Analysis 1 und 2. Ernst Albrecht

Anlysis 1 und 2 Ernst Albrecht Vorlesungen im Wintersemester 2005/06 und Sommersemester 2006 Universität des Srlndes Srbrücken Stnd: 20. Juli 2006

Inhltsverzeichnis Kpitel 0. Zur Vorbereitung 1 1. Grundbegriffe us der Mengenlehre 1 2. Verschiedene Alphbete 11 Kpitel 1. Der Körper R der reellen Zhlen 13 1. Körper 13 2. Angeordnete Körper 15 3. Obere Schrnken und ds Supremumsxiom 16 4. Ntürliche Zhlen und vollständige Induktion 20 5. Ds Archimedische Axiom 27 6. Potenzen mit rtionlen Exponenten 28 7. Reichhltigkeit von R 30 Kpitel 2. R N und der Körper C der komplexen Zhlen 32 1. Der Vektorrum R N 32 2. Der Körper C der komplexen Zhlen 35 Kpitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 40 1. Der Grenzwertbegriff 40 2. Konvergenzkriterien und Grenzwertrechenregeln 43 3. Häufungswerte und der Stz von Bolzno Weierstrß 49 4. Konvergenzkriterien für unendliche Reihen 54 5. Dezimlbruchentwicklung und Überbzählbrkeit von R 61 6. Umordnung von Reihen 64 Kpitel 4. Stetige Funktionen und Grenzwerte bei Funktionen 69 1. Stetigkeit von Funktionen 69 2. Eigenschften stetiger Funktionen 75 3. π 78 4. Stetigkeit der Umkehrfunktionen 81 5. Gleichmäßige Stetigkeit 84 6. Grenzwerte bei Funktionen 85 Kpitel 5. Differentilrechnung in einer Veränderlichen 92 1. Differenzierbre Funktionen 92 2. Der Mittelwertstz der Differentilrechnung mit ersten Anwendungen 99 3. Konvexe Funktionen 108 Kpitel 6. Integrlrechnung in einer Veränderlichen 112 1. Ds Riemnn Integrl 112 2. Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung 123 3. Der Stz von Tylor 128 4. Integrtion rtionler Funktionen 132 5. Uneigentliche Integrle 135 i

ii INHALTSVERZEICHNIS Kpitel 7. Differentilrechnung in mehreren Veränderlichen 140 1. Prtielle Differentition 140 2. Totle Differenzierbrkeit und totles Differentil 149 3. Der Mittelwertstz und der Tylorsche Stz in mehreren Veränderlichen 155 Kpitel 8. Metrische Räume 166 1. Definition und erste Eigenschften, Stetigkeit 166 2. Kompkte metrische Räume 174 Kpitel 9. Folgen und Reihen stetiger Funktionen 182 1. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 182 2. Vertuschung von Differentition und Grenzwertbildung 187 3. Potenzreihen 190 Kpitel 10. Nichtlinere Gleichungen 198 1. Der Fixpunktstz von Bnch 198 2. Ds Newton Verfhren 203 3. Implizite Funktionen und Umkehrfunktionen 205 4. Extrem mit Nebenbedingungen 210 Kpitel 11. Weiterer Ausbu der Integrlrechnung 214 1. Weglänge und Wegintegrl 214 2. Integrtion in mehreren Veränderlichen 222 Kpitel 12. Der Approximtionsstz von Weierstrß 231 Literturverzeichnis 234 Index 235

KAPITEL 0 Zur Vorbereitung 1. Grundbegriffe us der Mengenlehre Es soll hier kurz uf die us der Schule teilweise beknnte elementre Mengenlehre eingegngen werden, d wir deren Schreib und Sprechweise verwenden wollen. Zunächst benötigen wir einige Bezeichnungen und Begriffe us der mthemtischen Logik. Eine mthemtische Theorie besteht us grundlegenden Begriffen, definierten Begriffen, Axiomen und Sätzen. Grundlegende Begriffe sind Begriffe, die im Rhmen der Theorie nicht weiter erklärt werden. Axiome sind Aussgen über Beziehungen zwischen Begriffen, die nicht bewiesen werden. definierte Begriffe sind Begriffe, die in einer Definition mit Hilfe schon beknnter Begriffe erklärt werden. Ein Stz ist eine Aussge über Begriffe. Die Sätze einer Theorie stehen in logischer Abhängigkeit in dem Sinne, dß jeder Stz unter Verwendung von beknnten Begriffen und bereits bewiesenen Sätzen sowie der Axiome bewiesen, d.h. durch Anwendung von logischen Opertionen us diesen hergeleitet wird. Von dem Axiomensystem einer mthemtischen Theorie wird mn folgende Eigenschften verlngen: Widerspruchsfreiheit: Es drf im Rhmen der Theorie nicht möglich sein, einen Stz und dessen Negtion zu beweisen. Vollständigkeit: Ht mn sich eine Vorstellung von dem Umfng einer Theorie gebildet, so nennt mn ein Axiomensystem vollständig, wenn lle interessierenden Frgen im Rhmen der uf dem Axiomensystem beruhenden Theorie bentwortet werden können. Unbhängigkeit: Ein Axiomensystem heißt unbhängig, wenn kein Axiom mit Hilfe der übrigen Axiome beweisbr ist. Wir werden jedoch bei den im Verluf der Vorlesung ufgestellten Axiomensystemen die hierdurch entstehenden Frgen nicht behndeln können. Wir gehen nun etws uf die Sprche und Nottion der Logik ein, soweit wir sie in dieser Vorlesung verwenden. Die einfche Folgerung: Seien A und B zwei logische Aussgen, die whr oder flsch sein können. Wir schreiben A = B, flls gilt: Immer, wenn A richtig ist, ist uch B richtig. Für diesen logischen Schverhlt sgen wir uch: Die Richtigkeit von B folgt us der Richtigkeit von A oder A gilt nur dnn, wenn B gilt oder B ist notwendig für A oder A impliziert B. Mn nennt zwei Aussgen A und B äquivlent (Schreibweise: A B), flls gilt: A = B und B = A. Hierfür sgen wir uch: B ist notwendig und hinreichend für A oder B gilt dnn und nur dnn, wenn A gilt oder B gilt genu dnn, wenn A gilt. 1

2 0. ZUR VORBEREITUNG Besteht die Äquivlenz von A und B ufgrund einer Definition, so schreiben wir: A : B oder A def B, wobei der Doppelpunkt bzw. def uf der Seite steht, die durch die Äquivlenz definiert werden soll. Unter einem direkten Beweis verstehen wir eine Aufeinnderfolge von einfchen Folgerungen der Art: Gilt A = B und B = C, so uch A = C. Beim indirekten Beweis wird folgendes Schem verwendet: Will mn etw die Behuptung: Die Aussge A ist richtig beweisen, so mcht mn zunächst die Annhme: A ist flsch. Aus dieser Annhme, us Definitionen und bereits ls gültig beknnten Aussgen werden dnn Folgerungen gezogen, bis sich ein Widerspruch zu Definitionen, bereits ls gültig erknnten Aussgen oder zur Annhme ergibt. Dies zeigt dnn, dß die Aussge A ist flsch flsch ist. Nch dem Stz vom usgeschlossenen Dritten muß dnn die Behuptung gelten. Ds Gleichheitszeichen ht folgende Eigenschften: () A = A (Reflexivität), (b) A = B = B = A (Symmetrie), (c) A = B und B = C = A = C (Trnsitivität). Wenn zwei Objekte A, B lut Definition übereinstimmen sollen, so schreiben wir A := B oder A def = B, wobei der Doppelpunkt bzw. def wieder uf der zu definierenden Seite steht. Zur Abkürzung führen wir ferner die Quntoren der Generlisierung und der Prtikulrisierung ein: Generlisierung:... bzw. B... bzw. B.... Lies: Für lle Objekte, die der B Bedingung B genügen, gilt.... In der Vorlesung wird meist die letzte Schreibweise verwendet. Prtikulrisierung... bzw. B... bzw. B.... Lies: Es gibt ein Objekt, ds der B Bedingung B genügt, so dß gilt.... Hierbei ist ein im Sinn von wenigstens ein zu verstehen. Nch diesen Vorbemerkungen, Vereinbrungen und Bezeichnungen wollen wir uns nun der (niven) Mengenlehre zuwenden. Georg Cntor (3.3.1845 6.1.1918), der Begründer dieser Theorie, gb folgende Erklärung der Begriffe Menge und Element einer Menge : Unter einer Menge verstehen wir jede Zusmmenfssung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschuung oder unseres Denken (welche die Elemente von M gennnt werden) zu einem Gnzen. Mn könnte nun meinen, dß es sich hierbei um die Definition der Begriffe Menge und Element einer Menge hndelt. Mn stellt jedoch fest, dß die zu definierenden Begriffe Menge und Element einer Menge nur uf ndere, undefinierte Begriffe (wie zum Beispiel Zusmmenfssung zu einem Gnzen ) zurückgeführt werden. Nun knn mn ntürlich nicht eine Theorie uf einer Definition ufbuen, d diese notwendigerweise uf Begriffe zurückgreifen muß, die im Rhmen der Theorie nicht definiert sind. Mn muß lso beim Aufbu der Mengenlehre offenlssen, ws Mengen wirklich sind, ähnlich, wie bei der xiomtischen Begründung der Geometrie nicht gesgt wird, ws Punkte und Gerden sind, sondern nur ngegeben wird, welche Beziehungen zwischen ihnen bestehen.

1. GRUNDBEGRIFFE AUS DER MENGENLEHRE 3 Die (lso nicht näher erläuterten) Grundbegriffe der Mengenlehre sind: (i) Mengen meist durch große lteinische Buchstben A, B, C,..., M,... sowie durch große deutsche Buchstben 1 oder Sonderzeichen bezeichnet wie z.b. N, Z, Q, R, C und ndere. (ii) Elemente von Mengen: x A (gelesen: x ist Element der Menge A). Elemente einer Menge werden häufig (ber nicht immer) mit kleinen lteinischen, griechischen oder deutschen Buchstben bezeichnet. Ist x nicht Element von A, so schreibt mn x / A. Unsere erste Forderung ist nun, dß Mengen durch ihre Elemente eindeutig bestimmt sein sollen. (M1) Zwei Mengen A und B sind gleich (A = B geschrieben) genu dnn, wenn sie die gleichen Elemente hben. Will mn lso die Gleichheit von zwei Mengen A und B beweisen, so muß mn zeigen, dß jedes Element von A uch ein Element von B ist und jedes Element von B uch ein Element von A ist. (M1) erlubt es (endliche) Mengen nzugeben, indem mn ihre Elemente ufzählt (ufzählende Schreibweise), etw {1, 2, 3, 4, 5} oder {5, 4, 3, 2, 1} (diese beiden Mengen sind gleich). Weitere Beispiele {1, 2, 3} = {2, 3, 11}, {α, β, γ} usw. 0.1. Definition. Sei A eine Menge. Eine Menge B heißt Teilmenge von A, flls jedes Element von B uch ein Element von A ist. Wir schreiben dnn B A oder A B. Ist B A und B A, so nennen wir B eine echte Teilmenge von A und schreiben B A. Beispiele: {1} {2, 1, 5}, {β, α, γ} {β, γ}. Für jede Menge A gilt offensichtlich A A. Häufig möchte mn us einer Menge lle Elemente mit einer vorgegebenen Eigenschft ussondern und zu einer neuen Menge zusmmenfssen. Sei z.b. M die Menge ller Teilnehmer n den Übungen zu dieser Vorlesung, welche in ufzählender Schreibweise durch die Angbe der Teilnehmer in einer Teilnehmerliste ngegeben sei. Will mn nun die Menge ller Teilnehmer dieser Vorlesung bilden, die im Huptfch Physik studieren so könnte mn us der Gesmtteilnehmerliste ntürlich uf einer neuen Liste die Nmen ller derjenigen Studierenden bschreiben, die im Huptfch Physik studieren. Rein schreibtechnisch ist es ber einfcher zu schreiben: M P = {x ; x M und x studiert im Huptfch Physik}. Eine solche Beschreibung erlubt ds folgende Aussonderungsxiom (M2): (M2) Sei A eine Menge und sei E eine Eigenschft, die jedes Element x A entweder ht oder nicht ht. Dnn gibt es eine Menge B, deren Elemente genu diejenigen Elemente von A sind, die die Eigenschft E besitzen. Nch (M1) ist B hierdurch eindeutig bestimmt. Wir schreiben B = {x ; x A und x ht Eigenschft E} oder B = {x A ; x ht Eigenschft E}. Offensichtlich gilt B A. 1 Im Anschluß n diese Vorbemerkungen zur Mengenlehre befindet sich eine Wiedergbe des Alphbets in deutscher Schreibschrift und des griechischen Alphbets

4 0. ZUR VORBEREITUNG 0.2. Beispiel. Sei A eine Menge und sei E die Eigenschft x x für x A. Wir bilden gemäß (M2) die Menge B := {x ; x A, x x}. D die Aussge x x für lle x A flsch ist gibt es keine Elemente in A mit x x. Die Menge B besitzt lso keine Elemente. Wir nennen sie dher die leere Menge und bezeichnen sie mit. Nch (M1) ist eindeutig bestimmt. Ferner ist Teilmenge von jeder Menge. Mn knn sich nun ntürlich frgen, wrum wir in dem Aussonderungsxiom (M2) nur die Elemente von A zugelssen hben. Nch der Cntorschen Begriffsbildung wäre dies doch eine überflüssige Einschränkung. Es zeigt sich jedoch, dß mn zu Widersprüchen kommt. So könnte mn nch Cntor etw die Menge ller Mengen bilden (ls die Zusmmenfssung zu einem Gnzen von llen Mengen, die j uch Objekte unseres Denkens sind). Wir nehmen einml n, dß dies möglich wäre, und bilden lso die Allmenge A ller Mengen. Dnn existiert nch (M2) uch die Teilmenge B := {A A ; A / A} ller Mengen, die sich nicht selbst ls Element enthlten. Nun muß entweder B B oder B / B gelten. Ist B B, so folgt nch Definition von B: B / B. Ist B / B, so folgt nch Definition von B: B B. In llen möglichen Fällen erhlten wir lso einen offensichtlichen Widerspruch. Dieser unter dem Nmen Russelsche Antinomie beknnte Widerspruch wurde 1901 von Bertrm Russel (18.5.1872 2.2.1970) entdeckt. Von Russel selbst stmmt hierzu folgendes Beispiel us dem täglichen Leben : In einem Dorf schließt ein Friseur mit dem Gemeindert den Vertrg, genu diejenigen Männer des Dorfes zu rsieren, die sich nicht selbst rsieren. Bei Verletzung dieses Vertrges müsse er eine Konventionlstrfe bezhlen. Ws würden Sie dem rmen Friseur rten: Soll er sich selbst rsieren oder sollte er sich besser von einem Nchbrn rsieren lssen? Geht mn jedoch von (M1) und (M2) us, so knn mn zeigen, dß es eine solche Allmenge nicht gibt. Sei nämlich A eine beliebige Menge von Mengen und sei B := {x A ; x / x}. Wenn wir zeigen können, dß B / A gilt, so knn es uch keine Allmenge geben. Wir führen den Beweis indirekt: Annhme: B A. Ist B B so folgt nch Definition von B der Widerspruch B / B. Ist B / B, so müßte nch Definition von B gelten B B. In llen möglichen Fällen ergibt sich lso ein Widerspruch. Die Annhme wr dher flsch. Es muß lso B / A gelten. 0.3. Definition. Seien A und B zwei Mengen, dnn heißt der Durchschnitt von A mit B. A B := {x ; x A und x B} Nch (M2) ist A B offensichtlich eine Menge. Die Elemente von A B sind genu diejenigen, die sowohl zu A ls uch zu B gehören. Beispiele. {1, 2, 3, 4, 5} {1, 3, 5} = {1, 3, 5}, {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3}, {2, 4, 6} {1, 3, 5} =. In dem folgenden Lemm fssen wir einige einfche Rechenregeln für die Durchschnittsbildung zusmmen, die sich lle elementr beweisen lssen. 0.4. Lemm. A, B, C seien Mengen. Dnn gelten die folgenden Aussgen: () A A = A. (b) A =.

(c) A B = B A. (d) A B A und A B B. (e) (A B) C = A (B C). (f) A B A B = A. 1. GRUNDBEGRIFFE AUS DER MENGENLEHRE 5 Mn möchte mnchml uch über sehr viele Mengen einen Durchschnitt bilden: 0.5. Definition. Sei M eine Menge, deren Elemente wieder Mengen sind. Sei M 0 M beliebig. Dnn definiert mn M := {x M 0 ; x M für lle M M}. M M Sttt M M M schreibt mn mnchml uch {M ; M M}. Der Durchschnitt M M M ist nch (M2) gebildet und dmit eine eindeutig bestimmte Menge. Mn zeigt uch leicht, dß M M M nicht von der speziell gewählten Menge M 0 bhängt, d.h. dß für lle M 0, M 1 M gilt: {x M 0 ; x M für lle M M} = {x M 1 ; x M für lle M M}. Um zeigen zu können, dß Definition 0.5 die Definition 0.3 ls Spezilfll enthält, müssen wir wissen, dß es zu zwei Mengen A und B eine Menge C gibt, die A und B ls Elemente enthält. Hierzu benötigen wir ein weiteres Axiom: (M3) Zu je zwei Mengen A und B gibt es eine Menge C mit A C und B C. 0.6. Bemerkung. Seien A und B zwei Mengen. Dnn gibt es genu eine Menge, die genu A und B ls Elemente enthält. Diese bezeichnen wir (in ufzählender Schreibweise) mit {A, B}. Beweis. Sei C gemäß (M3) eine Menge mit A C und B C. Nch (M2) können wir die Menge {M C ; M = A oder M = B} bilden und erhlten eine Menge, die genu A und B ls Elemente enthält. Gemäß (M1) ist diese Menge eindeutig bestimmt. Offensichtlich gilt nun für je zwei vorgegebene Mengen A und B: A B = M. M {A,B} Eine weitere Möglichkeit us vorgegebenen Mengen neue zu bilden liefert: (M4) Zu jeder Menge A gibt es eine Menge, die lle Teilmengen von A ls Elemente enthält. 0.7. Bemerkung. Sei A eine Menge. Dnn gibt es genu eine Menge, die genu lle Teilmengen von A ls Elemente ht. Diese Menge nennen wir die Potenzmenge von A und bezeichnen sie mit P (A). Beweis. Sei A gemäß (M4) eine Menge, welche lle Teilmengen von A ls Elemente enthält. Nch (M2) können wir die Menge {B A ; B A} bilden. Offensichtlich enthält diese Menge genu lle Teilmengen von A. Nch (M1) knn es höchstens eine Menge mit dieser Eigenschft geben, womit uch die Eindeutigkeitsussge bewiesen ist. Beispiele. () P ( ) = { }, P ({ }) = {, { }}, (b) P ({1}) = {, {1}}, P (P {1}) = {, { }, {{1}}, {, {1}}}, (c) P ({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}}.

6 0. ZUR VORBEREITUNG 0.8. Definition. Seien A und B zwei Mengen. Die gemäß (M2) gebildete Menge A \ B := {x A ; x / B} heißt die Differenzmenge zwischen A und B. Ist B A, so nennt mn A \ B uch ds Komplement von B in A und schreibt uch A B sttt A \ B. Ist vom Zusmmenhng her klr, bezüglich welcher Menge A ds Komplement gebildet wird, so schreibt mn uch kurz B. Beispiele. Mit A := {1, 2, 3, 4, 5}, B := {3, 4, 5}, C := {1, 2, 3} gilt A \ B = A B = {1, 2}, B \ A =, B \ C = {4, 5}, C \ B = {1, 2}. Im folgenden Lemm fssen wir einige Rechenregeln für die Differenzmengenbildung und die Komplementbildung zusmmen. 0.9. Lemm. Seien A, B, C und D Mengen mit B A und C A. Dnn gilt: () A = A \ = A, A A = A \ A =. (b) A \ D = A \ (A D) = A (A D). (c) (A \ D) D =. (d) B A B =. (e) A \ (A \ D) = A D. (f) A ( A B) = B. (g) B C A C A B. Beweis. Die Aussgen () (d) sieht mn unmittelbr ein. Zu (e): Für lle x A gilt: x A \ (A \ D) x A und x / {y A ; y / D} x A D. (f) ist ein Spezilfll von (e). Zu (g): Wir zeigen zunächst die Impliktion =. Sei lso B C und sei x A C beliebig lso x A und x / C. Wegen B C ist dnn uch x / B und es folgt x A B. D dies für lle x A C gilt, folgt A C A B. Wir müssen noch die Impliktion = beweisen. Sei lso A C A B vorusgesetzt. Wendet mn die bereits bewiesene Aussge = n mit AC sttt B und A B sttt C, so erhlten wir mit (f): B = A ( A B) A ( A C) = C. Um die Vereinigung von beliebigen Mengen bilden zu können, benötigen wir ein weiteres Axiom: (M5) Zu jeder Menge M von Mengen gibt es eine Menge M mit A M für lle A M. 0.10. Definition. Sei M eine Menge von Mengen und sei M eine gemäß (M5) existierende Menge mit A M für lle A M. Dnn können wir nch dem Aussonderungsxiom (M2) die Menge A := {A ; A M} := {x M ; A M : x A} A M bilden. Mn überlegt sich, dß A M A von der speziellen Menge M mit A M für lle A M unbhängig ist. Die Menge A M A heißt die Vereinigung der Mengen A M. Beispiele. () Ist M =, so ist uch A M A =.

1. GRUNDBEGRIFFE AUS DER MENGENLEHRE 7 (b) Sind A und B zwei beliebige Mengen, so existiert nch (M3) und Bemerkung 0.6 die Menge {A, B}, die genu die Elemente A und B besitzt. Sttt C {A,B} C schreiben wir einfcher A B. Die Menge A B ist lso die Menge der Elemente, die Elemente von A oder von B sind. (c) {1, 2, 3, 4} {2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}. Die elementren Beweise der folgenden Rechenregeln sind dem Leser ls Übung überlssen. 0.11. Lemm. A, B und C seien Mengen. Es gilt: () A A = A = A. (b) A A B. (c) A B = B A. (d) A (B C) = (A B) C. (e) A B A B = B. (f) A (B C) = (A B) (A C). (g) A (B C) = (A B) (A C). (h) (A \ B) (A B) = A. (i) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). (j) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). 0.12. Definition. Seien A und B zwei Mengen. Für lle A, b B definieren wir und bilden gemäß (M2) die Menge (, b) := {{}, {, b}} P (P (A B)) A B := {x P (P (A B)) ; A, b B : x = (, b)}. A B heißt die Produktmenge von A und B und für A, b B heißt (, b) ds geordnete Pr von und b. 0.13. Lemm. Seien A und B zwei Mengen. Für lle (, b), (u, v) A B gilt: (, b) = (u, v) ( = u und b = v). Beweis. Die Beweisrichtung = ist nch Definition 0.12 offensichtlich. Zu = : Seien, u A, b, v B beliebig mit (, b) = (u, v), d.h. mit {{}, {, b}} = {{u}, {u, v}}. Wegen {} {{u}, {u, v}} folgt {} = {u} (und dmit = u) oder {} = {u, v}, ws = u = v zur Folge ht. In beiden Fällen gilt lso = u. Zu zeigen bleibt noch b = v: Wegen = u ist {{}, {, b}} = (, b) = (, v) = {{}, {, v}}. 1. Fll: v =. Dnn ist (, v) = (, ) = {{}, {, }} = {{}}. Wegen {, b} (, v) = (, ) = {{}} folgt lso v = = b. 2. Fll: v : Dnn ist {, v} = {} worus wegen {, v} {{}, {, b}} folgt: {, v} = {, b}. Wegen v ist dies nur möglich, wenn v = b gilt. In beiden Fällen hben wir lso v = b erhlten. Beispiele. () Sei A := {, b}, B := {1, 2, 3}. Dnn ist in ufzählender Schreibweise: A B = {(, 1), (, 2), (, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}. (b) Für R R = {z P (P (R)) ; x, y R : (x, y) = z} schreiben wir uch kürzer R R = {(x, y) ; x, y R}. Wir identifizieren R R in der üblichen Weise mit der Ebene.

8 0. ZUR VORBEREITUNG In dem folgenden Lemm fssen wir einige Rechenregeln für den Umgng mit Produktmengen zusmmen. 0.14. Lemm. Sind A, B, C, D Mengen, so gilt: () A B = (A = oder B = ). (b) (A B) C = (A C) (B C). (c) (A B) (C D) = (A C) (B D). (d) Ist A C und B D, so ist A B C D. Beweis. () Ist A = oder B =, so muß uch A B := {x P (P (A B)) ; A, b B : x = (, b)} = gelten. Ist A und B, so gibt es wenigstens ein A und ein b B. Es ist dnn (, b) A B und somit A B. Aus A B = folgt lso A = oder B =. (b) (d) rechnet mn unmittelbr nch. 0.15. Definition. Seien A und B zwei nicht leere Mengen. Unter einer Abbildung f : A B von A nch B verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Element A genu ein Element f() B zuordnet. Zwei Abbildungen f, g : A B heißen gleich, flls sie punktweise übereinstimmen, d.h. für lle A gilt: f() = g(). A heißt der Definitionsbereich der Abbildung f und B der Wertebereich. Abbildungen mit Werten in den reellen Zhlen nennen wir uch Funktionen. f() heißt der Bildpunkt von A unter f. Für eine Teilmenge C von A heißt f(c) := {f() ; C} = {b B ; C : b = f()} die Bildmenge von C unter f. Ist D B, so heißt die Menge f 1 (D) := { A ; f() D} die Urbildmenge von D unter f. Die Menge G(f) := {(, f()) ; A} := {(, b) A B ; b = f()} nennen wir den Grphen von f. 0.16. Lemm. Seien A und B zwei nicht leere Mengen. () Eine Menge G A B ist genu dnn Grph einer Abbildung von A nch B, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind. (i) A b B : (, b) G. (ii) Sind (, b 1 ), (, b 2 ) G so gilt schon b 1 = b 2. (b) Zwei Abbildungen f, g : A B sind genu dnn gleich, wenn ihre Grphen gleich sind. Beweis. () Ist f eine Abbildung und G = G(f) = {(, f()) ; A}, so gibt es nch Definition der Abbildung zu jedem A genu einen Bildpunkt f() B. Dies zeigt, dß (i) und (ii) erfüllt sind. Ist umgekehrt G A B mit (i) und (ii) gegeben, so gibt es zu jedem A genu ein Element f() B mit (, f()) G. Hierdurch ist eine Abbildung f : A B definiert, für die G(f) = G gilt. (b) = ist unmittelbr klr. Seien nun umgekehrt f, g : A B zwei Abbildungen mit G(f) = G(g). Dnn gilt für lle A: Es ist (, f()) G(f) = G(g) und dmit f() = g(). Beispiele von Abbildungen bzw. Funktionen ht mn schon in der Schule kennengelernt. Auch im Verluf dieser Vorlesung werden uns viele Beispiele begegnen. Deshlb beschränken wir uns hier zunächst uf ein pr wenige, die von elementrer Ntur sind. 0.17. Beispiele. Sei A, C, D nicht leere Mengen. () Die Funktion id:a A mit id() := für lle A heißt die Identität uf A.

1. GRUNDBEGRIFFE AUS DER MENGENLEHRE 9 (b) Sei B A. Dnn heißt χ B : A R mit { 1 für x B χ B (x) := 0 für x A \ B die chrkteristische Funktion von A. (c) Die Abbildung p : C D C mit p(c, d) := c für lle (c, d) C D heißt die Projektion uf die erste Koordinte. Im folgenden Lemm fssen wir wieder einige Rechenregeln zusmmen. 0.18. Lemm. Sei f : A B eine Abbildung und seien C, D Teilmengen von A sowie E, F Teilmengen von B. Dnn gelten die folgenden Aussgen: () f 1 (E F ) = f 1 (E) f 1 (F ). (b) f 1 (E F ) = f 1 (E) f 1 (F ). (c) f(c D) = f(c) f(d). (d) f(c D) f(c) f(d), wobei die Inklusion echt sein knn. sowie Beweis. Für A gilt: f 1 (E F ) f() E F (f() E und f() F ) ( f 1 (E) und f 1 (F )) f 1 (E) f 1 (F ) f 1 (E F ) f() E F (f() E oder f() F ) ( f 1 (E) oder f 1 (F )) f 1 (E) f 1 (F ). Dmit sind () und (b) bewiesen. Für lle b B gilt: b f(c D) C D : f() = b und dmit (c). Ferner: (b f(c) oder b f(d)) b f(c) f(d) b f(c D) ( C D : f() = b) = b f(c) f(d). Wir zeigen durch Angbe eines Beispiels, dß die Inklusion in (d) echt sein knn. Wir definieren f : {1, 2} {1} durch f(1) := f(2) := 1. Es ist {1} {2} = und dher f({1} {2}) = ber f({1}) f({2}) = {1} =. 0.19. Definition. Sind f : A B und g : B C, so definieren wir die Komposition (Hintereinnderusführung, zusmmengesetzte Funktion) g f : A C durch (g f)() := g(f()) für lle A. Die Hintereinnderusführung von Abbildungen ist ssozitiv: 0.20. Lemm. Sind f : A B, g : B C und h : C D Abbildungen, so gilt (h g) f = h (g f). Beweis. Für lle A gilt: ((h g) f)() = (h g)(f()) = h(g(f())) = h((g f)()) = (h (g f))().

10 0. ZUR VORBEREITUNG 0.21. Beispiel. Sei R + := {x R ; x 0}. Wir definieren f : R R + und g : R + R durch f(x) := x 2 für lle x R und g(x) := x für lle reellen x 0. Dnn gilt f g = id R+ und (g f)(x) = x für lle x R. 0.22. Definition. Eine Abbildung f : A B heißt () injektiv, flls für lle x, y A us f(x) = f(y) schon x = y folgt. (b) surjektiv, flls f(a) = B ist, d.h. flls es zu jedem b B ein A mit f() = b gibt. (c) bijektiv, flls f injektiv und surjektiv ist. 0.23. Beispiel. Seien f : R R + und g : R + R wie in Beispiel 0.21. Dnn ist f surjektiv ber nicht injektiv und g injektiv ber nicht surjektiv. 0.24. Stz. Sei f : A B eine Abbildung. Es gilt: () f ist genu dnn bijektiv, wenn es eine Abbildung g : B A gibt mit f g = id B und g f = id A. (b) Ist f bijektiv, so ist die Funktion g us () eindeutig bestimmt. Beweis. () Sei f : A B bijektiv. Ist b B beliebig, so gibt es, d f bijektiv ist, genu ein A mit f() = b. Wir setzen g(b) :=. Hierdurch wird eine Abbildung g : B A definiert mit g(f()) = für lle A und f(g(b)) = b für lle b B. Ist umgekehrt g : B A eine Abbildung mit f g = id B und g f = id A, so gilt für lle 1, 2 A mit f( 1 ) = f( 2 ): Es ist 1 = id A ( 1 ) = g(f( 1 )) = g(f( 2 )) = id A ( 2 ) = 2. Also ist f injektiv. Für lle b B ht mn b = id B (b) = f(g(b)) mit g(b) A, d.h. f ist uch surjektiv und dmit bijektiv. (b) Ist uch h : B A eine Funktion mit f h = id B und h f = id A, so folgt wegen der Assozitivität der Hintereinnderusführung (Lemm 0.20): h = h id B = h (f g) = (h f) g = id A g = g. 0.25. Definition. Sei f : A B eine bijektive Abbildung. Die gemäß Stz 10.14 eindeutig bestimmte Abbildung g : B A mit f g = id B und g f = id A heißt die Umkehrbbildung (uch inverse Abbildung, Umkehrfunktion oder inverse Funktion). Mn schreibt uch f 1 für g.

2. VERSCHIEDENE ALPHABETE 11 2. Verschiedene Alphbete 2.1. Die deutsche Schreibschrift (Sütterlin). Großbuchstben Kleinbuchstben A A B B b b C C c c D D d d E E e e F F f f G G g g H H h h I I i i J J j j K K k k L L l l M M m m N N n n O O o o P P p p Q Q q q R R r r S S s T T t t U U u u V V v v W W w w X X x x Y Y y y Z Z z z

12 0. ZUR VORBEREITUNG 2.2. Ds griechische Alphbet. Nme Großbuchstbe Kleinbuchstbe Alph A α Bet B β Gmm Γ γ Delt δ Epsilon E ɛ, ε Zet Z ζ Et H η Thet Θ θ, ϑ Iot I ι Kpp K κ, κ Lmbd Λ λ My M µ Ny N ν Xi Ξ ξ Omikron O o Pi Π π, ϖ Rho P ρ, ϱ Sigm Σ σ, ς Tu T τ Ypsilon Υ υ Phi Φ φ, ϕ Chi X χ Psi Ψ ψ Omeg Ω ω 2.3. Hebräisches Alphbet. Aus diesem Alphbet werden wir nur den den ersten Buchstben Aleph: ℵ verwenden.

KAPITEL 1 Der Körper R der reellen Zhlen Der Körper der reellen Zhlen ist uns ntürlich schon von der Schule her beknnt und vertrut. Wir wollen ihn hier nochmls (in knpper Form) xiomtisch einführen. Wir fordern die Existenz eines Körpers R, der den (später in Definition 1.5 ngegebenen) Anordnungsxiomen (P1)-(P3) und dem Supremumsxiom (S) (siehe weiter unten in 1.14) genügt. 1. Körper Wir beginnen zunächst mit der Definition eines Körpers: 1.1. Definition. Ein Menge K heißt Körper, flls sie mit zwei Abbildungen + : K K K (x, y) x + y, (Addition gennnt) und : K K K (x, y) xy, (Multipliktion gennnt) versehen ist, so dß die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (KA1) Es gilt ds Assozitivgesetz der Addition: x, y, z K : (x + y) + z = x + (y + z). (KA2) Existenz eines neutrlen Elementes der Addition: Es gibt ein Element 0 K mit x + 0 = x für lle x K. (KA3) Existenz von bezüglich der Addition inversen Elementen: x K y K : x + y = 0. (KA4) Es gilt ds Kommuttivgesetz der Addition: x, y K : x + y = y + x. (KM1) Es gilt ds Assozitivgesetz der Multipliktion: x, y, z K : (xy)z = x(yz). (KM2) Existenz eines neutrlen Elementes der Multipliktion: Es gibt ein Element 1 K := K \ {0} mit 1 x = x für lle x K. (KM3) Existenz von bezüglich der Multipliktion inversen Elementen in K : x K y K : xy = 1. (KM4) Es gilt ds Kommuttivgesetz der Multipliktion: (KD) Es gilt ds erste Distributivgesetz: x, y K : xy = yx. x, y, z K : (x + y)z = xz + yz. 1.2. Lemm. Sei (K, +, ) ein Körper. () Ds neutrle Element 0 der Addition ist eindeutig bestimmt. Wir nennen es ds Nullelement von K oder die Null von K. 13

14 1. DER KÖRPER R DER REELLEN ZAHLEN (b) Ds neutrle Element 1 der Multipliktion ist eindeutig bestimmt. Wir nennen es ds Einselement von K oder die Eins von K. (c) Sei x K. Ds nch (KA3) existierende zu x bezüglich der Addition inverse Element ist eindeutig bestimmt. Wir bezeichnen es mit x. Es ist ( x) = x. Sttt y + ( x) schreiben wir uch y x für lle x, y K. (d) Sei x K. Ds nch (KM3) existierende zu x bezüglich der Multipliktion inverse Element ist eindeutig bestimmt. Wir bezeichnen es mit x 1 oder 1. Es ist x (x 1 ) 1 = x. Für lle y K schreiben wir uch y sttt y 1. x x Beweis. () Sei uch 0 K mit x + 0 = x für lle x K. Speziell mit x := 0 folgt unter Verwendung von (KA4): 0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0. (b) Sei uch 1 K mit 1 x = x für lle x K. Speziell mit x := 1 folgt unter Verwendung von (KM4): 1 = 1 1 = 1 1 = 1. (c) Seien u, v K mit x + u = 0 = x + v. Unter Verwendung von (KA1), (KA2) und (KA4) folgt: u = u + 0 = u + (x + v) = (u + x) + v = (x + u) + v = 0 + v = v + 0 = v. (d) Seien u, v K mit xu = 1 = xv. Unter Verwendung von (KM1), (KM2) und (KM4) folgt: u = 1 u = (xv)u = (vx)u = v(xu) = v 1 = 1 v = v. Im folgenden Lemm fssen wir einige weitere Rechenregeln zusmmen: 1.3. Lemm. Sei (K, +, ) ein Körper. () Für lle u, v K ht die Gleichung u + x = v genu eine Lösung x K. Es ist x = v u. (b) Für lle u K, v K ht die Gleichung ux = v genu eine Lösung x K. Es ist x = v u. (c) Es gilt ds zweite Distributivgesetz: x, y, z K : x(y + z) = xy + xz. (d) x K : x 0 = 0 x = 0. (e) K ist nullteilerfrei, d.h.: Sind u, v K mit uv = 0, so ist schon u = 0 oder v = 0. (f) x K : ( 1) x = x. (g) Ist u K mit u 2 := u u = u, so ist schon u = 0 oder u = 1. (h) Für lle x K ist uch x 1 K. Beweis. () Dß v u eine Lösung der Gleichung u+x = v ist rechnet mn mit Hilfe von (KA1) (KA4) unmittelbr nch. Ist x K mit u + x = v, so folgt (ebenflls unter Verwendung von (KA1) (KA4)): x = 0+x = ( u+u)+x = u+(u+x) = u+v = v u. (b) ist die multipliktive Vrinte von () und wird nlog bewiesen (unter Verwendung von (KM1) (KM4)). (c) folgt mit Hilfe von (KM4) us (KD). (d) Nch (KA2) ist 0 + 0 = 0 und somit nch (KD): 0 x = 0 x + 0 x. Nch () ist lso 0 x = 0 x 0 x = 0. (e) Seien u, v K mit uv = 0. Ist u = 0, so ist nichts zu zeigen. Ist u 0, so folgt nch (b): Es gibt genu ein x K mit ux = 0 und es ist x = 1 0 = 0 (wegen (d)). u (f) Für lle x K gilt unter Verwendung von (KA2), (KA4), (KD) und (d): x + ( 1) x = 1 x + ( 1) x = (1 1)x = 0 x = 0 und somit nch Lemm 1.2: ( 1) x = x. (g) Ist p = 0, so ist nch (d): p 2 = 0 0 = 0. ist p 0, so gibt es nch (b) genu ein x K mit px = p und es ist x = 1 p = 1. Ist lso p p2 = p und p 0, so muß p = 1 gelten. (h) Sei x K beliebig. Wegen 0 x = 0 (nch (d)) und 0 1 nch (KM2) muß x 1 0 gelten.

2. ANGEORDNETE KÖRPER 15 Wegen (KA2) und (KM2) besitzt ein Körper mindestens zwei Elemente (nämlich 0 und 1). Ds folgende Beispiel zeigt, dß es ttsächlich Körper mit nur zwei Elementen gibt. 1.4. Beispiel. Sei F 2 := {0, 1} eine Menge mit zwei Elementen (0 1). Wir definieren uf F 2 eine Addition und eine Multipliktion durch 0 + 0 := 0, 0 + 1 := 1, 1 + 0 := 1, 1 + 1 := 0, 0 0 := 0, 0 1 := 0, 1 0 := 0, 1 1 := 1. Dnn sind (wie mn durch Inspektion, lso Nchrechnen ller möglichen Fälle sieht) die Körpergesetze (KA1) (KA4), (KM1) (KM4) und (KD) erfüllt. (F 2, +, ) ist lso ein Körper. 2. Angeordnete Körper Ds Beispiel 1.4 zeigt, dß wir weitere Eigenschften benötigen, um den von der Schule her vertruten Körper der reellen Zhlen zu chrkterisieren. 1.5. Definition. Ein Körper (K, +, ) heißt ngeordnet, flls es in ihm eine Teilmenge P gibt, die den folgenden Bedingungen (P1) (P3) genügt: (P1) Für jedes x K gilt genu eine der drei folgenden Aussgen: x = 0, x P, x P Trichtonomie (P2) P ist bgeschlossen bezüglich der Addition, d.h. für lle u, v P gilt u + v P. (P3) P ist bgeschlossen bezüglich der Multipliktion, d.h. für lle u, v P gilt u v P. Sei (K, +, ) ein ngeordneter Körper und P K mit (P1) (P3). Wir nennen dnn P die Menge der positiven Zhlen in K. x K heißt positiv, flls x P und negtiv, flls x P. Sind u, v K, so sgen wir u ist kleiner ls v (und schreiben u < v), flls v u P sowie u ist größer ls v (geschrieben u > v), flls u v P. Ferner definieren wir für u, v K: u v : (u > v oder u = v) u v : (u < v oder u = v) u ist größer oder gleich v u ist kleiner oder gleich v Die Rechenregeln in dem folgenden Lemm rechnet mn leicht nch. Wir werden sie im folgenden lufend verwenden ohne jeweils im einzelnen druf hinzuweisen. 1.6. Lemm. Sei (K, +, ) ein ngeordneter Körper und P K die Menge der positiven Zhlen von K. Für lle, b, c, d K gilt: () > 0 P, < 0 P. (b) Es gilt genu eine der drei Beziehungen: = 0, > 0, < 0. (c) Es gelten die folgenden Trnsitivitätsussgen: (i) ( < b und b < c) = < c. (ii) ( < b und b c) = < c. (iii) ( b und b < c) = < c. (iv) ( b und b c) = c. (d) ( < b und c d) = + c < b + d. ( b und c d) = + c b + d. (e) ( < b und c > 0) = c < bc. ( b und c 0) = c bc.

16 1. DER KÖRPER R DER REELLEN ZAHLEN (f) ( < b und c < 0) = c > bc. ( b und c 0) = c bc. (g) Ist 0, so ist 2 = > 0. Insbesondere ist 1 = 1 2 > 0. (h) Kürzungsregeln: ( + c b und c 0) = b, ( + c < b und c 0) = < b, (0 c b und c 1 = b, (0 c < b und c 1 = < b. (i) Regeln für die Inversenbildung: b = b, < b = > b, 0 < b = 0 < b 1 1, 0 < < b = 0 < b 1 < 1. 1.7. Definition. Sei (K, +, ) ein ngeordneter Körper. Für x K heißt die durch { x flls x 0 x := x flls x < 0 definierte Zhl der Absolutbetrg (oder uch kurz der Betrg) von x. Wir fssen einige Eigenschften des Absolutbetrgs im folgenden Lemm zusmmen: 1.8. Lemm. Sei (K, +, ) ein ngeordneter Körper. () x K : x 0. Es ist x = 0 genu dnn, wenn x = 0. (b) Für lle u, v K gilt: u v v u v. (c) x K : x x x. (d) Für lle u, v K gilt: uv = u v. Insbesondere gilt (mit v := 1): u = u für lle u K. (e) Für lle u, v K gilt: (i) u + v u + v Dreiecksungleichung. (ii) u v u v. Beweis. () folgt unmittelbr us der Definition des Absolutbetrgs. (b) Ist u 0, so ist 0 u = u und die behuptete Äquivlenz ist offensichtlich. Ist u < 0, so ist 0 < u = u. Ist lso u v, so ist v > 0 und u v, lso v u < 0 < v. Gilt umgekehrt v u v, so folgt us der linken Ungleichung mit Lemm 1.6 (i): u = u v. (c) folgt mit v := u us (b). (d) Ist u 0 und v 0 (bzw. u 0 und v 0), so folgt nch Lemm 1.6 (e) (bzw. (f)): uv 0 und nch der Definition des Absolutbetrgs uv = uv = u v (bzw. uv = ( u)( v) = u v ). Ist u 0 und v 0 (bzw. u 0 und v 0), so folgt nch Lemm 1.6 (f): Es ist uv 0 und somit uv = uv = u( v) = u v (bzw. uv = uv = ( u)v = u v ). (e) Wegen u u u und v u v (nch (c)) folgt die Dreiecksungleichung durch Anwendung von Lemm 1.6 (d). Zu (ii): Nch der Dreiecksungleichung gilt: u = u v + v u v + v und dmit u v u v. Wegen v = v u + u v u + u folgt mit (c) uch u v = v u u v. Mit (b) folgt ls die behuptete Ungleichung. 3. Obere Schrnken und ds Supremumsxiom 1.9. Definition. Sei (K, +, ) ein ngeordneter Körper und = A K. A heißt nch oben (bzw. nch unten) beschränkt, flls es ein b K gibt, so dß für lle A gilt: b (bzw. b ). b heißt dnn eine obere (bzw. untere) Schrnke für A.

3. OBERE SCHRANKEN UND DAS SUPREMUMSAXIOM 17 1.10. Beispiel. Sei (K, +, ) ein ngeordneter Körper und A := {x K ; x 2 2 := 1 + 1}. Dnn ist A, denn wegen 1 = 1 2 < 1 + 1 = 2 (nch Lemm 1.6 (g) und (d)) ist 1 A. Für lle u K mit u > 2 gilt 2 < 2u < u 2 und dher u / A. Also gilt für lle A: Es ist 2. A ist lso nch oben beschränkt und 2 ist eine obere Schrnke für A. 1.11. Lemm. Sei (K, +, ) ein ngeordneter Körper und = A K nch oben beschränkt. Dnn gilt: () Ist x eine obere Schrnke für A und ist y x, so ist uch y eine obere Schrnke für A. (b) Die Menge S := {x K ; x ist obere Schrnke für A} ist nch unten beschränkt. In S gibt es höchstens ein kleinstes Element. Beweis. () Ist x obere Schrnke für A und y x, so gilt für lle A: x und x y lso uch y, d.h. y ist obere Schrnke für A. (b) Wegen A gibt es wenigstens ein A. Für lle oberen Schrnken x von A ist x. Die Menge S ist lso nch unten beschränkt und ist eine untere Schrnke für S. Sind u, v S mit u x und v x für lle x S, so folgt insbesondere u v und v u, d.h. u = v. 1.12. Bemerkungen. () Lemm 1.11 mcht keine Aussge über die Existenz einer kleinsten oberen Schrnke für A. (b) Eine zu Lemm 1.11 nloge Aussge gilt ntürlich uch für nch unten beschränkte Mengen und untere Schrnken. (c) Die Menge P := {x K ; x > 0} der positiven Zhlen ist nch unten durch 0 beschränkt. P besitzt kein kleinstes Element, denn für lle x P gilt 0 < x 2 < x. 1.13. Definition. Sei = A eine nch oben beschränkte Teilmenge eines ngeordneten Körpers K. Besitzt die Menge S der oberen Schrnken von A ein kleinstes Element y, so nennt mn y die kleinste obere Schrnke oder ds Supremum von A und schreibt y = sup A. Existiert y = sup A und ist y A, so dß lso y ds größte Element von A ist, so nennt mn y ds Mximum von A und schreibt y = mx A. Anlog definiert mn: Ist A eine nch unten beschränkte Teilmenge von K und besitzt die Menge der unteren Schrnken von A ein größtes Element y, so nennt mn dieses die größte untere Schrnke oder ds Infimum von A und schreibt y = inf A. Existiert y = inf A und gilt y A so nennt mn y ds Minimum von A und schreibt y = min A. Wir fordern nun: 1.14. Axiom (Supremumsxiom). Es gibt einen ngeordneten Körper R mit der Eigenschft (S) Für jede nicht leere nch oben beschränkte Menge A R existiert ds Supremum sup A in R. Wir nennen R den Körper der reellen Zhlen. Mn knn zeigen, dß es im wesentlichen nur einen ngeordneten Körper gibt, der dem Supremumsxiom genügt. Wir definieren zur Abkürzung: R + := {x R ; x 0} und R + := {x R ; x > 0}.

18 1. DER KÖRPER R DER REELLEN ZAHLEN 1.15. Folgerung. Für jede nch unten beschränkte nicht leere Menge A R existiert ds Infimum inf A von A in R. Beweis. Die Menge B := {b R ; b A} ist nicht leer, d A nicht leer ist. Ist x untere Schrnke für A (wenigstens eine solche existiert nch Vorussetzung), so gilt für lle A: x lso uch x. Die Menge B ist lso nch oben durch x beschränkt. Nch dem Supremumsxiom existiert lso y := sup B in R. Wir zeigen: y = inf A. Wegen y = sup B gilt für lle A: y lso y. Also ist y eine untere Schrnke für A. Ist x R eine beliebige untere Schrnke von A, so ist x eine obere Schrnke für B und es folgt nch Definition des Supremums: y = sup B x, lso uch x y. Dies zeigt, dß y die größte untere Schrnke für A ist. Die folgende Hilfsussge ist häufig nützlich für die Berechnung von Suprem bzw. Infim konkreter Mengen. 1.16. Lemm. Sei = A R nch oben (bzw. nch unten) beschränkt. Für y R gilt y = sup A (bzw. y = inf A) genu dnn, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: () y ist obere (bzw. untere) Schrnke von A. (b) ε > 0 A : > y ε (bzw. < y + ε). Beweis. (Nur für Suprem) = : Sei lso y = sup A. Dnn ist y insbesondere obere Schrnke und () ist erfüllt. Sei nun ε > 0 beliebig. D y die kleinste obere Schrnke von A ist, knn y ε keine obere Schrnke für A sein. Es gibt lso ein A mit > y ε. = : Seien nun die Bedingungen () und (b) für ein gegebenes y R erfüllt. Ist x < y, so ist ε := y x > 0 und nch Vorussetzung gibt es ein A mit > y ε = x. x knn lso keine obere Schrnke für A sein. Somit ist y die kleinste obere Schrnke für A. Gelegentlich ist es nützlich, R noch um zwei uneigentliche Elemente + und zu erweitern. Wir nennen ˆR := R {, } die erweiterte Zhlengerde und definieren die folgenden Rechenvorschriften: () R : < <. (b) Für = ˆR sei + := + :=. (c) Für = ˆR sei := + :=. (d) Für 0 < ˆR sei := := und ( ) := ( ) :=. (e) Für 0 R sei := := 0 Mit dieser Erweiterung können wir Infimum und Supremum für lle Teilmengen A von R definieren. Wir definieren für A R: kleinste obere Schrnke von A flls A nch oben beschränkt ist sup A := flls A = + flls A und nicht nch oben beschränkt. und entsprechend: größte untere Schrnke von A flls A nch unten beschränkt ist inf A := + flls A = flls A und nicht nch unten beschränkt.

3. OBERE SCHRANKEN UND DAS SUPREMUMSAXIOM 19 Für A, B R und λ R führen wir ferner noch folgende Bezeichnungen ein: A + B :={ + b ; A, b B} A B :={ b ; A, b B} AB :={b ; A, b B} λa :={λ ; A} λ + A :={λ + ; A} λ A :={λ ; A}. Offensichtlich ht mn λa = {λ}a und λ ± A = {λ} ± A. Im folgenden Lemm fssen wir einige Rechenregeln für Infim und Suprem beliebiger nicht leerer Teilmengen von R zusmmen. 1.17. Lemm. Für nicht leere Teilmengen A, B von R gilt: () 0 > λ R: inf(λa) = λ sup A und sup(λa) = λ inf A. (b) 0 < λ R: sup(λa) = λ sup A und inf(λa) = λ inf A. (c) A B = (sup A sup B und inf A inf B). (d) sup(a B) = mx{sup A, sup B} und inf(a B) = min{inf A, inf B}. (e) sup(a + B) = sup A + sup B und inf(a + B) = inf A + inf B. (f) sup(a B) = sup A inf B und inf(a B) = inf A sup B. (g) Ist A P = {x R ; x > 0}, so ist A genu dnn nch oben beschränkt, wenn gilt inf{ 1 ; A} > 0. Es ist dnn sup A = ( inf{ 1 ; A} ) 1. Beweis. () Ist sup A =, so ist A nicht nch oben beschränkt und es gibt zu jedem r R ein A mit > r/λ, lso uch mit λ < r. Dies zeigt, dß λa nicht nch unten beschränkt ist und dmit inf λa = = λ = λ sup A in diesem Fll erfüllt ist. Sei nun A nch oben beschränkt, so dß lso sup A in R existiert. Für lle A folgt sup A und dmit uch λ y := λ sup A. y ist lso eine untere Schrnk für λa. Ist x R mit x > y so ist x < y = sup A. D sup A die kleinste obere Schrnke für A λ λ ist, gibt es ein A mit > x. Es folgt λ < x. x ist somit keine obere Schrnke für λ λa. Also ist y = λ sup A die größte untere Schrnke für λa und die linke Gleichung in () ist bewiesen. Indem mn die linke Gleichung nwendet uf A := λa sttt A und λ 1 sttt λ erhält mn uch die rechte Gleichung. Insbesondere gilt sup( A) = inf A und inf( A) = sup A. (b) Nch () (ngewendet mit λ sttt λ) gilt für λ > 0: sup λa = sup( λ)( A) = λ inf( A) = λ sup A. Auch die zweite Gleichung in (b) erhält mn uf diese Weise mit Hilfe von (). (c) Sei A B. Ist B nicht nch oben beschränkt, lso sup B =, so gilt trivilerweise sup A sup B. Ist B nch oben beschränkt, so folgt für lle A uch sup B (wegen A B). Also ist sup B eine obere Schrnke für A und dher sup A sup B. Die zweite Ungleichung erhält mn mit Hilfe von (), indem mn die linke Ungleichung uf A und B sttt uf A und B nwendet. (d) Nch (c) ist sup(a B) eine obere Schrnke für A und für B und dher sup(a B) mx{sup A, sup B}. Ist x A B beliebig, so folgt x A (und dher sup B) oder x B (und dmit x sup B), so dß mx{sup A, sup B} eine obere Schrnke für A B ist. Dher gilt uch sup(a B) mx{sup A, sup B} und es folgt die linke Gleichung. Die rechte beweist mn nlog oder erhält sie mit Hilfe von () us der linken (ngewendet uf A sttt A).

20 1. DER KÖRPER R DER REELLEN ZAHLEN (e), (f): Für lle A, b B gilt sup A, b sup B und dmit uch + b sup A + sup B. Sind A und B nch oben beschränkt, so ist lso uch A + B nch oben beschränkt und sup(a + B) sup A + sup B. Zu beliebigem ε > 0 gibt es in diesem Fll nch Lemm 1.16 Elemente A, b B mit > sup A ε/2, b > sup B ε/2, lso uch + b > sup A + sup B + ε. Mit Lemm 1.16 folgt sup(a + B) = sup A + sup B. Ist A oder B unbeschränkt, z.b. sup A =, so gibt es zu jedem r R und jedem b B ein A mit > r b, lso mit + b > r. Dher ist uch A + B unbeschränkt. Die übrigen Gleichungen us (e) und (f) erhält mn leicht unter Verwendung von () us der bereits bewiesenen ersten Gleichung in (e). (g) ls Übung. 4. Ntürliche Zhlen und vollständige Induktion Wir führen nun die Menge N der ntürlichen Zhlen ls Teilmenge von R ein. 1.18. Stz. Es gibt genu eine Teilmenge N von R mit den folgenden drei Eigenschften. () 1 N. (b) n N : n + 1 N. (c) Für jede Teilmenge B von N, die () und (b) erfüllt gilt schon B = N. Beweis. Wir zeigen zunächst die Existenz einer Menge N mit den Eigenschften (), (b) und (c). Hierzu definieren wir Wegen R M ist M. Wir setzen nun M := {A R ; A erfüllt () und (b)}. N := A M und zeigen, dß N die Bedingungen (), (b) und (c) erfüllt. Wegen 1 A für lle A M ist 1 A M A = N. Ist n N so folgt n A und dmit uch n + 1 A für lle A M, d diese Mengen (b) erfüllen. Also ist uch n + 1 A M A = N. Ist schließlich B eine Teilmenge von N, welche () und (b) erfüllt, so folgt B M und dmit uch N = A M A B. Dmit ist gezeigt, dß N die Forderungen () (c) erfüllt. Ist N R eine weitere Menge, die den Bedingungen () (c) genügt, so folgt insbesondere N M und dher (d N (c) erfüllt) uch N N. D N () und (b) erfüllt und (c) für N gilt, erhlten wir hierus N N und somit insgesmt N = N. A 1.19. Stz (Definition durch vollständige Induktion). Für lle n N seien Begriffe B(n) gegeben, so dß gilt: () B(1) ist definiert, d.h. wir wissen, ws B(1) bedeutet. (b) Ist n N so, dß B(n) definiert ist, so ist uch B(n + 1) definiert. Dnn ist B(n) für lle n N definiert. Beweis. Es ist A := {n N ; B(n) ist definiert} eine Teilmenge von N, die den Bedingungen () und (b) us Stz 1.18 genügt. D N die Bedingung 1.18 (c) erfüllt, folgt A = N.

4. NATÜRLICHE ZAHLEN UND VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 21 1.20. Beispiele (für Definitionen durch vollständige Induktion). () Wir wollen für lle n N den Begriff B(n) = n! (lies n Fkultät) definieren. Wir setzen hierzu 1! := 1. Ist n N, so dß n! definiert ist, so setzen wir (n + 1)! := n! (n + 1). Gemäß Stz 1.19 ist n! dmit für lle n N definiert. Mn definiert noch 0! := 1. (b) Potenzen: Sei R. Wir wollen n für lle n N definieren. Wir definieren zunächst 1 :=. Ist nun n N so, dß n definiert ist, so setzen wir n+1 := n. Mn definiert noch 0 := 1 für lle R = {x R ; x 0} (Mnchml vereinbrt mn dies uch im Fll = 0). (c) Summenzeichen: B(n) := n k=1 k soll für lle 1,..., n R definiert werden. Definition von B(1): Für lle 1 R setzen wir 1 k=1 k := 1. Sei nun n N, so dß B(n) definiert ist, d.h. dß für lle 1,..., n R der Ausdruck n k=1 k definiert ist. Sind nun Elemente k R für 1 k n + 1 gegeben, so definieren wir ( n+1 n ) k := k + n+1. k=1 k=1 Dmit ist B(n + 1) definiert. Nch Stz 1.19 ist B(n) nun für lle n N definiert. Für lle n N 0 := N {0} und lle 0,..., n R definieren wir noch n 0 flls n = 0 k := n 0 + k für lle n N. k=0 k=1 (d) Anlog können wir ds Produktzeichen einführen. Für n = 1 und lle 1 R setzen wir 1 k=1 k := 1. Ist n N, so dß n k=1 k für lle k R, 1 k n, definiert ist und sind beliebige k R für 1 k n + 1 gegeben, so definieren wir ( n+1 n ) k := k n+1. k=1 k=1 Nch Stz 1.19 ist n k=1 k somit für lle n N, 1,..., n R, definiert. Für lle n N 0 := N {0} und lle 0,..., n R definieren wir noch n 0 flls n = 0 k := n 0 k für lle n N. k=0 k=1 1.21. Stz (Beweis durch vollständige Induktion). Für lle n N sei eine logische Aussge A(n) gegeben, die whr oder flsch sein knn. Es gelte: () Induktionsnfng: A(1) ist whr. (b) Induktionsschluß: Für lle n N gilt A(n) = A(n + 1). Dnn ist A(n) für lle n N whr. Beweis. Es ist M := {n N ; A(n) ist whr} eine Teilmenge von N, die den Bedingungen () und (b) us Stz 1.18 genügt. D N die Bedingung 1.18 (c) erfüllt, folgt M = N. 1.22. Beispiele (für Beweise durch vollständige Induktion). () Für lle n N gilt: n n(n + 1) A(n) : k =. 2 k=1

22 1. DER KÖRPER R DER REELLEN ZAHLEN Beweis: Induktionsnfng: Die Aussge A(1) ist offensichtlich whr. Induktionsschluß: Für lle n N gilt A(n) = A(n + 1): Sei lso n N, so dß A(n) whr ist (Induktionsvorussetzung). Nch Definition des Summenzeichens und wegen der Induktionsvorussetzung gilt dnn: n+1 k = k=1 n k + (n + 1) = k=1 n(n + 1) 2 + (n + 1) = Also gilt A(n + 1). Nch Stz 1.21 gilt A(n) für lle n N. (b) Für lle n N gilt: n ( ) 2 n(n + 1) A(n) : k 3 =. 2 k=1 (n + 1)(n + 2) 2 Beweis: Induktionsnfng: Die Aussge A(1) ist offensichtlich whr. Induktionsschluß: Für lle n N gilt A(n) = A(n + 1): Sei lso n N, so dß A(n) whr ist. Nch Definition des Summenzeichens und wegen der Induktionsvorussetzung gilt dnn: n+1 n ( ) 2 n(n + 1) k 3 = k 3 + (n + 1) 3 = + (n + 1) 3 = 2 k=1 k=1 ( ) 2 (n + 1)(n + 2) =. 2 (n + 1)2 4. ( n 2 + 4n + 4 ) = Also gilt A(n + 1). Nch Stz 1.21 gilt A(n) für lle n N. (c) Endliche geometrische Reihe: Sei K ein beliebiger Körper und 1 q K. Dnn gilt mit der Vereinbrung q 0 := 1 für lle n N die Aussge k=0 A(n) : n k=0 q k = 1 qn+1 1 q Beweis: Induktionsnfng: Die Aussge A(1) ist richtig, denn 1 q k (1 q)(1 + q) = 1 + q = = 1 qn+1. 1 q 1 q Induktionsschluß: Für lle n N gilt A(n) = A(n + 1): Sei lso n N, so dß A(n) whr ist. Nch Definition des Summenzeichens und wegen der Induktionsvorussetzung gilt dnn: n+1 q k = k=0 n k=0 q k + q n+1 = 1 qn+1 1 q. + q n+1 = 1 qn+2 1 q Also folgt A(n + 1). Nch Stz 1.21 gilt A(n) für lle n N. (d) Bernoullische Ungleichung 1 : Sei p eine reelle Zhl mit p 1. Dnn gilt für lle n N die Ungleichung: A(n) : 1 + np (1 + p) n. Beweis: Induktionsnfng: Die Aussge A(1) ist richtig, denn für n = 1 ist 1 + np = 1 + p = (1 + p) n. Induktionsschluß: Für lle n N gilt A(n) = A(n + 1): Sei lso n N, so dß A(n) whr ist. Wegen p 1 ist 1 + p 0 und dher nch Induktionsvorussetzung und Lemm 1.6: 1 + (n + 1)p 1 + (n + 1)p + np 2 = (1 + p)(1 + np) (1 + p)(1 + p) n = (1 + p) n+1. 1 Jcob Bernoulli (22.12.1654 16.8.1705).

4. NATÜRLICHE ZAHLEN UND VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 23 (e) Für lle x, y R mit 0 x < y und für lle n N gilt: A(n) : 0 x n < y n. Beweis: Induktionsnfng: Die Aussge A(1) gilt nch Vorussetzung. Induktionsschluß: Ist A(n) erfüllt für ein n N, so folgt mit Hilfe von Lemm 1.6 uch die Gültigkeit von A(n + 1). Auch die folgenden Aussgen zeigt mn leicht durch vollständige Induktion. 1.23. Lemm. () Für lle n N ist n 1. Insbesondere ist 1 = min N. (b) Für lle n, m N ist n + m, n m N. (c) Für lle u, v R und lle n N gilt: (uv) n = u n v n. (d) Für lle u R und lle m, n N 0 gilt (mit der Vereinbrung u 0 := 1): u n+m = u n u m. (e) Seien, b, c R mit 0 < b und 0 < c 1 d. Dnn gilt für lle n N: 0 < n b n und 0 < c n 1 d n. Mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung zeigen wir nun: 1.24. Folgerung. Für lle n N und lle p R mit 1 < p < 1 n gilt (1 + p) n 1 1 np. Beweis. Aus der Vorussetzung und Lemm 1.23 () folgt 1 1 < p < 1. Also n ist 1 p > 0 und 0 < p < 1, somit uch 0 < 1 p 2 = (1 p)(1 + p) < 1. Hierus folgt 0 < 1 + p < (1 p) 1. Mit 1.22 (e) ergibt sich (1.1) 0 < (1 + p) n 1 < (1 p). n Wegen 1 < p können wir die Bernoulli Ungleichung uf p nwenden und erhlten: Hierus folgt mit (1.1) und dmit die Behuptung. (1 + p) n < 1 np (1 p) n. 1 (1 p) 1 n 1 np 1.25. Definition. () Z := {x R ; x N 0 oder x N} heißt die Menge der gnzen Zhlen. (b) Q := { p ; p Z, q N} heißt die Menge der rtionlen Zhlen. Die Elemente us q R \ Q heißen irrtionle Zhlen. Der Beweis des folgenden Stzes bleibt dem Leser ls Übung überlssen. 1.26. Stz. () Z ist bezüglich der Addition eine kommuttive Gruppe, d.h. (Z, +) erfüllt die Forderungen (KA1) (KA4) us Definition 1.1. (b) Q ist versehen mit den von R induzierten Opertionen der Addition und der Multipliktion ein ngeordneter Körper, wobei P Q := {x Q ; x > 0} die Menge der positiven rtionlen Zhlen ist. Häufig ist die folgende Vrinte zu Stz 1.21 nützlich: