Lösungen zur Funktionentheorie Bltt 6 Prof. Dr. Y. Kondrtiev Dipl. Mth. D. Otten Aufgbe Berechne unter Verwendung der Definition ds Integrl z z ) m dz wobeim N und ein Qudrt mit Mittelpunktz ist, dessen Achsen prllel zu den Koordintenchsen sind. Lösung: Erinnerung: Kurvenintegrl:U Gebiet,f :U stetig,,b Rmit<b,α:[,b] U stückweise stetig differenzierbre Kurve mit Spα) U, dnn ist ds Kurvenintegrl vonf entlng der Kurveαdefiniert ls b fz) fαt)) α t)dt α z B z A z z D d Wir bestimmen zunächst die Kurve für ein Qudrt mit den Eckpunktenz,z,z,z 4 zu einem beknnten Mittelpunktz. Diese Kurve wird im Folgenden im Uhrzeigersinn durchlufen. Andernflls ändert sich ds Vorzeichen ller Ergebnisse. D die Achsen des Qudrtes einerseits prllel zu den Koordintenchsen verlufen sollen und ndererseits ds Qudrt eine beliebige Größe besitzen drf, betrchten wir zu einem beliebigen Punktz x +iy die Eckpunkte z x d) +iy d) z x d) +iy +d) z x +d) +iy +d) z 4 x +d) +iy d) wobeid R + beliebig. Der Wertdreguliert hierbei die Größe des Qudrtes und entspricht der Hälfte einer Seitenlänge. Mn überlege sich leicht, dss lle uf diese Art konstruierten möglichen Qudrte den Punktz ls Mittelpunkt ufweisen. Als nächstes notieren wir die vier KurvenA,B,,D für die vier verschiedenen Teilstrecken Verbindungsstrecken): A : [z,z ] : [, ] mitat) :z +tz z ) x d+iy + t )d) B : [z,z ] : [, ] mitbt) :z + t )z z ) + t)d +x +iy +d) : [z,z 4 ] : [, ] mitt) :z + t )z 4 z ) x +d+iy + t + 5)d) D : [z 4,z ] : [, 4] mitdt) :z 4 + t )z z 4 ) x + t + 7)d +iy d) Dnn ist die gesmte Kurve durch eine Zusmmensetzung vona,b, undddies ist möglich, d z 4
Lösungen zur Funktionentheorie Bltt 6 Prof. Dr. Y. Kondrtiev Dipl. Mth. D. Otten A) B),B) ) und) D) gilt) gegeben durch At), t Bt), t :A B D : [, 4] mitt) : t), t Dt), t 4 wird in der Litertur uch ls Polygonzug bezeichnet. Insbesondere gilt ) 4), weswegen es sich bei um eine geschlossene Kurve bzw. einem geschlossenen Integrtionsweg) hndelt. Kommen wir nun zur Berechnung des Integrls z z ) m dz m Z) Bei der Berechnung müssen wir fürm Z zwei Fälle unterscheiden:. Fll: m ) z z ) m z z ) m dz A B D z z ) m dz + z z ) m dz + z z ) m dz + z z ) m dz A B z +tz z ) z ) m z z )dt + D z + t )z z ) z ) m z z )dt + z + t )z 4 z ) z ) m z 4 z )dt + z 4 + t )z z 4 ) z ) m z z 4 )dt [ ] [ ] m + z +tz z ) z ) m+ + m + z + t )z z ) z ) m+ [ ] [ ] + m + z + t )z 4 z ) z ) m+ 4 + m + z 4 + t )z z 4 ) z ) m+ z z ) m+ z z ) m+ + z z ) m+ z z ) m+ + z 4 z ) m+ m + z z ) m+ + z z ) m+ z 4 z ) m+) m +. Fll: m ) D der komplexe Logrithmus nicht uf gnz stetig und holomorph ist, muss hier Achtung gegeben werden siehe: Abschlussbemerkung). Wir beweisen in Kürze, dss A z z B z z z z gilt und erhlten drus unmittelbr dz z z A B Dz z dz + dz + Az z Bz z 4 π ) i πi D 4 z z π i dz + dz z z Dz z Wir zeigen nun, dss ds Integrl über jede dieser VerbindungsstreckenA,B, unddden Wert π i nnimmt. Dbei sei uf die Definition des Kurvenintegrls hingewiesen und n die Ableitungen der Kurven A t) di,b t) d, t) di undd t) d erinnert. Alle vier Integrl lssen sich nun uf dieselbe Art und Weise berechnen. Mn bechte, dss lle Ergebnis unbhängig von d sind. Unter Verwendung von b f x) fx) dx [ln fx) ]b und b +x dx [ rctnx)]b
Lösungen zur Funktionentheorie Bltt 6 Prof. Dr. Y. Kondrtiev Dipl. Mth. D. Otten erhlten wir di Az z d +it )d dt di d it )d) d + t ) d dt 4d t ) d + t ) d dt +i d d + t ) d dt [ lnd + t ) d ] +i [ rctnt )] lnd d ) ln +i rctn) rctn ))) i π ) 4 π π 4 i d z z + t)d +id dt d + t)d id) + t) d +d dt B D z z 4 z z 4d + t) + t) d +d dt +i d + t)d +d dt [ ln + t) d +d ] +i [ rctn + t)] lnd d ) ln +i rctn) rctn ))) i π ) 4 π π 4 i di d +i t + 5)d dt did i t + 5)d) d + t + 5) d dt 4 4 t + 5)d d + t + 5) d dt +i d d + t + 5) d dt [ lnd + t + 5) d ] +i [ rctnt 5)] lnd d ) ln +i rctn) rctn ))) i π ) 4 π π 4 i d 4 t + 7)d id dt d t + 7)d +id) t + 7) d +d dt 4 t + 7) d 4 t + 7) d +d dt +i d t + 7) d +d dt [ ln t + 7) d +d ] 4 +i [ rctnt 7)]4 lnd d ) ln +i rctn) rctn ))) i π ) 4 π π 4 i d>) d>) d>) d>) Abschlussbemerkung: Der komplexe Logrithmus log : \R ist stetig und holomorph in \R, wobei R :{z R z }. Aufgbe Die Funktionf sei ußerhlb des Kreises{z z z r } mitz undr > ) stetig. Es bezeichnemr) ds Mximum von f uf der Menge llerz mit z z r>r. Es gelte lim r rmr). Zeige, dss dnn uch lim fz) r r gilt, wobei r einen Kreisbogen umz mit dem Rdiusrbezeichne.
Lösungen zur Funktionentheorie Bltt 6 Prof. Dr. Y. Kondrtiev Dipl. Mth. D. Otten Lösung: Zunächst ist der Integrtionsweg r r R mitr>r > ) gegeben durch r : [,b] mit r t) :z +re it wobei <b π beliebig, ber fest gewählt sind. Die Kurvenlänge von r ist gegeben durch L r ) b r rt) dt b b rie it dt b dt b )r <b π r cos t) + sin t) ) dt b r dt Aus der Stndrdbschätzung SA) des Kurvenintegrls und der BogenlängeL r ) us der vorherigen Zeile erhlten wir: SA) lim r fz)dz liml r ) mx fz) lim L r r r) mx z Sp r) r fz) z B rz ) b )r Mr) Aufgbe Zeige, dss die Funktion f : mitfz) : Rez) b ) limrmr) b ) <b π r nch Vor. keine Stmmfunktion besitzt. Lösung: Erinnerung: Stz:D offen,f :D stetig ufd. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: ):f besitze eine Stmmfunktion indd.h.f ist integrbel ind) ): : [,b] mit,b R,<b,) b) und Sp) D : fz) ): F :D holomorph ind : [,b] mit,b R,<b und Sp) D: fz)fb)) F)) 4): α : [,b] β : [c,d] mit,b,c,d R,<b,c<d,α) βc),αb) βd), Spα) D und Spβ) D: fz) fz)dz α β Angenommen die Funktion fz) Rez) die offensichtlich stetig uf gnz ist) besitzt eine Stmmfunktion, so müsste ds Integrl über jede geschlossene Kurve verschwinden siehe )), d.h. Rez) Also müsste dies uch speziell für den folgenden geschlossenen Integrtionsweg gelten: : [, π] mitt) re it r>) 4
Lösungen zur Funktionentheorie Bltt 6 Prof. Dr. Y. Kondrtiev Dipl. Mth. D. Otten der offenbr die Ableitung t) ire it besitzt. Aber ttsächlich gilt: π π π Rez) Ret)) t)dt Rere it ) ire it dt r cost) ire it dt π π r cost) sint)dt +ir cost)) dt [ ] π [ r cost)) +ir sint) cost) + ] π t r [ cosπ)) ] cos)) +ir [ sinπ) cosπ) + } {{} π sin) cos) + )] } {{} π iπr Dies ist ein Widerspruch zur Annhme, dss f eine Stmmfunktion besitzt. Folglich besitzt die Funktion f keine Stmmfunktion. Aufgbe 4 Berechne die folgenden Integrle ): z +i) dz ): ze iz ) ): z cosz)dz wobei die hlbe Ellipse ist, welche von π durch πi nch π Koordintenchsen ht. Lösung: Im führt und die Huptchsen uf den πi Zunächst ist der Weg gegeben durch π π Re : [,π] mitt) : π cost) +i π sint) Dnn ist die Ableitung t) π sint) +i π cost). Zur Lösung der Aufgben zeigen wir im Teil ) zwei Vrinten. Die erste Vrinte ist, dss mn lles durchrechnet sehr rechenufwendig) -> Vrinte ). Die ndere Vrinte ist, dss mn eine Stmmfunktion träumt -> Vrinte ). Anschließend geht lles gnz einfch. zu ): Vrinte : usrechnen) Um uns im folgenden etws Schreibrbeit zu erspren, nennen wir vorweg einige notwendige Stmmfunk- 5
Lösungen zur Funktionentheorie Bltt 6 Prof. Dr. Y. Kondrtiev Dipl. Mth. D. Otten tionen: cos t)dt cost) sint) + t cos t)dt cos t) sint) + sint) cos t) sint)dt cos t) cost) sint)dt cos t) sin t)dt cost) sint) + t sin t)dt cost) sin t) + cost) cost) sin t)dt sin t) Kommen wir nun zur Aufgbe: π z +i) π +i π ) π cost) +i π sint) + ) π ) sint) +iπ cost) dt ) 4 π cos t) 4π sin t) 4π sint) π sint) ) π cost) sint) +πcost) π cost)dt ) π cost) sint) +πcost) π sint) ) + 4 π cos t) 4π sin t) 4π sint) π cost)dt Wir berechnen zunächst den Relteil des Integrls: π ) 4 π cos t) 4π sin t) 4π sint) π sint) ) π cost) sint) +πcost) π cost)dt π π π 8 π cos t) sint)dt + π sin t)dt + π sin t)dt + π π π sint)dt π cos t)dt 88 π + π 4 + π π + π π π π +π Als nächstes berechnen wir den Imginärteil des Integrls: π ) π cost) sint) +πcost) π sint) ) + 4 π cos t) 4π sin t) 4π sint) π cost)dt π 9π cost) sin t)dt 7 π π cost) sint)dt + π π cos t)dt π 9π 7 π + π π Dmit erhlten wir insgesmt die Lösung z +i) π +π Vrinte : Stmmfunktion träumen) Wir träumen kurz mit Mple) und stellen die folgende Vermutung uf: z +i) ist die Stmmfunktion von z +i) 6 π cost) dt
Lösungen zur Funktionentheorie Bltt 6 Prof. Dr. Y. Kondrtiev Dipl. Mth. D. Otten Dzu müssen wir zeigen: i): z +i) ist holomorph ii): z +i) ) z +i) i) gilt, d die Funktionz +i holomorph uf gnz ist, lso uch z +i) und dmit uch z +i). ii) gilt wegen der Kettenregel. Dmit können wir den folgenden Stz nwenden: Stz:D offen,f :D stetig ind,f Stmmfunktion vonf. Dnn gilt für jede gltte d.h. stetig differenzierbre) Kurve α : [, b] mit Reα) D: fz)fαb)) Fα)) α Speziell fürfz) z +i),fz) z +i) undα erhlten wir: z +i) π) +i) ) +i) π π ) 4 π + π π +π zu ): Vrinte : usrechnen) D diese Berechnung sehr ufwendig ist und die Integrnten sehr lng werden, zeigen wir nur die Vrinte. Für Vrinte sei lediglich uf die Hyperbelfunktionen des osinus und des Sinus hingewiesen. Vrinte : Stmmfunktion träumen) Wir träumen wieder kurz mit Mple) und stellen die folgende Vermutung uf: cosz) +zsinz) ist die Stmmfunktion vonz cosz) Dzu müssen wir zeigen: i): cosz) +zsinz) ist holomorph ii): cosz) +zsinz)) z cosz) i) gilt, d die Funktionen cosz), sinz) undz llesmt uf gnz holomorph sind, lso uch cosz) + z sinz). ii) gilt ufgrund der Linerität L) und Produktregel P): cosz) +zsinz)) L) cosz)) + z sinz)) P) sinz) + sinz) +zcosz) z cosz) Dmit können wir den in ) gennnten Stz nwenden. Speziell fürfz) z cosz),fz) cosz) + z sinz) undα erhlten wir: z cosz) cosπ) ) +π) sinπ) ) cos) ) ) sin) ) π π π π π π π π π π zu ): Vrinte : usrechnen) D diese Berechnung sehr ufwendig ist und die Integrnten sehr lng werden, zeigen wir nur die Vrinte. Vrinte : Stmmfunktion träumen) Wir träumen nun ein letztes Ml und stellen dbei die folgende Vermutung uf: i eiz) ist die Stmmfunktion vonze iz ) 7
Lösungen zur Funktionentheorie Bltt 6 Prof. Dr. Y. Kondrtiev Dipl. Mth. D. Otten Dzu müssen wir zeigen: i): ii): i eiz) ist holomorph ) ) i eiz ze iz ) i) gilt, d die Funktionene z,iz und i llesmt uf gnz holomorph sind, lso uch i eiz). ii) gilt ufgrund der Produktregel P) und Kettenregel K): ) ) P) i eiz i e ) iz ) K) i iz ) iz e ) P) i iz eiz) ze iz ) Dmit könne wir den in ) gennnten Stz nwenden. Speziell fürfz) ze iz),fz) i eiz) und α erhlten wir: ze iz) i eiπ)) i ei)) i eiπ ) i eiπ ) 8