Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 5

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1 RMG Hßfurt Grundwissen Mthemtik Jhrnsstufe 5 Reiomontnus - Gymnsium Hßfurt - Grundwissen Mthemtik Jhrnsstufe 5 Wissen und Können. Ntürliche und nze Zhlen Sicherer Umn mit den 4 Grundrechenrten, Ausnutzen von Rechenvorteilen durch Anwendun der Rechenesetze Kommuttivesetz: + b = b + und b = b Assozitivesetz: ( + b) + c = + (b + c) und Distributivesetz: ( b) c = (b c) ( + b) c = c + b c ( + b) : c = : c + b : c Potenzschreibweise, Primfktorzerleun Potenz: 6 Bsis Exponent Zehnerpotenzschreibweise: 0 = 0, 0 = 00, Aufben, Beispiele, Erläuterunen Kommuttivesetz Assozitivesetz Bsp.: ( ) + 36 = ( ) + 57 = = 57 Berechne unter Verwendun des Distributivesetzes: 43 : 6 3 : 6 Bsp.: 6 = Bsp.: 5000 = = Primfktorzerleun: 4 = 3 7 Runden Beim Runden einer Zhl uf eine bestimmte Stelle betrchtet mn die rechts von dieser Stelle stehende Ziffer. Ist diese Ziffer: - 0,,, 3 oder 4, so wird berundet, - 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird uferundet. Zerlee 00 eschickt in Primfktoren, nutze dbei die Potenzschreibweise. Bsp.: 549 cm 5 m; 549 cm 55 dm Runde: ) 4099 uf Zehner b) 4909 uf Hunderter c) 4990 uf Tusender Addition und Subtrktion nzer Zhlen Addition bei leichen Vorzeichen: - Die Beträe der Zhlen werden ddiert. - Ds Erebnis erhält ds emeinsme Vorzeichen. Addition bei unterschiedlichen Vorzeichen: - Der kleinere Betr wird vom rößeren subtrhiert. - Ds Erebnis erhält ds Vorzeichen der Zhl mit dem rößeren Betr. Subtrktion einer Zhl: Addition der Geenzhl Multipliktion und Division nzer Zhlen Plus ml plus leich plus (+) (+) = (+) Plus ml minus leich minus (+) ( ) = ( ) Minus ml plus leich minus ( ) (+) = ( ) Minus ml minus leich plus ( ) ( ) = (+) Gleiches ilt für die Division Betr einer Zhl, Geenzhl Zwei Zhlen, die uf der Zhlenerden leich weit von der Null entfernt sind, nennt mn Geenzhlen. Der Betr einer Zhl ibt n, wie weit sie uf der Zhlenerden von der Null entfernt ist. Kurzschreibweise: - (Betr von ) Bsp.: 4 + ( ) = (4 + ) = 6 Bsp.: 4 + ( ) = 4 = 4 + = (4 ) = Bsp.: 4 = + ( 4) = (4 ) = Berechne. Achte uf vorteilhftes Rechnen! ) 3 : b) 8 (5 + 7) 5 c) ( 5) : ( 3) d) 3 ( 5) + ( 3) ( 5) e) f) und 5 sind Geenzhlen, d sie leich weit von der Zhl Null entfernt sind. Der Abstnd von 3 und +3 von der Zhl Null ist jeweils 3, dher ilt 3 = +3 = 3. Seite von 4

2 RMG Hßfurt Grundwissen Mthemtik Jhrnsstufe 5 Drstellen von Zhlen Tbelle Note Anzhl Säulendirmm Anzhl Note Blkendirmm Note Die Schüler der Klsse 5 hben 00 Personen nch ihrer Lieblinsfrbe efrt. 40 Personen mochten rot m liebsten, 5 blu und 5 rün. Die restlichen Befrten nnnten ndere Frben. Stelle ds Umfreerebnis in einer Tbelle und in einem Dirmm dr Anzhl Weitere häufi ebruchte Dirmmtypen sind Strich-, Kreis- oder Fiurendirmme. Wichti: Achsenbeschriftun und Sklierun nicht veressen! Ermitteln der Anzhl von Mölichkeiten mit dem Zählprinzip; Drstellun des Schverhlts in einem Bumdirmm Aus zwei roten (r) und einem bluen (b), nsonsten ber leichen Busteinen knn mn uf drei Arten einen zwei Steine hohen Turm buen: rot/rot, rot/blu, blu/rot. Terme Rechnen mit Termen - Bei reinen Punkt- oder Strichrechnunen: Von links nch rechts rechnen. - Sonst folende Reihenfole bechten: Klmmern vor Potenz vor Punkt vor Strich - Und ws noch nicht zum Rechnen drn, ds schreibe unverändert n! Gliederun eines Terms, Fchberiffe Termnme Die erste Zhl heißt Die zweite Zhl heißt Rechenrt Summe. Summnd. Summnd Addition Differenz Minuend Subtrhend Subtrktion Produkt Fktor Fktor Multipliktion Quotient Dividend Divisor Division Potenz Bsis Exponent Potenzieren r b r b r Für ds Tesmenü us Vorspeise, Huptericht und Nchtisch stehen zur Verfüun: Vorspeisen: Tomtensuppe (T), Leberknödelsuppe (L) Hupterichte: Rinderbrten (R), Kiserschmrrn (K), Gemüselsne (G) Nchspeisen: Eis (E), Obst (O) ) Zeichne ein pssendes Bumdirmm. b) Wie viele veetrische Menüs knn mn zusmmenstellen? Berechne den Wert des Terms: ( ) : (6 54) + 4 : Stelle einen Term uf und berechne seinen Wert: Subtrhiere von der Differenz der Zhlen 036 und 8 die doppelte Summe us dem Quotienten der Zhlen 7470 und 8 und der Zhl 5. : Gliedere den Term: (68-6 ) + 36 : 9 Seite von 4

3 RMG Hßfurt Grundwissen Mthemtik Jhrnsstufe 5 3. Größen und Einheiten Umrechnunen Mssen: t = 000 k k = 000 = 000 m Geld: = 00 ct Zeit: d = 4 h h = 60 min min = 60 s Länen: km = 000 m m = 0 dm dm = 0 cm cm = 0 mm Flächen: km = 00 h h = 00 = 00 m Mßstb Der Mßstb : 0 bedeutet: m = 00 dm dm = 00 cm cm = 00 mm cm in der Abbildun 0 cm in Wirklichkeit 4. Grundlen der Geometrie Ebene Grundfiuren Rechteck, Qudrt, Rute, Prllelormm, Trpez, Drchenviereck, Kreis Räumliche Grundformen Quder; Würfel; Pyrmide; Prism; Zylinder : Schreibe mit der in Klmmern neebenen Einheit: ) km 3dm [cm] b) 7k 5 8m [m] c) 7h 9m² [m²] d) m² 3dm² 40cm² [cm²] : Berechne: ) 0km m : 30 b) (4h 6min - h 8min) : 8min Clr möchte ihr Zimmer umestlten und zeichnet dzu einen Pln im Mßstb : 0. Ihr Bett ist 90 cm breit und m ln. Welche Mße ht ds Bett in der Zeichnun? Pul: Ds ist ein Qudrt. Puline: Ds ist eine Rute. Wer ht Recht? Beschreibe die wesentlichen Eienschften von Quder, Würfel, Pyrmide und Zylinder. Geometrische Grundberiffe Zeichne in der neebenen Reihenfole Strecke [AB] mit Läne AB A AB = 3cm B ) die Gerde durch A( 3/ ) und B(7/3), b) durch C(3/4) eine zu senkrechte Gerde, Hlberde [CD C D c) die Prllele zu durch C. Gerde GH oder G H ist prllel zu h ( h) h ist senkrecht zu k ( k Abstnd eines Punktes von einer Gerden P Abstnd Beschreibe, wie mn den Abstnd eines Punktes von einer Gerden bestimmt. Seite 3 von 4

4 RMG Hßfurt Grundwissen Mthemtik Jhrnsstufe 5 Winkel h. Schenkel : Miss jeweils die Größe des Winkels. B Möliche Bezeichnunen: α = (;h) = ASB Spitzer Winkel Rechter Winkel Stumpfer Winkel 0 < α < 90 α = < α < 80 Gestreckter Winkel Überstumpfer Winkel α = < α < 360 Koordintensystem II. Qudrnt Q(-3 ) -5-4 Netz und Schräbild von Quder und Würfel 5. Umfn und Flächeninhlt Umfn und Flächeninhlt Qudrt (Seitenläne ): U = 4 A = Rechteck (Läne l und Breite b): U = ( l + b ) A = l b Oberflächeninhlt (= Summe der Flächeninhlte ller Außenflächen) Würfel (Kntenläne ): O = 6 Scheitel S -3 III. Qudrnt y α A. Schenkel I. Qudrnt P( -3) IV. Qudrnt x b x-koordinte P( -3) y-koordinte l α : Zeichne einen Winkel von 80. : Gib die Koordinten der Punkte A, B, C, D und E n. A D : Gib die Koordinten zweier Punkte P und Q n, die im III. Qudrnten lieen. Ein nch oben offener Schuhkrton ist 30 cm ln, dm breit und 5 cm hoch. Zeichne ds Schräbild des Quders und sein Körpernetz in einem eeineten Mßstb. Eine 8m lne und 3m breite rechteckie Burube soll durch ein Absperrbnd esichert werden, ds vom Rnd der Grube in,5m Abstnd eführt wird. ) Wie viele Meter Bnd sind mindestens nöti? b) Welchen Flächeninhlt besitzt die esmte besperrte Fläche? y O Ein Quder ist 3 m ln,,05 m breit und m 5 dm hoch. Berechne den Inhlt seiner Oberfläche. β C B E x Quder (Läne l, Breite b und Höhe h): O = ( l b + b h + l h ) h l b Seite 4 von 4

5 RMG Hßfurt Grundwissen Mthemtik - Lösunen Jhrnsstufe 5 Lösunen:. Ntürliche und nze Zhlen Anwendun der Rechenesetze 43 : 6 3 : 6 = (43 3) : 6 = 400 : 6 = 5 Potenzschreibweise, Primfktorzerleun 00 = 00 = = = Runden ) 4099 uf Zehner erundet: 400 b) 4909 uf Hunderter erundet: 4900 c) 4990 uf Tusender erundet: 5000 Multipliktion und Division nzer Zhlen ) 3 : = 8 : = + 44 = 46 b) 8 (5 + 7) 5 = = = 3000 (K-Gesetz!) c) ( 5) : ( 3) = = 34 d) 3 ( 5) + ( 3) ( 5) = = e) = 3 (8 6 ) = 3 0 = 30 (D-Gesetz!) f) = = = 74 Drstellen von Zhlen Lieblinsfrbe Anzhl der Personen Anzhl der Personen rot blu rün Zählprinzip, Bumdirmm ndere Frben rot blu rün sonstie Lieblinsfrbe ) b) Zählprinzip: R T K G R L K G = 4 Abzählen m Bumdirmm: TKE, TKO, TGE, TGO 4 veetrische E O E O E O E O E O E O Menüs. Terme Rechnen mit Termen ( ) : (6 54) + 4 = ( ) : (56 54) + 96 = 870 : = = = 0 Gliederun eines Terms : (036 8) (7470 : 8 + 5) = 908 (45 + 5) = = = Größen und Einheiten Umrechnunen : ) km 3dm = cm b) 7k 5 8m = m c) 7h 9m = m d) m 3dm 40cm = 0340 cm Mßstb 90cm : 0 = 4,5cm; m : 0 = 00cm : 0 = 0cm Ds Bett ist in der Zeichnun 4,5 cm breit und 0 cm ln. : (68 6 ) + 36 : 9 : ) 0km m : 30 = 000 dm : 30 = 3337 dm b) (4h 6min - h 8min) : 8min = (56min 88min) : 8min = 68min : 8min = oder (D-Gesetz!):. Summnd Differenz Minuend 68 (4h 6min - h 8min) : 8min = (56min 88min) : 8min = Subtrhend Produkt. Fktor 6 56min : 8min 88min : 8min = 3 = Summe. Fktor. Summnd Quotient Dividend 36 Divisor 9 Seite von

6 RMG Hßfurt Grundwissen Mthemtik - Lösunen Jhrnsstufe 5 4. Grundlen der Geometrie Ebene Grundfiuren Ds bebildete Viereck ht vier leich lne Seiten, dher ist es eine Rute. Es ht ußerdem vier rechte Winkel, dher ist uch ein Qudrt. Beide hben Recht. Räumliche Grundformen Quder: Würfel: 8 Ecken, Knten, 6 rechteckie Seitenflächen, je zwei eenüberlieende Rechtecke sind leich Quder mit qudrtischen Seitenflächen Pyrmide: llemein: Grundfläche ist n-eck, n dreieckie Seitenflächen, n+ Ecken, n Knten z.b. qudrtische Grundfläche, 4 dreieckie Seitenflächen, 5 Ecken, 8 Knten Zylinder: zwei leiche Kreise ls Grund- und Deckfläche, ekrümmte Seitenfläche, Knten, keine Ecken Geometrische Grundberiffe Abstnd eines Punktes von einer Gerden Zeichne die senkrechte Verbindunsstrecke vom Punkt zur Gerden und miss die Läne dieser Strecke. Winkel : ) 55 b) 0 : - Scheitel und. Schenkel zeichnen - Geodreieck nleen: Scheitel bei Null,. Schenkel entln der Knte - 80 mrkieren -. Schenkel zeichnen Koordintensystem : A(- ), B(,5), C(,5), D(- -), E( -) : Geeinet sind lle Punkte, deren x- und y-koordinten netiv sind. Netz und Schräbild von Quder und Würfel z. B.: Mßstb : 0 Mße in der Zeichnun: l =,5 cm, b = cm, h = 0,75 cm 5. Umfn und Flächeninhlt Umfn und Flächeninhlt Skizze:,5m + 8m +,5m = m,5m + 3m +,5 m = 6m Oberflächeninhlt l = 3m = 300cm; b =,05m = 05cm; h = m 5dm = 50cm O = ( l b + b h + l h ) = (300cm 05cm + 05cm 50cm + 300cm 50cm) = (6500cm cm cm ) = 3750cm = 74500cm = 7m 45dm ) U = (l + b) b) A = l b = (m + 6m) = m 6m = 7m = 66m = 34m Seite von