Automatisches Zeichnen von Graphen

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1 Automatisches Zeichnen von Graphen im Wintersemester 2015/16 - Prof. Dr. Michael Jünger - Universität zu Köln Institut für Informatik

2 Inhaltsverzeichnis 0 Einführung ( , ) 2 1 Zeichnen von Bäumen ( , ) 2 2 Hierarchisches Zeichnen ( , , , , ) 3 3 Kräftebasierte Verfahren ( ) 5 4 Effiziente Verfahren zum Zeichnen großer Graphen ( , ) 6 5 Planare Graphen ( , ) 7 6 Kanonische Ordnungen und die Mondshein-Sequenz ( ) 8 7 Große planare Subgraphen und Kreuzungsminimierung ( ) 10 8 Orth. Zeichnen: Knickminimierung für planare Graphen ( ) 11 9 Visualisierung von Datenstrukturen mit planaren Graphen ( ) Visualisierung von hierarchischen Daten und Graphen ( ) Rectangular and Mosaic Cartograms ( ) Algorithmen zur Realisierung von Polyedern ( ) Automatisiert U-Bahn-Linienpläne zeichnen ( ) Layer-Based Graph Drawing ( ) Testen von Planarität ( , ) 19 Mitschrift der Vorlesung von Dario Antweiler. Keine Garantie auf Richtigkeit oder Vollständigkeit. Lob, Kritik, Kommentare an dario.antweiler@gmail.com. Lizensiert unter (CC BY-SA 4.0). Stand 3. Februar Abbildung auf der Titelseite ist aus dem Graphen-Editor yed von yworks 1

3 0 Einführung Organisatorisches Webseite der Veranstaltung: automatisches-zeichnen-von-graphen/ ipad-spiel CrossingX ( Themenüberblick: Orthogonale Zeichnungen Planarisierungsverfahren Ersetze Kreuzungen durch künstliche Knoten Kräftebasierte Verfahren Cluster-Graph-Drawing Symmetrien/Gemeinsamkeiten Beispiele: UML, Storylines GDEA Archive ( OGDF: Glyphon ( 1 Zeichnen von Bäumen Definitionen Zeichnen von Binärbäumen Erster Versuch: Inordner-Traversierung Kritik: sehr breit, Väter nicht zentriert Ästhetik-Kriterien (A1) (A5) (A5) verhindert manchmal minimale Breite Algorithmus von Wetherall/Shannon Algorithmus von Reingold/Tilford Idee: Devide and Conquer mit postorder Berechnung der Konturen effizient durch zusätzliche Zeiger möglich Laufzeit O (n) RT erzielt nicht immer die minimale Breite Es gibt Binärbäume T, für die RT Zeichnungen mit Breite n+2 3 produziert, während die optimale Breite 2 ist Minimierung der Breite als LP Bestimmung der Mengen isomorpher Teilbäume Komplexität der Breitenminimierung Formalisierung der Restriktionen als LP Charakterisierung der Teilbäume durch in- und preorder Traversierung ( Beispiel) LP kann in polynomieller Zeit aufgestellt und gelöst werden Breitenminimierungsproblem (BMP) Existiert eine Zeichnung mit Breite W? Problem ist NP-vollständig ( Konstruktion) Erweiterung auf beliebigen Grad 2

4 2 Hierarchisches Zeichnen Sugiyama-Verfahren (1981) Directed Acyclic Graph (DAG) 3 verschiedene Phasen: Schichtzuweisung Kreuzungsminimierung Horizontale Koordinatenzuweisung Phase 1: Schichtzuweisung Partition in h disjunkte Klassen V = V 1 V h Für Kanten (u, v) E mit u V i und v V j gilt i < j h gibt die Höhe des Graphen an, max i V i die Breite Anforderungen: 1. Kompaktheit 2. Einfache Schichtung 3. wenige künstliche Knoten ( wichtig für spätere Phasen; wenige Knicke und kurze Kanten) Längster-Pfad-Schichtung Topologische Sortierung ( Beispiel) Multiprocessor Scheduling Problem (MSP) Coffman-Graham-Schichtung lexikografische Sortierung ( Beispiel) Satz: Für die CG-Schichtung gilt h ( 2 2 W ) hmin und ist für W = 2 optimal Minimierung der Anzahl künstlicher Knoen Modellierung als ganzzahliges LP Restriktionsmatrix ist vollständig unimodular, daher findet der Simplex-Algorithmus eine ganzzahlige Lösung Phase 2: Kreuzungsminimierung NP-vollständiges Problem in allgemeinen Graphen z.b. minimale Anzahl Kreuzungen offen für den K 13 für bipartite Graphen ebenfalls NP-vollständig Heuristik: Layer-by-Layer-Sweep Layer-by-Layer-Sweep 2-Schichten-Kreuzungs-Minimierungsproblem mit einer fixierten Schicht ( E2SKM1F ) einfacher Graph, Nordgrenze fixiert NP-Vollständigkeits-Beweis durch Reduktion auf das Feedback Arc Set (Chazelle/Edelsbrunner) 3

5 Experimentelle Laufzeitanalyse der Algorithmen zum Kreuzungszählen Heuristiken zur Kreuzungsminimierung Greedy-Insert Wähle Knoten, der mit Vorgängern wenigste Kreuzungen erzeugt analog zu SelectionSort Greedy-Switch Split Betrachte 2 benachbarte Knoten und vertausche, falls dies die Kreuzungen reduziert analog zu BubbleSort Pivot-Element wählen, dann rekursiv für linke bzw. rechte Teilmenge analog zu QuickSort Barycenter Berechne durchschnittliche Position der Nachbarn Median Wähle Position des mittleren Nachbarn Algorithmus produziert eine 3-Approximation der optimalen Lösung ( Beweis) Lineares Programm zur Kreuzungsminimierung Charakteristischer Vektor χπ 2 einer Permutation Ausschließen von verbotenen Kreisen Lineares Ordnungsproblem (LOP) LOP-Intermezzo Anwendungsbeispiel: Input/Output-Analyse (Leontief, 1973) Triangulation für Input/Output-Tabellen Anwendungsbeispiel: Bundesliga-Tabelle Lösungsverfahren Branch and Cut Triviale Relaxierung Löse LP ohne Nebenbedingungen und füge verletzte NB hinzu Falls Lösung nicht ganzzahlig, setze Wert einer Variablen fest & löse rekursiv Experimentelle Studien Laufzeitanalyse für Beispiel-Instanzen Barycenter-Heuristik in der Praxis empfehlenswert Kreuzungsminimierung auf p Schichten Quadratische Gleichungen statt linearer Ungleichungen möglich Quadratische Zielfunktion kann linearisiert werden, ist aber evtl. nicht sinnvoll Semidefinite Programmierung Faustregel: Dünne Graphen als LP lösen, dichte Graphen als SDP lösen 4

6 Phase 3: Horizontale Koordinatenzuweisung Spaghetti-Effekt vermeiden Parameter für die Wichtigkeit von Kanten ω (e), Ω (e) Lösung mittels IP/LP-Techniken Grundidee einfacher Heuristiken Prioritäten & Wunschpositionen Segmentierung langer Kanten, innere Segmente senkrecht Kombination von 4 Zeichnungen in O (n) Wie macht man einen Graphen azyklisch? Azyklische Subdigraphen Problem (ASP) NP-schwer Approximation in Linearzeit mit E a 1 2 E Branch & Cut (+ Spezialversion für dünne Graphen) Einfache Greedy-Heuristik Verbesserte Greedy-Heuristik in Linearzeit Satz: G zusammenhängend, ohne 2-Kreise, dann berechnet Heuristik Kantenmenge mit E a 1 2 E V 3 Kräftebasierte Verfahren Grundidee Knoten sind sich abstoßende Partikel, Kanten sind Federn Gesucht ist ein Zustand minimaler Energie intuitiv; leicht programmierbar für kleine bzw. dünne Graphen Kräftemodell F (v) = f uv + g uv, wobei f uv Kraft durch die Feder und g uv die elektrische Abstoßung der Teilchen modelliert 0-Energie-Länge und Steife der Federn gegeben Ästhetik-Kriterien Tendenz zur Ideallänge Knoten nicht zu nah zusammen indirekt auch Symmetrie Einfacher Algorithmus Variante von Tutte (1960) l uv 0, k uv 1, keine elektrischen Kräfte Problem: alle Knoten im Ursprung wäre Ideallösung Lösung: 3 Knoten festnageln Barycenter-Methode (jeder Knoten liegt im Schwerpunkt seiner Nachbarn) Satz: 3-zsmh. planarer Graph, ein Land festnageln, dann liefert die Barycenter-Methode eine planare Einbettung Problem: Schlechte Auflösung, großes Gitter nötig Simulation graphentheoretischer Distanzen durch Kräfte Magnetische Felder (Vorzugsrichtung) 5

7 Allgemeine Energie-Funktionen (Simulated Annealing) Nebenbedingungen Positionsbedingungen Feste Subgraphen Geometrisches Clustering 4 Effiziente Verfahren zum Zeichnen großer Graphen Gastvortrag von Dr. Martin Gronemann (Uni Köln) Spring Embeddor Lege Knoten zufällig in die Ebene Berechne den Kraftvektor und verschiede den Knoten in dessen Richtung ( ) Problem: Laufzeit O C V 2 + E ; große Graphen breiten sich langsam aus viele Iterationen nötig Die Gitter-Methode (Fruchterman & Reingold, 1991) Unterteile Zeichenfläche in Quadrate Berechne abstoßende Kräfte nur für Knoten aus benachbarten Gebieten Für konstante Anzahl Knoten pro Gebiet O (n); im Worst-Case O ( n 2) Problem: Vernachlässigung weitreichender Kräfte, obwohl entfernte Knoten ebenfalls wichtig sind Approximation der abstoßenden Kräfte Zusammenfassung der Knoten eines Gebietes im Schwerpunkt Berechne Kraftvektor für ein Paar A, B O (A + B) statt O (A B) Genauigkeit hängt von der Kompaktheit und dem Abstand der Mengen ab Quadtree Rekursive Partitionierung der Ebene in Quadrate, solange bis jede Zelle nur einen Knoten enthält leere Teilbäume löschen bzw. gar nicht erst generieren Innere Knoten mit einem Kind schrumpfen Daraus entsteht der komprimierte Quadtree mit linearer Größe in n Es gibt Algorithmen, die den komprimierten Quadtree in Zeit O (n log n) kostruieren Bottom-up Berechnung der Schwerpunkte & Massen in Linearzeit Well-seperated Pair Decomposition (Callahan & Kosaraju, 1995) Zwei Mengen A, B sind well-seperated für ein s > 0, wenn zwei Kreise mit Radius r um A bzw. B existieren, die mindestens rs Abstand voneinander haben Berechne well-seperated Quadtreezellen auch in höheren Dimensionen möglich Algorithmus von Har-Peled 2008 berechnet eine WSPD W der Größe O (n) in Zeit O (n) Beweisidee: Wir vergleichen nur Quadrate, deren Mittelpunkte relativ nah sind; binärer Aufrufbaum Approximation der abstoßenden Kräfte Berechne die Kraft E (A) durch die Summe der Kräfte auf die Eltern-Knoten (top-down) Vorgehensweise: Konstruiere Quadtree O (n log n) 6

8 Schwerpunkte berechnen (bottom-up) O (n) WSPD berechnen O (n) Externe Kräfte eines jeden Baumknoten A bzgl. aller (A, B) W berechnen O (n) Kräfte durch Top-Down-Traversierung akkumulieren O (n) Quadtree & WSPD benötigen beide O (n) Speicherplatz Speicherung der WSPD nicht nötig, wenn die Kräfteberechnung direkt im Algorithmus statt findet Insgesamt ergibt sich: O (n log n) Zeit, O (n) Speicherplatz Konstruktion des Quadtree kann schnell erfolgen, Bottleneck woanders Weiterführende Methoden & Anmerkungen Physikalische Anwendungen KD-Tree, Fair-Split-Tree statt Quadtree möglich bis jetzt: Approximation der Kräfte als Monopol-Methode Fast Multipole Methode Potentialfeld mit Kraftvektoren Komplexe Funktion mit p + 1 Koeffizienten Local Expansion Berechnung der Kräfte genauer, als komplexer Multilevel Verfahren zum Zeichnen von Graphen Idee: Berechne grobes Layout für groben Graphen Daumenregel: Anzahl Knoten mindestens halbieren, aber möglichst viele Knoten behalten Im Idealfall log V Multilevel Wenn log V im Vergleich zu log V zu klein ist, erhalten wir zu wenige Informationen über die Knoten in G Stefan Hachul: Sonnen-Planeten-Monde-Verfahren Tipps & Tricks Zerlege den Graphen in 3 Klassen von Knoten Berechnung der Klassen durch eine beschränkte Breitensuche Algorithmus: Markiere alle v als frei Solange ein v frei existiert, starte BFS (v) Kontrahiere Intra-System-Kanten Laufzeit der Vergröberung O ( V + E ) Benutzte Kräfte aus vorheriger Iteration Sortiere bei der Wahl der Sonnen die Knoten nach Grad Daumenregel für Spring Embeddor: Auf gröberen Graphen muss genauer gearbeitet werden 5 Planare Graphen Rätsel 1 von Henry Ernest Dudeney (Energieversorgung, K 3,3 ) Rätsel 2 von August Ferdinand Möbius (Königreich, K 5 ) Ein Graph heißt planar, wenn er kreuzungsfrei in die Ebene eingebettet werden kann Satz: K 3,3 und K 5 sind nicht planar. Aufspannende Kreise eines Graphen entsprechen geschlossenen Kurven in der Ebene Alle Kanten außerhalb des Kreises heißen Sehnen 7

9 Zwei Sehnen stehen in Konflikt, wenn ihre Endknoten im Kreis alternieren Stehen zwei Sehnen in Konflikt, muss eine im Inneren und eine im Äußeren gezeichnet werden Der K 3,3 besitzt 3 paarweise in Konflikt stehende Sehnen, also nicht planar; K 5 analog Eine Unterteilung eines Graphen entsteht durch eine Ersetzung von Kanten durch paarweise disjunkte Pfade Unterteilungen von K 3,3 und K 5 sind nicht planar Satz von Kuratowski: G ist planar G enthält keine Unterteilung des K 3,3 oder des K 5 als Subgraphen Jede kreuzungsfreie Zeichnung in eine planare Einbettung Für jede planare Einbettung sind die Knoten-Uhrzeigerlisten definiert: Für jeden Knoten werden die inzidenten Kanten im Uhrzeigersinn gelistet Normieren: Die Liste beginnt mit dem kleinsten Knotenindex Flächen-Uhrzeigerlisten analog Die Menger aller Einbettungen mit gleichen Knoten-/Flächen-Uhrzeigerlisten ist eine kombinatorische Einbettung Ein Graph ist genau dann in die Ebene planar einbettbar, wenn er auf die Kugeloberfläche planar einbettbar ist (stereografische Projektion) Die 3 zusammenhängenden planaren Graphen haben genau zwei kombinatorische Einbettungen (Spiegelung) Jeder planare Graph besitzt (bzgl. einer festen Einbettung) einen eindeutigen dualen planaren Graphen Demonstration der stereografischen Projektion Euler-Formel Satz: G einfach, planar E 3 V 6; für G zusätzlich dreiecksfrei gilt sogar E 2 V 4 Maximal planarer Graph Triangulation Satz: Für G einfach, planar ist äquivalent: E = 3 V 6 G ist Triangulation G ist maximal planar Platonische Körper Vorbereitung kanonische Ordnungen 6 Kanonische Ordnungen und die Mondshein-Sequenz Gastvortrag von Jun.-Prof. Dr. Jens M. Schmidt (TU Ilmenau) Gradlinige Zeichnungen Theorem: Jeder planare Graph hat eine gradlinige Zeichnung braucht evtl. exponentiellen Platz; Beweis impliziert keinen effizienten Algorithmus Theorem (de Fraysseix, Pach, Pollack, 1990): Ein (2n 4) (n 2)-Gitter reicht für eine gradlinige Zeichnung aus Schnyder, 1990: Ein (n 2) (n 2)-Gitter reicht aus 8

10 Wir triangulieren den Eingangsgraph und suchen eine Knotenreihenfolge Kanonische Ordnungen Totalordnung der Knoten 1,..., i 1 induzieren einen 2-zusammenhängenden Graphen für alle i = 3,..., n 1 Kante (1, 2) liegt auf der Außenfläche von G i 1 Nachbarn von i in G i 1 sind konsekutiv auf der Außenfläche von G i 1 Kanonische Ordnungen existieren für jeden maximal planaren Graphen G Shift-Algorithmus Invarianten: Knoten 1 liegt auf (0, 0), Knoten 2 liegt auf (2i 6, 0); x-koordinaten der Außenfläche sind monoton steigend Jede Kante außer (1, 2) hat Steigung ±1 Ohrendekomposition Charakterisierung der 2-zsmh. Graphen Erweiterung auf 3-Zusammenhang und nicht-planare Graphen Historie, 2 1-Sequenz nach Mondshein Anwendungen Test auf Planarität in Linearzeit Unabhängige Spannbäume 9

11 7 Große planare Subgraphen und Kreuzungsminimierung Große Planare Subgraphen Definition größter planarer Subgraph (MPS) MPS-Problem ist äquivalent zum Finden einer kleinsten Kantenmenge, sodass der Restgraph planar ist. Beide Probleme sind NP-schwer Maximaler planarer Subgraph; im Allgemeinen kleiner; kann in polynomieller Zeit berechnet werden Greedy-Algorithmus mit Laufzeit O ( E V ) Mit SPQR sogar in O ( E log V ) möglich Liefert 1 3 -Approximation, 4 9 ebenfalls möglich Lineares Optimierungsproblem unter Verwendung des Kuratowski-Theorems Branch-&Cut-Algorithmus optimiert über das Planare Subgraph Polytop Kreuzungsminimierung Definition Kreuzungszahl cr (G) Geschichte 1944: Turan beschreibt brick factory problem gegenüber Zarankiewicz; d.h. Kreuzungsminimierung des K m,n ; obere Schranke gefunden 1960: Zeichen-Regel von Hill & Guy mit oberer Schranke für K n 1983: Beweis der NP-Vollständigkeit des Problems der Kreuzungsminimierung von Garey & Johnson Vermutung cr (K m,n ) = Z (m, n); bewiesen für kleine m, n, offen für z.b. K 7,11, K 9,9 Anwendungen: VLSI-Design Automatisches Zeichnen von Graphen ILP-Ansatz Sei durch x ef {0, 1} gegeben, ob Kanten e, f sich schneiden Realisierbarkeit einer Zeichnung bei gegebenen Variablen-Werten ist NP-vollständig Idee: kreuzungbeschränkte Zeichnungen, d.h. pro Kante nur eine Kreuzung Aber: ist nicht umbedingt optimal; kann mehr als cr (G) Kreuzungen enthalten Lösung: Ersetze jede Kante durch Pfad der Länge E Problem: Hohe Anzahl Kanten, schlechte Performance ILP-Ansatz, 2. Versuch Unterteile Kante nur dann, falls mehr als eine Kreuzung nötig Realisierbarkeit in Linearzeit überprüfbar Kuratowski-Bedingungen C D,H Hewistischer Seperations-Algorithmus Test auf Planarität durch Anwendung des Boyer-Myrvold-Algoritmus Spaltengenerierung Test-Instanzen: Rome library of undirected graphs 10

12 8 Orth. Zeichnen: Knickminimierung für planare Graphen Gastvortrag von Prof. Dr. Petra Mutzel (TU Dortmund) Motivation Topology-Shape-Metrics-Verfahren (Tamassia, 1984) Das Entscheidungsproblem, ob ein Graph eine Zeichnung ohne Knicke besitzt ist NP-vollständig Für eine feste kombinatorische Einbettung ist eine Minimierung der Knickanzahl effizient möglich Netzwerk-Flüsse Wir wollen das Knickminimierungsproblem durch einen minimalen Kostenfluss modellieren Eine Orthogonale Repräsentation eines Graphen kann repräsentiert werden durch die Tupel (e r, s r, a r ), d.h. Kante e r, Binärcode der Knicke s r und Winkel zur nächsten Kante a r Anzahl der Knicke in Einbettung H ist b (H) = 1 2 f r f s r Die Eigenschaften (P 1) (P 4) charakterisieren genau die Graphen, die eine orthogonale Einbettung besitzen Bestimmung einer knickminimalen orthogonalen Repräsentation Transformation nach Tamassia in Netzwerk N Konstruiere N folgendermaßen: Für jeden Knoten und jede Region gibt es einen Knoten Verbinde jeden Knoten mit jeder Region, an der er liegt mit einer Kante a mit Kosten 0 und Kapazitäten l a = 1, u a = 4 Verbinde je zwei Knoten, welche Regionen repräsentieren, die eine Kante teilen durch eine Kante a mit Kosten 1 und Kapazitäten l a = 0, u a = Korrektheit der Transformation Längenberechnung Normalisierte orthogonale Repräsentation Kompaktierung Erweiterungen Kandindsky-Modell 11

13 9 Visualisierung von Datenstrukturen mit planaren Graphen Gastvortrag von Prof. Dr. Franz J. Brandenburg, Universität Passau Einführung Motivation, Nutzen, Ziele Datenstrukturen Grundlegende Operationen: insert, remove, search, isempty binäre Suchbäume Reingold-Tilford (rekursiv, botton-up, Linearzeit, Symmetrie, Subgraph-Isomorphie) Aber: Breiteminimierung NP-vollständig Lineare Datenstrukturen Arrays, Listen Stack (Keller) LIFO-Prinzip Charakterisierung durch Gleichung: pop (push (S)) = S Anwendung: Tiefensuche, korrekte Klammerung, Traversieren von Bäumen, postfix-notation Visualisierung durch Stack-Graphen lineare Graph Layouts Definition Book Embeddings, book-thickness 1-Stack Theorem: book-thickness (G) = 1 G hat ein 1-Stack-Layout G ist aufsp. Subgraph eines außenplanaren Graphen Theorem: Außenplanarität kann in O (n) getestet werden 2-Stack Theorem: book-thickness (G) = 2 G hat ein 2-Stack-Layout G ist aufsp. Subgraph eines planaren Graphen mit Hamiltonkreis Goldner-Harary-Graph Theorem: Ist G planar mit Hamiltonkreis? NP-vollständig k-stack-graphen 3-Stack-Graphen aligned bar 1-visibility Graphen Queue (Warteschlange) FIFO-Prinzip Visualisierung durch Klammerung Oberflächen versch. Genus Planarität Deque-Graphen, linear zylindrische, Fundamentalpolygon Theorem: G Deque-Graph G ist linear zylindrisch G ist aufsp. Subgraph eines plan. Graphen mit Hamilton-Pfad Queue-Graphen, Queue-Layouts Arch Leveled planar Graph, Duale Graphen k-queue-graphen, splittable Dequeue Anwendungen: Koppeln von ICE-Zügen, Turingmaschinen Hermits 12

14 10 Visualisierung von hierarchischen Daten und Graphen Gastvortrag von Dr. Martin Gronemann Treemaps Beispiele: Dateisysteme, US-Haushaltsplan gewichtete Bäume (gewurzelter Baum + ordentliche Gewichte) Unterteile Rechteck nach Gewicht der Kinder Rahmenalgorithmus Seitenverhältnis zu optimieren ist NP-schwer Squarified Treemaps packe entlang der kürzesten Seite rekursiv wenn Seitenverhältnis schlecher wird, packe auf den Rest Es reicht, das erste und letzte Segment zu betrachten Linearzeit Konvexe Polygone Eingabe: obda Binärbaum Seitenverhältnis asp = diam(p )2 area(p ) Suche Schnittebene, 3 Regeln für gute Schnitte Durchmesser kann in Linearzeit berechnet werden Insgesamt Laufzeit O ( n 2) Anzahl Ecken hängt von der Tiefe ab ( Kreis schnitzen ) Jigsaw Treemaps Space Filling Curves, Hilbert-Kurve, Gosper-Kurve Linearisierung Lokalität, Seitenverhältnis konstant Problem: Ganzzahligkeit, viele Eckpunkte Exkurs: Ortho-Konvexe-Treemaps Voronoi Treemaps Partitionierung mittels Centroid Voronoi Tesselation Punkte = Generatoren andere Distanz-Metriken möglich Beispiel: US-Verbraucherpreisindex 07/08 NYT Visualisierung als Landkarte Cluster-Graphen Graph + Baum Edge-Router Delauney-Triangulierung Laufzeit O ( V 2 log V ) Webseite: treevis.net Exkurs: Eingebettete Systeme 13

15 11 Rectangular and Mosaic Cartograms Gastvortrag von Bettina Speckmann (TU Eindhoven) Einführung Beispiele für Kartogramme: Chloropleth Karte Kartogramm-Typen: Stetige Flächenkartogramme Unstetige Flächenkartogramme Dorling-Kartogramme Rectangular-Kartogramme Mosaik-Kartogramme Anwendungsbeispiele: American Election 2012, British TV in 2010, Weltbevölkerung Historie: eingeführt durch Raisz (1934) Rectangular Cartograms Harte Anforderungen: Korrekte Adjazenzen Korrekte Flächen Weiche Anforderungen: ungefähre Position korrekt Seitenverhältnis begrenzen Planare Graphen können korrekt durch benachbarte Rechtecke dargestellt werden; sogar mit korrekter Fläche Problemstellung: gegeben: Ein planarer, triangulierter Graph G mit positiven Gewichten an jedem Knoten gesucht: Eine Partition eines Rechtecks, sodass die Partition dual zu G ist und die Flächen genau den Gewichten entsprechen Theorem: Ein planarer Graph G hat ein rectangular dual mit 4 Rechtecken auf der Außenfläche genau dann, wenn jede innere Fläche ein Dreieck, die Außenfläche ein Viereck ist und es keine trennenden Dreiecke gibt So einen Graph nennt man irreduzible Triangulierung Ein rectangular dual ist i.a. nicht eindeutig; mit geg. relativen Position aber schon Das Resultat heißt dann rectangular layout Problem: In echt gibt es trennende Dreiecke und Knoten mit Grad 1 oder 2 Konstruiere face graph mit Orientierungen der Kanten (WE, EW, NS, SN); geht in O (n) So ein Graph ist realisierbar, wenn die Orientierungen im Uhrzeigersinn passen Regular Edge Labeling (REL) REL einer irreduziblen Triangulierung ist eine Partition der inneren Kanten in rot und blau Füge Knoten N,S,W,E und für Wassermassen hinzu Die Menge der REL bilden einen distributiven Verband Rectangular Layout mit korrekten Flächen existiert nicht immer, aber wenn dann eindeutig Lösungsansätze: RELs zählen 1. Alle Layouts ausprobieren (zwischen 3.04 n und 4.68 n ) 2. probiere gute Layouts, z.b. sliceable, one-sided oder rectiliniear 3. andere Formena ausprobieren 4. kleine Fehler in Größe und Adjazenz tolerieren Untere Schranke 14

16 Obere Schranke Area-Universal Rectangular Layouts Area-Universal Layouts One-sided Layouts Äquivalente Layouts Order-equivalent Layouts Rektilinieare Kartogramme Gegeben eine Karte M und eine Gewichtsfunktion auf den Flächen 1. Konstruiere reactangular dual M 1 von M 2. Konstruiere BSP von M 1 3. Korrigiere die Flächen 4. Korrigiere die Adjazenzen 5. Korrigiere die Flächen erneut Beim Konstruieren des dualen Graphen trennende Dreiecke und Knoten mit Grad 2 durch Knotenverdoppelung entfernen RELs für Rectangular Kartogramme optimieren Qualitätskriterien: Relative Position, kartografischer Fehler 15

17 12 Algorithmen zur Realisierung von Polyedern Gastvortrag von Prof. Dr. André Schulz (Fernuni Hagen) Was sind Polyeder? Konvexe Hülle bzw. Schnitt von Halbräumen; immer konvex Struktur von Polyedern Ecken, Kanten, Flächen Charakterisierung durch face-lattive (Kombinatorische Struktur) Graphen von Polyedern Graph beschreibt komb. Struktur (Whitney 33) Satz von Steinitz (1916): Graphen von Polyedern sind genau die planaren 3-zsmh. Graphen Realisierung von Polyedern Geg.: Planarer 3-zsmh. Graph; ges.: geometrische Realisierung als Polyeder Gewünschte Eigenschaften: kompakt, ganzzahlige Koordinaten Motivation & Anwendungen Polyeder haben zentrale Bedeutung in der lin. & komb. Optimeriung kleines Gitter ergibt schöne Visualisierung kompakte Realisierung erlaubt effiziente Weiterverarbeitung Realisierung von Polyedern auf dem exponentiellen Gitter Der Lifting-Ansatz Zeiche Graphen in die Ebene und weise dann Höhen zu Problem: Konvexität Def. Gleichgewichtsstress (Aufhebung aller Kräfte im Spring Embedder) Maxwell-Cremona-Korrespondenz: Gleichgewichtsstresse räumliche Liftings, Vorzeichen von ω ij Krümmung entlang (i, j) in 3D Rechnen mit Vektoren Berechnung eines Liftings (inkrementell; unabh. von der Reihenfolge) Beweis der Konsistenz Baryzentrische Einbettungen Algorithmus Gleichungssystem hat eindeutige Lösung ohne Kreuzungen (Tutte 63) Substitution durch vollst. Graphen Laplace-Matrix Lokalisierung der äußeren Fläche Algorithmus zur Einbettung in O ( n 1.163) mit Nested Dissections Gittergröße durch Anz. Spannbäume abschätzen Zählen von Spannbäumen Ausgrad 1-Orientierungen Satz: G planar enthält max. O (5.285 n ) Spannbäume Zusammenfassung Ergebnis: Polyeder können auf Gitter der Größe O (167 n ) realisiert werden; Mindestgröße Ω ( n 3/2) weitere Resultate 16

18 13 Automatisiert U-Bahn-Linienpläne zeichnen Gastvortrag von Prof. Dr. Alexander Wolff (Uni Würzburg) Modellierung Was ist eine Metro-Map? Schematische Darstellung vom ÖPNV Linien und Stationen visualisieren Ziel: Einfache Navigation verzerrt Geometrie für erhöhte Nutzbarkeit Definition Metro Map Problem Harte Bedingungen: Einbettung erhalten Oktiliniearität Mindestabstände einhalten Weiche Bedingungen: wenige Knicke kleine Gesamtkantenlänge relative Position erhalten Geschichte Berlin 1931, London 1927, 1931 (Henry C. Beck), Tube Map MIP Formulierung & Experimente MIP Formulierung Theorem: Das Problem MetroMapLayout kann als Mixed Integer Program geschrieben werden Harte Bedingungen lineare Restriktionen, Weiche Bedingungen Zielfunktion Oktilinearität ( & Relative Position kann durch Sektoren + binäre Variablen erreicht werden O V 2) Restriktionen & Variablen Experimente Beispiele: Wien, Sydney Planarität erzeugt extrem viele Restriktionen & Variablen; kann heuristisch reduziert werden Labeling Idee: Labels pro Abschnitt als Parallelogram; Labels sind selbst eine Metro-Linie Problem: Extrem viele Planaritäts-Bedingungen Lösung: Ohne Planarität lösen; dann Warmstart mit hinzugefügten Restriktionen, die verletzt wurden Zusammenfassung RectiliniearGraphDrawing Decision Problem Theorem (Tamassia): Problem kann effizient durch MinCostFlow-Modellierung gelöst werden Theorem: MetroMapLayout dagegen ist NP-schwer Beweis per Reduktion auf 3-SAT ToDo: Rechteckige Stationen, Multi-Kanten 17

19 14 Layer-Based Graph Drawing Gastvortrag von Ulf Rüegg (Uni Kiel) Graphical Modelling Beispiele für Embedded Systems: Modelleisenbahnen, Motorsteuerung, Textual DSLs Software: Kieler Ptolemy Browser, ETAS EHandbook Automatisches Layout Dataflow Diagram Anforderungen: Orthogonale Kanten, Hierarchie, Labels, Kommentare, Ports, Hyperkanten,... Ansätze: Kräfte-basiert, Orthogonal, Layer-basiert Layer-basiertes Layout Ablauf: Probleme 1. Cycle Removal: Greedy (Eades et al. 93) 2. Layer Assigment: Longest Path, Network Simplex 3. Crossing Minimization: Layer-Sweep & Barycenter-Heuristik 4. Node Placement: Network-Simplex & Sequences, Blocks 5. Edge Routing: Splines, Polylines, Orthogonal Hierarchie Bottom-up Layout; Cluster erzeugen evtl. Kreuzungen Port Contraints Free FixedSide FixedOrdner FixedPos Nord/Süd Ports Labels Knoten-, Port- & Kantenlabel Bounding Box Knotengröße Seitenverhältnisse zu viel Whitespace Orthogonale Hyperkanten Anzahl Kreuzungen schwierig zu zählen & zu Beginn abzuschätzen Schleifen Zusammenfassung zum KLay Layered mit ca. 40 Zwischenprozessen Hohe Anforderungen: wartbar, verständlich, erweiterbar, anpassbar, konfigurierbar, schnell Lösungsansätze Port Restriktionen als geeignete Zwischenschritte zu unterschiedlichen Zeitpunkten Horizontale Kompaktierung Große Knoten aufsplitten; Knoten-Kanten-Kreuzungen vermeiden Label-Position im Knoten wichtig Eindimensionale Kompaktierung von rechts mit dem Hammer Aspect Ratio-Aware Layering Verhältnis zwischen Dummy-Knoten und umgedrehten Kanten variieren Directed Layering vs. Generalized Layering ELK: Eclipse Layout Kernel ToDo: Zielfunktion sollte Dummy-Knoten, Rückwärtskanten, Höhe, Breite, Seitenverhältnis & Knotengröße berücksichtigen 18

20 15 Testen von Planarität Gastvortrag von Prof. Dr. Markus Chimani (Uni Osnabrück) Grundbegriffe Theorem: Knotenpositionen sind für plan. Einbettung beliebig Theorem: Gradlinige plan. Einbettung ist immer möglich Kombinatorische vs. planare Einbettungen Knoten-/Flächenuhrzeigerlisten Planarität erkennen Nicht-planare Graphen: K 3,3, K 5 Definition Subdivisions, Minoren Theorem von Kuratowski: G nicht planar G enthält K 3,3 oder K 5 als Subdivision Theorem von Wagner: G nicht planar G enthält K 3,3 oder K 5 als Minor 2-zusammenhängende ZHK können einzeln betrachtet werden Euler-Formel n m + f = 2 m 3n 6 Geschichte der Planaritätstests wir betrachten jetzt den von Boyer-Myrvold Idee des Algorithmus 1. Durchmustere G mit Tiefensuche (DFS) 2. Füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge hinzu (Vertex Addition) 3. Wenn wir in jedem Schritt alle Backedges hinzufügen können, ist der G planar Verwalten der Bicomps (2-ZHK) in extra Baum Alle Schnittknoten verdoppeln und Bicomps einzeln betrachten Beobachtung: Bicomp mit Wurzel v enthält nie mehr als ein DFS-Kind von v Kategorisiere in jedem Schritt Knoten nach Pertinenz bzw. Externalität Einfügen der Backedges: Eventuell Bicomp flippen! Unmögliches Einfügen G ist nicht planar (Korrektheit später) Einfügelemma Reihenfolge der Backedges: Top-down & nicht-externe Bicomps zuerst betrachten Beispiele Gültigkeit des Algorithmus Terminiert der Algorithmus mit einer planaren Einbettung, so ist der Graph offenbar planar Lemma: Wenn der Algorithmus keine Einbettung liefert, dann ist der Graph nicht planar Betrachte die Stop-Konfigurationen, die eine Einbettung einer Backedge verhindern Definition: versperrender xy-weg wenn ein solcher Weg existiert, dann enthält der Graph einen K 3,3 oder K 5 als Subdivision Laufzeitanalyse amortisierte Analyse algorithmische Schritte: 1. Erkennen von externen Knoten 2. Erkennen von pertinenten Knoten 3. Stop-Konfigurationen erkennen ( Short Circuit Edges) 4. Flippen von Bicomps Wie geht das in Linearzeit? 19

21 Erkennung externer Knoten Berechne für jeden Knoten lowpoint (v) während der DFS O (n) konstruiere für Cutknoten seperateddfschildlist Liste unverschmolzener Kinder sortiert nach lowpoints durch Bucketsort O (n) Implementierung durch doppelt-ringverkettete Liste; daher ist Löschen in konstanter Zeit möglich O (1) Flippen von Bicomps Problem: Spiegeln einer Bicomp benötigt O (n); evtl. aber zu oft nötig Lösung: Wir speichern im Schnittknoten die Liesrichtung in einem Bit Pertinenz & Kanten einfügen Beobachtung: Teilbäume sind beim Einfügen von Backedges voneinander unabhängig Aufteilung in die Phasen Walk-Up und Walk-Down Beobachtung: Ein planarer Graph hat linear viele Regionen; jede Kante ist an 1-2 beteiligt Ablaufen der Innenseiten linear beschränkt Walk-Up Für jede Backedge (w, v i ) starte in w und laufe nach oben speichere in jedem Knoten u: boolean: backedge; Startet hier eine Backedge? int: visited; Wurde der Knoten bereits in der aktuellen Iteration besucht? (Wir sparen uns eine Re-Initialisierung von booleans, in dem wir die letzte Iteration abspeichern) List: pertinentroots; Liste der an u hängenden pert. Bicomps (Füge externe Bicomps hinten an) Problem: Wie laufe ich nach oben? Lösung: Gleichzeitig links und rechts höchstens 2 dist viele Schritte O (n) Walk-Down Für jeden Teilbaum von v i : Laufe an beiden Seiten der markierten Bicomps entlang backedge (w)? Ja Einbetten & Verschmelzen; Nein weiter Nach dem Walk-Down: Prüfe die Anzahl eingebetteter Kanten; bei Abweichung ist der Graph nicht planar Problem: Wir können nicht an beiden Seiten entlang laufen exponentiell viele Mögl. Lösung: Short-Circuit-Edges zur Überbrückung von uninteressanten Knoten O (n) viele Hilfskanten Insgesamt: Laufzeit O (n) 20

22 Literaturverzeichnis Giuseppe Di Battista, Peter Eades, Roberto Tamassia, Ioannis G. Tollis, Graph Drawing - Algorithms for the Visualization of Graphs, Prentice Hall, 1999, ISBN Michael Kaufmann, Dorothea Wagner (Hrsg.), Drawing Graphs - Methods and Models, Lecture Notes in Computer Science 2025, Springer Verlag, 2001, ISBN Michael Jünger, Petra Mutzel (Hrsg.), Graph Drawing Software, Springer Verlag, 2004, ISBN Roberto Tamassia (Hrsg.), Handbook of Graph Drawing and Visualization, CRC Press, 2014, ISBN