Dr. Wolfgang Ludwicki, Winckelmann-Gymnasium Stendal 8 (5 7).

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1 Aufgabe zur Übug der Awedug des CASIO FX-99ES Ma gebe de Term Quadratwurzel Ma bereche also 5 8 (5 7) ei ud brige aschließed die Klammer uter eie 5 8 (5 7) y Ma bereche f (, y) e für die Zahlepaare ( ) ud (5 7) 3 Wie viel ist 5 im Gradmaß? 7 4 Ma bereche si(5 ) 5 Ma bestimme im Bogemaß für ta( ) 6 Eie Familie hat 0 Kider Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass höchstes 9 Kider Jugs ud midestes Kider Jugs sid? Die Wahrscheilichkeit für die Geburt eies Juge ist 5,4% 7 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass bei 6000 Würfelwürfe höchstes 950-mal die Augezahl Sechs fällt? 8 Ma bereche vom Dreieck ABC, das die Seiteläge 6,3 cm, 5,8 cm ud 4,7 cm hat, eie Iewikel ud de Flächeihalt (De Flächeihalt ermittle ma mit Hilfe der Formel vo Hero: F s( s a)( s b)( s c), wobei a b c s ) 9 Ma stelle für die Fuktio f ( ) e eie Wertetafel für 3 3 auf 7 0 Ma bestimme eie Lösug der Gleichug 5 0 Ma löse die Gleichug 300,6 800, Ma bestimme mögliche Lösuge der Gleichug y a b für a) y 9, a 5, b 7 ; b) y,, b 7 ; c) y 6, a e, 3 Ma bereche de Ihalt der Fläche, die vo der Parabel g( ) ( ) ud dem Kreis um de Koordiateursprug mit dem Radius 3 im erste Quadrate vollstädig begrezt wird 4 Ma ermittle mithilfe des Newtosche Tageteverfahres die Nullstelle der Fuktio f ( ) e 3 5 Ma bestimme die Nullstelle der Fuktio f ( ) 4 3 8,5 6,5 6 Ma bestimme die Lösuge des lieare Gleichugssystems 3 y z 0 3y z 5 y a z für a, a,6 ud a Für welches a hat das Gleichugssystem keie eideutige Lösug? 7 Ma bereche de Wikel, de die Vektore Seite vo

2 miteiader bilde a 4 ud b Ma bestimme eie Vektor, der zu de Vektore a ud b aus Aufgabe 6 orthogoal ist 9 Die Ebee E hat die Gleichug Ma überprüfe, ob die Pukte s 6 t 3 7 A ud B 5 9 auf der Ebee E liege Ma gebe für die Ebee E eie parameterfreie Koordiategleichug A By Cz D 0 a 0 Vo de viele Lose i eiem Topf sid 7 % Gewie, die adere sid Niete Wie viel Lose muss ma midestes ziehe, um mit midestes 90 % Sicherheit midestes eie Gewi zu habe? Vo de viele Lose i eiem Topf sid 7 % Gewie, die adere sid Niete Wie viel Lose muss ma midestes ziehe, um mit midestes 90 % Sicherheit midestes zwei Gewie zu habe? Um de Äquator wird ei Seil gespat Dieses Seil wird um m verlägert ud gleichmäßig agehobe, so dass ei zum Äquator kozetrischer Kreis etsteht Ka uter das Seil u eie Katze hidurch krieche? 3 Nu wird die Fragestellug der Aufgabe 0 derart abgeädert, dass das Seil icht gleichmäßig agehobe wird soder ur a eier Stelle vo der Erdoberfläche etfert wird Bis zu welcher Höhe h ka das Seil u agehobe werde? Ka u ei Mesch hidurch krieche? 4 Sid die drei Vektore 5 a 3, b, c liear uabhägig voeiader? 5 Durch welche Zahl muss die Zahl 7 i Aufgabe 4 ersetzt werde, so dass a, b, c komplaar sid? 6 Gegebe sid folgede Werte: 65,9 66,3 7 67,8 64,3 7,5 65,4 Ma bereche de Mittelwert ud die Stadardabweichug für diese Werte Wie äder sich Mittelwert ud Stadardabweichug, we die Zahl 67,8 durch die Zahl 63,7 ersetzt wird? 7 Ma bereche 3 i 3i, i i ud 3i i 3 Seite vo

3 Lösugshiweise RESET: q9(clr)p SETUP:qw(SETUP); Azeigemodus, Azahl der Nachkommastelle, Azahl der sigifikate Stelle bei der Epoetialschreibweise, Norm oder Norm eistelle (vergleiche Bedieugsaleitug G-ff) Vor Begi eier eue Aufgabe:C betätige 5 De Term 8 (5 7) eigebe; mit der Cursortaste! oder $ vor die öffede Klammer gehe; Eifüge aktiviere durch qo (INS) (der Cursor ädert sich); Wurzel eisetze sp -490,830 Term eigebe sq)(x)$qhhq(y); Berechug eileite mit r; eigebe p, y eigebe p, Ergebis 0,449 erscheit Neue Berechug mit r eileite, eigebe5p, y eigebe7p, Ergebis 45,46 erscheit 3 Variate : Umstelle auf das gewüschte Wikelmaß, also Gradmaß: qw(setup)3(deg) Da de Wert eigebe a5r7$qkl, aschließed qmb ud das ursprügliche Wikelmaß des Wertes eigebe (: r ); p liefert das Ergebis mittels qn erfolgt die Umwadlug i eie 4 gemischte Zahl 8 7 Variate : Multiplikatio mit 80 Wert eigebea5r7$qkl, aschließed O80P qkl Das liefert (Das ist wohl eifacher als Variate ) 4 Umstelle auf Gradmaß qw(setup) 3(DEG) Die Eigabe j5p liefert das eakte Ergebis 6 4, mitergibt sich 0,588 5 Umstelle auf Bogemaßqw(SETUP)4(RAD), daqllp 4 6 Etspreched der Formel vo Beroulli ergibt sich für die Wahrscheilichkeit P( X 9) 0,54 ( 0,54) wqw(setup) qi(summezeiche erscheit)0qp(cr)q)(x)o054 fq)(x)$(-054)f0- Q)(X)$$E9p 0,9900 Die gesuchte Wahrscheilichkeit beträgt ca 99% 7 We die Zufallsgröße X die Azahl der Sechse bei 6000 Würfe agibt, da ist X biomialverteilt mit 6000 ud p Gesucht ist die Wahrscheilichkeit für das Ereigis 6 X 950 Mit Hilfe der globale Näherugsformel vo DE MOIVRE-LAPLACE ergibt sich ,5 5 P( X 950) B 6 ({0,,,950}) 6000; Seite 3 vo

4 Mit dem CASIO FX-99ES lässt sich die Summe icht bereche, weil die Biomialkoeffiziete zu groß sid Im Statistikmodus ist ethalte Statistikmodus eistelle:w3 aufrufe:cq7 Argumet eigebe:( op6+05) Ps6000OP6O5P6))p 0,04397, also 4,3% 8 Zuächst wird festgelegt: a 6, 3cm, b 5,8cm, c 4,7 cm Diese Werte werde gespeichert 63qJ(STO)z(A) 58qJ(STO)(B) 47qJ(STO)c(C) a b c Mittels des Kosiussatzes arccos wird berechet ab qkk(qz(a)d+ Q(B)d-Qc(C)d)P ( Qz(A) Q(B)))p 45,48070 Durch zyklisches Vertausche vo a, b ud c köe die beide adere Wikel berechet werde Zur Berechug des Flächeihaltes wird zuächst der halbe Umfag im Speicher D gespeichert aqz(a)+q(b)+qc(c)rpqj(sto)j(d), daach wird die Herosche Formel eigegebe sqj(d)( Qj(D)-Qz(A))( Qj(D)- Q(B))(Qj(D)-Qc(C))p 3,067 9 Möglichkeit Ma gebe de Modus TABLE ei w7 Ma gebe die Fuktio ei sqh(q)(x) P)$+PQ) (X)dp Ma gebe de Startwert ei -3p Ma gebe de Edwert ei 3p Ma gebe die Schrittweite ei 05p Die Wertetafel wird agezeigt Möglichkeit Ma gebe de Modus COMP ei w Ma gebe die Fuktio ei sqh(q)(x) P)$+PQ) (X)d Ma bereche de erste Fuktioswert r-3p I der Azeige erscheit Ma bereche de zweite Fuktioswert r- 5p I der Azeige erscheit ud so weiter Seite 4 vo

5 0 Diese Gleichug ka ur äherugsweise gelöst werde 5Q)(X)f7$+Q)(X)Qr(=)0 qr(solve) leitet die Iteratio ei; ei Startwert (Afagsäherug) muss eigegebe werdep,086 L-R=0 bedeutet, dass beim Eisetze der Näherugslösug i die Gleichug ud aschließeder Berechug vo liker Seite mius rechter Seite im Rahme der Tascherechergeauigkeit ull herauskommt, also im Rahme der Tascherechergeauigkeit die Näherugslösug eakt ist Diese Gleichug ist icht elemetar lösbar Mit dem CASIO FX-99ES geht das u so: Ma gebe de Modus COMP ei w Ma gebe die like Seite ei 300O6fQ)$ +800OfQ Ma gebe das Gleichheitszeiche ei Qr Ma gebe die rechte Seite ei Ma gebe de SOLVE-Befehl ei qr Ma gebe eie Afagslösug ei 0 Ma löse die Gleichug p Die Lösug 7,9909 wird agezeigt Mit der Afagsäherug dauert die Iteratio zu lage Eie Uterbrechug mit C ist erforderlich Mittels eier Wertetafel der Fuktio f ( ) 300,6 800,, die im TABLE- Modus erzeugt werde ka, fidet ma, dass die Lösug zwische 7 ud 8 liege muss Gleichug eigebeq(y)qr(=)qz(a)q)(x)d+q(b) a) X als Ubekate kezeicheq),q)(x) qr(solve) Y eigebe9p A eigebe5p B eigebe7p Startwert für X eigebep 0,634 liefert die erste Lösug Neue Iteratio eileiteqr(solve) y, a, b bestätigeppp Startwert für X eigebe-p -0,634 liefert die zweite Lösug b) A als Ubekate kezeiche!oqz(a) qr(solve) Y eigebeqklp X eigebep B eigebe7p Startwert für A eigebep -0,9646 liefert die Lösug c) B als Ubekate kezeiche!oq(b) qr(solve) Y eigebe6p A eigebeqk(e)p X eigebeqklp Startwert für B eigebep -0,883 liefert die Lösug Seite 5 vo

6 3 Der Kreisboge hat die Gleichug f ( ) 9 Die Schittpukte der Graphe der Fuktioe f ud g ergebe sich als Lösuge der Gleichug 9 ( ) ( ) We die Lösuge dieser Gleichug ud mit sid, da gilt für de Flächeihalt F ( f ( ) g( )) d Die Gleichug ( ) ka mit dem CASIO FX-99ES so gelöst werde: Ma gebe die Gleichug ( ) eis9-q)(x)d$qr(=)ar$ (Q)(X)-)d+ Mitqr(SOLVE) wird die Iteratio gestartet Der Afagswert führt auf die erste Lösugp 0 Mitqr(SOLVE) wird die zweite Iteratio gestartet Der Afagswert führt auf die zweite Lösugp,7066 Diese Lösug wird im Speicher B abgelegtqj(sto)(b),7 Es folgt die Berechug des Itegrals 9 0,5( ) 0 d ys9-q)(x)d$-(05(q)(x)-)d+) $0EQz(A)p,744 4 Aufgrud vo ergibt sich f ( ) f '( ) e e Als erste Näherugslösug wird 0 0 gewählt Mit dem CASIO FX-99ES wird die Iteratio u so durchgeführt: e Die Iteratiosgleichug wird i der Form eigegebe e Q)(X)-aqhHQ)(X)$-Q)(X)d-RqhH Q)(X)$-Q)(X) r startet die Iteratio; Afagsäherug0p liefert erste Näherug rmp liefert die zweite Näherug,399 rmp liefert die dritte Näherug,33339 rmp liefert die vierte Näherug, rmp liefert die füfte Näherug, rmp liefert die sechste Näherug, rmp liefert die siebte Näherug, Die TastefolgerMp ist für jegliche Iteratioe geeiget 5 Gleichugsmodus eistellew5 Mit4 kubische Gleichug wähle Gleichug eigebe4p-3p-85p65p 3 5 liefert -5,p liefert ;p liefert 4 3 Seite 6 vo

7 6 Gleichugsmodus eistellew5 Mit lieares Gleichugssystem mit 3 Gleichuge wähle Gleichugssystem eigebe3ppp0p-p3pp5p 7 pp-pp liefert 4, y 4, z 4 5 prr$$6pp liefert 3, y 3, z 3 prr$$pp die Meldug Math ERROR deutet darauf hi, dass das Gleichugssystem für a icht eideutig lösbar ist 7 Wird der gesuchte Wikel geat, so gilt a b arccos a b Mit dem CASIO FX-99ES geht das u so: Vektormodus eistellew8 Zur Eigabe vo Vektor a, da Dimesio festlege, schließlich die Koordiate eigebepp-3p Die Eigabe mitc beede Zur Eigabe vo Vektor b wird das Vektorutermeü aufgerufeq5 Die Eigabe der Koordiate eies Vektors stets mit :Dim eileite Vektor b wähle :VctB, Dimesio wähle, Koordiate eigebe4p-p6p Die Eigabe mitc beede a b Eigebe der Formel arccos a b qkk(q53(vcta)q57(dot)q54(vctb))p (qc(abs)q53(vcta))o qc(abs)q54(vctb)))p liefert de gesuchte Wikel 3,87377 (Das Operatioszeiche für das Skalarprodukt wird überq57(dot) aufgerufe, das Operatioszeiche für das Vektorprodukt mittels ormalem O) 8 Der gesuchte Vektor ergibt sich als das Vektorprodukt a b 3 Cq53Oq54p liefert de gesuchte Vektor Der Pukt P y z liegt geau da auf der Ebee E, we die Gleichug eie Lösug mit z z0 das Gleichugssystem y0 s 6 t z 3 7 A 3 7 liegt also geau da auf der Ebee E, we hat Der Pukt 4s 5t 0 z 3 6s t 0 z 7s t z 3 eie Lösug mit z 7 hat Ma löst das Gleichugssystem mit dem CASIO FX-99ES: w5(eqn)(gleichugssystem mit 3 Gleichuge) 4p5p0p3-p 6pp0p-p Seite 7 vo

8 7pp-p-3p p X py 3 p Z 9 Also liegt der Pukt A icht auf der Ebee E B 5 9 muss das folgede Gleichugssystem betrachtet werde: Zur Prüfug des Puktes 4s 5t 0 z 6s t 0 z 5 7s t z 3 Das vorhadee Gleichugssystem wird geädert p I der Eigabematri werde mittels Cursorbewegugstaste (Replay) ud p die Werte d ud d i bzw 5 geädert $$$-p$$$5-p p Als Lösug wird agezeigt: X, Y, Z 9 Somit liegt der Pukt B 5 9 auf der Ebee E 4 5 Da vo der Ebee E zwei Spavektore a 6 ud b ud der Ortsvektor c 7 3 eier ihrer Pukte gegebe sid, ergibt sich eie parameterfreie Koordiategleichug als c a b 0 oder y a b c a b 0 z 4 5 Zuächst werde die Vektore a 6, b ud c eigegebe 7 3 w8(vector)(vcta)(dimesio 3)4p6p7pC q55pppc q53pp3pc q53o q54p liefert die Koeffiziete 8, 3 ud vo, y bzw z i der gesuchte Gleichug c a b :Cq55(VctC)q57(Dot)q56(VctAs)p Berechug vo liefert 5 Somit heißt die gesuchte Gleichug 8 3y z ( 5) 0 oder 8 3y z 5 0 Seite 8 vo

9 0 We mit X die Azahl der gezogee Gewie bezeichet wird, da ist X biomialverteilt mit p 0,7 Es ist u so zu bestimme, dass P( X ) 0,7 0,83 0,9 Folgede Umformuge führe zu eier Ugleichug, die gelöst werde ka: P( X ) P( X ) P( X 0) 0,9 P( X 0) 0, ,7 0,83 0, 0,83 0, log 0, 0,83 i083$0p liefert, Also muss ma midestes 3 Lose ziehe We mit X die Azahl der gezogee Gewie bezeichet wird, da ist X biomialverteilt mit p 0,7 Es ist u so zu bestimme, dass P( X ) 0,7 0,83 0,9 Folgede Umformuge führe zu eier Ugleichug, die mit Hilfe des CASIO FX-99ES gelöst werde ka: P( X ) 0,9 P( X ) 0, P( X ) 0, P( X 0) P( X ) 0, 0,83 0,70,83 0, Mittels der SOLVE-Taste fidet ma, dass für, 389 fast Gleichheit gilt Da die Fuktio f ( ) 0,83 0,7 0,83 für streg mooto falled ist, ergibt sich die Lösug Diese bekate Aufgabe führt auf die Gleichuge ( r ) r Somit ergibt sicharqklp 0,59 Also rud 6cm ka das Seil agehobe werde Seite 9 vo

10 3 Die Bedeutug der Bezeichuge wird aus dem Bild deutlich Die Größe des Wikels ist im Bogemaß agegebe Da ergibt sich: Die Läge des Kreisboges TT ( ) r t ta( ) r ( h r) r t, also t h( h r) ud t h( h r) h( h r) Weiter arcta Laut Aufgabestellug sollte TT r t r (alle Lägeagabe i Meter) gelte We ma eisetzt, ergibt sich: h( h r) arcta r h( h r) r r Wird u och für de Erdradius der Näherugswert r (i Meter) eigesetzt, etsteht die Gleichug h( h ) arcta h( h ) Diese traszedete Gleichug für h ka ma mit dem FX-99ES mittels folgeder Eigabe löse (als Wikelmaß muss Radiat eigestellt werde qw4) (OqKL- OqlasQ)O(Q)+O )$R $))O OsQ)O(Q)+O )$Qr OqKLO qr Näherugswert 0 eigebe;p liefert die Ausgabe Folglich ka das Seil bis zu eier Höhe vo rud Meter agehobe werde Uglaublich Seite 0 vo

11 4 Diese drei Vektore sid geau da liear uabhägig voeiader, we die Determiate der Matri ugleich ull ist Matri-Modus eistellew6 (MatA)(Typ) p5pp-3pp9p4p7p7pc Matri-Utermeü aufrufeq4 7(det)q43(MatA)p liefert 68, folglich sid die drei Vektore liear uabhägig voeiader 5 We sich der Vektor c 9 als Liearkombiatio der Vektore a ud b darstelle z lässt, da sid a, b, c komplaar Zuächst wird als Liearkombiatio vo 9 ud 5 dargestellt Dazu wird das Gleichugssystem 3 5y 3 y 9 gelöst w5(eqn)p5pp-3pp9p p liefert X ud Y 3 Das gesuchte z ergibt sich als Mittelsw3 de Statistik-Modus eistelle(-var) Werte eitrage 659p663p7p678p643p 75p654pC q(statistik-utermeü)5(var)( )p ergibt 67, 6 Cq53p ergibt,8000 Cq(Data)RRR637pC q(statistik-utermeü)5(var)( )p ergibt 67, Cq53p ergibt 3, q(komplee Zahle-Modus) a-+3bur+bup ergibt Speicher i AqJ(STO)z(A) 5 CQz(A)dp ergibt 6 i i !!o3p ergibt Seite vo