Working Paper Value-at-Risk-Limitstrukturen zur Steuerung und Begrenzung von Marktrisiken im Aktienbereich

Transkript

1 econsor Der Open-Access-Publikaionsserver der ZBW Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf The Open Access Publicaion Server of he ZBW Leibniz Informaion Cenre for Economics Beeck, Helmu; Johanning, Luz; Rudolph, Bernd Working Paper Value-a-Risk-Limisrukuren zur Seuerung und Begrenzung von Markrisiken im Akienbereich CFS Working Paper, No. 1997/02 Provided in Cooperaion wih: Cener for Financial Sudies (CFS), Goehe Universiy Frankfur Suggesed Ciaion: Beeck, Helmu; Johanning, Luz; Rudolph, Bernd (1997) : Value-a-Risk- Limisrukuren zur Seuerung und Begrenzung von Markrisiken im Akienbereich, CFS Working Paper, No. 1997/02, hp://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis: This Version is available a: hp://hdl.handle.ne/10419/78099 Nuzungsbedingungen: Die ZBW räum Ihnen als Nuzerin/Nuzer das unengelliche, räumlich unbeschränke und zeilich auf die Dauer des Schuzrechs beschränke einfache Rech ein, das ausgewähle Werk im Rahmen der uner hp:// nachzulesenden vollsändigen Nuzungsbedingungen zu vervielfäligen, mi denen die Nuzerin/der Nuzer sich durch die erse Nuzung einversanden erklär. Terms of use: The ZBW grans you, he user, he non-exclusive righ o use he seleced work free of charge, erriorially unresriced and wihin he ime limi of he erm of he propery righs according o he erms specified a hp:// By he firs use of he seleced work he user agrees and declares o comply wih hese erms of use. zbw Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf Leibniz Informaion Cenre for Economics

2 - 1 - Nr. 97/02 Value-a-Risk-Limisrukuren zur Seuerung und Begrenzung von Markrisiken im Akienbereich Helmu Beeck / Luz Johanning / Bernd Rudolph

3 - 2 - Nr. 97/02 Value-a-Risk-Limisrukuren zur Seuerung und Begrenzung von Markrisiken im Akienbereich Helmu Beeck # / Luz Johanning* / Bernd Rudolph* Zusammenfassung Ein Value-a-Risk-Limi wird als DM-Berag gekennzeichne, der von den asächlichen Handelsverlusen innerhalb einer besimmen Zeidauer nur mi geringer Wahrscheinlichkei überschrien werden darf. Da der Bankvorsand i.d.r. Jahres-Value-a-Risk-Limie beschließ, im Handelsbereich die Geschäfe aber für einen kurzfrisigen - unersell wird ein einägiger - Planungshorizon abgeschlossen werden, is zu klären, wie Jahres-Limie in Tages-Limie umgerechne und während des Jahres realisiere Gewinne und Verluse auf die Limie angerechne werden können. Auf der Grundlage des Umrechnungsverfahrens nach der Quadrawurzel-T-Formel lassen sich drei Verfahren für die Ermilung des Tages-Limis unerscheiden: 1. Realisiere Gewinne und Verluse werden nich angerechne (sarres Limi). 2. Bei Verluseinri verminder sich das Tages-Limi für die Resperiode, realisiere Gewinne machen Kürzungen rückgängig (Verlusbegrenzungslimi). 3. Tages-Limie werden um Gewinne und Verluse angepaß, wodurch eine Erweierung des Handlungsspielraumes möglich is (dynamisches Limi). Die drei Limie werden in einem Simulaionsmodell gegeneinander abgewogen, wobei unersell wird, ein Händler handle nur eine einzige Akie und anizipiere in 55% der Fälle die Kursrichung. Die Simulaionsergebnisse sind bei den unersellen Rendieprozessen (geomerische Brownsche Bewegung und reale Rendien von 77 deuschen Akien für die Zei vom bis ) weigehend idenisch. Das dynamische Limi produzier deulich höhere durchschniliche Ergebnisse als das sarre Limi und das Verlusbegrenzungslimi. Überschreiungen des Jahres-Limis reen nur beim sarren Verfahren auf, die Häufigkei is allerdings wesenlich geringer als die zulässige Wahrscheinlichkei von 1 %. * # Dr. Helmu Beeck, Abeilung Konzernrisikoconrolling der Bayerischen Hypoheken- und Wechsel-Bank AG, München, Dipl.-Kfm. Luz Johanning und Prof. Dr. Bernd Rudolph, Seminar für Kapialmarkforschung und Finanzierung der Ludwig-Maximilians-Universiä München. Helmu Beeck / Luz Johanning / Bernd Rudolph * * Dr. Helmu Beeck, Abeilung Konzernrisikoconrolling der Bayerischen Hypoheken- und Wechsel- Bank AG, München, Dipl.-Kfm. Luz Johanning und Prof. Dr. Bernd Rudolph, Seminar für Kapialmarkforschung und Finanzierung der Ludwig-Maximilians-Universiä München.

4 - 3 - Value-a-Risk-Limisrukuren zur Seuerung und Begrenzung von Markrisiken im Akienbereich 1 PROBLEMSTELLUNG VALUE-AT-RISK-BERECHNUNG ZUR LIMITSTEUERUNG IM HANDELSBEREICH EIN VERGLEICH VERSCHIEDENER VALUE-AT-RISK-LIMITSYSTEME MIT HILFE EINES SIMULATIONSMODELLS Annahmen der Simulaionsrechnungen Tages-Value-a-Risk-Limie bei einem Rendieerwarungswer von Null Tages-Value-a-Risk-Limie bei einem Rendieerwarungswer von ungleich Null Simulaionsablauf SIMULATIONSERGEBNISSE Ergebnisse für einen Rendieerwarungswer von Null Ergebnisse für einen Rendieerwarungswer von ungleich Null ZUSAMMENFASSUNG DER ERGEBNISSE UND AUSBLICK... 30

5 - 4-1 Problemsellung In den Handelsbereichen der Krediinsiue wird zur Quanifizierung der Markrisiken (daruner fallen Zins-, Akien-, Währungs- und Rohsoffpreisrisiken) üblicherweise der DM- Verlusberag gemessen, der von der Handelsposiion bzw. dem gesamen Handelsporefeuille während einer besimmen Haledauer nur mi einer geringen Wahrscheinlichkei (beispielsweise 1 %) überschrien wird. Diese Ar der Risikomessung, die sich auf die Handelsporefeuilles anderer Markeilnehmer leich überragen läß, ha sich bei den größeren Krediinsiuen, und das sind die wichigsen Markeilnehmer, durchgesez. Der gemessene maximale DM-Verlusberag wird als Value-a-Risk bezeichne und den verschiedenen Markrisikobereichen zugeordne bzw. zum Value-a-Risk des gesamen Handelsporefeuilles zusammengefaß. Die Invesmenbank J. P. Morgan ha im Okober 1994 ersmals ein deaillieres Verfahren zur Berechnung des Value-a-Risk für verschiedene Handelsposiionen uner der Bezeichnung RiskMerics veröffenlich. 1 Seidem haben sich zahlreiche Arbeien zunächs in der praxisnahen und späer auch in der mehr heoreisch moivieren Lieraur mi dem Thema Value-a-Risk beschäfig. Die Arbeien konzenrieren sich auf die Enwicklung neuer bzw. die effizienere Ausgesalung besehender Meßverfahren und auf die Beureilung der Verfahren in bezug auf Meßgenauigkei und echnische Kapaziäsbeanspruchung. 2 In der Lieraur wurde dagegen die Auseinandersezung mi bankinernen Verwendungsmöglichkeien des Value-a-Risk bei der Risikoseuerung und Risikokonrolle vernachlässig. Das is um so ersaunlicher, als die Enwicklung der Value-a-Risk-Verfahren auch von der Bankenaufsich beobache wird und prinzipiell anerkann wurde. So sell beispielsweise die im Januar 1996 vom Basler Ausschuß für Bankenaufsich vorgelege Änderung der Eigenkapialvereinbarung zur Einbeziehung der Markrisiken den Banken frei, ab 1998 die Eigenkapialunerlegung für die Markrisiken im Handelsbuch enweder mi dem aufsichlichen Sandardverfahren (Building-Block-Ansaz) oder mi eigenen Value-a-Risk-Modellen zu berechnen. 3 Der im Vorgriff auf die Überarbeiung der Kapialadäquanzrichlinie vorgelege Enwurf Milerweile lieg die viere Auflage von RiskMerics vor. Vgl. J.P. Morgan (1996). Vgl. beispielsweise Beder (1995), Prisker (1995), Mahoney (1995), Hendricks (1996), Bühler/Korn/Schmid (1997) sowie Grundy/Wiener (1996). Der Basler Ausschuß für Bankenaufsich sez sich aus Verreern der Bankenaufsichsbehörden der Länder der G10 zusammen und erarbeie Richlinien für inernaional agierende Banken der

6 - 5 - eines neuen Grundsazes I des Bundesaufsichsames für das Krediwesen läß ebenfalls Risikomodelle zur Ermilung der bankaufsichlichen Eigenkapialanforderungen für Markrisiken zu. 4 Voraussezung für eine bankaufsichliche Anerkennung inerner Modelle sind neben der Berechnung einer einzigen Value-a-Risk-Kennziffer für das gesame Handelsbuch u.a. die Einhalung srenger quaniaiver und qualiaiver Krierien bei der Risikomessung. 5 Zu den qualiaiven Krierien gehör der sachgereche Einsaz eines Limisysems zur Risikoseuerung im Handelsbereich: In Verbindung mi dem Risikomeßsysem sind inerne Limis für Handel und Risikoengagemen feszusezen. Die Handelslimis müssen in einer dauerhafen Beziehung zum Risikomessungsmodell der Bank sehen,... 6 Da der Basler Ausschuß explizi den Value-a- Risk als Risikomaß vorgib, handel es sich bei den geforderen Risikolimien um Value-a- Risk-Limie. 7 Die Frage nach einer adäquaen Limiierung sell sich im übrigen nich nur im Zusammenhang mi der bankaufsichlichen Risikobegrenzung, sondern generell im Rahmen der Renabiliäs- und Risikoseuerung und auch bei den in der Praxis zum Teil bereis eingesezen Verfahren der Seuerung der Geschäfsbereiche über Risikokapial wie RAROC (Reurn On Risk Adjused Capial). 8 Das Defizi an Arbeien über Anwendungsmöglichkeien des Value-a-Risk einerseis und die aufsichlichen Anforderungen zum Aufbau von periodenbezogenen Value-a-Risk-Limisysemen andererseis sind der Anlaß für diese Unersuchung, die Vorschläge zur Ausgesalung von Value-a-Risk-Limisysemen enwickeln will. Ausgangspunk der Analyse is der ypische Aufbau eines Risikomanagemens im Handelsbereich: Der Vorsand weis dem Handelsbereich einen maximalen Risikoverfügungsrahmen in Form von Risikokapial zu. Diese Vor Migliedsaaen, die im Rahmen eines Genlemen s Agreemen eingehalen werden sollen. Wichigse Empfehlung is die Eigenkapialvereinbarung von 1988 (Cooke-Repor), in der eine einheiliche Eigenkapialunerlegung der Kredirisiken im Bankgeschäf vereinbar wurde. Die im Januar 1996 vorgelege Änderung der Eigenkapialvereinbarung bezieh nun auch die Markrisiken der Banken mi ein. Vgl. Bundesaufsichsam für das Krediwesen (1996), S. 125 ff. Vgl. Basler Ausschuß für Bankenaufsich (1996), S. 39 ff., und Johanning (1996). Basler Ausschuß für Bankenaufsich (1996), S. 40. Eine vergleichbare Vorschrif finde sich auch in der Verlaubarung über Mindesanforderungen an das Bereiben von Handelsgeschäfen der Krediinsiue des Bundesaufsichsames für das Krediwesen. Danach muß ein Sysem risikobegrenzender Limie eingeriche werden, das auf die Risikoschäzung abgesimm is. Der Value-a-Risk wird hierbei aber nich explizi als Risikomaß vorgeschrieben. Vgl. Bundesaufsichsam für das Krediwesen (1995), S Vgl. Wilson (1992), James (1996) sowie Bürger (1995), S. 250.

7 - 6 - sandsenscheidung is hier nich Gegensand der Überlegungen. Sie kann beispielsweise im Rahmen qualiaiver Ansäze erfolgen oder über einen Porfolio-Ansaz quaniaiv abgesüz werden, der der Srukur des Markowiz-Modells der Porfolio-Selecion ensprich. 9 Im Handelsbereich selbs wird dieses Kapial weier auf die verschiedenen Bereiche und Chefhändler, Seniorhändler und Juniorhändler weiervereil. Die Risikoallokaion über die Kapial- bzw. Limizuweisung wird im Sinne einer dezenralen Bankseuerung i.d.r. einmal jährlich vorgenommen. Der Bankvorsand geh also davon aus, daß der Handelsbereich mi einer vorgegebenen Sicherheiswahrscheinlichkei auf jährlicher Basis keine größeren Verluse produzier als das zur Verfügung geselle Limi bzw. Risikokapial. Die konkreen Handelsenscheidungen werden aber koninuierlich geroffen. Für die Handelsabeilungen sell sich daher die Frage, wie das zugewiesene Jahres-Limi in kurzfrisige Value-a-Risk-Limie herunergerechne und das Limisysem so ausgesale werden kann, daß den Händlern ein für die Gesambank opimaler Handlungsrahmen zur Verfügung seh. Andere Fragen bereffen beispielsweise die Alernaiven einer risikoadjusieren Performance-Messung, wenn z.b. die Rendie auf die zugeeilen Limie oder auf die asächlichen Limiauslasungen bezogen wird oder die Frage der zusäzlichen Berücksichigung von Konrahenenlimien. Gegensand der vorliegenden Unersuchung is die Umrechnung von Jahres-Limien in ägliche Value-a-Risk-Limie, wozu sich zumindes drei verschiedene Verfahren anbieen: Das vorgegebene Jahres-Limi wird nach einem sarren Berechnungsverfahren auf ein Tages-Limi umgerechne, das an jedem Tag gleich hoch is und für den Zeiraum eines Jahres fes vorgegeben wird. Alernaiv werden im Jahresablauf realisiere Gewinne und Verluse im Handelsbereich auf das besehende Limi angerechne. Dabei werden zwei Möglichkeien unerschieden: 2. Bei einem effekiven Verluseinri erfolg eine Einschränkung der Handlungsmöglichkeien des Händlers für die Resperiode Vgl. Markowiz (1959) und Elon/Gruber (1995), S Die in das Porfolio Modell eingehenden Parameer können in unerschiedlicher Weise spezifizier werden. Möglich sind beispielsweise Benchmark-Szenarien mi fesen Risikoparameern oder Mark-Szenarien, die sich an einer besimmen Beobachungsperiode orienieren. Feszulegen sind darüber hinaus die Schäzungen für die Erwarungswere der Ergebnisse und der Zeihorizon, für den das Limi vorläufig gelen soll. Vgl. Rudolph (1993), S. 127.

8 Die Anpassung der Limie erfolg auch in der Weise, daß die Verrechnung realisierer Gewinne den zunächs vorgegebenen Handlungsspielraum des Händlers erweier. Für die drei Varianen des Limisysems sprechen unerschiedliche organisaorische Vor- und Nacheile, die konzepionell nur schwer gegeneinander abgewogen werden können. Eine Simulaionssudie soll daher die möglichen Auswirkungen der Vorgehensweise ransparen machen und Anhalspunke für die Arakiviä der unerschiedlichen Verfahren geben. 11 Die Unersuchung is wie folg geglieder. Im 2. Abschni wird der Value-a-Risk definier und ein Berechnungsverfahren vorgesell. Der Abschni 3 befaß sich mi der Limiseuerung im Handelsbereich und heb die Vorzüge einer Value-a-Risk-Limiseuerung hervor. Im 4. Abschni werden die drei Ausprägungen eines Value-a-Risk-Limisysems konkreisier, die mi Hilfe von Simulaionsrechnungen verglichen und bewere werden sollen. Die Ergebnisse für einen simulieren Rendieprozeß sowie für reale Akienrendien werden in Abschni 5 dargesell. Die Unersuchung schließ im 6. Abschni mi einem Fazi der Überlegungen. 2 Value-a-Risk-Berechnung Der Value-a-Risk VaR( p, H) einer Handelsposiion is der im Zeipunk für eine besimme Haledauer H geschäze maximale DM-Verlus-Berag, der nur mi einer fesgelegen, geringen Wahrscheinlichkei p (Konfidenzniveau von 1 p) überschrien wird. Die Haledauer H wird enweder durch die Liquidaionsperiode fesgeleg, die zur Liquidaion des Handelsiels benöig wird, oder auf sehr liquiden Märken durch die Vorgaben des Handelsmanagemens, für welche Zei die Handelsposiion im Handelsbesand verbleiben soll. In dieser Arbei wird i.d.r. mi einer Haledauer von H=1 Tag gearbeie. Die Abbildung 2-1 zeig den Value-a-Risk für eine Überschreiungswahrscheinlichkei p=1 %, 12 mi dem Erwarungswer µ V und der Sandardabweichung σ V der Markweränderungen V Durch Kombinaion der Verfahren lassen sich weiere Varianen konsruieren, die aber hier nich weier behandel werden sollen. In der nachfolgenden Unersuchung wird p durchgehend mi 1 % angesez. Gewinne und Verluse werden in den Handelsabeilungen als Markweränderungen der Posiionen zuzüglich Zins- und Dividendenerrägen und realisieren Kursgewinnen und -verlusen ermiel. Sie sind also in diesem Fall von der handelsrechlichen Definiion zu unerscheiden. Vgl. Wi (1994), S. 149 ff.

9 - 8 - Abbildung 2-1: Value-a-Risk bei normalvereiler äglicher Markweränderung V einer Handelsposiion Der Value-a-Risk kann mi verschiedenen Verfahren berechne werden. Zu den prominenesen Berechnungsverfahren zählen die Varianz-Kovarianz-Mehode sowie die hisorische und Mone-Carlo-Simulaion. In dieser Arbei beschränken wir uns auf die Darsellung der Varianz-Kovarianz-Mehode, weil sie insbesondere für die Porefeuilleseuerung geeigne is. Bei der Varianz-Kovarianz-Mehode wird der Value-a-Risk über die Kovarianzmarix der Rendien der einzelnen Porefeuilleaneile besimm. Value-a-Risk-Änderungen können so bei Porefeuilleumschichungen relaiv schnell ermiel werden. Die Ermilung der Value-a-Risk- Änderungen bei den beiden Simulaionsverfahren erforder dagegen die Durchführung einer vollsändig neuen Simulaion. 14 Da in dieser Arbei der Value-a-Risk nich für ein Porefeuille, sondern nur für ein einziges Werpapier besimm wird, basier die Risikoberechnung nur auf der Varianz bzw. der Sandardabweichung der Rendien. Die äglichen Rendien R werden in logarihmierer Form (2-1) R ln( V / V ) = 1 14 Vgl. Bühler/Korn/Schmid (1997).

10 - 9 - ermiel, wobei V den Markwer der Handelsposiion in kennzeichne. Bei Normalvereilung der Rendien berechne sich der Value-a-Risk in Abhängigkei vom in gebildeen Erwarungswer der äglichen Rendien µ und der Sandardabweichung der äglichen Rendien σ : 15 (2-2) VaR( p, H = 1 ) = V ( µ + L( p) σ ). Der Muliplikaor L(p) ensprich einem besimmen Frakil der Sandardnormalvereilung und beräg, da der Value-a-Risk ausschließlich für p=1 % berechne wird 2,33. Der Erwar- K 1 ungswer der äglichen Rendien im Zeipunk wird mi µ R K k = + 1 k = 1 geschäz und die K 1 2 Sandardabweichung analog mi σ = ( R k + 1 µ ). K is der hisorische Be- K 1 rachungszeiraum, der in der vorliegenden Unersuchung ses 250 Tage beräg. Die Valuea-Risk-Schäzung kann vereinfach werden, wenn der Erwarungswer der äglichen Rendien Null gesez wird (µ =0), wodurch sich Fehler bei der Schäzung des Erwarungsweres vermeiden lassen. 16 Der Value-a-Risk ergib sich dann als k = 1 (2-3) VaR( p, H = 1) = V L( p) σ, wobei die Sandardabweichung mi σ = 1 K K 2 R k + 1 k = 1 geschäz wird. 17 Der Value-a-Risk für längere Haleperioden linearer Handelsposiionen kann bei serieller Unabhängigkei und Saionariä der Rendien mi Hilfe der Quadrawurzel-T-Formel aus dem Value-a-Risk für eine einägige Haledauer berechne werden: Unersell wird, daß die Klammer ( µ + L( p) σ ) negaiv is. Da der Value-a-Risk als posiiver DM- Berag angegeben wird, muß die Klammer mi V muliplizier werden. Der Fehler der Annahme µ =0 wird dabei geringer eingeschäz als der Fehler, der durch die Schäzung des Erwarungsweres auf Basis der hisorischen Daen resulier. Vgl. Taylor (1986), S. 111.

11 (2-4) [ µ σ ] VaR( p, H = T) = V T + L( p) T, = VaR( p, H = 1) T + V µ ( T T) wobei T die unerselle Haleperiode bezeichne. Bei der vereinfachen Value-a-Risk- Schäzung bei µ =0 ergib sich die bekanne Quadrawurzel-T-Formel (2-5) VaR( p, H = T) = VaR( p, H = 1 ) T. Die Umrechnung der Jahres- in Tages-Value-a-Risk-Limie wird sowohl auf Basis der Gleichung (2-4) als auch auf Basis der vereinfachen Quadrawurzel-T-Formel (2-5) vorgenommen. 3 Zur Limiseuerung im Handelsbereich Risikolimie sind in den Handelsbereichen der Banken gebräuchliche Seuerungsverfahren, mi denen die Risikoübernahme begrenz werden soll. Limie sellen Resrikionen für einzelne Bücher, Händler, Profi Cener oder sogar die Gesambank dar, die von den Enscheidungsrägern im Zeiablauf sreng eingehalen werden müssen. Innerhalb der Limie können dafür ohne Rücksprache eigenveranworlich Geschäfe abgeschlossen werden. 19 Limie sind im Einklang mi der gesamen Risikosraegie und einheilich für alle Bereiche der Bank auszugesalen. Da Limie als Resrikionen zu versehen sind, muß auch das dami verfolge Ziel in Form einer Resrikion definier sein. Auf Gesambankebene könne eine solche Resrikion beispielsweise darin besehen, die Wahrscheinlichkei des Verluses von x % des Eigenkapials Da der Erwarungswer mi Null angesez wird, geh kein Freiheisgrad für die Schäzung des Erwarungsweres verloren. Serielle Unabhängigkei der Rendiezeireihe besag, daß die Rendien unabhängig von den Rendien eines beliebigen vorherigen Zeipunkes sind. Saionariä lieg vor, wenn die Momene µ und σ der Rendievereilung im Zeiablauf konsan sind. Vgl. Hill (1990), S , Krämer / Runde (1991), S. 312, und Taylor (1986), S Beide Annahmen sind nich ganz unproblemaisch und insbesondere in Crash-Siuaionen kaum verrebar. Vgl. Wi (1994), S. 110.

12 auf ein definieres Niveau zu begrenzen. 20 Die Resrikion würde bei exaker Risikoberechnung bewirken, daß der vorgegebene Eigenkapialaneil auch dann nich aufgezehr wird, wenn die Bank in ihrer Handelsposiion hohe Verluse erleide. 21 Abbildung 3-1 verdeulich die Srukur eines Risikolimisysems 22 für eine Bank mi einem angenommenen Eigenkapial von 3 Mrd. DM und einem erwareen Gewinn von 100 Mio. DM, die als Nebenbedingung das Ziel der Eigenkapialerhalung (Solvenzsicherung) bzw. des dem Handelsbereich zugeordneen Eigenkapials verfolg. Zwischen dem Eigenkapial der Bank und dem Gesamrisikolimi (in Mio. DM) beseh ein Zusammenhang, der vom Bankmanagemen ziel- und sachgerech fesgeleg werden muß. Im Beispiel soll zur Bildung eines ausreichenden Eigenkapialpuffers das Eigenkapial dreißigmal größer sein als das Risikolimi der Gesambank, das nun auf die Bankbereiche herunergebrochen werden muß. Eine wichige Voraussezung für die raionale Aufeilung des Gesamlimis is eine einheiliche Messung des Risikos in allen Bereichen. Aufgrund sraegischer Überlegungen und des unersellen Risikogehals werde dem Handelsbereich ein Limi von 40 Mio. DM zugewiesen, das nun weier vereil werden muß. Beispielsweise erhalen die Handelsbereiche Akien 10 Mio., Zinsen 30 Mio. und Währungen 20 Mio. DM Risikolimi. Die Summe der Risikolimie der einzelnen Handelsbereiche in Höhe von 60 Mio. DM kann dabei u.u. das Risikolimi für den gesamen Handelsbereich in Höhe von 40 Mio. DM deulich überseigen, wenn berücksichig wird, daß zwischen den Bereichen keine vollsändige Korrelaion der Rendien beseh. 23 Bei Einhalung der Limie kann die Resrikion mi der gewünschen Wahrscheinlichkei erfüll werden, wenn das Risiko genau ermiel wird. Abbildung 3-1: Eigenkapialresrikion und Risikolimisysem Eine solche Resrikion könne beispielsweise durch bankaufsichliche Solvenznormen vorgegeben sein. Zu den Grundprinzipien der Konsrukion bankaufsichlicher Solvenznormen und zur Eigenkapialmessung vgl. Burghof/Rudolph (1996), S. 121 ff. Da ein Limi eine zu erreichende Sollvorgabe darsell, kann nich sichergesell werden, daß die Händler im Rahmen ihres Handlungsspielraumes das Handelsergebnis auch opimieren, also beispielsweise zu einer Markwermaximierung beiragen. Laux/Liermann (1993), S , zeigen, daß mi einer Sollvorgabe nur in Ausnahmefällen die Markwermaximierung verwirklich werden kann. Vgl. dazu ähnlich J.P. Morgan (1996), S. 33. Vgl. J.P. Morgan (1996), S. 33. Bekannlich is σ p σ A + σ B für rp = ra + rb, wobei das Gleichheiszeichen nur dann gil, wenn die Korrelaion ρ AB=1 is. In allen anderen Fällen gil σ p < σ A + σ B.

13 Eigenkapial Gesambank Mio. Funkion besimm Bankmanagemen Risikolimi Gesambank 100 Mio. Risikolimi Kredi 50 Mio. Risikolimi Handel 40 Mio.... besimm... Risikolimi Akien 10 Mio. Risikolimi Zinsen 30 Mio. Risikolimi Währungen 20 Mio. Bankziel: Markwermax. Resrikion: Eigenkapialerhalung Risikolimi 1. Händler 3 Mio. Risikolimi 2. Händler 3 Mio Das Risiko in den Handelsbereichen wird in der Praxis auf vielfälige Ar gemessen; das Risikomeßverfahren besimm dami die Ar des Risikolimis. Wird das Risiko beispielsweise anhand der Nominalwere der Handelsposiionen ermiel, so solle sich auch das Limisysem auf die Nominalwere beziehen. Das Risiko kann auch einigen Währungen oder Ländern sowie Konrahenen pauschal zugeordne werden. Die Limie begrenzen dann die Posiionsübernahme in der jeweiligen Währung bzw. gegenüber den jeweiligen Verragsparnern oder Emienen. 24 Solche Formen der Risikomessung sind aber sehr undifferenzier und ungenau, mi der Folge, daß ein auf einem ungenauen Risikomeßmodell basierendes Limisysem selbs dann mi der geforderen Wahrscheinlichkei die Resrikion der Eigenkapialerhalung nich gewährleisen kann, wenn alle Enscheidungsräger ihr vorgegebenes Limi asächlich einhalen. Eine Ermilung des Risikos in Form von Value-a-Risk-Weren is im Vergleich zur herkömmlichen Risikomessung sachgerecher. Dies gil insbesondere für das Markrisiko, da die 24 Zu den vielfäligen Ausgesalungsmöglichkeien von Limien vgl. Scharpf/Luz (1996), S. 116 ff.

14 Berechnungen auf den exogen gegebenen Markweren und möglichen Markweränderungen basieren und dami auf den poeniellen Verlusen der Handelsposiionen bzw. des Handelsporefeuilles. 25 Bei solchen objekiv nachvollziehbaren Berechnungen spiel im übrigen das Problem der wahrheisgemäßen Berichersaung der Handelsbereiche 26 an die Limiüberwachungsellen keine wesenliche Rolle, wenn die Risikomeßsyseme zusäzlich einheilich implemenier sind. Ein Value-a-Risk-Limi kennzeichne einen im Zeipunk besimmen DM-Verlusberag, der je nach der zeilichen Srukur des Limis (z.b. Jahres- oder Tages-Limie) während einer besimmen Zeidauer nur mi der Wahrscheinlichkei p von den asächlichen Handelsverlusen überschrien werden darf. Die Zeidauer, für die das Limi gil, solle dabei mi der Haledauer H des Value-a-Risk der Handelsposiionen übereinsimmen, weil nur dann der Händler mi dem Limi sinnvoll geseuer werden kann. Bei einer Haledauer von H=1 Tag solle der Händler beispielsweise durch ein Tages-Limi geseuer werden, das im Zeipunk besimm wird und in +1 eingehalen werden muß. Die zeiliche Srukur des Limis orienier sich also an der Haledauer der Value-a-Risk-Berechnung und dami an der Liquidaionsperiode des Handelsiels oder auf liquiden Märken an den Zielvorgaben des Handelsmanagemens bzw. des Händlers. Formal kann ein Tages-Value-a-Risk-Limi aus der Gleichung (2-2) abgeleie werden: max (3-1) TL = V ( µ + L( p) σ ), mi V max als maximale Posiion, die bei voller Ausschöpfung des Limis angeleg werden kann. Es is dann TL =VaR(p,H=1). Der Value-a-Risk-Ansaz vermiel ersmals die Aussich, das Risiko in allen Bankbereichen einheilich meßbar machen und ein konsisenes Risikolimisysem für die Gesambank aufbauen zu können. Da der Value-a-Risk eine DM-Größe is, kann ein unmielbarer Zusammenhang zum Eigenkapial der Bank hergesell werden. Der im Beispiel mi Mio. DM dreißigfach höhere Gesameigenkapialberag der Bank als das gesame Value-a-Risk-Limi Verschiedene Unersuchungen können aber auch Ungenauigkeien von Value-a-Risk-Berechnungen verdeulichen. Vgl. beispielsweise Beder (1995) und Hendricks (1996). Vgl. Ewer/Wagenhofer (1995).

15 kann als Sicherheispuffer inerpreier werden, der bankaufsichlich erzwungen oder aus der Risikoeinsellung der Bank abgeleie is. Die Konsrukion der Value-a-Risk-Meßzahl bewirk aber, daß selbs bei Einhalung aller Value-a-Risk-Limie und bei exaker Risikoberechnung nich mi Sicherhei ausgeschlossen werden kann, daß im zukünfigen Geschäfsablauf nich doch der Teil des mi dem Risikolimi abgesicheren Eigenkapials verbrauch wird. 4 Ein Vergleich verschiedener Value-a-Risk-Limisyseme mi Hilfe eines Simulaionsmodells 4.1 Annahmen der Simulaionsrechnungen Bei den Risikobegrenzungen der Modellbank in Abbildung 3-1 soll es sich um Jahres-Limie handeln. Da im Handelsbereich der Banken i.d.r. die Geschäfe aber für einen kurzfrisigeren - unersell wird ein einägiger - Zeiraum abgeschlossen werden, is zunächs zu klären, wie ein Jahres-Limi in ein Tages-Value-a-Risk-Limi umgerechne werden kann. In einem Simulaionsmodell sollen die oben unerschiedenen Ansäze bewere werden, wobei bei allen drei Verfahren ein Jahres-Value-a-Risk-Limi von 1 Mio. DM vorgegeben is. Im Modell wird davon ausgegangen, daß ein Akienhändler durchgehend nur eine einzige Akiengaung handel und er ses das ihm zur Verfügung sehende Limi voll ausschöpf. Ob er dieses Limi durch einen posiiven Besand in Anspruch nimm oder durch einen Leerverkauf, häng von seiner Händlermeinung über die zukünfige Kursbewegung ab. Die Händlermeinung wird im Modell insowei sehr einfach abgebilde, als unersell wird, daß der Händler in 55 % der Fälle die richige Kursrichung anizipier, so daß er bei einem Kursansieg in 55 % der Fälle zuvor eine maximale Long- und bei einem Kursverlus zuvor eine maximale Shor- Posiion eingegangen is. Alle Handelsposiionen werden am jeweils folgenden Tag glagesell, worauf noch am selben Tag neue Posiionen eingegangen werden. Die Tagesgewinne und -verluse der 250 Handelsage werden zu einem Gesamjahresergebnis summier.

16 Tages-Value-a-Risk-Limie bei einem Rendieerwarungswer von Null Die Umrechnung der Jahres- auf Tages-Limie nach den drei Verfahren geschieh in folgenden Schrien: Sarres Limi (SL): Beim ersen Verfahren seh dem Händler während des ganzen Jahres ein unveränderes Jahres-Limi (in diesem Fall von 1 Mio. DM) zur Verfügung. Dieses Verfahren wird demzufolge sarres Limi genann. Aus dem vorgegebenen Jahres-Limi JL SL wird zunächs auf Basis der vereinfachen Quadrawurzel-T-Formel (2-5) das Tages-Limi ermiel; es wird nun also nich der Value-a-Risk für eine Haledauer H=T, sondern quasi rückwärs aus dem vorgegebenen Jahres-Limi das Tages-Limi errechne. Das für alle Tage gelende Tages- Limi TL SL ergib sich als JL (4-1) TL SL =. T Das Tages-Limi is eine fese Größe und beräg bei einem unersellen Jahres-Limi von 1 Mio. DM DM. Die maximale Posiion V SL, die der Händler maximal in invesieren kann, dami - vorausgesez der Value-a-Risk wird exak berechne - das Tages-Limi im Glasellungszeipunk +1 nur mi der Wahrscheinlichkei p überschrien wird, kann über die Gleichung (2-3) berechne werden: (4-2) V SL JL = L( p) σ SL T. Verlusbegrenzungslimi (VL): Beim zweien Verfahren kalkulier der Händler am ersen Tag mi dem gesamen Jahres-Limi von 1 Mio. DM, das ihm aber in dieser Höhe nich äglich zur Verfügung seh. Im Zeiablauf realisiere Verluse reduzieren das für die nachfolgenden Tage bereisehende Jahres-Limi, realisiere Gewinne erhöhen das Limi aber nur bis zu einem maximalen Berag von 1 Mio. DM. Bei diesem zweien Verfahren wird der Handlungsspielraum des Händlers durch die Verrechnung von Verlusen särker resringier als im ersen Fall. Das Verfahren wird Verlusbegrenzungslimi (VL) genann und läß eine Gewinnver-

17 rechnung nur im Rahmen verlusbedinger Limikürzungen zu. Dabei beseh auch die Möglichkei, daß zeilich vorher angefallene Gewinne späere Verluse ausgleichen, für Verluse also angespar werden kann. Die Gewinne oder Verluse (Markweränderungen) in werden VL VL aus V = V 1 R ermiel, wobei V 1 die von 1 bis invesiere Posiion kennzeichne. Die kumulieren Gewinne und Verluse K V, die sich vom ersen Handelsag (=1) des Jahres bis s+ 1 s= 1 VL VL zum Zeipunk ergeben, berechnen sich nach K V = V = V R V R, mi V VL 0 als von =0 (als lezen Handelsag des Vorjahres) bis =1 (als ersen Handelsag des neuen Jahres) invesieren Berag. 27 Das in ermiele Jahres-Value-a-Risk-Limi JL VL beräg also: (4-3) JL VL JL, wenn K V = JL + K V, wenn K V < 0 0, mi JL als anfängliches zur Verfügung geselles Jahres-Value-a-Risk-Limi, hier 1 Mio. DM. Das Tages-Value-a-Risk-Limi, das dem Händler für +1 zur Verfügung seh, wird wieder über die Quadrawurzel-T-Formel VL VL (4-4) TL = JL / T berechne. Die maximale Posiion beim Verlusbegrenzungslimi unerscheide sich von der maximalen Posiion beim sarren Limi nur durch die Anrechnung des Gewinn- und Verlussaldos auf das äglich einzukalkulierende Jahres-Limi. Die maximale Posiion ergib sich als: 27 Die Handelsage werden mi =1,...,250 gekennzeichne, der Handelsag =0 kennzeichne somi den lezen Handelsag des Vorjahres, an dem der Berag V VL 0 angeleg wird, so daß er am ersen Handelsag des neuen Jahres glagesell werden kann. Bei V VL 0 handel es sich gleichzeiig um die maximale Posiion (vgl. Gleichung (4-4)), die der Händler annahmegemäß anleg. V VL 0 berechne sich nich auf Basis des um den Gewinn- und Verlussaldo adjusieren Jahres-Limis des Vorjahres, sondern - im Vorgriff auf den Beginn des neuen Jahres - auf Basis des Jahres-Limis des neuen Jahres von 1 Mio. DM.

18 (4-5) V VL VL JL / T = L( p) σ. Dynamisches Limi (DL): Das drie Verfahren ensprich dem Verlusbegrenzungslimi, wobei aber nun das zur Verfügung sehende Jahres-Limi durch die Verrechnung realisierer Gewinne auch über 1 Mio. DM erhöh werden kann. Der Handlungsspielraum des Händlers wird also nich nur durch Verluse eingeschränk, sondern kann auch (prinzipiell unbegrenz) erhöh werden. Dieses Verfahren wird deshalb dynamisches Limi (DL) genann. Das Jahres- Value-a-Risk-Limi JL DL, mi dem der Händler für +1 kalkulier, beräg nun DL (4-6) JL = JL + K V, 1 s= 1 DL DL mi K V = V s+ = V 1 R V0 R1, mi V DL 0 als am lezen Handelsag des Vorjahres (=0) invesieren Berag. Das Tages-Value-a-Risk-Limi berechne sich nach DL DL (4-7) TL = JL / T und die maximale Posiion nach (4-8) V DL DL JL / T = L( p) σ. Beim zweien und drien Seuerungsverfahren wird der Handel eingesell, wenn innerhalb der Periode das gesame Value-a-Risk-Limi durch Verluse aufgezehr wird. Was uner der Einsellung des Handels im einzelnen zu versehen is, muß in der Praxis nach den eingereenen Verlusen konkre besimm werden. Für die vorliegende Simulaion wird das berachee Handelsbuch für den Res des Jahres geschlossen.

19 Die Berechnung der Tages-Limie anhand der vereinfachen Quadrawurzel-T-Formel, bei der Annahme eines Erwarungsweres der äglichen Rendien von Null (µ =0), sell eine sarke Vereinfachung dar. Die Annahme von µ =0 kann zwar für Tageswere relaiv gu gerechferig werden. Da der Erwarungswer aber auf ein Jahr hochskalier wird und dann nur in Ausnahmen gleich Null is, führ diese Annahme zur sysemaischen Vernachlässigung dieses Weres und dami möglicherweise zu großen Fehlern. Der nächse Abschni zeig daher, wie das Tages-Limi bei µ 0 berechne werden kann. 4.3 Tages-Value-a-Risk-Limie bei einem Rendieerwarungswer von ungleich Null Sarres Limi (SL): Die Berechnungen der Tages-Limie werden komplizierer, wenn nich mi der vereinfachen, sondern mi der allgemeinen Quadrawurzel-T-Regel (2-4) gearbeie wird. Für das im Zeipunk berechnee und für +1 gelende Tages-Limi TL SL ergib sich dann SL SL JL SL (4-9) TL = V [ T ] T µ 1. Die maximale Posiion kann über die Gleichung (2-4) in Kombinaion mi der Gleichung (2-2) berechne werden: (4-10) V SL SL JL = µ T + L( p) σ T. Wird (4-10) in (4-9) eingesez, so ergib sich für das Tages-Value-a-Risk-Limi: SL SL µ + L( p) σ (4-11) TL = JL µ T + L( p) σ T. Das Tages-Limi is nun keine fese Größe mehr, sondern insbesondere vom Rendieerwar-

20 ungswer µ und der Sandardabweichung σ abhängig. 28 Bei Schwankungen dieser Were können sich sarke Änderungen des Tages-Limis ergeben, die aus Sich der Risikoseuerung unerwünsch sein können. Es beseh sogar die Gefahr, daß negaive Limie aufreen, wenn nämlich bei einem hohen µ und relaiv dazu geringem σ der Nenner von (4-11) - der Value-a- Risk bei V =1 - engegen dem Normalfall posiiv is. Da der Zähler i.d.r. negaiv is, wird somi auch das Tages-Limi negaiv. Genau diese Ergebnisse wurden in einer Simulaion für reale Akienrendien sehr häufig beobache und das auch für seriell unabhängige Rendien einer geomerisch Brownschen Bewegung. 29 Es gib zwei Möglichkeien, diese Effeke bei der Berechnung des Tages-Limis zu vermeiden. 1. Die Variabiliä der Limie wird verminder, wenn ansa der Jahres-Limie beispielsweise Monas-Limie verwende werden, da mi abnehmender Zeidauer, über die der Value-a- Risk mi der Quadrawurzel-T-Formel hochskalier wird, auch die Fehler der Skalierung abnehmen. 30 Dieses Verfahren sez aber voraus, daß die Banken die Eigenkapial- bzw. Limiallokaion nich jährlich, sondern monalich vornehmen, was im Compuerzeialer durchaus möglich erschein (dynamische Limiallokaion). Derzei wird sie aber nur von einigen amerikanischen Invesmenhäusern, nich aber von den deuschen Universalbanken prakizier. 2. Ansa der äglich neu berechneen Erwarungswere und Sandardabweichungen können für diese Were selbs Erwarungswere bzw. an den Märken über sehr lange Perioden beobachee Parameer eingesez werden. Diese Mehode ha besonders für die Praxisanwendung den Voreil, daß beim sarren Limiverfahren das Tages-Limi nich schwank und daß Das Tages-Limi wird nun mi indexier, da es nich mehr sarr is. Bei µ =0 ergib sich die herkömmliche Quadrawurzel-T-Formel TL = JL / T. Wird (4-11) umgesell und die reche Seie mi V SL SL / SL SL V erweier, so ergib sich TL / JL = VaR( p, H = 1 ) / VaR( p, H = T). Das Verhälnis aus Tagesund Jahres-Limi muß also genau dem Verhälnis des Value-a-Risk für einägige Haledauer und dem über die Quadrawurzel-T-Formel ermielen Value-a-Risk für eine Haledauer von einem Jahr ensprechen, wobei dies für beliebige Were V gil. Wird in (4-11) ansa V die maximale Posiion V SL eingesez, dann würde konsequenerweise der Value-a-Risk für H=1 (bzw. H=T) beragsmäßig genau dem Tages-Limi (Jahres-Limi) ensprechen. Das häufigere Aufreen dieser Ergebnisse bei realen Rendien weis auf die bekanne Nichexisenz der seriellen Unabhängigkei hin. Vgl. Krämer/Runde (1991), S J.P. Morgan (1995), S. 29, und der Basler Ausschuß für Bankenaufsich (1996), S. 45 schäzen es für lineare Handelsposiionen als genau genug ein, den Value-a-Risk für eine Haledauer H=1 auf eine Haledauer H=10 mi der Quadrawurzel-T-Formel umzurechnen. Value-a-Risk-Were mi einer Haledauer von einem Mona werden von J.P. Morgan allerdings über eine exra dafür berechnee Kovarianzmarix ermiel.

21 bei den beiden nachfolgenden Verfahren Schwankungen nur durch die Verrechnung von im Jahr erzielen Gewinnen und Verlusen aufreen. Zudem wäre das Tages-Limi dann weigehend manipulaionsfrei. Dieses wäre nich der Fall, wenn der Handelsbereich das Tages-Limi über die Berechnung der Erwarungswere und Sandardabweichungen selbs besimm. 31 Im Rahmen der folgenden Simulaionsrechnungen wird die zweie Mehode angewende. Für den Erwarungswer und die Sandardabweichung werden enweder bei realen Rendien Were für jede Akie über die Zei von 1974 bis 1995 oder beim simulieren Prozeß der geomerisch Brownschen Bewegung die auf Tagesbasis umgerechneen Were für den Drif und die Sandardabweichung eingesez. Diese Were werden mi µ bzw. σ bezeichne. Für das Tages- Limi (4-11) ergib sich somi: 32 SL SL µ + L( p) σ (4-12) TL = JL µ T + L( p) σ T. Die maximale Posiion wird nich als Funkion von µ und σ, sondern unmielbar aus (4-12) und (2-2) ermiel: 33 (4-13) V SL SL TL = µ + L( p) σ. Das Tages-Limi nimm bei seigendem µ und abnehmendem σ zu. Dies zeig die Tabelle 4-1, die Were für das Tages-Limi bei verschiedenen - für deusche Akien für den Zeiraum Dieser Fall is hier allerdings ausgeschlossen, da annahmegemäß - und bei Markrisiken durch die exogen gegebene Daenbasis begründe - kein Problem der wahrheisgemäßen Berichersaung exisier. Die Indexierung kann nun wieder enfallen, da das Tages-Limi eine sarre Größe is. Auch die maximale Posiion könne in Abhängigkei von µ und σ besimm werden, allerdings würde dann keine Beziehung zu den akuell ermielen Markparameern besehen. Die maximale Posiion wird deshalb in Abhängigkei von µ und σ berechne.

22 bis beobacheen - Weren für µ und σ sowie bei einem vorgegebenem Jahres-Limi von 1 Mio. DM angib. Tabelle 4-1: Tages-Limie in DM bei verschiedenen µ und σ und einem Jahres-Limi von 1 Mio. DM µ σ Tages-Limi µ σ Tages-Limi 0,0005 0, ,0005 0, ,0004 0, ,0005 0, ,0003 0, ,0005 0, ,0002 0, ,0005 0, ,0001 0, ,0005 0, , ,0005 0, ,0001 0, ,0005 0, ,0002 0, ,0005 0, ,0003 0, ,0005 0, ,0004 0, ,0005 0, ,0005 0, ,0005 0, Die beiden nachfolgenden Limie werden nich in Abhängigkei von µ und σ, sondern nur als Funkion von µ bzw. σ angegeben. Verlusbegrenzungslimi (VL): Für das Verlusbegrenzungsverfahren erhäl man das Tages-Value-a-Risk-Limi VL VL µ + L( p) σ (4-14) TL = JL µ T + L( p) σ T, mi JL VL als nach (4-3) ermielem Jahres-Limi. Für die maximale Posiion ergib sich (4-15) V VL VL TL = µ + L( p) σ. Dynamisches Limi (DL): Beim dynamischen Limi wird das Tages-Limi nach

23 DL DL µ + L( p) σ (4-16) TL = JL µ T + L( p) σ T berechne, wobei JL DL das nach (4-6) ermiele Jahres-Limi bezeichne. Die maximale Posiion wird aus (4-17) V DL DL TL = µ + L( p) σ ermiel. 4.4 Simulaionsablauf Die drei angesprochenen Seuerungsverfahren werden nun anhand der Jahresergebnisse verglichen und bewere, die bei simulieren und realen Akienrendien von 77 deuschen Akien erziel werden. Reale Rendien liegen für den Zeiraum 1974 bis einschließlich 1995 vor, so daß die Anzahl der Simulaionsläufe N=1617 (Jahre) beräg. 34 Unersell wird, daß der Händler die 77 Akien nacheinander, zunächs also die 1. Akie und dann alle weieren Akien für jeweils 21 Jahre handel. Für µ und σ werden die für die jeweilige Akie im gesamen Unersuchungszeiraum beobacheen Were eingesell. Bei den simulieren Rendien werden N=5000 Simulaionsläufe durchgeführ, d.h., es werden 5000 Jahre mi je 250 Rendien simulier. Bei dem zugrunde gelegen Prozeß der lognormalvereilen Rendien handel es sich um eine geomerisch Brownsche Bewegung. In zeidiskreer Form noier dieser Prozeß als 34 Bei den realen, logarihmieren Rendien geh für jede Akie jeweils ein Jahr verloren, das zur Berechnung der Sandardabweichung im Simulaionsmodell benöig wird. Folglich verbleiben für die Auswerung des Modells 21 77=1617 Jahre. Da die Börsenjahre unerschiedlich viele Handelsage aufweisen, beräg der hisorische Berachungszeiraum K nich immer genau 250 Tage. Bei den 77 Akien handel es sich um Were, die von 1974 bis 1995 durchgehend an einer deuschen Börse gehandel wurden und möglichs wenig Nullrendien aufweisen. Die Akienkurse wurden dankenswererweise von der Karlsruher Kapialmarkdaenbank (KKMDB) zur Verfügung gesell.

24 (4-18) R V = 2 ln = µ σ + ε σ, V 2 1 mi µ als jährliche Durchschnisrendie (Drif), σ als Jahres-Sandardabweichung, ε als sandardnormalvereile Zufallsvariable, ε N(0,1), und als kleinse Zeieinhei (=Schriweie des simulieren Prozesses) von einem Tag bzw. 1/250 Jahr. 35 Die logarihmieren Rendien ln V V 1 sind somi normalvereil mi dem Mielwer µ σ 2 und der Sandardabwei- 2 chung σ. Es wird eine jährliche Durchschnisrendie von 7 % und eine Jahres-Sandardabweichung von 24 % unersell. 36 Für µ wird folglich durchgehend ein Wer von µ = 0, 07 / 250 = 0, und für σ ein Wer von σ = 0, 24 / 250 = 0, angesez. Die Rendien der geomerisch Brownschen Bewegung sind seriell unabhängig, so daß die Annahmen der Quadrawurzel-T-Formel nich verlez werden. Ein Vergleich der Ergebnisse für simuliere Rendien mi denen für reale Akienrendien kann daher Aufschluß darüber geben, wie relevan die Annahme der seriellen Unabhängigkei is, die bei allen drei Limisysemen geroffen wird, aber auf dem deuschen Akienmark generell nich gegeben is Simulaionsergebnisse 5.1 Ergebnisse für einen Rendieerwarungswer von Null Die Tabelle 5-1 und die Abbildung 5-1 zeigen die Ergebnisse für die Simulaionen, bei denen die Tages-Limie wie in Abschni 4.2 anhand der vereinfachen Quadrawurzel-T-Formel und somi bei einem Erwarungswer der äglichen Rendien von Null (µ =0) berechne wurden. Tabelle 5-1: Jahresergebnisse bei geomerisch Brownscher Bewegung und realen Akienrendien in TDM bei µ = 0 Simulaion MW Sabw Median 25%-Qu. 75%-Qu. Max Min Vgl. Hull (1997), S. 221 f., sowie Jordan / Mackay (1995), S Vgl. Geyer (1995), S Vgl. Krämer/Runde (1991), S. 317 ff.

25 Geo. Brownsche SL Bewegung VL DL Reale Rendien SL VL DL MW=Mielwer der Jahresergebnisse, Sabw=Sandardabweichung, Qu.=Quanil, Max=maximaler Gewinn, Min=größer Verlus, SL=sarres Limi, VL=Verlusbegrenzungslimi, DL=dynamisches Limi Die Vereilung der Jahresergebnisse bei der geomerisch Brownschen Bewegung sind - wie die Abbildung 5-1 zeig - insgesam abgerundeer als bei den realen Rendien. Dies is ebenso wie die särkere Besezung der einzelnen Gewinn- und Verlusklassen [von 1 Mio. bis 3 Mio. DM] auf die größere Anzahl der Simulaionsläufe von N=5000 als bei den realen Rendien von N=1617 zurückzuführen. Die drei Limiverfahren führen bei dem unersellen Prozeß und bei den realen Rendien zu vergleichbaren Ergebnissen, d.h., die Ergebnisvereilungen sind in ihrer Srukur für das jeweilige Seuerungsverfahren nahezu idenisch. Die Parameerwere bei realen Rendien sind allenfalls ewas geringer als bei der Brownschen Bewegung, nur bei den realen Rendien sind die maximalen und minimalen Were größer. Die Seuerungseffeke der drei Limiverfahren erweisen sich also als weigehend unabhängig von der Wahl des Rendieprozesses, was auch zeig, daß roz der Verlezung der Annahme der seriellen Unabhängigkei die Ergebnisse nich wesenlich verzerr sind. Im einzelnen ergib sich, daß das sarre Limi (SL) und das Verlusbegrenzungslimi (VL) zu sehr vergleichbaren Ergebnissen führen. Die Jahresergebnisse vereilen sich besonders beim sarren Limi sehr symmerisch um den Mielwer von 553 TDM [477 TDM]. Im Vergleich dazu produzier das Verlusbegrenzungslimi ewas geringere Mielwere [537 und 457 TDM] und eine leiche Rechsschiefe (Linksseilhei) der Vereilung. Dies läß sich graphisch an den Ergebnisvereilungen, besonders aber beim Vergleich der 25 %-Quanilswere 38 erkennen. Bei beiden Rendieprozessen sind diese Were beim Verlusbegrenzungslimi [231 und 127 TDM] geringer als beim sarren Limi [259 und 162 TDM]. Dies implizier eine größere Diche im Bereich der uneren Häufigkeisvereilung. Auf der anderen Seie sind aber die minimalen Were [ und 968 TDM] beim sarren Limi beragsmäßig größer als beim VL [ 717 und 672 TDM]. Das Verlusbegrenzungslimi wird also seinem Namen gerech, weil es sehr 38 Der 25 %-Quanilswer besag, daß 25 % der Jahresergebnisse kleiner als der Quanilswer sind.

26 hohe Verluse verhinder. Überschreiungen der Jahres-Value-a-Risk-Limie von 1 Mio. DM sind nur beim sarren Limi und bei der geomerisch Brownschen Bewegung aufgereen, und zwar in 2 von 5000 Fällen. Die Häufigkei der Jahres-Value-a-Risk-Limiüberschreiungen is dami wesenlich geringer als 1 %. Auch das dynamische Limi (DL) weis die Eigenschaf der Verlusbegrenzung auf, was durch die minimalen Were von 721 und 689 TDM dokumenier wird. Ansonsen unerscheiden sich die Ergebnisvereilungen aber grundlegend von denen der beiden anderen Limiverfahren. Wie deulich zu erkennen is, sind die Vereilungen rechsschief bzw. linksseil. Die 25 %- Quanilswere [182 und 62 TDM] sind nochmals wesenlich geringer als beim Verlusbegrenzungslimi. Die Wahrscheinlichkei, daß Verluse bzw. sehr geringe Gewinne aufreen, is beim dynamischen Limi also deulich größer. Dafür sind aber die Mielwere der Ergebnisse mi 736 bzw. 619 TDM und v.a. die maximalen Gewinne mi und TDM um einiges höher als bei den anderen Verfahren. Die ebenfalls höhere Sandardabweichung [770 und 816 TDM] indizier zwar die insgesam größere Sreuung der Jahresergebnisse beim dynamischen Limi, weis aber in erser Linie auf ein größeres Gewinnpoenial hin und solle deshalb nich als Risiko inerpreier werden. Abbildung 5-1: Jahresergebnisse bei geomerisch Brownscher Bewegung und realen Akienrendien bei µ = 0 Geomerisch Brownsche Bewegung N=5000 Reale Rendien von 77 deuschen Akien N=1617

27 Sarres Limi 80 Sarres Limi Häufigkei Häufigkei in TDM in TDM Verlusbegrenzungslimi 80 Verlusbegrenzungslimi Häufigkei Häufigkei in TDM in TDM Dynamisches Limi 70 Dynamisches Limi Häufigkei Häufigkei in TDM in TDM Ergebnisse für einen Rendieerwarungswer von ungleich Null Die Tabelle 5-2 und die Abbildung 5-2 zeigen die Ergebnisse für die Simulaionen, bei denen die Tages-Limie wie in Abschni 4.3 anhand der allgemeinen Quadrawurzel-T-Formel bei einem Erwarungswer der äglichen Rendien von ungleich Null ( µ 0) berechne wurden. Tabelle 5-2: Jahresergebnisse bei geomerisch Brownscher Bewegung und realen Akienrendien in TDM bei µ 0

28 Simulaion MW Sabw Median 25%-Qu. 75%-Qu. Max Min Geo. Brownsche SL Bewegung VL DL Reale Rendien SL VL DL MW=Mielwer der Jahresergebnisse, Sabw=Sandardabweichung, Qu.=Quanil, Max=maximaler Gewinn, Min=größer Verlus, SL=sarres Limi, VL=Verlusbegrenzungslimi, DL=dynamisches Limi Die Ergebnisse gleichen in der Srukur den Ergebnissen bei der Berechnung der Tages-Limie mi der Annahme eines Erwarungsweres der äglichen Rendien von Null. Das sarre Limi führ wieder zu leich höheren durchschnilichen Ergebnissen als das Verlusbegrenzungslimi, während das dynamische Limi deulich höhere Ergebnisse produzier. Die durchschnilichen Ergebnisse bei der Berechnung der Tages-Limie mi der allgemeinen Quadrawurzel-T-Regel sind aber durchweg größer (beim sarren Limi und Verlusbegrenzungslimi ewa um 60 TDM und beim dynamischen Limi um ewa 110 TDM) als bei der vereinfachen Quadrawurzel-T- Regel. Allerdings seig auch die Sreuung (Sandardabweichung) der Ergebnisse leich an. Im Vergleich zu den vorherigen Ergebnissen lassen sich zwei Besonderheien beobachen: 1. Die größen Verluse erhöhen sich (bei den realen Rendien särker als bei der geomerisch Brownschen Bewegung) beragsmäßig und 2. Überschreiungen des Jahres-Limis reen nur beim sarren Limi auf (und zwar bei den realen Rendien in 4 von 1617 und der geomerisch Brownschen Bewegung in 1 von 5000 Simulaionsläufen). Die Häufigkei der Jahres-Value-a- Risk-Limiüberschreiung is somi in beiden Fällen geringer als 1 %. Die Simulaionsergebnisse bieen im übrigen ebenso wie die für den Fall µ =0 bei näherer Berachung keine Überraschung und lassen sich inuiiv erklären. Beispielsweise solle das Verlusbegrenzungslimi zu ewas geringeren durchschnilichen Jahresergebnissen führen als das sarre Limi, da die maximale Posiion allenfalls so groß sein kann wie beim sarren Limi und in der Tendenz geringer is, da der Gewinn- und Verlussaldo auch negaiv sein kann. Abbildung 5-2: Geomerisch Brownsche Bewegung N=5000 Jahresergebnisse bei geomerisch Brownscher Bewegung und realen Akienrendien bei µ 0 Reale Rendien von 77 deuschen Akien N=1617