Beispiel für eine statisch unbestimmte Aussteifung mit einem Profil. Geschoßlasten: g k 8. p k g k q k 13. m 2 q k 5. m 2 Δg k 2.0.

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1 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite Beispiel für eine statisch unbestimmte Aussteifung mit einem Profil Der unten dargestellte Grundriss zeigt ein 5-stöckiges Bürogebäude mit gleichen Geschossen. Die Einzugsflächen für die Bauteile sind eingezeichnet, ebenso der Schubmittelpunkt des Aussteifungselementes 3. Hinweise: Die Einzelträgheitsmomente für Torsion und Verwölbung sind vernachlässigbar klein. Näherungsweise kann davon ausgegangen werden, dass alle Geschosse die gleiche Belastung haben. Die Aussteifungselemente sind in eine steife Bodenplatte eingespannt. Gegeben: Baustoffe: Beton C5/30, Baustahl BSt 500 SA/MA Geschosslasten: g k = 8 /m² q k = 5 /m² g k = /m² (nur für den Nachweis der Gesamtstabilität) Windlasten: vereinfacht nach EC, Windzone, Binnenland Schiefstellung: nach EC Geschosshöhen: h EG = 4,50 m, 4 x h OG = 3,50 m Gesucht: a) Nachweis, dass nach Theorie I. Ordnung gerechnet werden darf. b) Schnittgrößen und Bemessung der Elemente und 3 am Anschnitt zur Bodenplatte für den Lastfall maxn/maxm mit Leiteinwirkung Wind. Geschoßlasten: g k 8 q k 5 Δg k.0 p k g k q k 3 Gesamtlast für die Schiefstellung: p kφ p k Δg k 5 γ g.35 γ q.5 g d g k γ g 0.8 q d q k γ q 7.5 p d g d q d 8.3 A s6 0.83c A s c A s c A s.3c A s4.54c A s0 3.4c A s5 4.9c

2 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite Geschoßfläche: bb m bb 4.30m hh m hh 0.30m Gesamtabmessungen des Gebäudes: xs 0.00m xs 36.5m B y hh 0.3m ys 0.65m ys 0.5m B x bb 0 bb 48.3m 367. Flächenschwerpunkt für Schiefstellung: AA ( bbhh) m gesa AA m ( AAxs) ( AAys) x s m y s gesa gesa.7 m Geschoßhöhen: h m h 3.50m h 3.50m h m h m h tot h Anzahl Geschoße: n g m Wandscheiben: l m l 5.30m l.00m d m d 0.30m d.00m x 0 0.5m x 4.5m x 44.5m y m y.65m y.64m fx 0 0 fx 0 fx fy 0 fy fy Beton: C5/30 E cm 3000 E cm E cd E 0 E cd E E cd E E cd Lasteinzugsflächen und Hebelarme: A a 0 3.3m A a m A 0.0 a 0.3m A 4.95 a 0.8m A a 9.6m A.0 a 3.88m A 9.95 a 3.0m A.0 a.74m A a 9.34m A a m A a m A a 3 5.0m A 4.00 a m A a m A a m A 5.0 a m A 5.0 a 5 7.9m A a 5 4.3m A a m A 6.0 a 6.34m A 6.00 a m A a m A a 7 7.8m A 8.0 a m A a 8.5m A 9.0 a 9 5.3m A a 9 7.4m

3 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite 3 l d Trägheitsmomente: I x fy 3.79 m 4 l 3 d 0 I y fx 0 m Schubmittelpunkt: sumix EI x sumiy EI y sumixx EI x x m 3 sumiyy EI y y m 3 sumixx sumiyy x SM 3.3 m y SM sumix sumiy.64 m Abstände zum Schubmittelpunkt: e x x x SM 6.98 m e y y y SM 3.08 F α n g gesap kφ m 0 F α h tot F α h tot α y α x 0.099!< minα 0.3 sumix sumiy n g n g I ω I x e x I y e y m 6 EI ω EI x e x EI y e y m F αi Ap kφ F αid Ap d sumfr F αi a α rot EI ω h tot sumfrn g!< minα mittlere Längskraft je Stütze für Tragfähigkeit: n ges 7 m gesap d n ges m >>> n s 4

4 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite 4 Exzentrizitäten: e xh x s x SM 5.88m b xw B x m e yh y s y SM.047m b yw B y 0..03m 0 EI y EI x Verschiebungsanteile: w x 0 w y sumiy sumix Verdrehungsnanteile: dx EI y e y EI ω m dy EI x e x EI ω m Horizontallast aus Schiefstellung: Θ 0 00 n s 4 α m 0.5 n s α h h tot Θ i Θ 0 α h α m m aus ständigen Lasten: hebel h 0 h.5m H αg gesa g k Δg k Θ i H αg n g H αg 73.4 M αg H αg hebel aus veränderlichen Lasten: H αq gesaq k Θ i 7.3 H αq n g H αq M αq H αq hebel m m Horizontallast aus Wind : q w 0.75 c f.3 w c f q w W x w h tot B y M yw W x h tot 0.5 W y w h tot B x 87. M xw W y h tot m m Berechnung der Bemessungslasten für LF maxn: γ g.35 mit/ohne Verkehr: f q.0 ψ 0w.0 ψ 0q 0.7 W xd W x γ q ψ 0w M ywd M yw γ q ψ 0w W yd W y γ q ψ 0w M xwd M xw γ q ψ 0w m m H αd H αg γ g H αq f q γ q ψ 0q M αd M αg γ g M αq f q γ q ψ 0q m W xk W x ψ 0w M ywk M yw ψ 0w W yk W y ψ 0w 87. M xwk M xw ψ 0w H αk H αg H αq f q ψ 0q M αk M αg M αq f q ψ 0q m m m

5 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite 5 Kräfte auf die Wandscheiben im Geschoß, Wind X nach oben versetzt: W refx 00 W refy 00 e yw y SM B y 0.5 b yw 0.084m H x W refx M T H x e yw 008.4m P xwxo H x w x M T dx 0 P ywxo M T dy Kräfte auf die Wandscheiben im Geschoß, Wind X nach unten versetzt: e yw y SM B y 0.5 b yw 4.44m H x W refx M T H x e yw 44.4m P xwxu H x w x M T dx 0 P ywxu M T dy Kräfte auf die Wandscheiben im Geschoß, Wind Y nach rechts versetzt: e xw x SM B x 0.5 b xw.5m W refy 00 0 M T e xw 5.3m P xwyr M T dx 0 P ywyr w y M T dy Kräfte auf die Wandscheiben im Geschoß, Wind Y nach links versetzt: e xw x SM B x 0.5 b xw.8m W refy 00 0 M T e xw 8.3m P xwyl M T dx 0 P ywyl w y M T dy Kräfte auf die Wandscheiben im Geschoß, Schiefstellung in Y-Richtung : H ref 00 H ref 00 M T e xh 58.79m 0 P xsy M T dx 0 P ysy w y M T dy Kräfte auf die Wandscheiben im Geschoß, Schiefstellung in X-Richtung: H x H ref M T H x e yh 04.77m P xsx H x w x M T dx 0 P ysx M T dy

6 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite 6 BEMESSUNG (C5/30 BSt 500 SA/MA) γ s.5 γ c.5 f yk 500 f ck 5 α 0.85 f ctm.6 E s αf ck f cd 4.67 f yk γ c γ s ε yd E s zur Bemessung von W3: Wind in y-richtung nach rechts versetzt + Schiefstellung in y-richtung: P ywyr P ysy P ywyr M x3k M xwk M αk m V y3k W yk P ywyr P ysy P ywyr M x3d M xwd M αd m V y3d W yd P ysy H αk P ysy H αd zur Bemessung von W3: Wind in x-richtung nach oben versetzt + Schiefstellung in x-richtung: P xwxo P xsx P xwxo M y3k M ywk M αk m V x3k W xk H x H x H x P xsx H αk H x P xwxo P xsx P xwxo M y3d M ywd M αd m V x3d W xd H x H x H x P xsx H αd H x zur Bemessung von W: Wind in y-richtung nach links versetzt + Schiefstellung in y-richtung: P ywyl0 P ysy0 P ywyl0 M xk M xwk M αk m V yk W yk P ywyl0 P ysy0 P ywyl0 M xd M xwd M αd m V yd W yd P ysy0 H αk P ysy0 H αd Es wird nur Wind in y-richtung betrachtet. Abmessung des Elementes 3: bw 0.0m γ B 5 m 3 vereinfachte Annahme: l 5.30m l 7.90m l bw l bw 3.7 e x.95m e y.64m Einzugsfläche: b.5m b 7.65m A e b b Eigengewicht der Wandscheiben: G w h tot γ B 7.5 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit: p k g k q k f q ψ 0q.5 Auflast: N p n g p k A Gesamtlast am Wandfuß: N ges N p G w M xges M x3k N p e y m M yges N p e x m Trägheitsmomente Kern: I y 4.998m 4 I x 0.855m 4

7 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite 7 Abstände zur Ecke: x r 4.05m y o.46m x l 4.05m y u 3.738m N ges M xges y o M yges x r Randspannung oben rechts: σ <= f ctm.6 N ges Randspannung unten links: σ N ges Randspannung oben links: σ 3 M xges y u M xges y o M yges x l M yges x l Randspannung unten rechts: σ 4 N ges M xges y u M yges x r Grenzzustand der Tragfähigkeit: p d g k γ g q k f q γ q ψ 0q 6.05 n g p d A e G w γ g M Edx M x3d e y 46.6m M Edy e x m Randspannung oben rechts: σ M Edx y o M Edy x r M Edx y u M Edy x l Randspannung unten links: σ <= f cd 4.67 Randspannung oben links: σ 3 M Edx y o M Edy x l Randspannung unten rechts: σ 4 M Edx y u M Edy x r Zugkraftdeckung für Wandteil links von Pos. 3: l 7.9m Nulldurchgang von oben x0 σ l σ σ m Z Z σ bwx A s 5.85c gewählt je Seite: vorha s 6A s5 9.46c Weitere Nachweise: Knicken um die schwache Achse (Beulen) + Querkraft (vgl. W unten)

8 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite 8 Bemessung der Wandscheibe : hw 5.30m bw 0.30m l ez 7.65m Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit: p k.5 Eigengewicht der Wandscheibe/Geschoß: G kw bwhwh tot γ B l ez hw 0.5m A ex A A zen A 0 A ex.374 ex.50m l ez Auflast: N Ekex A ex p k n g N Ekzen A zen p k n g 9.06 Gesamtlast am Wandfuß: N Ek N Ekex N Ekzen G kw 56 V Ek V yk M Ek M xk N Ekex ex m bwhw Widerstandsmoment/Fläche: W.4045m 3 Aw bwhw.59 6 N Ek M Ek N Ek M Ek Randspannungen: σ Aw W σ Aw W <= f ctm.6 Grenzzustand der Tragfähigkeit: p d 6.05 ex A ex p d n g zen A zen p d n g ex zen G kw γ g V Ed V yd M Ed M xd ex ex m M Ed Randspannungen: σ M Ed Aw W σ Aw W <= f cd 4.67 bwhw 3 Nulldurchgang: II 3.79m 4 II z m l z hw0.5 z 0.6m AwM Ed Z Zugkraftdeckung: Z σ l z bw A s 9.9c Querschnittsbemessung: d 0.30m d hw M Ed ν Ed 0.57 μ Ed bwhwf cd bwhw f cd abgelsen aus Diagramm: ω tot bwhwf cd ω tot 0.0 A stot 0.36c Mindestbewehrung Wand: A smin max 0.005Aw c gewählt je Seite: vorha s 4A s5 9.64c

9 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite 9 Knicken um die schwache Achse: hh bw 0.3m bb m d 0.04m dd hh d M Ed ( hw0.5 bb) Spannung bei x=m vom Rand der Druckseite: σ Aw II Gesamtdruckkraft: σ σ 0.5bbhh σ Belastung: M Edo 0 m M Edu 0 m l col h 0 4.5m allgemeine Werte: A c bbhh 3000c 6 n Ed 0.48 λ lim max 5 f cd A 5 c n Ed bbhh 3 β 0.8 l 0 l col β 3.6m I 5000 cm 4 I l 0 i 8.66cm λ A c i M 0 if M Edo M Edu M Edo M Edu 0m M 0 if M Edo M Edu M Edu M Edo 0m 0.6 m 0m M 0e M 0e max 0.6M 0 0.4M 0 0.4M 0 e 0 0cm Ausmitte aus Imperfektion: Θ 0 n s α m n s α h l col Θ i Θ 0 α h α m e i Θ i l cm m M 0Ed M 0Ed e 0 e i 7.399m e 0Ed 0.849cm f ck λ φ.6 φ ef φ0.5.3 β max K φ max βφ ef EC: mit_kriechen if λ 75 φ e 0Ed hh0 NA: versch 0.57 mit_kriechen if versch versch 0 λ 50 e 0Ed hh 0 0 K φ if mit_kriechen 0K φ geschätzte Bewehrung: tota s 3cm n bal 0.4 tota s ω n ud ω.03 K r min n ud n Ed f cd A c n ud n bal K if ( λ 35.0λ 0..5) K if λ λ lim 0.0K κ K φ K r Krümmungsverlauf: c 0 e c K l 0 κ.093cm M Ed e M Edges M 0Ed M Ed 60.39m M Ed max M Edo M Edges M Edu ε yd 0.9dd m 60.39m m d M Ed f cd 0.33 n Ed 0.48 m Ed hh bbhh ω tot 0.00 As tot ω tot bbhh 0.098c f cd Mind.bew. Stütze beidseitig: mina s c Mind.bew. Wand beidseitig: A smin 0.005A c 4.5c Q44-A / Seite

10 Aussteifung bsp-ausst-.xmcd, Seite 0 Nachweis für Querkraft: hh hw 5.3m bb bw 0.3m V Ed V Ed dd hh m z 0.9dd 4.93m A w bwhw.59 α 90deg cotα cot( α) 0 mincotθ if ( α 89deg.00.58) σ cd.7 A w 3 Betontraganteil: V Rdcc f ck m 4. σ cd f cd bbz σ cd f cd grenzcotθ cotθ min( 3.0if ( grenzcotθ 03.0grenzcotΘ) ) 3 V Rdcc cotθ max( mincotθcotθ) 3 Θ atan V Ed cotθ 8.435deg f ck Druckstrebe: ν min..0 ν 0.75ν 0.75 α cw V Rdmax α cw ν f cd bbz( sin( Θ) ) ( cot( Θ) cot( α) ) 405. >= V Ed 66.9 V Ed Bügelbewehrung: a sw sin( α) z( cot( Θ) cot( α) ). cm m n s A s6 gewählt: n s s w.0cm a sww s w.573 c m Mindestschubbew.: ρ w 0.6 f ctm mina sw ρ w bbsin( α).496 cm f yk m Höchstabstand längs Schrägstäbe: α 45deg s ls 0.5hh( cot( α) ) 5.3m Grenzwerte: V Ed s lbü min( 0.30m0.7hh) 0.3m ab V Rdmax 0.3 ab V Rdmax s lbü min( 0.30m0.5hh) 0.3m 463. s lbü min( 0.0m0.5hh) 0.m Höchstabstand quer Bügel und Schrägstäbe: s q min( 0.80mhh) 0.8m ab V Rdmax s q min( 0.60mhh) 0.6m Die vorhandene Querbewehrung aus der Q44-A ist größer.