Christian Imhof (Autor) Entwurf und Charakterisierung von Metamaterialien und quasioptischen Bauelementen für Mikrowellen- und Terahertz- Strahlung

Transkript

1 Chistia Imhof (Auto) Etwuf ud Chaakteisieug vo Metamateialie ud quasioptische Bauelemete fü Mikowelle- ud Teahetz- Stahlug Copyight: Cuvillie Velag, Ihabei Aette Jetzsch-Cuvillie, Noestieg 8, 3775 Göttige, Gemay Telefo: +49 () , Website:

2 Mateialie mit egativem Bechugsidex 13 Mateialie mit egativem Bechugsidex Im folgede Abschitt wede die physikalische Gudlage vo homogee dielektische Medie mit eiem egative Bechugsidex vogestellt ud diskutiet. Zuächst wede die, a ei passives Mateial zu stellede Voaussetzuge bespoche, die efüllt sei müsse, damit ei egative Bechugsidex auftete ka. Bei de weitegehede Utesuchug des Phäomes de egative Bechug wid sich zeige, dass die damit vebudee Effekte ei hohes Potetial zu Etwicklug euatige Kompoete besitze. Zum Abschluss wid eie kuze histoische Eiodug veschiedee Abeite zu diesem Thema gegebe. Bei de Zusammestellug de Egebisse i diesem Kapitel spielte die Quelle [Mil5], [Cal6] sowie [Ram5] eie etscheidede Rolle. Voab soll daauf higewiese wede, dass es im Beeich de komplexe Dastellug de elektische ud magetische Felde eie Uteschied i de Scheibweise zwische de Igeieuswisseschafte ud de Natuwisseschafte gibt. Im Expoete de komplexe Expoetialfuktio wid vo beide Guppieuge ei uteschiedliches Vozeiche vewedet. Diese Diskepaz wikt sich auch auf die Imagiäteile de komplexe Paamete ud die im Velauf des Kapitels gestellte Fodeuge a diese aus. Alle im Rahme diese Abeit agegebee Fomel sid i de Kovetio de Igeieuswisseschaft geschiebe. Um auf die, auch i viele de Quelle vewedete atuwisseschaftliche Dastellug umzueche, muss lediglich die Substitutio j= i duchgefüht wede..1 Idetifizieug egativ bechede Medie I diesem Uteabschitt wid beschiebe, wie die Mateialpaamete beschaffe sei müsse, damit ei Dielektikum eie egative Bechugsidex aufweist. Dazu wid zuächst fü eelle Paamete eie Haupteigeschaft vo Medie mit egativem Bechugsidex hegeleitet, die als Gudlage de allgemeie Defiitio egativ bechede Medie beutzt wid. I eie aschließede veallgemeiede Studie fü komplexe Mateialpaamete wede allgemei gültige Voaussetzuge a die komplexe Göße ε ud μ fomuliet, die fü eie physikalisch sivolle Wahl eies egative Bechugsidex i passive Medie efüllt sei müsse..1.1 Reelle Mateialpaamete Die Pioieabeit im Beeich de egativ bechede Medie liefete de ussische Physike Vikto Veselago beeits im Jahe 1968 [Ves68]. I seie Abeit stellte e sich die

3 14 Mateialie mit egativem Bechugsidex fudametale Fage, wie sich ei Medium, bei dem sowohl die Pemittivität als auch die Pemeabilität duch egative Wete gegebe sid, aus elektodyamische Sicht vehalte wüde. Das Hauptegebis diese Studie ist die Möglichkeit eie Bescheibug diese Mateialie übe eie egative Bechugsidex. Diese Sachvehalt wid jetzt ausgehed vo de bekate Maxwellsche Gleichuge i diffeetielle Fom, sowie de zugehöige Mateialgleichuge, D H = g+ t B E = t B = D = ρ, (.1.1), (.1.), (.1.3), (.1.4) B = µ µ H, (.1.5) D = ε ε E, (.1.6) hegeleitet. Fü die folgede Betachtuge lasse sich eiige Aahme teffe. Beim zu utesuchede Mateial hadelt es sich um ei homogees, velustfeies, isotopes Dielektikum, was sowohl eie veschwidede Leitfähigkeit ( κ = ), als auch eie Ladugsfeiheit ( ρ = ) impliziet. Fü die Maxwellsche Gleichuge bedeutet dies, dass sowohl de Leitugsstom g, als auch die Divegez de dielektische Veschiebug D, veschwidet. Des Weitee wede zuächst alle Veluste veachlässigt, was bedeutet, dass alle Mateialpaamete sowie de Bechugsidex ei eell sid. Mit de getoffee Radbediguge veeifache sich die Gleichuge (.1.1) ud (.1.4) zu: D H =, (.1.7) t D =. (.1.8) Nach eie eeute Awedug des Rotatiosopeatos auf Gleichug (.1.) sowie eie Vetauschug de zeitliche ud äumliche Ableituge ka de Ausduck B mit Hilfe de este Maxwell sche Gleichug (.1.7) esetzt wede. Nach de Awedug des

4 Mateialie mit egativem Bechugsidex 15 Gaßmasche Etwicklugssatzes ehält ma die Wellegleichug fü das elektische Feld i eiem homogee, velustfeie Dielektikum [Leu5]: E Δ E = μμεε t. (.1.9) I eie aaloge Vogehesweise lässt sich auch eie Diffeetialgleichug fü das magetische Feld heleite: H Δ H = μμεε t. (.1.1) Die Lösug de Diffeetialgleichuge (.1.9) ud (.1.1) füht zu ebee, hamoische Welle. Die etspechede Felde köe als E( t, ) = Re{ Et (, )} = Re{ E exp[ j( ω t k )]} H ( t, ) = Re{ Ht (, )} = Re{ H exp[j( ω t k )]}, (.1.11), (.1.1) agegebe wede. De Vekto k wid als Wellevekto bezeichet ud gibt die Richtug de Phasegeschwidigkeit de Welle a. Fü de Betag des Wellevektos gilt die Beziehug mit ω ω k = ea = ea, (.1.13) c c c 1 με με = =, (.1.14) c wobei c de Phasegeschwidigkeit im Dielektikum mit dem Bechugsidex etspicht ud e a de Eiheitsvekto i Ausbeitugsichtug dastellt. Dabei wid de Bechugsidex defiiet als: = μ ε =± μ ε. (.1.15) Aus Gleichug (.1.15) ist zu ekee, dass es ei mathematisch imme zwei mögliche Lösuge fü gibt. Die Wahl des Vozeiches muss duch weitegehede physikalische Übeleguge begüdet wede. Dazu wede die komplexe Felde aus Gleichug (.1.11) ud (.1.1) wiede i die este beide Maxwellsche Gleichuge eigesetzt. Dabei wid ausgeutzt, dass fü die zu beücksichtigede Felde eie eifache Beziehug zwische dem Nabla-Opeato ud dem Ausbeitugsvekto besteht [Leh9]:

5 16 Mateialie mit egativem Bechugsidex = jk. (.1.16) Diese Zusammehag folgt diekt aus de Expoetialdastellug de Felde, bei de eie Ableitug ach eie de Otskoodiate eie Multiplikatio mit de etspechede Kompoete des Wellevektos gleichkommt. Wede ute Beachtug de Beziehug (.1.16) jetzt die komplexe Felde i (.1.) ud (.1.7) eigesetzt, etstehe zwei Gleichuge, i dee die Mateialpaamete u och eizel auftete. Nach dem Küze des gemeisame Faktos j exp[ j( ωt k )] egibt sich [Leu5]: k H = ωε ε E, (.1.17) k E =ωμ μ H. (.1.18) Aus de beide Gleichuge (.1.17) ud (.1.18) lässt sich jetzt seh eifach ablese, dass bei positive Wete fü ε ud μ die Vektoe E, H ud k ei Rechtsschaubesystem bilde. I diesem Fall liegt de Wellevekto paallel zu mittlee Eegieflussichtug de Welle, die duch de zeitlich gemittelte Poytig-Vekto 1 1 S = Re E H = E H * { } ( ) m (.1.19) festgelegt ist. Dehe sich alledigs die Vozeiche vo ε ud μ um, spae die Vektoe E ud H mit dem Wellevekto ei Liksschaubesystem auf, weshalb solche Mateialie auch als likshädig (LH) bezeichet wede. Dabei ist ei etscheidede Pukt, dass die Richtug des Poytig-Vektos uabhägig vo de Wahl de Vozeiche vo ε ud μ ist, da diese Paamete i Gleichug (.1.19) icht vokomme. I eiem Medium, bei dem sowohl die Pemittivität als auch die Pemeabilität egativ sid, beitet sich also die Phase i umgekehte Richtug zum Eegiefluss aus. Dieses Egebis liefet die Gudlage de Defiitio eies egative Bechugsidex, da bei eie egative Phasegeschwidigkeit de ach Gleichug (.1.13) defiiete Wellevekto ebefalls ei egatives Vozeiche besitze muss. Mit eiem Blick auf die Defiitio des Wellevektos ud de Kovetio, dass die Ausbeitugsichtug de Welle imme de Richtug des Eegieflusses etspicht, bleibt u och eie Göße übig, mit de sich das Vozeiche vo k veäde lässt: De Bechugsidex. Die beide adee i (.1.13) vokommede Göße, die Keisfequez ω ud die Vakuumlichtgeschwidigkeit c, sid imme positiv. Es zeigt sich also, dass die

6 Mateialie mit egativem Bechugsidex 17 Welleausbeitug i Medie mit simultae egative Wete fü ε ud μ übe eie egative Bechugsidex physikalisch sivoll beschiebe wede ka. Somit ist ei Medium mit egativem Bechugsidex echt eifach zu chaakteisiee als ei Mateial, i dem die Phase- ud die mittlee Eegiegeschwidigkeit atipaallel geichtet sid. I eiige Liteatustelle, wie z.b. i [Cal6], wid die Defiitio übe die Guppegeschwidigkeit astatt de Richtug des Eegieflusses gemacht. Diese Festlegug bigt jedoch eiige Risike, da es zwa meistes, abe keiesfalls imme de Fall ist, dass Guppe- ud Eegiegeschwidigkeit gleichgeichtet sid. Es gibt sowohl Beichte übe eie egative Guppegeschwidigkeit bei positivem Bechugsidex [Gt7], als auch übe Mateialie, i dee beide, Guppe- ud Phasegeschwidigkeit, dem Eegiefluss etgegegesetzt velaufe [Dol6b]. I diese kokete Beispiele wüde i beide Fälle das Vozeiche des Bechugsidex falsch defiiet wede. Bei ei eelle Mateialpaamete kommt dies de Bedigug ach gleichzeitig egative Pemittivität ud Pemeabilität gleich. Im ächste Kapitel schließt sich eie Diskussio übe de Eifluss komplexe Mateialpaamete a, i dem abschließed zwei eifache Beziehuge agegebe wede, die vo de Mateialpaamete zu efülle sid, um eie egative Phasegeschwidigkeit zu ealisiee..1. Veallgemeieug fü komplexe Mateialpaamete I diesem Abschitt wede gaz allgemei komplexe Paamete zu Bescheibug eies lieae, homogee, passive Mediums zugelasse. Das bedeutet, dass sowohl ε = εe jεi μ = μ jμ, als auch de Bechugsidex = e ji duch komplexe Zahle ud e i beschiebe wede. Es geht vo allem daum, eie eideutige Beziehug hezuleite, i de die Mateialpaamete zueiade stehe müsse, um eie egative Realteil des Bechugsidex zu ehalte. Bei de Rechug mit komplexe Paamete gibt es zwei seh wichtige Eischäkug, die i passive Medie imme beide efüllt wede müsse. Diese physikalische Radbediguge wede mit Hilfe des mittlee Eegieflusses ach Gleichug (.1.19) abgeleitet. Die zu utesuchede Welle ist übe ih elektisches Feld vollstädig chaakteisiet. Fü das komplexe elektische Feld aus Gleichug (.1.11) ka mit de zweite Maxwell sche Gleichug (.1.) das zugehöige Magetfeld 1 H t ea Et μμ c (, ) = (, ) (.1.)

7 18 Mateialie mit egativem Bechugsidex beechet wede. Mit de beide komplexe Feldamplitude egibt sich de mittlee Eegiefluss i Abhägigkeit des Otes zu: 1 ω Sm( ) = Re ea E exp i ea. (.1.1) μ μ c De Imagiäteil des Bechugsidex bescheibt eie Dämpfug bzw. Vestäkug de mittlee Eegieflussdichte etlag de Ausbeitugsichtug de Welle, was diekt aus de Expoetialfuktio i (.1.1) abzulese ist. I eiem passive Medium daf eie Wellefomatio etlag de Ausbeitugsichtug icht awachse, was zu de Fodeug i füht. Die zweite Bedigug wid a die Richtug des mittlee Eegieflusses gestellt. Diese muss übeall vo de Quelle de Stahlug weg geichtet sei. Diese Fodeug beihaltet ebefalls, dass bei eiem Übegag vo eiem Medium i ei adees die Nomalkompoete des mittlee Eegieflusses uveädet bleibt. Ute de Beücksichtigug diese beide fudametale Eischäkuge köe u zwei, fü komplexe Paamete zu efüllede Ugleichuge hegeleitet wede, die fü die Wahl eies egative e efüllt wede müsse. Die Bestimmug des Bechugsidex ach Gleichug (.1.15) wid somit eideutig, da imme u eie de beide mögliche komplexe Wuzel diese Bediguge efülle ka. De Ausgagspukt de Betachtug liegt bei eiem lieae isotope Dielektikum mit de komplexe Pemittivität ε = ε e jε i ud de komplexe Pemeabilität μ = μ e jμ i. Bei eiem ebefalls komplexe Bechugsidex = e ji lässt sich Gleichug (.1.15) umscheibe: j = μ ε μ ε j( μ ε + μ ε ). (.1.) e i e i e e i i i e e i Fü die weitee Heleitug muss eie Eischäkug getoffe wede. Es wid voausgesetzt, dass de Realteil des Bechugsidex ugleich Null ist. Da es um Bediguge fü ei egatives Vozeiche des Bechugsidex geht, hat diese Eischäkug auf die Egebisse keie Eifluss, ist alledigs efodelich, damit die kommede Umfomuge ihe Gültigkeit bewahe. Aus Gleichug (.1.) ka duch sepaate Betachtug vo Real- ud Imagiäteil eie biquadatische Gleichug zu Beechug vo e gewoe wede [Dep4]: 4 1 e ( μeεe με i i) e ( με i e + μeεi) =. (.1.3) 4

8 Mateialie mit egativem Bechugsidex 19 Damit beeche sich die mögliche Lösuge fü e zu: (( ) ) 1 1 e = ( μeεe με i i ) ± μeεe με i i + ( με i e μeεi ). (.1.4) Die Lösug fü de Realteil des Bechugsidex egibt sich duch das eeute Bilde de Quadatwuzel. Dabei muss beachtet wede, dass fü e lediglich eelle Wete etstehe düfe, was bedeutet, dass u positive Lösuge vo Gleichug (.1.4) zulässig sid. Diese Bedigug ist gleichbedeuted mit de Wahl des positive Vozeiches i (.1.4), da de Wuzeltem imme göße als de este Summad ist. Somit köe u bei eie Additio de Wuzel positive Wete etstehe. Nach eiige Veeifachuge egibt sich damit die eideutige Lösug womit sich de Realteil des Bechugsidex zu μ ε + μ ε με =, (.1.5) e e i i e > e μ ε + μeεe με i i =± 1 (.1.6) egibt. Die Fodeug ach eie egative Phasegeschwidigkeit scheibt die Wahl de egative Wuzel i (.1.6) vo. Damit ka de zugehöige Paamete i ebefalls eideutig bestimmt wede [Dep4]: = 1 ( με + μ ε ) i e e i i 1 ( μ ε + μeεe με i i) (.1.7) Ahad de beide obe geate Bediguge a ei passives Mateial muss jetzt übepüft wede, fü welche Paametekostellatioe die Wahl des egative Vozeiches beim Realteil des Bechugsidex physikalisch sivoll ist. Dazu muss als estes die Fodeug ach eiem positive i efüllt wede. Die Paamete düfe also u i de Fom gewählt wede, dass aus Gleichug (.1.7) ei positive Wet folgt. De Nee i (.1.7) ist imme positiv, was sich diekt aus de Beziehug (.1.5) egibt, womit sich die Bedigug με+ (.1.8) e i εμ e i fomuliee lässt. Zu Efüllug de zweite Fodeug ach eiem vo de Quelle weg geichtete mittlee Eegiefluss, muss