Mthemtik mit Mthd MK..0 0_0_Qud_Gleih.xmd Einfhe qudrtishe Gleihungen. Qudrtishe Gleihungen ef.: Eine Gleihung, in der x höhstens qudrtish (in der zweiten Potenz) vorkommt, heißt qudrtishe Gleihung. Gewöhnlihe Form: x x 0 mit den reellen Prmetern, und, woei 0 ie Lösung der qudrtishen Gleihung ie qudrtishe Gleihung wird normlerweise mit der Lösungsformel (Mitternhtsformel) gelöst. ie Formel selst wird mit Hilfe der Methode der qudrtishen Ergänzung gewonnen. Einfhe Gleihungen lssen sih uh fktorisieren (Stz von Viet). Hier wird die Formel hergeleitet und dnn enutzt. s CAS ist ohnedies in der Lge, qudrtishe Gleihungen ufzulösen. x x 0 x x 0 x k x k ( x k) Zu dieser inomishen Formel wird die Gleihung umgeformt x x lso ist k er Term fehlt uns Also wieder weg 0 s heißt qudrtish ergänzt. x x x x x x 0 Alles, ws stört, us der großen Klmmer rus. 0 Vereinfhen. Reste uf die ndere Seite. x Binom usnutzen. x x urh. Huptnenner.
Akürzung: Sei (Mit iskriminnte, Bestimmende) Also x Auf der linken Seite steht ein Qudrt. Links knn der Ausdruk lso nie negtiv werden. er Ausdruk rehts shon, genuer: knn uh negtiv werden. nn hätte die Gleihung keine Lösung. Mn ruht lso eine Flluntersheidung. () Fll: Sei < 0. nn wissen wir sofort: L { () Fll: Sei 0. nn gilt: x 0 Es git genu eine Lösung: L { () Fll: Sei > 0 nn knn mn die Wurzel ziehen und mn ekommt endlih zwei Lösungen: x Alles ws in den nähsten vier Zeilen steht, gehört zum () Fll. s Auflösen der Beträge liefert zwei Lösungen: x und x x und x x und x > L { ; Mit Mthd gehts gnz einfh: x x 0 uflösen x vereinfhen
Wieder zurük zu Kopf und Tshenrehner Bsp.: x 0 0 ( ) 6 > 0, lso () Fll. 0 0 xl xl L { - ; Bsp.: x x 0 ( ) 0 0, lso () Fll. xl L { Bsp.: x x 0 0 0 6 < 0, lso () Fll. Ohne jede weitere Rehnung sieht mn: L { An den drei Beispielen sehen Sie: ie Mitternhtsformel gilt nur im () Fll. Benutzen Sie sie uh nur in diesem Fll. Vorgehensweise ohne CAS. Identifizieren Sie die Prmeter: Sie müssen evtl. x oder x zuvor usklmmern, dnn gilt: er Fktor vor dem x ist ds, der Fktor vor dem x ist ds, lles ohne x ist ds. Wenn kein x vorkommt ist 0. Fehlt ds ohne lles ist 0. Bsp.: 7x x ( x ) ( x ) 7x x x 0x x x 0 0 jetzt: 0. Berehnen Sie Am Bsp.: ( ) 0. Bestimmen Sie den Fll: () Fll: Sei < 0. Es git keine Lösung: L { Es ist keine weitere Rehnung nötig. () Fll: Sei 0. Es git genu eine Lösung: L { () Fll: Sei > 0 Es git zwei Lösungen, die mit der Formel weiter erehnet werden: L { ; Am Bsp.: xl xl
Biqudrtishe Gleihungen, Sustitution Mnhe Gleihungen höheren Grdes lssen sih reltiv einfh durh die Methode der Sustitution uf qudrtishe Gleihungen zurükführen. Lernen Sie die Methode n den Folgenden Beispielen kennen: Beispiel: x x 9 0 ist x x 9 0 > Ersetzen Sie ( Sustitution) x durh eine ndere Vrile, z.b. u: x 0 u u 9 0 s ist eine qudrtishe Gleihung in u und lässt sih wie gewohnt lösen. 9 u 6 u Jetzt ersetzen Sie u wieder durh x ( Rüksustitution): x u > x x x u 9 > x x 9 L { -; -; ; Beispiel: x 6 x 0 Ersetzen Sie ( Sustitution) x durh u: u 6 u 0 6 ( ) 00 u ( 6 0) u ( 6 0) Jetzt ersetzen Sie u wieder durh x : x u > keine Lösung für x x u > x x L { -; Beispiel: x 6 9 x 7 0 x wird durh u ersetzt: u 9 u 7 0 9 7 9 9 u u 7 u durh x > x u > x L { -; / x u 7 > x
Vorgehensweise mit CAS Mthd rehnet niht nur mit reellen Zhlen, sondern uh mit komplexen. her findet Mthd immer eine Lösung, uh wenn sie für niht existiert, d sie niht reell ist. Beispiel: x x 0 ht keine Lösung, d 9 kleiner ls Null ist. Mthd: x x 0 uflösen x 9 i 9 i s Ergenis enthält die imginäre Einheit i. rn könne Sie sehen, dss es keine reelle Lösung git. x x x 0 uflösen 0 nnehmen x reell Bei Gleihungen dritten Grdes lässt Mthd ds Auslenden komplexer Lösungen zu. Bei qudrtishen Gleihungen geht es niht. nn hilft dieser Kniff. Mthd löst die die Fälle () und () ohne Proleme. Beispiel: x x 0 uflösen x ie - git es doppelt, es ist eine Lösung. Mnhml ist wihtig zu wissen, dss eine Lösung mehrfh vorkommt. Immer wenn 0 ist, git es eine doppelte Lösung. Beispiel: x x 0 0 uflösen x s Beispiel von oen. Wenn Brühe ls Lösungen vorkommen, dürfen die Koeffizienten niht ls ezimlzhl vorliegen. Mthd git dnn uh ezimlzhlen in der Lösung us. Beispiel: x x x 0 uflösen x x.0 0 uflösen x.0 x x 0 uflösen x 0..0 0..0 Beispiel: x x 0 uflösen x x x 0.7 0 uflösen x 0. 0.7