Technische Mechanik. Das Drehmoment einer Kraft mit Angriffspunkt 0 bezüglich eines Punktes P ist definiert durch: M

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1 Technische Mechanik tereostatik: Grundbegriffe: tarrer örper: räfte an starren örpern sind linienflüchtige Vektoren; sie können entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Aber eine arallelverschiebung ändert die Wirkung wesentlich! Gleichgewichtsaiom: Ein örper befindet sich im Gleichgewicht, wenn er in Ruhe ist und das an ihm angreifende räftesystem einer Nullkraft äquivalent ist. Gegenwirkungsprinzip: Wenn zwei örper oder Teile eines örpers räfte aufeinander ausüben, sind raft und Gegenkraft entgegengesetzt gerichtet und dem Betrag nach gleich groß. reischneiden & chnittprinzip: Unter reischneiden versteht man das sichtbar machen von inneren räften und Reaktionskräften. Befindet sich ein ystem im Gleichgewicht, dann ist auch jedes herausgeschnittene Teilsystem unter Wirkung aller an ihm angreifenden räfte einschließlich der chnittkräfte im Gleichgewicht. ystemgrenze Wird eine Verbindungsstelle aufgeschnitten (reischnitt), so müssen an beiden neu entstehenden unkten die räfte nach dem chnittprinzip eingezeichnet werden. Drehmoment: Das Drehmoment einer raft mit Angriffspunkt bezüglich eines unktes ist definiert durch: M = r Dabei kann das Moment als räftepaar (Zwei räfte mit gleichem Betrag und entgegengesetzter Richtung) gesehen werden. Die Einheit des Drehmoments 1Nm. M r Gleiche räfte haben für unterschiedliche Angriffspunkte eine unterschiedliche Wirkung! Die gesamte physikalische raft auf den unkt wird mit dem raftwinder ( M, ) beschrieben. Wird also ein raftvektor parallel zu seiner Wirkungslinie verschoben, muss stets ein Moment hinzugefügt werden, damit die Äquivalenz der Wirkung gewährt bleibt. Das Moment ist ein Vektor, der frei verschoben werden kann. Copyright by ~Gesus~ tand: /16 G V G H G H G V

2 räftesysteme: Reduktion eines räftesystems: ür ein beliebiges ystem von räften kann zu jedem unkt ein äquivalenter raftwinder gebildet werden. n n,..., M = M = r Dabei hat das räftesystem die selbe Wirkung wie der raftwinder im unkt. Jedoch erleichtern raftwinder das Rechnen mit räftesystemen. Wechsel des Bezugspunktes Q: ( M, ) ( M, Q) MQ = M + rq onderfälle: (, ) Nullwinder (, ) Einzelkraft (, M ) räftepaar, M Einzelkraft mit Wirkung in unkt M ( ) Gleichgewichtsbedingungen für räftesysteme: Ein örper, der durch die räfte,... 1 n belastet ist, befindet sich im Gleichgewicht, wenn der raftwinder für einen beliebig gewählten Bezugspunkt verschwindet. M, =, = = M = M = ( ) ( ) i i i i Zentrale räftesysteme: ( 1 ) ( ) n i i i i= 1 i= 1 Die Wirkungslinien aller räfte schneiden sich in einem unkt. Die Gleichgewichtsbedingung ist bereits erfüllt, wenn gilt: = = Allgemeine räftesysteme: n = i = Gleichgewichtsbedingungen: i= 1 m n ( ) M = M j + ri i = ri : Ortsvektor von nach i j= 1 i= 1 i : Einzelkraft auf örper M j : Einzelmoment auf örper i : raftangriffspunkt der raft i : Bezugspunkt (beliebig gewählt) i i Copyright by ~Gesus~ tand: /16

3 Räumliches räftesystem: räftegleichgewicht: p Momentengleichgewicht: M = M + y z = Ebenes räftesystem: Dabei wird eine omponente in null. Alle räftesystems ( M, M = ). i yi i i Mi = r = y M = M r yi i i i yi zi z i M zi = = = i yi zi ( ) i ( i zi i yi) ( p) y yi ( i i i zi) ( p) z zi ( i yi i i) M = M + z = M = M + y = i räftegleichgewicht: = = M i stehen senkrecht zur Ebene des yi Momentengleichgewicht: ( p) z = zi + ( i yi i i) = M M y Ebene Lagerstatik: Bauteile: eil Querschnittsabmessung klein gegenüber Länge ( A l ) Gewicht wird in der Regel vernachlässigt, da klein gegenüber eilkraft. Nur Zugkräfte in der Längsachse übertragbar eil über reibungsfreie Rolle eilkräfte an Enden gleich groß!!! tab Querschnittsabmessung klein gegenüber Länge ( A l ) Belastung nur in tabrichtung Übertragung von Zug- & Druckkräften in Längsrichtung Balken tellvertretend für alle eindimensional erstreckten Bauelemente (Wellen, Achsen, Rohre, tangen, etc.) Belastung auch quer zur Achse Q M Übertragung von Normalkraft, Querkraft und Biegemoment M N Rahmen Tragwerke aus Balken, die starr miteinander verbunden sind. Lager: Verbindung eines Tragwerks mit seiner Umwelt, Gewährleistung einer gewünschten Orientierung eines örpers im Raum, Übertragung von räften. Copyright by ~Gesus~ tand: /16

4 Lagertypen: Verschiebbares Lager (Loslager) Ausführungen: y Rollenlager Gleitlager (Reibungsfrei) endelstütze tützstab Bewegungsmöglichkeiten: Verschiebung in -Richtung, Drehung um z-achse Wertigkeit: (Wieviel räftekomponenten übertragbar) Einwertig, da nur eine raftkomponente y ymbol: estes Lager (estlager) Ausführungen: y Gelenklager Doppelstütze Bewegungsmöglichkeiten: Drehung um die z-achse Wertigkeit: Zweiwertig, da raftkomponenten, ymbol: y este Einspannung Ausführungen: Bewegungsmöglichkeiten: eine Wertigkeit: Dreiwertig, raftkomponenten & 1 Momentenkomponente ymbol: y M z M z Verbindungselemente: endelstab Gelenk raftübertragung in Längsrichtung G H arallelführung raftübertragung in Längs- & Querrichtung G V G H G V M M N N raftübertragung in Längsrichtung & Momentenübertragung Copyright by ~Gesus~ tand: /16

5 tatische & inematische Bestimmtheit: Eine Lagerung heißt kinematisch bestimmt, wenn die Lagerung die Lage des örpers in eindeutiger Weise festlegt; sie heißt kinematisch unbestimmt, wenn der örper um seine Ruhelage eine endliche oder unendlich kleine Beweglichkeit besitzt. Eine Lagerung heißt statisch bestimmt, wenn die Lagerreaktionen eindeutig aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können; sie heißt statisch unbestimmt, wenn die Gleichgewichtsbedingungen nicht ausreichen, um die Lagerreaktionen zu ermitteln. ormel zur Überprüfung der statischen & kinematischen Bestimmtheit (notwendig aber nicht hinreichend): f : Bewegungsmöglichkeiten (reiheitsgrade) j g : reiheitsgrade ungebundener örper (Eben: 3, Räuml.: 6) f = g i wn i : Anzahl Teilkörper im ystem n= 1 j : Anzahl Lagerungen & Verbindungselemente w : Wertigkeit des n-ten Lagers/Verbindung n f f f = : notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für stat. & kin. Bestimmtheit < : ystem ist f -fach statisch unbestimmt > : ystem ist f -fach statisch unterbestimmt (kinematisch unbestimmt) Gelenkverbindungen: chwerpunkt: n ( 1) w = s h s : Anzahl verbundener örper h : Eben:, Räuml.: 3 Der Bezugspunkt, der bei beliebiger Orientierung eines örpers in einem parallelen Gravitationsfeld den raftwinder ( G,) Allgemeine chwerpunktsformel: Gi = G i ( G,) ( ) M = ( ri Gi ) = i 1 chwerpunkt (Massenmittelpunkt): r = r dm m Homogene örper: ergibt, heisst chwerpunkt des örpers. onstante Dichte onstante lächendichte onstante Liniendichte r 1 = r dv V r 1 = r da A A r 1 = r dl L L Copyright by ~Gesus~ tand: /16

6 ymmetrieeigenschaften: Besitzt ein homogener örper eine ymmetrieebene (bei lächen eine ymmetrieachse), so liegt der chwerpunkt auf dieser. önnen im ebenen all zwei ymmetrieachsen, senkrecht zueinander, gefunden werden, so ist der chwerpunkt der chnittpunkt dieser beiden. Im räumlichen all werden drei senkrecht zueinander stehende ymmetrieebenen benötigt, um den chwerpunkt eindeutig festzulegen. Zusammengesetzte örper: Dieser formale Zusammenhang kann wiederum bei konstanter lächen- oder Liniendichte vereinfacht werden. Innere räfte und Momente am Balken: Wichtig für Materialbeanspruchung & Tragfähigkeit sowie Dimensionierung der Bauteile. chnittgrößen: n ( mi ri) r : des Gesamtkörpers i= 1 r = n ri : der Teilkörper mi i= 1 Innere räfte, die äußere räfte aufnehmen und weiterleiten. ie geben die Belastung des Bauteils wieder. M N chnitt Q R Die inneren räfte werden auf ein räftesystem im chwerpunkt der chnittfläche reduziert. Es entsteht ein chnittwinder ( R, M ). N : Normalkraft (omponente von R normal zur chnittfläche) Q: Querkraft (omponente von R in der chnittebene) M : Biegemoment (Resultierendes Moment bzgl. des chwerpunkts) ositive chnittgrößen zeigen am positiven chnittufer in positive oordinatenrichtung. Das chnittufer, dessen Normalenvektor n (senkrecht auf chnittfläche, zeigt vom Inneren nach Außen) in positive (negative) oordinatenrichtung zeigt, heißt positives (negatives) chnittufer. Einzelkräfte erzeugen prünge im Normal- & Querkraftverlauf und nicke im Momentenverlauf. Einzelmomente verursachen prünge im Momentenverlauf. q( ) ontinuierliche Lasten am geraden Balken: A z Balken wird durch kontinuierliche Lasten (treckenlasten) belastet (z.b.: Eigengewicht). Die Dimension einer treckenlast ist raft Länge. Auf jedes heruasgeschnittene Element, der infinitesimalen Länge d wirkt die Einzelkraft d = q d Copyright by ~Gesus~ tand: /16

7 Berechnung der Lagerreaktionen & chnittgrößen: Drehmoment verursacht durch q( ): ( A) l l ( ) M = d = q d Gesamte Last die im chwerpunkt der urvenfläche angreift: = = ( ) l da Allgemeiner Zusammenhang zwischen Belastung und chnittgrößen: l d q d l (läche!) A l A = da z ACHTUNG: Immer dieses oord.system verwenden! dq = q d dm = Q d ( ) ( ) ( ) ( ) Q = q d+ c ( ) ( ) M = Q d+ c 1 c1, c müssen aus Randbedingungen bestimmt werden! Bedingungen an den Enden des Balken: Q M N reies Ende = = = estlager = Loslager = = arallelführung = este Einspannung Reibung: R N mg N R Tangentialebene E ( ontaktebene) N ist die Druckkraft an der Berührstelle zweier örper, die ein Eindringen verhindert. E N N R ist die Reibungskraft in der ontaktstelle aufgrund der Rauigkeit der Oberflächen. R v rel ist die Relativgeschwindigkeit der ontaktpunkte beider ontaktpartner. (ür einen Zylinder mit Radius r, der sich mit Winkelgeschwindigkeit ϖ dreht, gilt für das Rollen mit v auf festem Boden: vrel = v ϖ r. ür v= ϖ r rollt der Zylinder ohne zu gleiten Haften an der momentanen Berührstelle.) E Copyright by ~Gesus~ tand: /16

8 Haften/Rollen ( v rel = ): ontaktpartner haften aneinander (keine Relativbewegung im ontaktpunkt) Reibungskraft ist Reaktionskraft und kann aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Reibungsgesetz gibt nur Grenzen zum Gleitübergang an. Gleiten/Rutschen ( vrel ): ontaktpunkte bewegen sich relativ zueinander. Reibungskraft ist eingeprägte raft, die entgegen der Relativbewegung wirkt. Berechnung aus Reibungsgesetz und v rel Coulombsches Reibgesetz: Haften Gleiten R µ N µ : Haftreibungskoeffizient = µ µ > µ R N Richtung entgegen der Relativbewegung!!! µ : Gleitreibungskoeffizient Ein örper bleibt in Ruhe (haftet), solange die Resultierende res der äußeren räfte innerhalb des Reibungskegels liegt. R µ = tan ρ Elastostatik: Bestimmung von innerer Beanspruchung (pannung) und Deformation (Dehnung). Grundbegriffe: pannung: Die pannung σ ist ein Maß für die innere Beanspruchung eines örpers. raft N pannung = läche mm Dimensionierung eines Bauteils: σma σzul σ : Zulässige pannung (Werkstoffabhängig) Dehnung: Die Dehnung ε ist ein Maß für die Verformung eines örpers. l Ist ε über die Länge l konstant so gilt: ε = l du Lokale Dehnung: ε ( ) = d zul N Copyright by ~Gesus~ tand: /16

9 toffgesetz: Mechanische Dehnung ε M Zusamenhang zwischen pannung und Dehnung! σ σ σ < σ < σ : linearer Zusammenhang bis zur roportionalitätsgrenze σ σ < σ < σ : überproportionale Dehnung σ < σ : Zunahme der Dehnung bei gleichbleibender pannung bei Erreichen der ließspannung Belastung. σ ε. Verfestigung bei weiterer Elastischer Bereich lastischer Bereich ( σ < σ ) ( σ > σ ) : tab nimmt nach Entlastung seine ursprüngl. Länge an : Dehnung geht nicht auf Null zurück! plast. Verformung! Thermische Dehnung T ε Hooksches Gesetz: σ = E ε E : Elastizitätsmodul Zusammenhang zwischen Temperaturänderung εt = αt T α T : Wärmeausdehnungskoeffizient Überlagerte σ Dehnung ε ε = εm + εt = + αt T E pannung und Dehnung am Einzelstab: du N T T d = EA + α Verschiebung u( ) eines tabquerschnittes: ( ) Längenänderung des tabes: l = εd= u() l u( ) onderfall T =, N = = const., EA = const. : inematik: Darstellung von Vektoren: l M T und Dehnung! u = εd+ c c aus Randbedingungen! l l = E A Darstellung von r bzgl. eines kartesischen oordinatensystems mit der Basis ( e,, ey ez ) r = e + y e + z e y z r y z = Copyright by ~Gesus~ tand: /16

10 oordinatentransformation (Basiswechsel): Um einen Vektor des ystems im ystem B darzustellen gilt: r = A r B B Elementardrehungen: Drehung um z-achse mit Winkel γ : cosγ sin γ A B = sin γ cosγ 1 Drehung um y-achse mit Winkel β : cos β sin β A B = 1 sin β cos β Drehung um -Achse mit Winkel α : 1 AB = cosα sinα sinα cosα Allgemeine Drehung: Die Allgemeine Drehung wird in Drehungen um die z,y,-achse zerlegt und dann durchgeführt. Es gilt: r = A A A r = A r B B By Bz ür die Rücktransformation gilt: 1 T r = A r = A r B B unktbewegungen: Lage r Geschwindigkeit v Beschleunigung a Die Bahn eines unktes im Raum kann eindeutig durch den Ortsvektor r festgelegt werden. ür beliebiges oordinatensystem gilt: r = e + y ey + z ez r = y Allgemein gilt für die Geschwindigkeit v z im beliebigen oordinatensystem : v = r = e + ye + ze + e + ye + ze y z y z Bei einem raumfesten oordinatensystem (Inertialsystem) gilt: I I I e = e y = e z = Iv = y z a = v = r Bei einem raumfesten oordinatensystem (Inertialsystem) gilt: I a = y z Copyright by ~Gesus~ tand: /16

11 Einachsige Bewegungen: Lage: () t Geschwindigkeit: v() t = () t Beschleunigung: a() t = v() t = () t inematik starrer örper: () () t vt = at+ v t () () t t = v t + t dv d v v( ) aus a( ) : a= v= d d ( ) ( ) v = a d+ v rojektionssatz: Die rojektionen der Geschwindigkeit v A und v B zweier fester unkte A, B eines tarrkörpers auf die Verbindungslinie AB der beiden unkte sind stets gleich groß!! Die Differenzgeschwindigkeit v AB steht senkrecht auf der Verbindungslinie AB!! v = v + ϖ r Die Drehgeschwindigkeit ϖ zeigt dabei immer in Richtung der momentanen Drehachse. Der Betrag der Drehgeschwindigkeit ist durch die Geschwindigkeiten zweier unkte eines tarrkörpers festgelegt. v = v + ϖ r = v + ϖ r = v + ϖ r Jede beliebige Bewegung eines starren örpers kann als Überlagerung einer chiebebewegung v (Translation) und einer Drehbewegung ϖ ri (Relation) gedeutet werden. Jede beliebige Lageänderung eines starren örpers lässt sich durch eine Verschiebung r (Translation) und eine Verdrehung ϕ (Rotation) erreichen. Betrachtet man die ( dr, dϕ ) -Lageänderung während einer infinitesimalen Zeitspanne, dann gilt: Infinitesimale Winkeländerungen dϕ dr d dϕ dϕ d = v ϕ = ϕ = = ϖ d und Winkelgeschwindigkeiten ϖ = dϕ d dürfen wie Vektoren addiert werden, nicht Betrag: ϖ = ϕ aber endliche Winkel ϕ!!! d Richtung von ϖ : (Richtung der momentanen Drehachse) d Dabei ist die Gesamtdrehgeschwindigkeit die umme der Teilgeschwindigkeiten! Momentanpol einer ebenen Bewegung: B A AB i i Q Qi i Jede ebene Bewegung eines starren örpers kann zu jedem Zeitpunkt als Drehung um einen ol (Momentanpol) aufgefasst werden. ür den Momentanpol gilt dann: v = v + ϖ r = ϖ v r ϖ r = ϖ r v r r v = r v T AB T T AB A AB B v = AB Copyright by ~Gesus~ tand: /16

12 omit gilt ausgehend vom Momentanpol für jeden beliebigen unkt i des örpers: vi = v + ϖ ri = ϖ ri 3 vi ϖ 1 vi = ϖ ri vi r i α ϖ v 1 = ϖ r α 1 M ( ) Der Geschwindigkeitszustand eines örpers, der eine ebene Bewegung ausführt, ist eindeutig festgelegt, wenn: ür einen unkt i Betrag und Richtung der Geschwindigkeit und für einen weiteren unkt j die Richtung der Geschwindigkeit bekannt sind. Der Momentanpol und die Drehgeschwindigkeit ϖ des örpers bekannt sind v i i α α j ( M) v i i ϖ onderfälle für die Bestimmung Momentanpolen: ontakt an anten ontakt an Ecken ipunkt (Lager) Momentanpollinie Momentanpollinie ϖ ( M) ipunkt ist Momentanpol!! Rollen ω A ( ) M ( M) Rein translatorisch Momentanpol liegt im unendlichen!! Relativkinematik: v ' ϖ ' z ' r ' y I z ' ' I Ir = Ir' + Ir' Der Vektor r ' ist in der Regel nur in körperfestem oordiantensystem bekannt r ' muss er vom ins I-ystem transformiert werden: Ir = Ir' + AI r' Geschwindigkeit: v = v = r = r ' + r ' = v ' + v ' I y Ortsvektor : r = r + r (Vektordarstellung) (oordinatendarstellung) Copyright by ~Gesus~ tand: /16. omit Um die Geschwindigkeit v oder die Beschleunigung a eines unktes im -ystem zu bestimmen, muss zunächst der Vektor r aufgestellt werden und dieser dann nach der Eulerschen Differentiationsregel einmal bzw. zweimal abgeleitet werden. r = r + r ' '

13 Eulersche Differentiationsregel: Die Eulersche Differentiationsregel muss immer dann berücksichtigt werden, wenn die absolute zeitliche Änderung (Ableitung) eines Vektors ermittelt werden soll, der in einem bewegten oordinatensystem dargestellt ist. ( ) = ( k) + ϖ ϖ : Drehgeschwindigkeit des oord.systems! Geschwindigkeit: v = ( r ) = ( kr) + ϖ r a = v = v + ϖ v Beschleunigung: ( ) ( ) k Achtung: Ein Inertialsystem ist ein ruhendes ystem. Es gilt: Iϖ = inetik: Grundbegriffe: Impuls: Impuls eines Masseteilchens dr dp = vdm = dm v : absolute Geschwindigkeit des Masseteilchens dm : Masse des Masseteilchens Impuls eines örpers p = dp = vdm (ystem von örpern) Impuls eines örpers mit p = vdm = rdm = r s m= m v s (chwerpunktsformel) konstanter Masse Drall (Moment des Impulses): Drall eines Masseteilchens bzgl. des unktes Drall eines örpers bzgl. des unktes r r Q r Q Drall eines starren örpers bzgl. des chwerpunktes Q (Auswertung in körperfestem oordinatensystem!) dl = r dp = r v dm L = dl = r v dm ( ) Wechsel des Bezugspunktes Q : LQ = L rqs vq m rq p onderfälle: Q ist raumfest ( v Q = ): LQ = L rq p Q ist chwerpunkt ( r Q = ): L = L r p θ θy θ z ϖ Ls = θy θyy θyz ϖ y θz θzy θ zz ϖ z Ls = θ ϖ θ : Trägheitstensor (beschreibt Massenverteilung eines örpers) Copyright by ~Gesus~ tand: /16

14 1 Vollzylinder : θ = mr Hohlzylinder : θ = mr ugel : θ = mr 5 ( ) ( ) ( ) θzy θz θy θ = y + z dm θ yy = + z dm Massenträgheitsmomente θ = zz + y dm θyz = = yzdm θz = = zdm Deviationsmomente θ = = y ydm onderfälle: θ z Drehung um eine feste Achse z: ϖ = L = θyz ϖ ϖ θ zz Und symmetr. Massenverteilung um die Achse ( θ = θ = ): In diesem onderfall gilt: L = ϖ = θzz ϖ Analogie mit Impuls; Richtung θ zz von ϖ identisch mit L Hauptachsen/Hauptträgheitsmomente: Jeder starre örper besitzt drei zueinander senkrechte Achsen (Hauptachsen), für die die Trägheitsmomente Etremwerte annehmen und die Deviationsmomente verschwinden. Da θ abhängig vom gewählten körperfesten oordsystem ist, versucht man es so zu wählen, dass die oordachsen mit den Hauptachsen zusammenfallen ( Hauptträgheitsmomente A, B, C ) Die Bestimmung der Hauptachsen ist ein Eigenwert- A problem: ( θ I ) ϖ θ = = B C Bei homogenen, symmetrischen örpern bilden die ymmetrieachsen, bei rotationssymmetrischen örpern die Drehachse und jede dazu senkrechte Achse die Hauptachsen. z yz inetische Energie: inetische Energie eines Masseteilchens inetische Energie eines örpers inetische Energie eines tarrkörpers v ϖ Q v = v + ϖ r Q Q 1 T 1 dt = v vdm = v dm 1 1 T T = dt = v dm= v dp 1 T T 1 T T = vqvq m+ mvq ( ϖ rq) + ϖ LQ onderfall (Bezugspunkt Q ist chwerpunkt ): ( r = ) 1 T 1 T T = mvv + ϖ θϖ Q Copyright by ~Gesus~ tand: /16

15 inetische Grundgleichungen: Impulssatz: Impulssatz eines Massenelements ( ) ( ) Impulssatz eines örpers ( ) Impulssatz eines tarrkörpers mit konstanter Masse immer abs. Geschwindig.! Drallsatz: d d dp = vdm = d d dp dp = d = dp p = mv = ma = Der Massenmittelpunkt eines örpers bewegt sich so, also ob die gesamte Masse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren räfte an ihm angreifen! omit kann, falls nur die Bewegung des Massenmittelpunktes interessiert, jedes ystem durch eine unktmasse im chwerpunkt ersetzt werden. onderfälle: eine Beschleunigung des chwerpunktes ( a = ): = tatik eine äußeren räfte ( = ): ma = p = mv = konst. Impulserhaltungssatz (ohne äußere räfte bleibt der Impuls eines abgeschlossenen ystems konstant) Drallsatz eines örpers für ruhenden Bezugspunkt Drallsatz für tarrkörper bei beliebigem Bezugspunkt dl = M ( L) = M LQ = θq ϖ dlq + m( rq aq ) = MQ M Q : umme aller auf den unkt Q wirkenden Momente onderfälle: dl Bezugspunkt ist chwerpunkt: = M dl Q Bezugspunkt ruht oder ist Momentanpol ( a Q = ): = M Q dl eine Dralländerung Q = & keine Beschleunigung a Q = : Momentengleichgewicht in der tatik: M Q = Energiesatz: Die von einer raft beim Beschleunigen einer unktmasse geleistete Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie. dv T v d = dm d dr = d dm r1 T 1 dw = d dr = ( v1 v) dm = dt r Copyright by ~Gesus~ tand: /16

16 onderfall: Die räfte sind aus einem otential V ableitbar (otentialkräfte/konservative räfte). = gradv In einem konservativen raftfeld ist die umme aus kinetischer T und potentieller Energie V konstant. T + V = const. Wichtige konservative räfte: ( ) + ( ) = ( ) + ( ) T t V t T t V t 1 1 chwerkraft: V = m g h h: Höhendifferenz zum Nullniveau c l ederkraft: V = l: ederverspannung Vorgehensweise zur Lösung von räftesystemen: 1. Ein geeignetes oordinatensystem einführen mit positiver Momentenrichtung. Notwendige Bedingung für statische & kinematische Bestimmtheit überprüfen 3. reischnittskizze anfertigen örper ohne Verbindungen und Lager ( ) 4. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. ( =, M = ) 5. Lösen der Gleichungen... Lagerreaktionen Vorgehensweise zur Berechnung von räftesystemen & inneren räften: 1. Ein geeignetes oordinatensystem einführen mit positiver Momentenrichtung. Notwendige Bedingung für statische & kinematische Bestimmtheit überprüfen 3. reischnittskizze anfertigen örper ohne Verbindungen und Lager ( ) 4. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. ( =, M = ) 5. Lösen der Gleichungen... Lagerreaktionen 6. chnittgrößen berechnen: (chnittgrößen einzeichnen!) Bei einem chnitt müssen zwei Bereiche getrennt betrachtet werden. Einmal bis zum chnitt und einmal nach dem chnitt. Hierfür wieder die selben Beziehungen für Gleichgewichtsbedingungen ( ) aufstellen. ( =, M = 7. Graphische Darstellung der chnittgrößen: Alle drei chnittgrößen in Diagramme N, Q, M ) Gleichungen für räfte in Abhängigkeit von eintragen. ( ) ( ) ( ) Copyright by ~Gesus~ tand: /16