Signalverarbeitung. Eine Einführung. Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen. Martin Bogdan

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1 Signalverarbeitung Eine Einführung Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen Martin Bogdan Universität Tübingen Wilhelm-Schickard-Institut Technische Informatik Universität Leipzig Institut für Informatik Technische Informatik Übersicht Einleitung Signale Analog Digital Informationstheorie Filter Passiv Aktiv Systemfunktion Folien unter: www-ti.informatik.uni-tuebingen.de/~bogdan/gk_sigver06.pdf Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 2 1

2 Signale Was ist ein Signal? Jedes durch optische, akustische oder andere physikalische oder technische Mittel gegebene Zeichen zur Übermittlung von Meldungen, Nachrichten oder Daten. Meyers Lexikon Übertragung von Information Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 3 Signale Signalarten Zeitkontinuierlich Amplitudenkontinuierlich Amplitudendiskret Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 4 2

3 Signale Signalarten Zeitdiskret Amplitudenkontinuierlich Amplitudendiskret Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 5 Signale: Beispiel Nervensignale Ischias der Ratte Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 6 3

4 Signale: Beispiel Musik Tanz der Vampire I love Rock n Roll Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 7 Grundlegende Funktionen Dirac Impuls Unendliche Höhe Zeitdauer unendlich kurz Fläche ist endlich Impulsstärke Tritt nur bei t=0 auf Bei Abtastung Abtastwert wird Impulsstärke Mathematische Beschreibung δ ( t) = { 0 für t = 0 sonst Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 8 4

5 Grundlegende Funktionen Sprung Wert = 1 Unendliche Dauer Fläche unendlich Mathematische Beschreibung S( t) = 1 { 0 für t 0 für t< 0 Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 9 Rauschen Rauschen Unter Rauschen versteht man die Überlagerung eines Signals über das Nutzsignal, das nichts zur Information beiträgt. Das Rauschen muß keiner Gesetzmäßigkeit entsprechen. Rauschen kann aber auch ein periodisch wiederkehrendes Signal sein. Weißes Rauschen Farbiges Rauschen Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 10 5

6 Rauschen Weißes Rauschen Ein Rauschen wird als weiß bezeichnet, wenn die spektrale Rauschleistungsdichte frequenzunabhängig ist. Die Frequenzanteile des Rauschens erstrecken sich über < f < + Autokorrelation Ψ(τ) Dirac Impulstärke ist die Varianz Spektrale Leistungsdichte Ψ(jω) konstant 2 Ψ( τ ) = σ δ Ψ ( j ω ) = const Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 11 Rauschen Farbiges Rauschen Ein Rauschen wird als farbig bezeichnet, wenn die spektrale Rauschleistungsdichte frequenzabhängig ist. Die Frequenzanteile des Rauschens erstrecken sich über < f < + Autokorrelation Ψ(τ) Dirac Impulstärke ist die Varianz Spektrale Leistungsdichte Ψ(jω) beliebiger Frequenzgang 2 Ψ( τ ) = σ δ Ψ ( jω ) const Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 12 6

7 Rauschen Weißes Rauschen Farbiges Rauschen Autokorrelation Ψ (τ) Autokorrelation Ψ (τ) Spektrale Leistungsdichte Ψ (jω) Spektrale Leistungsdichte Ψ (jω) Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 13 Rauschen Beispiel Weißes und farbiges Rauschen Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 14 7

8 A/D - Wandlung Originalsignale sind zeitkontinuierlich Signalverarbeitung Zeitkontinuierlich+ Zeitdiskret Zeitkontinuierliche Signalverarbeitung Analoge Schaltungen Mechanische Schaltungen Zeitdiskrete Signalverarbeitung Computer Mikroprozessoren Signalprozessoren Eingebettete Systeme Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 15 A/D - Wandler Abtast-Theorem Nyquist-Theorem Welches ist die niedrigste Abtastfrequenz f A, bei der sich das Originalsignal noch fehlerfrei, d.h. ohne Informationsverlust rekonstruieren läßt? Zur fehlerfreien Rekonstruktion des Originalsignals muß die Abtastfrequenz f A mindestens doppelt so hoch wie die maximale im Signal vorkommende Frequenz f max sein. f A > 2 f max Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 16 8

9 A/D - Wandler Aliasing Schwebung Keine ausreichende Anzahl von Datenpunkten Verletzung des Abtast-Theorems: f A < 2 f max Wiederherstellung des Originalsignals nicht mehr möglich f A f max Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 17 Nächste Vorlesung Information Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 18 9

10 Information Signale sind die Träger der Information Jedes durch optische, akustische oder andere physikalische oder technische Mittel gegebene Zeichen zur Übermittlung von Meldungen, Nachrichten oder Daten. Meyers Lexikon Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 19 Information Verständnis Empfänger muß Signal des Senders verstehen Sender codiert Information Signal überträgt Information Empfänger decodiert Information Signalübertragung muß fehlerfrei sein Information muß erhalten bleiben Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 20 10

11 Information Hartley-Information (1928) Informationsquelle sendet gleichverteilt ein endliches Alphabet A A = { a, a2,..., a m,..., a } 1 A A bezeichnet die Mächtigkeit des Alphabets A à á â ä 1 è é ê ë 2 ì í î ï Beispiel für Alphabet A: A = 12 Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 21 Hartley-Information Eindeutige Umkehrbarkeit eines Alphabet A auf ein Alphabet B B = b, b,..., b } für B A r { 1 2 r r = Dann kann die beobachtete Buchstabenfolge a m, am,..., a 1 2 b b,..., b m, 1 m2 abgebildet werden m T m T durch Ein Alphabet ist nicht mehr eindeutig umkehrbar, wenn gilt: r = Br < A Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 22 11

12 Hartley-Information Für r = Br < A verwendet man ein l-faches cartesisches Mengenprodukt B = B B... B l r r r r Wählt man l hinreichend groß, so kann die Mächtigkeit von A erreicht werden. Dabei muß gelten: = r 2 B r Die Mächtigkeit des cartesischen Mengenproduktes ist dann l B = r r l Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 23 Hartley-Information Hat ein Alphabet eine Mächtigkeit l A = 2 so kann es mit Binärworten der Länge l ld 2 = l codiert werden. Eine Folge der Länge T hat damit eine Gesamtinformation I ges = lt bit Pro Element des Alphabets ergibt sich der Informationsgehalt I ges = ld A = l bit T Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 24 12

13 Hartley-Information Definition: Erhält man Kenntnis über ein Element eines Alphabets A mit der Mächtigkeit A > 0, so erhält man die Information I H ( A) ld A Hartley-Information Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 25 Information Shannon-Information (1948) Baut auf Hartley-Information auf Informationsquelle sendet Elemente des Alphabets mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus Hartley: Informationsquelle sendet gleichverteilt endliches Alphabet A A = { a, a2,..., a m,..., a } 1 A Shannon: Wie ist die Information eines Elements, wenn die Informationsquelle Elemente nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit sendet? Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 26 13

14 Shannon-Information Verallgemeinerung Die mittlere Information über die Zugehörigkeit eines Elements zu einem Teilalphabet ist das Informationsmaß I = M m= 1 p m ld p m Shannon-Information Bemerkung: Sind alle Ereignisse gleich wahrscheinlich, geht die Shannon-Information in die Hartley-Information über. Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 27 Filter Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 28 14

15 Analoge Filter Filter Wichtigstes Instrument in der Signalverarbeitung Trennung von Nutz- und Störsignal Analoge Filter Passiv Aktiv U. Tietze, Ch. Schenk: Halbleiterschaltungstechnik U. Kiencke: Signale und Systeme Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 29 Analoge Filter Wozu Filter? Filter dienen der Trennung von Signalen Zu trennende Signale: Nutzsignal Störsignal Nutzsignal Rauschen Störsignal Nutzsignal Nutzsignal Rauschen Störsignal Nutzsignal Rauschen Spaltung des Nutzsignals Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 30 15

16 Analoge Filter Beispiel: Fernseh-Signal nach CCIR-Norm Europa (VHF) Besteht aus Bild- und Tonträger Kanalbreite: 7 Mhz Bild - Ton Abstand: 5,5 Mhz Videobandbreite: 5 Mhz Frequenzhub Tonträger: ± 50 khz Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 31 Analoge Filter Frequenzselektive Filter Tiefpaß Hochpaß Bandpaß Bandsperre Entsprechendes gilt auch für andere Bereiche Bildverarbeitung Farbfilter Intensitätsfilter Diskrete Filter Filter im Zeitbereich Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 32 16

17 Analoge Filter Frequenzselektive Filter (idealisiert) 1 A(f) 1 A(f) f g f f g f Tiefpaß Hochpaß 1 A(f) 1 A(f) f gu f f go f gu f go f Bandpaß Bandsperre Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 33 Passive Filter Tiefpaß Bodediagramm Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 34 17

18 Passive Filter Hochpaß Bodediagramm Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 35 Passive Filter Bandpaß Bodediagramm Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 36 18

19 Passive Filter Bandsperre: Doppel-T-Filter Bodediagramm f r 1 1 = ωr = 2π 2πRC Resonanzfrequenz Bandsperre Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 37 Aktive Filter Optimierung des Frequenzganges Ziele Steilerer Abfall des Frequenzganges Möglichst keine Dämpfungsverluste bis zur Grenzfrequenz Einfachste Lösung: Reihenschaltung entkoppelter RC-Päße gleicher Grenzfrequenz. Man erhält einen Paß n-ter Ordnung. Der Paß hat eine Dämpfung von n 20 db Ein solcher Paß besitzt die sogenannte kritische Dämpfung. Achtung! Die einzelnen Päße verschieben die Grenzfrequenz nach oben! Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 38 19

20 Aktive Filter Beispiel: Tiefpaß Ziel: Im Frequenzbereich Filter höherer Ordnung Stärkere Dämpfung pro Dekade! Lösung: n Tiefpässe in Reihe schalten. Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion ein Ausdruck der Form A( P) = 1 ( 1+ α P)( 1+ α P)( 1+ α P)...( 1+ P) α n α 1, α 2, α 3,..., α n reell, positiv Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 39 Aktive Filter Allgemeine Übertragungsfunktion (Beispiel Tiefpaß) A0 A( P) = c P c P 2 c P n n 1 c, c,..., 2 c 1 n A 0 2 reell, positiv Grundverstärkung Die Ordnung des Filters entspricht der höchsten Potenz von P. Die allgemeine Übertragungsform ist der Ausgangspunkt für weitere Filter mit komplexen Polen. Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 40 20

21 Aktive Filter Allgemeine Übertragungsfunktion (Beispiel Tiefpaß) A( P) = Zerlegung des Nenners in Faktoren. Komplexe Pole werden zugelassen! ( 1 + a P + b P ) ( 1 + a P + b P )... ( 1 + a P b P ) A a i und b i sind reelle Koeffizienten 2 n + Bei ungerader Ordnung ist der Koeffizient b i gleich Null. n Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 41 Aktive Filter Allgemeine Übertragungsfunktion (Beispiel Tiefpaß) Ziel: Optimierung des Frequenzganges Komplexe Pole lassen sich nicht mit passiven RC-Schaltungen realisieren! Lösung: LRC-Schaltungen! ABER: Induktivitäten im niederfrequnten Bereich zu groß! Lösung: RC-Schaltungen mit aktiven Bauteilen. Beispiele: Transistor, Operationsverstärker etc. Filter mit aktiven Bauteilen werden als aktive Filter bezeichnet. Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 42 21

22 Aktive Filter Optimierung des Frequenzganges Ziel: Weitere Optimierung Dämpfung soll größer als kritische Dämpfung sein! Um dies zu erreichen werden verbesserte, aktive Filter eingesetzt. Die bekanntesten Filter sind: Butterworth-Filter Teschbyscheff -Filter Bessel-Filter Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 43 Aktive Filter Eigenschaften der Filter im Vergleich Qualitativer Vergleich von Sprungantworten bei Tiefpaßfiltern 4.Ordnung Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 44 22

23 Aktive Filter Butterworth-Tiefpaß Frequenzgang der Verstärkung von Butterworth-Tiefpässen Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 45 Aktive Filter Tschebyscheff-Tiefpaß Frequenzgang Tschebyscheff-Tiefpässe, Welligkeit 3 db Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 46 23

24 Aktive Filter Bessel-Filter Frequenzgang der Verstärkung Bessel-Tiefpässen Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 47 Aktive Filter Allgemein Entsprechendes gilt auch für Bandsperre, Hoch- und Bandpaß Aufbau der Schaltungen beachten! Koeffizienten sind oft im Zusammenhang mit Schaltungsaufbau zu interpretieren! Koeffizienten aus Tabellen verwenden! Es existiert Software zur Dimensionierung der Filter! Bessel-Tiefpaß dritter Ordnung, Grenzfrequenz f g =100 Hz Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 48 24

25 Systemfunktion Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 49 Systemfunktion Systemfunktion Das Ausgangssignals y a,n eines Systems (z.b.: Digitales Filter) entsteht durch eine Faltung der Impulsantwort g n mit dem Eingangssignal y e,n y a, n = ye, n g Ein System wird durch die Impulsantwort g n vollständig beschrieben! Z-Transformation: Ya ( z) = Ye ( z) G( z) G( z) = n Ya ( z) Y ( z) Systemfunktion (Übertragungsfunktion) e Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 50 25

26 Z-Transformation Definition Z-Transformation Definition Eine Folge y(n), n Z von Signalwerten besitzt die z-transformierte { y( )} Y ( z) = Z n n= Y ( z) = y( n) z n Definition z-transformation Definition der zweiseitigen z-transformation. Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 51 Systemfunktion Definition Die z-transformierte Impulsantwort eines zeitdiskreten, linearen, zeitinvarianten Systems S nennt man Systemfunktion. Sie beschreibt das System S vollständig. Ya ( z) = G( z) Y ( z) e Systemfunktion g n Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 52 26

27 Systemfunktion Pol- und Nullstellen Aus Funktionentheorie: Verschiedene Darstellungsformen für gebrochen rationale Funktionen möglich. Jede Darstellungsform hat bestimmte Vorteile! Darstellung der Übertragungsfunktion G(z) in Linearfaktoren von Zähler- und Nennerpolynom: z0 j Nullstellen Z(z) M ( z z j= 0 G( z) = c M ( z z i= 0 mit 0 j i ) ) z i Nullstellen N(z) Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 53 Systemfunktion Verknüpfung von Systemen Serielle Schaltung von Systemen G 1 (z) G 2 (z)... G n (z) G( z) = G1( z) G2( z)... Gn( z) Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 54 27

28 Systemfunktion Verknüpfung von Systemen G 1 (z) G 2 (z) + : G n (z) G( z) = G1( z) + G2( z) Gn( z) Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 55 Systemfunktion Amplituden- und Phasengang Die Systemfunktion ist durch ihre Pol- und Nullstellen eindeutig definiert. Amplituden- und Phasengang kann durch die Systemfunktion bestimmt werden. G( z M ( e j= 0 ) = c ( e j 2πfT = e M i= 0 j 2πfT j 2πfT z z 0 j i ) ) Die Differenz zwischen dem Frequenzpunkt auf dem Einheitskreis und Pol- bzw. Nullstellen wird dargestellt durch: j2πft e z0,, i, j Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 56 28

29 Systemfunktion Amplituden- und Phasengang Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 57 Systemfunktion Amplituden- und Phasengang Beispiel: Notchfilter (Kerbfilter) Ein Notchfilter besitzt zwei Nullstellen auf dem Einheitskreis und zwei Pole Für die Kerbfrequenz soll gelten: f = 0 f a 4 Nullstellen : Polstellen : Damit liegen die Pol- und Nullstellen bei: z z 01 1 = j = (1 ε ) j z z 02 2 = j = (1 ε ) j ε << 1 Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 58 29

30 Systemfunktion Amplituden- und Phasengang Beispiel: Notchfilter (Kerbfilter) Die Übertragungsfunktion ist damit: ( z j)( z + j) G( z) = ( z (1 ε ) j)( z + (1 ε ) j) Für Frequenzen, die von f 0 weit entfernt sind gilt A(f)=1 Für Frequenzen, die gegen f 0 gehen, gilt: A( f ) f f0 4πT = f f 2 2ε ε 0 Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 59 Systemfunktion Amplituden- und Phasengang Beispiel: Notchfilter (Kerbfilter) f=0 Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 60 30

31 Systemfunktion Amplituden- und Phasengang Beispiel: Notchfilter (Kerbfilter) Amplitudengang Phasengang Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 61 Digitales Filter Beispiel: Digitales Filter Nervensignal des stomatogastrischen Nervs eines Taschenkrebs Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 62 31

32 Digitales Filter Beispiel: Digitales Filter Nervensignal des stomatogastrischen Nervs eines Taschenkrebs Problem: Signalverzerrung durch Ladekurve! Lösung: Filtern des Gleichstromanteils des Signals. awk-programm: BEGIN{x=$1;a=0.005;} { if(nr==1) {x=$1;} else {x=x*(1-a)+a*$1;} print $1-x; } Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 63 Digitales Filter Beispiel: Digitales Filter Nervensignal des stomatogastrischen Nervs eines Taschenkrebs Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 64 32

33 Digitales Filter Beispiel: Digitales Filter Nervensignal des stomatogastrischen Nervs eines Taschenkrebs Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 65 Gas Sensor Systeme Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 66 33

34 Gas Sensor Systeme Motivation Elektronische Nasen Chemische and biochemische Sensoren Umweltüberwachung Prozeßüberwachung Medizinische Analyse Qualitätsanalyse Gravierende Probleme Sensorfelder mit kreuzkorrelierten Aufnahmen Kleine Datensätze Drift der Sensoren Großes Spektrum an Algorithmen Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 67 Gas Sensor Systeme Analysepfad Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 68 34

35 Gas Sensor Systeme Datenaufnahme Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 69 Gas Sensor Systeme Ausgewählte Algorithmen Statistische Methoden Methods Principal Components Analysis (PCA) K-Nearest Neighbour (KNN) Multivariate Linear Regression (MLR) Principal Component Regression (PCR) Partial Least Squares (PLS) Künstliche Neurale Netze (KNN) Feedforward with Backpropagation (BPN) Counterpropagation Net (SOM/G) Radial Basis Function Net (RBF) Adaptive Resonance Theory Net (ART) Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 70 35

36 Gas Sensor Systeme Qualitative Analyse: Kaffeemarken 4: Melitta "Auslese" 7: Tchibo "Feine Milde" PC2: 41.4% 6: Jacobs "Mild'Or" 2: Jacobs "Krönung" 5: Jacobs "Krönung" 3: Melitta "Harmonie" 1: Hanseatica "Espresso" PC1: 54.7% Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 71 Gas Sensor Systeme Korrekte Klassifikation Ratio of Training Data to Test Data KNN BPN SOM/G RBF ART 2/3 : 1/3 100 % 100 % 97,6 % 97,6 % 90,5 % 1/2 : 1/2 100 % 97,6 % 97,6 % 97,6 % 78,6 % 1/3 : 2/3 85,7 % 97,6 % 100 % 95,2 % 78,6 % Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 72 36

37 Gas Sensor Systeme Quantitative Analyse: Gasmischungen 1-propanol mixtures PC2: 7.8% toluene octane PC1: 90.3% Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen 73 Any Questions? Martin Bogdan Graduiertenkolleg Chemie in Interphasen