Lehrvernstltung Mthemtik Universitätslehrgng zur Vorbereitung uf die Studienberechtigung WS 0/ LV-Nr. 80.008 HS A Termine: Di. 8:00-:00 Oktober: 9., 6.,., 0. November: 6.,., 0.,. Dezember:.. 8. Jänner: 8.,.,., 9. Die Prüfungsvorbereitung für die Fchprüfung us Mthemtik erfolgt etern oder durch Teilnhme n dem n der Universität ngebotenen Lehrgng ( Wst. für M, M, M jeweils im WS und Wst. im SS, für M und M noch Wst. im SS) Die Teilnhme m Lehrgng ist kostenpflichtig. Die Fchprüfung besteht us einem schriftlichen Teil (m. 80 Min.) und einem mündlichen Teil (c. 0 Min.). Prüfungstermine sind jeweils Ende Juni, Anfng Oktober und Anfng Februr. Prüfungsnforderungen MATHEMATIK,, Mthemtik : Rechenregeln, elementre Algebr; Gleichungen und Ungleichungen; linere Gleichungsssteme; Vektoren, Mtrizen; elementre Funktionen und Anwendungen; Grundbegriffe der Differentil- und Integrlrechnung (nur Potenz- und Polnomfunktionen); Sttistik, Whrscheinlichkeitsrechnung.
Mthemtik : Mthemtik und linere Ungleichungsssteme; Winkelfunktionen, Trigonometrie. Mthemtik : Mthemtik, und komplee Zhlen; Vektorrechnung (Anltische Geometrie); Erweiterung der Differentil- und Integrlrechnung. Prüfungsmethode: schriftlich und mündlich Die Prüfung besteht us einem schriftlichen Teil und einem mündlichen Teil. Im schriftlichen Teil der Prüfung sind Aufgben zu verschiedenen Themen zu lösen. Im mündlichen Teil wird überwiegend die Kenntnis von Begriffen und deren Anwendungsbereichen überprüft. Erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner der TI-0er-Fmilie oder ähnliche Geräte nderer Hersteller Litertur: Grundsätzlich sind lle ktuellen Lehrbücher für Oberstufenformen geeignet. Im Lehrgng wird der Lehrstoff nhnd der vorliegenden Aufgbensmmlung behndelt. Zu empfehlen ist u.. Der große Mthemtik- Überblick von Bernhrd-Kopp. (ISBN: -98008) Achtung: Am. Termin (9. Oktober 0) erfolgt nch der Vorbesprechung sofort der Einstieg in den Lehrgng. Dzu werden die Seiten - dieser Aufgbensmmlung benötigt. Weitere Infos zur Studienberechtigung: http://www.uni-klu.c.t/hlg/sber/
A. Zhlbereiche. Ntürliche Zhlen Zum Zählen von Gegenständen erfunden. N = {0,,,,...} = Menge der ntürlichen Zhlen N* = {,,,...} = Menge der ntürlichen Zhlen ohne 0 Primzhlen P = {,,,,,,, 9,, 9...} = Zhlen, die nur durch sich oder teilbr sind Gibt Anzhlen, Rngplätze oder Messergebnisse n. Können m Zhlenstrhl drgestellt werden.. Gnze Zhlen Zur Angbe von Temperturen (-8 C), Kontoständen, Meereshöhen, Z = {..., -, -, -, 0,,,,...} = Menge der gnzen Zhlen Jede ntürliche Zhl ist uch eine gnze Zhl. Es gilt lso : N Z Zhlenstrhl!!!. Rtionle Zhlen (Bruchzhlen) Um Anteile, Bruchteile nzugeben (Hälfte, ¾, ) Definition: h= ä Q = { = p/q mit p Z und q N*} = Menge der rtionlen Zhlen Achtung: Nenner drf nie Null sein! 9 Jede gnze Zhl knn ls Bruch ngeschrieben werden:,, Es gilt lso Z Q Bruchdrstellung Dezimldrstellung Dezimldrstellung: Endlich oder unendlich; periodisch oder nicht periodisch Endliche Dezimlzhlen und periodische Dezimlzhlen lssen sich immer ls Bruch nschreiben! Zhlenstrhl!!!. Irrtionle Zhlen Sind Zhlen, die sich nicht ls Bruch nschreiben lssen: Unendliche, nicht periodische Zhlen! Bsp.: π, e,, SATZ: Jede Zhl,. Zhlenstrhl!!!
. Reelle Zhlen Die rtionlen Zhlen und die irrtionlen Zhlen zusmmen ergeben die reellen Zhlen R. R= Q I Bsp.: Runden Näherungsweises Bestimmen von Zhlen Ist die Zhl rechts von der Rundungsstelle kleiner ls wird bgerundet, sonst ufgerundet. 6. Intervll Bereich von reellen Zhlen Endliche Intervlle: Unendliche Intervlle: [; [ = { R < } ]; [ = { R < < } ]- ; b] = { R - b} ]- ; b] = { R - b}
B. Grundrechnungsrten, Rechengesetze, Teilbrkeit, kgv, Rechnen mit Brüchen Grundrechnungsrten Grundrechnungsrt Glieder der Rechnung Ergebnis Addition Summnd Summnd Summe Subtrktion Minuend Subtrhend Differenz Multipliktion Fktor. Fktor Produkt Division Dividend : Divisor Quotient. Rechenstufe (höchste): Potenzieren, Wurzelziehen. Rechenstufe: Multipliktion, Division. Rechenstufe: Addition, Subtrktion Höhere Rechenstufe vor niedrigerer Rechenstufe! (z.b. Punkt- vor Strichrechnung) Rechengesetze Kommuttivgesetz: b = b Assozitivgesetz: (b c) = ( b) c Distributivgesetz: (b c) = b c Klmmerregeln: () = -() = - (-) = - -(-) = Vorzeichenregeln: () ()= () (-)= - (-) ()= - = = = Stz über die Primfktorenzerlegung Jede ntürliche Zhl n > lässt sich eindeutig ls Produkt von Primzhlen drstellen! Dzu muss mn llerdings die Zhl teilen können, dividieren durch ihre Primfktoren. Hilfreich: Teilbrkeitsregeln Eine Zhl ist teilbr durch, wenn sie gerde ist., wenn die Ziffernsumme durch teilbr ist., wenn sie mit 0 oder endet. Teiler von sein gibt es ein mthemtisches Zeichen: z.b. teilt oder ist Teiler von Ist folgende Aussge richtig? (zur Kontrolle Division usführen) Bsp.: 6..j.. nein Primfktorenzerlegung für 08, Bsp. Primfktorenzerlegung 60! Zerlege 0 in ein Produkt von Primfktoren: 0=
kgv kleinstes gemeinsmes Vielfches ist die kleinste Zhl, in der zwei oder mehrere Zhlen ohne Rest enthlten sind. Es setzt sich us llen vorkommenden Primfktoren in ihrer höchsten Potenz zusmmen. Bsp.: kgv (,90,0) = 60 kgv(9,8,) = Größter gemeinsmer Teiler, ggt (notwendig, um in einem Schritt zu kürzen) Berechnung: Produkt der niedrigsten Potenz der bei jeder Zhl vorkommenden Primfktoren Bsp.: ggt (8, 0) = Betrg einer gnzen Zhl Unter dem Betrg einer Zhl versteht mn den Abstnd der Zhl ls Punkt uf dem Zhlenstrhl vom Nullpunkt. Auf Zhlenstrhl einzeichnen: - = = Bsp.: (0) (-) - (-) (6) = (0) (-) - (-) (6) = (0) (-) - (-) (6) = [ (-,) - () ] (-8) = Rechnen mit Brüchen Erweitern von Brüchen: Zähler und Nenner mit gleicher Zhl multiplizieren Kürzen: Zähler und Nenner durch gleiche Zhl dividieren Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen! Addition und Subtrktion: mittels kgv uf gemeinsmen Nenner bringen! Bsp.: 6 = = = Multipliktion und Division: Multipliktion: = Zähler ml Zähler, Nenner ml Nenner Division: : = = Mit Kehrwert multiplizieren! ODER Außenglied ml Außenglied durch Innenglied ml Innenglied
Übungsbltt : Rechenregeln-Rechnen mit Brüchen Ohne TR, nur die Probe mit TR! ) ) (-). () (-). (-) = b) (8). (-9) (-). (-) = c) (-). (-) (-8) : () = d) (6) : (-) (-). (-) = ) )(). () (-). (6) (-). () = b) (-8). (-) (). (-) (-) = ) )(-) : () (-0) () : (-) = b) (0) : (0) (-60) : (-0) (9) = ) ) (,) : (-) (-). (-) = b) (-,8) : (-) (6,) : (-) = c) ( -,) : (,) (,) : (-,) = d) (8) : (-0,9) (0,). (0) = ) ) = 6 : 8 b) = 8 : 6 6 9 c) = 0 8 : 6) ) = 6 : b) = : 6 9 c) = : 9 8 6 8 d) = 9 : 0 6 9 ) ) = : 6 8 : 9 8 b) = 8 : : 8) ) = 6 8 b) = 6 : 8 c) = 6 9) ) = 8 b) = 6 0 8 6 c) = 0 8 9 [Lösungen: )) b) -8 c) 6 d) 9 )) b) )) b) )) 9, b) 9,8 c) - d) 9 )) / 6 b) 6 / 6 c) / 8 6)) / 6 b) 6 / c) / 6 d) 9 / )) / b) / 6 8)) 9 / b) / 9 c) / 9)) / 86 b) 6 / c) 9 /
Übungsbltt : Rechnen mit Brüchen- Primfktorenzerlegung ) ) = d) = 6 b) = 6 9 60 6 e) = 6 c) = 8 6 f) = ) Zerlege folgende Zhlen in Primfktoren: ) 8 b) 60 c) 8 d) 89 e) 6 ) Bestimme von folgenden Zhlenpren bzw. -tripeln ds kgv und den ggt: ) (8, ) b) (, ) c) (, 6) d) (0, ) e) (, 0 ) f) (9, 8, ) ) ) = b) : 9 = 6 c) : = 6 8 d) 8 = 9 e) : = 8 f) = 8 ) ) = : b) = 6 9 : c) = 9 9 8 9 6) ) = ) ) 8 = 9 8 9 9 09 : 0 8 b) = 6 b) 89 8 = b) = 0 6 0 8) ) = [Lösungen: )) / b) / c) / 60 d) 8 / 0 e) / 60 f) / )) b) c) d) e) )) 6 bzw. 6 b) 08 bzw. c) 68 bzw. d) 60 bzw. e) 80 bzw. f) 9 bzw. )) 60 / b) / c) / 6 d) / 9 e) 9 / f) 6 / )) / 6 b) / 8 c) 8 / 6)) b) ¾ )) - / 90 b) 8 / 8)) / 6 b) ]
C. Rechnen mit Vriblen und Termen. Grundbegriffe Eine Vrible ist ein Buchstbe (oder ein nderes Smbol), der ls Pltzhlter für eine Zhl dient. Ein Term ist ein sinnvoller, mthemtischer Ausdruck, der us Zhlen, Vriblen und Rechenzeichen besteht. Bsp.: rt Term :8 kein Term Die Grundmenge eines Terms ist die Menge ller Zhlen, die für die Belegung der Vriblen des Terms vorgesehen sind. Der Wert eines Terms ist ds numerische Ergebnis, ds mn erhält, wenn mn für die Vrible(n) bestimmte Zhlen einsetzt. Bsp.: Bestimme die Wertemenge des Terms T ( ) = für die Grundmenge G = {,,}! T( ) = = = W = {-,8} 6 9 8 T ( ) = = = Error T ( ) = = = 8 0 Die Definitionsmenge eines Terms T ist die Menge jener Elemente us G, für die T in einen sinnvollen Zhlenwert übergeht. D ist lso eine Teilmenge von G. ( ) Bsp: siehe oben! Grundmenge G ={,,}, ber für = kein sinnvoller Zhlenwert! Dher: D={,} Bestimmen der Definitionsmenge: Nenner gleich 0 setzen und nch umformen! Der errechnete Wert für die Vrible muss usgeschlossen werden!. Rechnen mit Potenzen Potenz: Bsis, Eponent (Hochzhl) b wird b ml mit sich selbst multipliziert 0 = Addition, Subtrktion von Potenzen: Potenzen lssen sich genu dnn ddieren und subtrhieren, wenn sowohl ihre Bsen ls uch ihre Eponenten übereinstimmen! Bsp.: = Multipliktion, Division von Potenzen: Multipliktion und Division von Potenzen sind möglich, wenn die Bsen gleich sind! Multipliktion: Potenzen werden multipliziert, indem mn ihre Hochzhlen ddiert: Bsp.: = => Um eine Rechenstufe herunter! Division: Potenzen werden dividiert, indem mn ihre Hochzhlen subtrhiert Bsp.: 8 = => Um eine Rechenstufe herunter! Umschreibregel für negtive Hochzhlen: m n = m n m : n = m - n n = n
Potenzieren von Potenzen, Wurzelziehen: Potenzieren: Potenzen werden potenziert, indem mn die Hochzhlen multipliziert! Bsp.: ( ) = m mn ( ) n = Wurzelziehen: Aus einer Potenz wird die Wurzel gezogen, indem mn die Hochzhl durch den Wurzeleponenten dividiert: Bsp.: = => Um eine Rechenstufe herunter! Mit dieser Umschreibregel ist es möglich, jede Wurzel ls Potenz drzustellen. Dnn Wird mit den Potenzrechenregeln weitergerechnet. n m = m n Weitere Regeln:.) Ein Produkt wird potenziert, indem mn jeden Fktor potenziert! (Bsp.: ( * b) = b ).) Ein Bruch wird potenziert, indem mn sowohl den Zähler ls uch den Nenner potenziert! (Bsp.: b = b ) ( b) n = n b n b n = b n n Binomische Formeln: = = = = Wichtige Zerlegungsformel: = Herusheben (Fktorisieren): Aus einer Differenz oder Summe ein Produkt bilden (gemeinsme Fktoren herusheben): Zuerst Koeffizienten uf ggt untersuchen, dnn Vrible in niedrigster vorkommender Potenz übernehmen und eventuell noch untersuchen, ob eine Formel vorliegt! Bsp.: p - 0p³ 8p = 6p (p - p ) Polnomdivision: Dividieren von Termen wie mit Zhlen
Übungsbltt : Rechnen mit Vriblen und Termen )) 6-9-(-)-(-8) Probe: =0; = b) 6-[()]-(89) Probe: =; =- )) (-)-[(-)-(8-)] b) 0[(-)-(-)]- Probe: =; =- Probe: =; = )) -(-b){--[-(-b)]} b) -{z[-()]-z} Probe: =-; b=0 Probe: =0; =; z= )) s0t-{-[-(8s9t)]-s(-8t)} Probe: s=; t= b) u-v-{[u-(vu)-6v]8u} Probe: u=; v=- ) f-g-{-(f-g)-[(g8f)-g]-[(g-8f)g]} Probe: f=; g=- 6)) ³ b) b b c) c 0 c d) b (-b)³ e) (-c)³ (-c) )) - b) b -n b n-s c) c c -8 d) d d d 8)) () () b) (-b)³ (-b) c) (-) (-) 9)) : b) - : - c) b : b 0 d) d - : d - e) s-t : st 0)) c c d. d d b) 0 b b c) c c 6 d) 9 e) d. d d 9 ) Schreibe folgende Potenzen ls Produkte von Potenzen: ) b) b c) c d) d b e) e )) (³) b) (-b )³ c) [(-c) ] 6 d) [(-d)³]³ e) (-e)³ )) (³) b) (-) c) (³)³ d) (bc³) e) (st³s³) )) (b 6 ) b) (- 6 ³)9³ c) (-) - () )) (6-9³) (9) -6(³-) b) [(-)(b)b -(b -³)] 6)) () () b) (-) (9) c) (-) (-) d) (-) () )) (³-b) (b) b) (³-) (8-9) c) (uvw) (uv-w) [Lösungen: )) 00 b) - )) - b) )) 6b b) 9z )) s9t b) 8uv ) 6fg 6)) 8 b) b 8 c) c d) b e) c )) b) b -s c) c 8 d) d 8)) ()³ b) (-b) 8 c) (-) 9)) b) 0 = c) b - d) d e) s-t 0)) c 8 b) d - c) b - d) c e) )). b) b b c) c c d) d d b d e) e³e )) 8 b) b c) c d) d 9 e) e 6 )) 0 b) c) 9 d) 8 8 b c e) 6s 8 t 6 )) b 0 b) 8 ³9 9 9 0 c) - )) ³6 b) 0-³9b 6)) 90 b) -9-0 c) -8 d) ³-- c) u³v³uvw-uvw-w ] )) ³b-b-b b) 6-8³-
Übungsbltt : Rechnen mit Vriblen und Termen 8)) (b-) (-)b Probe: = -; b = - b) [(-b) (b)] [(-b) b] Probe: = -; b = 9)) (u-ws)z b) (-z) (-b) c) (--z) (-vw) 0)) 9[(-) (³6)8-6 6 (8) b) (-){³-[-(-) ]}(-) )) (9)(-) - ()(6-) b) [()(³9) - ()(6³)] ) (-)(6) - (-6)() Probe: = -; = )) b) z c) b d) 9 ³ 6 b c )) 6 b) ³ c) : d) 6 9 ³ 9 : 6 )) ³ 6 : ³ b) 8 : ³ 6)) : ³ b) 6 ³ : ³ : ³ n m m n m mn )) (9-) b) (6-b) c) (-bb³) d) ()³ 8) Vereinfche: ) ()(-) b) ()(-) c) (-9)(9) 9)) (-) - ()(-) b) (-)- ()(-) - (9-) 0) ()³ - ()(-) (-)() - 8(-) Probe: = - ) (-)³- [(-) (6)(-6)]- 00 Probe: = )) b) 9 b c) [Lösungen: 8)) b b) -b 9)) 8zu-wzsz b) b-bz-bz c) v-6wvz-0wz 0)) - 99 b) -0 )) 8 --9 b) 6 6 ) 6³ )) / 0 b) - /z c) - 6 / b d) 6 6 c /6b 8 )) b) c) 86/6 d) /0 )) / b)- 9 /³ 6)) 9³/ 6 b) n /m 0 ) ) 8-8 b)6-8b9b c) b -0b b 6 d) ³ 6 8) ) 9- b) - c) -8 9))- 0 b) 0) 66 ) 60- ) )/99/6 b) /8-b/9b/ c) ³/8//8³/]
Übungsbltt : Fktorisieren, Erweitern von Termen Fktorisiere: )) m-0mn9n b) 9-b9b c) 6 -³9 6 )) ³68³ b) 9-6 89³- )) 6-9 b) -b 8 c c) -8 6)) - b) ³b-6 b³8³b³ c) ³b-0b-b Berechne: )) (6-)³-(-6). 6 b) (-)³-(-). -(-)()6 Erweitern: 8) Erweitere 9) Erweitere 60) Erweitere 6) Erweitere 6) Erweitere b b 8 b mit ) b) c) d) mit ) b) c) d) - mit ) -b b) b c) b derrt, dss der neue Nenner ) 0 b) 6- c) 68 d) 6³ lutet. derrt, dss der neue Nenner ) b-8b b) 8-6b c) 8b- d) -0b lutet. Kürze so weit wie möglich: 8( b) ( b) ( b) ( b) 6)) b) 0 ( )³ 8( )( ) ( 9) [Lösungen: ) Binomische Formeln ) Binomische Formeln ) Zerlegungsformel 6) Herusheben )) 8000-³ b) 0-8 8) Nenner und Zähler multiplizieren 9) Wie 06) 60) Wie 06) 6) erweitert mit: ) b) - c) d) 6) erweitert mit ) b b) 8b c) d) 6)) (b)/(-b) b) /(-) c) 9 ]
Übungsbltt 6: Kürzen, kgv, Bruchterme Kürze: 6) b) 9 9 ) ( c) ) ( b b d) ³ ³ 6)) 9 9 6 b) 6 8 c) 0 ³ 0 d) ) ( Bestimme ds kgv: 66)) kgv(³, 6 ) b) kgv(9³z, 6z) c) kgv(6,, 0³) 6)) kgv(0 z, 90z³, ³z) b) kgv( ³ z, 6z, 9 6 z 9 ) 68)) kgv[(b-), b(-b)] b) kgv[8b³(-b), 8b(-b)] 69)) kgv(-8, -88, -9) b) kgv(-, -, -) 0)) kgv(, ³-, 00) b) kgv(b-bb³, b-b) Addition von Bruchtermen: )) 6 6 9 z b) b b b c b )) z z b) 6 z z )) ³ ³ b) )) b b b b b) [Lösungen: 6)) - b) (-)/() c) /(-b) d) / 6)) (-)/() b) (-)/(8) c) (0)/(-) d) (-)/ 66)) b) 68³z c) 60³ 6)) 00 ³z b) 00 6 z 9 68)) b(-b) b) 6b³(-b) 69)) (9)(-9) b) 0()(-) 0)) 0(-) b) b(-b) )) (6³9z )/6 b) (³b³bc)/b )) (--6z)/ b)(6z)/ )) (³- -)/³ b)()/[()()()] )) (b)/(-b) b) 0 ]
D. Lösen von lineren Gleichungen und Ungleichungen. Wie geht mn nun beim Lösen einer Gleichung vor? Mn ordnet mit Hilfe der Äquivlenzumformungen Addition und Subtrktion die Vriblen uf der einen Seite und die beknnten Größen uf der nderen Seite der Gleichung. Nun fsst mn gleichrtige Summnden zusmmen. Zuletzt bestimmt mn den Zhlenwert der Vriblen durch die Äquivlenzumformungen Division oder Multipliktion. Durch Vergleich der Lösung mit der Grundmenge wird überprüft, ob der erhltene Wert uch wirklich Lösung des ktuellen Problems ist. Wenn j, wird er in der Lösungsmenge ngegeben: L = {Wert}. Ist der Wert nicht Element der Grundmenge, ist die Lösungsmenge leer: L = {}. Anschließend überprüft mn die Lösung durch Einsetzen des Wertes in die Angbezeile (=Probe). Erfüllt der Wert die Gleichung, erhält mn eine whre Aussge. Grundmenge G: Menge ller Zhlen, die ls mögliche Lösungen vorgesehen sind (wird vorgegeben, knn uch nicht sinnvolle Möglichkeiten enthlten)! Definitionsmenge D: Menge ller Elemente us der Grundmenge G, für die die Gleichung einen sinnvollen Zhlenwert ergibt! Lösungsmenge L: Menge ller Zhlen der Definitionsmenge, für die die Gleichung eine whre Aussge ergibt! Lösungsmöglichkeiten einer Gleichung: i. bestimmte Anzhl von Lösungen ii. keine Lösung iii. Unendlich viele Lösungen, L = D. Ungleichungen Ungleichung: Ansttt des Gleichheitszeichens steht ein Ungleichheitszeichen wie <, >,,, Unterschied zu Gleichungen:. Lösungsmenge meistens ein größerer Bereich b. neue Rechenregel: Bei Multipliktion der Ungleichung mit einer negtiven Zhl (oder bei Division durch eine negtive Zhl) dreht sich ds Ungleichheitszeichen um!
Mischungsufgben Musterbeispiel Ein roter Behälter ht die Aufschrift: 0%igen Slzlösung, uf einem bluen steht %igen Slzlösung Der Lbornt vermischt 0kg us dem roten Behälter mit kg us dem bluen. Wie viel Prozent Slzgehlt ht die erzeugte Mischung? Lösung: Wir übersetzen den Tet in folgende Tbelle: Slzlösung in kg Slzgehglt in % Roter Behälter 0 0 Bluer Behälter Mischung 0=8 Menge des Slzes in kg 0 0 00 =0 0,=0 00 = 0,0=, 8 00 =0,8 Gleichung ergibt sich drus, dss mn die Slznteile us den beiden Behältern ddiert und mit dem Slzgehlt der Mischung gleichsetzt: 0, = 0,8 Gleichung lösen (entweder händisch, oder mit Tschenrechner): =,8 Antwort: Die Mischung ht einen Slzgehlt von,8% Beispiel Die Firm Sfti stellt Apfelsft us verschiedenen Apfelsftkonzentrten her. Es gibt noch Liter %iges Apfelsftkonzentrt. Dieses soll mit 0%igen Apfelsftkonzentrt vermischt werden. Wie viel 0%iges Konzentrt muss dzu gemischt werden, um 0%igen Fruchtsft zu erhlten? Vervollständige die Tbelle: Apfelsftkonzentrt in Liter Apfelsftkonzentrt I Apfelsftkonzentrt II Mischung Apfelsftkonzentrt in % Menge des Apfelsftkonzentrts in Liter Stelle eine Gleichung uf: Löse die Gleichung mit deinem Tschenrechner (und gib n, wie du dbei vorgehst): Antwort
Wichtige Formel: h = Bewegungsufgben Musterbeispiel Ein LKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 0km/h um 9 Uhr vom Ort A nch dem km entfernten Ort B b. Eine hlbe Stunde Später fährt ein PKW mit einer Geschwindigkeit von 0km/h von B in Richtung A b. Um wie viel Uhr und in welcher Entfernung von A begegnet der PKW dem LKW? Lösung: Wir A 0 0(-0,) B versuchen die Sitution zu zeichnen Durch Umformen erhlten wir us der wichtigen Formel: Geschwindigkeit ml Zeit ist zurückgelegter Weg. LKW: Zeit, die er unterwegs ist : Geschwindigkeit, mit der er fährt: 0 Weg, den der LKW zurücklegt: 0 PKW: Zeit, die er unterwegs ist : -0, (ist um eine hlbe Stunde kürzer ls der LKW) Geschwindigkeit, mit der er fährt: 0 Weg, den der PKW zurücklegt: 0*(-0,) Wie mn der Skizze entnehmen knn ergibt sich die Gleichung us: Weg des LKW und Weg des PKW ist die Entfernung von A nch B. 0 0(-0,) = Diese Gleichung lösen wir (händisch, oder mit dem Solver): = Die Fhrt des LKW duert Stunde. Sie treffen sich 0 ml lso 0km von A entfernt. Antworten: Sie treffen sich in 0km Entfernung von A entfernt um 0Uhr.
Beispiel Ein Fußgänger, der km in einer Stunde zurücklegt, geht um 8 Uhr vom Ort A nch dem 0km entfernten Ort B b. Um 9 Uhr verlässt ein Rdfhrerr den Ort B in Richtung A mit einer Geschwindigkeit von 6km/h. ) Um wie viel Uhr und in welcher Entfernung von A begegnet der Fußgänger dem Rdfhrer? b) Um wie viel Uhr und in welcher Entfernung von A würde der Rdfhrer dem Fußgänger begegnen, wenn er wie der Fußgänger die Strecke von A nch B zurücklegt? Lösung: Teilufgbe ) Vervollständige die Skizze! A Entfernun B Fußgänger: Zeit, die er unterwegs ist : Geschwindigkeit, mit der er wndert: Weg, den der Wnderer geht: Rdfhrer: Zeit, die er unterwegs ist : Geschwindigkeit, mit der er rdelt: Weg, den der Rdfhrer fährt: Stelle eine Gleichung uf: Löse die Gleichung mit deinem Tschenrechner (und gib n, wie du dbei vorgehst): Antwort: Teilufgbe b löst du lleine ;-)
Leistungsufgben Musterbeispiel Ein Wsserbecken mit dem Volumen V wird durch drei Rohre gespeist. Ds erste Rohr benötigt Stunden, ds zweite vier Stunden und ds dritte 6 Stunden, um ds Becken zu füllen. In welcher Zeit füllen lle drei Zuleitungen gemeinsm ds Becken. Lösung: Wir übersetzen den Tet in folgende Tbelle: Rohr Rohr Rohr Leistung pro Stunde 6 Betriebsduer in Stunden Leistung während der Betriebsduer = = 6 = 6 Dmit ds Becken voll ist, muss mn nur die Anteile der drei Rohre ddieren und gleich dem Beckenvolumen V setzen: Lösung der Gleichung: 6 = Mn knn V uf der linken Seite herusheben: = Eine Gleichung bleibt richtig, wenn mn uf beiden Seiten durch dieselbe Zhl (hier V) dividiert: 6 = Den Rest knn der Tschenrechner (oder du): =, = Antwort: Ds Becken ist mit den drei Rohren in einer Stunde und 0 Minuten gefüllt. Beispiel Zur Herstellung von Werbeprospekten sind zwei Mschinen im Einstz. Mschine benötigt für die gesmte Arbeit Stunden. Beide Mschinen zusmmen bruchen Stunden und Minuten. Wie lng brucht Mschine, wenn Mschine nicht benützt werden knn? Vervollständige die Tbelle: Leistung pro Stunde Mschine Mschine Betriebsduer in Stunden Leistung während der Betriebsduer Stelle eine Gleichung uf: Löse die Gleichung mit deinem Tschenrechner (und gib n, wie du dbei vorgehst): Antwort
Übungsbltt : Linere Gleichungen Löse folgende Beispiele über der Grundmenge Q! 8)) = 9 9 b) 9) ()³ ()³ = (). ()³ Löse folgende Beispiele über der Grundmenge Z! 0)) = b) ) () () = ()() () = 9 = Löse folgende Beispiele über der Grundmenge Q! Bestimme, wenn notwendig, die Definitionsmenge! ) -{--[-6-()]} = )) ) 9 = = 6 9 b) = ) Die Summe us der Hälfte und dem Fünfzehntel einer Zhl ist um 9 größer ls die Summe us den Zwnzigstel und dem Fünftel. Wie lutet die Zhl? 6) Vter und Sohn sind zusmmen Jhre lt. Der Vter ist um Jhre älter ls der Sohn. Berechne ds Alter von Vter und Sohn! ) Der Umfng eines Rechtecks beträgt 60 m. Die Breite ist um 6 m kürzer ls die Länge. Berechne die Länge und die Breite dieses Rechtecks! 8) = 0 9) (-)(0-) = (-)() (0) 0) Vermindert mn eine Zhl um ihre Hälfte und dieses Ergebnis um sein Drittel, so erhält mn. Wie lutet diese Zhl? Forme nch gegebener Vriblen um: dπs d πh ) ) M = d =? b) V = d =? s ) ) O = rπ(rs) s =? b) v = t =? t Löse folgende Beispiele über der Grundmenge Q! Bestimme uch die Definitionsmenge! = ) ) = b) ( ) 9
) 8 = 0 0 6 ) Jemnd benötigt 6 kg 0%ige Slzlösung. Es stehen zum Mischen zwei Slzlösungen zur Verfügung, die %ige bzw. %ige Konzentrtion ufweisen. Welche Mengen der vorhndenen Slzlösungen sind für die Mischung erforderlich? 6) Die Einerziffer einer dreistelligen Zhl ist. Die Hunderterstelle ht den -fchen Wert der Zehnerstelle. Werden Einer- und Hunderterziffer vertuscht, erhält mn eine um 98 kleinere Zhl. Wie lutet die ursprüngliche Zhl? ) In einer Klsse befinden sich 6 Kinder. Ds Doppelte der Zhl der Mädchen ist um 8 kleiner ls ds Dreifche der Zhl der Buben. Berechne die Anzhl der Mädchen und Buben! 8) Ein LKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 0 km/h um 9 Uhr von Ort A nch dem km entfernten Ort B b. Eine hlbe Stunde später fährt ein PKW mit einer Geschwindigkeit von 0 km/h von B in Richtung A b. Um wie viel Uhr und in welcher Entfernung von A begegnet der PKW dem LKW? Hebe herus oder führe die Formel us: 9) 8³³ b) ( ½ s-t) c) 9u - v 0) Die Zehnerstelle einer Zhl ht einen um kleineren Wert ls die Einer-stelle. Vertuscht mn beide, ist die entstehende Zhl um größer ls ds -fche der ursprünglichen Zhl. Welche Zhl erfüllt diese Bedingung? ) Wie viel kg einer %igen Slzlösung sind zu 6 kg einer %igen Slzlösung hinzuzufügen, um eine 9%ige Slzlösung zu erhlten? ) Ein LKW, der 0 km in der Stunde zurücklegt, verlässt den Ort A um hlb neun Uhr. Um 0 Uhr folgt ihm ein PKW mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Um wie viel Uhr und in welcher Entfernung von A ht der PKW den LKW eingeholt? ) Wie viel Prozent Alkoholgehlt ht die Mischung von 00 l 86%igem Alkohol und 00 l %igem Alkohol? ) Wie viel Liter Wsser sind zu 0 l 8%igem Alkohol hinzuzufügen, um 60%igen Alkohol zu erhlten? ) Jemnd ht 0 kg 0%iger Slzlösung und bebsichtigt, durch Mischung einer nderen Slzlösung kg 0%ige Sole herzustellen. Welche Konzentrtion muss die zum Mischen verwendete zweite Lösung ufweisen? Löse folgende Beispiele über der Grundmenge Q! Definitionsmenge! 6) ) ) = 0 = 6( ) b) = 0 [Lösungen: 8)) D=Q\{0,9}, L={} b) L={} 9) L={-6/} 0)) L={} b) L={} ) L={-9} ) L={} )) D=Q\{0,}, L={9/} b) D=Q\{-,}, L={-/} ) D=Q\{0,}, L={6/} ) 60 6) bzw. ) m bzw m 8) L={} 9) L={8} 0) )) d=m/πs b) d= V/πh )) s=o/rπ - r )) D=Q\{-,}, L={/} b) D=Q\{-,}, L={/} ) D=Q\{/}, L={} ) 6 bzw 0 kg 6) 9 ) 0 M, 6 B 8) 0h, 0 km 9)Binom. Lehrstz u. Zerlegung, Fktorisieren 0) 9 ) 8kg ) h0, 00km ) % ) 60 l ) 6% 6)) D=Q\{-/,/}, L={ } b) D=Q\{-,}, L={0} ) D=Q\{-,0.}, L={}]
Übungsbltt 8: Linere Gleichungen mit Tetufgben 8) 8) Forme folgende Formeln um: ) B.p P = B =? b) 00 h b. h b = =? 9) 9) Löse folgende Gleichung in G = Q = 0 0 9 0 60) 60) Vereinfche: ( ) 9 6) 6) An einer Strße liegen die Orte A; B und C, wobei A von B km und B von C 00 km entfernt sind. Um 8 Uhr verlässt ein Mopedfhrer den Ort B mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h in Richtung C. Um 9 Uhr fährt ein PKW-Fhrer mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h vom Ort A in Richtung C b. Um wie viel Uhr und in welcher Entfernung von C holt der PKW- Fhrer den Mopedfhrer ein? 6) 6) Ein Fußgänger, der km in einer Stunde zurücklegt, geht um 8 Uhr vom Ort A nch dem 0 km entfernten Ort B b. Um 9 Uhr verlässt ein Rd-fhrer den Ort B in Richtung A mit einer Geschwindigkeit von 6 km/h. ) Um wie viel Uhr und in welcher Entfernung von A begegnet der Fußgänger dem Rdfhrer? b) Um wie viel Uhr und in welcher Entfernung von A würde der Rdfhrer den Fußgänger einholen, wenn er wie der Fußgänger die Strecke von A nch B zurücklegt? 6) 6) Jemnd ht 00 l %-igen Alkohol und bebsichtigt, 800 l 6%-igen Alkohol herzustellen. Welchen Alkoholgehlt muss die zum Mischen verwendete Flüssigkeit hben? 6) 6) Wie viel Prozent Slzgehlt ht die Mischung von 0 kg 0%-iger und 0 kg %-iger Slzlösung? 6) 6) 60 000.- Euro sollen unter drei Preisträgern derrt verteilt werden, dss uf den zweiten Preis / des ersten Preises und uf den dritten Preis die Hälfte des zweiten Preises entfllen. Welche Beträge entfllen uf die drei Preise?
Übungsbltt 9: Ungleichungen Ermittle in folgenden Aufgben die Lösungsmenge:.).) <, G = N b.) < 0, G = P.).) <, G = N g b.) 9 >, G = N u.).) 8 < 0, G = P b.) 9 9 < ( ), G = N.).) < -, G = Z b.) 8 <, G = P.).) ( ) <, G = N g b.) 9 ( ) >, G = P 6.).) ( 0) < 0 8, G = P b.) ( 8) 9, G = Z.).) <, G = P b.) 8, G = N u 8 8.).) 0, G = Z b.) 9 <, G = Q Ungleichungen: Ungleichung: Ansttt des Gleichheitszeichens steht ein Ungleichheitszeichen wie <, >,,, Unterschied zu Gleichungen:. Lösungsmenge meistens ein größerer Bereich b. neue Rechenregel: Bei Multipliktion der Ungleichung mit einer negtiven Zhl (oder bei Division durch eine negtive Zhl) dreht sich ds Ungleichheitszeichen um! Lösungen:.).) L={} b.) L={,,,,,}.).) L={,,6,8} b.) L={}.).) L={,,,,} b.) L={}.).) L={, -,0,,,} b.) L={}.).) L={} b.) L={,,,, } 6.).) L={,,,,} b.) L={,-0, -9,-8}.).) L={,,,,9} b.) L={,9,, } 8.).) L={-,-6,-, } b.) L={ Q > }
E. Qudrtische Gleichungen Eine Gleichung der Form b c = 0mit, b, c R, 0 heißt qudrtische Gleichung. Bei einer qudrtischen Gleichung kommt die Vrible mindestens einml in der. Potenz vor, ber in keiner höheren Potenz., b, c nennt mn uch Koeffizienten! Bsp.: = 0; 6 = 0; 9 = 0; = 0; usw. Ordnen Sie bei den einzelnen Gleichungen den Koeffizienten, b, c ihre Zhlenwert zu!. Lösen von reinqudrtischen Gleichungen ( c = 0) Allgemein: c = 0 Äquivlenzumformung = - c Äquivlenzumformung c = ± = ± c, Lösungsmenge: L={ c Wurzelziehen Zusmmenfssung: Tp A ( c = 0) löst mn durch Umformung uf = und Wurzelziehen zu Lösungen und! -c : Lösungen und! c ; c } Beispiele: : : 6 = 0 : = 0 = ±, = ± = - = Lösungen! = 0 : 9 = 0-9 = -9 ± ±, = 9 = Error Lösungen! L={ ; } d.h. reelle L={ } (= Leere Menge!) d..h. keine reelle Anm.: Die qudrtische Wurzel ist nicht für negtive Zhlen definiert! Reinqudrtische Gleichungen hben entweder reelle Lösungen oder gr keinee reelle Lösung!
Allgemein: Qudrtische Gleichungen hben in der Grundmenge G = R höchsten zwei Lösungen. Es knn ber uch sein, dss sie nur eine oder sogr keine Lösung besitzen.. Lösen von gemischtqudrtischen Gleichungen ( b = 0) Allgemein: b = 0 Herusheben des gemeinsmen Fktors ( b) = 0 Eine Summe wird dmit in ein Produkt übergeführt(fktorisiert)! Die Frge:Wnn ist ein Produkt NULL? Führt zu den Lösungen!. Lösung:. Lösung: Erster Fktor gleich 0! Zweiter Fktor gleich 0! = 0 bzw. b = 0 -b = 0 = -b : b = Lösungsmenge: L={0; b } Beispiele: : 9 = 0 : ist = 0 Herusheben () = 0 Ein Produkt ist dnn Null, wenn ein Fktor Null. Lösung:. Lösung: = 0 oder = 0 - = 0 und = L = { ; 0} Lösungen! d.h. reelle : Zusmmenfssung: Tp B ( b = 0) löst mn durch Herusheben von zu (b)=0 und der Anwendung des Stzes zum Nullprodukt (Ein Produkt ist genu dnn 0, wenn ein Fktor 0 ist.)! - 8 = 0 : - 9 = 0 Herusheben (-9) = 0 Ein Produkt ist dnn Null, wenn ein Fktor Null ist. Lösung:. Lösung: = 0 oder -9 = 0 9 = 0 und = 9 : = 9 9 L = {0; } d.h. reelle Lösungen! Gemischtqudrtische Gleichungen hben immer reelle Lösungen, eine dvon ist immer Null!
Beispiele: Lösen Sie die folgenden Gleichungen über der Grundmenge R!.) ) - 80 = 0 b) = 0 c) - 9 = 0 d) 0 - = 0 e) - 9 = 0 f) 0 = 0 g) = 0.) ) ( - )( - ) = ( - )( - ) 0 b) ( - ) ( ) = ( ) 9 c) ( )( - ) - ( )( - ) = 0 d) ( - ) - ( ) = ( - ) - 6 Lsg.:.) ) {-, }; b) { }; c) {- /, / }; d) {- /, / }; e) {0, 9}; f) {-0, 0}; g) {- /, 0};.) ) {-, }; b) {-, }; c) {0, }; d) {0; -,}. Lösen von llgemeinen qudrtischen Gleichungen ( b c = 0) Allgemein: Herleitung der Lösungsformel b c = 0 durch dividieren b c = 0 Umformen b c = qudrtische Ergänzung b c b = Binom b b b = b b = c c b b c = ± Wurzelziehen, b = ± b ± b c = ± b c = oder b c Die große Lösungsformel für die llgemeine qudrtische Gleichung:, b ± = b c Beispiel: : =. Schritt: Alle Glieder uf eine Seite bringen! - = 0. Schritt: Die Koeffizientenwerte us der Gleichung blesen! =, b=-, c=-. Schritt: Einsetzen in die qudrtische Lösungsformel: (Auf Vorzeichen chten!!!), b ± = b c Führt zum numerischen Berechnen der Lösungen und : ( ) ± ( ) ( ), = ± 96, = 00 = 0 ± 0, = 0 = = = 6 0 8 = = = L={( ; 6)} d.h. reelle Lösungen! Anm.: Die qudrtische Wurzel ist nicht für negtive Zhlen definiert!
Die Diskriminnte D b ± b b c = 0, = Der Ausdruck unter der Wurzel in der qudrtischen Lösungsformel, lso b -c, wird mit D bezeichnet und heißt Diskriminnte. Von dem errechneten Wert für D=b -c knn mn die Anzhl der Lösungen bei einer qudrtischen Gleichung blesen: c. D > 0 (Diskriminnte positiv) bedeutet: Die qudrtische Gleichung besitzt zwei reelle Lösungen.. D = 0 (Diskriminnte Null) bedeutet: Die qudrtische Gleichung besitzt nur eine reelle Lösung.. D < 0 (Diskriminnte negtiv) bedeutet: Die qudrtische Gleichung besitzt keine reelle Lösungen. Weitere Beispiele: 8 - - = 0 L = {-/8, } 0 = 8 9 L = {-/, 9/0 }. Lösen von qudrtischen Gleichungen in Normlform ( p q = 0): (=!) Allgemein: Allgemeine qudrtische Gleichung lutet: b c = 0 durch dividieren b c b = 0 Ersetze = p c und = q, dies ergibt p q = 0 (Merkml: =!) die qudrtische Gleichung in Normlform. Die kleine Lösungsformel für die Normlform einer qudrtische Gleichung:, p = ± p q Beispiel: : 8 = -. Schritt: Alle Glieder uf eine Seite bringen! - 8 = 0. Schritt: Die Koeffizientenwerte us der Gleichung blesen! p=-8, q=. Schritt: Einsetzen in die qudrtische Lösungsformel: (Auf Vorzeichen chten!!!), p = ± ( 8) = ± p q, 8 = ± 6 =,, = ± = und = L={(;)} Weitere Beispiele: -8 = 0 L = {, 6} - = 0 L = {, } - - = 0 L = {-, } - - = 0 L = {-, }
. SATZ von Viet Ht die qudrtische Gleichung p q = 0 zwei verschiedene Lösungen und, so gilt: ) = - p ) * = q ) ( ) ( ) = p q Die Bedeutung dieses Stzes besteht vor llem drin, dss mn mit seiner Hilfe ein qudrtisches Polnom(=qudrtische Gleichung) in Linerfktoren ( i ) zerlegen knn, wenn die entsprechende Gleichung zwei reelle Lösungen (oder eine Doppellösung) ht. Beispiel: Wie lutet die qudrtische Gleichung mit der Lösungsmenge L={, }? Möglichkeiten: Erste Vrinte: = - p => - ( ) = p => - ( ) = p => p = 6 * = q =>. = q => q = - => Gleichung: 0 = 0 oder 6-6 = 6 Zweite Vrinte: ( ( ) ) ( ) = = 0 oder 6-6 = 0 6
Übungsbltt 0: Qudrtische Gleichungen 6) Bestimme die Definitionsmenge und berechne über G = Q! ) c) = 8 = ( ) 9 b) = 8 ( ) ( ) 66) Löse die folgenden Gleichungen über R und mche die Probe! ) (-) (-) = (-) b) (-)(-) (-)(-) = 9 6) Berechne für G = Q! ) - = b) = c) 9 = 6 68) Wie lutet die Gleichung. Grdes (ndere Formulierung für qudrtische Gleichung) mit der ngegebenen Lösungsmenge L? ) L = {-, } b) L = {-, / } c) L = {-8, -} 69) Von einer qudrtischen Gleichung kennt mn eine Lösung; suche die zweite Lösung für G = R! ) 9 8 = 0 = -6 b) 8 = 0 = c) - 0 = 0 = d) 6 - = 0 = / e) - 6 = 0 = 6 f) = 0 = - 0) Berechne folgende qudrtische Gleichungen in der Grundmenge R und mche die Probe! ) - = 0 b) 6 9 = 0 c) 0 = 0 d) - = 0 e) - = 0 f) = 0 ) Löse folgende qudrtische Gleichungen in R: ) = 0 b) = 0 c) 6 - = 0 d) = 0 ) Weitere qudrtische Gleichungen: ) ()(-) (-)() = b) (8 ) (8-) = 68 [Lösungen: 6)) D=R\{-, 8 / }; L={, 6} b) D=R\{ ½, - / }; L=D c) D=Q\{-, } L={, 9} 66)) L={ /, / } b) L={-, / } 6)) L={ - ¼,} b) L={- /, ¼ } c) L={- / 9, } 68)) -=0 b) -=0 c) =0 69)) =/ b) =-9 c) =-/ d) =-/ e) =-/ f) = ½ 0)) L={-, } b) L={-} c) L={-6, / } d) L={} e) L={-, } f) L={-6, -} )) =0 und =- b) =0 und =6 c) = / 6 und =- / 6 d) {} )) {} b) {6;-6}]
F. Algebrische Gleichungen höheren Grdes. Gleichungen. Grdes Eine Gleichung der Form ³ b c d = 0 heißt kubische Gleichung bzw. Gleichung. Grdes. Die llgemeine Lösungsformel für kubische Gleichungen ist sehr kompliziert und wird dher in der Pris kum benutzt. In einigen Fällen können wir ber eine Gleichung. Grdes uf eine qudrtische Gleichung zurückführen. Umformen: ³ d = 0 ³ - 8 = 0 8 ³ = 8 = ³ 8 = ³ = 0 - ³ = - = -³ = - (D die. Potenz einer negtiven Zhl negtiv ist, ist die Lösung hier eindeutig!) HERAUSHEBEN: ³ b c = 0 ³ - 6 = 0 ( - 6) = 0 = 0 oder - 6 = 0 Wir hben die Gleichung in eine linere und eine qudrtische Gleichung ufgesplten. (Mn sgt uch, wir hben den Linerfktor bgesplten.) Diese können wir schon lösen und erhlten = 0, =, =
SATZ von Vietá: Eine Lösung ist beknnt (us der Angbe oder durch Probieren) Der Stz von Viet gilt uch für Gleichungen höheren Grdes. Ht lso eine kubische Gleichung die Lösungen, und, so ist ³ p q r = ( - )( - )( - ). Kennen wir zum Beispiel die Lösung, so können wir die linke Seite der Gleichung durch ( - ) dividieren (den Linerfktor ( - ) bsplten) und erhlten eine qudrtische Gleichung. Wenn überhupt eine gnzzhlige Lösung eistiert, muss sie ein Teiler des bsoluten Glieds r sein. Bsp.: ³ - 6 = 0 Mögliche (gnzzhlige) Lösungen: ±, ±, ±, ±6Durch Probieren findet mn = (³ - 6 = 0) : ( - ) = - - = 0 = -, = Ebenso knn mn Gleichungen höheren Grdes lösen, indem mn einen Linerfktor nch dem nderen bspltet.. Biqudrtische Gleichungen: Substitution Ein Sonderfll der Gleichungen. Grdes: Es kommen nur, und ein konstntes Glied vor. Wenn mn = t setzt, erhält mn eine qudrtische Gleichung. Beispiel: - 0 9 = 0 = t: t - 0t 9 = 0 t =, = ± t = 9, = ± (Anlog rechnet mn, wenn z.b. nur 6 und vorkommen.)
Übungsbltt : Algebrische Gleichungen höheren Grdes Lösen Sie die folgenden Gleichungen über der Grundmenge R!. ) = 6 b) = - c) 8 - = 0 d),6 = 0 e) = 6 f) = -6 g) = 0 h) 80 - = 0. ) - 0 6 = 0 b) 9 = 0 c) - 6 9 = 0 d) 6 = 0 e) - = 0 f) = 0 g) 9 - = 0 h) - = 0. ) - - 6 8 = 0 b) - = 0 c) - - 6-0 = 0 d) 9 8 = 0 e) - 6 = 0 f) - = 0 g) - = 0 h) - - = 0. ) = b) = c) = 0-8 d) ( ) = ( ) e) ( - ) = ( - )( ) f) ( - ) = 0 g) ( - )( - ) = 0 h) ( )( - )( - ) =. ) - = 0 b) - 0 6 = 0 c) - 0 = 0 d) - 8-9 = 0 e) = 0 f) - = 0 g) (*) 6-8 = 0 Lösungen. ) {} b) {-} c) {/} d) {-0,8} e) {±} f) { } g) { } h) {±/}. ) {0,, 8} b) {-, -, 0} c) {0, ()} d) {0} e) {0(), } f) {-/, 0()} g) {-, 0,.} h) {0}.) {-,, } b) {-,, } c) {-(), } d) {-} e) {-,, } f) {-, ()} g) {-., ()} h) {}. ) {-,, } b) {} c) {-,, } d) {-,, } e) {-} f) {,, } g) {-,, } h) {-,, 6}. ) {-,-,, } b) -,-,,} c) {±, ± } d) {-,,} e) { } f) {-,} g) {, } h) {-, }
G. Wurzelgleichungen Definition: Eine Gleichung, in der die Vrible mindestens einml im Rdiknden einer Wurzel (Ausdruck unter der Wurzel) uftritt, heißt Wurzelgleichung.. Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 6 = in R! Lösung: 6 = /Gleichung qudrieren! 6 = 9 Probe: 9 = = Lösungsmenge: L={}. = whre Aussge! Bei der Summe die binomische Formel nicht vergessen! = - = - /*(-) = Probe: = 9 = = whre Aussge! Lösungsmenge: L={}.. Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 9 = 0 in Q! Lösung: 9 = 0 /Wurzel isolieren! 9 = /Qudrieren! 9 = =6 Probe: = 0 0 = 0 flsche Aussge! d.h. die gefundene Lösung =6 erfüllt die vorgegebene Wurzelgleichung nicht! Lösungsmenge: L={ }.. Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 9 = in Q! Lösung: 9 = /Qudrieren! Achtung Summe! Verwenden Sie die binomische Formel (b) = bb! 9 = /Wurzel isolieren! = ( ) /: = /Qudrieren! Definitionsmenge: Bei Wurzelgleichungen muss uch noch die Definitionsmenge bestimmt werden, d der Wurzelrdiknd nicht negtiv sein drf! 9 0 0 0 D f 9 = { Q 0 Übungsbeispiele: } W.) ) = 8 b) 6 = c) = W.) ) = b) 0 = c) = W.) ) = b) = W.) ) = b) 9 = 6( ) W.) ) = b) = W6.) ) 9 = b) 6 = W.) ) 9 = b) = L: W.) ) {}, b) {6}, c) {}; W.) ) {}, b) {-8}, c){}; W.) ) {0/}, b) {}; W.) ) {}, b {9}; W.) ) {}, b) {}; W6.) ) {0}, b) {9}; W.) ) {}, b) {}.
H. Eponentilgleichungen und logrithmische Gleichungen. Ws ist der Logrithmus? Im Beispiel = stellt sich die Frge, wie groß ds ist? Wie oft muss ich mit sich selbst multiplizieren, dmit heruskommt? Mit dem Tschenrechner: Der Wert muss zwischen und liegen! Weitere Eingrenzung:, < <,, < <,8 Probieren ist mühsm => Berechnung ist notwendig: Def.: Logrithmus Jene Zhl R, für die = b gilt, ( R \{}, b R ) heißt Logrithmus von b zur Bsis : = b = log b Der Logrithmus einer Zhl b zur Bsis ist lso jene Zhl, mit der mn potenzieren muss, um b zu erhlten.. Bsis b. Numerus. Logrithmus Den Logrithmus bestimmen heißt lso eigentlich nichts nderes, ls die Hochzhl zu bestimmen!!!! Bsp.: = 9 =? = 9 log 9 = log 9 =, weil = 9 ist! Bsp.: = 6 log 6 = log 6 =, weil = 6 ist! Bsp.: log /9 = -, weil - = /9 Bsp.: 0, log / =, weil (/) = Der Logrithmus zur Bsis 0 heißt dekdischer Logrithmus (Schreibweise: lg) Der Logrithmus zur Bsis e heißt ntürlicher Logrithmus, logrithmus nturlis (Schreibweise: ln) Diese beiden Logrithmen sind uch m Tschenrechner vorhnden, lle nderen nicht.
Um trotzdem rechnen zu können, gibt es folgende Regel, mit der mn zwischen den verschiedenen Bsen umrechnen knn: Bsp.: log 0= log 0 log log = mit,b,c us R,,b Rechengesetze für Logrithmen i. log =, weil = ist. Bsp.: log = ii. log = 0, weil 0 = ist. Bsp.: log = 0 iii. log n = n, weil n = n ist. Bsp.: log 8 = iv. log(uv) = log u log v Bsp.: log(*6) = log log 6 v. log(u/v) = log u log v Bsp.: lg 0,0 = lg(/00) = lg lg 00 = 0 = vi. log u r = r* log u Bsp.: log = * log
. Eponentilgleichungen Von den Eponentilgleichungen, bei denen die Vrible im Eponenten uftritt, sind zwei Tpen von Gleichungen leicht zu lösen. Tp I: Gleiche Bsen verschiedene Eponenten Bsp.:.) Löse die Eponentilgleichung = 6 in R! = 6 ( ) ( ) = 6 = 9 = 9=6 = 6 6 Wndle die Bsiszhlen um! Multipliziere die Hochzhlen! Multipliktion bedeutet Addition der Hochzhlen Erkenntnis: Gleiche Bsiszhl Gleichsetzen der verschiedenen Eponenten = Probe: 0 = 6 6 6 = w.a. L={} Bsp.:.) Löse die folgende Eponentilgleichung in R! = Bsiszhlen lssen sich nicht mehr umwndeln! Neuer Schritt: Hebe jeweils die Potenz mit dem kleinsten Eponenten herus! Dies führt die Summe in eine Multipliktion über. Dieses Verfhren nennt mn Fktorisieren! ( 8 = ) = 8 ( ) Berechne die Klmmerusdrücke! Division durch 8! = Erkenntnis: Gleiche Bsiszhl Die Lösung ergibt sich durch Gleichsetzen der verschiedenen Eponenten (Hochzhlen)! -=- Lösung der lineren Gleichung führt zu! = Probe: = = w.a. L={} 6
Tp II: Verschiedene Bsen gleiche Eponenten Bsp.:.) Löse die Eponentilgleichung 8 = in R! 8 = /:8 /: Dividiere durch 8 bzw.! = Wndle und 8 in Potenzen um! 8 = Zusmmenfssung der Division lut den Potenzrechenregeln! = Erkenntnis: verschiedene Bsiszhlen gleiche Eponenten Die Lösung ergibt sich durch Gleichsetzen der gleichen Eponenten mit Null! -=0 Probe: = = = w.a. L={} Bsp.:.) Löse die folgende Eponentilgleichung in N! ( ) = Wndle die Bsiszhlen um! ( ) ( ) = Bechte die Potenzrechenregeln! = Neuer Schritt: Potenzen mit gleicher Bsis werden uf eine Seite gebrcht = Die Potenz mit der kleinsten Hochzhl wird herusgehoben! ( ) = denn lut Potenzrechenregeln gilt: ( ) = = Division durch! = = Umwndlung der Zhl in eine Potenz! = Zusmmenfssung der Division lut den Potenzrechenregeln! = Erkenntnis: verschiedene Bsiszhlen gleiche Eponenten Die Lösung ergibt sich durch Gleichsetzen der gleichen Eponenten mit Null! = 0 Lösung der lineren Gleichung führt zu! = = Probe: = Für die Grundmenge N gilt: L={ } 0 = Für die Grundmenge R gilt: L={ } = = w.a.
Tp III: Verschiedene Bsen verschiedene Eponenten Bsp.:.) Löse die Eponentilgleichung 8 9 = 8 = 9 = 6 = 9 = 8 in R! /:9 /:8 Dividiere durch 9 bzw. 8! Wndle 8 und 9 in Potenzen um! Zusmmenfssung der Division lut den Potenzrechenregeln! Erkenntnis: verschiedene Bsiszhlen verschiedene Eponenten Die Lösung ergibt sich durch Logrithmieren! ln 6 = ln Logrithmusrechenregel! ( 6)ln = ( ) ln Ausmultiplizieren! Alle uf eine Seite, Zhlen uf die ndere! ln 6ln = ln ln Herusheben! ln ln = ln 6ln (ln ln ) = ln 6ln Dividieren! ln 6ln = = 8,86 ln ln L={8,86}.) Lösen Sie die folgenden Eponentilgleichungen in R! (mit Probe) ) = 6 b) = 9 c) = d) = e) * = f) = * 8 g) * = 8 h) * = 9 i) * = j) = *.) Lösen Sie die folgenden Eponentilgleichungen in R! (mit Probe) ) * * = * * b) * = c) * 9 * = 6 * 6 * 9 d) 0 * * 6 = 6 * e) * 8 = f) * 9 = 8
. Logrithmische Gleichungen Definition: Eine Gleichung heisst logrithmisch, wenn die Vrible im Logrithmusterm steht Beispiel: log( ) - log( - ) = log( - ) Wie bei den Bruch- und den Wurzelgleichungen, gibt es eine Definitionsmenge. Der Logrithmus ist nur für positive Zhlen definiert. Im obigen Beispiel gilt D = R \ { >. } (weil >0; ->0; - >0) Zur Lösung sind die Logrithmengesetze erforderlich: log() log(b) = log(b) = log() - log(b) = und = b = log b Tp I: Nur Logrithmen Die Logrithmen müssen uf jeder Seite zu einem Logrithmus zusmmengefsst werden! Beispiel: log( ) - log( - ) = log( - ) D = R \ { >. } = =log ( ) =( )( ) = = Logrithmus wegfllen lssen! Nenner multiplizieren! Ausmultiplizieren! Zusmmenfssen und uf eine Seite, Zhlen uf die ndere = L={} wegen der Definitionsmenge! Tp II: Logrithmen und Zhlen Die Logrithmen müssen uf eine Seite gebrcht und zu einem Logrithmus zusmmengefsst werden, die Zhlen kommen uf die ndere Seite! Beispiel: lg( - ) lg()= ( )= 0 = 0=0 Zusmmenfssen! Umschreiben in die eponentielle Schreiweise! Qudrtische Gleichung lösen! 9
9.) ) lg lg = lg 96 b) lg lg = lg 6 c) lg 8 lg = lg 96 d) lg lg lg = lg 0,00 0.) ) lg (-) lg = lg () b) lg () - lg (-) = lg c) lg (6) = lg (-) lg d) lg lg () = lg (-) L: Ad 9.) ) =; b) =; c) =; d) =0,0; Ad 0.) ) =; b) =; c) =; d) =/.) Löse die Gleichungen nch uf: ) lg( ) = b) lg lg( ) = c) lg( ) lg( ) = 0 d) ln = e) ln( ) ln = ln f) ln( ) ln = 0
I. Linere Gleichungsssteme. Linere Gleichungsssteme in Vriblen Eine Gleichung der Form =,,, h h 0) heißt linere Gleichung in den Vriblen und. Lösungsmethoden von lineren Gleichungssstemen Aufgbe: Löse folgendes Gleichungssstem: I. =8 II. =9. Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode) Aus einer Gleichung wird eine Unbeknnte durch die ndere usgedrückt. Der erhltene Ausdruck wird in die ndere Gleichung eingesetzt. I. =8 II. =9 I. =8 II. =9 I in II einsetzen: (8 ) =9 in I einsetzen: 6=8 = = b. Elimintionsmethode (Additionsmethode) Mn multipliziert die Gleichungen mit geeigneten Zhlen, sodss beim Addieren der Gleichungen eine Unbeknnte wegfällt. I. =8 II. =9 / (-) I. =8 II. 6 =8 =0 = c. Komprtionsmethode (Gleichsetzungsmethode) Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Unbeknnte durch die ndere usgedrückt. Anschließend werden die erhltenen Ausdrücke gleichgesetzt. I. =8 II. =9 I. =8 II. =9 I. =8 II. = I und II gleichsetzen 8 = =
d. Grfische Methode Beide Gleichungen werden ls linere Funktionen ufgefsst und in ein Koordintensstem gezeichnet. Die Koordinten des Schnittpunkts ergeben die Lösung. Lösungsmöglichkeiten von Lineren Gleichungssstemen. Lösung Bsp.: =, = => L={(/)} b. Keine Lösung Bsp.: =, f.a. => L ={} c. Unendlich viele Lösungen Bsp.: =, w.a. => L={(/) b=}. Linere Gleichungsssteme in mehreren Vriblen Die Methoden für ds Lösen von lineren Gleicungssstemen mit mehreren Vriblen sind die geleichen. Die Anzhl der Vriblen wird schrittweise reduziert.
Übungsbltt : Linere Gleichungsssteme Berechne folgende Gleichungsssteme: )) () = 0 b) () = 0 c) () = () 6 = -0 () = 0 () 6 = 0 )) () 0 (8 ) = ( ) b) () 6 = () ( ) = 0 (9 ) () 0 = - )) () = b) () = () = () = 6 )) () = () b) () = = () = )) () = () = b) () () = = 6 6)) () = 0 b) () = 6 () = 6 () = 6 )) () () (-) (9) = - b) () () (-) () = () () (-) () = -8 () (( (-) (6) = - 8) Die Summe us dem Vierfchen einer Zhl und der Hälfte einer nderen Zhl ist. Die Summe us den Drittel der ersten Zhl und dem Fünffchen der zweiten Zhl beträgt. Wie luten die Zhlen? 9) Die Summe us dem Doppelten einer Zhl und dem Dreifchen einer nderen Zhl ist 96. Die Summe us dem Fünftel der ersten und der Hälfte der zweiten Zhl beträgt 6. Wie luten die Zhlen? 0) Die Zehnerziffer einer dreistelligen Zhl ist. Vertuscht mn die Hunderter- und die Einerziffer und ddiert diese Zhl zur gegebenen, erhält mn ls Summe 908. Subtrhiert mn die Zhl mit vertuschten Ziffern von der ursprünglichen Zhl, erhält mn ls Differenz 9. Wie lutet die ursprüngliche Zhl? [Lösungen: )) L={(;)} b) L={(0;0)} c) L={} )) L={(;8)} b) L={(;) / 6-=} )) L={} b) L={(;) / -6-=0} )) L={(;-)} b) L={(;)} )) L={(;-)} b) L={(;) / -=-} 6)) L={(;)} b) L={(;)} )) L={( / ;0)} b) L={(;)} 8), 9), 8 0) ]
Übungsbltt : Linere Gleichungsssteme ) Eine dreistellige Zhl ht die Ziffernsumme 9. Die Zehnerziffer ist um kleiner ls die Hunderterziffer. Werden Zehner- und Einerziffer vertuscht, erhält mn eine um 8 kleinere Zhl. Wie lutet die ursprüngliche Zhl? ) Löse folgende Gleichungsssteme: ) () z = 6 b) () z = c) () z = 8 () z = () z = () 9 8 z = () z = () 8 8 z =0 () z = 9 ) Löse folgende Gleichungsssteme: ) () z = -0 b) () z = -0 c) () z = () 9 z = () -9 8z = 0 () z = - () -6 8z = -8 () 6 z = () = - ) Löse folgende Gleichungsssteme: z = b) () = c) () z = ) () z 8 () z = () z = () z = 6 z () = () z = 0 () z z = ) Löse folgende Gleichungsssteme: ) () = 0 b) () z = - c) () 0 6z = () - z = 0 () z = () z = 6 = () z = 0 () z = 9 () z [Lösungen: ) )) L={(,,)} b) L={(6,,6)} c) L={(,,)} )) L={(-;;)} b) L={(;;-)} c) L={(-8;;)} )) L={(;8;-6)} b) L={(-;;-)} c) L={(-6;-;)} )) L={(0;0;0)} b) L={ } c) L={ }
J. FUNKTIONEN Allgemeine Definition: Wird jeder (reellen) Zhl A R genu eine (reelle) Zhl W R zugeordnet, so nennt mn diese Zuordnung eine (reelle) Funktion. Sprechweisen: = f() A = D f W f Stelle, Argument Funktionswert (Wert) der Funktion n der Stelle Definitionsmenge der Funktion f (Menge der -Werte) Wertemenge (Menge der -Werte) Zuordnungen (Funktionen) können drgestellt bzw. beschrieben werden: () durch eine (Zuordnungs-) Tbelle, Wertetbelle () durch ein Digrmm bzw. ein Schubild (Grph einer Funktion) Die Menge G={(If()) I A} heißt Grph der Funktion f. () durch eine Zuordnungsvorschrift (Funktionsgleichung, Funktionsterm) Die Funktionsgleichung gibt n, wie die Vrible von der Vriblen bhängt: = f (). f () ist der Funktionsterm. wird unbhängige Vrible, bhängige Vrible gennnt. Z. B. = Schreibweisen: Schreibweise Sprechweise f: f ist eine Funktion von A nch R f: ( ) f wird zugeordnet f von f: f wird zugeordnet ( ) wird zugeordnet f von f: = f() F mit gleich f von
. LINEARE FUNKTION Def.: Eine Funktion mit der Funktionsgleichung = k d (k,d R) heißen linere Funktionen. Abbildungsvorschrift f (): k d k... Steigung Steigungsdreieck (grphisch), Höhendifferenz, wenn nch rechts d... Abstnd vom Ursprung uf der -Achse Steigungsdreieck: k = => uf Achse nch rechts, k nch oben d = 0 => kein Abstnd zum Ursprung! Steigungswinkel bmessen! Wenn k > 0 => Funktion steigt! k = 0 => Gerde liegt prllel zur -Achse (horizontl) k < 0 => Gerde fällt Wenn d > 0 => Schnittpunkt mit -Achse über dem Ursprung d = 0 => Schnittpunkt mit -Achse im Ursprung d < 0 => Schnittpunkt mit -Achse unter dem Ursprung Wenn d = 0 ist, so spricht mn von einer homogenen lineren Funktion, d. h. dss die Funktionen durch den Ursprung (Nullpunkt) geht. Ist d 0 so spricht mn von einer inhomogenen lineren Funktion, wodurch zu erkennen ist, dss die Funktion nicht durch den Ursprung geht. Beispiel: Erklärung: Nenner -Achse Zähler -Achse k = / 6
Beispiel: f :R R = im Intervll [-,] F... Fipunkt Ein Fipunkt ist ein Punkt, wo die -Koordinte gleich der -Koordinte ist. ( =) N... Nullpunkt Ein Nullpunkt ist ein Punkt, wo die Gerde die -Achse schneidet ( = 0) Ein Punkt liegt uf einer Gerden, wenn er die Funktionsgleichung erfüllt. Bsp.: Liegen A(/) und B(/-) uf f()=-? A f()? Koordinten einsetzen! B f()? =*- -=*- = f. A. => A f() -=- w.a. => B f()
Ermitteln der Funktionsgleichung us Punkten Möglichkeiten:. Mittels linerem Gleichungssstem: A und B in Gleichung = k d einsetzen => k und d berechnen! b. Formel für k: k =, dnn einen Punkt in Funktionsgleichung einsetzen und d berechnen. Bsp.: Bestimme rechnerisch die Linere Funktion, die durch A(/) und B(6/-) verläuft! NULLSTELLEN Bei der lineren Funktion gibt es drei Möglichkeiten: Nullstelle unendlich viele Nullstellen keine Nullstelle (schneidet die -Achse) (Gerde liegt uf der -Achse) (liegt prllel zur -Achse) 8
Vergleich von lineren Funktionen: Berechnung der Lge von Gerden zueinnder Beim Bestimmen der Lge von Gerden zueinnder unterscheidet mn zwischen Methoden: () Grphische Methode () Lösen eines lineren Gleichungssstems (meist Gleichsetzungsverfhren) Dbei gibt es wiederum Lösungsmöglichkeiten: Grfisch Es gibt einen Schnittpunkt! Sie sind prllel! Sie sind identisch! Lösung der Gleichung und ergeben eindeutige Werte (Bsp.: =, =) flsche Aussge (f.a.) whre Aussge (w.a.) ) Schnittpunkt: Beispiel: ) = 0 ) = 0 Diese beiden Gerden hben den Schnittpunkt S (/6). Bemerkung: Die genuen Werte für die Koordinten des Schnittpunktes S wird mn nur bei entsprechend genuer Zeichnung erhlten. Ds Zhlenpr (/6) ist Lösung jeder der beiden Gleichungen und somit Lösung des gegebenen Gleichungssstems: L = {(/6)} Eine linere Gleichung mit zwei Vriblen ht im llgemeinen unendlich viele Lösungen. Zwei linere Gleichungen mit zwei Vriblen hben im llgemeinen ein Zhlenpr ls Lösung. 9
b) prllel Die beiden Gerden können prllel zueinnder liegen und hben dher keinen Schnittpunkt. Beispiel: ) = ) = L = { } Ds Gleichungssstem ht keine Lösung, d kein Zhlenpr beide Forderungen ( = = ) zugleich erfüllen knn. c) identisch Die beiden Gerden fllen in einer einzigen Gerden zusmmen, wodurch sie unendlich viele gemeinsme Punkte hben. Beispiel: ) = ) = 8 L = {( ) = )} Ds Gleichungssstem ht unendlich viele Lösungen. Die Gleichungen sind äquivlent (Gleichung ) ist gleich ml Gleichung )). Ds Gleichungssstem besteht eigentlich nur us einer einzigen Gleichung mit zwei Vriblen. 0
Übungsbltt : Linere Funktionen 6) Bestimme Wertetbelle und Grph für die Funktion = für die Definitionsbereiche ) D = {-, -, 0, } und b) b) D = { R / - } (entspricht der Schreibweise: D = [-, ] ) ) Bestimme Wertetbelle und Grph, Steigung k, Steigungswinkel α und Abstnd d für die Funktionen. ) = b) = ½ c) = - 8) Zeichne den Funktionsgrphen und bestimme die Funktionsgleichung us: ) k = -, d = - b) k = ¾, d = -¼ c) k = -, d = ½ 9) Berechne die Nullstellen und Fipunkte der Funktionen us Beispiel 8) und überprüfe rechnerisch und zeichnerisch, ob folgende Punkte Elemente der Funktionen sind: für ) A(/), B(-/) für b) P(0/ -¼ ), Q(-/-) für c) C(/-), D(-/8,) 0) Bestimme die Koordinten des Schnittpunktes der beiden Gerden durch Messung und Rechnung: 9 ) f: = b) f: = 0 c) f: = d) f: = 0 e) f: - = 0 g: = g: = ½ g: = g: =, g: = / (-) ) Berechne us den gegebenen Punktepren die Gerdengleichungen und bestimme Nullstelle und Fipunkt. ) A(/), B(-/-) b) A(-/), B(-/-) c) C(/), D(/) d) P(-/-), Q(/-) ) Liegen folgende drei Punkte uf einer Gerden? Berechne! ) A(/ ), B(0/ ), C(-/ - ) b) P(0/-), Q(/-), R(-/-0) ) Ein Dmm ht nnähernd den Querschnitt eines rechtwinkeligen, m Dreiecks (siehe Skizze). Wie groß ist seine Steigung? m ) Eine Strße ht eine Steigung von ) 8% b) % c) %. Welchem Steigungswert k entspricht ds? Gib jeweils die Seitenverhältnisse von einem pssenden Steigungsdreieck n! ) Finde die Gleichung einer Gerden, die prllel zur Gerden g: = ist und durch den Punkt ) P(/-) b) Q(/9) c) R(0/) geht. [Lösungen: 9)) N(- / /0), F(- / /- / ), A nein, B j 0)) S(-/-) b) S(- / / / ) c) S( ½ / ½ ) d) S(6,/8,8) e) S(- / /) )) =-; N(,/0); F(/) b) =; N(-,6/0); F(-,/-,) c) =; N(0/0); F unendlich viele d) =-6; N(6/0); kein Fipkt. (wrum?) )) j b) nein ) k=0, )) k=0,8 b) k=0,0 c) k=0, )) d=-9 b) d=- c) d= ]