkombintionen von speziellen Potenzfunktionen f(x) = x n, für die n eine nicht-negtive gnze Zhl ist, und die uf gnz R definiert sind. Für llgemeine Potenzfunktionen x x p knn p eine beliebige reelle Zhl sein, ber diese Funktionen sind nur für x > 0 definiert. 1.2 Ableitung Viele reelle Funktionen, und dzu gehören lle Potenzfunktionen, lssen sich bleiten. Für die Ableitung der Funktion f(x) schreibt mn f (x) oder d dxf(x). Die Ableitung der Potenzfunktionen ist einfch, denn es gilt d dx xp = p x p 1 d d für lle p R. Weil dx ( f(x)) = dx f(x) und d dx (f(x)+g(x)) = d dx f(x)+ d dx g(x) für beliebige reelle Zhlen und beliebige differenzierbre Funktionen f(x) und g(x) gilt, lssen sich sämtliche Polynomfunktionen ebenflls leicht bleiten. 1.3 Umkehrung einer Opertion Gewisse Opertionen knn mn umkehren. Addiert mn beispielsweise die Zhl drei zu einer beliebigen Zhl, knn mn ds wieder rückgängig mchen, indem mn drei subtrhiert, denn es gilt für sämtliche Zhlen und b, flls + 3 = b whr ist, so ist uch = b 3 whr. Die Umkehrung einer Opertion ist nicht immer eindeutig. Wenn mn beispielsweise ds Qudrieren einer Zhl rückgängig mchen möchte, so weiss mn nicht, ob mn die positive oder die negtive Zhl nehmen soll, denn es gilt 2 = ( ) 2 für lle Zhlen. Weil mn lso nicht weiss, ob 4 durch Qudrieren von 2 oder 2 entstnden ist, ht mn festgelegt, dss die Wurzel ls Umkehrung des Qudrierens immer die positive Zhl ist. Es gilt somit 4 = 2. Ds ist ber kein mthemtisches Gesetz, sondern eine Abmchung. 2 Unbestimmtes Integrl 2.1 Stmmfunktionen Die Ableitung ls Opertion uf reellen Funktionen knn umgekehrt werden. Ist f (x) = 16x 3, so könnte die Ausgngsfunktion, die zu dieser Ableitung geführt ht, f(x) = 4x 4 gewesen sein, ber f(x) = 4x 4 +11 ls Ausgngsfunktion hätte zur gleichen Ableitung geführt, denn es gilt d dx (4x4 + 11) = d dx 4x4 = 16x 3. Eine Funktion F (x), deren Ableitung f(x) ist, nennt mn eine Stmmfunktion der Funktion f(x). Die 1
Stmmfunktionen von Potenzfunktionen lssen sich einfch bestimmen. Ist die Potenzfunktion f(x) = x p für p R, dnn ist F (x) = 1 p + 1 xp+1 (1) für p 1 eine Stmmfunktion von f(x). Weil die Ableitungen von zwei Funktionen, die sich nur um einen konstnten Summnden unterscheiden, gleich sind, ist mit F (x) uch jede Funktion F (x) + c mit c R eine Stmmfunktion von f(x). Die nebenstehende Abbildung zeigt die Grphen von drei Funktionen, die sich nur um eine Konstnte unterscheiden, die lso durch Verschiebung prllel zur y-achse ineinnder übergehen. Es ist offensichtlich, dss solche prllelen Verschiebungen die Steigung des Grphen für einen bestimmten x-wert x 0 nicht verändern. Wegen d d dx ( f(x)) = dx f(x) und d dx (f(x)+g(x)) = d dx f(x)+ d dx g(x) für beliebige reelle Zhlen und beliebige differenzierbre Funktionen f(x) und g(x) gilt uch für die Umkehrung der Ableitung, dss konstnte Fktoren und Summen beim Bestimmen einer Stmmfunktion kein Problem drstellen. Speziell können die einzelnen Glieder einer Polynomfunktion getrennt mit Hilfe von (1) behndelt werden. Ist f(x) = 9x 2 + 4x + 5 gegeben, dnn ist F (x) = 3x 3 + 2x 2 + 5x + c. 2.2 Integrieren Die Umkehrung der Ableitung lso ds Auffinden einer Stmmfunktion nennt mn Integrieren. Ist F (x) eine Stmmfunktion von f(x), so schreibt mn f(x) dx = F (x) f(x) dx = F (x) + c (2) und nennt die Grösse uf den linken Seiten der Gleichheitszeichen ds unbestimmte Integrl. Die zweite Vrinte zeigt n, dss ds unbestimmte Integrl nur bis uf eine Konstnte c bestimmt ist und eigentlich eine Menge von Funktionen drstellt. Diese Konstnte nennt mn Integrtionskonstnte. Für ds unbestimmte Integrl gilt (r f(x)) dx = r f(x) dx (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx (3) für beliebige reelle Zhlen r und Funktionen f(x) und g(x). Diese beiden Identitäten heissen Fktorregel beziehungsweise Summen- und Differenzenregel. Ist f(x) = 9x 2 + 4x + 5 gegeben, dnn ist F (x) = (9x 2 + 4x + 5) dx = 9 x 2 dx + 4 x 1 dx + 5 x 0 dx = 9 1 3 x3 + 4 1 2 x2 + 5 x 1 + c = 3x 3 + 2x 2 + 5x + c. 2.3 Anwendungen in der Physik In der Physik gibt es viele Grössen, die sich ändern, und von denen mn entsprechend die Änderungsrte bestimmen möchte. Ist umgekehrt die Änderungsrte einer Grösse sowie ein Wert der Grösse beknnt, so knn mn mit Hilfe der Integrlrechnung die Grösse selber bestimmen. Ds gilt speziell für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Ist s(t) der Ort eines Mssenpunktes zur Zeit t, so ist die Geschwindigkeit v(t) = d dts(t) und die Beschleunigung (t) = d d2 dtv(t) = s(t). Ist lso die Funktion s(t) gegeben, knn mn durch ein- und zweimliges dt 2 Ableiten v(t) und (t) bekommen. Ist jedoch die Beschleunigung (t) gegeben, so knn mn durch Integrtion die Geschwindigkeit v(t) = (t) dt und durch nochmlige Integrtion den Ort s(t) = v(t) dt 2
bestimmen. Diese Funktionen sind ber nur bis uf die Integrtionskonstnten festgelegt, die us geeigneten Anfngsbedingungen folgen. Beim freien Fll ist die Beschleunigung die konstnte Erdbeschleunigung g, sodss (t) = g gilt. Kennt mn die Anfngsgeschwindigkeit v 0 = v(0), knn mn durch Integrtion drus die Geschwindigkeit v(t) = v 0 + g t bestimmen. Kennt mn weiter den Anfngsort s 0 = s(0), so lässt sich drus weiter der Ort s(t) = s 0 + v 0 t + 1 2 g t2 herleiten. Die beiden Grössen s 0 und v 0 sind die Anfngsbedingungen, welche die Integrtionskonstnten festlegen. Sttt dem Ort und der Geschwindigkeit zur Zeit t = 0 hätte mn uch den Ort und die Geschwindigkeit zu irgendeinem Zeitpunkt ls Anfngswerte vorgeben können, um dmit die Integrtionskonstnten zu eliminieren. 3 Bestimmtes Integrl 3.1 Flächenfunktionen Für eine stetige, nicht-negtive und für lle x-werte im betrchteten Bereich definierte Funktion f(x) und zwei Werte und b mit < b ist die Fläche A b zwischen dem Grphen von f und der x-achse wie in der nebenstehenden Abbildung oben gezeigt eine wohl-definierte Grösse. Ist f(x) eine linere Funktion, so ist die Fläche ein Trpez und lässt sich us A b = (b ) f()+f(b) 2 berechnen. Für ndere Funktionen f(x) ist die obere Begrenzung gekrümmt, sodss die Fläche A b nicht so einfch bestimmt werden knn. Hält mn wie in der nebenstehenden Abbildung unten gezeigt nur den Wert fest und betrchtet die rechte Grenze ls vribel, so gibt ds eine monoton wchsende Funktion A (x), die für x definiert ist. Mn nennt die Funktion A (x) eine Flächenfunktion und die dzu gehörige Funktion f(x) deren Rndfunktion. Flächenfunktionen können wie ndere Funktionen bgeleitet werden. Interessnterweise gilt d dx A (x) = f(x) (4) und die Ableitung einer Flächenfunktion A (x) ist ihre Rndfunktion f(x) oder nders formuliert die Flächenfunktion A (x) ist eine Stmmfunktion ihrer Rndfunktion f(x). und ds ist die Definition der Ableitung. Der Beweis wird hier nur skizziert. Betrchtet mn die Fläche A (x+h) A (x), so ist diese Fläche grösser oder gleich dem Rechteck h f(x 1 ) und kleiner oder gleich dem Rechteck h f(x 2 ), wobei x 1 mit x x 1 x + h der x-wert ist, bei dem f(x) im Intervll [x, x + h] miniml ist, und x 2 mit x x 2 x + h der x-wert ist, bei dem f(x) im Intervll [x, x + h] mximl ist. Die Abbildung links deutet die beiden Rechtecke n. Lässt mn jetzt h gegen 0 gehen, so wird der Unterschied zwischen dem mximlen und dem minimlen Wert von f(x) im Intervll [x, x + h] immer kleiner, und A (x + h) A (x) nähert sich dem Rechteck h f(x) n, ws A (x + h) A (x) = h f(x) ergibt. Dividiert mn durch h und lässt h gegen 0 gehen, so bekommt mn A (x + h) A (x) lim = f(x) h 0 h Die Fläche zwischen dem Grphen von f(x) und der x-achse zwischen den Werten und b knn somit berechnet werden, wenn mn für die Rndfunktion f(x) eine Stmmfunktion F (x) gefunden ht. Ist zum Beispiel A (x) = F (x) + c, so muss c = F () sein, weil A () = 0 ist. Somit ist A (x) = F (x) F () und dmit uch A b = F (b) F () für die Flächen in den obigen Abbildungen. Bei diesen Überlegungen ist vorusgesetzt worden, dss f(x) 0 ist für lle betrchteten x-werte. 3
3.2 Flächenpproximtion Die Fläche A zwischen dem Grphen einer Funktion f(x) und der x- Achse wie in der Abbildung rechts knn uch uf einem nderen Weg durch Approximtion bestimmt werden. Teilt mn ds Intervll [, b] in n gleiche Teile und ersetzt die gesuchte Fläche durch eine Summe von Rechtecken ls Näherung, wie ds in der Abbildung unten gezeigt wird, so entstehen zwei Folgen (U n ) und (O n ). Die Fläche U n ist die Summe der n Rechtecke, deren eine Seite der n-te Teil des Intervlls [, b] ist, und deren ndere Seite der kleinste Wert von f(x) in diesem Teilintervll ist. Die Fläche O n ist die Summe der n Rechtecke, deren eine Seite wieder der n-te Teil des Intervlls [, b] ist, deren ndere Seite ber jetzt der grösste Wert von f(x) in diesem Teilintervll ist. Die Folge (U n ) ist monoton wchsend und die Folge (O n ) ist monoton fllend, und es gilt U n U n+1 A O n+1 O n für jedes n. Die beiden Folgen konvergieren beide gegen A, sodss lim U n = A = lim O n n n gilt. Die Abbildung unten zeigt die Näherungen 4, 8 und 16, und es leuchtet ein, dss die beiden Summen von Rechteckflächen für wchsendes n immer weniger von A bweichen. 3.3 Infinitesimlrechnung Die Differenzil- und Integrlrechnung, die zusmmen uch Infinitesimlrechnung heissen, sind im Lufe der Zeit uf verschiedene Weisen begründet worden. Die heute übliche Schreibweise geht uf die Vorstellung von infinitesimlen Grössen zurück, die unendlich klein, ber nicht gleich 0 sind. Sind x und x + x ls zwei verschiedene Werte gegeben, und nennt mn f(x + x) f(x) = f(x), so ist f(x) lim x 0 x = df(x) dx die Ableitung der Funktion f(x). Der Ausdruck rechts des Gleichheitszeichens ist lso qusi ein Bruch mit der infinitesimlen Grösse dx im Nenner. Teilt mn in der obigen Flächenpproximtion ds Intervll [, b] in n gleiche Teile der Länge x = b n ein, und bezeichnet mn mit x i beziehungsweise x i den x-wert mit dem kleinsten beziehungsweise grössten Wert von f(x) im i-ten Teilintervll, dnn gilt U n = n f(x i ) x O n = n f(x i ) x für die Folgen (U n ) und (O n ) von Approximtionen, die gegen A konvergieren. 4
Der gemeinsme Grenzwert der Folgen (U n ) und (O n ), welcher der Fläche zwischen der Rndfunktion f(x) und der x-achse zwischen und b entspricht, wird ls lim n ( n ) f(x i ) x = lim n ( n ) f(x i ) x = f(x) dx (5) geschrieben und heisst ds bestimmte Integrl der Funktion f(x) mit ls unterer und b ls oberer Integrtionsgrenze. Ds Integrlzeichen bedeutet lso die Summe über unendlich viele Rechtecke mit der endlichen Seitenlänge f(x), der infinitesimlen Seitenlänge dx und dmit der Fläche f(x) dx. 3.4 Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung Ist F (x) eine Stmmfunktion von f(x), so gilt für ds bestimmte Integrl. f(x) dx = F (b) F () = [ ] b F (x) Dies ist der Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung. Er folgt einerseits us der obigen Approximtion und ndererseits us der Formel (4). Die Fktor-, Summen- und Differenzenregeln (3) gelten in der Form (r f(x)) dx = r f(x) dx (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx (7) uch für ds bestimmte Integrl. Die Schreibweise [F (x)] b für F (b) F () ist eine nützliche Konvention. Sind F 1 (x) und F 2 (x) zwei Stmmfunktionen von f(x), sodss lso F 2 (x) = F 1 (x) + c für eine reelle Zhl c gelten muss, dnn ist F 2 (b) F 2 () = (F 1 (b) + c) (F 1 () + c) = F 1 (b) F 1 (). Ds bestimmte Integrl (5) ist lso unbhängig von der Whl der Stmmfunktion. Ds bestimmte Integrl ist uch unbhängig von der Whl der Integrtionsvriblen, denn es gilt f(x) dx = f(t) dt für eine beliebige Vrible. Um eine bestimmte Stmmfunktion von f(x) festzulegen, schreibt mn häufig F (x) = x mit x ls vribler Obergrenze des bestimmten Integrls. f(t) dt (6) 4 Anwendungen 4.1 Flächen zwischen Funktionsgrph und x-achse Ist eine im betrchteten Bereich nicht-negtive Funktion f(x) gegeben, so knn die Fläche zwischen dem Funktionsgrphen von f(x) und der x-achse berechnet werden, indem mn erst über ds unbestimmte Integrl (2) eine Stmmfunktion F (x) bestimmt und nschliessend mit dem bestimmten Integrl (5) die Grenzen einsetzt. Um die Fläche zwischen dem Grphen von f(x) = 4x x 2 und der x-achse zwischen 1 und 2 zu berechnen, integriert mn f(x) und bekommt mit (1) die Stmmfunktion F (x) = 2x 2 1 3 x3. Die gesuchte Fläche ist ds bestimmte Integrl mit dem Integrnden f(x) und den Grenzen 1 und 2. Somit gilt A = 2 1 (4x x 2 ) dx = [ 2x 2 1 3 x3] 2 1 = 8 8 3 2 + 1 3 = 11 3 nch dem Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung (6). 5
Bisher sind nur nicht-negtive Rndfunktionen betrchtet worden. Ist f(x) im gnzen betrchteten Bereich negtiv, so ist ds bestimmte Integrl ebenflls negtiv. Um die Fläche zu bestimmen, muss mn lso ds Vorzeichen wechseln. Ist eine stetige Funktion f(x) im betrchteten Bereich teilweise positiv und teilweise negtiv wie die Funktion in der nebenstehenden Abbildung, so gilt d f(x) dx = A 1 A 2 + A 3 für ds bestimmte Integrl in diesem Beispiel. Möchte mn A 2 positiv zählen, muss mn die Nullstellen bestimmen und die Gesmtfläche stückweise mit berechnen. A 1 + A 2 + A 3 = f(x) dx c f(x) dx + d b c f(x) dx 4.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgrphen Sind zwei stetige Funktionen f(x) und g(x) gegeben, deren Grphen sich wie in der nebenstehenden Abbildung gezeigt in zwei Punkten schneiden, so knn die Fläche A zwischen den zwei Funktionsgrphen bestimmt werden. Gilt f() = g(), f(b) = g(b) und f(x) < g(x) für lle x mit < x < b, so ist A = g(x) dx f(x) dx = (g(x) f(x)) dx wegen (7) die gesuchte Fläche. Schneiden sich die Grphen im betrchteten Bereich zwischen und b mehrmls, bestimmt mn die Fläche stückweise wie oben besprochen. 4.3 Volumen von Rottionskörpern Durch Integrieren knn mn nicht nur Flächen, sondern uch Volumin berechnen. Dreht mn die Fläche in der nebenstehenden Abbildung um die x-achse, bekommt mn einen Rottionskörper, dessen Volumen V = π (f(x)) 2 dx ist. Ds Volumen knn mn wieder durch Approximtion bestimmen, indem mn den Körper durch n Kreisscheiben der Dicke x = b n wie in der Abbildung unten pproximiert. Ds Volumen einer Kreisscheibe mit Rdius r und Dicke d ist V = π r 2 d. Die Dicke ist d = x, und der Rdius kommt immer näher zu r = f(x), wenn mn x gegen 0 gehen lässt. Ds Integrl ls Summe über unendlich viele, unendlich kleine Volumin π (f(x)) 2 x führt zu obigem Integrl. Die Kreisscheiben entsprechen den um die x-achse rotierten Rechtecken mit den Flächen f(x i ) x beziehungsweise f(x i ) x. 6