Vorlesung des ersten Studienjahrs im Sommersemester 2008

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1 Aalytische Geometrie Vorlesug des erste Studiejahrs im Sommersemester 2008 Bezeichuge (<X>, V X ) vo X aufgespater affier Uterraum, vgl affier Stadardraum der Dimesio, vgl (I) affier Stadardraum der Dimesio #I, vgl (V) affier Raum zum Vektorraum V, vgl K (I) direkte Summe vo #I Exemplare vo K, vgl a pq die Gerade durch die Pukte p ud q, vgl , vgl. Literatur [1] Fischer, G.: Lieare Algebra, Vieweg 2003 [2] Brieskor, E.: Lieare Algebra ud aalytische Geometrie I+II, Vieweg 1983 ud 1985 [3] Keller, O.-H.: Aalytische Geometrie ud lieare Algebra, Deutscher Verlag der Wisseschafte 1963 [4] Pickert, G.: Aalytische Geometrie, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig [5] Sommersemester 2007 Vorbemerkuge I dieser Vorlesug geht es um die Frage, was ist Geometrie. Wir werde diese Frage Geometrie beschreibe, die affie Geometrie, die projektive Geometrie ud die euklidische Geometrie. Am Ede dieser Vorlesug werde adeutugsweise beschreibe, was ma allgemei uter de Begriff der Geometrie verstehe sollte. 1. hat. Etwas geauer ka ma sage, ei affier Raum besteht aus zwei Arte vo Objekte, 1. aus Pukte

2 2. aus Vektore. Ei Vektor ordet jedem Pukt (aufgefaßt als Agriffspukt des Vektors) eie weitere Pukt zu (aufgefaßt als Spitze des Vektors. V A V, (v, x) x + v, Dabei bezeiche V de Vektorraum der Vektore des affie Raums ud A die Mege der Pukte des affie Raums. Ma stellt sich x + v als Spitze des Vektors v vor, we desse Agriffspukt gerade der Pukt x ist. x + 0 = x: eie Verschiebug um de Vektor v +v : (x + v ) + v = x + (v + v ). 3) je zwei Pukte gibt es eie Vektor v, der de eie Pukt i de adere verschiebt: x, x v : x + v = x. 4) Je zwei Vektore, die eie gegebee Pukt beide i deselbe Pukt verschiebe, sid gleich: x + v = x + v v = v. Abbildug V A, v x 0 + v, 0 A die bijektiv ist. Dies gestattet es, die Mege A mit dem Vektorraum V zu idetifiziere ud agibt. Geauer, ei Koordiatesystem des affie Raums besteht aus eiem Pukt

3 x 0 A, welcher Ursprug des Koordiatesystems heißt, ud eier Basis v,..., v V 1 des Vektorraums V. Jeder Pukt x A hat da die Gestalt x = x + (c v c v ) mit eideutig bestimmte c i Koordiatesystems heißt. Der Vektor c 1 c 2... c eier etwas formalere Sprache wiederhole. 1.2 Operatioe vo Gruppe auf Mege Defiitio Seie G eie Gruppe ud M eie Mege. Eie Operatio der Gruppe G auf der Mege M vo liks oder auch Liksoperatio vo G auf M ist eie Abbildug G M M, (g, m) gm, mit folgede Eigeschafte. (i) G ud m M. (ii) e M. Dabei bezeiche e das eutrale Elemet der Gruppe G. Aalog ist eie Rechtsoperatio vo G auf M eie Abbildug M G M, (m, g) mg, mit folgede Eigeschafte. (i ) (mg )g = m(g g ). (ii ) m e = m Beispiele Die Operatio der allgemeie lieare Gruppe die Gruppe der umkehrbare G = GL(, K) M = K = ( = K 1 ) ud N = K 1. Da defiiert die Matrize-Multiplikatio eie Rechtsopertio G M M, (g, m) gm, ud eie Liksoperatio N G M, (m, g) mg,

4 Die Operatio eies Vektorraums auf sich V + die dem Vektorraum zugrudeliegede additive Gruppe (d.h. die Gruppe, dere Operatio gerade die Additio vo Vektore aus V ist). Da defiiert die Addito vo Vektore eie Liksoperatio V + V V, (x, y) x + y, vo V + auf V, die sich auch als Rechtsoperatio V V + V, (x, y) x +y, der Gruppe V Die Operatio der S 3 auf V 4 durch Kojugatio Seie S 4 die symmetrische Gruppe der Mege {1,2,3,4} ud V = {(1), (12)(23), (13)(24), (14)(23)} 4 die Kleische Vierergruppe 1 Isbesodere ist S 4 gilt f (ab)(cd) f -1 = (f(a) f(b)) (f(c) f(d)). S 4 V 4 V 4, ( f, ) eie Wohldefiierte Abbildug. Es gilt Id ( ) = ud ( ) f f = (f f ) (f f )-1 = f f f -1 f -1 f ( ) := f f-1, = f f ( ) f -1 = f ( f ( )), d.h. die Abbildug defiiet eie Operatio vo S auf V. Ma sagt, S operiert auf V durch Kojugatio Liksoperatioe ud Rechtoperatioe Sei G M M, (g, m) gm, eie Rechtsoperatio der Gruppe G auf der Mege M. Da ist M G M, (m, g) g -1 m, eie Liksoperatio vo G auf M. Aalog, ist eie Rechtsoperatio M G M, (m, g) mg, vo G auf M gegebe, so ist G M M, (g, m) mg -1, eie Liksoperato. 1 Es ist icht schwer zu sehe, daß V 4 eie Utergruppe vo S 4 ist.

5 Bemerkug umgekehrt. Wir werde deshalb im folgede meist ur och Liksoperatioe betrachte ud diese eifach Operatioe Spezielle Operatioe Sei G M M, (g, m) gm, eie Operatio der Gruppe G auf der Mege M. Die Operatio heißt trasitiv, we es ei Gruppeelemet g G gibt mit m, m M (1) gm = m. Die Operatio heißt eifach, we das Gruppeelemet g durch die beide Elemete m ud m eideutig festgelegt ist (d.h. we es zu je zwei Elemete m, m M geau ei g G gibt, so daß (1) gilt). Sie heißt eifach trasitiv, we sie eifach ud trasitiv ist. Bemerkug Etspreched der Bemerkug vo heißt eie Rechtsoperatio trasitiv bzw. eifach Defiitio Ei affier Raum affier Raum ist eie Mege A, auf welchem eie eifach trasitive Operatio eies edlich-dimesioale K-Vektorraums V gegebe ist, (1) V A A, (v, x) x + v. Bemerkuge (i) Die Axiome 1) ud 2) vo 1.1 besage gerade, daß i eiem affie Raum der Raum der Vektore vo liks auf dem Raum der Pukte operiert. Auf Grud vo Axiom 3) ist diese Operatio trasitiv. Auf Grud vo Axiom 4) ist sie sogar eifach trasitiv. (ii) Die Abbildug (1) ist itegraler Bestadteil des Begriffs des affie Raums. Die Agabe eies affie Raums beihaltet im wesetliche die Agabe dieser Abbildug. Wir werde deshalb oft eifach sage, daß diese Abbildug :V A A (iii) (iv) Abbildug. (A, V, ) bestehed aus eier Mege A, eiem Vektorraum V ud ud eier eifach trasitive Operatio zu defiiere. We klar ist, vo welcher Operatio gesproche wird, betrachte ma auch das Paar (A, V) als affie Raum. Die Mege A heißt auch Puktmege des affie Raums, die Mege V auch Vektoremege des affie Raums ud die Familie der Abbilduge {A A, x (v, x) = x + v} v V

6 Mege der Verschiebuge des affie Raums. Die Abbildug selbst werde wir auch eifach Operatio des affie Raums ee. (v) Die Dimesio eies affie Raums K mit der Puktmege A ud der Vektoremege V ist defiirt also die Dimesio des Vektorraums V ud wird mit dim K = dim V K bezeichet. (vi) Ma ka de Begriff des affie Raums ohe die Forderug, daß der Vektorraum der Verschiebuge edlich-dimesioal sei soll. Wir werde deshalb gelegtlich auch vo uedlich-dimesioale sprreche ud i de Aussage, bei dee die Edlichkeit der Dimesio wirklich eie Rolle spielt, Eie grudlegede Tatsache Seie (1) V A A, (v, x) x +v, ei K-affier Raum ud x 0 (2) V A, v x + v, o bijektiv. Beweis. Die Abbildug ist surjektiv, weil die Operatio (1) trasitiv ist. Sie ist ijektiv, weil die Operato (1) eifach ist. Bemerkuge (i) Die Bijektio (2) gestattet es, de Vektorraum V mit der Mege A zu 0 ab, der bei dieser Idetifikatio zum Nullvektor wird. (ii) Die obige Aussage bedeutet gerade, zeichet ma i eiem affie Raum eie Pukt, aus, so wird dieser affie Raum zum Vektorraum. (iii) Die Bijektio (2) gestattet es, die Pukte vo A dadurch zu beschreibe, daß ma Koordiatesysteme Ei Koordiatesystem des K-affie Raums V A A, (v, x) x + v, ist ei Paar (x 0, B) bestehed aus eiem Pukt x 0 A ud eier Basis B = (v 1,...,v ) des Vektorraums V. Der Pukt x 0 heißt Ursprug des Koordiatesystems. Astelle des Paares (x 0, B) beutze wir auch die Bezeichugsweise (x 0 ; v 1,..., v ) Bemerkuge (i) Nach hat jeder Pukt x A die Gestalt x = x 0 + (c 1 v c v ) mit eideutig bestimmte c,..., c K, welche Koordiate 1 gegebee Koordiatesystems heiße. Der Vektor

7 heißt auch Koordiatevektor c 1 c 2... c 0, B) Durch Puktpaare defiierte Vektore Seie (A, V) ei K-affier Raum ud a,b A zwei Pukte des affie Raums. Nach gibt es da geau eie Vektor v V mit a + v = b. Dieser Vektor wird mit ab := v bezeichet. Er heißt der Vektor mit dem Agriffspukt i a ud der Spitze i b. Bemerkuge (i) Es gilt a + ab = b ud der Vektor ab ist durch diese Bediuge eideutig bestimmt. (ii) A des affie Raums gilt Beweis vo Bemerkug (ii). Es gilt a + (ab + bc) = (a + ab) + bc = b + bc = c = a + ac. Damit ist aber ab + bc = ac. ab + bc = ac. Sei (A, V) ei K-affier Raum. Ei K-affier Uterraum vo (A, V) ist ei K-affier Raum (B, W) derart, daß gilt 1. B ist eie icht-leere Teilmege vo A. 2. W ist ei K-liearer Uterraum vo V. d.h. die Iklusioe vo B i A ud W i V defiiere eie kommutatives Diagramm V A A da U B affie Raums (A, V). Diese parallel, we W W oder W W gilt. Ma schreibt (B, W ) (B, W ) Parallelverschiebuge Sei := (A, V) ei K-affier Raum. Jeder Vektor v V defiiert eie bijektive Abbildug t v : A A, a a + v,

8 welche Traslatio mit v oder auch Parallelverschiebug mit v heißt. Bemerkuge (i) Die Parallelverschiebug t zum Negative - v des Vektors ist gerade die zu t -v v iverse Abbildug. Die Abbildug t V bijektiv. v (ii) Bezeiche T( ) := {t v v V} die Mege der Parallelverschiebuge. Da ist die Abbildug (1) V T( ), v t v, ach Defiitio vo T( ) surjektiv. Sie ist außerdem ijektiv, de aus t = t v v folgt a + v = t (a) = t A, also ach auch v = v, v v Die Abbildug (1) gestattet es also, de Vektorraum V mit der Mege der Parallelverschiebuge des affie Raums zu idetifiziere. Wir werde deshalb auch die Elemete vo V als Parallelverschiebuge vo bezeiche. (iii) Durch die Idetifikatio mit V wird T( ) ei K-Vektorraum mit de Operatioe t + t := t v w v+w ud eie K-Vektorraum. c t v := t cv Bestimmug der Pukte aus de Vektore ud umgekehrt Seie = (A, V) ei K-affier Raum, (B, W) ei K-affier Uterraum vo A ud b B ei Pukt des Uterraums. Da gilt (i) B = b + W. (ii) W = { bx x B}. Pukte ud de Raum W ket. festgelegt. Beweis vo (i) ud (ii). Zu (i). Weil (B, W) ei K-affier Raum ist, operiert W auf der Puktmege B, d.h. es es gilt b + W B B. Weil die Operatio trasitiv ist, gilt sogar das Gleichheitszeiche. Zu (ii) B eie Vektor w W mit b + w = x. Nach wird dieser Vektor auch mit bezeichet. Isbesodere gilt bx = w ( W) { bx x B} W. W auch x := b + w W.

9 Da ist aber Wir habe gezeigt w = bx { bx x B}. W { bx x B}. widschief, we sie icht parallel sid ud außerdem disjukt sid. Bemerkug B B oder B B oder B B = Beispiele Der affie Stadardraum Sei V ei K-Vektorraum. Da ist die Additio vo Vektore eie eifach trasitive Operatio V + V V ud defiiert dadurch eie affie Raum (V, V). Dieser wird mit (V) = (V) = (V, V) K schreibe wir auch bzw. V = K oder V = 2 K (I) := K := (I) := K (K ) (I) K := K (K(I) ) Seie V ei K-Vektorraum, W V ei K-liearer Uterraum ud v V ei Vektor. Da defiiert die Additio vo Vektore eie eifach trasitive Operatio W + (v+w) (v + W), (w, v + w ) v + w + w, also eie affie Uterraum ( v + W, W) vo (V). Bemerkuge (i) Verschobee lieare ka ma also i Weise mit affie (V) idetifiziere. (ii) Umgekehrt ist jeder K-affie Uterraum vo (V) vo dieser Gestalt. Beweis vo (ii). Sei (B, W) ei K-affier Uterraum vo (V). Da ist W V ei K-liearer Uterraum vo V ud B V eie icht-leere Teilmege. Wir fixiere eie Elemet v B. 2 K (I) der Idexmege I mit der Eigeschaft, daß jeder Vektorraum der Familie gleich K ist.

10 Da ist die Abbildug W B, w v+w, ach bijektiv, d.h. es gilt B = {v + w w W} = v + W. Mit adere Worte, der Uterraum ist vo der behauptete Gestalt. Seie A K m ud b K m Gleichugssystems Ax = b etweder leer oder ei K-affier Uterraum vo. Umgekehrt ist jeder K-afie Uterraum des Beweis. Sei das Gleichugssytem Ax = b gegebe. Wir betrachte die lieare Abbildug f : K K, x Ax. A L = { x K Ax = b } = { x K f A (x) = b }. Wir ehme a, die Mege L ist icht leer, d.h. es gibt eie Pukt a L. Es gilt f A (a) = b, also L = { x K f A (x) = f A (a) } = { x K f A (x-a) = 0} = { x K x - a Ker(f A )} = a + Ker(f A ). mit eiem verschobee lieare Uterraum ud damit (ach ) mit eiem affie Uterraum idetifiziere. Sei umgekehrt ei affier Uterraum des gegebe. Nach ist er vo der Gestalt (v + W, W) mit eiem K-lieare Uterraum W K ud eie Vektor v K. Wir fixiere eie Basis des Faktorraums K /W ud betrachte de dazu K /W K m Isomorphismus vo Die Zusammesetzug mit dem Homomorphismus K K /W ist eie lieare Abbildug f: K K m mit dem Ker Ker(f) = W. Als lieare Abbildug : K K m ist f gerade die Multiplikatio mit eier Matrix, sage wir f: : K K m, x Ax. Es gilt v + W = v + Ker(f) = {v +x x K, f(x) = 0} = {y y K, f(y-v) = 0 }

11 Seie ( A, V) ei K-affier Raum ud { (Bi, W i )} i I = {y y K, Ay = b} mit b := Av. Mit adere Worte, v + W ist die Gleichugssystems Ay = b. des lieare Pukte, Gerade, Ebee ud Hyperebee ( a + {0}, {0}) = ({a}, {0}) Sie sid also durch ihre eizige Pukt a eideutig bestimmt. Wir werde sie oft mit dem Pukt a idetifiziere. Die eidimesioale K-affie heiße auch Gerade, die zweidimesioale Ebee ud die vo der Dimesio dim V - 1 Hyperebee. Falls B icht leer ist, so ist wird mit B := i I B i ud W := i I W i. (B, W) i I (B i, W i ) bezeichet. Beweis. Wir habe zu zeige, der Vektorraum W operiert eifach trasitiv auf B. 1. W operiert auf B, d.h. die Abbildug W B B, (w, x) x + w, W ud x B ud beliebig vorgegebees i I gilt w W, x B i i also (da W auf B operiert) auch x + w B I gilt, folgt i i i i, W i ) ud x + w B. 2. Die Operatio ist eifach, d.h. aus x + w = x + w (mit x B ud w,w W) folgt w = x B B i, w,w W W i ud die Operatio vo W i auf B i eifach ist. 3. Die Operatio ist trasitiv B gibt es ei w W mit x + w = y. I gilt x, y B B i. Da W i auf B i trasitiv operiert, gibt es ei w i mit x + w i = y ud w i W. I. Da die Operatio vo V auf A eifach ist, die w i d.h. w i w i = w j I, w W. i, d.h.

12 Seie (A, V) ei K-affier Raum ud X A eie beliebige icht-leere Teilmege. Da B mit (<X>, V ) X bezeichet ud heißt der vo X aufgespate affie Uterraum vo (A, V). Bemerkug Sei x erzeugt, X. Da wird der Vektorraum V X vo alle Vektore der Gestalt xy mit y X - {x} V X = < xy y X - {x} > ud die Mege der Pukte ist gerade <X> = x + VX. Beweis. Nach Defiitio vo <X> gilt X (i). Nach (ii) gilt außerdem Da V X ei Vektorraum ist, folgt V X = {xy y <X>} { yx y X } V X W mit W := < xy y X - {x} >. (x + W, W ). X gilt y = x + xy 3 x + W d.h. es ist X x + W. Mit adere Worte, (x + W, W ) zu de affie vo (A, V), dere Durchschitt gerade (<X>, V ) ist. Isbesodere ist X damit V X d.h. es besteht die umgekehrte Iklusio. W, Seie (A, V) ei K-affier Raum ud {(B i, W i } i I eie Familie vo K-afie i I B erzeugte K-affie Uterraum vo i (A, V) auch Verbidugsraum dieser Familie. Bemerkuge (i) Der Verbidugsraum eier Familie ist der kleiste Uterraum vo (A, V), der alle (ii) A ist der vo X erzeugte Uterraum gerade der Verbidugsraum der Familie der Pukte vo X. Sei := (A, V) ei K-affier Raum. (a) Die Pukte x,...,x A heiße, we der vo der Mege 0 3 = 0 W.

13 {x 0,..., x } aufgespate affie Uterraum vo die Dimesio besitzt. (b) Eie icht-leere Teilmege X A heißt affi = 1, 2, 3,... (c) heißt affie Basis vo Beispiele A. Ei eizeler Pukt x erzeugte affie Uterraum ist gerade ({x}, 0 ), ud es gilt dim 0 = 0. B. Zwei Pukte x, y we sie verschiede sid: Ist (B, W) der vo ihe erzeugte Uterraum, so gilt ach W = der vo xy erzeugte Vektorraum = K xy ud dim W = 1 falls x y 0 sost Die achfolgede Aussage verallgemeiert diese beide Beispiele. Seie =(A, V) ei K-affier Raum ud x 0,..., x A Pukte vo. Da sid (i) x 0,..., x (ii) x x,..., x x Beweis. (i) (ii). Sei (B, W) der vo der Mege X := {x,..., x } aufgespate affie 0 Uterraum. Da gilt ach Defiitio (a), (1) dim K W =. Nach der Bemerkug vo wird der Vektorraum W = V X = <x 0 x 1,..., x 0 x > vo de Vektore x 0 x 1,..., x 0 x erzeugt. Wege (1) sei. (ii) diese liear (i). Sei W der vo de Vektore x 0 x 1,..., x 0 x erzeugte K-Vektorraum. Weil dim W =. Nach der Bemerkug vo ist aber W = V X mit X = {x 0,..., x }, d.h. der vo X erzeugte K-affie Raum hat die Dimesio. Nach Defiitio sid da aber die Pukte x 0,..., x Folgerug Jeder -dimesioale K-affie Raum = (A, V) besitzt eie Basis

14 x 0,..., x A. Beweis. Nach Voraussetzug gilt dim V =, d.h. es gibt eie Basis v,..., v V 1 aus Vektore. Wir fixiere eie Pukt x A 0 ud setze x := x + v i 0 i Da gilt Da die v i als Basisvektore liear v i := x 0 x i. sid, sid die Pukte x 0,..., x afi Zu midest erzeuge sie eie affie Uterraum vo (A, V), sage wir (A, V ). Nach der Bemerkug vo gilt Wege x 0 A A gilt da aber V = <x 0 x 1,..., x 0 x > = <v 1,..., v > = V. A = x 0 + V = x 0 + V = A, d.h. die x i bilde ei Erzeugedesystem vo (A, V).. Erzeugedesysteme Seie = (A, V) ei K-affier Raum ud X A eie icht-leere Mege vo Pukte. (i) ). (ii) Es gibt ei x X derart, daß die Vektore bilde). (iii) X sid die Vektore yx V mit y X - {x} yx V mit y X - {x} liear (bzw. sie bilde ei Erzeugedesystem bzw. eie Basis vo V). Beweis. Die Aussage der affie ergibt sich aus dem Spezialfall edlicher Mege (d.h. aus ) ud der Defiitio der affie Die Aussage der Erzeugedesysteme ergibt sich aus der Beschreibug des Vektorraums V i der Bemerkug vo ud der eifache der X Operatio dieses Vektorraums (ach derselbe Argumetatio wie im Beweis vo ). Die Aussage der Base ergibt sich aus de beide Aussage der Folgerug (i) Jeder affie Raum besitzt eie Basis.

15 (ii) Basis dieses Raums. Seie = (A, V) ei K-affier Raum mit dem Koordiatesystem := (o; v,..., v ) 1 ud p,..., p A 0 Pukte vo. mit de Koordiatevektore x i1... x i K, i = 1,...,, (i) p 0,..., p (ii) Die Matirx x 11 -x x 1 -x x 1 -x 0... x -x 0 hat de Rag. (iii) Die Matrix x... x x... x 0 hat de Rag +1. Beweis. (i) (ii). Die Pukte p,..., p sid ach geau da affi 0 p 0 p 1,..., p 0 p K V, x 1... xi v, 1 x i=1,..., etspreche diese Vektore gerade de Koordiatevektore (1) x -x x -x x -x 1 0 x -x 0 de wegem gilt p i = o + xij v j j=1 p o + (xij -x )v = o + (xij -x + x )v = p. 0j j 0j 0j j i j=1 j=1

16 Die affie der p i ist damit zu lieare der (ii) (iii). Wir betrachte die Determiate der Matrix vo (iii) ud ziehe die erste Spalte vo alle adere Spalte ab ud wede de Etwicklugssatz a. Wir erhalte x... x x x -x... x -x det = det x... x x x -x... x -x x... x 01 1 = det x... x Affie Abbilduge Defiitio Seie = (A, V) ud affie Abbildug besteht aus eier Abbildug f: A A ud eier K-lieare Abbildug : V V, wobei gilt f(a + v) = f(a) + (v) A ud jede Vektor v V. Geauer, wir werde uter eier affie Abbildug ei Paar (f, ) verstehe mit f ud wie obe. Eie affie Trasformatio oder auch ist eie bijektive affie Abbildug. Bemerkuge (i) Ituitiv werde wir die Abbildug f als die affie Abbildug asehe. We ma vo eier Eigeschaft vo (f, ) spricht, so meit ma im allgemeie damit die etsprechede Eigeschaft vo f. (ii) (iii) (iv) Die idetische Abbildug (oder geauer, das Paar (Id, Id) idetischer Abbildug A A bzw. V Sid (f, ): (A, V) (A, V ) ud (g, ): (A, V ) (A, V ) affie Abbilduge, so ist auch die Zusammesetzug (g, ) (f, ) := (g f, ): (A, V) (A, V ) eie affiie Abbildug Eigeschafte affier Abbilduge Seie = (A, V) ud (i) ): ud beliebige Pukt p, q A gilt (pq) = f(p)f(q).

17 Isbesodere ist die Abbildug auf de Vektore durch die Abbildug auf de Pukte festgelegt. (ii) Seie : V V eie K-lieare Abbildug ud o A, o A Pukte. Da gibt es geau eie K-affie Abbildug (f, ): mit f(o) = o. Ist ijektiv (iii) Sei (f, ): eie K-affie Abbildug. Da sid folgede Aussage (a) f ist bijektiv. (b) ist bijektiv. (c) (f, ) ist ei afier Isomorphismus, d.h. es gibt eie K-affie Abbildug (g, ): mit (f, ) (g, ) = (Id, Id) ud (g, ) (f, ) = (Id, Id). (iv) Die affie Trasformatioe des affie Raums bilde eie Gruppe. Beweis. Zu (i). Es gilt f(p) + (pq) = f(p + pq) = f(q) = f(p) + f(p)f(q). Die Behauptug folgt aus der Eifachheit der Operatio vo : Zu (ii) A: f(x) = f(o + ox) = f(o) + (ox) = o + (ox). Also ist f eideutig festgelegt. Wir habe och die Existez vo f zu beweise. Wir setze f(x) := o + (ox A. Es reicht zu zeige, (f, ) ist eie affie Abbildug, d.h. es gilt f(p + v) = f(p) + A ud v V. Sei q = p + v. Da gilt ud f(p + v) = f(q) = f(o + oq) = o + (oq) f(p) + (v) = f(p) + (pq) (ach Defiitio vo q) = f(o + op) + (pq) = o + (op) + (pq) = o + (op + pq) = o + (oq) = f(q) (ach Defiitio vo f) = f(p + v) (ach Defiitio vo q). Mit adere Worte, (f, ) ist affi. impliziert die vo f. Zur. Seie ijektiv ud p,q A Pukte mit f(p) = f(q). Da gilt ud also also f(p) = f(o + op) = o + (op) f(q) = f(o + oq) = o + (oq) (op) = (oq) op = oq

18 (weil ijektiv ist), also p = o + op = o + oq = q. Zur. Seie surjektiv ud p A vorgegebe. Da gilt Weil Sei Da gilt p = o + o p. surjektiv ist, gibt es ei v V mit (v) = o p. p := o + v. f(p) = f(o + v) = f(o) + (v) = o + o p = p. Wir habe gezeigt, f ist surjektiv. Zu (iii). (a) (b). ist surjektiv. Sei v V vorgegebe. Wir fixiere eie Pukt o A ud setze x := f(o) + v. Weil f surjektiv ist, gibt es eie Pukt x A mit f(x) = x. Es folgt f(x) = f(o) + v, also ach (i) v = f(o)f(x) = (ox). ist ijektiv. Sei v V ei Vektor mit (v) = 0. Wir habe zu zeige, v = 0. Dazu fixiere wir eie beliebige Pukt p A ud setze q = p + v. Es gilt f(q) = f(p + v) = f(p) + (v) = f(p) + 0 = f(p). Weil f ijektiv ist, folgt p = q, also p + 0 = p = q = p + v, also v = 0 (wege der Eifachheit der Operatio vo. (b) (c). Nach (ii) ist mit auch f bijektiv. Wir setze g := f -1 : A A ud := -1 : V V. Es reicht zu zeige, (g, ) ist eie affie Abbildug, de ach Kostruktio ist (g, ) ivers zu (f, ). Mit ist auch = -1 eie lieare Abbildug. Weiter gilt p A ud v V : f(g(p +v )) = p + v = f(g(p )) + ( (v )) = f(g(p ) + (v )) weil (f, ) affi ist Weil f ijektiv ist, folgt g(p +v ) = g(p ) + (v ). Mit adere Worte, (g, ) ist affi. (c) (a). Weil es eie zu (f, ) iverse affie Abbildug (g, ) gibt, besitzt f eie Umkehrabbildug g ud ist damit isbesodere bijektiv. Zu (iv). Folgt durch direktes der Gruppeaxiome. Ma ka auch das Utergruppekriterium verwede Affie Fortsetzuge Seie := (A, V) ud X A eie affie Basis vo (A, V). Da gibt es zu jeder Abbildug g: X A geau eie affie Abbildug

19 mit f X = g. (f, ): Beweis. Existez. Wir fixiere eie Pukt x X. Weil X eie affie Basis vo bilde die Vektore xy mit y X, y x, ist, : V V dadurch defiiere, daß wir die Bilder der Elemete der Basis (beliebig) vorgebe. Wir derart, daß gilt (xy) := g(x)g(y) X, y x. Nach (ii) gibt es geau eie K-affie Abbildug (f, ): mit f(x) = g(x). X gilt f(y) = f(x + xy) = f(x) + (xy) = g(x) + g(x)g(y) = g(y), d.h. (f, ) ist eie Abbildug der gesuchte Art. Eideutigkeit. Seie zwei K-affie Abbilduge (f, ): ud (f, ): gegebe mit f X = g = f X. Wir habe zu zeige, die beide affie Abbildug sid X - {x} gilt (xy) = f (x)f (y) = g(x)g(y) = f(x)f(y) = (xy). Die beide K-lieare Abbildug ud habe somit auf de Vektore xy dieselbe Werte. Da diese Vektore eie Basis vo V bilde, folgt =. Zum Beweis der Gleichheit vo (f, ) ud (f, ) reicht es deshalb, we wir zeige, daß f ud f i eiem Pukt deselbe Wert aehme (ach (ii)). Es gilt aber f(x) = g(x) = f (x) (weil x ei Pukt vo X ist) Defiitioe Ei affier Moomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus ist eie affie Abbildug (f, ): ud heiße isomorph, we es eie Isomorphismus gibt. Die Gruppe der affie Trasformatioe vo heißt auch affie Gruppe vo. Bemerkuge (i) (iii) Nach (iii) ist eie affie Abbldug geau da ei affier Isomorphismus, we es eie zu dieser Abbildug iverse affie Abbildug gibt Das Bild eier affie Abbildug Sei (f, ): = (A, V) = (A, V ) eie K-affie Abbildug. Da ist

20 (f(a), (V)) ei K-affier Uterraum vo. Allgemeier ist das Bild eies K-affie Uterraums bei eier affie Abbildug ei K- affier Uterraum. Beweis. Sei (B, W) (A, V) ei K-affier Uterraum vo (A, V). Es reicht zu zeige, (f(b), (W)) ist ei K-affier Uterraum vo (A, V ). Weil W ei K-liearer Uterraum vo V ud eie K-lieare Abbildug ist, ist W := (W) V ei K-liearer Uterraum vo V. Damit ist aber (f(b) + W, W ) B ei K-affier Uterraum vo (A, V ). Es reicht zu zeige, f(b) + W = f(b). Beweis vo W gilt f(b) + (w) = f(b + w) f(b) (weil b + w i B liegt, de W operiert auf B) Beweis vo : Sei x B. Da gilt bx W, also f(x) = f(b + bx) = f(b) + (bx) Das Bild eier affie Abbildug f(b) + (W) = f(b) + W. Sei (f, ): := (A, V) := (A, V ) eie K-affie Abbildug. Da heißt der K- affie Uterraum (f(a), (V)) vo Bild vo (f, ) ud wird mit Im (f, ) oder auch Im (f) bezeichet. Vorbemerkug we ma de Begriff der Kardialzahl verwedet. Formal wird der Begriff der der Kardialzahl ei Zum Begriff der Kardialzahl De Begriff der Kardialzahl M M Gesamtheit aller dieser Mege M. Bezeichug: # M Die Aussage, daß die Mege M 1 ud M 2 lediglich aus, daß es eie bijektive Abbildug M 1 M 2 gibt. Ma sagt, zwische de Kardialzahle c 1 ud c 2 besteht die Relatio c 1 c 2 Mege M 1 bzw. M 2 eie ijektive Abbildug

21 gibt. Bemerkuge (i) betrachte. (ii) M 1 M 2 d.h. es gilt c c oder c = c oder c c. (iii) Das Reche mit Kardialzahle ist etwas ebe de Recheregel, die wir vo de Zahle kee ist zum Beispiel außerdem c + c = max (c, c ), falls midestes eie der beide Kardialzahle uedlich ist. (iv) Wir verwede im folgede diese Begriff ur, um die Tatsache, daß es eie bijektive Abbildug zwische zwei Mege gibt, i eier etwas suggestivere (v) Mit Hilfe des Begriffs der Kardialzahl ka ma die Dimesio eies Vektorraums etwas geauer defiiere: als gemeisame Kardialzahl der Base dieses Raums. (i) = (A, V) ud jede Basis B vo V ist (ii) habe. (iii) der Dimesio d. Beweis. Zu (i). Sei a A ei beliebiger Pukt. Nach (ii) reicht es, eie : K (B) V zu fide. Nu ist aber (B) K.4 : K (B) V, (x i ) i B i Bx i i ei solcher, de B ist eie Basis vo V. Zu (ii). Seie = (A, V) ud = (A, V ) zwei K-affie ud B bzw. B ud sid isomorph #B = #B. Sei #B = #B. Da gibt es zueiader iverse bijektive Abbilduge f: B B ( V ) ud g: B B ( V). Diese lasse sich fortsetze zu zueiader iverse K-lieare Abbilduge ~ f : V V bzw. ~ g: V V. Damit sid aber ( ~ f, ~ f ) (V, V) (V, V ) bzw. ( g, ~ g): ~ (V, V ) (V, V) zueiader iverse K-affie Abbiduge, d.h. es gilt (V) (V ). Da gilt aber auch. Sei umgekehrt. Da gilt aber auch (V) (V ), d.h. V ud V sid : V V. 4 Isbesodere ist (B) K (V)

22 ~ B := { (i)} i B B :B ~ B, i (i), ist eie bijektive Abbildug. Da je zwei Base eies Vektorraums aus derselbe Azahl vo Basiselemete bestehe, gibt es eie bijektive Abildug : ~ B B. Zusamme erhalte wir eie bijektive Abbildug B : B B. Isbesodere gilt #B = #B. Zu (iii). Existez. Seie d eie Kardialzahl ud M eie Mege mit der Kardialzahl d. Wir bezeiche mit V de vo M frei erzeugte K-Vektorraum. Dies ist ei Vektorraum mit der Basis M, d.h. es gilt dim V = #M. Da ist aber (V, V) ei K-affier Raum mit der Dimesio dim (V, V) = dim V = #M = d. Wir habe gezeigt, zu jeder Kardialzahl d gibt es eie K-affie Raum mit der Dimesio d. Eideutigkeit. Folgt aus (ii) Folgerug: der edlich-dimesioale Fall K mit die eizige edlich-dimesioale Wirkug affier Abbildug auf die Koordiate Seie (f, ): = (A, V) = (A, V ) eie K-affie Abbildug zwische edlich- = (o, v 1,...,v ), = (o ; v 1,...,v ) Koordiatesysteme vo bzw. A mit a a. Weiter bezeiche A mit M = M v v ( ) die Matrix der K-lieare Abbildug jede Pukt a A: f(a) = f(o) + M a. Beweis. Wir Bezeichuge die der auftretede Koordiatevektore ud Matrize ei, sage wir a = (x ) i Da gilt M = (c ij ) f(a) f(o) = (x i ) = ( i ).

23 a = o + xi v i i=1 (1) f(a) = o + f(o) = o + x i v i i=1 i v i i=1 also f(a) = f(o + = f(o) + xi v ) i i=1 xi (v ) i i=1 = f(o) + xij=1cji v j i=1 = f(o) + ( cji x ) v i j j=1 i=1 = o + j v j + ( cji x ) v i j j=1 j=1 i=1 = o + ( + cji x ) v j i j j=1 i=1 Vergleich mit (1) liefert (weil die v eie Basis bilde): j x = + cji x, j j i i=1 d.h. die j-te Koordiate vo f(o) ist die Summe aus der j-te Koordiate vo f(o) ud der j-te Koordiate des Matrize-Produkts M a Dies ist aber gerade die Behauptug. 1.5 Affie Geometrie Die Gerade durch zwei Pukte bezeiche wir mit pq de vo p ud q erzeugte 1-dimesioale affie Uterraum, d.h. die Gerade durch p ud q. Seie = (A, V) ei K-affier Raum ud (p, q) ud (u, v) Paare vo Pukte p, q, u, v A mit p q.

24 Wir ehme a, die Puktpaare liege auf parallele Gerade. Da gilt 5 uv pq K. Es gibt also ei eideutig bestimmtes K mit uv = pq. Dieses heißt vo (u, v) zu (p,q) ud wird mit (u, v) : (p, q) = defiiert. uv = ((u, v) : (p, q)) pq v q u Mittelpukte Seie ei K-affier Raum ud p, q zwei Pukte vo. Im Fall K = heißt die Mege [p, q] := { p + t pq t, 0 t 1} Verbidugsstrecke oder auch eifach ur Strecke vo p ach q ḋer [u, v] ud [p, q]: (u, v) : (p, q) = p der Strecke eiem beliege K sid weder der Begriff der Strecke och der defiiert. Das dieser sich jedoch immer och defiiere. Ist die Charakteristik vo K ugleich 2, so ist s = p pq ei wohldefiierter Pukt des vo p ud q erzeugte affie Raums pq ud heißt Mittelpukt vo p ud q. Bemerkuge (i) Die Defiitio ist symmetrisch i p ud q, de es ist q qp = q + qp qp = p qp = p pq = s (ii) Im Fall p = q gilt s = p = q (weil da pq der Nullvektor ist). 5 Wege p q ist der vo pq erzeugte Vektorraum 1-dimesioal. Der vo uv erzeugte Vektorraum hat ethalte, d.h. es gilt uv K pq K.

25 (iii) Im Fall p q gilt s p ud s q (wege pq 0 bzw. wege (i) ud qp 0). (iv) Nach Defitio ist bzw. ach (i) gilt ps = 1 2 pq bzw. qs = 1 2 qp, (v) (p, s) : (p, q) = 1 2 = (q, s) : (q, p). Aus (iv) ergibt sich isbesodere ps = 1 2 pq = qp = - qs, also (p, s) : (q, s) = -1. (vi) Sid umgekehrt ei K-affier Raum (wobei der beliebig sei) mit drei p q ud (p, s) : (q, s) = -1. ist, so ist die Charakteristik vo K ugleich Null ud s der Mittelpukt vo p ud q. Beweis Seie = (A, V) ud (f, ): eie ijektive K-affie Abbildug (d.h. ei Moomorphismus). (i) sid geau da parallel, we dere Bilder bei sid. (ii) Seie (u, v) ud (p, q) Puktpaare auf parallele Gerade vo mit p q. Da sid (f(u), f(v)) ud (f(p), f(q)) Puktpaare auf parallele Gerade vo mit (f(u), f(v)) : (f(p), f(q)) = (u, v) : (p, q). Beweis. Zu (i). Seie (A, V ) ud (A, V. Da gilt (A, V ) (A, V ) V V oder V V (V ) (V ) oder (V ) (V ) (f(a 1 ), (V 1 )) (f(a 2 ), (V 2 )) Zu (ii). Nach Voraussetzug gibt es ei Wir wede Strahlesatz Seie a ud erhalte uv = f(u)f(v) = (uv) = K mit pq. = (A, V) ei K-affier Raum ud g, g A (pq) = f(p)f(q). 6 Die Implikatio besteht immer, die Implikatio besteht, weil f ijektiv ist.

26 zwei verschiedee Gerade vo, die sich i eiem Pukt o vo scheide, g g = {o}. Weiter seie p, q g - {o} ud p, q g - {o} vo o verschiedee Pukte der Gerade g bzw. g. Da gilt (i) p p ud q q. (ii) (iii) pp ud qq sid geau da parallel, we (o, q) : (o, p) = (o, q ) : (o, q) gilt. I der Situatio vo (ii) ist (o, q) : (o, p) = (o, q ) : (o, p ) = (q, q ) : (p, p ). d.h. (o,q) (o,p) = (o,q ) (o,p ) = (q,q ) (p,p ) q p q p o Beweis. Zu (i). Da p vo o verschiede ist, erzeuge p ud o die Gerade g, Aalog erzeuge p die Gerade g, p = p, so Voraussetzuge. Also gilt Aalog folgt q q. Zu (ii). Wir setze g = op. g = op. damit auch g = g sid im Widerspruch zu usere p p. := (o, q) : (o, p) ud := (o, q ) : (o, p ). (1) oq = op ud oq = op Sid pp ud qq parallel, so gibt es ei K mit (2) qq = pp. Es folgt op = oq (vgl. (1)) = oq + qq

27 also = op + pp (vgl. (1) bzw. (2)) = op + (op - op) = ( - ) op + op, ( - ) op = ( - ) op. die Gerade außer o eie weitere Pukt gemeisam (de ma durch Additio dieses Vektors zu o Das ist aber icht der Fall, also gilt ( - ) op = ( - ) op = 0. Wege p o ud p o folgt = =, Sei jetzt umgekehrt =. Da gilt qq = oq - oq = op - op (vgl. (1)) = (op - op) = pp Isbesodere sid qq ud pp liear Diese Vektore erzeuge aber die zu de Gerade qq bzw. Zu (iii). Wie wir gesehe habe gilt = = i der Situatio vo (ii). Nach (1) ud (2) ist dies aber gerade die Aussage vo (iii) Satz vo Pappos (3. Jahrhudert) Seie = (A, V) ei K-affier Raum ud g, g A zwei verschiedee Gerade vo, die sich i eiem Pukt o vo scheide, g g = {o}. Weiter seie p, q, r g - {o} ud p, q, r g - {o} vo o verschiedee Pukte der Gerade g bzw. g. Da gilt (i) p p ud q q ud r r. (ii) Mit pq qp ud qr rq gilt auch pr rp. (iii) I der Situatio vo (ii) ist (r, p ) : (p, r ) = ((o, q) : (o, p)) ((o, r) : (o, q)) d.h. (r,p ) (p,r ) = (o,q) (o,p) = (o,r) (o,q)

28 g r q p p q r o Beweis. Zu (i). Ergibt sich aus dem Strahlesatz (1.5.5 (i)). Zu (ii) ud (iii). Es gelte (1) pq qp ud qr rq Wie im Beweis vo setze wir := (o, q) : (o, p) ud := (o, q ) : (o, p ). ud außerdem sei := (o, r) : (o, q) ud := (o, r ) : (o, q ). Wege (1) impliziert der Strahlesatz (Aussage (ii)) 7 : := (o, q) : (o, p) = (o, p ) : (o, q ) = 1/ ud := (o, r) : (o, q) = (o, q ) : (o, r ) = 1/. Es folgt rp = op - or = oq - oq = or - op = pr. Isbesodere sid die Gerade rp ud pr wie behauptet parallel ud das (r, p ) : (p, r ) = = ((o, q) : (o, p)) ( (o, r) : (o, q)). Seie a, b, c drei affi Pukte eies affie Raumes = (A, V). Ma sagt i dieser Situatio auch, diese Pukte bilde die Ecke eies icht-ausgeartete Dreicks. Weiter seie a, b, c a bc, b ac, c ab, die auf keier der Ecke des Dreiecks liege: {a, b, c} {a, b, c } =. 7 durch die gestrichee ersetzt. Hier habe wir außerdem och die Bezeichuge der Pukte zu vertausche.

29 (i) (ii) a, b ud c liege auf eier Gerade. (a,b) (b ;c) (c,a) (a ;c) (b ;a) (c,b) = 1. c b a a b c Beweis. Sei E die vo a, b ud c aufgespate Ebee i ac liege da i E ud isbesodere auch die Puke a, b, c :. Die Gerade ab, bc ud a, b, c E ud ab, bc, ac E. durch E ersetze ud aehme, wird vo a, b ud c aufgespat. Isbesodere gilt da dim = 2 ud je zwei icht-parallele Gerade vo scheide sich i geau eiem Pukt. Wir setze := (a, b) : (a, c) := (b, c) : (b, a) := (c, a) : (c, b). Weil die Pukte a, b, c vo de Pukte a, b, c verschiede sid, sid,, vo 0 ud 1 verschiede:,, K - {0, 1}, ud gilt a b = a c b c = b a c a = c b Die Pukte a, b ud c sid ach Kostruktio paarweise verschiede ud es gilt a b ab = 1 Sei g die Gerade durch b, welche parallel ist zu ac. Wir us diese Gerade scheidet sich mit der Gerade a b i geau eiem Pukt, sage wir s: 1. Vorbemerkug: g a b = {s}. Die Gerade a b ud ac habe eie Pukt gemeisam b ) ud sid ac bc = {c}). Sie sid also icht parallel. Da

30 sid aber auch a b ud g icht parallel, scheide sich also i geau eiem Pukt. Diese Pukt beszeiche wir mit s. 2. Vorbemerkug: s b a b, also b a b bc = {a }. c b a g a s b c 3. Vorbemerkug. sb = b c = b a.. Nehme wir jetzt a, a, b ud c liege auf eier Gerade. Da gilt (ebefalls ach dem Strahlesatz) Durch Eisetze erhalte wir b a =.sb sb = Da ach der zweite Vorbemerkug b s ist, gilt sb 0, d.h. es ist = 1. Sei umgekehrt = 1. Wege 1 ist 1. Deshalb sid die Gerade a b ud ab icht parallel, scheide sich also i geau eiem Pukt, sage wir sb. a b ab = {t} Aus der ebe bewiesee Implikatio ergibt sich (t, a):(t, b) = 1, also := (t, a):(t, b) = 1 = = (c, a) : (c, b). Damit ist aber c = 1 (vgl. die Isbesodere liegt c auf der vo a ud b aufgespate Gerade Satz vo Ceva (um 1600) Seie a, b, c = (A, V) ud

31 a, b, c a bc, b ac, c ab, die auf keier der Ecke des Dreiecks liege: {a, b, c} {a, b, c } =. (i) (ii) Die Gerade aa, bb, cc scheide sich i eiem Pukt oder sid parallel. (a,b) (b ;c) (c,a) (a ;c) (b ;a) (c,b) = -1. Beweis. Wie im Beweis des Satzes vo Meelaos wir aehme, ist die vo a, b ud c aufgespate Ebee. Wir verwede die Bezeichuge des Beweises vo Die Aussage der drei Vorbemerkuge bleibe i der vorliegede Situatio (die dieselbe ist wie beim Satz vo Meelaos) richtig. c c b b a a Nehme wir a, die Gerade aa, bb, cc sid parallel. Nach dem Strahlesatz gilt := (a, c ) : (a, b) = (a, c) : (a, b ) ud := (c, b ) : (c, a) = (c, b) : (c, a ). Es folgt also also ( - 1) c b = ( - 1) c a = (c a - ba) = c b (1 - ) b a = b a - b c = ca = b a ( - 1) = 1 -, = (1- ) = - = 1-. = 1 - Zusamme folgt = (1- ) = - = = -1. Behadel wir jetzt de Fall, daß die Gerade aa, bb, cc icht parallel sid. O.B.d.A. aa ud cc sid icht parallel.

32 c b a a c b Die beide Gerade scheide sich da i geau eiem Pukt, sage wir i s, aa cc = {s}. Weil a,s ud a auf eier Gerade liege, gilt ach dem Satz vo Meelaos (agewadt auf das Dreieck {c,b, c}: (a,b):(a,c) (s,c):(s,c ) (a,c ):(a,b) = 1 (der erste Faktor liks ist ). Wir setze := (b, a) : (b, c ) := (a, c ) : (a, b) Da gilt (1) (s,c):(s,c ) = 1 ud bc = ba (ach Defiitio vo ) = - bc also (2) = -. Damit erhalte wir (s,c ) (b,a) (s,c) (b;c ) - 1 = c a (ach Defiitio vo ) = c b (ach Defiitio vo im Beweis vo 1.5.7) = (s,c ) (s,c) = (s,c):(s,c ) - 1 = (s,c):(s,c ) - 1 (ach Defiitio vo ) - 1 (Erweiter mit ) = - (s,c):(s,c ) - 1(wege (2)) = - ( + 1) (wege (1)) Die Bedigug = -1 d.h. zu (s,c ) (s,c) (b,a) (b;c ) - 1

33 (s,c ) (b,c) (b,a) (s,c) (b,a) (b;c ) - 1 Nach dem Satz vo Meelaos, agewadt auf das Dreieck {a, c, c} ist dies wiederum auf eier Gerade liege, d.h. zu s, b ud b s bb. Da s ach Defiitio der Schittpukt vo aa ud cc ist, bedeutet dies gerade, aa, bb ud cc liege auf eier Gerade Satz vo Desargues ( , Igeieur i Paris) Liege die Schittpukte eiader etsprecheder Seite zweier Dreiecke auf eier Gerade, so gehe die Verbidugsgerade eiader etsprecheder Ecke durch eie Pukt (ud umgekehrt). Geauer: seie {a, b, c} ud {a, b, c } icht ausgeartete Dreiecke eies K-affie Raums. Wir ehme a, eiader etsprechede Ecke sid verschiede, a a, b b, c c ud eiader etsprechede Seite scheide sich i eiem Pukt, sage wir (1) ab a b = {x}, bc b c = {y}, ca c a = {z}. (i) (ii) x, y ud z liege auf eier Gerade. aa, bb ud cd gehe durch eie Pukt. Bemerkuge (i) Die hier agegebee Variate des Satzes vo Desargues ist ur eie vo viele verschiedee Variate. Eie adere Variate ud dere Beweis fide Sie i der (ii) Wir verzichte hier auf die Formulierug der verschiedee Variate ud gebe auch keie Beweis a. Die uterschiedliche Formulieruge ziemlich udurchsichtig. Es zum Zeitpukt uklar, was die verschiedee Variate miteiader zu tu habe, ud die Beweise (iii) Der Grud diese viele verschiedee Formulieruge ud de Aufwad bei de Beweise besteht dari, daß der Satz vo Desartues im Grud kei Satz des affie Raumes ist, soder ei Satz des sogeate projektive Raum. (iv) Wir ehme deshalb diese Satz zum Alaß, de Begriff des projektive Raums Daach werde wir de Satz vo Desargues im projektive Raum formuliere (es gibt dort ur eie Variate) ud eie (eifache) Beweis agebe. Der obige Satz ud alle seie Variate ergebe sich aus diesem Satz als (v) als bisher vom Ihalt der Vorlesug vo abweiche. Wir orietiere us vo jetzt am Buch vo O.H. Keller: Aalytische Geometrie ud lieare Algebra. 2.0 Vorbemerkug (i)

34 (ii) Topologie, die wir hier icht weiter betrachte) kompakt. vereifache), Zum Beispiel gilt statt des affie Satzes Je zwei verschiedee Gerade der Ebee scheide sich i geau eiem Pukt, es sei de, sie sid parallel. i der projektive Geometrie die Aussage: Je zwei verschiedee Gerade der Ebee scheide sich i geau eiem Pukt. (we sie parallel sid, so scheide sie sich im Uedliche). Wie die affie uedlich ferer Pukte. (iii) Malerei Idee der perspektivische Malerei, daß das Wesetliche bei der Abbildug der Wirklichkeit auf eier Leiwad icht die Pukte auf der Leiwad soder der Projektiosstrahl ist, der das wirkliche Objekt mit dem Auge des Malers verbidet.

35 1 o p g Ma beachte, i der Ebee zu jedem Pukt p der waagerechte Gerade durch (0,1) Gerade durch diese Pukt ud de Ursprug. Umgekehrt mit eier Ausahme zu jeder Gerade durch (0,0) ei Pukt auf der waagerechte Gerade. Diese Ausahme ist die x-achse. Die Mege der Gerade durch (0, 1) ka ma also als 2.1 Die Defiitio des K Sei V ei edlich-dimesioaler K-Vektorraum. Da bezeiche (V) := {Kv v V- {0}}. d.h. die Mege aller Gerade i V +1 setze wir K := (K+1 ). Diese Mege heißt -dimesioaler projektiver Raum K, im Fall = 1 auch projektive Gerade projektive Ebee. Wir schreibe x 0 [x,...,x ] := K... 0 x x 0... x ud de Ursprug. Es gilt da ud [x 0,...,x ] = [y 0,...,y ] K = {[x 0,...,x ] x 0... x = x 0... x K +1 - {0}} y 0... y K

36 x i = y i K ud alle i. Die x heiße projektive Koordiate des Puktes [x,...,x ] vo i 0 K. Bemerkuge (i) ur bis auf eie gemeisame vo Null verschiedee Faktor aus K bestimmt. (ii) die Leiwad eies Malers zu der die Leiwad umgebede Wirklichkeit. So wie ma die Leiwad i der Wirklichkeit verschiede positioiere ka, so sich der Raum auf verschiedee Weise i de projektive Raum eibette. (iii) Seie A bezeiche [g] die Mege der zu g parallele Gerade. Solche Mege heißt Richtug vo. Ma sagt da auch, g ist eie Gerade der Richtug g. Die Mege aller Richtuge vo wird auch mit ( ) A ist die Abbildug (V) ( ), g [o + g], welche de 1-dimesioale K-lieare Uterraum g = K v auf die Richtug [o + g] der Gerade o + g durch o ud o + v abbildet, bijektiv der spezielle Wahl vo o. Mit adere Worte, die Mege ( ) sich i Weise mit dem projektive Raum (V) idetifiziere. 2.2 Eibettuge des K i de K Seie V ei edlich-dimesioaler Vektorraum, W V ei K-liearer Uterraum mit dim W = dim V - 1 ud v V - W verschiedeer Vektor. Da ist die folgede Abbildug ijektiv. :W (V), w K(v+w). K(v+w) v+w v+w v O w W Mit adere Worte, W sich mit eier Teilmege vo (V) idetifiziere. Diese Beweis. vo. Aus (w) = (w ) folgt

37 K(v+w) = K(v+w ), d.h. v+w = (v+w ) d.h. (1- )v = w - w. Der Vektor rechts liegt i W, d.h. das Bild vo (1- )v bei der also w = w. = 1 = 0, d.h. Abbildug V vo im( ) vo der spezielle Wahl vo v. V-{0} gilt Kx im( ) x W. Ma beachte, wege v V-W gilt dim Kv+ W > dim W = dim V- 1, also V = Kv + W. Beweis vo. Wege x W ka ma x i der Gestalt x = v + w mit K-{0} ud w W schreibe. Deshalb gilt Kx = K( v +w) = K(v + 1 w) = ( 1 w), d.h. Kx liegt im Bild vo. Beweis. vo. Sei Kx = (w) = Kx W, d.h K(v+w) W, d.h. v+w W, d.h. v W im Widerspruch zur Wahl vo v. Bemerkug Aus dem zweite Teil des Beweises ergibt sich im ( ) = (V) - (W). 2.3 Beispiel: die Fergerade Seie V := 3 1 v := 0 0 W = 2 x { y z 3 z = 0}

38 Die Abbildug : 2 2 x, [x,y,1], y idetifiziert der reelle Ebee mit de Gerade durch de Ursprug, die icht i der xy- Ebee liege. Letztere bilde gerade eie 1-dimesioale projektive Raum (ei projektive Gerade). Wadert ei Pukt p im 2 is Uedliche, so sich (p) immer eier Gerade der xy-ebee a. Die Gerade der xy-ebee ka ma sich deshalb als uedlich fere Pukte des 2 vorstelle, als Pukte am Horizot. Die Mege dieser Pukte heißt Fergerade ( 2 ) = ( 3 ) - ( 2 ) heißt Fergerade. Bemerkug Der Begriff der Fergerade hagt vo der Wahl der Eibettug ab. 2.4 Beispiel: die Ferhyperebee Seie V ei edlich-dimesioaler K-Vektorraum, W Dimesio dim W = dim V - 1 ud v V - W. V ei K-liearer Uterraum der : W (V), w K(v+w), mit dem projetive Raum (W) (der Dimesio -1) idetifiziere. Es heißt Ferhyperebee vo W i P(V). K durch eidlich viele Exemplare des K Wir setze U := {[x,...,x ] i 0 K x 0}. i jede Pukt [x,...,x ] 0 K ist ach Defiitio midestes eie Koordiate vo Null verschiede. Deshalb gilt K = U U... U 0 1 Jedes U wir damit mit dem K idetifiziere vermittels der bijektive i Abbilduge

39 i :K U, (x,..., x, x,...,x ) (x,..., x, 1, x,...,x ). i 0 i-1 i+1 0 i-1 i+1 Mit adere Worte, K ka ma als Vereiigug vo +1 Exemplare des K asehe. der Abbildug : die Abbildug ist ijektiv, de sie ist gerade vo der i i 7.2 beschriebee Art: idetifiziert ma K mit dem durch x = 1 i defiierte verschobee Uterraum im K +1, so ordete gerade jedem Pukt p vo i K die Verbidugsgerade vo p mit dem Ursprug des K +1 zu. der Abbildug i : Jeder Pukt [x 0,...,x ] vo U hat die Eigeschaft, daß die i i-te Koordiate x vo Null verschiede ist. Der Pukt sich icht, we wir alle i Koordiate mit x i -1 multipliziere. Wir also aehme, x = 1. Da liegt der i Pukt aber im Bild vo i. K Wir betrachte K als Uterraum vo K, idem wir K mit U idetifiziere, i K = U i K. Der Eifachheit halber werde wir aehme, i = 0. mit der Gleichug H: f(x 1,...,x ) = 0. Dabei sei f ei Polyom des Grades m, f K[x 1,...,x ], deg f = m. Wir frage ach der eier Beschreibug vo H als eie Teilmege des p = [x, x,...,x ] 0 1 K x 1 1. [x, x,...,x ] U, d.h. x 0, d.h. p = ( x,..., 0 x = f( x,..., 0 x x ). 0 x x ) K. 0 K. Der Pukt Die zweite Bedigug ka ma auch i der folgede Gestalt schreibe (wege x 0 0): 0 = x m x x 1 0 f( x,..., x ). 0 0 De Ausdruck auf der rechte Seite ka ma dabei als homogees Polyom des Grades m i de +1 Ubestimmte x 0,...,x auffasse. Geauer, mit

40 gilt Dies ist f(x,...,x ) = c x i 1... x i 1 i1...i i +i +...+i m F(x,...,x ) := x m x x f( x,..., x ) = 0 0 c x m-i i x i 1... x i i1...i i +i +...+i m ei homogees Polyom des Grades m i x 0,...,x. Ma et F Homogeisierug vo f. Die Homogeisierug F vo f hat im Edliche d.h. i U 0 dieselbe Nullstelle wie f. Es jedoch weitere Nullstelle hizukomme, die K - U liege. Die Mege 0 heißt projektive Abschließug vo H im Ei im H := {[ x 0,...,x ] F(x 0,...,x ) = 0} K. K ist defiiert als die Mege der Nullstelle eies homogee Polyoms. Bemerkug Ist f = f(x 0,...,x ) ei ihomogees Polyom, so ist der Begriff der Nullstelle vo f im Raum K icht wohldefiiert. Ist p = [x 0,...,x ] ei Pukt, so sid desse Koordiate ur bis auf ei gemeisames Vielfaches festgelegt. Setzt die Koordiate vo p i f ei, so ka es passiere, daß ma als Wert machmal Null ud machmal eie vo Null Ist dagege f homoge vom Grad m, so gilt f(cx 0,...,cx ) = c m f(x 0,...,x ). Nullstelle im K besitzt also homogee Polyome eie Bedeutug. ihomogee Polyome dagege icht. 2.7 Beispiel: die projektive Abschließug eier Hyperbel Sei H die ebee Hyperbel H: x 2 - y 2 = 1 (im K 2 )

41 Die projektive Abschließud im 2 K ist die Kurve mit der Gleichug H: x 2 - y 2 = t 2. Dere Pukte im Uedlichem sid gerade die Pukt [x,y,t] mit t = 0, die dieser 0 = x 2 - y 2 = (x-y)(x+y), d.h. es gilt x = y oder x = -y, d.h. die Pukte vo H im Uedliche sid gerade die Pukte der Gestalt [t, x, y] = [0, x, x] = [0, 1, 1]. Es gilt also Auf H liege also zwei Asymptode a die Hyperbel. H = H { [0, 1, 1], [0, 1, -1] }. Pukte. Diese etspreche gerade de beide 2.8 Beispiel: die projektive Abschließug eier Kurve dritte Grades Sei E die ebee Kurve dritte Grades mit der Gleichug E = E : y 2 = x(x-1)(x- ). Die projektive Abschließug im 2 ist die Kurve mit der Gleichug E: y 2 t = x(x-t)(x- t). = 0, also x = 0. Mit adere Worte, der eizige Pukt im Uedliche ist der Pukt [t, x, y] = [0, 0, y] = [0, 0, 1], d.h. E = E {[0, 0, 1],}. Bemerkuge (zum große Fermatsche Problem) (i) Sid p ud q zwei Pukte der Kurve, so scheidet die Verbidugsgerade die Kurve i eiem dritte Pukt, sage wir [t, x, y]. Der Pukt r := [0. 0, -y] liegt da auch auf der Kurve. (ii) Ma ka zeige, mit der Zuordug (p, q) r ist die Kurve eie abelsche Gruppe. Der Pukt im Uedliche spielt dabei die Rolle des eutrale Elemets. Ohe diese Pukt es diese Gruppestruktur icht. Ma schreibt r = p + q. (iii) Ma ka zeige, liegt i eiem K, so ka ma die Koordiate vo r durch Polyome i de Koordiate vo p ud q beschreibe, dere Koeffiziete i K liege. (iv) Kurve im K die eie durch Polyome beschreibbare Gruppestrukur besitze heiße elliptische Kurve. Ma ka zeige, alle elliptische Kurve habe bis auf Isomorphie die Gestalt E = E (außer i der Charakteristik 2 bzw. 3, dort sid Gleichuge etwas komplizierter). (v) Ist, ud ist p ei Pukt vo E mit ratioale Koordiate, so gilt das auch 2p = p + p, 3p = p + p + p,... Das Gruppegesetz elliptischer Kurve bietet also eie aus eier der diophatische Gleichug weitere zu kostruiere. Bei geeigeter Wahl vo p bekommt ma auf diese Weise sogar

42 (iv) Elliptische Kurve sid daher Beispiele Kurve, welche die zum Fermatsche Problem aaloge Aussage falsch ist: es gibt uelich viele ratioale Kurve spielt deshalb bei der des Fermatsche Problems eie zetrale Rolle. wird gezeigt, daß die elliptische Kurve die eizige Ausahme Kurve sid: alle adere Kurve habe ur edlich viele Pukte mit ratioale Koordiate. Wir wolle jetzt a eiem Beispiel illustriere, wie sich die Gleichug eies C: f(x,y) := x2 a + y2 b - 1 = 0, a, b > 0 i der affie Ebee 2, die wir mit 2 2 x = U0, [1,x,y], y idetifiziere. Die projektive Abschließug vo C ist gegebe durch C : F(x,y,t) := x2 a + y2 b - t2 = 0. Die Pukte vo t = 0 ud x2 a + y2 b = 0, also t = 0, x = 0, y = 0. Mit adere Worte, es gibt keie Pukte im Uedliche: Die Ellipse C hat keie Pukte gemeisam mit der Fergerade. C scheidet. Mache wir deshalb die projektive Abschließug der y-achse zur Fergerade, d.h. wir idetifiziere die affie Ebee 2 mit 2 2 t = U, [t,x,1], 2 x d.h. die Pukte [t,x,y] mit y=0 sid die Pukte im Uedliche. Der Teil der Kurve C, welcher im Edliche liegt, ist gegebe durch C U : 0 = F(t,x,1) = x2 2 a + 1 b - t2, d.h. durch C U : t2 2 1/b - x2 a/b - 1 = 0. Dies ist die Mitttelpuktsgleichug eier Hyperbel. Relativ zur affie Ebebe U sid 2 die Ferpukte diejeige Pukte vo C mit y = 0 ud 0 = x2 a - t2 = ( x a + t)( x - t), d.h. a mit [t,x,y] = [t, a t, 0] = [1, a, 0]. Die Hyperbel C scheidet die Fergerade i de Pukte [1, a,0] ud [1, a, 0]. Als bestimme wir die affie Gleichug vo C i eiem Fall, daß die Fergerade die Kurve Das ist zum Beispiel der Fall, we die Fergerade die projektive Abschließug der Gerade y = b

43 wird. Mit adere Worte, wir suche eie Eibettug des 2 i de 2 bei welcher die Fergerade durch die Gleichug y - bt = 0 gegebe ist, d.h. wir bette de Uterraum des 3 2 mit dieser Gleichug i de ei, zum Beispiel durch W := { t x y Ma beachte, der Vektor v = irgedeier Weise mit dem y - bt } 2, t x y [t,x,y+1]., b vo W (die i diesem Fall orthogoal ist, eie Bediug die icht ubedigt sei muß) ud beutze diese, um W mit dem 2 zu idetifiziere. Wir erhalte damit die Eibettug 0 1 v 2 2 u, u 1 + v 0 = u [v,u,1+ bv]. v 0 b bv Der Teil der Kurve C, welcher im Edliche liegt, ist gegebe durch d.h. durch C W: 0 = F(v,u,1-av) = u2 a C W: u2 a + 1 b + 2 b v = 0, (1+ bv)2 + b - v 2, u C W: 2 2a/ b + 1 +v = 0, 2 b u C W: 2 + v = 0. 2a/ b 1 mit v = v +. Dies ist die Gleichug eier Parabel. Die Pukte im Uedliche sid 2 b gegebe durch y - bt = 0, x2 a + y2 b - t2 = 0, d.h. durch d.h. y = bt ud x2 a = 0. Der eizige Pukt im Uedliche ist somit der Pukt [t,x,y] = [t, 0, bt] = [1,0, b]. Die Parabel C [1,0, b]. Bemerkug projektive Ebee gibt es keie Uterschied zwische Ellipse, Hyperbel ud Parabel Der Uterschied kommt

44 durch die uterschiedliche Lage des Kegelschitt ud diese Lage ka beliebig sei. der Fergerade zustade, 2.10 Base ud projektive Koordiate Seie V ei K-Vektorraum, v 0,...,v V eie Basis vo V ud v :K+1 V, x 0... x x 0 v x v, Koordiate-Abbildug (vgl ). Dies ist ei Isomorphismus, d.h. V wird dadurch mit K +1 idetifiziert ud die Gerade vo V mit dee vo K +1. Isbesodere ist die Abbildug [ v ]: K = (K+1 ) (V), [x 0,...,x ] = K x 0... x K v x 0... x = K ( x 0 v x v ) bijektiv. Deshalb heiße die x 0,...,x auch projektive Koordiate des Bildpuktes vo [x 0,...,x ] bei [ v 0,...,v. Bemerkug Bezeichet ma mit [v] die Gerade [v] := Kv durch v V ud de Ursprug jedes v V- {0}), so sid die Koordiate vo v 0,...,v gerade die projektive Koordiate vo [v] dieser Basis Der duale projektive Raum Seie V ei edlich-dimesioaler K-Vektorraum ud ` (V) duale Projektivierug vo V ud ` K := ` (K +1 ) heißt dualer -dimesioaler projektiver Raum Bemerkug Graßmasche Maigfaltigkeit. Mathematik (im Zusammehag mit dem Begriff der Cher-Klasse) Vergleich mit dem projektive Raum Seie V ei edlich-dimesioaler K-Vektorraum. Da ist die Abbildug (V*) ` (V), [ :V K] ker( ), wohldefiiert ud bijektiv. Die duale Projektivierug ka also mit der Projektivierug des Duals idetifiziert werde. Beweis. Korrektheit der Defiitio ] (V*) gilt 0, d.h. dim im = 1, d.h. dim ker = dim V - dim im = dim V - 1, d.h. ker ` K.