Michel Buhlmnn Mthemtik > Linere Gleichungssysteme Crl Friedrich Guß Der Mthemtiker und Gelehrte Crl Friedrich Guß (*1777-1855) studierte nch Schulusbildung und Abitur m Collegium Crolinum Brunschweig (1792-1795) und n der Universität Göttingen Mthemtik (1795-1798); die Promotion erfolgte 1799, die Promotionsrbeit beschäftigte sich mit den komplexen Zhlen. Einen gewissen Abschluss fnd diese erste Phse von Guß' Forschungen über Anlysis und Geometrie (1790/1800) in den Disquisitiones Arithmetice (1801; dneben: Methode der kleinsten Qudrte b 1789, geometrische Konstruktion des regulären 17-Ecks 1796, Osterfestberechnung 1800/02/07). In den folgenden Jhrzehnten (1800/20) wndte sich der uch prktisch vernlgte Guß der Astronomie und Geodäsie zu (Lndvermessungen b 1799, Plnetoidenentdeckungen 1801/07, Theori Motus 1809, Über die hypergeometrische Reihe 1813). 1805 wurde Guß Professor für Astronomie n der Universität Göttingen und Direktor der dortigen (zunächst noch im Bu befindlichen) Sternwrte (stronomische Hilfstfeln 1808/12, Refrktionstfeln 1822). Die Beschäftigung mit der Geodäsie und dem Erdmgnetfeld (1820/45) führte zu Erkenntnissen bei der Erdbplttung (Geoid, 1828); 1829 veröffentlichte der Gelehrte die Schriften Die llgemeinen Grundlgen der Theorie der Gestlt von Flüssigkeiten im Gleichgewichtszustnd und Über ein neues llgemeines Grundgesetz der Mechnik (Prinzip des kleinsten Zwngs); 1831 erschien Guß' Theorie der biqudrtischen Reste zu den komplexen Zhlen. Ausfluss von Guß' Beschäftigung mit dem Elektromgnetismus wr u.. die telegrfische Göttinger Drhtverbindung von 1833. 1843 und 1846 folgten noch zwei Untersuchungen über Gegenstände der Geodäsie. Nch seinem Tod wurde Guß ls princeps mthemticorum gewürdigt (1855). Linere Gleichungssysteme In den 1820er-Jhren entwickelte Guß seine Theorie der lineren Gleichungssysteme, den Guß-Algorithmus, den er erfolgreich zur Berechnung der Umlufbhnen der dmls neu entdeckten Asteroiden/Plnetoiden nwndte. Ein (llgemeines) lineres Gleichungssystem bestehe us m Gleichungen (durchnummeriert von 1 bis m) und n Unbeknnten und hbe die Form: 11 x 1 + 12 x 2 + + 1n x n = b 1 (1) 21 x 1 + 22 x 2 + + 2n x n = b 2 (2) m1 x + m2 x 2 + + mn x n = b m (m) mit den reellen Vriblen x 1, x n, den reellen Koeffizienten 11, mn und reellen Ergebnissen (rechten Seiten) b 1, b m. Sind lle Zhlen b 1, b m = 0, so heißt ds linere Gleichungssystem homogen, nsonsten inhomogen. Ein Gleichungssystem mit mehr Vriblen ls Gleichungen (n > m) heißt unterbestimmt, eins mit mehr Gleichungen ls Vriblen (n < m) überbestimmt. In bgekürzter tbellrischer Drstellung (Mtrixdrstellung) lutet ds linere Gleichungssystem in der Form der durch die rechte Seite erweiterten Koeffizientenmtrix: 11 21 mn 12 22 m2 1n 2n mn b1 b2 b m Michel Buhlmnn, Mthemtik > Linere Gleichungssysteme 1
Im Flle einer beliebigen Anzhl von m Gleichungen und n Unbeknnten gilt hinsichtlich des Guß-Algorithmus zur Lösung des Gleichungssystems die folgende Vorgehensweise: Guß-Algorithmus für linere Gleichungssysteme 1) Ds linere Gleichungssystem us Gleichungen und Unbeknnten wird in Mtrixdrstellung umgeschrieben; einer Gleichung entspricht eine Zeile, einer Unbeknnten einer Splte in der Mtrix, die rechte (Zhlen-) Seite des Gleichungssystems bildet die letzte Splte der Mtrix; die Anzhl der Gleichungen und Unbeknnten knn uch verschieden sein. 2) Beim Guß-Algorithmus werden, beginnend vom Anfngstbleu, Nullen unter der Huptdigonlen wie folgt erzeugt: 1. Schritt: Erzeugen von Nullen in der 1. Splte, beginnend mit der Gleichung in Zeile 2; ist ds erste Element in Zeile 1 und b ds erste Element in Zeile 2, so werden lle Mtrixelemente in Zeile 2 mit multipliziert, lle Mtrixelemente in Zeile 1 mit b multipliziert und Produkt minus Produkt ls neue Mtrixelemente der Zeile 2 gebildet (Vorgehensweise (*)). Ist ds erste Element in Zeile 1 und b ds erste Element in Zeile 3, so gilt die entsprechende Vorgehensweise (*) usw., bis die letzte Mtrixzeile erreicht ist. / 2. Schritt: Erzeugen von Nullen in der 2. Splte, beginnend mit der Gleichung in Zeile 3; ist ds zweite Element in Zeile 2 und b ds zweite Element in Zeile 3, so gilt die nloge Vorgehensweise (*), und dies weiter für Zeile 4 usw., bis die letzte Mtrixzeile erreicht ist. / 3. Schritt usw., bis die letzte Mtrixsplte erreicht ist. Es entsteht ddurch ds Endtbleu des Algorithmus, ds uf die Art der Lösungen und die Lösungen des lineren Gleichungssystems hinweist gemäß den folgenden Fällen: Fll I eindeutige Lösung: 3/I) Ist im Endtbleu des Guß-Algorithmus die Digonlgestlt gegeben, so gilt für die Vrible z der letzten Splte mit dem dzugehörenden Mtrixelement 0 und dem Element b der rechten Seite: z = b z = b/. / Für die Vrible y der vorletzten Splte mit dem dzugehörenden Mtrixelement c 0, dem Mtrixelement d und dem Element e der rechten Seite gilt: cy+dz = e cy = e db/ y = e/c db/(c) / usw., bis die Vrible der ersten Mtrixsplte errechnet ist. 4/I) Die Lösungsmenge besteht in diesem Fll wegen der Eindeutigkeit der Lösung us einem Zhlentupel, lso: L = {(l m t)} mit reellen Zhlen l, m, t. Fll II keine Lösung: 3/II) Ds Endtbleu enthält im Bereich der linken Seite eine Nullzeile, während die dmit korrespondierende rechte Seite ein Element f 0 ist. 4/II) Wir erhlten lso die Gleichung: 0 = f 0 und dmit einen Widerspruch. Ds linere Gleichungssystem besitzt keine Lösung: L = { }. Fll III mehrdeutige Lösung: 3/III) Ds Endtbleu enthält im Bereich der linken Seite eine Nullzeile, während die dzugehörige rechte Seite ebenflls ein Element = 0 enthält. 4/III) Wir erhlten eine mehrdeutige Lösung, indem wir die Vrible z, dessen Digonlelement =0 ist, gleich einem reellen Prmeter r setzen. Die Lösungsmenge ist dnn vom Typ L = {(l(r) m(r) t(r)) rεr} mit lineren, von r bhängigen Funktionen l(r) = l 1 r + l 2, m(r) = m 1 r + m 2,, t(r) = t 1 r + t 2. Bei mehreren Nullzeilen des Endtbleus sind uch entsprechend viele Vriblen gleich Prmetern r, s, zu setzen, die Komponenten der Lösungsmenge sind Linerkombintionen der Prmeter r, s, Eine entsprechende Vorgehensweise ergibt sich, wenn mn ds Gleichungssystem sttt in eine (gestffelte) Dreiecksgestlt in eine (modifizierte) Digonlgestlt bringt. Beispiele: ) (Lösung nch Dreiecksgestlt, eindeutige Lösung:) Lineres Gleichungssystem: - 2x 1-7x 2 = 6 + 10x 1 + 1x 3 = 0 + 4x 2-1x 3 = 1 Anfngstbleu: 10 0 1 0 0 4-1 1 Michel Buhlmnn, Mthemtik > Linere Gleichungssysteme 2
1. Schritt: 1*(2) + 5*(1) 0-35 1 30 0 4-1 1 2. Schritt: 35*(3) + 4*(2) 0-35 1 30 0 0-31 155 Dreiecksgestlt des lineren Gleichungssystems: - 2x 1-7x 2 = 6-35x 2 + 1x 3 = 30-31x 3 = 155 Lösungen des lineren Gleichungssystems: x 3 = -5 x 2 = -1 x 1 = 0.5 b) (Lösung nch Digonlgestlt, eindeutige Lösung:) Lineres Gleichungssystem: + 5x 1-4x 2 + 2x 3 = 3 + 2x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 5 + 3x 1 + 5x 2-1x 3 = 7 Anfngstbleu: 5-4 2 3 2 2 1 5 3 5-1 7 1. Schritt: 5*(2) - 2*(1) / 5*(3) - 3*(1) / 5-4 2 3 0 18 1 19 0 37-11 26 2. Schritt: 9*(1) + 2*(2) / 18*(3) - 37*(2) / 45 0 20 65 0 18 1 19 0 0-235 -235 3. Schritt: 47*(1) + 4*(3) / 235*(2) + 1*(3) / 2115 0 0 2115 0 4230 0 4230 0 0-235 -235 Teilen: (1):2115 / (2):4230 / (3):(-235) / 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Digonlgestlt des lineren Gleichungssystems: + 1x 1 = 1 + 1x 2 = 1 + 1x 3 = 1 Lösungen des lineren Gleichungssystems: x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = 1 Michel Buhlmnn, Mthemtik > Linere Gleichungssysteme 3
c) (Lösung nch Digonlgestlt, unendlich viele Lösungen:) Lineres Gleichungssystem: + 2x 1 + 3x 2-5x 3 = 8 + 3x 1-1x 2-2x 3 = -10 Anfngstbleu: x 1 x 2 x 3 R.S. 2 3-5 8 3-1 -2-10 1. Schritt: 2*(2) - 3*(1) / 2 3-5 8 0-11 11-44 2. Schritt: 11*(1) + 3*(2) / 22 0-22 -44 0-11 11-44 Teilen: (1):22 / (2):(-11) / 1 0-1 -2 0 1-1 4 Digonlgestlt des lineren Gleichungssystems: + 1x 1-1x 3 = -2 + 1x 2-1x 3 = 4 Lösungen des lineren Gleichungssystems: x 3 = t x 1 = -2 + 1t x 2 = 4 + 1t -> unendlich viele Lösungen des lineren Gleichungssystems; Prmeter ist die reelle Zhl t d) (Lösung nch Digonlgestlt, keine Lösung:) Lineres Gleichungssystem: + 2x 1 + 1x 2-1x 3 = 2 + 1x 1 + 3x 2-2x 3 = 3 + 3x 1 + 4x 2-3x 3 = 4 Anfngstbleu: x 1 x 2 x 3 R.S. 2 1-1 2 1 3-2 3 3 4-3 4 1. Schritt: 2*(2) - 1*(1) / 2*(3) - 3*(1) / 2 1-1 2 0 5-3 2 2. Schritt: 5*(1) - 1*(2) / 1*(3) - 1*(2) / 10 0-2 6 3. Schritt: (keine Umformung) / 10 0-2 6 Michel Buhlmnn, Mthemtik > Linere Gleichungssysteme 4
Teilen: (1):10 / (2):5 / 1 0-0.2 0.6 0 1-0.6 0.8 Digonlgestlt des lineren Gleichungssystems: + 1x 1-0.2x 3 = 0.6 + 1x 2-0.6x 3 = 0.8 0 = -2 -> keine Lösung des lineren Gleichungssystems Litertur: dtv-atls Schulmthemtik, v. FRITZ REINHARDT (= dtv 3099), München 3 2003, S.70f LELGEMANN, DIETER, Guß und die Messkunst, Drmstdt 2011 Michel Buhlmnn, 08.2014 Michel Buhlmnn, Mthemtik > Linere Gleichungssysteme 5