UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Lehrstuhl für Technische Mechanik. Materialmodellierung. Prof. Dr.-Ing. Stefan Diebels

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1 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Lehrstuhl für Technische Mechanik Materialmodellierung Prof. Dr.-Ing. Stefan Diebels Version vom c 2015

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3 i Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Wiederholung: Lineare Elastizität Klassifizierung von Materialverhalten Einachsialer Zugversuch Ingenieurverzerrung Spannungstensor Elastizitätsgesetz Randwertproblem der Elastostatik Kinematik Materielle Körper und ewegung Geschwindigkeit und eschleunigung Materielle Zeitableitung Transport materieller Linien, Flächen, Volumen Deformations- und Verzerrungstensoren Polare Zerlegung Deformations- und Verzerrungstensoren Definition weiterer Verzerrungsmaße Darstellung mittels Verschiebungsgradient Linearisierung Geschwindigkeitsgradient Interpretation der Verzerrungsgeschwindigkeit und des Wirbeltensors Zeitableitungen der Verzerrungstensoren Vektor- und Tensorrechnung in natürlichen asissystemen Exkurs: Vektor- und Tensoralgebra

4 ii 4.2 Vektor- und Tensoranalysis Materielle Linien und natürliche asis Verzerrungstensoren in natürlichen Koordinaten ilanzgleichungen Massenbilanz Impulsbilanz Impulsbilanz in materieller Darstellung Drallbilanz Energiebilanz Entropiebilanz Allgemeine ilanzgleichung Sprungbedingungen über singuläre Flächen Randbedingungen Materialtheorie Allgemeine Prinzipien Materielle Objektivität Wechsel des ezugssystems Objektive Größen ezugsinvarianz Materielle Symmetrie Das Entropie-Prinzip Inkompressibilität Elastischer Festkörper Hyperelastizität Invariantendarstellung

5 iii 7.3 Zur Wahl der freien Energiefunktion Viskose Fluide Newtonsches Fluid Navier-Stokes-Gleichung Rheologie Plastischer Festkörper Experimentelle eobachtungen Zerlegung der Deformation Fließfunktionen Spannungsraum Fließkriterium Fließregel Verfestigung

6 Einleitung Inhalt der Veranstaltung: Einführung in die Kontinuumsmechanik Definition: Kontinuumsmechanik ist die Mechanik kontinuierlich verteilter, deformierbarer Körper (Festkörper, Fluide). Die Kontinuumsmechanik beschäftigt sich mit der eschreibung der ewegung und Deformation von Körpern unter der Einwirkung äußerer Kräfte und Temperaturänderungen. Die eschreibung erfolgt phänomenologisch, ohne den atomistischen Aufbau der Materie explizit zu berücksichtigen (makroskopische Sichtweise). Die Grundlage der eschreibung bilden wenige Axiome, die als a priori richtig vorausgesetzt werden. Die Kontinuumsmechanik bedient sich der Mathematik als Hilfsmittel, insbesondere der Vektor- und Tensorrechnung und der Differenzialgeometrie. Zur erfolgreichen Anwendung der Kontinuumsmechanik benötigt man die folgenden drei ereiche: Theorie Experiment Numerik Grundlage kontinuumsmechanischer Überlegungen ist das Experiment, in dem bestimmte Phänomene beobachtet werden. Im Rahmen theoretischer Überlegungen versucht man, die eobachtungen in einem mathematischen Modell abzubilden. Die Lösung der resultierenden Gleichungen, die im Allgemeinen nichtlinear sind, geschieht meißtens numerisch. Ein erfolgreicher Vergleich der berechneten mit den experimentell beobachteten Problemen validiert die Theorie. Können die erechnungen nicht mit den Experimenten in Einklang gebracht werden, so ist das theoretisch abgeleitete Modell zu modifizieren. In der Vorlesung Kontinuumsmechanik werden wir uns mit den grundlegenden Aspekten der theoretischen Formulierung von mechanischen Modellen befassen. Eine kontinuumsmechanische Theorie selbst besteht wiederum aus drei Teilen: Kinematik eschreibung der ewegung und der Deformation ilanzgleichungen In der klassischen Physik axiomatisch eingeführte Erhaltungssätze für Masse, Impuls, Drall, Energie, Entropie

7 2 Materialmodellierung Konstitutivgleichungen eschreibung des Materialverhaltens, im einfachsten Fall ein Zusammenhang zwischen den wirkenden Spannungen und den auftretenden Deformationen, z.. Hookesches Gesetz Kontinuumsmechanik Kinematik ilanzgleichungen Theorie Experiment Numerik Konstitutivgleichungen Die bisher gehörten Veranstaltungen TM I: Statik TM II: Elastostatik TM III: Dynamik ordnen sich wie folgt in den Rahmen der Kontinuumsmechanik ein: Kontinuumsmechanik Starre Körper Deformierbare Körper Statik Dynamik Fest- Fluide TM I TM III körper elastisch viskoelastisch kompressibel TM II plastisch viskoplastisch inkompressibel

8 Literaturauswahl 1. Greve: Kontinuumsmechanik, Ein Grundkurs, 1. Aufl., Springer, erlin Holzapfel: Nonlinear Solid Mechanics, 1. Aufl., Wiley, Chichester Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials, 2. Aufl., Springer, erlin Truesdell & Toupin: The Classical Field Theories, Handbuch der Physik III/1, Hrsg. Flügge, Springer, erlin 1960, pp

9 4 Materialmodellierung

10 Wiederholung: Lineare Elastizität Das grundsätzliche Vorgehen im Rahmen der Kontinuumsmechanik wird bereits bei der ehandlung der linearen Elastizitätstheorie deutlich, die die Grundlage für die Veranstaltung Elastostatik im zweiten Semester bildet. Exemplarisch für die kontinuumsmechanische Modellbildung werden die wesentlichen Punkte, die auf die Grundgleichung der Elastostatik, die Navier-Lamésche Verschiebungsgleichung, führen, hier wiederholt. 2.1 Klassifizierung von Materialverhalten Das Materialverhalten wird in Versuchen ermittelt. Ziel der Versuche ist es, das Deformationsverhalten eines bestimmten Materials mit den wirkenden Kräften zu verknüpfen. Klassische Versuche, die dazu herangezogen werden, sind der einachsiale Zugversuch, der Schubversuch (i. d. R. realisiert als Torsionsversuch an dünnwandigen Rohren), der hydrostatische Kompressionsversuch. Idealisierend sind diese Versuche in Abb. 1 dargestellt. Die tatsächliche Realisierung kann unter Umständen sehr aufwändig sein. Idealerweise treten in diesen Elementarversuchen homogene Spannungszustände und homogene Deformationszustände auf, so dass im Probekörper überall die gleichen Spannungen und Dehnungen gemessen werden und globale und lokale Größen identisch sind. Im Rahmen des Zugversuchs (oder auch der anderen grundsätzlichen Elementarversuche) kann man folgende Arten von Materialverhalten feststellen: Elastisches Verhalten Viskoelastisches Verhalten Plastisches Verhalten Viskoplastisches Verhalten Typische idealisierte Spannungs-Dehnungs-Kennlinien, wie sie dabei aufgenommen werden können, sind in Abb. 2 gezeigt. Grundsätzlich kann man das Materialverhalten in zwei mal zwei Klassen einteilen. Man unterscheidet zum einen geschwindigkeitsunabhängiges und geschwindigkeitsabhängiges Verhalten. Im Fall geschwindigkeitsunabhängigen Verhaltens sind die Messergebnisse im

11 6 Materialmodellierung Zugversuch Schubversuch hydr. Kompressionsversuch Abbildung 1: Elementarversuche σ elastisch σ plastisch σ viskoelastisch ε σ viskoplastisch ε ε zunehmend ε ε zunehmend ε Abbildung 2: Idealisierte Spannungs-Dehnungs-Kennlinien Spannungs-Dehnungs-Diagramm von der elastungsgeschwindigkeit unabhängig. Im Fall geschwindigkeitsabhängigen Verhaltens nehmen typischerweise die für eine gegebene Dehnung gemessenen Spannungen mit der Dehnungsgeschwindigkeit zu. Dieses Verhalten wird auch als viskoses Verhalten bezeichnet. Zum anderen unterscheidet man Verhalten mit und ohne Hysterese. ei Materialverhalten ohne Hysterese kehrt der Körper nach Wegnahme der äußeren elastung wieder in seinen Ausgangszustand zurück, bei Verhalten mit Hysterese bleibt nach Wegnahme der Last eine Deformation zurück. In diesem Schema ergeben sich die folgenden Zuordnungen für die ezeichnung des Materialverhaltens:

12 Geschwindigkeitsunabhängiges Verhalten ohne Hysterese Elastizität Geschwindigkeitsunabhängiges Verhalten mit Hysterese Plastizität Geschwindigkeitsabhängiges Verhalten ohne Hysterese Viskoelastizität Geschwindigkeitsabhängiges Verhalten mit Hysterese Viskoplastizität In Experimenten beobachtet man typischerweise Überlagerungen der unterschiedlichen Effekte, wobei je nach Material einzelne Anteile überwiegen, ggf. sind noch weitere Effekte aus den Versuchen ableitbar (z.. Schädigung). Die Materialtheorie als Teil der Kontinuumsmechanik beschäftigt sich mit der Formulierung der entsprechenden Konstitutivgleichungen, die den Zusammenhang zwischen der Spannung und der Deformation beschreiben. 2.2 Einachsialer Zugversuch Zugversuche werden i. d. R. an Stäben konstanten Querschnitts durchgeführt. Dabei wird eine Kraft F aufgebracht, die zu einer Verlängerung des Stabs führt. Die Verlängerung des Stabes nimmt zu, wenn die Kraft F größer wird, die Querschnittsfläche A des Stabes kleiner wird, der Stab eine größere Ausgangslänge besitzt. Gemäß Abb. 3 folgt l F l 0 A Dabei wird lineares Verhalten vorausgesetzt. (1) Man definiert das Verhältnis σ = F A (2) als Normalspannung, die Größe ε = l l 0 (3) als Dehnung des Stabs. Die Proportionalitätskonstante, die nach (1) erforderlich ist, um das Materialverhalten zu beschreiben, heißt Elastizitätsmodul E = σ ε. (4) Im Rahmen der linearen Elastizität ist E konstant, zur eschreibung nicht-linearer Elastizität müssen die hier angeführten eziehungen erweitert werden.

13 8 Materialmodellierung F F l 0 l Abbildung 3: Einachsiale Dehnung 2.3 Ingenieurverzerrung Die Definition der Dehnung nach (3) setzt homogene Verhältnisse im gesamten Stab voraus. Die Idee, die Dehnung als bezogene Längenänderung darzustellen, kann jedoch auch lokal aufgefasst werden: x x l l u(x) u(x) + du dx x Abbildung 4: Dehnung eines Stabelements Definiert man analog zu (3) die Verzerrung als Längenänderung bezogen auf die Aus-

14 gangslänge, so folgt für das betrachtete Element der Länge x ε = ( u(x) + du(x) dx x ) x u(x) = du(x) dx. (5) Die lokale Verzerrung kann im eindimensionalen Fall also über die Ortsableitung der Verschiebung u(x) ermittelt werden. Diese Überlegungen werden nun auf einen allgemeinen, dreidimensionalen Verschiebungszustand u(x) verallgemeinert. Grundsätzlich wird ein Element eines Körpers Verzerrungen in allen Raumrichtungen erfahren. Wir untersuchen zur Herleitung des Verzerrungsmaßes ein Rechteck, das durch ein Verschiebungsfeld zu einer Raute deformiert wird, wie in Abb. 5 dargestellt. Das Rechteck hat im Ausgangszustand die Seitenlängen x 1 und x 2. x 2 u 1 (x 1, x 2 + x 2 ) u 2 (x 1, x 2 + x 2 ) C u 1 (x 1, x 2 ) x 2 β C A u 2 (x 1, x 2 ) α u 2 (x 1 + x 1, x 2 ) A x 1 u 1 (x 1 + x 1, x 2 ) x 1 Abbildung 5: Verzerrung in der Ebene Der Punkt A verschiebt sich um u = u 1 (x 1, x 2 )e 1 + u 2 (x 1, x 2 )e 2, die Verschiebungen der Punkte und C sind im Sinne einer Reihenentwicklung gegeben als u 1 (x 1 + x 1, x 2 ) = u 1 (x 1, x 2 ) + u 1 x 1 x 1, u 2 (x 1 + x 1, x 2 ) = u 2 (x 1, x 2 ) + u 2 x 1 x 1, C u 1 (x 1, x 2 + x 2 ) = u 1 (x 1, x 2 ) + u 1 x 2 x 2, u 2 (x 1, x 2 + x 2 ) = u 2 (x 1, x 2 ) + u 2 x 2 x 2. (6)

15 10 Materialmodellierung Unter der Annahme kleiner Deformationen ergeben sich die Längenänderungen der Kanten A und AC zu l 1 = u 1 x 1 cosα u 1 x 1, x 1 x 1 l 2 = u 2 x 2 cosβ u (7) 2 x 2. x 2 x 2 Analog zu (5) folgen die Verzerrungen als bezogene Längenänderungen zu ε 11 = l 1 x 1 = u 1 x 1 und ε 22 = l 2 x 2 = u 2 x 2. (8) Neben den Längenänderungen der Kanten erfährt das Element auch Winkeländerungen. Der ursprünglich rechte Winkel zwischen den Kanten A und AC ändert sich um α + β. Für kleine Winkeländerungen gilt u 2 x 1 x 1 x 1 = tanα α und u 1 x 2 = tanβ β. (9) Die mittlere Winkeländerung ergibt sich somit zu ( ) 1 α + β = 1 ( u1 + u ) 2 =: ε 12 = ε 21. (10) 2 2 x 2 x 1 Im dreidimensionalen Fall berechnet sich die Verzerrung als symmetrische, tensorielle Größe ε = ε ij e i e j mit ε ij = 1 2 ( u i x j + u j x i ). (11) Die Normalverzerrungen ε 11, ε 22 und ε 33 werden auch als Dehnungen bezeichnet und beschreiben die Längenänderungen, die Schubverzerrungen ε 12 = ε 21, ε 13 = ε 31 und ε 23 = ε 32 beschreiben Winkeländerungen. Als Gleitung werden die Größen γ ij = 2 ε ij i j (12) bezeichnet. Im Koeffizientenschema des Verzerrungstensors stehen die Normalverzerrungen/Dehnungen auf der Diagonalen. Die Nebendiagonalelemente entsprechen der halben Gleitung. 2.4 Spannungstensor Die Spannung σ hat die Dimension einer Flächenkraft [σ] = 1 N m 2 = 1 Pa. (13) Da in dem gewählten eispiel die Spannung senkrecht zur Schnittfläche wirkt, wird sie als Normalspannung bezeichnet. Für Spannungen gelten die Vorzeichenregeln wie für Schnittgrößen:

16 Positive Spannungen wirken an positiven Schnittufern in positiver Koordinatenrichtung, positive Spannungen wirken an negativen Schnittufern in negative Koordinatenrichtung. emerkung: Positive Normalspannungen sind Zugspannungen, negative Normalspannungen sind Druckspannungen. Im gewählten eispiel gibt es nur eine Spannungskomponente, die senkrecht auf der Schnittfläche steht (Normalspannungskomponente). Spannungskomponenten, die in der Schnittfläche liegen, bezeichnet man als Schubspannungen. Dass der Spannungszustand im Allgemeinen nicht nur vom Ort und der Zeit, sondern auch von der Orientierung der Schnittfläche abhängt, erkennt man, wenn man nach Abb. 6 die Schnittrichtung verändert und die Gleichgewichtsbedingungen auswertet. N 1 ϕ N 1 N 1 2 σ 3 Schnittfläche A N 1 τ σ Schnittfläche A/ cos ϕ Abbildung 6: Spannungsverteilung in verschiedenen Schnittflächen Aus Gleichgewichtsgründen gilt im Schnitt 2 der Abb. 6 N 1 + σ A = 0 σ = N 1 A, (14) während im Schnitt 3 nicht nur Normalspannungen σ, sondern auch Schubspannungen τ auftreten. Aus Gleichgewichtsgründen gilt für den um den Winkel ϕ geneigten Schnitt 3 : N 1 + σ cosϕ A cos ϕ + τ sin ϕ A cos ϕ = 0, : σ sin ϕ A cosϕ τ cos ϕ A cosϕ = 0. (15)

17 12 Materialmodellierung Aus diesen beiden Gleichungen folgen die Normalspannung σ und die Schubspannung τ in einem Schnitt, der um den Winkel ϕ gedreht ist, zu σ = 1 N tan 2 ϕ A, τ = tan ϕ N tan 2 ϕ A. (16) Der Spannungsvektor t in einer Schnittfläche mit der Normalen e n kann immer in Normalspannungen σ und Schubspannungen τ zerlegt werden (Abb. 7): t = σ e n + τ e t. (17) Dabei bezeichnet e t einen Tangentenvektor in der Schnittfläche, e t e n. F i e t t τ e t e 3 x e n σ e n e 1 e 2 Abbildung 7: Zerlegung des Spannungsvektors Die Abhängigkeit des Spannungszustands an einem Punkt x von der Schnittrichtung e n kann vollständig beschrieben werden, wenn die Spannungsvektoren in drei aufeinander senkrecht stehenden Schnitten bekannt sind. Um das zu zeigen, betrachtet man ein Tetraeder mit den drei Flächen A 1, A 2 und A 3, deren Normalen jeweils e 1, e 2 und e 3 sind. Die vierte Fläche A hat die Normale e n. Die Spannungsvektoren auf den drei Flächen A i sind t 1, t 2 und t 3. Für orientierte Flächen mit dem Normalenvektor n gilt der Flächensatz (ohne eweis) n da = 0, (18) A d. h. das Integral über die Normalenvektoren einer orientierten geschlossen Fläche ist Null. Für den vorliegenden Fall sind die Normalenvektoren e n und e i, i = 1,2,3 auf den jeweiligen Flächen A bzw. A i konstant. Der Flächensatz kann somit als 3 A i e i + Ae n = 0 (19) i=1

18 t t 1 n t 2 e 3 e 1 e 2 A t 3 Abbildung 8: Gleichgewicht am Tetraederelement geschrieben werden. Das Verhältnis der Flächen folgt dann durch skalare Multiplikation von Gleichung (19) mit dem asisvektor e i zu A i A = n e i. (20) Die Flächen A i stellen also die Projektionen der Fläche A auf die jeweils von zwei asisvektoren aufgespannte Ebene dar. Geht man im Weiteren davon aus, dass das Tetraeder infinitesimal klein ist, d. h. dass die Kantenlängen unter eibehaltung der Flächenverhältnisse gegen Null gehen, dann entsteht aus den Spannungsvektoren eine zentrale Kräftegruppe, für die die folgenden Gleichgewichtsbedingungen gelten: i = 1, 2, 3 : t 1 e i A 1 t 2 e i A 2 t 3 e i A 3 + t e i A = 0. (21) Mit dem Zusammenhang zwischen den Flächen nach (20) folgt die eziehung t i = (t 1 e i ) (n e 1 ) + (t 2 e i ) (n e 2 ) + (t 3 e i ) (n e 3 ) = (t 1 ) i n 1 + (t 2 ) i n 2 + (t 3 ) i n 3, (22) wobei die t i = t e i die Koeffizienten des Spannungsvektors t bezüglich der asis e i darstellen und die n i die Koeffizienten des Normalenvektors e n der Fläche A. ei Kenntnis der drei Spannungsvektoren t i auf den Flächen A i kann also der Spannungsvektor t in der beliebig gewählten Schnittfläche A eindeutig bestimmt werden. Der Spannungszustand ist damit vollständig und unabhängig von der aktuellen Schnittrichtung festgelegt. Die Darstellung (22) legt die Einführung des Spannungstensors T nahe, durch den der Spannungszustand vollständig charakterisiert wird. Häufig werden die neun Zahlenwerte

19 14 Materialmodellierung der Koeffizienten der drei senkrecht aufeinander stehenden Spannungsvektoren t i in einem Matrixschema zusammengefasst e 1 t 1 e 1 t 2 e 1 t 3 e 2 t 1 e 2 t 2 e 2 t 3 e 3 t 1 e 3 t 2 e 3 t 3 = T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33. (23) Der erste Index i an den Koeffizienten der Spannungsmatrix T ij gibt dabei die Richtung der Komponente des jeweiligen Spannungsvektors an, während der zweite Index j die Richtung der Schnittnormalen darstellt. Man identifiziert somit Spannungskoeffizienten mit gleichen Indices als Normalspannung (Richtung der Spannungskomponente und Richtung der Schnittnormalen stimmen überein) und die Elemente mit unterschiedlichen Indices als Schubspannungen. Die Koeffizienten eines Spannungsvektors t i in einem Schnitt der Richtung n wird nach diesen Überlegungen durch ein Matrix-Vektor-Produkt berechnet T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 n 1 n 2 n 3 = t 1 t 2 t 3. (24) Diese Darstellung setzt voraus, dass ein kartesisches asissystem e i zugrunde liegt. Eine allgemeingültige Darstellung ergibt sich durch die Einführung eines Spannungstensors, der neben den Koeffizienten auch Information über die asissysteme beinhaltet. Zur weiteren ehandlung dieser Problematik ist es notwendig, einige Elemente der Tensorrechnung einzuführen. Anstelle des Matrixschemas mit den Koeffizienten T ij tritt dann der Spannungstensor T mit der Eigenschaft T n = t. (25) Für ein ebenes Element werden nun die Gleichgewichtsbedingungen untersucht. Ein Spannungszustand, der nur in der Ebene definiert ist, heißt ebener Spannungszustand. In diesem Fall sind nur die Spannungskomponenten z.. in x 1 - und x 2 -Richtung ungleich Null. Spannungsvektoren auf einer Schnittfläche mit der Normalen ±e 3 sind identisch Null. Von den ursprünglich neun Koeffizienten des Spannungstensors bleiben im ebenen Fall lediglich vier übrig, nämlich T 11 T 12 0 T 21 T ( T11 T 12 T 21 T 22 ). (26) Wenn das betrachtete Element hinreichend klein ist, kann die Veränderung des Spannungszustandes über die Länge dx 1 bzw. dx 2, wie in Abb. 9 dargestellt, im Sinn einer Reihenentwicklung berücksichtigt werden.

20 dx 2 x 2 T 22 + T 22 x 2 dx 2 T 12 + T 12 x 2 dx 2 f 2 dv T 11 T 11 + T 11 dx 1 x 1 f 1 dv T T 21 + T 21 dx 1 21 x 1 T 12 x 1 T 22 dx 1 Abbildung 9: Ebenes Element mit angreifenden Kräften Das Kräftegleichgewicht für das skizzierte infinitesimale Element lautet für den Fall des ebenen Spannungszustands : ( T 11 ) dx 2 + (T 12 + T 12 x 2 dx 2 ) dx 1 + (T 11 + T 11 x 1 dx 1 ) dx 2 + ( T 12 ) dx 2 + f 1 dx 1 dx 2 = 0, : ( T 22 ) dx 1 + (T 21 + T 21 x 1 dx 1 ) dx 2 + (27) (T 22 + T 22 x 2 dx 2 ) dx 1 + ( T 21 ) dx 2 + f 2 dx 1 dx 2 = 0. Die konstanten Anteile sich gegenüberliegender Spannungsvektoren heben sich gegenseitig auf. Es verbleibt die folgende Form der Gleichgewichtsaussage : : T 11 + T 12 x 1 x 2 + f 1 = 0, T 21 + T 22 x 1 x 2 + f 2 = 0. In Indexschreibweise ergibt sich für die Koeffizientendarstellung der Gleichgewichtsaussage bezüglich der gewählten orthonormalen asis T ij,j + f i = 0 mit (28) () x i = (),i. (29) Über den doppelt vorkommenden Index j ist zu summieren. Dieses Ergebnis ist auch unter Einbeziehung der dritten Richtung gültig. Man zeigt dies, indem man einen Quader

21 16 Materialmodellierung der Kantenlängen dx 1, dx 2 und dx 3 untersucht und für einen allgemeinen Spannungszustand die drei Gleichgewichtsbedingungen anschreibt. Der Differentialoperator, der in (29) angewandt wird, heißt Divergenz (abgekürzt div). Die Divergenz besteht bezüglich der orthonormalen asis aus einer Summe von partiellen Ableitungen. In der symbolischen Schreibweise lautet die differentielle eziehung (29) divt + f = 0. (30) 2.5 Elastizitätsgesetz Das im Weiteren untersuchte Materialverhalten wird durch die lineare Elastizität hinreichend gut beschrieben. Für die meisten Materialien stellt das lineare Elastizitätsgesetz im ereich kleiner Deformationen eine hinreichend gute Näherung dar. Im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie geht man davon aus, dass der Spannungszustand linear mit dem Verzerrungszustand verknüpft ist. Die entsprechende tensorielle eziehung, die einen linearen Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Verzerrungstensor herstellt, lautet T = 2 µ ε + λ(trε)i. (31) Die auftretenden Parameter sind die sogenannten Laméschen Konstanten µ und λ. Der zweite Summand beinhaltet die lineare Volumendehnung trε = ε ii = divu = e. (32) Das lineare Materialgesetz (31) wird als verallgemeinertes Hookesches Gesetz bezeichnet und stellt die dreidimensionale Verallgemeinerung der eziehung (4) dar. Im Rahmen weiterführender Untersuchungen kann man zeigen, dass unter der Annahme der Isotropie (Richtungsunabhängigkeit des Materialverhaltens) der Ansatz (31) vollständig ist, d. h. linear-elastisches, isotropes Verhalten ist durch die Gleichungen (31) und den zwei Materialparametern µ und λ vollständig charakterisiert. Üblicherweise werden die Materialparameter aus den o. g. Elementarversuchen ermittelt. Im Zugversuch nach Abb. 10 liegt ein einachsialer Spannungszustand vor, der durch folgenden Hauptspannungszustand beschrieben wird: σ = σ 1, σ 2 = σ 3 = 0. (33) Der zugehörige Verzerrungszustand besitzt Dehnungen in Längsrichtung ε 11 = ε 1 und i. d. R. Dehnungen in Querrichtung ε 22 = ε 2 0 und ε 33 = ε 3 0. Das allgemeine Materialgesetz der linearen Elastizität (31) geht mit diesen Annahmen bzgl. des Spannungs- und Dehnungszustands über in die Koeffizientendarstellung σ ε = 2 µ 0 ε λ (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) (34) ε

22 x 3 x 2 x 1 σ = N A Abbildung 10: Zugversuch Die Querdehnungen ε 2 und ε 3 sind im einachsialen Zugversuch gleich, wenn das Materialverhalten isotrop ist. Aus der zweiten bzw. dritten Gleichung folgt der Zusammenhang zwischen der Längsdehnung ε 1 und den Querdehnungen zu ε 2 = ε 3 = λ 2 (µ + λ) ε 1. (35) Einsetzen dieses Ergebnisses in die erste Gleichung liefert schließlich den Zusammenhang σ 1 = µ (3 λ + 2 µ) λ + µ ε 1 (36) zwischen der aufgebrachten Spannung σ 1 und der gemessenen Verzerrung ε 1 in Längsrichtung. Aus dem einachsialen Zugversuch wird üblicherweise der Elastizitätsmodul E bestimmt. In Analogie zu (4) gilt σ 1 = E ε 1. (37) Aus dem direkten Vergleich von (37) mit (36) folgt die Identifikation des Elastizitätsmodul zu µ (3 λ + 2 µ) E =. (38) λ + µ Die im Zugversuch beobachtete Verjüngung der Probe in Querrichtung wird als Querkontraktion bezeichnet und über die Querkontraktionszahl ν beschrieben. Die Querkontraktionszahl ist als Verhältnis der Dehnungen ν = ε 2 ε 1 (39)

23 18 Materialmodellierung definiert. Das negative Vorzeichen berücksichtigt, dass die Probe normalerweise unter Zugbelastung dünner wird. Mit dem Zusammenhang zwischen Quer- und Längsdehnung gemäß (35) folgt λ ν = 2 (µ + λ). (40) Im einfachen Scherversuch, wie in Abb. 11 skizziert, treten idealerweise nur Schubspannungen τ = T 12 und Gleitungen γ = 2 ε 12 auf. emerkung: Von Seiten der experimentellen Mechanik ist der Scherversuch äußerst komplex. Er wird in der skizzierten Form eigentlich nicht durchgeführt, da sich in der Realität stark inhomogene Spannungsverteilungen in den Ecken der Probe ausbilden. Die Realisierung eines Schubspannungszustandes geschieht in der Regel durch Torsionsversuche an dünnwandigen Rohren. Abbildung 11: Scherversuch Der allgemeine Zusammenhang (31) lautet für den Schubversuch τ = µ γ = 2 µ ε 12. (41) Damit identifiziert man den Schermodul aus dem allgemeinen Ansatz als G = µ. (42) Schließlich findet man im hydrostatischen Kompressionsversuch (Abb. 12) einen Zusammenhang zwischen der Volumendehnung e = ε ii und mittleren Spannung σ m σ m = p = k e (43)

24 Abbildung 12: Kompressionsversuch Die mittlere Spannung ist dabei als σ m = 1 3 (T 11 + T 22 + T 33 ) = 1 3 (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) (44) gegeben. Im Rahmen der Spannungstransformation wurde gezeigt, dass die mittlere Spannung invariant unter Drehungen des Koordinatensystems ist. In analoger Weise ist die Volumendehnung e = ε 1 + ε 2 + ε 3 (45) ebenfalls eine invariante Größe. Aus dem Vergleich von (43) mit der allgemeinen Darstellung (31) ergibt sich in diesem Fall die Identifikation des Kompressionsmoduls k = 2 µ + 3 λ. (46) Insgesamt benutzt man in der linearen Elastizitätstheorie sechs verschiedene Konstanten, von denen jedoch nur zwei unabhängig sind (z.. die Lamé-Konstanten). Die anderen Konstanten (hier: Elastizitätsmodul E, Querkontraktion ν, Schubmodul G, Kompressionsmodul k) können dann durch diese beiden Konstanten ausgedrückt werden.

25 20 Materialmodellierung λ = µ = G = E = ν = λ, µ λ µ λ, ν λ µ, E E, ν µ(e 2µ) 3µ E Eν (1 + ν)(1 2ν) λ(1 2ν) 2ν µ(3λ + 2µ) λ + µ (1 + ν)(1 2ν)λ ν µ E E 2(1 + ν) E λ 2(λ + µ) ν E 2µ 2µ ν 2.6 Randwertproblem der Elastostatik In der Technischen Mechanik II (Elastostatik) wurden spezielle auteile und elastungen diskutiert. Dazu wurden gewisse Annahmen bzgl. der möglichen ewegung eingeführt, um zu einfachen überschlägigen erechnungsformeln zu gelangen. In der Höheren Mechanik verzichtet man auf solche Annahmen. So muss man einen Satz von Differentialgleichungen aufstellen und unter gegebenen Randbedingungen lösen. Das Randwertproblem der Elastostatik wird durch die Impulsbilanz in der lokalen Form durch die kinematischen eziehungen 0 = divt + f, (47) und durch das Materialgesetz ε = 1 2 (gradu + gradt u) (48) T = 2 µ ε + λ (trε)i (49) bestimmt. Die angegebene Form der Impulsbilanz stellt die Gleichgewichtsaussage dar, die für ein Volumenelement in Gleichung (30) hergeleitet wurde. Die rechte Seite von (47) entspricht der Summe der an dem Volumenelement angreifenden Kräfte. Die drei Ausgangsgleichungen können kombiniert werden, wenn man die kinematische eziehung (48) in das Hookesche Gesetz (49) und dieses wiederum in die Impulsbilanz (47) einsetzt. Zur Ausführung der entsprechenden Operatoren benötigt man die folgenden Identitäten div grad u = u, div grad T u = graddivu, (50) div(e I) = grad e.

26 Dabei stellt ( ) den Laplace-Operator dar, der aus den zweiten Ableitungen gebildet wird. Unter Ausnutzung dieser Identitäten folgt 0 = µ u + (µ + λ) graddivu + f. (51) Diese Grundgleichung der linearen Elastizitätstheorie ist eine partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung im Raum, die unter Vorgabe von geeigneten Randbedingungen gelöst werden kann. Die Gleichung ist als Lamé-Naviersche Verschiebungsgleichung bekannt. Die Lösung dieser Gleichung ist das Verschiebungsfeld u, das sich unter den gegebenen elastungen einstellt. Die elastungen erfolgen dabei einerseits über die Volumenkraft f und andererseits über Randlasten t, die durch entsprechende Randbedingungen vorgegeben werden. Ist das Verschiebungsfeld bekannt, so können die Verzerrungen und die Spannungen aus den eziehungen (48) und (49) berechnet werden. In Sonderfällen kann die Lamé-Naviersche Gleichung analytisch gelöst werden, häufig bedient man sich numerischer Näherungsverfahren, z.. der Methode der Finiten Elemente (FEM), um die Lösung zu approximieren. emerkung: Das hier skizzierte Vorgehen ist typisch für die Entwicklung eines mechanischen Modells. Grundsätzlich werden ilanzgleichungen (physikalische Erhaltungsgleichungen, hier Gleichgewichtsbedingung als Sonderfall) mit kinematischen eziehungen (eschreibung des ewegungs- oder Verschiebungszustands) und mit Stoffgesetzen (hier: lineare Elastizität, verallgemeinertes Hookesches Gesetz) kombiniert. Das entstehende System von Differenzialgleichungen kann dann bei Vorgabe von Randbedingungen (meist numerisch) gelöst werden.

27 22 Materialmodellierung 3 Kinematik 3.1 Materielle Körper und ewegung Die Kontinuumsmechanik beschreibt das Verhalten von Körpern unter der Wirkung von Kräften. Die beobachteten Eigenschaften sind an Materie gebunden. Man spricht daher auch von materiellen Körpern. Definition: Ein materieller Körper ist die dreidimensionale, zusammenhängende Menge aller Körperpunkte X(x,t). Der Rand S des materiellen Körpers ist die zusammenhängende Menge der Randpunkte. Es wird vorausgesetzt, dass die Materie in einem materiellen Körper kontinuierlich verteilt ist. Der atomare Aufbau eines Körpers wird bei dieser etrachtung nicht berücksichtigt, vielmehr ist die Skala, auf der die etrachtung stattfindet, groß gegenüber atomistischen Dimensionen. Gemäß dieser Kontinuumsannahme besteht der materielle Körper aus unendlich vielen materiellen Punkten. Diese sind die kleinste betrachtete Einheit. Sie sind Träger der physikalischen Eigenschaften des Körpers. Die Kontinuumsannahme gestattet die Einführung von Feldern zur eschreibung der physikalischen Eigenschaften. Es wird angenommen, dass diese Felder hinreichend stetig und differenzierbar sind, so dass die Methoden der Differenzialrechnung angewandt werden können. Die ewegungs- oder Plazierungsfunktion χ wird für jeden materiellen Punkt des Körpers eingeführt. Sie gibt an, wie sich der materielle Punkt bewegt. Auf Grund des feldlichen Charakters der ewegungsfunktion ist der egriff der Deformation automatisch enthalten. Zum Zeitpunkt t 0 (o. b. d. A. t 0 = 0) befindet sich der Körper in der Referenzkonfiguration. Durch die Wirkung der angreifenden Kräfte, z.. der Oberflächenspannung t bewegt sich der Körper zum Zeitpunkt t > t 0 in die Momentankonfiguration. Die materiellen Punkte X, Y des Körpers legen dabei eine ahn zurück, die durch die ewegungsfunktion χ beschrieben wird. Die Symbole X, Y werden zur Unterscheidung verschiedener materieller Punkte des Körpers eingeführt und können als Namen der Punkte betrachtet werden. Die Lage des materiellen Punktes X in der Referenzkonfiguration wird durch den Vektor X gekennzeichnet, die Lage in der Momentankonfiguration durch den Vektor x. Für die mathematische Modellierung wird der materielle Punkt X mit seinem Ortsvektor X zum Zeitpunkt t 0 ein-eindeutig identifiziert, d. h. ein materieller Punkt nimmt genau einen mathematischen Punkt in der Referenzkonfiguration des Körpers ein und an einem mathematischen Punkt liegt genau ein materieller Punkt. Mit der ewegungsfunktion gilt dann x = χ(x, t), (52)

28 Ref.-konf. S Mom.-konf. t t = t 0 t > t 0 X dx Y X e 3 x X dx Y e 2 e 1 O ahn von X Abbildung 13: Materieller Körper in Referenz- und Momentankonfiguration d. h. die ewegungsfunktion χ bildet den Ortsvektor der Referenzkonfiguration in den Ortsvektor der Momentankonfiguration ab. Analog gilt für einen zweiten materiellen Punkt Y y = χ(y, t). (53) Zum Zeitpunkt t 0 muss die ewegungsfunktion die edingung X = χ(x, t 0 ) (54) erfüllen, damit die ewegung von X aus seiner Anfangsposition X heraus startet. Da ein Raumpunkt x nur von einem materiellen Punkt X besetzt werden kann und der materielle Punkt aus einer eindeutig definierten Referenzkonfiguration gestartet ist, ist die ewegungsfunktion eindeutig und eindeutig invertierbar, also ein-eindeutig. Es existiert als eine inverse ewegungsfunktion X = χ 1 (x, t) (55) mit deren Hilfe man ermitteln kann, von welcher Position aus der materielle Punkt X, der zur Zeit t an der räumlichen Position x ist, seine ewegung begonnen hat. In der Kontinuumsmechanik unterscheidet man zwei mögliche Darstellungen, die auf unterschiedlichen Parameterisierungen der Felder fußen: Lagrangesche (materielle) Darstellung Der materielle Punkt X wird durch den Ortsvektor X der Referenzkonfiguration identifiziert. Die ewegungsfunktion x = χ(x, t) (56)

29 24 Materialmodellierung liefert die Antwort auf die Frage: Wo befindet sich der materielle Punkt X, der zum Anfangszeitpunkt t 0 am Raumpunkt X war, zum Zeitpunkt t? In der Lagrangeschen Darstellungen werden die Felder in Abhängigkeit von X parameterisiert. Die Anwendung findet üblicherweise in der Festkörpermechanik statt. Eulersche (räumliche) Darstellung Der materielle Punkt X wird durch den Ortsvektor x der Momentankonfiguration identifiziert. Die inverse ewegungsfunktion X = χ 1 (x, t) (57) liefert die Antwort auf die Frage:Wo war der materielle Punkt X, der zur Zeit t den Raumpunkt x einnimmt, zum Anfangszeitpunkt t 0? Die feldlichen Grössen werden in Abhängigkeit von x parameterisiert. Die Anwendung ist in der Strömungsmechanik üblich, da es hier keine ausgezeichnet Referenzkonfiguration gibt. Aus mathematischer Sicht ist die ewegungsfunktion ein-eindeutig (eindeutig und eindeutig invertierbar), wenn die Jacobi-Determinante J immer ungleich Null ist, d. h. J = det x X 0 (58) Eine weitere physikalische Interpretation der eziehung (58) wird noch gegeben. Neben dem materiellen Körper und den materiellen Punkten kann man auch materielle Linien, materielle Flächen und materielle Volumen definieren. Definition: Eine materielle Linie ist die Verbindungslinie infinitesimal benachbarter materieller Punkte. Eine materielle Linie wird immer von den selben materiellen Punkten gebildet und bewegt sich mit diesen materiellen Punkten mit. Ein materielles Linienelement ist der Verbindungsvektor zwischen zwei infinitesimal benachbarten materiellen Punkten X und Y, die auf einer materiellen Linie liegen. etrachtet man den Verbindungsvektor der materiellen Punkte in der Referenzkonfiguration X = Y X bzw. in der Momentankonfiguration x = y x, so kann man die Punkte im Grenzwert gegeneinander wandern lassen. Die Differenzvektoren X und x gehen dann in die materiellen Linienelemente dx bzw. dx über, die als Tangentenvektoren an die materielle Linie interpretierbar sind.

30 Ref.-Konf. X dx materielle Linie Y X e 3 e 2 e 1 O Abbildung 14: Materielle Linie und materielles Linienelement 3.2 Geschwindigkeit und eschleunigung Genau wie für den Massepunkt ergeben sich Geschwindigkeit und eschleunigung aus der Ableitung der Position eines materiellen Punktes nach der Zeit, d. h. aus Ableitung der ewegungsfunktion: dx(x, t) ẋ(x, t) =, dt (59) ẍ(x, t) = d2 x(x, t). dt Die Ableitungen, die in (59) gebildet werden, sind im Sinn totaler Zeitableitungen zu verstehen. Der Vektor X, der die Position des betrachteten materiellen Punktes in der Referenzkonfiguration angibt, ist dabei konstant. In (59) stellt ẋ die Geschwindigkeit und ẍ eschleunigung des materiellen Punktes dar, der zur Zeit t = t 0 am Ort X war und sich zur aktuellen Zeit t am Ort x befindet (materielle oder Lagrangesche Darstellung). Unter Verwendung der inversen ewegungsfunktion (57) kann eine Umparameterisierung von (59) erfolgen. Man erhält man dann die räumliche oder Eulersche Darstellung des Geschwindigkeits- bzw. des eschleunigungsfelds v = ẋ(χ 1 (x, t) t) = v(x, t), a = ẍ(χ 1 (x, t) t) = a(x, t). (60) Die Gln. (60) geben die Geschwindigkeit und eschleunigung des materiellen Punktes X an, der sich zur Zeit t am Ort x aufhält (räumliche oder Eulersche Darstellung). Der

31 26 Materialmodellierung Referenzkonfig. Y X Momentankonfig. Referenzkonfig. Momentankonfig. t = t 1 Y t = t 2 X X Y X Y Y X x ahn von X x ahn von Y O O Abbildung 15: Zur Eulerschen Darstellung der ewegung Ursprungsort X dieses materiellen Punktes tritt in der eziehung nicht mehr auf. ei der Auswertung von (60) muss man allerdings beachten, dass sich zu zwei unterschiedlichen Zeiten t 1 und t 2 zwei unterschiedliche materielle Punkte X bzw. Y am Raumpunkt x aufhalten. Durch Auswertung der inversen ewegungsfunktion kann die Anfangsposition des jeweiligen materiellen Punktes ermittelt werden. Die materielle eschleunigung a(x, t), d. h. die eschleunigung des materiellen Punktes, der zur Zeit t am Ort x ist, kann auch direkt aus der räumlichen Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes berechnet werden. Dazu ist die totale zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsfeldes v(x, t) zu bilden. Sie berücksichtigt, dass der materielle Punkt seinen Aufenthaltsort durch die ewegung ändert. Gedanklich fasst man dazu den Ortsvektor x im Sinn der ewegungsfunktion als veränderlich auf, sofern man der ewegung des betrachteten materiellen Punktes folgt. Damit ergibt sich a(x, t) = v(x, t) = dv(x(x, t), t) dt = v t x =konst. + v x t=konst. dx dt. (61) Dabei wird die Kettenregel der Differentiation angewandt. Man muss berücksichtigen, dass x selbst eine implizite Funktion von X (stellvertretend für den betrachteten Partikel) und von t ist. In Gl. (61) ist hervorgehoben, dass die partiellen Ableitungen im Gegensatz zur totalen Ableitung jeweils bei festgehaltenem anderen Argument gebildet werden. Unter eachtung der Definiton der Geschwindigkeit nach (60) 1 und der Definiton des räumlichen Gradientenoperators grad(...) = (...) x = (...) x i e i (62)

32 lautet Gl.(61) a(x, t) = v(x, t) t + gradv(x, t) v(x, t). (63) Der erste Summand v/ t wird als lokaler Anteil der materiellen eschleunigung bezeichnet, da er bei festgehaltenem Raumpunkt x = konst. gebildet wird, der zweite Summand grad v v heißt konvektiver Anteil. Er beschreibt den Einfluss der inhomogenen räumlichen Geschwindigkeitsverteilung auf die eschleunigung des materiellen Punktes. Allgemein kann die folgende Interpretation der materiellen eschleunigung in der räumlichen oder Eulerschen Darstellung gegeben werden: Die materielle eschleunigung (in räumlicher Darstellung) stellt die eschleunigung dar, die ein eobachter erfährt, der sich mit dem materiellen Punkt bewegt. 3.3 Materielle Zeitableitung Das am eispiel der materiellen eschleunigung entwickelte Konzept der materiellen Zeitableitung läßt sich auf beliebige Feldfunktionen übertragen. Dabei sind Feldfunktionen f definiert als Funktionen des Orts x und der Zeit t, d. h. die Parameterisierung erfolgt im Sinn der Eulerschen oder der räumlichen Darstellung. Die zeitlichen Änderungen, die gesucht werden, sind jedoch Änderungen, die sich für die bewegte Materie einstellen. Das führt zu der folgenden Definition: Definition: Die materielle Zeitableitung einer Feldfunktion f(x, t) stellt dann die zeitliche Änderung von f dar, die ein eobachter messen würde, der sich mit dem materiellen Punkt bewegt, der zur Zeit t gerade am Ort x ist. Mathematisch entspricht die materielle Zeitableitung der totalen Zeitableitung. Die materielle Zeitableigung f(x, t) = df(x, t), (64) dt berücksichtigt, dass der materielle Punkt während der eobachtung seinen Aufenthaltsort ändert, d. h. man beachtet die implizite Abhängigkeit x = x(x, t) bei der ildung der totalen Zeitableitung. Dann folgt f(x, t) = f t + grad f v. (65) Der lokale Anteil f/ t beschreibt wiederum die Änderung von f an dem festgehaltenen Ort x, der konvektive Anteil gradf v beschreibt die Änderung von f infolge der ewegung des materiellen Punktes.

33 28 Materialmodellierung Definition: Ein Vorgang heißt stationär, wenn die lokale Zeitableitung identisch Null ist, er heißt materiell konstant, wenn die materielle Zeitableitung identisch Null ist. Ein Feld heißt homogen, wenn der Gradient identisch Null ist. In einem stationären Prozeß sind die Werte von f an einem festen Raumpunkt x immer gleich, es gilt f/ t = 0. Wenn das Feld inhomogen ist, d. h. gradf 0, dann ist die materielle Zeitableitung in diesem Fall trotzdem von Null verschieden, da sich die materiellen Punkte von einem Ort zum anderen bewegen und dabei die räumliche Änderung grad f mit der Geschwindigkeit v verspüren. 3.4 Transport materieller Linien, Flächen, Volumen Die materielle Linie wurde bereits eingeführt. Sie ist die Verbindungslinie infinitesimal benachbarter materieller Punkte. Die materielle Linie haftet an den materiellen Punkten, aus denen sie gebildet wird und bewegt sich mit diesen Punkten mit. Sie wird also zu allen Zeitpunkten aus den selben materiellen Punkten gebildet. Ein materielles Linienelement ist der Verbindungsvektor zwischen zwei infinitesimal benachbarten materiellen Punkten. Dies ist interpretierbar als Tangentenvektor an die materielle Linie, die durch die beiden Punkte verläuft. Genau wie die gesamte materielle Linie bewegt sich ein materielles Linienelement mit dem Körper mit. Wenn man in der Lage ist, ein materielle Linienelement während der ewegung des Körpers zu verfolgen, kann man diese Information nutzen, um alle benötigten kinematischen Größen zu ermitteln. Y ahn von Y Y X ahn von X x X Y y X X e 2 x e 3 O e 1 Abbildung 16: ewegung materieller Linienelemente Wenn ein materielles Linienelement dx in der Referenzkonfiguration betrachtet wird, kann

34 man mit Hilfe der ewegungsfunktion sein ild dx in der aktuellen Konfiguration finden. Der Differenzvektor zwischen den benachbarten Punkten X und Y ist in der Referenzkonfiguration gegeben als X = Y X. (66) In der Momentankonfiguration ist der Verbindungsvektor zwischen den beiden betrachteten Punkten durch x = y x = χ(y, t) χ(x, t) (67) gegeben. Geht man davon aus, dass die Punkte in direkter Nachbarschaft liegen, so kann man die ewegungsfunktion in eine Taylor-Reihe eintwickeln χ(y, t) = χ(x, t) + χ(x, t) X (Y X) + höhere Terme. (68) Unter Vernachlässigung der höheren Terme in dem Differenzvektor X kann man die Gleichungen (66), (67) und (68) kombinieren und erhält x = χ(x, t) X X. (69) Für direkt benachbarte materielle Punkte gehen die Differenzvektoren X und x in die entsprechenden materiellen Linienelemente dx und dx über Diese Gleichung definiert den Deformationsgradienten dx = Gradχ(X, t) dx = F dx. (70) F = Gradχ(X, t) = x X. (71) Der Deformationsgradient bildet also die Linienelemente dx der Referenzkonfiguration auf die Linienelemente dx der Momentankonfiguration ab. Der in Gl. (71) auftretende materielle Gradientenoperator entspricht der partiellen Ableitung nach den Ortsvektoren der Referenzkonfiguration Grad(...) = (...) X = ( ) X i e i. (72) Das letzte Gleichheitszeichen gilt unter Voraussetzung einer kartesichen asis e i. Analog kann man eine eziehung für die materiellen Volumenelemente ermitteln. Diese sind durch das Spatprodukt von jeweils drei nicht-kolinearen materiellen Linienelementen definiert dv = (dx 1 dx 2 ) dx 3, dv = (dx 1 dx 2 ) dx 3. (73) Unter Ausnutzung des Transporttheorems (70) schreibt man dv = ( ) (F dx 1 ) (F X 2 ) (F dx 3 ). (74)

35 30 Materialmodellierung Mit der erechnungsmöglichkeit für die Determinante, einer der algebraischen Identitäten, gilt für Tensoren A und beliebige Vektoren a, b und c ((A a) (A b)) (A c) = (deta)(a b) c. (75) Wählt man A = F und identifiziert die Vektoren a, b und c mit drei materiellen Linienelementen, so kann Gl. (75) umformuliert werden zu detf = ( ) (F dx 1 ) (F dx 2 ) (F dx 3 ) (dx 1 dx 2 ) dx 3. (76) Es folgt schließlich mit Gl. (73) dv = (detf) dv. (77) Ein materielles Flächenelement ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von zwei nicht-parallelen materiellen Linienelementen dx 1 und dx 2 bzw. dx 1 und dx 2. In der Referenzkonfiguration gilt da = dx 1 dx 2 (78) und in der Momentankonfiguration da = dx 1 dx 2. (79) Mit der Vorschrift für den Transport von Linienelementen (70) kann die eziehung (79) durch die Elemente der Referenzkonfiguration ausgedrückt werden da = (F dx 1 ) (F dx 2 ) (80) Um den Zusammenhang zwischen den Flächenelementen da der Referenz- und da der Momentankonfiguration herzuleiten, betrachtet man Gl. (75) für feste Vektoren a und b und für beliebige Vektoren c. Mit der eliebigkeit von c folgt dann und mit den Gln. (78) und (80) ergibt sich A T ((A a) (A b)) = (deta)(a b), (81) da = (detf)f T 1 da. (82) Da es sich bei den Größen da und da um die gerichteten Flächenelemente dan und da n handelt, kann (82) auch als Transporttheorem für die Normalenvektoren N und n auf materiellen Flächen interpretiert werden. Der Zusammenhang (82) kann alternativ hergeleitet werden. Dazu definiert man ein äußeres Tensorprodukt zwischen zwei Tensoren zweiter Stufe mit der Eigenschaft (A ) (a b) = (A a) ( b) (A b) ( a). (83)

36 Dann kann (83) als da = 1 2 (F F) (dx 1 dx 2 ) = 1 (F F) da (84) 2 dargestellt werden. Man kann weiterhin zeigen, dass das Produkt dem adjungierten Tensor mit der Eigenschaft + F = 1 (F F) (85) 2 + F = (detf)f T 1 (86) entspricht (hier ohne eweis, vgl. dazu R. de oer: Tensorrechnung für Ingenieure, Springer- Verlag). Damit folgt für den Transport von materiellen Flächenelementen wiederum die eziehung (82). Zusammenfassung Die folgenden kinematischen Zusammenhänge ergeben sich zwischen materiellen Elementen der Referenz- und der Momentankonfiguration. dx = F dx, da = (detf)f T 1 da, (87) dv = (det F) dv. 3.5 Deformations- und Verzerrungstensoren Polare Zerlegung Der Deformationsgradient F(X, t) ist zur eschreibung der Deformation eines materiellen Körpers nicht geeignet, da er neben der Deformation der Linienelemente auch deren Drehung (Rotation) beinhaltet. Dies wird in der polaren Zerlegung deutlich. Man kann einen Tensor eindeutig in einen eigentlich orthogonalen Tensor und einen symmetrisch positiv definiten Tensor zerlegen, so dass gilt Dabei gilt für den orthogonalen Tensor Für eigentlich orthogonale Tensoren gilt weiterhin F = R U = V R. (88) R R T = I bzw. R T = R 1. (89) detr = +1. (90)

37 32 Materialmodellierung Dadurch werden aus der Gruppe der orthogonalen Tensoren die Spiegelungen ausgeschlossen. Ein Tensor R SO + aus der Gruppe der eigentlich orthogonalen Tensoren beschreibt somit eine reine Rotation. Für die symmetrischen Tensoren U und V gilt mit U = U T und V = V T (91) a U a > 0 a und a V a > 0 a. (92) Während der orthogonale Tensor eine Rotation beschreibt, stellen die beiden symmetrisch positiv definiten Tensoren Streckungen dar. Gemäß der Stellung in der polaren Zerlegung (88) heißen U: rechter Cauchyscher Strecktensor und V: linker Cauchyscher Strecktensor. Wenn die materiellen Linienelemente entlang der Hauptachsen der Strecktensoren ausgerichtet sind, dann kann die polare Zerlegung graphisch interpretiert werden. Im Fall der Zerlegung F = R U werden die Linienlemente dx der Referenzkonfiguration erst gestreckt und dann mittels einer Rotation auf die Linienelemente dx der Momentankonfiguration abgebildet. Im Fall von F = V R werden die Linienelemente dx in die Richtung der Linienelemente dx gedreht und anschließend gestreckt. F = R U F = V R U dx dx dx = R U dx dx dx = V R dx R dx Die Strecktensoren U und V sind durch die Vorwärts- bzw. Rückwärtsrotation mit einander verknüpft. Aus der Multiplikation von (88) mit R T von rechts folgt bzw. aus der Multiplikation mit R T von links V = R U R T (Vorwärtsrotation), (93) U = R T V R (Rückwärtsrotation) (94)

38 Gemäß der Interpretation der Drehung und Streckung der Linienelemente ist U ein Tensor der Referenzkonfiguration, V ein Tensor der Momentankonfiguration, und R ist ein Zweifeldtensor, der beide Konfigurationen miteinander verbindet. Die egriffe der Vorwärtsund Rückwärtsrotation beziehen sich dabei auf die zeitlich Abfolge der Konfigurationen. Die Vorwärtsrotation transportiert ein Objekt der Referenzkonfiguration auf die Geometrie der aktuellen Konfiguration, während die Rückwärtskonfiguration ein Objekt der aktuellen Konfiguration auf die Referenzkonfiguration abbildet Deformations- und Verzerrungstensoren Da die erechnung der Strecktensoren U und V aufwendig (Lösung eines Eigenwertproblems) ist, führt man Deformationsmaße über das Quadrat von Linienelementen ein. Dazu definiert man das Quadrat der Länge eines Linienelementes in der Referenz- und der Momentankonfiguration als ds 2 = dx dx, ds 2 = dx dx. (95) Die beiden Größen ds und ds lassen sich durch Anwendung des Transporttheorems für Linienelemente (87) 1 ineinander überführen: ds 2 = dx dx = (F dx) (F dx) = dx (F T F) dx =: dx C dx. (96) Dabei wird das Quadrat ds der Linienelemente der Momentankonfiguration durch die Linienelemente der Referenzkonfiguration und durch den rechten Cauchy-Green-Deformationstensor C ausgedrückt. Der rechte Cauchy-Green-Deformationstensor ist dabei als C := F T F (97) definiert. Unter Ausnutzung der polaren Zerlegung (88) und der Regel für die Transposition folgt C = F T F = (R U) T (R U) = U T R} T {{ R} U. (98) =I Durch die Symmetrie von U vereinfacht sich das zu C = U U = U 2. (99) Der rechte Cauchy-Green-Deformationstensor ist demnach durch das Quadrat des rechten Strecktensors gegeben. Da C in (96) auf Linienelemente der Referenzkonfiguration angewandt wird, bezieht sich C auf die Geometrie der Referenzkonfiguration. Dies wird auch bei der Darstellung des Deformationsgradienten in den natürlichen asissystemen deutlich. Drückt man analog das Quadrat der Linienelemente der Referenzkonfiguration durch die Linienelemente der Momentankonfiguration aus, so entsteht der linke Cauchy-Green-Deformationstensor: ds 2 = dx dx = (F 1 dx) (F 1 dx) = dx 1 dx (100)