Kontinuumsmechanik Wintersemster 2016/17

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1 Kontinuumsmechanik Wintersemster 2016/17 Prof. Dr.-Ing. Stefan Diebels Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Technische Mechanik Version vom !!!Diese Version ist eine α-version!!!

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Lineare Elastizitätstheorie Der materielle Körper Geometrisch lineare Kinematik Massen-, Impuls- und Drallbilanz Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz Tensorrechnung Tensoralgebra Tensoranalysis Große Deformationen Bewegungsfunktion Geschwindigkeit und Beschleunigung Materielle Zeitableitung Transport materieller Linien, Flächen, Volumen Deformations- und Verzerrungstensoren Darstellung mittels Verschiebungsgradient Geschwindigkeitsgradient Bilanzgleichungen Massenbilanz Impulsbilanz Drallbilanz Linearisierung 75 6 Rheologie 81 i

4 7 Materialmodelle Lineare Elastizität Lineare Viskoelastizität Plastizität Viskoplastizität Schädigung ii

5 α-version vom Einleitung Die Mechanik allgemein beschäftigt sich mit der Beschreibung der Bewegung von Körpern unter der Wirkung von Kräften. In der Kontinuumsmechanik werden die Körper als kontinuierlich im Raum verteilt und als deformierbar angesehen. Die Gebiete der Punktmechanik und der Starrkörpermechanik sind als Sonderfälle eingeschlossen. Die Agregatzustände fest, flüssig, gasförmig der betrachteten Körper sind grundsätzlich beliebig. Die Mechanik ist einer der ältesten Teile der klassischen Physik. Die folgende Tabelle gibt eine exemplarische Aufstellung von Wissenschaftlern, die sich mit mechanischen Problemstellung befasst haben und ordnet sie geschichtlich ein. Die wesentlichen Aussagen, auf denen mechanische Untersuchungen aufbauen, sind demnach schon lange bekannt. Trotzdem ist die Kontinuumsmechanik aus der heutigen Technik nicht wegzudenken, denn sie stellt die Grundlage fr die Simulationsmethoden, ohne die eine schnelle und effektive Produktentwicklung nicht möglich ist. Archimedes von Syrakus v. Chr. Hebelgesetze, Auftrieb (Archimedisches Prinzip) 1492 Entdeckung Amerikas durch Christoph Kolumbus 1517 Anschlag von Martin Luthers Thesen an der Schloßkirche zu Wittenberg Simon Stevin 1548/ Kräfteparallelogramm Johannes Kepler Plantenbewegung (Keplersche Gesetze) Galileo Galilei Bewegung auf der schiefen Ebene, beschleunigte Bewegung, Trägheitsprinzip, Festigkeit von Balken Robert Hooke ) Plantenbewegung, Schwerkraft, Mechanische Federn (Hookesches Gesetz) Dreißigjähriger Krieg Sir Isaac Newton

6 2 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Newtonsche Axiome (Beharrungsatz, Impulssatz, Wechselwirkungsprinzip), Infinitesimalrechnung (im Streit mit Gottfried Wilhelm Leibniz) Belagerung Wiens durch die Türken 1685 Gründung der Dillinger Hütte Leonhard Euler Hydrodynamik (Eulersche Gleichungen), Kreiseldynamik (Eulersche Kreiselgleichungen), Stabilittstheorie (Eulerscher Knickstab) Charles Augustin de Coulomb Bodenmechanik, Reibung in Fluiden, Haftreibung (Coulombreibung) Federico Luigi Conte di Menabrea Angewandte Mechanik (Satz von Menabrea) Joseph-Louis Lagrange Analytische Mechank (Lagrange- Gleichungen) Carlo Alberto Castigliano Baustatik (Satz von Castigliano) Claude Louis Marie Henrie Navier Elastizitätstheorie (Lamé-Navier- Gleichungen) 1748 Gründung Villeroy & Boch Wolfgang Amadeus Mozart Beginn der französischen Revolution Augustin-Louis Cauchy Elastizitätstheorie, Spannungstensor (Cauchy-Theorem) Henrie Édouard Tresca Festigkeitshypothesen 1848/49 Deutsche Revolution 1861 Beginn des Amerikanischen Bürgerkriegs

7 α-version vom Carl Benz Patent-Motorwagen Nr. 1 Ludwig Prandtl Strömungsmechanik, Grenzschichttheorie Richard Edler von Mises Strömungsmechankik, Aerodynamik, Festigkeitshypotesen (von Mises-Spannung) 1886 Erfindung von Coca Cola Ekkehart Kröner Plastizitätstheorie, Eigenspannungen Clifford Truesdell Rational Mechanics Die Beschreibung im Rahmen der Kontinuumsmechanik erfolgt makroskopisch, d. h. der atomistische Aufbau der Materie wird nicht untersucht. Vielmehr geht man davon aus, dass auf der zugrundeliegenden Skala die Materie als kontinuierlich im Raum verteilt angesehen werden kann. Die Grundlage der Modellierung bilden dabei einige wenige Axiome, die a priori als wahr angenommen und im Rahmen der Theorie nicht bewiesen werden können. Sowohl die Axiome als auch die ergänzenden Aussagen über das Verhalten ganz spezieller Körper, die betrachtet werden, werden aus Experimenten abgeleitet. Die Kontinuumsmechanik wird daher auch als phänomenologisch bezeichnet, da sie die Ursachen der Beobachtung, die üblicherweise auf einer kleineren als der betrachteten Skala liegen, nicht untersucht. So ist z. B. die Ursache fr die Steifigkeit eines Festkörpers, die an einer makroskopischen Probe im Zugversuch gemessen werden kann, auf der atomaren Skala durch die Kräfte verursacht, mit denen die atomaren Bindungen bei der Dehnung des Körpers belastet werden. Da die Strukturen, die in Ingenieurfragestellungen untersucht werden, im Vergleich zu Atomen oder Molekülen sehr groß sind, ist eine Beschreibung auf der atomaren Skala nicht zielführend, da selbst auf modernen Supercomputern die entsprechenden Rechnungen nicht durchführbar oder zu langwierig sind. Eine Beschreibung auf einer geeignet großen Skala ist daher für das ingenieurmäßige Verständnis der Deformation und eines möglichen Versagens zwingent notwendig. Ein Vorteil der Kontinuumsmechanik, der durch die Annahme der kontinuierlich verteilten Körper bedingt ist, ist in der Anwendung der Differentialgeometrie und der Differentialrechnung zu sehen. Dadurch, dass bei der Beschreibung alle Größen als hinreichend stetig angesehen werden können, führt die mathematische Modellierung auf Systeme von partiellen Differentialgleichungen im Ort und in der Zeit, die mit effizienten numerischen

8 4 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Verfahren, wie etwa der Methode der Finiten Elemente, auch im nichtlinearen Fall gelöst werden können. Aufgrund der phänomenologischen Beschreibung ergeben sich drei Bereiche, die untersucht werden müssen: Experimente Experimente bilden die Grundlage der Beschreibung. Effekte, die in den Experimenten immer wieder beobachtet werden, bekommen den Charakter von Axiomen. Man geht davon aus, dass diese Effekte immer auftreten und von grundsätzlicher Natur sind. Häufig spricht man von Naturgesetzen. Das wohl bekannteste Axiom ist das 2. Newtonsche Axiom in der Form Kraft ist Masse mal Beschleunigung, das als Definition der Kraft aufgefasst werden kann. Experimente, die sich mit speziellen Effekten, z.b. mit der Bestimmung von Steifigkeiten oder Fließgrenzen eines Festkörpers befassen, werden genutzt, um die sogenannten Materialgleichungen oder Konstitutivgleichungen des betrachteten Körpers zu ermitteln. Theorie Die theoretische Beschreibung basiert einerseits auf den Axiomen, die nicht in Frage gestellt werden, wenn sie einmal etabliert sind. Hierzu zählen die Massen-, Impulsund Drallbilanz sowie der erste und zweite Hauptsatz der Thermodynamik. Dieser Block von Gleichungen wird allgemein als Bilanzgleichungen bezeichnet. Anderseits beinhaltet die Theorie eine Beschreibung der Kinematik, in der Begriffe wie Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung aber auch Deformation behandelt werden. Dieser Teil der Theorie beruht im wesentlichen auf differentialgeometrischen Betrachtungen. Der dritte Teil der Theorie wird schließlich durch die Konstitutivgleichungen gebildet. Sie beschreiben das individuelle Verhalten der Körpers, der untersucht wird. An dieser Stellt findet die phänomenologische Verknüpfung von Experiment und Theorie statt. Üblicherweise werden die Experimente so angelegt, dass sich homogene Deformations- und Spannungszustände ergeben. Dann können aus den gemessenen Weg- und Kraftwerten die entsprechenden lokalen Größen leicht ermittelt werden. Aus diesen Daten wird dann ein Spannungs-Dehnungszusammenhang konstruiert, der das Materialverhalten lokal beschreibt. Numerik Die Kombination der Bilanzgleichungen mit der Kinematik und den Konstitutivgleichungen führt in der Regel auf einen nichtlinearen Satz von partiellen Differentialgleichungen, die nur in Ausnahmefällen analytische gelöst werden können. Durch die gestiegene Rechenleistung von Computern hat sich daher in den vergangenen Jahren die numerische Mechanik oder die computerorientierte Mechanik etabliert. Hier werden Methoden der nuermische Mathematik auf die nichtlinearen Problemstellungen

9 α-version vom Abbildung 1: Reales Rohr und Simulation fig_einl_1 der Mechanik angewandt. Die wohl bekannteste Methode ist die Methode der Finiten Elemente, die mittlerweile auch in viele kommerzielle erhältlichen Programme zur Berechnung mechanischer Fragestellungen Einzug gehalten hat. In der vorliegenden Veranstaltung Kontinuumsmechanik werden die Grundlagen vermittelt, die zur Formulierung und Behandlung kontinuumsmechanischer Fragestellungen erforderlich sind. Behandelt werden vor allem Probleme der Festkörpermechanik. Die Methoden sind aber problemlos auf die Fluidmechanik übertragbar. Am folgenden Beispiel kann die Fragestellung, die die Kontinuumsmechanik verfolgt, deutlich gemacht werden. In der Abbildung 1 links ist ein reales Rohr zu sehen, das in einem Biegeprozess umgeformt worden ist. Der Teil der Abbildung rechts zeigt das Ergebnis einer Simulation. Beide Geometriedarstellungen zeigen die selben Charakteristika. Auf die Geometrie des gebogenen Rohres ist in Abbildung 2 die sogenannte Vergleichsspannung fr verschiedene Biegewinkel geplottet. Sie stellt ein ein Maß für die lokale Beanspruchung darstellt. Bereiche hoher Vergleichsspannung (rot) sind stark belastet und deformieren sich plastisch während Bereiche niedriger Vergleichsspannung (blau) nahezu unverformt bleiben. An diesem Beispiel wird die Verknüpfung der drei Bereiche Experiment Theorie Numerik deutlich. Anschaulich läßt sich das Ziel, das die Kontinuumsmechanik verfolgt, als Frage formulieren:

10 6 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Abbildung 2: Vergleichsspannung bei unterschiedlichen Biegewinkeln fig_einl_2 Woher weiß der Computer, wie sich das Rohr biegt? Die Veranstaltung ist folgendermaßen aufgebaut: Zunächst wird eine Einführung in die lineare Elastostatik gegeben. Dabei werden die wesentlichen Gesichtspunkte deutlich. Für kleine Deformationen wird der Dehnungstensor hergeleitet. Als grundlegende Bilanzenaussagen ergeben sich die lokalen Formulierungen der Massen-, Impuls- und Drallbilanz für ein rein mechanisches Problem aus der Betrachtung eines Massenelements. Schließlich wird als einfachster Fall einer Konstitutivbeziehung das verallgemeinerte Hookesche Gesetz motiviert. Die Kombination der Kinematik, der Impulsbilanz und des Hookeschen Gesetzes führt dann auf die Lamé-Naviersche Verschiebungsdifferentialgleichung, eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in den Verschiebungen. Auch wenn für viele Sonderfälle der Lamé-Navierschen Gleichung analytische Lösungen hergeleitet wurden, werden Lösungen beliebiger Randwertprobleme numerisch berechnet, da die analytischen Lösungen zu komplex sind. Bevor eine allgemeine Formulierung der kinematischen Beziehungen für große Verformungen entwickelt wird, wird eine Übersicht über die benötigten Elemente der Tensorrechnung und der Differentialgeometrie gegeben. Auf dieser Basis können dann sowohl die kinematischen Beziehungen als auch die Bilanzaussagen ohne die Einschränkungen der linearen Theorie gegeben werden. Durch die formale Formulierung der Energiebilanz gelingt an dieser Stelle auch der Anschluß an die Thermodynamik, der an dieser Stelle jedoch nicht vertieft wird. Auf der Basis experimenteller Beobachtungen werden dann die vier wesentlichen Materialeigenschaften ratenabhängig, ratenunabhängig, mit oder ohne Gleichgewichtshysterese motiviert. Mittels einfacher rheologischer Modelle können diese Eigenschaften in mathematische Strukturen umgesetzt werden, die die Grundlage einer räumlich dreidimensionalen Formulierung bilden. Hier werden nochmals die lineare Elastizität, die lineare Viskoelastizität, die Plastizität und die Viskoplastizität bei kleinen Deformationen behandelt. Eine

11 α-version vom Erweiterung um die Berücksichtigung von Schädigungsphänomenen schließt die Betrachtungen ab. Die grundsätzliche Behandlung von nichtlinearen Modellen für große Deformationen im Rahmen der rationalen Kontinuumsthermodynamik findet in der Veranstaltung Materialmodellierung statt und erweitert das hier aufgezeigte Vorgehen.

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13 α-version vom c_linelast 2 Lineare Elastizitätstheorie In dem Fall, dass Strukturen mit kleinen Kräften belastet werden, beobachtet man häufig linear elastisches Verhalten. Das äußert sich darin, dass sich die Deformationen eines Bauteils proportional zu seiner Belastung verhalten, d.h. die Durchbiegung eines Trägers verdoppelt sich, wenn die Last verdoppelt wird. Bei Wegnahme der Last geht der Träger in seinen ursprünglichen Zustand zurück. Diese vereinfachende Annahme gestattet die Auslegung vieler technischer Systeme auf ihre Gebrauchstauglichkeit hin. Allerdings stößt sie auch häufig an ihre Grenzen. Nichtlineare Effekte, wie etwa das Auftreten plastischer Deformationen, die auch nach einer Wegnahme der Last bleiben, oder ratenabhängige Effekte, die vor allem bei Polymerwerkstoffen oder im Hochtemperaturbereich beobachtet werden, können mit diesen einfachen Ansätzen nicht beschrieben werden. Dennoch zeigt die Formulierung der linearen Elastizitätstheorie die wesentlichen Grundzüge auf, die sich in jedem kontinuumsmechanischen Modell finden. Daher werden in diesem Kapitel die entsprechenden Überlegungen zusammengestellt. Sie dienen im Weiteren als Richtschnur für das grundsätzliche Vorgehen. 2.1 Der materielle Körper Ein Bauteil oder Strukturelement, das im Hinblick auf sein mechanisches Verhalten simuliert werden soll, wird vereinfachend als materieller Körper bezeichnet. Die Bezeichnung impliziert, dass einerseits der betrachtete Körper untrennbar mit der Materie verbunden ist, aus der er gebildet wird. Über den Aggregatzustand des Körpers (fest, flüssig, gasförmig) sowie über seine konkreten Eigenschaften (elastisch, viskos, plastisch) ist an dieser Stelle keine Aussage erforderlich. Andererseits zeigt der Begriff auch, das die konkrete Form des Bauteils für die weiteren theoretischen Überlegungen unerheblich ist. Der materielle Körper kann immer als ein beliebiger Ausschnitt eines konkreten Bauteils aufgefasst werden. Die Grundlage dafür liefert das in der Mechanik immer wieder angewandte Schnittprinzip. Da die Längenskala der kontinuumsmechanischen Betrachtung groß gegenüber den atomaren oder molekularen Dimensionen ist, geht man weiterhin davon aus, dass die Materie und damit die Masse kontinuierlich im Volumen des Körpers verteilt sind. Die kleinste beschreibbare Einheit des materiellen Körpers ist der materielle Punkt. Der materielle Punkt ist der Träger der physikalischen Eigenschaften des materiellen Körpers und wird im Rahmen der makroskopischen Beschreibung als mathematischer Punkt aufgefasst. In einer mikroskopischen Betrachtung, d.h. zum Beispiel im Rahmen einer atomistischen Modellierung, ist der materielle Punkt ein Volumenelement, das mit einer endlichen Anzahl von Atomen gefüllt ist. Die statistische Mechanik befasst sich mit der Fragestellung, wie aus den Eigenschaften der einzelnen Atome durch geeignete Mittelungsoperationen die Eigenschaften des materiellen Punktes bestimmt werden. Bezüglich der Makroskala ergeben sich die Eigenschaften als Grenzwert, wenn man das betrachtete Volumen gegen Null gehen

14 10 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Abbildung 3: Bauteil, materieller Körper und atomare Struktur fig_linelast_1 läßt. Abbildung 3 veranschaulicht diesen Sachverhalt. i=1 Als Konsequenz liegen in der kontinuumsmechanischen Beschreibung alle physikalischen Größen als Dichtefelder vor. Sie sind als Funktionen des makroskopischen Ortsvektors und der Zeit an jeder Stelle im Volumen des materiellen Körpers definiert. Als Beispiele sein hier die Massen- und die Impulsdichte genannt. Die Massendichte ergibt sich aus der Masse m = N m i der Atome, die in einem Volumen V vorhanden sind. Bezüglich der makroskopischen Skala betrachtet man den Grenzwert V gegen Null. Durch die Skalendifferenz zwischen der makroskopischen und der mikroskopischen Skala ist sichergestellt, dass selbst in einem sehr kleinen makroskopischen Volumen noch eine hinreichend große Anzahl N von Atomen vorhanden ist. Damit ergibt sich die Definition der Massendichte als ρ = N i=1 lim m i V 0 V m = lim. (1) eq_2_1 V 0 V Die Impulsdichte an einem materiellen Punkt ergibt sich analog aus dem Gesamtimpuls aller Atome im betrachteten mikroskopischen Volumenelement ρv = lim V 0 N m i v i V. (2) eq_2_2 Da die weiteren Betrachtungen die makroskopische Skala der kontinuumsmechanischen Beschreibung nicht verlassen, sollen diese beiden Beispiele zur Motivation der Dichtefunktionen ausreichen. i=1 2.2 Geometrisch lineare Kinematik Ziel der kontinuumsmechanischen Betrachtungen ist es, einen Zusammenhang zwischen den wirkenden Kräften und der Bewegung eines materiellen Körpers herzustellen. Der

15 α-version vom Abbildung 4: Materieller Körper in der Referenz- und der Momentankonfiguration, Definition der Verschiebung fig_linel Begriff der Bewegung ist dabei so weit gefasst, dass neben der Schwerpunktsbewegung des materiellen Körpers auch die Deformation inbegriffen ist. Bewegung wird also genau wie die oben eingeführten Dichtefunktionen als lokales Information angesehen. Ist schließlich die Bewegung aller materiellen Punkte eines Körpers bekannt, so kann daraus sowohl die Schwerpunktslage des Körpers als auch die Deformation bestimmt werden. Als mathematisches Konstrukt ist der materielle Körper B (material body) eine unendliche Menge von materiellen Punkten P. Die Grenze des materiellen Körpers ist sein Rand S (material surface), der durch die Menge aller Randpunkte gebildet wird. Der materielle Körper wird zur Beschreibung der Bewegung in einen Euklidschen Anschauungsraum eingebettet. Damit erhält jeder materielle Punkte genau einen Ortsvektor x, der seine Position zur Zeit t beschreibt. Abbildung 4 zeigt einen materiellen Körper B zum Zeitpunkt t 0 und zum Zeitpunkt t > t 0. Dadurch, dass an dem Körper Kräfte angreifen, hat er seine Position im Raum verändert und sich dabei deformiert. Stellvertretend für alle materiellen Punkte hat sich der Punkt P von seiner Anfangsposition X zur Zeit t 0 an die aktuelle Position x zur Zeit t > t 0 verschoben. Die Differenz zwischen den beiden Positionen kennzeichnet den Verschiebungsvektor u. Es gilt x = X + u(p, t) = X + u(x, t). (3) eq_2_3 Da alle Punkte im Volumen des materiellen Körpers mit materiellen Punkten belegt sind, ist die Verschiebung ebenfalls eine Feldgröße. Da ein materieller Punkt zu einem Zeitpunkt t nur an einem Raumpunkt x sein kann und an einem Raumpunkt x immer nur genau ein materieller Punkt vorliegen kann, ist die Verschiebung eine ein-eindeutige Funktion, d.h. sie ist eindeutig und eindeutig invertierbar. Der materielle Punkt P, der zur Anfangszeit t 0 an der Position X ist, wird im weiteren ohne Beschränkung der Allgemeinheit mit seiner Anfangsposition identifiziert. Die Verschiebung wird damit zu einer Funktion der

16 12 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Anfangsposition X und der Zeit t. Da die Anfangsposition X und der materielle Punkt P in dieser Darstellung synonym gebracht werden, bezeichnet man die Darstellung 3 auch als die materielle Darstellung des Verschiebungsfeldes. In dieser Darstellung beweget sich der Beobachter des physikalischen Prozesses mit dem materiellen Punkt mit, d.h. er sieht zum aktuellen Zeitpunkt t den materiellen Punkt an der Position x(p, t) = X + u(x, t). Wie in der Punktmechanik können aus der Verschiebung die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des materiellen Punktes P bestimmt werden. Die Positionsänderung pro Zeit liefert die Geschwindigkeit u(x, t + t) u(x, t) v(x, t) = lim t 0 t = du(x, t) dt = u(x, t). (4) eq_2_4 Da sich der Beobachter mit dem materiellen Punkt bewegt, ist der Ortsvektor des materiellen Punktes X in der Anfangs- oder Referenzkonfiguration konstant. Die Zeitableitung in 4 ist daher eine totale Ableitung, für die im weiteren ein Punkt als Sybmol verwendet wird. Die Änderung der Geschwindigkeit liefert die Beschleunigung v(x, t + t) V(X, t) a(x, t) = lim t 0 t = v(x, t) = ü(x, t). (5) eq_2_5 Sofern aus Gründen der Eindeutigkeit nicht erforderlich, wird auf die Angabe der Argumente X und t im weiteren verzichtet. Aus dem Verschiebungszustand kann die Deformation eines materiellen Körpers nicht direkt abgelesen werden. Dazu ist es vielmehr erforderlich, ein materielles Volumenelement zu betrachten, das sich mit dem Körper bewegt und deformiert. Ein entsprechendes Element in ist in Abbildung 5 dargestellt. Der Einfachheit halber ist eine ebene Situation gezeigt. In der Referenkonfiguration wird das Volumenelement als Rechteck der Kantenlängen X 1 und X 2 gewählt. Da das Element als klein angenommen wird, deformieren sich seine Kanten linear. Das Rechteck wird in der aktuellen Konfiguration eine Raute (im dreidimensionalen Fall ein Spat), deren proijezierte Kanten die Längen X 1 und X 2 besitzen. Die Ecken werden durch die materiellen Punkte P, Q und R gebildet. Der Punkt P verschiebt sich bei der Deformation um u(x). Da die Abstände X 1 und X 2 klein sind, können die Verschiebungen der Punkte Q und R durch Taylor-Reihen approximiert werden. Dann gilt u(q) = u(x + X 2 e 2 ) = u(x) + u X 2, X 2 u(r) = u(x + X 2 e 2 ) = u(x) + u (6) eq_2_6 X 1. X 1 Identifiziert man die Kantenlängen X 1 und X 2 mit den Ausgangslängen l 1 und l 2, so erfahren die Projektionen des deformierten Elements auf die x 1 - bzw. x 2 -Achse die Längenänderungen l 1 und l 2. Damit gilt x 1 = l 1 + l 1 und x 2 = l 2 + l 2. Die

17 α-version vom linelast_3 Abbildung 5: Materielles Volumenelement in der Referenz- und der Momentankonfiguration Kanten der Raute schließen mit den Koordinatenachsen die Winkel α und β ein, wie in Abbildung 6 dargestellt. Die Längen l 1 + l 1 bzw. l 2 + l 2 ergeben sich aus den horizontalen und den vertikalen Abständen der Punkte P und R bzw. Q. In horizontaler Richtung ergibt sich nach Abbildung 6 aus der Anfangslänge l 1 = X 1 und den Horizontalverschiebungen u 1 (P) und u 1 (R) l 1 + l 1 + u 1 (R) = l 1 + u 1 (P) (7) eq_2_6a Die neue Länge des deformierten Elements in horizontaler Richtung betrgt damit l 1 + l 1 = l 1 + u 1 (X 1, X 2 ) + u 1 X 1 l 1 }{{} u 1 (R) u 1 (X 1, X 2 ) }{{} = u 1 (P) (8) eq_2_7 Für die Längenänderung in den beiden Raumrichtungen folgt also l 1 = u 1 X 1 l 1, l 2 = u 2 X 2 l 2. (9) eq_2_8 Definiert man die Dehnungen als auf die Ausgangslänge bezogene Längenänderungen, so erhält man schließlich ε 11 = u 1 X 1, ε 22 = u 2 X 2, ε 33 = u 3 X 3. (10) eq_2_9 Dabei wird vorausgesetzt, dass in der dritten Raumrichtung, die in den Abbildungen 5 und 6 nicht berücksichtigt sind, die selben Beziehungen gelten, wie in der horizontalen und der vertikalen Richtung. Die Gestalt der Raute bzw. des Spats im dreidimensionalen Fall wird neben den Längenänderungen durch Winkeländerungen der ursprünglich rechten Winkel charakterisiert. Nach der

18 14 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Abbildung 6: Deformiertes Volumenelement fig_linelast_4 Abbildung 6 ergeben sich der Tangens des Winkels α aus dem rechtwinklingen Dreieck, das durch die beiden Hypothenusen l 1 + u 1 (R) u 1 (P und u 2 (R) u 2 (P) gebildet wird, tan α = u 2(R) u 2 (P) l 1 + l 1. (11) eq_2_10 Dieser Ausdruck ist nichtlinear. Für kleine Verschiebungen und kleine Verschiebungsableitungen sind die Winkel jedoch klein und die nichtlinearen Beziehungen können linearisiert werden. Betrachtet man dazu wieder die entsprechenden Taylor-Reihen unter Vernachlässiung der quadratischen und höheren Terme, so erhält man für die Winkel α und β die folgende Beziehung α = u 2 X 1, β = u 1 X 2. (12) eq_2_11 Die mittlere Winkeländerung, die der rechte Winkel des Volumenelements in der gezeigten Ebene x 1 x 2 -Ebene erfährt ist somit ɛ 12 = 1 ( u1 + u ) 2. (13) eq_2_12 2 X 2 X 1 Analoge Überlegungen in der x 2 x 3 - und der x 3 x 1 -Ebene führen auf ɛ 23 = 1 ( u2 + u ) 3, ɛ 31 = 1 ( u3 + u ) 1. 2 X 3 X 2 2 X 1 X 3 (14) eq_2_13 Die gesamten Winkeländerungen werden als Gleitungen, die mittleren Winkeländerungen 13 und 14 werden als Schubverzerrungen bezeichnet.

19 α-version vom Die Deformation eines ursprünglich quaderförmigen Volumenelements in einen Parallelepiped oder Spat kann im Fall kleiner Deformationen also durch die relativen Längenänderungen und die mittleren Winkeländerungen erfasst werden. Diese Verzerrungsgrößen kann man in einem Matrizenschema anordnen u 1 1 X 1 ) 2 ( 1 u2 ε ˆ= + u 1 2 X 1 X 2 ( 1 u1 + u 3 2 X 3 X 1 ) 1 2 ( u1 + u 2 X 2 X 1 u 2 1 X 2 ) 2 ( u2 X 3 + u 3 X 2 ) ( 1 u1 2 + u ) 3 X 3 X 1 ( u2 + u ) 3 X 3 X 2 u 3 X 3. (15) eq_2_14 Da das kartesische Koordinatensystem, auf das sich die Darstellung 15 bezieht, willkürlich gewählt ist, die Verzerrungen aber als physikalische Größen vom Koordinatensystem unabhängig sind, gehört zu der Matrixdarstellung die entsprechende Basisinformation. Dadurch wird bei einer Transformation von einem in ein anderes Koordinatensystem ein bestimmtes Transformationsverhalten festgelegt. Die Kombination der Koeffizienten 15 mit der zugehörigen Basisinformation definiert dann einen Tensor, den sogenannten Verzerrungstensor. Das nächste Kapitel gibt dazu weitere Informationen. Die Koeffizienten des Verzerrungstensors berechnen sich alle aus Ableitungen des Verschiebungsvektors nach den Koeffizienten des Ortsvektors. Zusammenfassend können die Koeffizienten als ε ij = 1 ( ui + u ) j (16) eq_2_15 2 X j X i Die Indices i und j sind dabei Zähler, die die Werte von 1 bis 3 annehmen. In dem Matrizenschema gibt der erste Index die Zeile, der zweite die Spalte an, in der der jeweilige Koeffizient eingetragen wird. Sind die Indices gleich, i = j, so ergeben sich die Diagonalelemten. Für ungleiche Indices i j ergeben sich die jeweiligen Nebendiagonalelemente, wobei auf Grund der Konstruktion die Reihenfolge keine Rolle spielt. Der Verzerrungstensor ist symmetrisch. Symbolisch kann der Verzerrungstensor durch die Verschiebungsgradienten dargestellt werden. Der Gradient entsteht, wenn man eine Feldgröße nach dem Ortsvektor ableitet. Für ein Skalarfeld, z.b. das Temperaturfeld Θ(X), ergibt sich der Gradient als Vektor Θ Grad Θ = Θ(X) X ˆ= X 1 Θ X 2 Θ X 3. (17) eq_2_16 Der Spaltenvektor 17 2 bezieht sich auf die kartesische Basis, in der der Ortsvektor X die Koeffizienten X i, i = 1, 2, 3 besitzt, und besteht aus den partiellen Ableitungen des Feldes

20 16 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Θ(X 1, X 2, X 3 ) nach den drei Koeffizienten X i. Für ein Vektorfeld, z.b. für das Verschiebungsfeld u(x), können alle drei Koeffizienten des Vektors u i nach den drei Koeffizienten X j des Ortsvektors abgeleitet werden. Es ergeben sich daher neun Möglichkeiten, die wiederum in einem Matrixschema angeordnet werden können, Grad u = u X ˆ= u 1 X 1 u 1 X 2 u 1 X 3 u 2 X 1 u 2 X 2 u 2 X 3 u 3 X 1 u 3 X 2 u 3 X 3. (18) eq_2_17 Bei der Transopsition eines Matrixschemas oder eines Tensors werden die Zeilen und Spalten vertauscht. Unter Ausnutzung der Transposition kann somit der Verzerrungstensor in symbolscher Notation als ε = 1 ( ) Grad u + (Grad u) T (19) eq_2_18 2 geschrieben werden. Die symbolische Notation ist von einer konkreten Wahl des Koordinatensystems unabhängig. Mit der Wahl eines bestimmten Koordinatensystems wird die Darstellung der Koeffizienten in dem zugehörigen Matrixschema festgelegt. Verwendet man z.b. Zylinder- oder Kugelkoordinaten anstelle von kartesischen Koordindaten ändern sich die Berechnungsvorschriften für die Koeffizienten der Gradienten. Die Ursache liegt in dem Transformationsverhalten der Tensoren, wenn man sie von einem in ein anderes Koordinatensystem transformiert. Neben den Längen- und Winkeländerungen, die direkt als Koeffizienten des Verzerrungstensors ablesbar sind, enthält der Verzerrungstensor der geometrisch linearen Theorie auch noch die Volumendehnung. Zur Herleitung betrachtet man wieder ein rechteckiges Volumenelement in der Referenzkonfiguration. Wenn ein rein volumetrischer Deformationszustand aufgebracht wird, wird das Element größer, ändert aber seine Winkel nicht. Für den ebenen Fall ist das in der Abbildung 7 dargestellt. Das Ausgangsvolumen ergibt sich als Produkt der Längen l i in den drei Koordinatenrichtungen, V = l 1 l 2 l 3. (20) eq_2_19 In der Momentankonfiguration hat sich das Volumen um den Betrag V verändert, die Gestalt des Elementes ist jedoch immer noch ein Quader. Es gilt V + V = (l 1 + l 1 )(l 2 + l 2 )(l 3 + l 3 ). (21) eq_2_20 Mit der Definition der Längenänderungen 9 und der Dehnungen 10 ergibt sich schließlich V + V = (1 + ε 11 )(1 + ε 22 )(1 + ε 33 )l 1 l 2 l 3. (22) eq_2_21

21 α-version vom Abbildung 7: Volumendehnung eines materiellen Elements fig_linelast_5 Dividiert man diesen Ausdruck durch das Ausgangsvolumen 20 und vernachässigt im Rahmen der geometrisch linearen Theorie zweite und dritte Potenzen der Dehnungen, so folgt die Volumendehnung als relative Volumenänderung zu e = V V ε 11 + ε 22 + ε 33 = tr ε. (23) eq_2_22 Die Vernachlässigung der höheren Potenzen der Dehnungen setzt wieder voraus, dass die Dehnungen klein sind. In diesem Fall ist die Volumendehnung identisch mit der Summe der Diagonalelemente des Verzerrungstensors. Diese Summe wird auch als Spur (trace) des Tensors bezeichnet. Im Umkehrschluß entspricht ein spurfreier Verzerrungstensor einer reinen Gestaltänderung bei konstantem Volumen. Aus einem beliebigen Tensor kann man den spurfrei Anteil extrahieren, in dem man den volumetrischen Anteil e/3 I abzieht. Dabei bezeichnet I den Einheitstensor, der bezüglich einer kartesischen Basis lediglich dreimal den Wert 1 auf der Diagonalen besitzt. Man erhält den sogenannten deviatorischen Anteil oder Deviator ε D = ε e I. (24) eq_2_23 3 In der Koeffizientendarstellung ist sofort ersichtlich, dass der Deviator spurfrei ist. Es gilt ε D 11 ε D 12 ε D 13 ε 11 ε 12 ε 13 ε D 21 ε D 22 ε D 23 = ε 21 ε 22 ε ε D 31 ε D 32 ε D 3 (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) (25) eq_2_24 33 ε 31 ε 32 ε Da die Spur des Identitätstensors den Wert 3 ergibt, folgt in der symolischen Notation tr ε D = tr ε 1 tr ε tr I = 0. (26) eq_2_25 3

22 18 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Damit ist gezeigt, dass der Verzerrungsdeviator eine gestaltändernde Deformation bei konstantem Volumen beschreibt. Die Verzerrungen 19 benötigt man, wenn es darum geht einen Zusammenhang zwischen den mechanischen Spannungen und der Deformation eines elastischen Bauteils herzuleiten. Falls das Materialverhalten nicht elastisch sondern ratenabhängig ist, benötigt man ferner die Verzerrungsgeschwindigkeit. Diese ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung des Verzerrungstensors ε = d dt 1 ( ) Grad u + (Grad u) T = 1 ( ) Grad v + (Grad v) T. (27) eq_2_ Da die Zeitableitung mit den Ortsableitungen des Gradientenoperators gemäß der Schwarzschen Regel vertauschbar ist, kann die Verzerrungsgeschwindigkeit aus den Gradienten des Geschwindigkeitsfeldes v berechnet werden. Die Verzerrungsgeschwindigkeit ist wie die Verzerrung selbst eine tensorielle Größe. Die Koeffizienten auf der Diagonalen geben ab, mit welcher Geschwindigkeit sich die Länge der Kanten von Volumenelementen ändern, die Nebendiagonalelemente entsprechen den Änderungsgeschwindigkeiten der Winkel. 2.3 Massen-, Impuls- und Drallbilanz Während die kinemastischen Überlegungen des vorangegangenen Abschnitts eine Verknüpfung zwischen der Verschiebung der materiellen Punkte und den Verzerrungen herstellen, stellen die Bilanzgleichungen die mathematische Formulierung der physikalischen Erhaltungsaussagen dar. In der klassischen Physik 1 die Bilanzgleichungen axiomatisch eingeführt. Man beobachtet also immer wieder und in den unterschiedlichsten Situationen die selben Sachverhalte und folgert, dass diese Beobachtungen universellen Charakter haben. Die aufgestellten Axiome bilden die Grundlage für die folgenden theoretischen Betrachtungen. Sie können im Rahmen der Theorie nicht bewiesen werden, sondern sie sind vielmehr das Fundament, auf dem die weiteren Betrachtungen aufbauen. Für die Kontinuumsmechanik spielen die Massen-, die Impuls- und die Drallbilanzen eine wesentliche Rolle. Die entsprechenden Axiome lassen sich folgendermaßen formulieren: Massenbilanz Die Masse eines materiellen Körpers ist während seiner Bewegung konstant. Impulsbilanz Der Impuls eines materiellen Körpers ändert sich durch die Kräfte, die an dem Körper angreifen (2. Newtonsches Axiom). 1 Relativistische Effekte werden im Weiteren nicht betrachtet. Alle Prozesse finden im Rahmen der Gültigkeit der klassischen Physik statt.

23 α-version vom Abbildung 8: Materieller Körper mit materiellem Volumenelement fig_linelast_6 Drallbilanz Der Drall eines materiellen Körpers ändert sich durch die Momente, die an dem Körper angreifen. In der vorliegenden verbalen Fassung sind die Bilanzaussagen für den gesamten Körper formuliert. Diese globalen Aussagen müssen in einer geeigneten mathematischen Darstelllung angegeben werden, damit es möglich wird, das mechanische Verhalten materielle Körper zu berechnen. Da für deformierbare Körper der Deformationszustand in der Regel inhomogen ist, ist eine lokale Formulierung der Bilanzaussagen erforderlich. Eine entsprechende Darstellung wird möglich, wenn man von dem Schnittprinzip gebraucht macht. Das Schnittprinzip gestattet es beliebige Teile eines Körpers zu betrachten, wenn die Interaktionen zwischn den Einzelteilen, die durch den gedachten Schnitt sichtbar werden, entsprechend berücksichtigt werden. Zur Herleitung der Massenbilanz betrachtet man ein materielles Volumenelement der Größe V, das aus einem Körper geschnitten wird, vgl. Abbildung 8. Ein materielles Volumenelement bewegt sich dabei mit dem Körper mit. Da sich Materie nicht selbst durchdringen kann, kann keine Masse über den Rand des materiellen Volumenelements transportiert werden. Gemäß der Massenbilanz muß dann die Masse im Inneren des Volumenelements konstant bleiben. In dem Volumenelement der Größe V befindet sich die Masse m. Da nach der Kontinuitätsannahme die Masse eine kontinuierlich verteilte Größe ist, kann man den Grenzwert immer kleiner werdender Volumen betrachtet. In der Referenzkonfiguration hat das Volu-

24 20 Kontinuumsmechanik WS 16/17 menelement die Größe V 0, und es beinhaltet die Masse m. In der Momentankonfiguration hat sich die Größe des Volumens durch die Volumendehnung verändert. Der aktuelle Wert beträgt V. Zwischen den Volumenelementen der Referenz- und der Momentankonfiguration besteht nach 24 der Zusammenhang V 0 (1 + e) = DeltaV (28) eq_2_27 Da das Volumenelement ein materielles Element ist, muss während der Bewegung die Masse in diesem Volumen konstant sein. Damit folgt m V 0 = (1 + e) m V Betrachtet man im nächsten Schritt den Grenzwert kleiner werdender Volumina, dann folgt für die Massendicht ρ 0 in der Referenzkonfiguration und die Massendichte ρ in der Momentankonfiguration ρ 0 = m m lim = (1 + e) lim V 0 0 V 0 V 0 V (29) eq_2_28 = (1 + e) ρ, (30) eq_2_29 bzw. ρ = e ρ 0 (1 e) ρ 0. (31) eq_2_30 Der zweite Teil von 31 gilt wiederum nur für kleine Volumendehnungen, setzt also die Gültigkeit der geometrisch linearen Theorie voraus. Die Massenbilanz verknüpft somit die Massendichte ρ 0 mit der aktuellen Massendichte ρ über die Volumendehnung. Da die Betrachtung für den Grenzwert V 0 durchgeführt wurde, stellt 31 eine lokale Aussage dar, die an jedem Punkt im Inneren des materiellen Körpers Gültigkeit besitzt. Das zweite Newtonsche Axiom oder die Impulsbilanz kann als Definition des Begriffs der Kraft angesehen werden. Kraft ist demnach die Wirkung auf einen materiellen Körper, die zu einer Impulsänderung führt. In einer globalen Formulierung kann der Schwerpunktsatz formuliert werden als d dt (m v S) = F. (32) eq_2_31 Dabei ist m die Masse, V S die Schwerpunktgeschwindigkeit und F die resultierende Kraft, vgl. Abbildung 9. Diese Aussage 32 muss, genau wie die Massenbilanz, für beliebige Teilkörper formuliert werden. Dazu wird wieder ein materielles Volumenelement V aus dem Köper geschnitten. Durch den Schnitt werden die lokalen Kräfte auf den Oberflächen des Volumenelements sichtbar. Abbildung 10 zeigt auf einer Teilfläche A die lokale Schnittkraft F. Da durch die Kontinuitätsannahme garantiert ist, dass die Schnittkräfte gleichmässig auf den Schnittflächen verteilt sind, existiert der Grenzwert t = lim A 0 F. (33) eq_2_32 A

25 α-version vom linelast_7 Abbildung 9: Zur Impulsbilanz: Materieller Körper mit Schwerpunktgeschwindigkeit und resultierender Kraft Die lokale Flächenkraft t heißt Spannungsvektor. Die Einheit ist Kraft pro Fläche, also 1 N/mm 2. Typischerweise wird der Spannungsvektor in seine Komponenten senkrecht zur Schnittfläche und tangential zur Schnittfläche aufgeteilt. Im skizzierten Fall ist der Normalenvektor n des Flächenelements identisch mit dem Basisvektor e 1. Die Normalspannung senkrecht zu dem Flächenelement ergibt sich damit zu σ = t n = t 1. (34) eq_2_33 Die Schubspannungskomponenten, die tangential zu der Fläche A wirken, zeigen im skizzierten Beispiel in die X 2 - und die X 3 -Richtung. Formal erhält man diese Anteile, wenn man von dem Spannungsvektor t den Normalspannungsanteil σ n subtrahiert. Der Spannungszustand an einem infinitesimalen Volumenelement ist vollständig bestimmt, wenn man die Spannungsvektoren auf drei senkrecht zu einander orientierten Schnittflächen kennt. Der Sachverhalt kann für den ebenen Fall leicht durch Abbildung 11 verdeutlicht werden. Im linken Teil von Abbildung 11 ist das Volumenelemen mit der Gleichgewichtsgruppe der Spannungsvektoren t 1 und t 2 dargestellt. Da das Element infinitesimal ist und auf den paarweise gegenüber liegenden Flächen jeweils gleich große Spannungsvektoren angreifen, die eine zentrale Kräftegruppe bilden, ist die skizzierte Gruppe eine Gleichgewichtsgruppe. Die Spannungsvektoren lassen sich in die Koordinatenrichtungen zerlegen. Es gilt für den ebenen Fall t 1 ˆ= ( σ11 σ 21 ), t 2 ˆ= ( σ12 σ 22 ). (35) eq_2_34 Der Spannungsvektor t 1 wird durch die Schnittkraft auf der Fläche mit der Normalen n = e 1 hervorgerufen, analog ist t 2 auf der Fläche mit der Normalen n = e 2 definiert. Für die

26 22 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Abbildung 10: Freigeschnittenes Volumenelement mit den wirkenden lokalen Kräften fig_linelast_ inelast_10 Abbildung 11: Belastetes Volumenelement a) orientiert an den Koordinatenrichtungen und b) mit einer beliebigen Schnittfläche

27 α-version vom eq_2_34 Bezeichnung der Koeffizienten in der Darstellung gibt damit der zweite Index die Richtung der Flächennormalen von der Fläche an, auf der der Spannungsvektor definiert ist. Der erste Index gibt jeweils die Richtung an, in die der jeweilige Koeffizient zeigt. Konkret heißt das: σ ij ist der Koeffizient eines Spannungsvektors, der auf der Fläche mit der Normalen n = e j definiert ist und in Richtung e i zeigt. Auf der Fläche mit der Normalen e 1 ist daher die Spannung σ 11 eine Normalspannung während die Spannung σ 21 eine Schubspannung ist. Auf der Fläche mit der Normalen e 2 verhält es sich genau andersherum, σ 12 ist die Schubspannung und σ 22 die Normalspannung. Folgt man der eingeführten Indizierung, so ist eine Spannungskomponenten immer dann eine Normalspannung, wenn die Indices gleich sind, ansonsten eine Schubspannung. Mit Bezug auf den rechten Teil der Abbildung 11 kann nun auch ein Spannungsvektor t ˆ=(t 1, t 2 ) bestimmt werden, der auf einer beliebigen Fläche mit der Normalen n definiert ist, die nicht mit einer der Koordinatenrichtungen zusammenfällt. Im vorliegenden Fall ist die Fläche unter dem Winkel α zur e 1 -Achse geneigt. Wenn die Schnittfläche die Größe A, dann ergeben sich die proijezierten Flächen in die X 1 - und in die X 2 -Richtung zu A cos α bzw. A sin α. Die Normale der Schnittfläche A ist durch den Winkel α ebenfalls bestimmt n ˆ= ( n1 n 2 ) = ( sin α cos α ). (36) eq_2_35 Da die Spannungsvektoren t 1 und t 2 an dem ursprünglichen Volumenelement eine Gleichgewichtsgruppe dargestellt haben, muß auch das abgeschnittene Dreieck, im dreidimensionalen Fall der abgeschnittene Tetraeder, im Gleichgewicht sein. Das Kräftegleichgewicht läßt sich dann wie folgt angeben: : t 1 A, σ 11 A sin α σ 12 A cos α = 0, : t 2 A, σ 21 A sin α σ 22 A cos α = 0. (37) eq_2_36 Klammert man das Flächenelement A aus und identifiziert man die trigonometrischen Funktionen mit den Koeffizienten des Normalenvektors??, so erhält man t 1 = σ 11 n 1 + σ 12 n 2, t 2 = σ 21 n 1 + σ 22 n 2. (38) eq_2_37 Diese Ausdrücke lassen sich kompakt durch folgende Summenformel darstellen t i = j σ ij n j. (39) eq_2_38 Führt man die skizzierte Überlegung in drei Dimensionen durch, so gelangt man ebenfalls wieder zu der Darstellung 39, wobei allerdings die Indices i und j von 1 bis 3, also über alle Koordinatenrichtungen, laufen. Ordnet man die Koeffizienten der drei gegebenen

28 24 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Spannungsvektoren wiederum in einem Matrizenschema an σ 11 σ 12 σ 13 σ ˆ= σ 21 σ 22 σ 23, (40) eq_2_39 σ 31 σ 32 σ 33 so kann 39 als Matrix-Vektor-Produkt interpretiert werden t σ 11 σ 12 σ 13 1 n 1 t 2 = σ 21 σ 22 σ 23 n 2 t 3 σ 31 σ 32 σ n (41) eq_2_40 Die Koeffizienten des Spannungsvektors t auf der Schnittfläche mit der Normalen n ergeben sich dann aus den Produkten der Zeilen der Matrix σ mit dem Spalenvektor n. Die Beziehung 41 stellt das Cauchy-Theorem dar. Der Spannungszustand an einem materiellen Punkt ist demnach vollständig charakterisiert, wenn die Spannungsvektoren auf drei jeweils senkrecht aufeinander stehenden Ebenen bekann sind. Die Komponenten dieser drei Spannungsvektoren wenden im Spannungstensor gesammelt, d.h. neben der Matrix mit den Koeffizienten 40 ist noch die Richtungsinformation in Form der gewählten Basis für eine eindeutige Darstellung notwendig. Genau wie beim Verzerrungstensor ist auch hier das Transformationsverhalten bei einem Wechsel des Basissystems ausschlaggebend. In der Abbildung 12 ist ein materielles Volumenelement gezeigt, das aus einem belasteten materiellen Körper freigeschnitten wurde. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist die Skizze wieder zweidimensional. Eine Erweiterung auf drei Dimensionen erfolgt analog. Das skizzierte Element ist entlang der Koordinatenachsen orientiert. Die Schnittkräfte können auf den Rändern als konstant angenommen werden, da das Element als infinitesimal klein angenommen wird. Die entsprechenden Spannungsvektoren lassen sich dann direkt durch Koeffizienten des Spannungstensors darstellen. Von der linken zur rechten bzw. von der unteren zur oberen Seite des Volumenelements können sich die wirkendn Spannungen verändern. Ursache dafür sind die Volumenkräfte b und die Impulsänerung des Elements. Für das skizzierte Element kann man nun die Impulsbilanz oder das zweite Newtonsche Axiom angeben. Mit der Masse m des Elements gilt für die Impulsänderung m v = R. (42) eq_2_41 Die resultierende Kraft R besteht aus den resultierenden Volumenkräften b X 1 X 2 und den resultierenden Oberflächenkräften, die sich als Produkt der Spannungsvektoren mit den jeweiligen Seitenflächen des Elements ergeben. Bezüglich des kartesichen Koordinatensystems folgt dann m v 1 = b 1 X 1 X 2 + (σ 11 + σ 11 ) X 2 + (σ 12 + σ 12 ) X 1 σ 11 X 2 σ 12 X 1 m v 2 = b 2 X 1 X 2 + (σ 21 + σ 21 ) X 2 + (σ 22 + σ 22 ) X 1 σ 21 X 2 σ 22 X 1. (43) eq_2_42

29 α-version vom Abbildung 12: Impulsbilanz am Volumenelement fig_linelast_8 Dabei kürzen sich die absoluten Spannungsanteile σ 11, σ 12, σ 21 und σ 22 aus den Gleichungen. Dividiert man beide Gleichungen noch durch das Volumen V = X 1 X 2, so erhält man schließlich folgende Beziehungen m V v 1 = b 1 + σ 11 X 1 + σ 12, X 2 m V v 2 = b 2 + σ 21 X 1 + σ 22. X 2 (44) eq_2_43 Im letzten Schritt kann der Grenzwert X 1 0 und X 2 0 durchgeführt werden. Mit der Definition der Dichte ρ = m/ V und der Definition der partiellen Ableitungen ( )/ X i = lim V 0 lim ( )/ X i lautet die lokale Impulsbilanz für den materiellen Punkt X i 0 ρ v 1 = b 1 + σ 11 X 1 + σ 12 X 2, ρ v 2 = b 2 + σ 21 X 1 + σ 22 X 2. (45) eq_2_44 Die beiden Gleichungen stellen die Komponenten der Impulsbilanz bezüglich der Koordinatenrichtungen X 1 und X 2 dar. Für die Richtung i = 1, 2 kann man kompakt schreiben ρ v i = b i + σ i1 X 1 + σ i2 X 2. (46) eq_2_45

30 26 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Weiterhin kann man die Summe über die Änderungen des Spannungszustands über einen weiteren Summationsindex j darstellen ρ v i = b i + 2 j=1 σ ij X j. (47) eq_2_45 Erweitert man das aufgezeigte Vorgehen auf drei Dimensionen, so entstehen Gleichungen der Art47 für die Richtungen i = 1, 2, 3. Die Summe über die Spannungsterme läuft dann ebenfalls über die Indexwerte j = 1, 2, 3. Der Vektor div σ ˆ= 3 j=1 σ ij X j (48) eq_2_46 beinhaltet die partiellen Ableitungen des Spannungstensors. Im Gegensatz zum Gradienten wird hier jedoch ein Summenausdruck verwendet, der den Spannungstensor in einen Vektor überführt. Dieser Vektor ist die Divergenz des zugehörigen Tensors. Genau wie der Gradient stellt die Divegenz einen Differentialoperator dar. Übersetzt man die Komponentengleichungen 47 in die absolute Darstellung, so entsteht folgende Form der Impulsbilanz für den materiellen Punkt ρ v = b + Div σ. (49) eq_2_47 Diese Aussage entspricht dem zweiten Newtonschen Gesetzt für den Massepunkt bzw. dem Schwerpunktsatz für den starren Körper in der Form Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Die Masse wird dabei für den materiellen Punkt durch die Massendichte ersetzt. Die Kraft entspricht der resultierenden Kraftdichte aus der Volumenkraftdichte b und der Änderung des Spannungszustands am materiellen Punkt. Die dritte Bilanz, die zur Formulierung eines rein mechanischen Problems benötigt wird, ist die Drallbilanz. Analog zur Impulsbilanz wird in de Drallbilanz die Dralländerung mit der Wirkung von Momenten verknüpft. Da die Spannungen auf den Rändern des Volumenelements als konstant angesehen werden, üben die Normalspannungen σ 11 und σ 22 keine Moment bezüglich des Schwerpunktes S aus. Momente entstehen lediglich durch die Schubspannungen σ 12 und σ 21. Die entsprechenden Hebelarme sind X 1 und X 2. Da Spannungsänderungen von der einen auf die andere Seite des Volumens klein sind und der Grenzfall eines infinitesimalen Volumens betrachtet wird, können die Momente der Spannungsänderungen σ 12 und σ 21 vernachlässigt werdn. Sie sind von höhrer Ordnung klein, wenn der entsprechende Grenzwert X 1 0 und X 2 0 durchgeführt wird. Mit dem Trägheitsmoment Θ und der Winkelgeschwindigkeit ω bezüglich der Achse senkrecht zur Zeichenebene von Abbildung 13 folgt dann d(θ ω) dt = σ 12 X 1 X 2 σ 21 X 2 X 1. (50) eq_2_48 Da das Trägheitsmoment mit der vierten Potenz der Abmessung des Volumens gebildet wird, ist im Grenzfall eines infinitesimalen Volumens dieser Ausdruck gegenüber Termen

31 α-version vom Abbildung 13: Zur Drallbilanz am materiellen Volumenelement fig_linelast_11

32 28 Kontinuumsmechanik WS 16/17 auf der rechten Seite von 50 vernachlässigbar klein. Die Drallbilanz liefert somit für ein infinitesimales Volumenelement die Symmetrie des Spannungstensors σ 12 = σ 21. (51) eq_2_49 Analoge Überlegungen gelten auch bezüglich der beiden anderen Koordinatenebenen σ ij = σ ji bzw. σ = σ T. (52) eq_2_50 Die Herleitung setzt voraus, dass der materielle Punkt als mathematischer Punkt die physikalischen Gegebenheiten korrekt abbildet. Für viele technische Anwendungen trifft dies zu, da die Mikrostruktur der Werkstoffe klein gegenüber den Bauteilabmessungen ist. Durch die Gleichung 52 wird dann das Boltzmann-Kontinuum definiert. Man geht dabei davon aus, dass mögliche Mikrostrukturen keinen Einfluß auf das mechanische Verhalten haben. Für miniaturisierte Bauteile oder Werkstoffe, die eine große innere Struktur aufweise, wie etwa geschäumte Materialien, trifft diese Annahme jedoch nur noch bedingt zu. In diesem Fall müssen Konzepte erweiterter Kontinua herangezogen werden. Das wohl bekannteste erweiterte Kontinuum ist das Cosserat-Kontinuum. In diesem Fall geht man davon aus, dass die Mikrostruktur durch Starrkörper auf der Mikroskala abgebildet wird, so dass neben Kraftspannungen unabhängige Momentenspannungen auf den Rändern des materiellen Volumenelements auftreten können. In diesem Fall ist der Spannungstensor nicht mehr symmetrisch. Für die weiteren Untersuchungen wird die Symmetrie des Spannungstensors vorausgesetzt. Die Drallbilanz liefert keine zusätzlichen Informationen, wenn man für die Konstitutivgleichungen, die den Zusammenhang zwischen den Spannungen und den kinematischen Größen herstellen, einen Ansatz wählt, der nur symmetrische Spannungszustände gestattet. Die Kinemati und die Massen-, Impuls- und Drallbilanz liefern im Fall der geometrisch linearen Kontinuumsmechanik die folgenden Aussagen ε = ( ) 1 2 Grad u + (Grad u) T, ρ = ρ 0 (1 tr ε), ρ v = b + Div σ, σ = σ T. (53) eq_2_51 sec_hooke 2.4 Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz Die Gleichung 53 3 gestattet die Berechnung der Verschwindigkeit (bzw. nach einer zeitlichen Integration der Verschiebung), wenn die Spannung als Funktion der Dehnung gegeben ist. Da die Herleitung der Gleichungen bislang keine Annahme über das Materialverhalten beinhaltet, sondern nur von der Annahme kleiner Verschiebungen und kleiner Verschiebungsgradienten Gebrauch macht, muss der Zusammenhang zwischen den Spannungen

33 α-version vom Abbildung 14: Zugprobe nach ISO 527-2:1996 fig_linelast_12 und den kinematischen Größen materialabhängig sein. Eine Ermittlung dieser Konstitutivgleichungen muss daher immer in Anlehung an entsprechende Experimente erfolgen. Das einfachste Experiment, das sich im technischen Bereich zur Ermittlung der Werkstoffeigenschaften etabliert hat, ist der einachsiale Zugversuch. Dazu wird eine lange und schlanke Probe aus dem Werkstoff hergestellt und in ihrer Längsrichtung einachsial belastet. Abbildung 14 zeigt eine typische Probe nach ISO 527-2:1996. Die verbreiterten Ende gestatten eine Einspannung der Probe in der Prüfmaschine. Der lokal inhomogene Spannungszustand im Bereich der Einspannungen klingt mit zunehmender Entfernung von der Spannstelle ab und geht im mittleren Bereich der Probe schnell in einen homogenen und einachsialen Spannungszustand über, der dort allerdings einen homogenen aber dreiachsialen Deformationszustand hervorruft. Während man im Zugversuch eine achsiale Verlängerung l der Probe feststellt, die durch die Traversenbewegung der Prüfmaschine hervorgerufen wird, beobachtet man in den beiden Querrichtungen eine Dicken- und Breitenabnahme d bzw. b. Neben der Verlängerung und der Dicken- und Breitenänderung wird im Zugversuch die Kraft gemessen, die zur Verlängerung der Probe erforderlich ist. Da die Zustände im Zentrum der Probe homogen sind, können aus den globalen Messgrößen lokale Informationen berechnet werden. Die Dehnungen in den drei Achsrichtungen ergeben sich zu ε 11 = l l, ε 22 = d d, ε 33 = b. (54) eq_2_52 b Wenn die Probe exakt in X 1 -Richtung ausgerichtet ist, treten keine Schubdeformationen auf. Die gemessene Kraft kann auf die Querschnittsfläche bezogen werden und ergibt dann die Normalspannung in Längsrichtung σ 11 = F. (55) eq_2_53 b d Abbildung 14 zeigt typische Kraft-Verschiebungs-Verläufe, die a) für eine Probe aus Aluminium und b) für eine rußgefüllte Gummiprobe gemessen wurden. Für beide Proben kann das Verhalten bei kleinen Deformationen durch eine Gerade im Ursprung approximiert

34 30 Kontinuumsmechanik WS 16/17 inelast_13 Abbildung 15: Kraft-Verschiebungskurven im einachsialen Zugversuch für a) Aluminium und b) rußgefülltes Gummi werden. Dabei wird weiterhin vorausgesetzt, dass die auftretenden Kräfte so klein sind, dass die beobachteten Deformationen reversibel sind. Nach einer Entlastung nehmen die Proben also wieder ihre Ausgangslänge und ihren Ausgangsquerschnitt an. Die weiteren Überlegungen in diesem Kapitel werden auf diesen Bereich des linear-elastischen Verhaltens beschränkt. Die Betrachtung der Hystereseschleifen, die in Abbildung 15 sichtbar sind, folgen später und führen zu deutlich komplexeren Modellen. Unter der Annahme der Linearität gilt dann für die Spannung σ 11 in Probenlängsrichtung σ 11 = E ε 11. (56) eq_2_54 Diese Beziehung stellt das einachsiale Hookesche Gesetz dar. Die Konstant, die die Dehung und die Spannung verknüpft, ist der Elastizitätsmodul oder E-Modul E. Er ist per Definition eine Werkstoffkonstant und stellt die Steigung der Spannung-Dehnungs-Linie im Zugversuch am Ursprung dar. Zur Bestimmung des E-Moduls aus Experimenten werden in der Regel Sekanten an die in der Realität gekrümmte Kennlinie verwendet. Da die Dehnung als relative Längenänderung dimensionslos ist und die Spannung die Dimension einer Flächenkraft hat, folgt [E] = 1 N. (57) eq_2_55 mm2 Im betrachteten linearen Bereich stellt man weiterhin fest, dass die Querdehnungen ε 22 und ε 33 linear mit der Längsdehnung anwachsen. Falls der Werkstoff isotrop ist, misst man in beiden Querrichtungen die gleichen Dehnungen, ε 22 = ε 33. Da eine Verlängerung der Probe mit ε 11 > 0 zu negativen Werten ε 22 = ε 33 < 0, führt, wird der Vorzeichenwechsel in die Definition der Querkontrationszahl ν aufgenommen ν = ε 22 ε 11 = ε 33 ε 11. (58) eq_2_56 Genau wie der E-Modul ist die Querkontraktion eine Werkstoffkonstante. Der Wertebereich ist auf 1 < ν 0, 5 (59) eq_2_57

35 α-version vom beschränkt. Während die obere Grenz den inkompressiblen Grenzfall darstellt, bei dem der Werkstoff keine Volumendehnungen erfährt, folgt die untere Grenze aus thermodynamischen Restriktionen. Die meisten technischen Werkstoffe zeigen jedoch ein Verhalten, das auf positive Werte für ν führt. Materialien mit negativen Querkontraktionszahlen werden als auxetisch bezeichnet. Dieses Verhalten kann beobachtet werden, wenn nicht-konvexe Mikrostrukturen vorliegen. In der Regel ist auxetisches Verhalten mit einer ausgeprägen Anisotropie verbunden und wird daher im Weiteren nicht näher behandelt. Aus diesen Überlegungen folgt, dass zur Beschreibung linear-elastischen Verhaltens zwei Konstanten benötigt werden. Am einachsialen Zugversuch wird so einer technischen Sichtweise die Einführung des E-Moduls und der Querkontraktionszahl motiviert. Von mathematischer Seite sind die Laméschen Konstantenµ und λ günstiger. Ein dreidimensionaler Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Dehnungstensor laässt sich mit den Lamé-Parameter als σ = 2µ ε + λ tr(ε) I (60) eq_2_58 angeben. Dabei wird die Volumendehnung tr(ε) I durch den zweiten Parameter λ getrennt bewertet. Formale Überlegungen im Rahmen des Tensorkalküls zeigen, dass der Zusammenhang 60 der generelle lineare Zusammenhang zwischen zwei isotropen Tensoren ist. Durch die Betrachtung des eindimensionalen Zugversuchs als Sonderfall kann der Zusammenhang zwischen den beiden Laméschen Parametern µ und λ und den Ingenieurkonstanten E und ν gezeigt werden. Das allgemeine Materialgesetz der linearen Elastizität 60 geht mit den Annahmen des einachsialen Zugs für den Spannungs- und Dehnungszustand über in die Koeffizientendarstellung σ = 2 µ ε ε ε 33 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) Die Querdehnungen ε 22 und ε 33 sind im einachsialen Zugversuch gleich, wenn das Materialverhalten isotrop ist. Aus der zweiten bzw. dritten Gleichung folgt der Zusammenhang zwischen der Längsdehnung ε 11 und den Querdehnungen zu ε 22 = ε 33 =. (61) rheo120a λ 2 (µ + λ) ε 11 =: ν ε 11. (62) rheo130 Einsetzen dieses Ergebnisses in die erste Gleichung liefert schließlich den Zusammenhang zwischen Zugspannung und Achsialdehnung σ 11 = µ (3 λ + 2 µ) λ + µ ε 11 =: E ε 11. (63) rheo140 Aus dem direkten Vergleich der Koeffizienten in den Gleichungen von 62 und 63 folgt die Identifikation des Elastizitätsmodul µ (3 λ + 2 µ) E =. (64) rheo160 λ + µ

36 32 Kontinuumsmechanik WS 16/17 und der Querdehnzahl ν = λ. (65) rheo180 2 (µ + λ) Ein weiterer Versuch zur Materialcharakerisierung ist der einfachen Scherversuch. Dazu wird eine Probe auf zwei parallel liegenden Ränder durch eine tangential Verschiebung belastet. Dabei treten idealerweise nur Schubspannungen τ = σ 12 und Gleitungen γ = 2 ε 12 auf. Von Seiten der experimentellen Mechanik ist der Scherversuch äußerst komplex. Er wird in der skizzierten Form eigentlich nicht durchgeführt, da sich in der Realität stark inhomogene Spannungsverteilungen in den Ecken der Probe ausbilden. Die Realisierung eines Schubspannungszustandes geschieht in der Regel durch Torsionsversuche an dünnwandigen Rohren. Der allgemeine Zusammenhang?? lautet für den Schubversuch τ = µ γ = 2 µ ε 12. (66) rheo190 Damit identifiziert man den Schermodul aus dem allgemeinen Ansatz als G = µ. (67) rheo200 Schließlich findet man im hydrostatischen Kompressionsversuch einen Zusammenhang zwischen der Volumendehnung e = tr ε und der mittleren Normalspannung σ m = 1 3 tr σ σ m = p = k e (68) rheo210 Aus dem Vergleich von 68 mit der allgemeinen Darstellung?? ergibt sich in diesem Fall die Identifikation des Kompressionsmoduls k = 2 µ + 3 λ. (69) rheo240 Insgesamt benutzt man in der linearen Elastizitätstheorie 6 verschiedene Konstanten, von denen jedoch nur zwei unabhängig sind. Die mathematische Form eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Tensoren verwendet dabei häufig die beiden die Lamé-Konstanten µ und λ. Die anderen Konstanten sind den typischen Randwertproblemen angepasst. Der Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl ν entstammen dem einachsialen Zugversuch, der Schubmodul G und der Kompressionsmodul k können direkt in den jeweiligen Versuchen ermittelt werden. Sind zwei der insgesamt sechs Konstanten bekannt, so können dann die verbleibenden vier Konstanten durch diese beiden a usgedrückt werden. Eine Zusammenstellung findet sich in Tabelle 2. Das Randwertproblem der linearen Elastiztitätstheorie wird durch die Impulsbilanz in der lokalen Form ρ 0 v = div σ + b, (70) rheo250

37 α-version vom λ = µ = G = E = ν = λ, µ λ µ λ, ν λ µ, E E, ν µ(e 2µ) 3µ E Eν (1 + ν)(1 2ν) λ(1 2ν) 2ν µ(3λ + 2µ) λ + µ (1 + ν)(1 2ν)λ ν µ E E 2(1 + ν) E λ 2(λ + µ) ν E 2µ 2µ Tabelle 2: Zusammenhang zwischen den elastischen Konstanten tab_2_1 ν durch die kinematischen Beziehungen und durch das Materialgesetz ε = 1 2 ( grad u + (grad u) T ) (71) rheo260 σ = 2 µ ε + λ (tr ε) I (72) rheo270 bestimmt. Durch die Annahme der Linearität des Modells tritt im Beschleunigungsterm der Impulsbilanz nur die konstante Dichte ρ 0 der Referenzkonfiguration auf. Die Definition der Verzerrung und die Form des Elastizitätsgesetzes sind auf Grund der getroffenen Annahmen bei der Herleitung linear. Die drei Ausgangsgleichungen können kombiniert werden, wenn man die kinematische Beziehung 71 in das veralltemeinerte Hookesche Gesetz 72 und dieses wiederum in die Impulsbilanz 70 einsetzt. Zur Ausführung der entsprechenden Operatoren benötigt man die folgenden Identitäten div grad u = u, div grad T u = grad div u, (73) rheo280 div(e I) = grad e. Dabei stellt ( ) den Laplace-Operator dar, der aus den zweiten Ableitungen gebildet wird. Unter Ausnutzung dieser Identitäten folgt ρ 0 v = µ u + (µ + λ) grad div u + f. (74) rheo290 Diese Grundgleichung der linearen Elastizitätstheorie ist eine partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung im Raum und in der Zeit, die unter Vorgabe von geeigneten Rand- und Anfangsbedingungen gelöst werden kann. Die Gleichung ist als Lamé-Naviersche Verschiebungsgleichung bekannt. Die Lösung dieser Gleichung ist das Verschiebungsfeld u, das

38 34 Kontinuumsmechanik WS 16/17 sich unter den gegebenen Belastungen einstellt. Die Belastungen erfolgen dabei einerseits über die Volumenkraft b und andererseits über Randlasten t, die durch entsprechende Randbedingungen vorgegeben werden. Ist das Verschiebungsfeld bekannt, so können die Verzerrungen und die Spannungen aus den Beziehungen 71 und 72 berechnet werden. In Sonderfällen kann die Lamé-Naviersche Gleichung analytisch gelöst werden, häufig bedient man sich jedoch numerischer Näherungsverfahren, z. B. der Methode der Finiten Elemente (FEM), um die Lösung zu approximieren. Das hier skizzierte Vorgehen ist typisch für die Entwicklung eines mechanischen Modells. Grundsätzlich werden Bilanzgleichungen (physikalische Erhaltungsgleichungen) mit kinematischen Beziehungen (Beschreibung des Bewegungs- oder Verschiebungszustands) und mit Stoffgesetzen (hier: lineare Elastizität, verallgemeinertes Hookesches Gesetz) kombiniert. Das entstehende System von Differenzialgleichungen kann dann bei Vorgabe von Rand- und Anfangsbedingungen (meist numerisch) gelöst werden.

39 α-version vom Tensorrechnung Im vorherigen Kapitel sind die Grundgleichungen der linearen Elastitzitätstheorie hergeleitet worden. Dabei wurden die Herleitungen an einem Voluemelement motiviert, das aus dem materiellen Körper herausgeschnittn wurde. Im Nachgang konnte der Grenzfall eines infinitesimal kleinen Volumenelements untersucht werden, in dem der Grenzwert V 0 durchgrührt wurde. Die Herleitungen haben dabei in anschaulicher Weise Gebrauch von bekannten Aussagen der Differentialrechung und der Vektorrechnung gemacht. Die Anordnung von drei Koeffizienten von jeweils drei Vektoren in Matrizen hat die Einführung von Tensoren mitgebracht. Im vorliegenden Kapitel werden die Überlegungen dazu auf ein entsprechendes theoretisches Fundament gestellt und in eine formale Darstellung eingebettet, da die Tensoralgebra und -analysis ein wesentliches Werkzeug der Kontinuumsmechanik darstellt. 3.1 Tensoralgebra Grundsätzlich ist für die Darstellung physikalischer Größen eine unterschiedliche Anzahl von Maßzahlen notwendig. Wenn die Angabe einer Maßzahl ausreicht, um eine physikalische Größe zu definieren, so ist diese Größe ein Skalar. Typische skalare Größen sind die Dichte ρ oder die Temperatur θ. Zur Darstellung von Kräften oder Verschiebungen benötigt man entweder die Angabe einer Maßzahl und einer Richtung oder von drei Maßzahlen. Die entsprechenden physikalischen Größen haben vektoriellen Charakter. Bei der Einführung des Spannungsbegriffs und der Verzerrung wurde deutlich, dass in diesen Fällen neun Maßzahlen 2 zur Festlegung der physikalischen Größe gegeben sein müssen. Genau wie bei Vektoren sind die Zahlenwerte, die in dem zugehörigen Matrixschema angegeben werden, von der Wahl des konkreten Koordinatensystems abhängig. Damit die physikalischen Größen unabhängig von einer willkürlichen Wahl des Koordinatensystems sind, müssen sich die Koeffizienten nach ganz bestimmten Regeln ändern, wenn eine Koordinatentransformation durchgeführt wird. Dieses Transformationsverhalten unterscheidet Tensoren als physikalisch motivierte Größen von Matrizen, deren Koeffizienten grundsätzlich beliebig sein können. In diesem Kapitel werden die Darstellungsmöglichkeiten für Vektoren und Tensoren diskutiert. Daraus ergeben sich Rechenregeln, mit denen unterschiedliche Darstellungen ineinander überführt werden können. Bereits im vorherigen Kapitel wurde deutlich, dass verschiedene Darstellungen unterschiedliche Vorteile mitsichbringen. Die absolute Darstellung gestattet z.b. eine kompakte Darstellung der Ergebisse, die vor allem für Herleitungen hilfreich ist, während eine Koeffizientendarstellung häufig unübersichtlich und umfangreich wird, zur konkreten Berechnung aber unerläßlich ist. 2 Auf Grund der Symmetrie beschränkt sich die Anzahl der unabhängigen Koeffizienten häufig auf sechs.

40 36 Kontinuumsmechanik WS 16/17 fig_3_1 Abbildung 16: Darstellung von Vektoren durch eine Maßzahl und eine Richtung oder durch drei Maßzahlen und drei linearunabhängige Vektoren Vektoren lassen sich grundsätzlich auf zwei verschiedene Möglichkeiten darstellen. Als gerichtete Information kann ein Vektor durch eine gegebene Richtung e im Raum und einen Skalierungsfaktur α dargestellt werden. Vektoren werden im folgenden durch fett gedruckte Buchstaben dargestellt. Abbildung 16, links, zeigt die Richtung e und den Vektor a als Vielfaches davon a = α e. (75) eq_3_1 Üblicherweise wird die Richtung e dabei als Einheitsvektor mit der Länge 1 gewählt, so dass die Maßzahl α die tatsächliche Länge des Vektors a angibt. Alternativ kann der selbe Vektor gemäß Abbildung 16, rechts, durch drei Maßzahlen a 1, a 2 und a 3 sowie durch die drei linear unabhängigen Richtungen e 1, e 2 und e 3 dargestellt werden. Unser Anschauungsraum ist dabei durch drei räumliche Dimensionen bestimmt. Eine Erweiterung auf einen n-dimensionalen Raum ist leicht möglich, wird aber an dieser Stelle nicht erfordert. Die Vektoraddition wird damit durch eine entsprechende geometrische Interpretation eingeführt a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3. (76) eq_3_2 Häufig werden die drei unabhängigen Richtungen e i gewählt und nicht weiter explizit betrachtet. Dann können die Maßzahlen a i in einem Spalenvektor angegeben werden. Da in dieser Darstellung die Basisinformation fehlt, soll an dieser Stelle auf ein Gleichheitszeichen verzichtet werden. Die abkürzende Darstellung lautet dann a 1 a ˆ= a 2 a 3. (77) eq_3_3 Die beiden Darstellungsarten implizieren die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als Streckung des geometrischen Vektors unter Bebehaltung seiner ursprünglichen Richtung und die Vektoraddition als ein geometrisches Aneinanderreihen von Vektoren bei der

41 α-version vom Abbildung 17: Multiplikation mit einem Skalar und Vektoraddition fig_3_2 Addition. Abbildung veranschaulich diese beiden grundlegenden Operationen. Die Vektor- addition und die Mulitplikation mit einem Skalar gestattet weiterhin die Einführung des Begriffs der linearen Unabhängigkeit. Grundsätzlich gilt, dass n + 1 Vektoren a 1,..., a n, b linear abhängig sind, wenn es Skalare α i 0 existieren, so dass n α a i + b = 0 (78) eq_3_4 fig_3_2 i=1 gilt. Ansonsten sind sie linear unabhängig. Abbildung 18 zeigt ein Beispiel in der Ebene. Im dreidimensionalen Raum können maximal drei Vektoren von einander linear unabängig sein. Ein vierter Vektor kann immer durch eine Linearkombination der ersten drei Vektoren ausgedrückt werden, sofern diese nicht in einer Ebene liegen. Drei linear unabhängige Vektoren können damit als Basis zur Darstellung weiterer Vektoren gewähtl werden. Für linear unabhängige Vektoren im dreidimensinalen Raum gibt es α i 0, so dass 3 α i a i + b = 0 bzw. b = i=1 3 α i a i. (79) eq_3_5 Zerlegt man im weiteren die Vektoren a i in ihre Länge a i und ihre Richtung e i, a i = a i e i, so kann der Vektor b folgendermaßen dargestellt werden 3 3 b 1 b = ( α i a i e i ) =: b i e i ˆ= b 2. (80) eq_3_6 i=1 i=1 b 3 Die Richtungen e i werden dabei als Basis zur Darstellung des Vektors b verwendet. Die Faktoren b i sind die Koeffizienten von b. Das Produkt der Koeffizienten mit den entsprechenden Basisvektoren bezeichnet man als Komponenten. Der Vektor ist also die Summe i=1

42 38 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Abbildung 18: Zur linearen Unabhängigkeit von Vektoren fig_3_3

43 α-version vom seiner Komponenten, die Komponenten sind wiederum das Produkt der Koeffizienten mit den Basisvektoren 3 Eine Normierung der Basis ist nicht zwingend erforderlich. Weiterhin verlangt die Darstellung 80 nicht, dass die Basisvektoren paarweise senkrecht stehen. Die einzige Bedingung, die die Basis erfüllen muß, ist die lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren. Die häufig verwendete kartesische Basis, auf die sich die weiteren Ausführungen beziehen, besteht aus drei normierten und paarweise senkrecht auf einander stehenden Basisvektoren. Dann gilt e i = 1, e 1 e 2, e 3, e 2 e 3, e 1, e 3 e 1, e 2. (81) eq_3_7 Für die folgenden Ausführungen bietet neben den Darstellungen 80 die Einsteinsche Summenkonvention eine elegante Möglichkeit, um Vektoren und andere tensorielle Größen darzustellen. Nach der Summenkonvention verzichtet man auf die explizite Darstellung des Summenzeichens, so dass sich 80 zu b = 3 b i e i = b i e i (82) eq_3_8 i=1 verkürzt. Über einen Index, der in einem Produkt doppelt auftritt, wird gemäß der Konvention summiert. Für Vektoroperationen im dreidimensionalen Raum ist die Summation dabei immer über die Werte i = 1, 2, 3 auszuführen. Neben der Multiplikation mit einem Skalar und der Vektoraddition ist die Skalarmultiplikation von zwei Vektoren, die als Ergebnis des Produktes eine Zahl liefert, eine wesentliche Operation. Zeichen für die skalare Multiplikation von zwei Vektoren ist der Punkt, a b. Die Skalarmultiplikation wird ebenfalls geometrisch motiviert und entspricht der Projektion eines Vektor b auf einen Vektor a. Gemäß Abbildung 19 wird dazu der Winkel α benötigt, der von den beiden Vektoren eingeschlossen ist. Dann gilt a b = b a = a b cos α. (83) eq_3_9 Wählt man den Vektor b = e als Einheitsvektor so folgt a e = a cos α (84) eq_3_10 Insbesondere ergibt sich bei Wahl der Basisvektoren eines kartesischen Systems a e 1 = a cos(a, e 1 ) = a 1, a e 2 = a cos(a, e 2 ) = a 2, a e 3 = a cos(a, e 3 ) = a 3 (85) eq_3_11 Der Cosinus der jeweiligen Ausdrücke wird dabei mit dem Winkel gebildet der von a mit der jeweiligen Koordinatenachse eingeschlossen wird. Mit Bezug auf die geometrische 3 Häufig wird nicht zwischen Koeffizienten und Komponten unterschieden, da sich alle Betrachtungen auf eine Basis beziehen, die einmal festgelegt und dann nicht mehr geändert wird.

44 40 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Abbildung 19: Zum Skalarprodukt von zwei Vektoren fig_3_4 Darstellung des Vektors a nach Abbildung 16, rechts, sind die jeweiligen Projektionen gerade die Koeffizienten von a. Das Skalarprodukt eines Vektors mit einem Basisvektor einer normierten Basis liefert also gerade den jeweiligen Koeffizienten des Vektors in der entsprechenden Basisdarstellung. Ein besonderer Fall liegt vor, wenn zwei Basisvektoren einer orthonormierten Basis multipliziert werden. In diesem Fall gilt e i e j = { 1 i = j 0 i = δ ij (86) eq_3_12 Da die Vektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen, ist die jeweilige Projektion Null, falls es sich um zwei verschiedene Vektoren i j handelt. Durch die Normierung ist der Betrag Eins, so dass die Projektion im Fall i = j den Wert Eins ergibt. Abkürzend steht dafür das Kronecker-Symbol δ ij. Das Kronecker-Symbol kann als Darstellung einer Einheitsmatrix angesehen werden. δ ij ˆ= (87) eq_3_13 Mit der Einführung des Kronecker-Symbols 86 und der Interpretation des Skalarproduktes als Projektion 85 ergibt sich für die Skalarmultiplikation von dem Vektor a mit dem Basisvektor e i a e i = a j e }{{} j e i = a j (e j e i ) = a j δ ij = a i. (88) eq_3_14 Summenkonvention Zur Darstelllung des Vektors a mit der Summenkonvention darf der Index i nicht verwandt werden, da implizit über den Index festgelegt wird, über welche Faktoren der Gleichung zu summieren ist. Mit der Wahl von i liegt der Basisvektor e i fest, damit die Summation in

45 α-version vom ?? eindeutig ist, muss daher als Summationsindex ein anderer Index gewählt werden. Ein Index darf als in einer Gleichung aus Gründen der Eindeutigkeit im Rahmen der Summenkonvention maximal zweimal auftreten. Im vorliegenden Fall ist j ein stummer Index, der die Summation andeutet. Dieser Index darf beliebig umbenannt werden (ausser in i), ein Indexpaar k anstelle von j impliziert an dieser Stelle die selbe Summation. Multipliziert man die Summe a j e j mit dem Vektor e i aus, so entstehen in jedem der drei Summanden Ausdrücke der Form e j e i, die nach 86 ein Kronecker-Symbold darstellen. Da dieses Symbol nur dann den Wert Eins annimmt, wenn beide Indices gleich sind, werden nur die Summanden ungleich Null, in denen i = j ist. Überträgt man diesen Sachverhalt auf das Skalarprodukt der beiden beliebigen Vektoren a und b, so entsteht a b = a i e i b j e j = a i b j (e i e j ) = a i b j δ ij = a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. (89) eq_3_15 Die entsprechenden Summationen sind wieder farblich markiert. In jedem Summanden werden die Skalarprodukte zwischen den Basisvektoren ausgeführt, womit wiederum das Kronecker-Symbol entsteht. Eine der verbleibenden Summationen kann dann mit der Eigenschaft des Kronecker-Symbols ausgeführt werden, es muss also wiederum i = j sein, so dass schließlich die einfache Summe bleibt, die hier nochmals ausgeschrieben ist. Als nächste Größe werden Tensoren 2. Stufe eingeführt. Von ihrer Interpretation handelt es sich bei Tensoren um lineare Abbildungen, die einen Vektor b auf einen anderen Vektor a abbilden. Es gilt dann a = T b. (90) eq_3_16 Der Tensors selber kann über ein neues Produkt, das dyadische Produkt von zwei Vektoren eingeführt werden, T = c d. (91) eq_3_17 Das Symbol deutet dabei an, dass die beiden Vektoren c und d so verknüpft werden, dass ein Tensor 2. Stufe entsteht. Die Eigenschaften des Tensors bzw. des dyadischen Produktes ergeben sich aus der Rechenregel, die die Anwendung der linearen Abbildung 90 gestattet. T b = (c d) b }{{} Skalarprod. = (d b) c = a. (92) eq_3_18 Der Vektor a ist demnach parallel zu dem Vektor c, der um den Betrag des Produktes d b gestreckt oder gestaucht wird. Da in diesem Ausdruck der Vektor b linear auftritt und das Ergebnis ein Vektor ist, handelt es sich bei dem Tensor T tatsächlich um die geforderte lineare Abbildung von b auf a. Definiert man die Eigenschaft der linearen Abbildung über das dyadische Produkt mit der zugehörigen Rechenregel, dann kann man die folgende Koeffizientendarstellung ermitteln. T = c d = c i e i d j e j = (c i d j ) e i e j = T ij e i e j. (93) eq_3_19

46 42 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Mit Bezug auf die kartesiche Basis e i kann der Tensor genau wie ein Vektor als Summe seiner Komponenten dargestellt werden. In diesem Fall impliziert die Summenkonvention einen Doppelsumme über die Indices i und j, da beide im endgültigen Ausdruck jeweils doppelt auftreten. Die Komponenten des Tensors bestehen wieder aus den Koeffizienten T ij = a i b j und den Basistensoren e i e j. Die dyadischen Produkte definieren also eine Basis im neundimensionalen Raum der linearen Abbildungen. Die Koeffizienten des Tensors können als Matrixschema T ij = T 11 T 12 T 13 T 11 T 12 T 13 T 11 T 12 T 13. (94) eq_3_20 angegeben werden, wobei die Information bezüglich der gewählten Bais nicht enthalten ist. Die lineare Abbildung kann nun für die Basisdarstellung des Tensors 93 ausgeführt werden. Man erhält a = T b = T ij e i e j b k e k = (T ij b k ) e i e j e k = (T ij b k ) δ jk e i. (95) eq_3_21 Nutzt man schließlich die Eigenschaft des Kroncker-Symbols 4 aus, so reduziert sich der letzte Ausdruck zu a = T b = (T ij b j ) e i = a i e i. (96) eq_3_22 Demnach sind die Koeffizienten des Vektors a über die Summen a i = T ij b j (97) eq_3_23 definert. Beschränkt man sich auf die Darstellung des Tensors als 3 -Matrix und des Vektors als Spalte, so entspricht 97 dem üblichen Matrix-Vektor-Produkt im Sinn von Zeile mal Spalte. a 1 a 2 a 3 = T 11 T 12 T 13 T 11 T 12 T 13 T 11 T 12 T 13 b 1 b 2 b 3 = T 11 b 1 + T 12 b 2 + T 13 b 3 T 21 b 1 + T 22 b 2 + T 23 b 3 T 31 b 1 + T 32 b 2 + T 33 b 3. (98) eq_3_24 Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren verfügen über die folgenden besonderen Eigenschaften A = A T bzw. B = B T. (99) eq_3_24a Für die jeweilige Koeffizientendarstellung gilt dementsprechend für einen symmetrischen Tensor A 11 A 12 A 13 A = A ij e i e j ˆ= A 12 A 22 A 23 A ij = A ji (100) eq_3_24b A 13 A 23 A 33 4 Da an dieser Stelle die Eigenschaften der orthonormierten Basis explizit eingehen, muss man bei der Verwendung krummlinieger und nicht-normierter Basis weitere Terme berücksichtigen, die die sogennante Metrik enthalten.

47 α-version vom und für einen schiefsymmetrischen Tensor 0 B 12 B 13 B = B ij e i e j ˆ= B 12 0 B 23 B ij = B ji (101) eq_3_24c B 13 B 23 0 Analog zur Einheitsmatrix definiert sich der Einheitstensor über die identische Abbildung a = I a (102) eq_3_25 Versieht man das Koeffizientenschema der Einheitsmatrix in Form des Kronecker-Symbols mit der zugehörigen Basis, so hat der Einheitstensor die Darstellung I = δ ij e i e j. (103) eq_3_26 Ausführung einer der beiden implizierten Summationen liefert schließlich I = e i e i. (104) eq_3_27 Wendet man I im Sinn einer linearen Abbildung auf einen Vektor a an, so folgt womit die geforderte Eigenschaft gezeigt ist. I a = e i e i a j e j = a j δ ij e i = a i e i = a, (105) eq_3_28 Einen Tensor, der sich nur aus Kombinationen von Basisvektoren darstellen läßt, bezeichnet man als Fundamentaltensor. Neben dem Einheitstensor 2. Stufe kann man weitere Fundamentaltensoren höhrerer Stufe definieren. Der Fundamentaltensor 3. Stufe 3 E = ε ijk e i e j e k (106) eq_3_29 wird auch als Ricci-Tensor oder Permutationstensor bezeichnet. Die Tensorbasis wird in diesem Fall aus dem dyadischen Produkt von jeweils drei Basisvektoren gebildet. Das Koeffizientenschema trägt dementsprechend drei Indices und stellt somit = 27 unabhängige Koeffizienten dar. ε ijk = 1 /ijk/ = /123/, /231/, /312/ 1 /ijk/ = /213/, /132/, /321/ 0 sonst ist das Permutationssymbol. Falls die Indices eine gerade Permutation der natürlichen Reihenfolge darstellen, ist ε ijk = 1. Sind zwei Indices gegenüber der natürlichen Reihenfolge vertauscht, so handelt es sich um eine ungerade Permutation und der Wert ist ε = 1. Falls ein Indexwert mehrfach vorkommt, nimmt das Permutationssymbol den Wert Null an. (107) eq_3_30

48 44 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Für den Fundamentaltensor 3. Stufe gelten formal die Rechenregeln, wie sie auch für Tensoren 2. Stufe gelten. Wendet man den Ricci-Tensor im Sinn einer linearen Abbildung auf einen Vektor an, so folgt 3 E a = ε ijk e i e j e k a l e l = ε ijk δ kl a l e i e j = ε ijk a k e i e j (108) eq_3_31 Durch das Skalarprodukt zwischen den beiden Basisvektoren e k und e l verbleibt als tensorielle Basis e i e j. Das Ergebnis ist also ein Tensor 2. Stufe. Die Koeffizienten dieses Tensors entstehen aus der Verknüpfung des Permutationssymbols mit den Koeffizienten des Vektors a. Man berechnet ε ijk a k ˆ= 0 a 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a 1 0 (109) eq_3_32 Durch die Eigenschafen des Permutatiossymbols werden die Diagonalelemente zu Null. Zugeordnete Nebendiagonalelemente habe unterschiedichen Vorzeichen. Der Tensor, der als Ergebis der linearen Abbildung entsteht, ist demnach schiefsymmetrisch. Neben dieses einfachen Verjüngung kann man mit dem Permutationstensor auch eine zweifache Verfjüngung durchführen, in dem er auf einen Tensor 2. Stufe angewandt wird. In diesem Fall gilt 3 E : A = ε ijk e i e j e k : A lm e l e m (110) eq_3_33 Der Doppelpunkt in diesem Ausdruck deutet an, dass zwei Skalarprodukte zwischen den Basisvektoren auszuführen sind. In diesem Fall werden die beiden letzten Basisvektoren des Permutationstensors mit den beiden Basisvektoren des Tensors 2. Stufe multipliziert, so dass schließlich nur das erste Basissystem des Permutationstensors erhalten bleibt. Das Resultat dieser Abbildung ist also ein Vektor. Die Auswertung liefert 3 E : A = ε ijk δ jl δ km A lm e i = ε ijk A jk e i. (111) eq_3_34 Die Auswertung von 111 lieft mit den Eigenschafen des Permutationssymbols 3 E : A ˆ= A 23 A 32 A 31 A 13 A 12 A 21. (112) eq_3_35 Falls A symmetrisch ist, so ist das zweifach verjüngende Produkt mit dem Ricci-Tensor der Nullvektor. Im Falle eines schiefsymmetrischen Tensors ist das Resultat der von Null verschiedene axiale Vektor, der der schiefsymmetrischen Tensor zugeordnet werden kann A a = E : A T. (113) eq_3_35a

49 α-version vom Weiterhin kann das Produkt 111 genutzt werden, um das Vektor- oder Kreuzprodukt von Vektoren im Rahmen des Tensorkalküls darzustellen. Dazu wird der Tensor A über das dyadisch Produkt der beiden Vektoren a und b definiert. a b := 3 E : (a b) = ε ijk a j b k e j = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1. (114) eq_3_36 In den Anwendungen tauchen häufig noch Tensoren 4. Stufe auf. Diese sind definiert als lineare Abbildungen von Tensoren 2. Stufe auf Tensoren 2. Stufe. A = 4 C : B = C ijkl e i e j e k e l : B mn e m e n = C ijkl B mn δ km δ ln e i e j = C ijkl B kl e i e j. (115) eq_3_37 Ein vierstufiger Tensor besitzt = 81 unabhängige Komponenten. Jede der neuen Komponenten des Tensors A entsteht bei der Auswertung von 115 aus einer Linearkombination der neun Komponenten von B. Die Koeffizienten berechnen sich jeweils aus der Doppelsumme A ij = C ijkl B kl. (116) eq_3_38 Es gibt drei Fundamentaltensoren 4. Stufe, die sich mittels des Kronecker-Symbols folgendermaßen angeben lassen 4 I = δ ij δ kl e i e j e k e l = e i e i e k e k, 4 I 13 = δ kj δ il e i e j e k e l = e i e j e j e i, 4 I 23 = δ ik δ jl e i e j e k e l = e i e j e i e j. Die hochgestellten und unterschrichenen Indices geben dabei an, welche Zuordnungen der Koeffizienten und der Basiselemente vertauscht ist. Die Eigenschaften dieser Fundmentaltensoren werden deutlich, wenn man sie im Sinn der linearen Abbildung auf einen Tensor 2. Stufe anwendet. Spurbildender Tensor (117) eq_3_39 4 I : A = e i e i e j e j : A kl e k e l = A kl δ jk δ jl, e i e i = A jj e i e i. (118) eq_3_40 Transponierender Tensor 4 I : A = (tr A) I. (119) eq_3_41 4 I 13 : A = e i e j e j e i : A kl e k e l = A kl δ jk δ il, e i e j = A ji e i e j. (120) eq_3_42 4 I 13 : A = A T. (121) eq_3_43

50 46 Kontinuumsmechanik WS 16/17 fig_3_5 Abbildung 20: Skalarfeld als Fläche über der Koordinatenebene im zweidimensionalen Fall Identischätstensor 4. Stufe 4 I 23 : A = e i e j e i e j : A kl e k e l = A kl δ ik δ jl e i e j = A ij e i e j. (122) eq_3_44 4 I 23 : A = A. (123) eq_3_ Tensoranalysis In der Kontinuumsmechanik werder physikalische Größen als Felder betrachtet. Ihre Werte sind von der Position x abhängig, da sie für alle materiellen Punkte eines Körpers unterschiedliche Werte annehmen können, z.b. kann die Temperatur innerhalb es Körpers inhomogen verteilt sein. Je nach Art der Feldgröße unterscheidet man skalarwertige, vektorund tensorwertige Felder α = α(x), a = a(x) und A(x). (124) eq_3_46 Im zweidimensionalen Fall kann ein Skalarfeld als Fläche wie in Abbildung 20 über der Koordinateneben x 1 -x 2 dargestellt werden. Abbildung 21 zeigt Schnitte paralle zu den Achsen, einmal für Werte x 2 =konst. und einmal für x 1 =konst. Die Steigung der Funktion in den jweiligen Schnitten kann durch

51 α-version vom fig_3_6 Abbildung 21: Partielle Ableitung als Steigung in Richtung der jeweiligen Koordinatenachsen die Ableitungen ermittelt werden. Die partiellen Ableitungen α(x 1, x 2 = konst.) α(x 1 + x 1, x 2 ) α(x 1, x 2 ) = lim x 1 x 1 0 x 1 α(x 1, = konst., x 2 ) α(x 1, x 2 + x 2 ) α(x 1, x 2 ) = lim x 2 x 2 0 x 2 x2 = konst. x1 = konst. werden aus den Grenzwerten der Sekantensteigungen ermittelt. Die partielle Ableitung deutet dabei an, dass die beiden Variablen x 1 und x 2 unabhängig sind und bei der Ableitungsberechnung nur jeweils eine variiert wird. Bei mehr als zwei Variablen sind die Überlegungen entsprechend zu verallgemeinern., (125) eq_3_47 Mit den partiellen Ableitungen kann schließlich der Gradientenoperator definiert werden grad α(x) = α(x) = α α/ x 1 e i ˆ= α/ x 2. (126) eq_3_48 x x i α/ x 3 Der Gradient eines Skalarfeldes ist demnach ein Vektor. Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs des Feldes. Die entsprechenden Basisvektor werden hinter dem Ableitungsoperator eingefügt. Die Richtungsableitung gibt an, wie groß die Steigung in Richtung n ist und berechnet sich aus dem Gradienten und der Richtung n über ein Skalarprodukt. Um Schreibaufwand zu sparen, wird die partielle Ableitung nach den Koordinatenrichtungen x i häufig abkürzend als α x i =: α,i (127) eq_3_49

52 48 Kontinuumsmechanik WS 16/17 druch ein Komma und den entsprechenden Richtungsindex gekennzeichnet. Bei der Gradientenberechnung eines Vektorfeldes a können alle drei Koeffizienten abgeleitet werden. Es ergeben sich bei drei Koordinatenrichtungen wieder neun Möglichkeiten, die in einem Tensor 2. Stufe zusammengefasst werden können grad a(x) = a(x) x = a i x j e i e j = a i,j e i e j. (128) eq_3_50 Die Basis des Ortsvektors wird wiederum hinter dem Ausdruck angefügt. Damit ein Tensor entsteht, müssen Basisvektoren des Vektorfeldes mit denen des Ortsvektor tensoriell multipliziert werden. Da die Basis e i konstant ist 5, betrifft bei einem kartesichen Basissystem die Ableitungsbildung nur die Koeffizienten des Vektorfeldes und nicht die Basis. Damit liegt die Bildungsregel für die Gradientenbildung fest. Folgt man dem skizzierten Schema, so ist der Gradient eines Tensorfelds A als grad A(x) = A x = A ij x k e i e j e k = A ij,k e i e j e k (129) eq_3_51 definiert und ein Tensor 3. Stufe. Fasst man einen Skalar als Tensor 0. Stufe und einen Vektor als Tensor 1. Stufe auf, so erhöht die Gradientenbildung die tensorielle Stufe um jeweils eins. Die Divergenz ist ein weiterer Differentialoperator, die die partiellen Ableitungen der Feldgröße nach den Koeffizienten des Ortsvektors beinhaltet. Der Zusammenhang mit dem Gradienten ergibt sich durch eine doppelte Verjüngung des Gradienten mit dem zweistufigen Einheitstensor. Für die Divergenz eines Vektorfeldes folgt dann div a = grad a : I = a i,j e i e j : e k e k = a i,j δ ik δ jk = a ii. (130) eq_3_52 Schreibt man die Summe in 130 aus, so ergibt sich div a = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3. (131) eq_3_53 Analog berechnet man aus der zweifachen Verjüngung des dreistufigen Gradienten einer Tensorfunktion mit dem zweistufigen Identitätstensor div A = grad A : I = A ij,k e i e j e k : e l e l = A ij,j e i. (132) eq_3_54 Die Divergenzbildung verringert also die tensorielle Stufe um eins. Die Rotation eines Vektor- und eines Tensorfeldes lässt sich durch den Gradienten und den dreiststufigen Permutations- oder Riccitensor darstellen. Es gilt mit den oben gezeigten Rechenregeln rota = 3 E : (grad a) T bzw. rota = 3 E : (grad A) 13. (133) eq_3_55 5 Falls keine kartesische Basis verwendet wird, sondern die Bais ortsabhängig ist, muss bei der Bildung der Ableitungen diese Abhängigkeit ebenfalls berücksichtigt werden. Dabei entstehen dann die Christoffelsymbole, die genau diese Abhängigkeiten widerspiegeln.

53 α-version vom Abbildung 22: Materieller Körper in Referenz- und Momentankonfiguration fig4_1 4 Große Deformationen 4.1 Bewegungsfunktion Bisher wurde vorausgesetzt, dass sich der betrachtete materielle Körper B nur geringfgig verschiebt und dabei kleine Deformationen erfährt. Für viele technische Anwendungen sind diese Annahmen gerecht fertig, wenn es darum geht, eine Versagensgrenze eines technischen Systems zu ermitteln. Ausser diesen Betrachtungen, die den zulässigen Betriebsbereich technischer Systeme einschränken, ist man aber zunehmend auch an Situationen interessiert, bei denen große Deformationen auftreten können. Typische Fälle sind Umformvorgänge, bei denen das Bauteil während der Herstellung stark deformiert wird, oder Systeme aus weichen Werkstoffen, etwa aus Polymeren, die auch im zulässigen Betriebsbereich große Verformungen erfahren. Die vereinfachenden Annahmen, die im Kapitel 2 gemacht wurden, treffen dann nicht mehr zu. Die Kinematik muss in diesem Fall exakt abgebildet werden. Auch bei der Formulierung der Bilanzgleichungen muss dann klar zwischen der Ausgangs- oder Referenzkonfiguration und der Momentankonfiguration im deformierten Zustand unterschieden werden. Die Bewegungs- oder Plazierungsfunktion χ wird für jeden materiellen Punkt des Körpers eingeführt. Sie gibt an, wie sich der materielle Punkt bewegt. Auf Grund des feldlichen Charakters der Bewegungsfunktion ist der Begriff der Deformation automatisch enthalten. Zum Zeitpunkt t 0 (o. b. d. A. t 0 = 0) befindet sich der Körper B in der Referenzkonfiguration. Durch die Wirkung der angreifenden Kräfte, z. B. der Oberflächenspannung t bewegt sich der Körper zum Zeitpunkt t > t 0 in die Momentankonfiguration. Die materiellen Punkte X, Y des Körpers legen dabei eine Bahn zurück, die durch die Bewegungsfunktion χ beschrieben wird. Die Symbole X, Y werden zur Unterscheidung verschiedener materieller

54 50 Kontinuumsmechanik WS 16/17 Punkte des Körpers eingeführt und können als Namen der Punkte betrachtet werden. Die Lage des materiellen Punktes X in der Referenzkonfiguration wird durch den Vektor X gekennzeichnet, die Lage in der Momentankonfiguration durch den Vektor x. Für die mathematische Modellierung wird der materielle Punkt X mit seinem Ortsvektor X zum Zeitpunkt t 0 ein-eindeutig identifiziert, d. h. ein materieller Punkt nimmt genau einen mathematischen Punkt in der Referenzkonfiguration des Körpers ein und an einem mathematischen Punkt liegt genau ein materieller Punkt. Mit der Bewegungsfunktion gilt dann x = χ(x, t), (134) kinem10 d. h. die Bewegungsfunktion χ bildet den Ortsvektor der Referenzkonfiguration in den Ortsvektor der Momentankonfiguration ab. Analog gilt für einen zweiten materiellen Punkt Y y = χ(y, t). (135) kinem20 Zum Zeitpunkt t 0 muss die Bewegungsfunktion die Bedingung X = χ(x, t 0 ) (136) kinem30 erfüllen, damit die Bewegung von X aus seiner Anfangsposition X heraus startet. Da ein Raumpunkt x nur von einem materiellen Punkt X besetzt werden kann und der materielle Punkt aus einer eindeutig definierten Referenzkonfiguration gestartet ist, ist die Bewegungsfunktion eindeutig und eindeutig invertierbar, also ein-eindeutig. Es existiert als eine inverse Bewegungsfunktion X = χ 1 (x, t) (137) kinem40 mit deren Hilfe man ermitteln kann, von welcher Position aus der materielle Punkt X, der zur Zeit t an der räumlichen Position x ist, seine Bewegung begonnen hat. In der Kontinuumsmechanik unterscheidet man zwei mögliche Darstellungen, die auf unterschiedlichen Parameterisierungen der Felder fußen: Lagrangesche (materielle) Darstellung Der materielle Punkt X wird durch den Ortsvektor X der Referenzkonfiguration identifiziert. Die Bewegungsfunktion x = χ(x, t) (138) kinem50 liefert die Antwort auf die Frage: Wo befindet sich der materielle Punkt X, der zum Anfangszeitpunkt t 0 am Raumpunkt X war, zum Zeitpunkt t? In der Lagrangeschen Darstellungen werden die Felder in Abhängigkeit von X parameterisiert. Die Anwendung findet üblicherweise in der Festkörpermechanik statt.

55 α-version vom Eulersche (räumliche) Darstellung Der materielle Punkt X wird durch den Ortsvektor x der Momentankonfiguration identifiziert. Die inverse Bewegungsfunktion X = χ 1 (x, t) (139) kinem60 liefert die Antwort auf die Frage:Wo war der materielle Punkt X, der zur Zeit t den Raumpunkt x einnimmt, zum Anfangszeitpunkt t 0? Die feldlichen Grössen werden in Abhängigkeit von x parameterisiert. Die Anwendung ist in der Strömungsmechanik üblich, da es hier keine ausgezeichnet Referenzkonfiguration gibt. Aus mathematischer Sicht ist die Bewegungsfunktion ein-eindeutig (eindeutig und eindeutig invertierbar), wenn die Jacobi-Determinante J immer ungleich Null ist, d. h. J = det x X 0 (140) kinem70 Eine weitere physikalische Interpretation der Beziehung 140 wird noch gegeben. Neben dem materiellen Körper und den materiellen Punkten, die bereits im Kapitel 2 eingeführ wurden, kann man auch materielle Linien, materielle Flächen und materielle Volumen definieren. Eine materielle Linie ist dabei definiert als Verbindungslinie infinitesimal benachbarter materieller Punkte. Eine materielle Linie wird immer von den selben materiellen Punkten gebildet und bewegt sich mit diesen materiellen Punkten mit. Ein materielles Linienelement ist der Verbindungsvektor zwischen zwei infinitesimal benachbarten materiellen Punkten X und Y, die auf einer materiellen Linie liegen. Betrachtet man den Verbindungsvektor der materiellen Punkte in der Referenzkonfiguration X = Y X bzw. in der Momentankonfiguration x = y x, so kann man die Punkte im Grenzwert gegeneinander wandern lassen. Die Differenzvektoren X und x gehen dann in die materiellen Linienelemente dx bzw. dx über, die differentialgeometrisch als Tangentenvektoren an die materielle Linie interpretierbar sind. 4.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung Geanu wie für den Massepunkte ergeben sich Geschwindigkeit und Beschleunigung aus der Ableitung der Position eines materiellen Punktes nach der Zeit, d. h. aus Ableitung der Bewegungsfunktion: dx(x, t) ẋ(x, t) =, dt ẍ(x, t) = d2 x(x, t). dt (141) kinem360

56 52 Kontinuumsmechanik WS 16/17 fig4_2 Abbildung 23: Materielle Linie und materielles Linienelement in der Referenzkonfiguration Die Ableitungen, die in 141 gebildet werden, sind im Sinn totaler Zeitableitungen zu verstehen. Der Vektor X, der die Position des betrachteten materiellen Punktes in der Referenzkonfiguration angibt und so den materiellen Punkt identifiziert, ist dabei konstant. In 141 stellt ẋ die Geschwindigkeit und ẍ Beschleunigung des materiellen Punktes dar, der zur Zeit t = t 0 am Ort X war und sich zur aktuellen Zeit t am Ort x befindet. Diese Darstellung, die sich konzeptionell an der Definition der Geschwindigkeit und der Beschleunigung orientiert, entspricht der materiellen oder Lagrangesche Darstellung. Unter Verwendung der inversen Bewegungsfunktion 139 kann eine Umparameterisierung von 141 erfolgen. Man erhält man dann die räumliche oder Eulersche Darstellung des Geschwindigkeits- bzw. des Beschleunigungsfelds v = ẋ(χ 1 (x, t) t) = v(x, t), a = ẍ(χ 1 (x, t) t) = a(x, t). (142) kinem370 Die Gleichungen 142 geben die Geschwindigkeit und Beschleunigung des materiellen Punktes X an, der sich zur Zeit t am Ort x aufhält. Der Ursprungsort X dieses materiellen Punktes tritt in der Beziehung nicht mehr explizit auf auf. Bei der Auswertung von 142 muss man allerdings beachten, dass sich zu zwei unterschiedlichen Zeiten t 1 und t 2 zwei unterschiedliche materielle Punkte X bzw. Y am betrachteten Raumpunkt x aufhalten. Durch Auswertung der inversen Bewegungsfunktion kann die Anfangsposition des jeweiligen materiellen Punktes ermittelt werden. Die materielle Beschleunigung a(x, t), d. h. die Beschleunigung des materiellen Punktes, der zur Zeit t am Ort x ist, kann auch direkt aus der räumlichen Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes berechnet werden. Dazu ist die totale zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsfeldes v(x, t) zu bilden. Sie berücksichtigt, dass der materielle Punkt seinen

57 α-version vom Abbildung 24: Zur Eulerschen Darstellung der Bewegung fig4_3 Aufenthaltsort durch die Bewegung ändert. Gedanklich fasst man dazu den Ortsvektor x im Sinn der Bewegungsfunktion als veränderlich auf, sofern man der Bewegung des betrachteten materiellen Punktes folgt. Damit ergibt sich a(x, t) = v(x, t) = dv(x(x, t), t) dt = v t + v x =konst. x dx t =konst. dt durch die Anwendung der Kettenregel der Differentiation. Man muss berücksichtigen, dass x selbst eine implizite Funktion von X (stellvertretend für den betrachteten Partikel) und von t ist. In Gl. 143 ist hervorgehoben, dass die partiellen Ableitungen im Gegensatz zur totalen Ableitung jeweils bei festgehaltenem anderen Argument gebildet werden. Unter Beachtung der Definiton der Geschwindigkeit nach und der Definiton des räumlichen Gradientenoperators lautet Gl.143 a(x, t) = grad(...) = v(x, t) t (...) x = (143) kinem380 (...) x i e i (144) kinem390 + grad v(x, t) v(x, t). (145) kinem400 Der erste Summand v/ t wird als lokaler Anteil der materiellen Beschleunigung bezeichnet, da er bei festgehaltenem Raumpunkt x = konst. gebildet wird, der zweite Summand grad v v heißt konvektiver Anteil. Er beschreibt den Einfluss der inhomogenen räumlichen Geschwindigkeitsverteilung auf die Beschleunigung des materiellen Punktes. Allgemein kann die folgende Interpretation der materiellen Beschleunigung in der räumlichen oder Eulerschen Darstellung gegeben werden: Die materielle Beschleunigung in räumlicher Darstellung stellt die Beschleunigung dar, die ein Beobachter erfährt, der sich mit dem materiellen Punkt bewegt, der zur Zeit t gerade am betrachteten Raumpunkt x ist.

58 54 Kontinuumsmechanik WS 16/ Materielle Zeitableitung Das am Beispiel der materiellen Beschleunigung entwickelte Konzept der materiellen Zeitableitung läßt sich auf beliebige Feldfunktionen übertragen. Dabei sind Feldfunktionen f(x, t) definiert als Funktionen des Orts x und der Zeit t, d. h. die Parameterisierung erfolgt im Sinn der Eulerschen oder der räumlichen Darstellung. Die zeitlichen Änderungen der Feldfunktionen, die gesucht werden, sind jedoch Änderungen, die sich für die bewegte Materie einstellen. Das führt zu der folgenden Definition: Die materielle Zeitableitung einer Feldfunktion f(x, t) stellt dann die zeitliche Änderung von f dar, die ein Beobachter messen würde, der sich mit dem materiellen Punkt bewegt, der zur Zeit t gerade am Ort x ist. Mathematisch entspricht die materielle Zeitableitung der totalen Zeitableitung. Die materielle Zeitableitgung f(x, t) = df(x, t), (146) kinem410 dt berücksichtigt, dass der materielle Punkt während der Beobachtung seinen Aufenthaltsort ändert, d. h. man beachtet die implizite Abhängigkeit x = x(x, t) bei der Bildung der totalen Zeitableitung. Dann folgt f(x, t) = f t + grad f v. (147) kinem420 Der lokale Anteil f/ t beschreibt wiederum die Änderung von f an dem festgehaltenen Ort x, der konvektive Anteil grad f v beschreibt die Änderung von f infolge der Bewegung des materiellen Punktes durch das räumlich inhomogene Feld. Ein Vorgang heißt stationär, wenn die lokale Zeitableitung identisch Null ist. Ein Beobachter stellt also an einem Raumpunkt immer den selben Zustand fest, obwohl zu unterschiedlichen Zeiten verschiedene materielle Punkte an diesem Raumpunkt anzutreffen sind. Der Zustand heißt materiell konstant, wenn die materielle Zeitableitung identisch Null ist. In diesem Fall ändern sich die Zustandsgrößen eines materiellen Punktes nicht, auch wenn er sich durch den Raum bewegt. Ein Feld heißt homogen, wenn der Gradient identisch Null ist. In einem stationären Prozeß sind die Werte von f an einem festen Raumpunkt x immer gleich, es gilt f/ t = 0. Wenn das Feld inhomogen ist, d. h. grad f 0, dann ist die materielle Zeitableitung in diesem Fall trotzdem von Null verschieden, da sich die materiellen Punkte von einem Ort zum anderen bewegen und dabei die räumliche Änderung grad f mit der Geschwindigkeit v verspüren. 4.4 Transport materieller Linien, Flächen, Volumen Die materielle Linie wurde bereits als Verbindungslinie infinitesimal benachbarter materieller Punkte eingeführt. Die materielle Linie haftet an den materiellen Punkten, aus denen

59 α-version vom Abbildung 25: Bewegung materieller Linienelemente fig4_4 sie gebildet wird und bewegt sich mit diesen Punkten mit. Sie wird also zu allen Zeitpunkten aus den selben materiellen Punkten gebildet. Ein materielles Linienelement ist der Verbindungsvektor zwischen zwei infinitesimal benachbarten materiellen Punkten. Dies ist interpretierbar als Tangentenvektor an die materielle Linie, die durch die beiden Punkte verläuft. Genau wie die gesamte materielle Linie bewegt sich ein materielles Linienelement mit dem Körper mit. Wenn man in der Lage ist, ein materielles Linienelement während der Bewegung des Körpers zu verfolgen, kann man diese Information nutzen, um Deformation des materiellen Körpers zu bestimmen. Wenn ein materielles Linienelement dx in der Referenzkonfiguration betrachtet wird, kann man mit Hilfe der Bewegungsfunktion sein Bild dx in der aktuellen Konfiguration finden. Der Differenzvektor zwischen den benachbarten Punkten X und Y ist in der Referenzkonfiguration gegeben als X = Y X. (148) kinem590 In der Momentankonfiguration ist der Verbindungsvektor zwischen den beiden betrachteten Punkten durch x = y x = χ(y, t) χ(x, t) (149) kinem600 gegeben und kann mit der Bewegungsfunktion χ bestimmt werden. Geht man davon aus, dass die Punkte in direkter Nachbarschaft liegen, so kann man die Bewegungsfunktion in eine Taylor-Reihe eintwickeln. Für die aktuelle Position des materiellen Punkts Y folgt damit χ(x, t) χ(y, t) = χ(x, t) + (Y X) + höhere Terme. (150) kinem610 X Unter Vernachlässigung der höheren Terme der Taylor-Reihe in dem Differenzvektor X kann man die Gleichungen 148, 149 und 150 kombinieren und erhält x = χ(x, t) X X. (151) kinem620