Lineare Gleichungssysteme

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1 Lineare Gleichungssysteme Zusatzmaterialien zum mathbu.ch für GU 9++ c 2008, Klett und Balmer AG

2 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 1 Inhaltsverzeichnis Lernumgebung 2 Arbeitsheft 4 Lösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme 4 Geometrische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen 4 Algebraische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen 6 Das Gleichsetzungsverfahren 7 Das Einsetzungsverfahren 8 Das Additionsverfahren 9 Aufgaben 10 Grundaufgaben 10 Weitere Rätsel in Gedichtform 11 Textaufgaben 12 Anwendungen 13 Ergänzungen 14 Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen 14 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten 15 Die Cramer sche Regel 17 Ausblick: Computertomographie 19 Lösungen der Aufgaben in der Lernumgebung 21 Lösungen der Aufgaben im Arbeitsheft 22 Lösungen zu Geometrische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen 22 Lösungen zu Algebraische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen 24 Lösungen zu Grundaufgaben 25 Lösungen zu Weitere Rätsel in Gedichtform 26 Lösungen zu Textaufgaben 28 Lösungen zu Anwendungen 30 Lösungen zu Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen 31 Lösungen zu Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten 32 Kommentare 34

3 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 2 Lernumgebung Ein Rätsel in Gedichtform Tiere sind es, grosse, kleine, dreissig Köpfe, siebzig Beine. Teils sind s Kröten, teils auch Enten, wenn wir doch die Anzahl kennten! Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade Gegeben sind die beiden Punkte A(1 2) und B(6 8) in der Ebene. Bestimme die lineare Funktion f(x) = mx + q so, dass der Graph der Funktion (eine Gerade) durch die beiden Punkte A und B geht. Rechendreiecke Gesucht sind drei Zahlen x, y und z so dass x + y = a y + z = b z + x = c Alle drei obigen Probleme lassen sich in Gleichungssysteme übertragen. Zwei lineare Gleichungen ax + by = c dx + ey = f bilden ein lineares Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten oder kürzer ein 2x2-Gleichungssystem. a, b, c, d, e, f sind gegeben, x und y sind gesucht. Das Gleichungssystem heisst linear, weil die Unbekannten x und y nur linear und nicht als Potenzen x 2, x 3, y 2, y 3,... vorkommen. Ein Zahlenpaar (x y) ist eine Lösung des Gleichungssystems, wenn die beiden Gleichungen erfüllt sind.

4 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 3 Beim Rätsel in Gedichtform setzen wir: Enten. Dann gilt x = Anzahl der Kröten und y = Anzahl der x + y = 30 4x + 2y = 70 Die erste Gleichung zählt die Köpfe, die zweite Gleichung die Beine, denn Frösche haben bekanntlich vier Beine, Enten deren zwei. Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade Einsetzen der Koordinaten von A und B in die Funktionsgleichung f(x) = mx + q liefert oder also ebenfalls ein Gleichungssystem. f(1) = m 1 + q = 2 f(6) = m 6 + q = 8 m + q = 2 6m + q = 8 Aufgabe: Versuche bei den zwei Gleichungssystemen, die Zahlen x und y resp. m und q zu finden. Das Problem mit dem Rechendreieck führt offensichtlich zu einem linearen Gleichungssystem von drei Gleichungen mit drei Unbekannten (kurz 3x3-Gleichungssystem). Es war es seit jeher ein Bestreben der Mathematiker, ein allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungssysteme zu entwickeln. Der Engländer Isaac Newton ( ), der Schweizer Gabriel Cramer ( ) und der deutsche Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) haben die heute gebräuchlichen Verfahren entscheidend beeinflusst. Newton Cramer Leibniz

5 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 4 Arbeitsheft Lösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme Geometrische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen Bevor wir uns der algebraischen Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zuwenden, wollen wir eine geometrische Interpretation geben. Wir betrachten das 2x2-Gleichungssystem ax + by = c dx + ey = f Jede der beiden Gleichungen kann nach y aufgelöst werden (falls b und e nicht gleich Null sind) und stellt folglich die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion y = f(x) = mx+q dar. Beispiel: Für 2x + y = 3 6x 2y = 4 ergibt sich einerseits y = 2x + 3, anderseits y = 3x 2. Die Graphen dieser beiden Funktionen sind Geraden. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist (x y) = (1 1). Der Punkt P (1 1) ist der einzige Punkt, dessen Koordinaten beide vorgegebenen Gleichungen erfüllen. x = 1 und y = 1 ist daher die Lösung des Gleichungssystems. Diesem graphischen Lösen eines Gleichungssystems sind natürlich Grenzen gesetzt, insbesondere wenn die Lösung (also die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden) nicht mehr ganzzahlig ist. Eine weitere Schwierigkeit des graphischen Lösens von Gleichungssystemen kann sich ergeben, wenn die beiden Geraden fast parallel sind. In diesem Fall wird auch das Ablesen der Koordinaten des Schnittpunktes schnell ungenau (siehe Aufgabe 4 im Kapitel Grundaufgabe )

6 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 5 Aufgaben 1. Löse die folgenden Gleichungssysteme graphisch. 2x + 3y = 18 4x y = 8 5x + 7y = 19 x + y = 3 3x + 4y = 0 5x 2y = 7 3x + 5y = 0 6x 2y = 7 x + 2y = 3 4x + 5y = 6 2. Gib dir selber ein Gleichungssytem vor und löse es graphisch.

7 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 6 Algebraische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen Für das Lösen von linearen Gleichungssystemen gibt es im wesentlichen drei algebraische Verfahren. Ziel all dieser Verfahren ist es, die Zahl der Unbekannten sukzessive zu verringern. Bei Systemen von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten geht es in einem ersten Schritt darum, nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu haben. Diese Gleichung kann man dann nach der einzig verbliebenen Unbekannten auflösen. Bei n Gleichungen mit n Unbekannten strebt man in einem ersten Schritt ein System von n-1 Gleichungen mit nur noch n-1 Unbekannten an. Wir betrachten zuerst Gleichungssysteme von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Allgemein hat ein solches Gleichungssystem die Form ax + by = c dx + ey = f Bemerkungen: 1. Genauer müssten wir sagen, dass ein lineares 2x2-Gleichungssystem dann vorliegt, wenn wir es durch Äquivalenzumformungen in die obige Form bringen können. 2. Die gegebenen Zahlen a, b, c, d, e, f sowie die gesuchten Zahlen x und y gehören zur Menge der reellen Zahlen. In vielen Anwendungen sind a, b, c, d, e, f ganze Zahlen. Dann sind die gesuchten Zahlen x und y in der Regel rationale Zahlen, also Brüche. Auf den nächsten drei Seiten werden drei Verfahren zur (algebraischen) Lösung eines lineares 2x2-Gleichungssystems erläutert.

8 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 7 Das Gleichsetzungsverfahren Wenn in einem Gleichungssystem beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst sind, kann man auch die Terme, die auf der andern Seite stehen, gleichsetzen. Beispiel 1: Aus y = 3x 2 y = 2x + 8 können wir 3x 2 = 2x + 8 folgern. Jetzt haben wir das Gleichungssystem reduziert und haben nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten. Diese Gleichung können wir nach x auflösen und erhalten x = 10. Diesen Wert können wir in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen und bekommen y = 3x 2 = = 28. Die Lösung des Gleichungssystems lautet x = 10, y = 28. Beispiel 2: Gegeben ist das Gleichungssystem Wir lösen beide Gleichungen nach y auf: und setzen die rechten Seiten gleich: (1) 8x + 4y = 32 (2) 9x + 3y = 48 (1 ) y = 1 (32 8x) = 8 2x 4 (2 ) y = 1 (48 9x) = 16 3x 3 8 2x = 16 3x. Diese Gleichung können wir jetzt nach x auflösen und bekommen x = 8. Einsetzen in (1 ) liefert y = 8. Die Lösung des Systems lautet x = 8, y = 8. Bemerkung: In Beispiel 2 hätten wir beide Gleichungen auch nach x auflösen können. Gleichsetzungsverfahren: Man löst beide Gleichungen nach derselben Unbekannten auf. Durch Gleichsetzen erhält man dann eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Aufgabe: Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren: x + 5y = 13 2x + 6y = 18

9 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 8 Das Einsetzungsverfahren Um aus einem Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten, können wir die eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und in der anderen Gleichung diese Unbekannte durch den Term, der auf der andern Seite dieser Gleichung steht, ersetzen. Beispiel 1: Hier wird die erste Gleichung nach y aufgelöst und in die zweite Gleichung eingesetzt: (1) y x = 1 (2) 6x 3y = 6 Einsetzen von (1 ) in (2): (1 ) y = x + 1 6x 3 (x + 1) = 6 6x 3x 3 = 6 3x = 9 x = 3 Einsetzen in (1 ) liefert y = = 4. Daher lautet die Lösung der Gleichung x = 3, y = 4. Beispiel 2: (1) 2x = 3y 3 (2) x 3y = 9 Wir lösen Gleichung (2) nach x auf: x = 3y 9 und setzen diesen Wert in die Gleichung (1) ein: 2 (3y 9) = 3y 3 6y 18 = 3y 3 3y = 15 y = 5 Einsetzen in (2 ) liefert x = 3 5 9, also x = 6. Somit lautet die Lösung x = 6, y = 5. Einsetzungsverfahren: Man löst eine Gleichung des Gleichungssystems nach einer Unbekannten auf. Durch Einsetzen in die andere Gleichung erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Aufgabe: Löse das folgende Gleichungsystem mit dem Einsetzungsverfahren. 4x 3y = 11 6y + 28 = 2x

10 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 9 Das Additionsverfahren Wenn in einem Gleichungssystem in beiden Gleichungen eine Unbekannte oder ein Vielfaches davon mit dem selben Betrag, aber unterschiedlichen Vorzeichen vorkommt, können wir die Gleichungen addieren, um nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu bekommen. Beispiel 1: Wir addieren die beiden Gleichungen: (1) 4x + 3y = 15 (2) 3x 3y = 6 4x + 3y = x 3y = 6 7x = 21 x = 3 Durch Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen bekommen wir noch y = 1. Die Lösung lautet x = 3, y = 1. Beispiel 2: Durch Multiplizieren der beiden Gleichungen je mit einer geeigneten Zahl können wir die gewünschte Ausgangslage für das Additionsverfahren erreichen: (1) 5x + 2y = 16 3 (2) 8x 3y = 7 2 Addieren der beiden Gleichungen liefert (1 ) 15x + 6y = 48 (2 ) 16x 6y = 14 31x = 62 x = 2 Durch Einsetzen in (1) bekommen wir y = 3 und damit die Lösung x = 2, y = 3. Additionsverfahren: Man formt beide Gleichungen so um, dass beim Addieren der Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Es entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten. Aufgabe: Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren: 4x 3y = 1 5x + 6y = 50

11 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 10 Aufgaben Grundaufgaben Es ist empfehlenswert, nicht nur eines, sondern mehrere der vorgeschlagenen Lösungsverfahren für Gleichungssysteme zu kennen, ganz nach dem Motto: Schnell ist, wer flexibel ist! Je nach Art des Gleichungssystems kann ein Verfahren bequemer zum Ziel führen als ein anderes. 1. Löse die folgenden Gleichungssysteme mit dem dir am meisten zusagenden Lösungsverfahren. Prüfe anschliessend die gefundenen Lösungen durch Einsetzen nach. (a) y = x + 2 y = 3x 12 (b) 4x + y = 48 y = 3x (c) 2x + 4y = 19 8x 3y = 31 (d) 5x 19 = y 3x 11 = y Löse einige der Gleichungssysteme auch graphisch (lineare Funktionen!) und vergleiche die Lösungen. 2. Gib dir selber ein 2x2-Gleichungssystem vor und löse es! 3. Kannst du ein Gleichungssystem finden mit den Lösungen x = 3 und y = 7? 4. Kleine Ursache grosse Wirkung! Löse beide Gleichungssysteme rechnerisch. 123x 124y = x 250y = x 124y = x 250y = 123 Vergleiche beide Ergebnisse. In welchen Quadranten liegen die Schnittpunkte der entsprechenden Geraden?

12 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 11 Weitere Rätsel in Gedichtform 1. Wieder Tiere, grosse, kleine, diesmal Gänse und auch Schweine. Siebzig Füsse zählen wir, Schweine hat es mehr, just vier! 2. Käfer und ein Dutzend Spinnen sind in einem Kasten drinnen. Käferbein hat s achtzehn mehr, rechne aus, es ist nicht schwer! 3. Katzen frech am Ufer fauchen, Enten rasch ins Wasser tauchen. Vierzig Beine, achtzehn Tier, lös dies Rätsel zum Pläsier. 4. Zwanzig gleiche Tierchen zart, welche sich am Wasser laben. Gleichviel schlanke Beine haben, wie die zehn der andern Art. Doch der Unterschied ist vier, zählst du je an einem Tier. Und jetzt sage mir geschwind, wieviel Bein es wirklich sind!

13 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 12 Textaufgaben 1. Summe und Quotient zweier Zahlen ergeben je 5. Wie heissen die beiden Zahlen? 2. Das Übersetzungsverhältnis zweier Zahnräder eines Getriebes ist 7 : 11. Hätte jedes Zahnrad 4 Zähne mehr, so wäre das Verhältnis 2 : 3. Wie viele Zähne hat jedes Rad? 3. Ein Drittel einer Zahl und ein Viertel einer zweiten Zahl ergibt ein Fünftel. Ein Sechstel der ersten Zahl plus ein Siebentel der zweiten Zahl ergibt ein Achtel. Wie heissen die beiden Zahlen? 4. Der Winkel an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist doppelt so gross wie ein Basiswinkel. Wie gross sind die Winkel des Dreiecks? 5. Der Flächeninhalt eines Trapezes mit einer Höhe von 8 cm beträgt 96 cm 2. Die untere Grundseite ist 6 cm kürzer als die obere Seite. Wie lang sind die beiden Seiten? 6. Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist das Doppelte der Einerziffer. Vertauscht man die Ziffern, entsteht eine um 27 kleinere Zahl. Wie heisst die ursprüngliche Zahl? 7. Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 15, die alternierende Quersumme (=Differenz der Ziffern) ist 3. Welche Zahl kann das sein? 8. Die Summe zweier Zahlen hat den Wert 25, ihre Differenz den Wert 7. Wie heissen die beiden Zahlen? 9. Subtrahiert man vom Vierfachen einer Zahl das Dreifache einer zweiten Zahl, so erhält man 18. Addiert man zum Dreifachen der ersten Zahl die Zahl 10, so erhält man das Vierzehnfache der zweiten Zahl. 10. Ein quaderförmiges Wasserbecken von 12 m Länge, 5 m Breite und 4.5 m Höhe wird durch zwei Abflüsse A und B entleert. Sind A während zwei Stunden und B während 1.5 Stunden offen, so sinkt der Wasserspiegel um 1.28 m. Bei vertauschten Öffnungszeiten sinkt der Wasserspiegel jedoch um m. Wie viele Liter fliessen bei jedem Abfluss pro Minute ab?

14 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 13 Anwendungen 1. In einem Labor müssen 10 Liter 20%ige Schwefelsäure hergestellt werden. Es stehen 20 Liter 5%ige Schwefelsäure und 15 Liter 40%ige Schwefelsäure zur Verfügung. Wie muss gemischt werden? 2. Temperaturmessung: Die Umrechnung von Grad Celsius in Grad Fahrenheit kann durch eine Funktion y = mx + q beschrieben werden, wo x die Grade in Celsius, y die Grade in Fahrenheit bedeuten. Es gilt: 0 Grad Celsius entsprechen 32 Grad Fahrenheit und 100 Grad Celsius entsprechen 212 Grad Fahrenheit. (a) Bestimme die Funktionsvorschrift, die die Umrechnung angibt. (b) Wie viele Grad Fahrenheit sind 37 Grad Celsius? (c) Wie viele Grad Celsius sind 0 Grad Fahrenheit? (d) Gibt es eine Temperatur, die in beiden Skalen gleich angegeben wird? 3. Bei einer Mathematikprobe soll für 30 Punkte die Note 6, für 0 Punkte die Note 1 gesetzt werden. Die Zuordnung Punktzahl Note soll durch eine Funktion der Form f(x) = mx + q beschrieben werden. (a) Finde die Funktion (b) Welche Note gibt es für 21 Punkte? (c) Für welche Punktzahl gibt es die Note 4?

15 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 14 Ergänzungen Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen Bis jetzt haben wir Gleichungssysteme betrachtet, die genau eine Lösung besitzen. Das braucht nicht immer so zu sein: Löse die folgenden Gleichungssysteme: (a) 2x 3y = 1 4x + y = 23 (b) 2x 3y = 1 4x + 6y = 0 (c) 2x 3y = 1 4x + 6y = 2 Das Gleichungssystem (a) hat die Lösung x = 5, y = 3 Das Gleichungssystem (b) hat keine Lösung! Um den Grund zu verstehen, stellen wir die beiden Gleichungen graphisch dar: Wenn wir beide Gleichungen je nach y auflösen, erhalten wir zwei lineare Funktionen!. Die Graphen sind Geraden, die in diesem Falle parallel sind, sich also nicht schneiden. Deshalb hat das System keine Lösung. Das Gleichungssystem (c) hat unendlich viele Lösungen. Die beiden Geraden fallen zusammen, da beide Gleichungen äquivalent sind. Die Lösungen sind gegeben durch: L = {(x y) y = 2 3 x 1 3, x beliebig}. Spezielle Lösungen sind z.b. (x y) = ( 4 3), ( 1 1), (2 1), (5 3),.... Aufgabe: 1. Gib ein Gleichungssytem an, das (a) (b) keine Lösung, unendlich viele Lösungen hat.

16 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 15 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten Ein Gleichungsystem von drei Gleichungen mit drei Unbekannten lässt sich lösen, indem das System mit einem der drei oben vorgestellten Verfahren (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren) zu einem Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert wird. Die Lösung dieses Systems wird alsdann zu einer Lösung des ganzen Systems ergänzt. Eine geometrische Interpretation der Lösung ist ebenfalls möglich: Jede Gleichung repräsentiert eine Ebene im Raum. Die Koordinaten des Schnittpunkt der drei Ebenen stellen die Lösung des Gleichungssystems dar. Aufgaben: 1. Löse folgendes Gleichungssystem: x y = 6 y + z = 4 x + z = 9 2. Löse folgendes Gleichungssystem: 5x 4y + z = 8 3y 2z = 2 2z = Löse folgendes Gleichungssystem: x + y + z = 2 x + 2y + 3z = 6 2x 4y + 2z = 6 4. In einer Kleinfamilie sind (am Geburtstag der Tochter) Vater, Mutter und Tochter zusammen genau 100 Jahre alt. Fünf Jahren zuvor war der Vater neun mal so alt wie seine Tochter. Bei der Geburt der Tochter war der Vater zehn Jahre älter als die Mutter. Wie alt sind nun in ganzen Zahlen die drei Familienmitglieder? 5. Bei einem Dreieck ist der grösste Winkel 15 o grösser als der zweitgrösste, der zweitgrösste ist 15 o grösser als der kleinste Winkel. Berechne die drei Winkel.

17 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien Bei einem Quader messen die Seitendiagonalen 7,8 und 9. Wie lang sind die Seiten? 7. Eine Bergbahn verlangt für Berg- und Talfahrt zusammen Fr. 30.-, für die Bergfahrt allein Fr und für die Talfahrt allein Fr An einem Sonntag fuhren im ganzen 680 Zahlende hinauf und 520 hinab. Es wurden Fr eingenommen. Wie viele Billette jeder Art wurden gelöst?

18 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 17 Die Cramer sche Regel Gabriel Cramer (vergleiche Seite 2, LU) hat für Gleichungssysteme von n Gleichungen und n Unbekannten allgemeine Lösungsformeln gefunden. Beispiel: n = 2: Die Lösung von ax + by = c dx + ey = f lautet: ce bf af cd x = ; y =, falls ae bd 0 ae bd ae bd Die Bedingung ae bd 0 ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass das Gleichungssystem nur ( eine einzige ) Lösung hat. Der Ausdruck ae bd heisst auch Determinante a b der Martix. c d D = a b d e = ae bd n = 3: ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + kz = l Ist die Determinante D = a b c e f g i j k = afk + bgi + cej ifc ebk ajg nicht gleich Null, dann lautet die Lösung des Gleichungssystems ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + kz = l x = d b c h f g l j k a b c e f g i j k = bgl + chj + dfk bhk cfl dgj afk + bgi + cej cfi bek agj

19 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 18 y = z = a d c e h g i l k a b c e f g i j k a b d e f h i j l a b c e f g i j k = = ahk + dgi + cel chi dek alg afk + bgi + cej cfi bek agj afl + bhi + dej dfi bel ahj afk + bgi + cej cfi bek agj Solche Lösungsformeln sind insbesondere beim Einsatz von Computern bedeutsam. Computerprogramme zum Lösen von linearen Gleichungssystemen verwenden allerdings häufiger ein anderes Verfahren (Gauss Elimination), da bei den Cramer schen Formeln das Problem Determinante D = 0 sonst stets als Spezialfall behandelt werden muss.

20 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 19 Ausblick: Computertomographie Bei der Computertomographie (CT) wird für eine bestimmte Geweberegion (Parzelle) des menschlichen Körpers berechnet, in welchem Masse diese Parzelle den sie durchquerenden Röntgenstrahl abschwächt. Aus dem Mass der Abschwächung kann der Gewebetyp bestimmt werden. Das Problem lautet, die Abschwächung der eingesetzten Strahlung für eine einzelne durchstrahlte Gewebeparzelle mit mathematischen Methoden aus Messwerten zurückzurechnen, die sich nicht auf eine einzelne Parzelle beziehen, sondern stets nur auf eine grosse Anzahl von Parzellen gleichzeitig, mithin auf eine Summe von Abschwächungen. Die Durchführung der Messungen Eine Strahlenquelle sendet einen Röntgenstrahl aus. Er durchquert die gewählte Schicht des Körpers und tritt wieder aus dem Körper aus. Nun trifft er auf einen Strahlenempfänger. Dieser Empfänger misst, wie stark der Röntgenstrahl jetzt noch ist. In Wirklichkeit schickt der Apparat aber nicht nur einen Strahl, sondern eine ganze Reihe von parallelen Strahlen aus. Er misst für jeden Strahl, wie stark er abgeschwächt wird (siehe Bild). Das genügt aber noch nicht! Es müssen noch mehr Messungen gemacht werden. Deshalb wird der Apparat in kleinen Schritten gedreht. Jedesmal wird der Vorgang wiederholt: Viele parallele Strahlen werden durch die Schicht gesendet und gemessen. So kommt schliesslich eine sehr grosse Zahl von Messungen zustande.

21 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 20 Jede Messung kann in eine lineare Gleichung übersetzt werden. Das auftretende Gleichungssystem kann eine sehr grosse Zahl von Unbekannten enthalten. Aus der Lösung des Gleichungssystems kann schliesslich ein Bild der untersuchten Geweberegion gewonnen werden.

22 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 21 Lösungen der Aufgaben in der Lernumgebung Ein Rätsel in Gedichtsform Das Gleichungssystem x + y = 30 4x + 2y = 70 hat die Lösung x = 5, y = 25. Fünf Kröten und fünfundzwanzig Enten haben zusammen dreissig Köpfe und siebzig Beine. Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade Das Gleichungssystem m + q = 2 6m + q = 8 hat die Lösung m = 6 5 = 1.2 und q = 4 5 = 0.8. Der Graph der Funktionsgleichung f(x) = 1.2x geht durch die Punkte A(1 2) und B(6 8). Rechendreiecke Beim Rechendreieck berechnen sich die drei gesuchten Zahlen x, y, z aus dem gegebenen Zahlen a, b, c durch x = a b + c 2 ; y = a + b c 2 ; z = a + b + c 2. Es wird später erklärt, wie die Lösungen gefunden werden können.

23 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 22 Lösungen der Aufgaben im Arbeitsheft Lösungen zu Lösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme Lösungen zu Geometrische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen 1. x = 3 und y = 4 x = 1 und y = 2 x und y 0.808

24 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 23 x und y x = 1 und y = 2 2. Individuelle Lösungen

25 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 24 Lösungen zu Algebraische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen Das Gleichsetzungsverfahren Das Gleichungssystem ist gleichwertig zu x + 5y = 13 2x + 6y = 18 x + 5y = 13 x + 3y = 9 Auflösen der beiden Gleichungen nach x und Gleichsetzen liefert 13 5y = 9 3y mit der Lösung y = 2. Eingesetzt in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen führt zu x = 3. Die Lösung des Gleichungssystems lautet also x = 3, y = 2. Das Einsetzungsverfahren 4x 3y = 11 6y + 28 = 2x Die zweite Gleichung ist gleichwertig zu x = 3y Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt 4(3y + 14) 3y = 11 und diese Gleichung hat die Lösung y = 5 und daraus erhält man x = 3y + 14 = 1. Die Lösung des Gleichungssystems lautet x = 1, y = 5. Das Additionsverfahren 4x 3y = 1 5x + 6y = 50 Hier kann man die erste Gleichung mit 2 multiplizieren und danach die Gleichungen addieren. 8x 6y = 2 5x + 6y = 50 und daraus 13x = 52 oder x = 4. Einsetzen in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ergibt noch y = 5. Das Gleichungssystem hat die Lösung x = 4, y = 5.

26 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 25 Lösungen zu Grundaufgaben 1. (a) x = 7, y = 9 (b) x = 48 7 (c) x = (d) x = 4, y = , y = , y = Individuelle Lösungen 3. Zum Beispiel x + y = 10 x y = 4 Wer es sich noch einfacher machen will, nimmt x = 3 y = 7 x = 3 ist dabei die Abkürzung von 1 x + 0 y = Das Gleichungssystem hat die Lösung x = 1, y = 0.5. Das System hat die Lösung x = 4, y x 124y = x 250y = x 124y = x 250y = 123 Der Schnittpunkt der entsprechenden Geraden liegt beim ersten Gleichungssystem im ersten Quadranten, beim zweiten, ganz leicht abgeänderten System aber im dritten Quadraten. Die Erklärung: Wenn man die beiden Gleichungen graphisch darstellt, merkt man, dass die beiden entsprechenden Geraden fast zusammenfallen. So entsteht ein schleifender Schnitt. Eine winzige Änderung der einen Funktionsgleichung bewirkt eine grosse Verschiebung des Geradenschnittpunktes.

27 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 26 Lösungen zu Weitere Rätsel in Gedichtform 1. Setze x = Anzahl Gänse und y = Anzahl Schweine. Das Gleichungssystem lautet dann 2x + 4y = 70 y = x + 4 mit der Lösung x = 9, y = 13. Es gibt also 9 Gänse und 13 Schweine. 2. Setze x = Anzahl Käfer und y = Anzahl Spinnen. Man muss wissen, dass Käfer sechs Beine, spinnen aber acht Beine haben. Das Gleichungssystem lautet dann mit der Lösung x = 19, y = 12. Es gibt also 19 Käfer und 12 Spinnen. y = 12 6x 8y = 18 Bemerkung: Natürlich kann man diese Aufgabe auch mit nur einer einzigen Gleichung lösen. 3. Setze x = Anzahl Katzen und y = Anzahl Enten. Das Gleichungssystem lautet dann 4x + 2y = 40 x + y = 18 mit der Lösung x = 2, y = 16. Es gibt also 2 Katzen und 16 Enten.

28 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien Setze x = Anzahl Beine eines Tieres der ersten Art und y = Anzahl Beine eines Tieres der zweiten Art. Das Gleichungssystem lautet dann 20x 10y = 0 x y = ±4 Mit der Gleichung x y = 4 gibt es negative Zahlen. Also muss es wohl x y = 4 heissen. Die Lösung ist dann x = 4, y = 8. Die Tiere der ersten Art haben je 4 Beine, die der zweiten Art je 8 Beine. Alle Tiere zusammen haben 160 Beine.

29 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 28 Lösungen zu Textaufgaben 1. x: erste Zahl; y: zweite Zahl Gleichungssystem x + y = 5 x = 5 y Lösungen: x = 25 6 : ; y = 5 6. Die beiden Zahlen heissen 25 6 und x: Anzahl Zähne 1. Zahnrad; y: Anzahl Zähne 2. Zahnrad. x Gleichungssystem y x + 4 y + 4 = 7 11 = 2 3 Lösungen: x = 28: ; y = 44. Das eine Zahnrad hat 28 Zähne, das andere 44 Zähne. 3. Das Gleichungssystem lautet: x 3 + y 4 x 6 + y 7 = 1 5 = 1 8 Die Lösungen lauten: x = 9 20 und y = Die beiden Zahlen lauten 20 und Sei α der Winkel an der Spitze und β einer der Basiswinkel. Es gilt: α + 2β = Die Lösung lautet: α = 90 0 und β = α = 2β Das Dreieck ist rechtwinklig gleichschenklig! 5. a sei die untere, b die obere Seite des Trapezes (gemessen in cm). Es gilt: a + c 8 2 = 96 a + 6 = b Die Lösung lautet: a = 9 cm und b = 15 cm.

30 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien Wir bezeichnen mit x die Zehnerziffer, mit y die Einerziffer der Zahl. Es gilt: Die Lösung lautet: x = 6 und y = 3. Die ursprüngliche Zahl heisst 63. x = 2y 10x + y = 10y + x Wir bezeichnen mit x die Zehnerziffer, mit y die Einerziffer der Zahl. Es gilt: x + y = 15 x y = 3 = Die Lösung lautet: x = 9 und y = 6. Die gesuchte Zahl ist Die erste Zahl sei x, die zweite Zahl sei y. Es gilt: x + y = 25 x y = 7 Die Lösung lautet: x = 16 und y = 9. Die beiden Zahlen lauten 16 und Die erste Zahl sei x, die zweite Zahl sei y. Es gilt: 4x 3y = 18 3x + 10 = 14y Die Lösung lautet: x = 6 und y = 2. Die beiden Zahlen lauten 6 und x: abfliessende Wassermenge bei A in Liter pro Stunde; y: abfliessende Wassermenge bei B in Liter pro Stunde. Gleichungssystem 2x + 1.5y = Lösungen: x = 25800: ; y = x + 2y = Beim Abfluss A fliessen pro Minute Liter ab, bei Abfluss B Liter.

31 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 30 Lösungen zu Anwendungen 1. Wir setzen x = Anzahl Liter 5%ige Schwefelsäure, y = Anzahl Liter 40%ige Schwefelsäure. Das Gleichungssystem lautet dann Die Lösung lautet x 5.71, y x + y = x + 0.4y =.2(x + y) = 2 Es müssen etwa 5.71 Liter der 5%igen Schwefelsäure mit 4.29 Liter der 40%igen Schwefelsäure gemischt werden. 2. (a) Der Ansatz y = mx + q und Einsetzen der Wertepaare führt zum System 32 = q 212 = 100m + q mit der Lösung m =, q = 32. Die Funktionsgleichung der Umrechnung lautet y = 1.8x Dabei bedeutet x die Temperatur in Grad Celsius, y die Temperatur in Grad Fahrenheit. (b) = Grad Celsius entsprechen 98.6 Grad Fahrenheit. (c) 0 = 1.8x + 32 liefert x = Grad Fahrenheit entsprechen genau 0 Grad Celsius. (d) Die Forderung x = y führt zu x = 1.8x Diese Gleichung hat die Lösung x = y = 40. Die Temperatur 40 Grad wird in beiden Skalen gleich angegeben. 3. (a) Der Ansatz f(x) = mx + q führt zum Gleichungssystem 6 = 30m + q 1 = q Die Lösung ist m = 1 6, q = 1. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 1 6 x + 1. (b) = 9 2 = 4.5 Für 21 Punkte gibt es die Note 4.5. (c) 4 = 1 6x + 1 hat die Lösung x = 18. Für 18 Punkte gibt es die Note 4.

32 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 31 Lösungen zu Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen 1. (a) Zum Beispiel x + y = 4 x + y = 3 (b) Zum Beispiel x + y = 3 2x + 2y = 6

33 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 32 Lösungen zu Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten 1. x = 19 2 ; y = 7 2 ; z = x = ; y = 13 3 ; z = x = ; y = 1 3 ; z = Wir setzen x = Alter des Vaters, y = Alter der Mutter, z = Alter der Tochter. Das Gleichungssystem lautet dann x + y + z = 100 x 5 = 9(z 5) x z 10 = y z Die erste Gleichung spiegelt die Situation heute (am Geburtstag der Tochter) wieder. Die zweite Gleichung stellt die Situation vor 5 Jahren dar und die dritte Gleichung bezieht sich auf den Zeitpunkt der Geburt der Tochter (der Vater war damals x z Jahre alt). Die Lösung des Gleichungssystems lautet x = 50, y = 40, z = 10. Der Vater ist 50 Jahre alt, die Mutter 40 Jahre und die Tochter 10 Jahre. Bemerkung: Der Altersunterschied von 10 Jahren zwischen Vater und Mutter ist natürlich immer gleich. Man kann in der dritten Gleichung z einfach weglassen und die Gleichung x 10 = y nehmen. 5. Winkel α < β < γ. Lösung: α = 45 o, β = 60 o, γ = 75 o. Gleichungssystem γ 15 = β β 15 = α α + β + γ = Wir bezeichnen mit l, b und h die Länge, Breite resp. Höhe des Quaders. Es gilt: l 2 + b 2 = 9 2 = 81 l 2 + h 2 = 8 2 = 64 b 2 + h 2 = 7 2 = 49

34 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 33 Subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten, bekommen wir b 2 h 2 = = 17 Addieren wir dazu die zweite Gleichung, bekommen wir 2b 2 = = 66 und daraus b 2 = 33. Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen liefert h 2 = 16 und l 2 = 48. Daraus ergibt sich l = 48, b = 33 und h = 16 = x: Anzahl Berg- und Talfahrten; y: Anzahl Bergfahrten (allein); z: Anzahl Talfahrten (allein). Lösung: x = 460, y = 220 und z = x y + 15z = x + y = 680 x + z = 520 Es wurden folgende Billete verkauft: 460 Berg- und Talfahrten; 220 Bergfahrten (allein) und 60 Talfahrten (allein).

35 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 34 Kommentare Das vorliegende Unterrichtsmaterial umfasst zwei Seiten Lernumgebung und 19 Seiten Arbeitsheft. Das Thema Lineare Gleichungssysteme kann sowohl im Klassenverband wie auch im Selbststudium bearbeitet werden. Wichtiger Hinweis: Es ist nicht die Meinung, das vorliegende Unterrichtsmaterial vollständig und in der angegebenen Reihenfolge durchzuarbeiten. Vielmehr ist eine sinnvolle Auswahl aus den vorgegebenen Kapiteln zu treffen. Kommentare zur Lernumgebung Die Lernumgebung stellt typische Beispiele vor, bei denen lineare Gleichungssysteme vorkommen: Ein Rätsel, eine Anwendung Im Zusammenhang mit linearen Funktionen, eine Aufgabe zu Rechendreiecken, einem Aufgabenformat, dass sich durch alle Zahlenbücher zieht und auch im mathbu.ch immer wieder vorkommt. Abschliessend werden drei Mathematiker vorgestellt, die sich im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen verdient gemacht haben. Kommentare zum Arbeitsheft Lösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme Geometrische Interpretation von 2x2-Gleichungssystemem Eine lineare Gleichung in x und y stellt eine Gerade dar. Bei zwei solchen Gleichungen ist der Schnittpunkt der Geraden (resp.dessen Koordinaten) die Lösung des Gleichungssystems. Algebraische Verfahren: Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren Hier werden algebraische Lösungsverfahren erklärt. Mindestziel ist das sichere Beherrschen mindestens eines der Verfahren. Das Additionsverfahren hat den Vorteil, dass Brüche erst ganz am Schluss des Lösungsprozesses auftreten. Das vermindert die Gefahr von Fehlers doch oft erheblich. Grundaufgaben Wir gehen davon aus, dass das Lösen von 2x2-Gleichungssystemen von allen Schülerinnen und Schülern sicher beherrscht werden sollte, bei ganzzahligen Koeffizienten auch ohne Taschenrechner. Es gibt unzählige abwechslungsreiche Übungsformen: Die Sch erfinden selber Aufgaben, die Sch stellen sich gegenseitig Aufgaben. Auch Umkehraufgaben ( Finde ein Gleichungssystem mit vorgegebenen Lösungen ) sind wichtig.

36 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 35 Weitere Rätsel in Gedichtform Diese Rätsel können, zusammen mit dem Beispiel in der Lernumgebung, auch als Einstieg ins Thema verwendet werden. Die Lösungen der Rätsel können auch ohne Kenntnis der allgemeinen Lösungsverfahren gefunden und später algebraisch überprüft werden. Textaufgaben In praktisch allen Schulbüchern finden sich unzählige weitere Aufgaben. Anwendungen In diesem kurzen Kapitel sind drei Anwendungen aufgeführt. Es geht bei einer Aufgabe um Mischungsrechnung, bei den beiden andern Aufgaben um lineare Funktionen. In beiden Zusammenhängen tauchen lineare Gleichungssysteme auf. Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen Die Tatsache, das lineare Gleichungssysteme nicht in jedem Fall eine eindeutige Lösung haben, lässt sich geometrisch deuten. Bei 2x2-Gleichungssystemen stellen die beiden Gleichungen Geraden in der Ebene dar. Sind die beiden Geraden parallel, dann gibt es offensichtlich keinen Schnittpunkt und daher auch keine Lösung für das System. Fallen die beiden Geraden zusammen, dann gibt es unendlich vielen Lösungen. Analaoge Aussagen gelten für 3x3-Gleichungssysteme: Jede Gleichung lässt sich als Ebene im Raum deuten. Im allgemeinen Fall schneiden sich die drei Ebenen in einem Punkt, dessen Koordinaten wieder die Lösung des Gleichungssystems angeben. Bei speziellen Lagen dieser Ebenen (parallel, zusammenfallend) sind aber auch unendlich viele oder gar keine Lösungen möglich. Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Unbekannten Das Problem der Rechendreiecke, wie sie in allen Zahlenbüchern und auch im mathbu.ch vorkommen, lässt sich natürlich mittels eines 3x3-Gleichungssystems beschreiben und lösen (siehe LU). Daneben gibt es unzählige weitere Aufgaben, die sich in ein System mit mehreren Unbekannten und ebenso vielen Gleichungen übersetzen lassen. Die Cramer sche Regel In diesem Kapitel werden die Cramer schen Regeln erläutert, da sie doch für den Computereinsatz eine gewisse Bedeutung haben. Will man z.b. für das Lösen von Gleichungssystemen Excel einsetzen, wird man sicher die Ausdrücke, die Cramer gefunden hat, als Formeln eingeben. Wer will kann die Richtigkeit der Formeln mit Einsetzen beweisen. In diesem Kapitel gibt es keine Aufgaben. Ausblick: Computertomographie Als Abschluss wird auf eine wichtige Anwendung von Gleichungssystemen eingegangen. Um mit Tomographie ein Bild des Inneren des menschlichen Körpers zu erzeugen, müssen

37 Lineare Gleichungssysteme GU 9++ Zusatzmaterialien 36 in der Regel riesige lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Mit dem Eliminationsverfahren von Gauss können solche Systeme mit elektronischen Hilfsmitteln gelöst werden. In diesem Kapitel gibt es keine Aufgaben. Weitere Ideen: Mit lernstärkeren Schülerinnen und Schülern können Gleichungssysteme behandelt werden, bei denen die Zahl der Gleichungen nicht übereinstimmt mit der Zahl der Unbekannten. Weiter können diophantische Gleichungssysteme studiert werden. Bei einer diophantischen Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophant von Alexandrien, um n. Chr. ) interessiert man sich nur für ganzzahlige Lösungen. Beispiel für ein diophantisches Gleichungssystem von Adam Ries: Item, einer hat 100 Gulden. dafür will er 100 Haupt Vihes kauffen / nemlich / Ochsen / Schwein / Kälber / und Geissen / Kost ein Ochs 4 Gulden. ein Schwein anderthalb Gulden. ein Kalb einen halben Gulden. und ein Geiss ein ort [d.h. ein Viertel - die Autoren] von einem Gulden. wie viel sol er jeglicher haben für die 100 Gulden? Eine weitere Möglichkeit sind lineare Ungleichungssysteme oder das für realistische Anwendungen wichtige Gebiet der Linearen Programmierung (siehe auch Lineare Optimierung ). Weitere Quellen Wie für das Thema Quadratische Gleichungen gibt es auch für Lineare Gleichungssysteme ein Leitprogramm der ETH Z rich. (Abruf: ) Dann Link Unterrichtsmaterialien unter Arithmetik und Algebra Dana Bulaty und Hans Rudolf Schneebeli haben im Jahre 1995 Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen zusammengestellt, die besonders den Einsatz eines Computeralgebrasystems (CAS) berücksichtigen. Dazu gibt es einen 10-seitigen Kommentar für Lehrpersonen. Link: (Abruf: )