TECHNISCHE MECHANIK. Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp Dr. Bernd Schäfer

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1 TECHNISCHE MECHANIK Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp Dr. Bernd Schäfer achhochschule München akultät 06 - einwerk- und Mikrotechnik / Physikalische Technik Version 2.03

2 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.2 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K 06 Das vorliegende Manuskript wurde als Hilfsmittel für die Vorlesung Technische Mechanik erstellt. Eine auch auszugsweise Wiedergabe oder Veröffentlichung bedarf der Genehmigung der Verfasser. All copyrights are preserved. München, September 2006 Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer, Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp, Dr. Bernd Schäfer Inhaltsübersicht Technische Mechanik Teil I Statik starrer Körper Stereostatik Teil II Statik elastischer Körper Elastostatik Teil III Kinematik und Kinetik starrer Körper

3 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.3 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K 06 Inhalt Rechenregeln... 5 Verwendete Literatur... 9 Häufig verwendete Buchstaben...9 Teil I: Statik starrer Körper Stereostatik Einführung Kraft und starrer Körper Linienflüchtigkeit einer Kraft Gleichgewichtsaiom Addition/Subtraktion von Gleichgewichtsgruppen Erstarrungsprinzip Schnittprinzip Reaktionsprinzip (3. Newtonsches Gesetz) System von Körpern Arbeiten mit Kräften reischneiden von Kräften Einteilung von Kräften Kräfteparallelogramm Kräfte und Gleichgewicht am Punkt Zusammensetzen von Kräften am Punkt Gleichgewicht am Punkt Zerlegen von Kräften Zusammenfassen von Kräftesystemen Resultierende eines ebenen Kräftesystems Zusammenfassen paralleler Kräfte Kräftepaar Das Moment Das Moment einer Kraft bezüglich Punkt P Berechnung des Moments Resultierendes Moment Statisches Gleichgewicht von Köpern Erweitertes Äquivalenzprinzip Allgemeines Gleichgewichtsaiom Lager und reiheitsgrade starrer Körper Definitionen reiheitsgrade des starren Körpers mit Lagerungen Lagerungen in der Ebene (b=3) Räumliche Lager (b=6) Gelenke mit Reibung:... 39

4 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.4 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Ermittlung der Auflagerreaktionen Gleichgewicht von Mehrkörpersystemen Schwerpunkt und Massenmittelpunkt Statische Momente Massenmittelpunkt Reibungsprobleme Prinzip Reibungswinkel Lösen von Reibungsaufgaben Prinzip der virtuellen Verschiebung Innere Kräfte und Momente in Bauteilen Allgemeines Innere Kräfte und Momente am Balken Ausgewählte Lastfälle Balken mit Einzellast Balken mit fester Einspannung und Einzelkraft Balken mit mehreren Einzellasten Gerader Balken in der Ebene mit Streckenlasten Gerader Balken in der Ebene mit Streckenlasten Balken mit konstanter Streckenlast Zusammenhang zwischen Streckenlast, Querkraft und Biegemoment Superpositionsprinzip Ebener Rahmen mit Verzweigung... 70

5 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.5 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K 06 Rechenregeln 1. Allgemein: Skalare beliebige Buchstaben einschließlich griechische Buchstaben, z.b. a, b, P, i, α, β, γ, λ Indizes mit kleinen Buchstaben, z.b. i, j, k, l Matrizen und Vektoren sind elder mit Skalare. Ein Vektor ist die Spalte einer Matri. unabhängig vom speziellen Vektorraum und unabhängig von einer speziellen Basis Vektoren sind Kleinbuchstaben, im Manuskript ettdruck, z. B. (1) = ( i ), i = 1, 2, 3,..., n), ( i ), i = 1, 2, 3,..., n) beim Handschreiben (an der Tafel) wird der Buchstabe unterstrichen z.b. = ( i ), Vektornorm (2) = n 2 Matrizen sind Großbuchstaben im Manuskript ettdruck z.b. (3) M = (M ij ), i = 1, 2, 3,..., n; j = 1, 2, 3,..., m beim Handschreiben (an der Tafel) wird der Buchstabe doppelt unterstrichen M = (M ij ). 2. "Physikalische Vektoren" im Raum 2 R oder 3 R unabhängig von einer speziellen Basis Vektoren mit Klein- oder Großbuchstaben, mit Pfeil oben, z.b. v, Betrag oder Länge eines Vektors, z. B. (4a) v = v ; = ; Richtung eines Vektors, z. B. Richtungsvektor e v mit e v = 1: v (4b) e v = v = v e v v 3. Darstellung eines Vektors im Koordinatensystem mit den Basisvektoren e 1, e 2, e 3 (3D oder 2D), wo e i ] = 1, z.b. (5) wo und v = e 1 v 1 + e 2 v 2 + e 3 v 3 e T v = v T e v 1 v = ()= v i v 2, e = e 1 ()= e i e 2 v 3 v 1, v 2, v 3 sind die Koordinaten oder Komponenten des e 3 Vektors v. Speziell: kartesisches Rechtshandsystem (6) e i e j = δ ij bzw. e e T = E : also e i e i = 1 und e i e j = 0, i, j =1,2,3 (7) e i e j = ε ijk e k bzw. e 0 e 3 e 2 e T = e 3 0 e 1 e 2 = e 1 0 mit E die Einheitsmatri, ε ijk der Permutationstensor, ~ der Tilde-Operator für ε ijk e T

6 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.6 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Zuordnung Vektorrechnung und Matrizenrechnung Vektor- (Tensor-) Rechnung Vektor v Matrizenrechnung mit den Komponenten bez. Basisrichtungen e 1, e 2, e 3 v 1 v = ()= v i v 2, i =1, 2,3 Betrag (Länge) v = v v = v = v v v 3 2 Addition Subtraktion v = a + b = b + a v = a b = b + a Produkt Skalar mit Vektor v = λ a = λ a e a v 3 v = a + b = ( a i )+ b i v = a b = () a i b i v = λ a = ()+ a i b i ()= ()= ()= a 1 b 1 a 1 + b 1 a 2 + b 2 = a 2 + b 2 a 3 b 3 a 3 + b 3 a 1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 2 = a 2 b 2 a 3 b 3 a 3 b 3 λ a 1 e v1 λ a 2 = λ a e v2 λ a 3 e v3 Skalarprodukt µ = a b = b a µ = a T b = b T a = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = abcos ( a, b ) Kreuzprodukt v = a b = b a Beachte: v = v = absin ( a, b ) a a = 0 v = a b = b a (auch a A möglich) a 3 b 2 + a 2 b 3 0 a 3 a 2 = +a 3 b 1 a 1 b 3 wo a = a 3 0 a 1 a 2 b 1 + a 1 b 2 a 2 a 1 0 a a = 0, a T = a Berechnung über die Determinante: e1 e2 e3 a3b2 + a2b3 v = a1 a2 a3 = + a3b1 a1b3 b1 b2 b 3 a2b1 + a1b 2 Diadisches Produkt I = a b = Tensor 2. Stufe ( I ) T T T I = = ab, I = ba 0 I11 I12 I13 ab 1 1 ab 1 2 ab 1 3 = I I I = ab ab ab I31 I32 I 33 ab 3 1 ab 3 2 ab 3 3

7 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.7 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Koordinatensystem, Ortsvektor und Drehmatri Koordinatensysteme: K 1 (1, y1, z1), K 2 (2, y2, z2): Ortsvektor: r = e 1 1 r + e 1 y1 ry + e 1 z1 rz = T 1 2 e 1 r e 2 r + e 2 y2 ry + e 2 z2 rz = T 2 e 2 r Die Koordinaten oder Komponenten sind 1 r 1 1 r = ry in K 1 1 rz 2 r 2 2 r = ry in K 2 2 rz 1 r Drehung zweier Koordinatensysteme Betrag von r : r = 1 r ry rz 2 = 2 r ry rz 2 Transformation in der -y-ebene bei Drehung um z: 1 r cosγ sinγ 0 2 r 1 ry = sinγ cosγ 0 2 ry 1 2 rz rz 1 r = A 12 (γ) 2 r A 12 ist Dreh- oder Orientierungsmatri von Basis K 2 gegenüber K 1 cosγ sinγ 0 Drehung um z-achse mit Drehwinkel γ : A 12 (γ ) = sinγ cosγ 0, ebenso e 1 = A 12 e γ ist positiv, wenn man 1 -Achse in Deckung mit 2 -Achse bringt, also eine positive Drehung um z- Achse ausführt. 1 Eigenschaften: A = A T, A T A = AA T = E, weil A eine orthogonale Matri T e = A e = A e 2 oder r = A 12 Umkehrung: ( ) ( ) T 1 r falls e 1 + e 2 : A 12 = E; 1 r = 2 r Linearisierung von A 12 (kleine Drehwinkel γ << 1 ): cos γ 1, sin γ γ 1 γ 0 in -y-ebene mit Drehwinkel γ : A 12 = γ Transformation im Raum, siehe z.b. (Roberson and Schwertassek 1988) Eine allgemeine Drehung kann durch drei Einzeldrehungen erzeugt werden: a) Kardanwinkel mit den Drehkoordinaten α(t), β(t), γ(t) in der Drehfolge 1-2-3

8 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.8 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K 06 Drehung der Basis K 1 gegenüber Basis K 2 mit 3 Elementardrehungen: 1. um 1 - Achse mit Winkel α, -> neue Achsen y', z' und ' bei ' = 1 2. um y' - Achse mit Winkel β, -> neue Achsen '', z'' und y'' bei y'' = y' 3. um z" - Achse mit Winkel γ. -> neue Achsen 2, y 2 und z 2 bei z 2 = z'' Transformation cβ 0 sβ 0 cα sα sα cα sβ 0 cβ e 1 = A(α) A(β) A(γ ) e 1 = cγ sγ 0 sγ cγ e 2, wo c cos, s sin e 2 = A 12 e 2 cβ cγ cβ sγ sβ mit der Drehmatri A 12 = cα sγ + sα sβ cγ cαcγ sα sβ sγ sαcβ sα sγ cα sβcγ sαcγ + cα sβ sγ cαcβ Linearisierung von A 12 für kleine Drehwinkel α, β, γ: (ür ~ siehe Rechenregeln Tilde-Operator) 1 γ β α A 12 = γ 1 α = E + ϑ mit ϑ = β β α 1 γ b) Andere Drehbeschreibungen: Kardanwinkel der Drehfolge z-y-; Eulerwinkel mit Drehfolge z--z; Drehzeiger, Eulerparameter, Rodriguesparameter 6. Differentiation von unktionen (Kettenregel): unktion a( ϕ( t)): da a dϕ a a dt = ϕ ϕ dt ϕ unktion a( ϕ( t), γ( t)): da a a = a = ϕ+ γ dt ϕ γ

9 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.9 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K 06 Verwendete Literatur Brommundt, E. and G. Sachs (1988), Technische Mechanik, Springer Lehrbuch ink, W. (2004), Vorlesungsskript Technische Mechanik, H München Mayr, M. (2002), Technische Mechanik, Hanser Verlag Magnus, K. and K. Müller (1979), Grundlagen der Technischen Mechanik, Teubner Verlag Dankert, J. and H. Dankert (2006), Technische Mechanik, 4. Auflage, Teubner Verlag Häufig verwendete Buchstaben

10 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.10 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K 06 Teil I: Statik starrer Körper Stereostatik 1. Einführung Die Technische Mechanik ist das älteste, am konsequentesten entwickelte Teilgebiet der Physik. Sie befasst sich mit der Lehre von den Bewegungen und den Kräften. Man kann sie nach zwei Ordnungssystemen unterteilen: A) - Stereo-Mechanik (Punktmassen und starre Körper) - Elasto-Mechanik (elastische Körper) - Plasto-Mechanik (plastische Körper) - luid-mechanik (flüssige und gasförmige Körper) B) Mechanik Kinematik (Lehre von den Bewegungen) Dynamik (Lehre von den Kräften) Statik (Lehre vom Gleichgewicht an ruhenden Körpern) Kinetik (Lehre vom Zusammenwirken von Kräften und Bewegungen) Aus Vereinfachungsgründen betrachten wir zunächst den starren Körper. Hierfür gilt: Alle Punkte haben für beliebige Kräfte am Körper immer den selben Abstand, siehe Teil I Stereostatik und Teil III. Der elastische Körper verformt sich unter der Einwirkung von Kräften, siehe Teil II. Elastische Körper mit kompleen ormen nennt man auch elastische Strukturen.

11 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.11 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Kraft und starrer Körper Die Kraft ist ein Vektor: mit - Angriffspunkt P - Betrag = - Richtungsvektor e, e = 1 - Wirkungslinie WL und Wirkungssinn WS - physikalische Einheit: 1 N = 1 kg m / s 2. Beispiel Kraft am starren Körper Kraftvektor im kartesischen Koordinatensystem Ein starrer Körper ist ein fiktives Gebilde aus Masseteilchen, das sich unter der Einwirkung von Kräften nicht verformt. -> Gegensatz: elastischer Körper. starr elastisch

12 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.12 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Linienflüchtigkeit einer Kraft Die Wirkung einer Kraft auf einem starren Körper bleibt unverändert, wenn man sie entlang ihrer Wirkungslinie verschiebt. (das gilt nicht am elastischen Körper) A B = = C Wirkungslinie Wirkungslinie Wirkungslinie Beispiel: Wirkung auf einen Tragbalken ändert sich nicht, egal in welcher Höhe sich die Last befindet. m m m

13 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.13 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Gleichgewichtsaiom Zwei Kräfte sind am starren Körper im Gleichgewicht und heben ihre Wirkung auf den starren Körper auf, wenn sie auf der gleichen Wirkungslinie liegen, den gleichen Betrag haben und entgegengesetzt gerichtet sind. Es gilt: = 0 wo 1 = 2, WL 1 = WL 2, und e 1 = e 2 0 = Nullvektor. WL 2 WL Addition/Subtraktion von Gleichgewichtsgruppen Eine Gruppe von zwei oder mehr Kräften, die sich im Gleichgewicht hält nennt man eine Gleichgewichtsgruppe. Aus dem Gleichgewichtsaiom folgt: Ist ein starrer Körper mit seinen Kräften im Gleichgewicht, so kann man diesem System beliebige Gleichgewichtsgruppen dazu addieren oder wegnehmen. =

14 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.14 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Erstarrungsprinzip Ein freier elastischer Körper ist genau dann im Gleichgewicht, wenn er als starrer Körper im Gleichgewicht wäre. Beispiel: Man denke sich das verbogene Mobile eingefroren. Man kann den verbogenen Draht durch einen starren Bügel ersetzen, ohne dass sich etwas am Gleichgewicht ändert.

15 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.15 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Schnittprinzip Aus dem Reaktionsprinzip und obigen Methoden zum reischneiden von Körpern erkennt man: Das Gleichgewicht eines nicht freien (gebundenen) Körpers ändert sich nicht, wenn man die Bindungen schneidet und diese durch entsprechende Schnittkräfte ersetzt. Schnitt = C A C B A A C B B 1.7 Reaktionsprinzip (3. Newtonsches Gesetz) Die Verbindung zwischen 2 Körpern wird oft als Gelenk bezeichnet. Im Bezug zu einem festen Raum spricht man auch von Lagern (siehe Kap. 5.2 Lager). Sind zwei Körper (1 und 2) mit einem Gelenk mit einander verbunden, so ist das System äquivalent, wenn man die Körper trennt und die Schnittkräfte (Reaktionskräfte) als actio und reactio (gleich groß und entgegengesetzt) an den Schnittflächen ansetzt. Es gilt: S1 = S2 und S1 = S2. Achtung: die Wirkung der Kraftübertragung ist vom Typ des Gelenks (siehe Kap. 1.6 Lager) abhängig.

16 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.16 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K 06 Beispiel Reaktionsprinzip an zwei glatten Körpern Sind zwei Körper (1 und 2) auf glatter Oberfläche im Kontakt, so steht die Schnittkraft (Reaktionskraft) senkrecht auf der Tangentialebene der beiden Körper. Es gilt: S1 = S2 und S1 = S2 bezeichnet. estlegung: S1 > 0 = Zugkraft, S1 < 0 = Druckkraft. Vielfach auch als Normalkraft N oder N Beispiel: Die Kraftübertragung am Zahnrad erfolgt normal zur Zahnfläche (=Wirkungslinie).

17 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.17 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K System von Körpern Mit Hilfe des Reaktionsprinzips kann man auch ein System von Körpern (Mehrkörpersystem, MKS) in einzelne Körper und ihre jeweiligen Schnittkräften zerlegen, so dass gilt: Ein Mehrkörpersystem ist genau dann im Gleichgewicht, wenn alle Einzelkörper im Gleichgewicht sind.

18 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.18 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Arbeiten mit Kräften 2.1 reischneiden von Kräften Um Kräfte sichtbar zu machen, muss das betrachtete System zunächst freigeschnitten werden: I) Das reale mechanische System muss zunächst abstrahiert werden: Schema => Lageplan, siehe Bilder, Teil a) II) Zur Berechnung der Kräfte in den Bauteilen müssen wir sie zunächst sichtbar machen. Dazu schneiden wir die Bauteile durch: Schnittkräfte einführen Schnittprinzip => reikörper-bild mit Schnittkräften, Kräfteplan siehe Bilder, Teil b) und c) Beispiel: 1. Gewicht G am Seil, gehalten über Rolle und Person. 2. Gewicht G an eder, die an der Decke befestigt ist.

19 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.19 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Körper 2 eingespannt durch eder in Zange a) b)

20 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.20 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Einteilung von Kräften 1. Kräfte unterteilen sich in + äußere Kräfte (Gewichtskraft, Magnetfeldkraft, Windkraft, etc. ) und + innere Kräfte ( Schnittkräfte in edern, Dämpfern, Gelenken, Lagerungen,) Sie treten immer paarweise auf. 2. Kräfte unterteilen sich in + eingeprägte Kräfte (Gewichtskraft, Magnetfeldkraft, Windkraft, Schnittkräfte von edern, Dämpfer, Aktoren, ) Sie beeinflussen die Körperbelastung und die Körperbewegung + Reaktions- oder Zwangs-Kräfte ( Schnittkräfte in Gelenken, Lagerungen, ) Sie sind die Reaktion auf die eingeprägten Kräfte. Gewichtskraft: Es gilt G = g = m g = dmg B dm Sie ist die Anziehungskraft auf einer Masse m, die sich infolge des Gravitationsgesetzes zweier Massen (Newton) auf der Erde einstellt. Wir rechnen mit der Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s 2. MS g g Jeder Körper hat einen Massenmittelpunkt (vgl. Kap. 1.8). ür viele Anwendungen (z.b. starrer Körper) können wir die Gewichtskraft im Massenmittelpunkt (S = Schwerpunkt, CM = Center of Mass) vorstellen. Beispiel: Körper 2 mit Masse im Schwerefeld eingespannt durch eder in Zange 1. Benenne alle Kräfte : innere, eingeprägte Kraft 2 2 : innere, eingeprägte Kraft 2 g g : äußere, eingeprägte Kraft : innere, Reaktionskraft 1

21 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.21 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Kräfteparallelogramm Die Wirkung zweier Kräfte 1 und 2, die an einem gemeinsamen Punkt P angreifen, ist gleich einer Kraft R, die sich als Diagonale eines mit den Seiten der Kräfte 1 und 2 gebildeten Parallelogramms ergibt. Es gilt: 1+ 2 = = R WL 1 1 Kräfteparallelogramm: 1 R WL Kräftedreieck: 1 R Lageplan Kräfteplan

22 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.22 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Kräfte und Gleichgewicht am Punkt 3.1 Zusammensetzen von Kräften am Punkt Ein System von Kräften ist ein zentrales Kräftesystem, wenn sich alle Kräfte in einem Punkt schneiden. Die Wirkung eines zentralen Kräftesystems an einem starren Körper ist gleich der Wirkung seiner Resultierenden. Es gilt: Resultierende Zeichnerische Betrachtung: n R = i = i =1 hier Rechnerische Betrachtung: Koordinatendarstellung mit den Achsen, y, z: R R = i i R = R y ; R y = i iy R z R z = i iz hier: R = R y = 1y + 2y + 3y R z = 1z + 2z + 3z

23 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.23 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Gleichgewicht am Punkt Ein System von Kräften ist Gleichgewicht, wenn es ein zentrales Kräftesystem mit Schnittpunkt Q darstellt und dessen Resultierende R gleich Null ist. Alle Wirkungslinien WL i schneiden sich im Punkt Q. n Es gilt: Gleichgewicht: R = i = R R = i = 0 i 0, R = R y i =1 = 0; R y = iy = 0 i R z R z = i iz = 0 Sonderfall n = 2: = 0 wo 1 = 2, WL 1 = WL 2 und e 1 = e 2, vgl. Abschn Zeichnerische Lösung für n = 3: Geg. 1, WL 1, 2, WL 2, Q, inde WL 3, 3. Geg. 1, WL 1, WL 2, WL 3 inde 2, 3.

24 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.24 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Zerlegen von Kräften Häufig besteht die Aufgabe, für ein im Gleichgewicht befindliches System eine vorgegebene Kraft in zwei Richtungen zu zerlegen. Sie kann wie folgt gelöst werden: WL WL 2 1. Auftragen von im Kräfteplan 2. Eintragen der Wirkungslinien von 1 und 2 3. Abgreifen von 1 und 2 und 4. Übertragung in den Lageplan Aber Achtung: Zerlege die Kraft in drei Wirklinien. WL 1 WL WL 3 Ergebnis: Wenn die 3 Wirkungslinien durch einen gemeinsamen Punkt laufen, gibt es keine eindeutige Lösung. Beliebig viele Lösungen sind möglich. Man spricht von einem statisch überbestimmten System.

25 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.25 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K 06 4 Zusammenfassen von Kräftesystemen 4.1 Resultierende eines ebenen Kräftesystems Ein Kräftesystem ist dann eben, wenn die Wirkungslinien der am Körper angreifenden Kräfte in einer Ebene liegen. Die Kräfte können entlang ihrer Wirklinien verschoben werden. Daher kann im folgenden Beispiel mit 3 Kräften wie folgt vorgegangen werden; - Man verschiebe 1 und 2 zu A 12 und bilde die Teilresultierende R 12 - Schneiden der Wirklinien von R12 und 3 und Bilden der Gesamtresultierenden R Koordinatendarstellung mit den Achsen, y, z: R R = R y ; R z R = R y = R z = i i i iy i iz hier: R = R y = 1y + 2y + 3y R z = 1z + 2z + 3z

26 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.26 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, HM K Zusammenfassen paralleler Kräfte Parallel angreifende Kräfte schneiden sich beim Verschieben auf ihrer Wirklinie nie. Wie kann man dennoch die Resultierende bestimmen? Vorgehensweise: - Addiere zwei im Gleichgewicht befindliche Kräfte { P; P} gemäß Aiom 4 (Addition von Gleichgewichtsgruppen); - Bilde die Resultierenden R1, R2 - Verschiebe die Resultierenden entlang der Wirklinien und bilde die Gesamtresultierende R Rechnerisch; R = R + R = ( + P) + ( P) = Achtung: diese Konstruktion funktioniert nicht bei Kräften, die antiparallel und gleich groß sind mit identischer Wirkungslinie! Dazu siehe die nächsten Kapitel.

27 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.27 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Kräftepaar Greifen am Körper antiparallele, gleich große Kräfte mit einem Abstand a > 0 an, so führt die Konstruktion aus Kap. 4.2 zu keinem Ergebnis. In diesem Sonderfall spricht man von einem Kräftepaar: Die Kräfte 1 und gleichen Betrag haben ( 2 mit der Resultierenden R = = 0 bilden ein Kräftepaar, wenn sie den 1 = 1 = = 2 = 2 ), auf parallelen Wirkungslinien liegen, entgegengesetzt gerichtet sind und den Abstand a bilden. ==> Kräftepaar, a, { } mit Drehsinn 2 A B 2 A' 2 = = B' A' B' 1 a 1 a a 1 Ein Kräftepaar {, a, } ist eine unabhängige mechanische Größe. Ein Kräftepaar {, a, } ist auf dem starren Körper frei verschiebbar.

28 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.28 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Das Moment Ein Kräftepaar {, a, } mit Drehsinn kann durch ein Moment repräsentiert werden. Moment M = a. (Nm). Zu einem Kräftepaar gehört genau ein Moment. Ein Moment kann aus vielen Kräftepaaren herrühren. M = a = a* * =... mit selben Drehsinn. A * a M B * M a* r Das Moment mit Betrag M = a ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene der Vektoren r und steht. Es gilt: M = r (rechte Handregel) M M M M r A'' A M A' Die Drehachse eines Momentes kann auf dem starren Körper frei verschoben werden. => Das Moment ist ein freier Vektor auf dem starren Körper.

29 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.29 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Das Moment einer Kraft bezüglich Punkt P Gegeben ist die Anordnung nach Grafik a. Um die Wirkung der Kraft bezüglich Punkt A zu ermitteln, soll in A parallel verschoben werden, ohne die Wirkung zu ändern. Dies gelingt durch Addition einer Gleichgewichtsgruppe, bestehend aus zwei antiparallel wirkenden Kräften. Man erkennt, dass, a, bezüglich Punkt A die Kraft und ein Kräftepaar { } und einem Moment M. wirken. Dies entspricht einer Kraft Wirkt an einem Punkt A die Kraft, so ergibt sich das Moment M, bezogen auf einem anderen Punkt P, (P A und P nicht auf der Wirkungslinie von ) zu M (P) = r wo r = PA der Ortsvektor von P nach A ist. ür den Betrag gilt: M (P) = r sin(α) = a M (P) WL wo a = senkrechter Abstand der WL von P: a = r sin α r P a r A α M

30 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.30 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Berechnung des Moments a) -y-ebene: y y M = r r. z( P) y y r y r r b) -z-ebene: z z M = r r y( P) z z r z r r c) yz-ebene: z M = r r ( P) y z z y z r z r y r y y d) mit dem Kreuzprodukt r r = ry, = y r z z e ey ez M ( P) = r = r ry rz y z Ausrechnen der Determinante führt zu: ry z rz y M ( P) M = r r = M ( P) z z y( P) r y ry M z( P) P r z r r y r z Alternative Matrischreibweise: M = r

31 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.31 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Beispiel: Bestimmung der Wirkungslinie einer Kraft P=0 a r r r z z z Die Kraft bildet bezüglich Punkt P das Moment (ebener all -z-ebene): M (P) = r z r z = M y(p) Legt man das Koordinatensystem so, dass der Ursprung sich in P befindet, so kann man r mit und r z mit z gleichsetzen und die Gleichung ergibt sich zu: M = z (0) z Nach Umformen: M z = + (0) z Dies ist eine Gleichung einer Geraden, die die Wirkungslinie der Kraft bestimmt. 4.7 Resultierendes Moment Wirken auf einem Körper n Kräfte i, i = 1,... n, am Punkt A i, so ergibt sich daraus das Moment M, bezogen auf einem Punkt P, zu n M (P) = r i i wo r i = PA i die Ortsvektoren von P nach A i. i=1 ryi zi r n n zi yi r P i i ( P) = i i = zi i i r 1 zi i= 1 i= 1 ri yi ryi r i 3 M r r r M ( ) r

32 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.32 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 5 Statisches Gleichgewicht von Köpern 5.1 Erweitertes Äquivalenzprinzip Jedes System von Kräften, 1, 2,... n und Einzelmomenten M 1, M 2,... M m kann in seiner R M Wirkung auf einen starren Körper in äquivalenter Weise durch eine Dyname (Kraftwinder) {, P} bezogen auf den Punkt P, beschrieben werden. M 2 2 R y 1 +M z r 2 rn r 1 P M m P M p =M(P) M 1 n +M y z ür die auf den Punkt P bezogene Dyname gilt: Resultierend Kraft n R = i n m Resultierendes Moment bez. P M = M ( ) = r + M i= 1 P P i i i i= 1 i= 1

33 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.33 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Allgemeines Gleichgewichtsaiom Ein mechanisches System befindet sich im Zustand der Ruhe (Gleichgewicht) oder im Zustand der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn die angreifenden Kräfte und Momente in ihrer Wirkung auf einen starren Körper einer verschwindenden Dyname mit R = 0 und M P = 0 äquivalent sind. Die Gleichgewichtsbedingungen für einen beliebigen Punkt P lauten: Resultierende Kraft: n R = = 0 n m Resultierendes Moment bez. P MP = M( P) = ri i + Mi = 0 i= 1 i i= 1 i= 1 Die Gleichgewichtsbedingungen für einen beliebigen Punkt P in Koordinatendarstellung ergeben 6 skalare Gleichungen: i = 0 iy = 0 iz = 0 ( +r iy iz r iz iy ) + M i = 0 ( r i iz + r iz i ) + M iy = 0 ( +r i iy r iy i ) + M iz = 0 In der -z-ebene genügen 3 Gleichungen: i = 0 iz = 0 ( ) r i iz + r iz i + M iy = 0

34 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.34 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Lager und reiheitsgrade starrer Körper Definitionen Der reiheitsgrad f ist die Anzahl der Koordinaten, die man mindestens braucht, um die Lage eines mechanischen Systems eindeutig zu beschreiben. In der Ebene hat ein starrer Körper 3 reiheitsgrade (HG): b = 3-2 Translationen, - 1 Rotation z y Im Raum hat ein freier starrer Körper 6 reiheitsgrade: b = 6-3 Translationen, - 3 Rotationen y z Lager (Auflager) der Körper zur Umgebung und Gelenke zwischen den Körpern schränken die Bewegungen der Körper ein. Ein Lager / Gelenk bewirkt u = kinematischen Zwangsbedingungen. Die Zahl der Zwangsbedingungen u ist gleich der Wertigkeit eines Lagers. Die noch möglichen Bewegungen eines Körpers relativ zur Umgebung bzw. zu benachbarten Körpern infolge eines Lagers / Gelenkes ist die Zahl der reiheitsgrade f = Es gilt für ein Lager / Gelenk: f = b u Zur Einhaltung der kinematischen Zwangsbedingungen sind in den Lagern / Gelenken laut Schnittprinzip Reaktionskräfte und -momente (auch Zwangskräfte und -momente genannt) einzuführen. Ihre Wirkung ergibt sich aus der Richtung und Aussage der Zwangsbedingung: z.b. Drehung ϕ eingeschränkt: -> Reaktionsmoment M einführen Verschiebung s eingeschränkt: -> Reaktionskraft einführen. Die Größe der Reaktionskräfte und -momente sind noch unbekannt. Sie ergibt sich aus den eingeprägten Kräften am Körper und können mit Hilfe der Statik oder Kinetik berechnet werden.

35 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.35 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B reiheitsgrade des starren Körpers mit Lagerungen Die Zahl der reiheitsgrade eines starren Körpers mit g Lagerungen bzw. Gelenken ergibt sich zu g f K = b u k HG. k=1 Aussage: f K = 0: f K > 0: f K < 0: starrer Körper ist statisch bestimmt gelagert, keine Bewegung möglich. Reaktionskräfte / - momente mit Hilfe der Statik lösbar. starrer Körper ist nicht statisch bestimmt gelagert, Körper wird sich bewegen. Problem mit der Kinetik lösbar. starrer Körper ist statisch überbestimmt gelagert, keine Bewegung möglich. Reaktionskräfte / - momente nur mit Hilfe der Elastostatik lösbar. Mit den Gleichgewichtsbedingungen können für einen statisch bestimmt gelagerten Körper im ebenen all genau 3, im räumlichen all genau 6 Auflagerreaktionen (Kräfte, Momente) bestimmt werden.

36 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.36 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Lagerungen in der Ebene (b=3) Tabelle 1: Einwertige Lager in der Ebene (reibungsfrei) Name Kinematik Statik Symbol f Bewegung Wertigkeit u Zwangsbedingungen Reaktionskräfte / -momente Loslager, Dreh-Schub-Gelenk 2 s, ϕ y 1 s z = 0 z z gelenkig gel. starrer Stab, Pendelstütze 2 s Stab ϕ y 1 s Stabrichtg = 0 Normal Stab Stab Reibungsfreie Berührung 2 s tangential ϕ y 1 s normal = 0 z Tangente Normale N Undehnbares Seil 2 s Seil 1 s Seilrichtg = 0 nur Zugkräfte ϕ y einseitig Seil Seil Seil Undehnbares Seil an Punkt und Rolle 2 s Seil ϕ y 1 einseitig s Seilrichtg = 0 nur Zugkräfte, tangential an Rolle Tangente Kontaktpkt. Seil Seil Seil

37 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.37 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Tabelle 2: Zweiwertige Lager in der Ebene Name Kinematik Statik Symbol f Bewegung u = Wertigk. Bedingung Reaktionskräfte / -momente Drehlager, Drehgelenk 1 ϕ y 2 s = 0, s z = 0 z z Schubgelenk, ührung 1 s, 2 s z = 0, ϕ y = 0 M y ϕ y z Zylinder rollt auf Ebene z r ϕ y s 1 ϕ y 2 s = r ϕ y, s z = 0 mit r = Rollradius Haftreibung! z = 1/r M y. M y r s P z Tabelle 3: Dreiwertige Lager in der Ebene Name Kinematik Statik Symbol f Bewegung u = Wertigk. Bedingung Reaktionskräfte / -momente i-lager, feste Einspannung 0 3 s = 0, s z = 0, ϕ y = 0 M y ϕ y z z

38 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.38 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Räumliche Lager (b=6) Tabelle 4: ormschlüssige Gelenke mit 1 bis 5 Gelenkfreiheitsgraden GH 23) D 3 S 2 - Kugelflächengelenk 5 24) D 2 S 2 - Zylinderflächengelk. 25) D 3 S- Kugelrohrgelenk 26) D 2 S 2 - Doppeldrehschubg. 4 27) D 3 - Kugelgelenk (Spherical Joint) 28) DS 2 - Plattengelenk (Planar Joint) 29) D 2 S Kugelrillengelenk 3 30) D 2 - Kreuz-(Kardan- )gelenk (Universal (Tait-Bryan) Joint) 31) DS - Drehschubgelenk (Cylindrical Joint) 32) S 2 - Doppelschubgelenk 2 33) D Drehgelenk (Revolute Joint) 34) S - Schubgelenk (Prismatic Joint) 35) W - Schraubgelenk (Helical Joint) 1

39 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.39 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Gelenke mit Reibung: Bewegt man einen Körper in der freien Bewegungsrichtung eines Gelenkes, so wird aufgrund von Reibung eine Gegenkraft wirksam. Das einfachste Gesetz dazu ist die Coloumb-Reibung: Die Reibkraft und Reibkoeffizient. Sie ist immer der Bewegungsrichtung entgegengesetzt. R ist das Produkt aus Normalkraft Der Reibkoeffizient µ ist beim Gleiten kleiner als beim Haften ( µ 0 > µ, siehe Tabelle 5). Sein Wert ist sehr stark von verschiedenen Parametern wie Oberfläche, Werkstoff, Schmierung, etc. abhängig. µ µ 0 Haftreibung µ Gleitreibung 0 v 21 Schubgelenk - Gleitreibung: Betrag der Reibkraft R21 = µ N R21 1 µ v 21 Gelenkkraft N21+R = 2 N R21 = N21 1+ µ 2 N21 ρ N21+R Reibwinkel ρ = arctan µ Drehgelenk - Gleitreibung: Zapfenradius r Reibkraft-Betrag R21 = µ N 21 Betrag Reibmoment M 21 = r 21 = r 21 + r = µ r Reibradius R R N R N R M R21 r µ ω 21 r R 1 R21 N21+R 2 ρ N21 2 1

40 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.40 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Rollgelenk - Haftreibung: (vgl. Rollgelenk in 1.7.2) ω 21 Rollradius r Lineargeschwindigkeit v 21 = r ω v 21 M 2 Betrag der Reibkraft R21 = µ 0 N21 r Rollen ist gewährleistet, wenn R21 >= Summe eingeprägter Kräfte zu v 21. Punkt P ist der momentane µ 1 R21 P Drehpunkt (v P = 0, wie ein Drehgelenk). N21 Tabelle 5: Reibkoeffizienten für einige Werkstoffpaarungen Lager mit Reibung werden im Kapitel Reibung behandelt

41 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.41 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Beispiele: Bestimme reiheitsgrade, Lagerreaktionen, Anzahl Unbekannte, Lösbarkeit (2D-Betrachtung). A B A B A B A B Stab A B

42 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.42 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Zusammenfassung: a) Lager und Gelenke schränken die Bewegungsmöglichkeiten ein b) Jedes Lager hat eine definierte Bewegungsbeschreibung c) Daraus resultieren entsprechende Schnittkräfte / Momente. Dies sind die Lagerreaktionen. d) Die reiheitsgrade werden bestimmt mit: f b u K = K e) Bei einem statisch bestimmten System ( f K = 0 ) werden die Auflagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt: = 0 M = 0

43 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.43 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Ermittlung der Auflagerreaktionen Die Auflagerreaktionen werden mit den Gleichgewichtsbedingungen ermittelt (siehe Kap. 1.5). i = 0 iy = 0 iz = 0 ( +r iy iz r iz iy ) + M i = 0 ( r i iz + r iz i ) + M iy = 0 ( +r i iy r iy i ) + M iz = 0 Man kann die Gleichungen für verschiedene Punkte aufstellen und ermittelt daraus die unbekannten Lagerreaktionen. 2 1 Beispiel: α A Balken B C D b c l z Der gezeigte Balken ist durch Kräfte 1 und 2 belastet. Daten: 1 = 80 N, 2 = 60 N, α = 30, b = 0.4 m, c = 0.6 m, l = 1.2 m. Berechne: a) Die reiheitsgrade des Balkens. b) Die Lagerreaktionen in A und D.

44 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.44 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Gleichgewicht von Mehrkörpersystemen Ein Mehrkörpersystem (MKS) ist ein System besteht aus n beweglichen Körpern (ohne Umgebung / Gestell), die durch Gelenke (Lager, Bindungen)) mit der Umgebung oder untereinander verbunden sind. Neben den Reaktionskräften der Gelenke (Lager) wirken an ihnen noch eingeprägte Kräfte und Momente. Das Mehrkörpersystem (MKS) ist in Gleichgewicht, wenn jeder Körper selbst im Gleichgewicht ist. Die Lagerreaktionen zum Gestell sind mit den äußeren eingeprägten Kräften/Momenten im Gleichgewicht. Vorgehen: 1. Bestimme die reiheitsgrade f MKS des Mehrkörpersystems g f MKS = bn u k HG k=1 wo b = Zahl der HG des freien Körpers, (b = 6 für 3D, b = 3 für 2D Probleme) n = Zahl der Körper (ohne Gestell), g = Zahl der Gelenke u k Zahl der Bewegungseinschränkungen im Gelenk k. 2. Unterbinde die freie Bewegungen des Systems durch Hinzunahme von Reaktionskräften bzw. Reaktionsmomenten. 3. Schneide jeden Körper aus seiner Umgebung frei und ersetze die Wirkungen der Gelenke und edern etc. durch Kräfte und Momente. 4. Stelle die Gleichgewichtsbedingungen an jeden Körper auf. 5. Löse das Gleichungssystem nach den Unbekannten auf. 6. Prüfe die Bilanz der äußeren Kräfte/Momente mit den Gestellreaktionen.

45 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.45 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 6 Schwerpunkt und Massenmittelpunkt 6.1 Statische Momente Das Gravitationsfeld jedes Körpers erzeugt eine Gewichtskraft. In der Regel können wir auf der Erde ein konstantes Gravitationsfeld annehmen: g = konst. Dann gilt: G = m g wobei m = Masse des Körpers. Die Dichte eines Körpers ist definiert als m dm ρ = lim = V 0 V dv Dabei ist die Dichte im allgemeinen vom Ort abhängig: ρ = ρ(, yz, ) dρ, dv Gesucht ist die Masse m: m = ρ V m= lim m = lim ρ V = ρ(, y, z) dv i i i ür den all ρ = konst. wird m= ρdv = ρv V i i i V 0 V 0 V Wir betrachten zunächst eine ebene Scheibe mit der Dicke h = konst. : Die Masse eines Volumenelementes ist: dm = ρ dv = ρ h da und damit die Gesamtmasse m= ρ hda= h ρ da V 1 r da h V 2 Wir nehmen an, dass die Schwerkraft in z-richtung wirke und bestimmen nun das durch das Schwerefeld in z-richtung erzeugte Moment um die -Achse: dm z = y dg = y g ρ dv M z = g yρ dv Analog um die y-achse: V M yz = g ρ dv V h dv Dieses Moment wird lächenmoment 1. Grades genannt. V 1 z r dg y V 2 h

46 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.46 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Massenmittelpunkt Mit Hilfe der lächenmomente 1. Grades kann im gleichförmigen Schwerefeld der Schwerpunkt (=Massenmittelpunkt) bestimmt werden. Das Gesamtgewicht eines Körpers greift im Schwerpunkt S an. Dann kann das lächenmoment 1. Grades geschrieben werden zu: M = ydg= g yρ dv= y G z V ür die drei Koordinaten von S findet man: g S = ρ dv G V g ys = yρ dv G V g zs = zρ dv G V V ür eine Scheibe mit ρ = konst. vereinfachen sich diese Gleichungen zu S = dv hda da m ρ = ρ = ρ Ah A V V V! S 1 ys = yda A V ( z S = 0, wenn die -y-ebene in der Mittelebene der Scheibe angeordnet ist.) Mit diesen Gleichungen kann der Schwerpunkt eines Körpers bestimmt werden. Der Massenmittelpunkt ist kein materieller Punkt, siehe auch Kap.2 Elastostatik.

47 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.47 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Beispiel Man bestimme die Schwerpunktkoordinaten des ebenen Rechtecks / Dreiecks mit konstanter Dicke t und Dichte ρ. y a S = da b d A = ab = = a 2 2 Analog: A b y S = 2 a 0 b da d a Bestimme die Schwerpunktkoordinaten des ebenen Dreiecks mit Dicke t und Dichte ρ konstant 1 1 S = da b( ) d A = ah A = 0 2 h Nach Strahlensatz: b ( ) = a h 1 2 h h S = da a d A = ah = h 3 A h h = 0 h b() a da y Beispiel: Bestimme den Schwerpunkt des I-Profils Zerlege das Profil in einfache Grundformen (hier Rechtecke). y = y = y = y = S1 S2 S3 S 0 Die Gesamtfläche ist: A= bh + b h + b h y Die Teilschwerpunkte sind: h h h h h h S1 = ; S2 = 1+ ; S3 = ; Nach Momentensatz: 2 bh + bh 2h + h + bh 2h + 2h + h S = 2 bh + bh + bh ( ) ( ) ( )

48 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.48 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 7 Reibungsprobleme 7.1 Prinzip In der Berührfläche zweier Körper tritt Reibung auf. Dieser Effekt kann erwünscht sein (bsp. beim Verbinden mit Schrauben, Autoreifen auf Straße) oder unerwünscht (Verschleiß, Energieverbrauch). Wird der Körper mit einer Kraft belastet und bewegt sich nicht, so wird durch die Reibung von der Unterlage eine Kraft R aufgebracht, die der ursprünglichen Kraft entgegengerichtet ist und gleich groß ist. Zerlegen der Kraft in Tangential- und Normalanteil zur Gleitfläche und Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen: Senkrecht zur Gleitfläche; n = N (Normalkraft) Parallel zur Gleitfläche: 0 = = tan = tan (Haftreibungskraft) α R t n N Wenn bei konstanter Normalkraft die Tangentialkraft gesteigert wird, so tritt bei Überschreiten eines Grenzwertes R 0ma Gleiten ein. Bedingung für Haften (keine Bewegung): t R0ma mit R0ma = µ 0 N Allgemein: R = µ N α Die Normalkraft ist positiv, ist also eine Druckkraft. Bei negativer Normalkraft würde der Körper abheben. Dies ist in den Betrachtungen der Statik nicht zulässig, vgl. Abschnitt Gelenke mit Reibung.

49 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.49 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Reibungswinkel Beispiel: Klotz auf schiefer Ebene Definition des Reibungswinkels: = tan ; = Haftreibungwinkel µ ρ ρ µ = tan ρ; ρ = Gleitreibungwinkel Solange die Gewichtskraft G innerhalb des Sektors des Haftreibungswinkels wirkt, haftet der Körper. 7.3 Lösen von Reibungsaufgaben 1. reischneiden und Eintragen aller Kräfte am Körper 2. Bestimmen der Kräfte an den möglichen Gleitflächen des Körpers 3. Prüfen, ob Haften vorliegt.

50 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.50 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Beispiel: Ein Klotz mit dem Gewicht G soll durch eine horizontal wirkende und im Schwerpunkt angreifende Kraft eine schiefe Ebene (Winkel α ) heraufgezogen werden. Wie groß muss diese Kraft sein? Geg.: G, µ, α α S G =? reischnittbild: y S R α G α N Kräftegleichgewicht in -Richtung: cosα Gsinα R = 0 Kräftegleichgewicht in y-richtung: sinα Gcosα = 0 N mit R = µn und N = sin + Gcos cosα G sin α = µ ( sinα + Gcos α) sinα + µ cosα = G cosα µ sinα Mit sin ρ µ = tan ρ = wird cos ρ sinα cos ρ + cosαsin ρ sin( α+ ρ) = G = G = Gtan( α + ρ) cos cos sin sin cos( + ) α α α ρ α ρ α ρ ür α ρ 90 + spricht man von Selbsthemmung.

51 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.51 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 8 Prinzip der virtuellen Verschiebung Die sog. Prinzipe der Mechanik erlauben die Untersuchung von Systemen und einen tieferen Einblick in die Statik, in dem virtuelle Bewegungen angenommen werden. In der Statik sind zwar Bewegungen ausgeschlossen, aber dennoch erlauben diese gedanklichen Überlegungen auf elegante Weise die Bestimmung gewünschter Größen. Ein Prinzip ist das Prinzip der virtuellen Verschiebung oder Prinzip der virtuellen Arbeit. (Analog werden auch das Leistungsprinzip virtuelle Geschwindigkeiten, o.a. verwendet). Ähnlich wie beim Schnittprinzip löst man in Gedanken beim statischen System Verbindungen (vergleiche Gelenk - und führt die entsprechenden Schnittkräfte ein), weiter unterwirft man das System dann kleinen virtuellen Verschiebungen δ r. δ r ist die virtuelle Verschiebung. Sie ist eine gedachte, beliebig große (nicht Null!) Verschiebung, die mit dem gelagerten System verträglich ist. Das System muss also reiheitsgrade haben. Das System hat so viele unabhängige virtuelle Bewegungen, wie das System reiheitsgrade hat. Die virtuelle Verschiebung / virtuelle Drehung ergibt sich immer aus der Ableitung der Lagebeziehungen der Kinematik des beweglichen Systems. In der Statik machen wir oft f K = 1, damit genau die gesuchte Kraft (Lagerkraft, Stabkraft, etc.) berechnet werden kann. Die bei der virtuellen Verschiebung / Verdrehung aufgewendete Arbeit ist die virtuelle Arbeit. Gleichgewicht herrscht für das System dann, wenn die virtuelle Arbeit für alle kleinen, beliebigen Verschiebungen verschwindet, die mit der Geometrie des beweglich gemachten Systems verträglich sind. Die Arbeit einer Kraft an einem Punkt P zur Verschiebung vom Punkt 1 zum Punkt 2 ist definiert zu: 2 W12 = dr = r, wenn = konst. 1 Wir denken uns nun eine kleine Verschiebung, die die Kraftrichtung nicht beeinflusst und können dann schreiben δw : = δ r δ bedeutet hierbei einerseits kleine und andererseits nur gedachte Verschiebung = virtuelle Verschiebung Aus dem Gleichgewichtsbedingung für starre Körper i = 0 Können wir folgern: i δw = i δri = 0 i Bei jeder virtuellen Verschiebung eines im Gleichgewicht befindlichen idealen Systems ist die Summe der virtuellen Arbeiten der eingeprägten Kräfte gleich Null.

52 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.52 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Eingeprägte Kräfte sind die äußeren und inneren Kräfte eines Systems jedoch nicht die Reaktionskräfte in Lagern und Gelenken.) Wenn wir eine Lagerkraft suchen, schneiden wir also dieses Lager und das System bewegt sich f K > 0. Damit wird in dieser Betrachtungsweise die entsprechende Reaktionskraft zu einer eingeprägten Kraft in der Bilanz der Arbeiten. Dabei ist zu beachten, dass die virtuelle Verschiebung nicht die wirkenden Kräfte verändern, da sonst die ursprünglichen Annahmen (Gleichgewichtsbedingungen) nicht mehr gelten. D.h. in Berührflächen heben sich die virtuellen Arbeiten auf, in Lagern wird keine virtuelle Arbeit geleistet, da die Verschiebung in Kraftrichtung Null ist. Beispiel: Ein Brett mit dem Gewicht G liegt auf einer Kante auf und wird von der gegenüberliegenden Wand abgestützt (keine Reibung). Bei welchem Winkel ist das Brett im Gleichgewicht? Lösung: Als virtuelle Verschiebung nehmen wir die Änderung des Winkels δϕ Arbeit leistet nur die Gewichtskraft G δw = Gδ z = 0 (1) mit dz δ z = δϕ dϕ Aus der Geometrie folgt: z a + = l cosϕ sinϕ z = lcosϕ acotϕ und somit: dz 1 = lsinϕ + a 2 dϕ sin ϕ ür G 0 folgt aus (1) für beliebige δ z : sinϕ = 3 a l

53 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.53 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Beispiel: y H L K Gesucht ist die Stabkraft S in einem Brückentragwerk, das mit 3 Kräften belastet wird. Es ist in A in einem zweiwertigen, in B einem einwertigen Lager gelagert. Lösung: Das achwerk kann nicht verschoben werden. Um das Prinzip der virtuellen Verschiebung anwenden zu können, wird das Tragwerk am unteren Gurtstab aufgeschnitten und der herausgenommene Stab durch die Gurtkraft S ersetzt. Sie wird als äußere eingeprägte Kraft angebracht. Damit entstehen zwei starre Scheiben, die in C gelenkig verbunden sind. Wenn die linke Scheibe eine virtuelle Drehung δα um A durchführt, dann dreht sich die rechte Scheibe um δβ = 2δα. Die Verschiebung an den Kraftangriffspunkten sind: linke Scheibe Punkt H und L rechte Scheibe Punkt K δ H = hδα = δ L δ K = hδβ δ y 3hδα δ y = hδβ Somit ergibt sich für die virtuelle Arbeit L = K δw = hδα + 3hδα + hδβ hδα hδβ = 0 S S S! Mit δβ = 2δα wird daraus 3 hδα (2 S ) = 0 für beliebige δα = 2 S Ergebnis: Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen kann schnell und elegant zu Lösungen führen, ohne dass vorher die Lagerreaktionen bestimmt werden müssen. Dazu ist es notwendig, das System so beweglich zu machen, dass die gesuchte Kraft einen Beitrag zur virtuellen Arbeit leistet.

54 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.54 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 9 Innere Kräfte und Momente in Bauteilen 9.1 Allgemeines Lasten auf Bauteilen (Körpern) verursachen nicht nur Auflagerkräfte und Einspannmomente, sondern auch Beanspruchungen (Kräfte, Spannungen = Kräfte pro läche) im Inneren dieser Bauteile. Diese inneren Beanspruchungen werden im Weiteren (innere) Schnittgrößen genannt. Schnittgrößen dienen der Vorbereitung zur Untersuchung der estigkeit von Bauteilen. a) Nicht zerschnittenes Konstruktionsteil b) Resultierende der inneren Kräfte für einen Schnitt c) Auf der Schnittfläche verteilte innere Kräfte olgende Bauteilformen sind denkbar: ormen Definition Schnittgrößen Beispiel Seile (Saiten, Ketten) sind schlanke, dehnsteife und biegeweiche, torsionsweiche Sie ergeben nur Zugkräfte in Seilrichtung. Bauteile. Stäbe sind schlanke, dehnsteife, torsionssteife, aber biegeweiche Bauteile. Sie ergeben Längskräfte (Zug oder Druck) und / oder Torsionsmomente. ist nur eine vereinfachtes Modell Balken sind schlanke, dehnsteife, torsionssteife und biegesteife Bauteile. Sie ergeben Längskräfte (Zug oder Druck), Querkräfte, Biegemomente und Torsionsmomente. Dicke, Hier ist die 3D- EM-Theorie. gedrungene Bauteile: Kontinuumsmechanik anzuwenden Schlank heißt hier, dass Quermaße sehr viel kleiner sind als die Bauteillänge.

55 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.55 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Innere Kräfte und Momente am Balken Ein Balken ist ein schlankes Bauteil, dessen Ausdehnungen nur in Richtung der Balkenachse betrachtet werden. Die Balkenachse liegt in der Querschnitt-Symmetrieachse des Balkens. In der Regel legt man die Balkenachse in die -Achse. Die -z-ebene wird in die Lastebene gelegt. A 2D-all in -z-ebene Zur Ermittlung der Schnittgrößen wird der Balken senkrecht zur Längsachse an der Stelle geschnitten. Seine resultierenden Schnittgrößen positives Schnittufer sind negatives die Normalkraft N (oder n ), Schnittufer die Querkraft Q (oder q ) und das Biegemoment M b. y n N Q z M b Q N M b Im 2D all wird dies meist so gezeichnet: N N Q Q M b M b Schnittgrößen werden am positiven Schnittufer positiv, (d.h. alle Wirkrichtungen zeigen in positive Richtungen des Koordinatensystems), am Gegenufer negativ angetragen. (actio = reactio)

56 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.56 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 Wichtig: Vorzeichenregel: Normalkraft: Querkraft: Biegemoment: positiv = Zugkraft, negativ = Druckkraft positiv = Gleichgewichtskraft am Schnittufer nach unten positiv = Bauteil nach unten konve verbogen. Andere Schreibweise: N = n, Q = q, M b = M. Merke: Man verwende die -z -Ebene, dann ist das Moment +M b = M y am positiven Schnittufer links herum gerichtet. Im 3D- all sind auch Torsionsmomente und Querkräfte und Biegemomente in 2 Richtungen zu betrachten, siehe z.b. (Dankert and Dankert 2004). Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Bauteil der Länge : Sei der Bauteilabschnitt 0.. durch Kräfte i und iz am Ort r i sowie durch Einzelmomente M jy = M j belastet, folgt Normalkraft n () + i = 0 n () = i i i Querkraft in z q () + iz = 0 q () = iz i i Biegemoment M b () + ( r i ) iz + M j = 0 M b () = ( r i ) iz M j i ri ist der Ort der Kraft, gemessen vom Koordinatenursprung. ür den 3D-all sind die Gleichungen entsprechend zu ergänzen. j i j Merke: Jeder neue Lastangriff stellt eine Unstetigkeit der Belastung und damit eine Unstetigkeit der Schnittgrößen dar. Das erfordert somit eine Unterteilung des Balkens in Bereiche. ür jeden Bereich ist eine Gleichgewichtsbetrachtung aufzustellen. Allgemein gilt: Ort maimaler Schnittgrößen = Ort maimaler Bauteilbelastungen Seien die unktionen n (), q (), M b () gegeben, findet man den Ort und die Maimalwerte aus n () = 0 n ma n ma = n ( = n ma ) q () = 0 q ma q ma = q ( = q ma ) M b () = 0 Mb ma M b ma = M b ( = Mb ma )

57 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.57 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Ausgewählte Lastfälle Balken mit Einzellast Vorgehensweise: a) Bestimmung des reiheitsgrades f = 3 (2+ 1) = 0 statisch bestimmt b) gegeben ist der Lageplan K c) reischneiden liefert Kräfteplan Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen liefert Auflagerreaktionen = 0 A B l a = 0 B b a A = ; B = l l d) Schneiden liefert die Schnittkräfte und momente im linken eld (Bereich I)

58 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.58 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 e) Schneiden rechts der Krafteinleitung liefert Schnittkräfte und momente im rechten eld (Bereich II) f) Auftragen der Kräfte und Momente im Diagramm: dazu zunächst ausgewählte Punkte bestimmen: M ( ) 0 b = l =

59 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.59 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B Balken mit fester Einspannung und Einzelkraft Vorgehensweise: a) Bestimmung des reiheitsgrades f = 3 (2+ 1) = 0 statisch bestimmt b) Lageplan K c) reischneiden liefert Kräfteplan A M A A Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen liefert Auflagerreaktionen = A M A = l d) Schneiden liefert die Schnittkräfte und momente: Linkes eld (Bereich I): A M A Q M b A Kräftegleichgewicht: Q A = 0 Q= A = Momentengleichgewicht: M + M = 0 b A A M b( ) = ( l) M ( 0) b = = l M ( ) 0 b = l = Rechtes eld (Bereich II): A A Kräftegleichgewicht: Q+ A = 0 Q = 0 M + M l = Momentengleichgewicht: 0 M b = 0 A b Q M b

60 Technische Mechanik - Statik starrer Körper - I.60 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer HM B06 e) Verlauf von Querkraft und Biegemoment Q A + M b - Erkenntnisse aus diesen Beispielen - Merke: - An freien unbelasteten Ende sind die Querkraft Q und das Biegemoment gleich Null - Zischen zwei Einzelkräften ist die Querkraft konstant und das Biegemoment linear - Am Angriffspunkt einer Kraft hat die Querkraft einen Sprung und das Biegemoment einen Knick - Am Nulldurchgang der Querkraft erreicht das Biegemoment seinen Etremwert Merke: Die Schnittgrößen an der Stelle lassen sich mit Hilfe der Statik starrer Körper berechnen. Bei allen unstetigen Änderungen der Belastung des Bauteiles ist ein neuer Bereich festzulegen.