3. Ermittlung und Lösung des FE-Grundgleichungssystems
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- Wolfgang Bruhn
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1 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES Bespel: De Afgabenstellng latet, de Vershebngen der Wagen nd, nfolge der äßeren Belastng, sowe alle ederkräfte z bestmmen. Daz snd folgende Shrtte drhzführen: Afstellen des E-Glehngssystems: Enba der Randbedngngen Lösen des Glehngssystems K Z Shrtt werden nahfolgend zwe Zgänge besprohen, de Matrx-Stefgkets-Methode Abshntt. sowe en Varatonsprnzp Abshntt.. Shrtt nd werden shleßlh m Abshntt. deses Kaptels behandelt. 50
2 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES. Matrx-Stefgkets-Methode zm Afba des Glehngssystems ür de enzelnen edern glt: j. 0 Kräfteglehgewht am Enzelsystem: a b 5
3 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES. 0 Kräfteglehgewht am Enzelsystem: a 0 0 b 5
4 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES. 0 Kräfteglehgewht am Enzelsystem: a b 0 0 a n Matrxshrebwese ergbt: K Gesamtstefgketsmatrx K 4 5
5 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES Wr können folgendes festhalten: de Stefgketsmatrx st qadratsh, de Stefgketsmatrx st symmetrsh, de Spalten- bzw. Zelenanzahl der Matrx spegelt de Zahl der rehetsgrade her nsgesamt wder. Bemerkng: De Gesamtstefgketsmatrx kann ah as den sogenannten Elementstefgketsmatrzen afgebat werden. 54
6 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES. Prnzp der Mnmerng des Gesamtpotentals Varatonsprnzp Asgangspnkt bldet de Betrahtng des Gesamtpotental π enes elastshen Systems: π U-W I mt U nnere ormänderngsenerge nd W Potental der äßeren Kräfte. ür den Glehgewhtsfall bzw. -zstand nmmt der Wert des Potentals en Mnmm an. π 0 II d.h. für alle Vershebngen Glehgewht befndet sh das betrahtete System nht m Glehgewht. De orderng nah der Mnmerng des Gesamtpotental führt damt af de geshte Vershebng m Glehgewhtsfall. 55
7 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES Verdetlhng des Prnzps der Mnmerng des Gesamtpotentals: 56
8 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES ür ene belebge eder mt der ederstefgket des Bespels ergbt sh für de gespeherte elastshe Energe nnere ormänderngsenerge U : U 0 d III Das Potental der äßeren Kraft ergbt sh z: W 0 d IV ür das betrahtete System glt dann: π π ges π π π 57
9 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES Mt π U W U W U W folgt über de Glehngen I,II nd III: π U U U W W W π ½ - ½ - ½ - V eder eder eder E E E De partellen Abletngen π 0 nah den enzelnen Knotenvershebngen ergeben sh z: VI a VI b VI 58
10 UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES ahbereh Mashnenba. Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems Glehngen VIa bs VI n Matrxshrebwese dargestellt, ergbt dann das berets bekannte E-Grndglehngssystem der Glehng 4: VII K Gesamtstefgketsmatrx Wr sehen somt, dass vershedene Zgänge zr ormlerng des E- Grndglehngssytems gewählt werden können. her de Matrx-Stefgkets-Methode sowe das Varatonsprnzp der Mnmerng des Gesamtpotentals Nn glt es das E-Grndglehngssystem z lösen. Abtelng Mashnenba 59
11 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES De Lösng des Glehngssystems: K nah Gl. 4 bzw. VII bestmmt sh z: K adj det K 5 De Berehnng der Determnante K ergbt jedoh den Wert 0, d.h. das Glehngssystem st ohne Berükshtgng weterer Randbedngngen nht lösbar. Begründng: In der derzetgen orm der Gl. 4 bzw. VII exsteren nendlh vel Lösngen. In jeder Glehgewhtslage kann das System ene sogenannte Starrkörperbewegng asführen, be der sh zwar alle Knotenkoordnaten, aber kene Knotenkräfte ändern. Daher glt es nn de problembeshrebenden Randbedngngen z formleren nd dese n das E-Glehngssystem der Gl. 4 bzw. VII enzbaen. 60
12 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES. Enba der Randbedngngen nd Lösen des Glehngssystems De Problembeshrebenden Randbedngngen snd: 0 nterbnden der Starrkörperbewegng äßere Last 0 de reslterende Kraft st m Glehgewhtszstand gleh nll Bemerkng: Im Glehgewhtszstand snd alle nneren Kräfte gleh Nll, nr äßere Kräfte nd Enspannkräfte snd ngleh Nll. 6
13 UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES ahbereh Mashnenba. Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems Damt folgt für das Gesamtglehngssystem: ür de nbekannte Enspannkraft exstert dann en z lösendes Glehngssystem der orm: [ ] [ ] ür de nbekannten Vershebngen nd exstert en z lösendes Glehngssystem der orm: Abtelng Mashnenba 6
14 UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES ahbereh Mashnenba. Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems Lösng/Ergebns: 0 0 Randbedngngen Randbedngngen Randbedngngen Abtelng Mashnenba 6
15 . Ermttlng nd Lösng des E-Grndglehngssystems ahbereh Prof. Dr.-Ing. Mashnenba Abtelng Mashnenba UNIVERSITY O APPLIED SCIENCES Bemerkngen z nmershen Lösngsverfahren: De Lösng der Glehngssysteme kann dann z.b. mttels des Gaß- oder Cholesky- Elmnatonsverfahren erfolgen. Neben desen drekten Lösngsverfahren werden znehmend teratve Verfahren verwendet z.b. Gaß-Sedel-Verfahren oder andere. Der Grnd legt n der,5fah shnelleren Lösngsfndng CPU-Zet. 64
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