oz = -7it' Ikl=Vk~+k~+k~ Ikl = k = nl! a 2 + b2 + e 2. (7.33) Ex = für z = O,e und y = O,b; w = c n (7.34) E(z = 0) = EOi + EOr = 0

Transkript

1 Elektromagnetishe Wellen im Vakuum Da auf der Oberflähe eines idealen Leiters bei z = keine Tangentialkomponente Ex existieren kann, gilt am Ort der Ebene z = 0: E(z = 0) = EOi + EOr = 0 =} EOi = -Eo r. (7.29) Die Überlagerung von einfallender Welle Ei und reflektierter Welle Er ergibt: E(z, t) = E Oi os(wt - kz) + EO r os(wt + kz) = 2Eo. sin(kz). sin(wt) (7.30) mit Eo = EOi = -Eo r. Für den magnetishen Anteil erhalten wir aus der Relation oex oby oz = -7it' die aus der Maxwell-Gleihung rot E = -B folgt: B(z, t) = 2Bo os(kz). os(wt) (7.31 ) mit Bo = {O, (k/w) Eo,O}. Zwishen den Maxima von E und denen von B tritt also eine räumlihe Vershiebung von..1./4 auf und eine zeitlihe Vershiebung von T /4 = n/2w, im Gegensatz zur laufenden Welle, bei der E und B in Phase shwingen. Der Grund für die Phasenvershiebung ist der Phasensprung der elektrishen Komponente E bei der Reflexion (7.29), welher bei der magnetishen Komponente niht auftritt (siehe Abshn. 8.5). Diese hat gemäß (7.31) Maxima bei z = und erleidet keinen Phasensprung bei der Reflexion. Solhe eindimensionalen stehenden elektromagnetishen Wellen im Wellenlängenbereih von Sender Antenne Reflektor etwa 0,1-] m kann man gut mit einer Dipolantenne nahweisen, welhe man in z-rihtung bewegt und in deren Mitte ein Glühlämphen angebraht ist (Abb.7.18). An den Maxima der elektrishen Feldstärke leuhtet das Lämphen hell auf, an den Nullstellen ist es dunkel Dreidimensionale stehende Wellen; Hohlraumresonatoren Wir betrahten einen Quader aus ideal leitenden Wänden mit den Kantenlängen a, bund e (Abb. 7.19). Legen wir den Koordinatenursprung in eine Eke des Quaders und die Koordinatenahsen in die Kanten, so gelten für die elektrishe Feldstärke E = {Ex, Ey, Ez} die Randbedingungen, daß die Tangentialkomponenten auf den Wänden Null sein müssen. Das heißt: Ex = für z = O,e und y = O,b; E y = für x = O,a und z = 0, e; (7.32a) Ez = für x= O,a und y = O,b. Wird eine elektromagnetishe Welle mit Wellenvektor k = {k x, ky, kz} im Hohlraum erzeugt, so wird sie an den Wänden reflektiert. Die Überlagerung der vershiedenen Komponenten mit Wellenvektoren {±k x, ±ky, ±kz} führt genau dann zu stationären stehenden Wellen im Hohlraum, wenn die Randbedingungen k x = nn/a; ky = mn/b; kz = qn/e (7.32b) erfüllt sind, wobei n, m, q ganze Zahlen sind. Für den Betrag des Wellenvektors k folgt wegen Ikl=Vk~+k~+k~ und den Randbedingungen (7.32b) die Bedingung n2 m2 q2 Ikl = k = nl! a 2 + b2 + e 2. (7.33) isolierender Handgriff Abb Nahweis einer eindimensionalen stehenden elektromagnetishen Welle mit Hilfe einer Dipolantenne Für die möglihen Frequenzen w einer beliebigen stehenden Welle im Quader erhalten wir wegen w = e k n2 m2 q2 2+ a b2 +2' e w = n (7.34)

2 7.8 Stehende elektromagnetishe Wellen 195 z, ~---, k,, kz : y,...;,... - " ky a a) k y = n2 wb Ortsraum ---~ k y k-raum I ~~ x wb o -,,,,. / I I I / k, ~\ I / /' ~ ~ k 2 I I rr/a R A' ~ Berüksihtigt man noh, daß jede stehende WeIle eine beliebige Polarisationsrihtung haben kann, die man jedoh immer als Linearkombination aus zwei zueinander senkreht polarisierten Wellen darstellen kann (d.h. für eine stehende Welle in z-rihk = { 4rr 4rr}. k = { 8n 2n } 1 a'b,2 a'b Abb Darstellung der k- Vektoren mögliher stehender Wellen im Resonator als Gitterpunkte im k-raum 1 7tlb T b) rr/a k x k x = n, rr/a Abb.7.19a,b. Quader aus leitenden Wänden als Hohlraumresonator für stehende elektromagnetishe Wellen. (a) Darstellung im Ürtsraum; (b) Illustration der Randbedingung (7.32b) und (7.33) In unserem Quader sind also nur solhe stehenden Wellen möglih, welhe die Form E",m,q = Eo(n,m,q) oswl haben mit Eo = {Eox, Eoy, Eo z } und Eox = A.os : x) sin C; Y) sin (:q z), Eoy = B.sin C: x) os C; Y) sin (:q z), q Eoz= C sin(n: x) sin (n; y) os(n z). (7.35) Ihre Feldamplitude Eo steht senkreht auf dem Wellenvektor k, der den Randbedingungen (7.32b) genügt. Wir nennen den ideal leitenden Kasten einen Hohlraumresonator und die in ihm möglihen stehenden Wellen (7.35) seine Eigenshwingungen oder Resonatormoden. Die Frage ist nun, wie viele solher Eigenshwingungen mit Frequenzen w bis zu einer vorgegebenen Grenzfrequenz WG es in dem Resonator gibt. Um die Rehnung einfaher zu mahen, betrahten wir statt des Quaders den Spezialfall des Würfels mit a = b =. Die Frequenzbedingung (7.34) wird dann W = -. n a r--;:-----;:--...". Vn 2 + m 2 + q2 =} n 2 + m 2 + q2 = w2a2/(2n2). (7.36) In einem Koordinatensystem mit den Ahsen k x, k y und kz bilden die Punkte (n, m, q) ein Gitter mit den Gitterkonstanten n/a (Abb.7.20). Es gibt also genauso viele Eigenshwingungen im Hohlraum wie Gitterpunkte im k-raum. In diesem Raum stellt (7.33) die Gleihung einer Kugel mit dem Radius Ikl = n/ajn 2 + m 2 + q2 = w/ dar. Für n 2 + m 2 + q2» 1 ist der Kugelradius k groß gegen die Gitterkonstante n/a, d.h. A. «2a. Dann wird die Zahl der Gitterpunkte mit n, m, q > 0 gut angenähert durh die Zahl der Einheitszellen (n/a)3 im Kugeloktanten (Abb. 7.21) mit dem Volumen im k-raum V k = ~. ~n k 3 = ~ (::)3. (7.37)

3 Elektromagnetishe Wellen im Vakuum kz = n3 n/a ky = n 2 n/a k x = n 1 n/a Abb Zur Herleitung der Zahl mögliher Eigenshwingungen im kubishen Resonator tung E = Eo. sin kz. sin wt ist Eo = Eoxex + Eoiy), so erhalten wir die Zahl der möglihen Eigenshwingungen im Hohlraumresonator mit Frequenzen w, die kleiner sind als eine vorgegebene Grenzfrequenz WG n(a. WG)3 N(w -:::; wg) =- - 3 n 8nv 3 a %- (7.38a) 3 wobei wir VG = wg/2n eingesetzt haben. Dividiert man durh das Volumen im Ortsraum V = a 3 des Resonators, so erhält man die Zahl der Moden pro Volumeneinheit mit v -:::; VG 8nv 3 N/V=n=--G 3 3 (7.38b) Oft interessiert die spektrale Modendihte, d.h. die Zahl der möglihen Eigenshwingungen des Resonators innerhalb des Frequenzintervalls v bis v + LI v mit Llv = I Hz. Aus (7.38b) ergibt sih durh Differentiation nah v: 8nv 2 n(v) =-3 ' (7.39) n(v) heißt spektrale Modendihte. Anmerkung Die obigen Ergebnisse erhält man in einer ganz allgemeinen Form, wenn man die Wellengleihung I [PE f..e=- 2 at 2 löst unter den Randbedingungen E t = 0 für x = 0, a; y = 0, b; z = 0,. Die allgemeine stationäre Lösung ist dann die Linearkombination E(r,t) = LLLEn,l1l,q (7.40) n l1l q der Resonatormoden (7.35) [7.6]. Bei niht quaderförmigen Resonatoren kann man die Lösungen niht immer analytish angeben. Bei Kreiszylindern erhält man z.b. statt der Sinusfunktion in (7.35) Besselfunktionen als Amplitudenfaktoren der Resonatormoden [7.7]. 7.9 Wellen in Wellenleitern und Kabeln Wellenleiter, oft auh Hohlleiter genannt, sind Resonatoren mit offenen Endflähen, so daß außer stehenden Wellen auh fortshreitende Wellen in Rihtung der offenen Enden möglih sind, die aber in den dazu senkrehten Rihtungen räumlih begrenzt sind. Sie erhalten eine wahsende Bedeutung, niht nur in der Mikrowellentehnik, sondern auh in der Optik als optishe Lihtwellenleiter in Quarzfasern und in integrierten optoelektronishen Shaltungen. Wir wollen nun untersuhen, welhen Einfluß die durh die Begrenzungen gegebenen Randbedingungen auf die Lösungen der Wellengleihung (7.3) haben Wellen zwishen zwei planparallelen leitenden Platten Wir betrahten als einfahes Beispiel zwei planparallele leitende Platten im Abstand Llx = a, zwishen denen elektromagnetishe Wellen hin- und herlaufen (Abb.7.22). Eine Welle E = {O, E y, O} mit dem Wellenvektor k = {kx, 0, kz} wird abwehselnd an der oberen Wand bei x = a und an der unteren

4 12.4 Das Plankshe Strahlungsgesetz 353 n(v)/(m- 3. s) l---l-----1r ~-,-----_ Abb Spektrale Modendihte n( v) als Funktion der Frequenz, dargestellt im doppelt-logarithmishen Maßstab Hohlraum, in dem jeder Eigenshwingung, genau wie beim klassishen harmonishen Oszillator, die mittlere Energie k T zugeordnet wurde (siehe Bd. I, Abshn ). Damit wird die Energiedihte (12.17) mit (12.16) 8nv 2 Wv(v) =-3 kt (12.18) (Rayleigh-Jeansshes Strahlungsgesetz). Aus einem kleinen Loh des Hohlraums würde dann die spektrale Strahlungsdihte S* (v) dv = (/4n) wv(v) dv in den Raumwinkel LlQ = I Sterad emittiert. Dies ergäbe mit (12.18) 2v 2 S~(v) = -2 kt. (12.19) Während die experimentelle Nahprüfung für genügend kleine Werte von v (bei T = 5000 K muß A. = /v > 21!m sein, also im Infrarot-Bereih) gute Übereinstimmung mit (12.19) ergibt, treten für den sihtbaren und erst reht für den Ultraviolett-Bereih drastishe Diskrepanzen auf. Bei Gültigkeit der Rayleigh-Jeans-Formel käme es zur Ultraviolett Katastrophe, d.h. die spektrale Energiedihte und die integrierte Strahlungsdihte S* würden für v ~ 00 unendlih. Was ist am Rayleigh-Jeans-Modell falsh? Max Plank hat sih 1904 mit dieser Frage auseinandergesetzt und dabei zur Vermeidung der Ultraviolett-Katastrophe eine bis dahin völlig ungewohnte Hypothese aufgestellt, die er Quantenhypothese nannte [12.1]. Auh er betrahtete die Eigenmoden des Hohlraums als Oszillatoren. Aber Plank nahm an, daß jeder Oszillator Energie niht in beliebig kleinen Beträgen aufnehmen kann (wie dies für W v = kt bei kontinuierlih ansteigender Temperatur der Fall wäre), sondern nur in bestimmten Energiequanten. Diese Energiequanten hängen von der Frequenz v der Eigenshwingung ab und sind immer ganzzahlige Vielfahe eines Mindestquants h v, wobei die Konstante h = 6, Js das Plankshe Wirkungsquantum heißt. Die Mindestenergiequanten h. v der Eigenshwingungen des elektromagnetishen Feldes heißen Photonen. Die Energie einer Eigenshwingung mit n Photonen der Frequenz v ist dann Wv=n h v. (12.20) Im thermishen Gleihgewiht ist die Wahrsheinlihkeit p(w), daß eine Eigenshwingung die Energie W = n. h. v hat, also mit n Photonen besetzt ist, proportional zum Boltzmann-Faktor exp[- W/ kt] (siehe Bd. 1, Abshn. 7). Die Wahrsheinlihkeit e-n.h. v/(kt} p(w) = -,00-, (12.21) 2.= e-n h v/(kt) n=o ist so normiert, das 2.=':op(nhv) = 1 wird, wie man sofort aus (12.21) sieht. Dies muß natürlih so sein, weil jede Shwingung ja irgendeine Energie nhv haben muß, d.h. die Wahrsheinlihkeit 2.=p(W), über alle erlaubten Energien summiert, muß I sein. Die mittlere Energie pro Eigenshwingung wird dann 00 W = Lnhv, p(nhv) (12.22) n=o 2.= nhv. e-nhv/(kt) h v 2.= e-nhv/(kt) ehv/(kt} - 1

5 Thermishe Strahlung; Photonen BEWEIS 00 nhv 1. Lnhv. e- n=ü 8(00) ß = -8 Le- nhvß ß n=ü S*/rN' m'2 nm" 5(') 00 2 '" -nhv ß. L.J e - n=ü 1. hv 2. - ehv/(kt) = - :ß C-~-hVß ) hv. e-hvß - (1 - e-hvß )2 1 1 ~ 1 _ e-hv ß mit ß= kt 1 Die spektrale Energiedihte w v (v) der Hohlraumstrahlung ist dann wv(v, T) = n(v). W(v, T). Einsetzen von (12.16) und (12.22) ergibt die berühmte Plankshe Strahlungsformel 8nhv 3 1 wv(v) = ~~) _ 1 (12.23) der spektralen Energiedihteverteilung w v (v) der Hohlraumstrahlung. Die Strahlungsdihte der vom Flähenelement df eines shwarzen Körpers in den Raumwinkel dq emittierten Strahlung (Abb. l2.15) ist dann: Sv * dq = -wvdq 4n 2hv 3 dq = ~ ehv/(kt) '- 1 ' (12.24) x l~~ o ~m Abb Spektrale Verteilung S*(,l) der Strahlungsdihte eines shwarzen Körpers im Wellenlängenintervall LI}. = 1 nm. Die Kurve für 3000 K ist loo-fah überhöht in vollkommener Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen. Für h v «kt kann man den Nenner in (12.24) wegen e+ x >:::; 1 +x durh hv/(kt) annähern und erhält dann: 2v 2 8nv 2 S~(v) >:::; -2 kt :=} wv(v) = -3- kt, also das Rayleigh-Jeans-Gesetz, das sih damit als Grenzfall der allgemeinen Plankshen Strahlungsformel für hv «kt erweist. S*(A.)/rN m'2 nm" 5(') Planek R.J K~ R.J. S* S* K~', L.. ", Plane!<"":':: 0,5 1,5 2 2,5 3 A./nm Abb Vergleih von Plankshem und Rayleigh-Jeansshem Gesetz für die Strahlung eines shwarzen Körpers bei zwei untershiedlihen Temperaturen